Bachillerato 1 -STMG / Número derivativo y función de segundo grado 47 ejercicios (100% corregidos)

a
x-4-3-2-101234y-2-1123AB -4-3-2-1234I-2-123JO 1. Recordatorios: funciones afines E.11341 Consideremos la función afín definida por la relación: f ( x ) = − 1 ; 25 x + 0 ; 25 En el sistema de coordenadas siguiente, consideremos los dos puntos A y B representados a continuación y denotemos por C f la recta representativa de la función f : 1 a Justificar que los puntos A y B pertenecen a la recta C f . b Trazar la recta C f representativa de la función f . 2 a Dar un valor aproximado de la abscisa del único punto C de C f que tiene − 0 ; 5 como ordenada. b Justificar algebraicamente que el antecedente del número − 0 ; 5 es 0 ; 6 . E.7370 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 0 ; 75 x + 1 ; 25 1 Completa la siguiente tabla de valores: x − 3 − 2 − 1 0 1 2 f ( x ) 2 Muestra la curva C f de la función f en el marco de ref-erencia de abajo : E.7371 Propuesta: Si el coeficiente director es positivo, la función afín es creciente. Si el coeficiente director es negativo, la función afín es decreciente. 1 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 3 · x + 4 ; 5 a Resuelve la ecuación : f ( x )=0 b Completa la tabla de signos de la función f : x −∞ + ∞ f ( x ) 2 Consideremos la función g definida en R por la relación: g ( x ) = − 2 · x + 0 ; 5 a Resolver la ecuación : g ( x )=0 b Completa la tabla de signos de la función g : x −∞ + ∞ g ( x ) E.7372 En cada caso, considera la recta ( d ) que pasa por los puntos A y B . Determina el coeficiente director de cada una de las rectas ( d ) . a A (1 ; 2) ; B (5 ; 3) b A ( − 1 ; 2) ; B (3 ; − 2) c A (0 ; 1) ; B (2 ; 5) d A (5 ; 1) ; B (1 ; 4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/11341 sacados/11341 x-4-3-2-101234y-2-1123AB chapExoCorrec/7370 sacados/7370 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/7371 sacados/7371 chapExoCorrec/7372 sacados/7372
(d1AB(d2-6-4-20246-224J -3-2-12345I-4-3-2-12JO E.7373 Propuesta: Sea f una función lineal que pasa por los pun-tos A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) . El coeficiente director m de la función f tiene el valor: m = y B − y A x B − x A El siguiente gráfico presenta tres rectas representadas en un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J : Consideremos los dos puntos A ( − 2 ; 3) y B (4 ; 0) pertenecientes a la recta ( d 1 ) : 1 a Demuestra que el coeficiente director de la recta ( d 1 ) tiene como valor − 1 2 . b Determinar la ecuación reducida de la recta ( d 1 ) . 2 Determinar la ecuación reducida de la recta ( d 2 ) . E.7374 Consideremos la función f definida por la relación es : f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − 0 ; 5 · x − 2 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J , denotemos por C f la curva representativa de la función f : 1 a Traza la recta ( d ) cuya ecuación es : y = 0 ; 5 · x − 3 b ¾Qué particularidad tiene la recta ( d ) con respecto a la curva C f ? 2 a Traza la recta (Δ) cuya ecuación es : y = − 1 ; 5 · x − 3 b ¾Qué particularidad tiene la recta (Δ) con respecto a la curva C f ? E.7420 Completa las tablas de signos siguientes : 1 x −∞ + ∞ 1 − x 2 x + 1 (1 − x )(2 x +1) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7373 sacados/7373 (d1AB(d2-6-4-20246-224J chapExoCorrec/7374 sacados/7374 -3-2-12345I-4-3-2-12JO chapExoCorrec/7420 sacados/7420
x-3-2-10123y-11CfCgABCD <0Aucune racine01racine−b2·a>02racines−b−2·a;−b2·a E.11342 Completa las tablas de signos sigu-ientes : 1 x −∞ + ∞ x + 5 − 2 x − 8 x +5 − 2 x − 8 2 x −∞ + ∞ x − 1 4 − x − x − 1 altura0.75pt ( x − 1)(4 − x )( − x − 1) E.7421 Considera la siguiente expresión alge-braica: 2 x + 7 x + 3 − 4 x + 4 2 x + 1 1 Reduce la expresión anterior al mismo denominador. 2 Elabora la tabla de signos de esta expresión. 3 Deduce las soluciones de la inecuación : 2 x + 7 x + 3 4 x + 4 2 x + 1 E.11556 1 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 4 · x − 3 a Resuelve la ecuación : f ( x )=0 b Completa la tabla de signos de la función f : x −∞ + ∞ f ( x ) 2 Consideremos la función g definida en R por la relación: g ( x ) = − 3 · x + 1 ; 8 a Resolver la ecuación : g ( x )=0 b Completa la tabla de signos de la función g : x −∞ + ∞ g ( x ) E.11557 En el plano provisto de un sistema de coordenadas, con-sideramos la recta (Δ) representativa de la función afín : f ( x )=4 x − 1 ¾Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta (Δ) ? a A ( − 3 ; − 13) b B (6 ; 23) c C (2 ; 8) d D (0 ; − 2) E.11558 Consideremos dos funciones lineales f y g que satisfacen las siguientes igualdades f (1)= − 0 ; 75 menos1cm; menos1cm f ( − 2)=1 menos1cm; menos1cm g ( − 1)= − 1 menos1cm; menos1cm g (1)=0 ; 5 En el plano provisto de un sistema de coordenadas, consider-amos las rectas C f y C g representativas de las funciones f y g : Para cada una de estas rectas, se han destacado dos de sus puntos, así como un vector que indica la dirección de la recta. 1 Determinar el coeficiente director de la función f . 2 Determinar el coeficiente director de la función g . 2. Recordatorios: segundo grado E.7503 Propuesta: Las raíces de un polinomio son los valores que anulan dicho polinomio. Para un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado, el número de raíces existentes depende del discriminante : Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 · x 2 − 6 · x + 4 = 0 b 4 · x 2 − 9 · x + 5 = 0 c x 2 + 4 · x + 5 = 0 d 3 · x 2 + 6 · x + 3 = 0 e − x 2 + x − 1 = 0 f − 4 · x 2 − 9 · x − 5 = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11342 sacados/11342 chapExoCorrec/7421 sacados/7421 chapExoCorrec/11556 sacados/11556 chapExoCorrec/11557 sacados/11557 chapExoCorrec/11558 sacados/11558 x-3-2-10123y-11CfCgABCD chapExoCorrec/7503 sacados/7503 <0Aucune racine01racine−b2·a>02racines−b−2·a;−b2·a
<00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− -4-3-2-1234I-2-123JOCf x-1012y-2-112Cf −203.........xVariationdef E.7509 Propuesta: La tabla de signos de un polinomio de se-gundo grado depende del signo del coeficiente del término de segundo grado y del signo del discriminante. Las seis posibilidades se representan a continuación : Elabora la tabla de signos de cada una de las siguientes ex-presiones : a − x 2 + 4 · x + 5 b x 2 − 4 · x + 5 c x 2 + x − 6 d − 4 · x 2 − 4 · x + 8 e 2 · x 2 + 12 · x + 18 f − 4 · x 2 − 6 · x − 2 E.7642 Elabora la tabla de signos de cada uno de los polinomios de segundo grado que aparecen a contin-uación : a − x 2 − 8 · x − 7 b 3 · x 2 + 6 · x − 9 3. Recordatorios: lectura de gráficos E.7587 Consideremos en el sistema de referen-cia O ; −→ i ; −→ j la curva representativa C f de la función f definida en el intervalo − 3 ; 5 ; 3 ; 5 : 1 Por lectura gráfica, completa la siguiente tabla de val-ores : x − 3 0 1 2 4 f ( x ) 2 Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones : a f ( x ) = 0 b f ( x ) = 2 3 Resuelve gráficamente las inecuaciones : a f ( x ) 0 b f ( x ) 2 E.7588 Se da al plano un sistema de referencia y se considera la fun-ción f definida en el intervalo − 1 ; 5 ; 2 ; 5 cuya curva represen-tativa C f se da enfrente. 1 Completa, gráficamente, la siguiente tabla de valores: x − 1 0 0 ; 5 1 1 ; 5 f ( x ) 2 Gráficamente, resuelve las ecuaciones : a f ( x ) = 0 b f ( x ) = 2 3 Resuelve gráficamente las inecuaciones : a f ( x ) 0 b f ( x ) 2 4. Recordatorios: tabla de variaciones E.7601 1 Consideremos la función f definida en el intervalo − 2 ; 3 por la expresión : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − x + 2 A continuación se muestra la tabla de variaciones de la función f en la que no se ha dado alguna información : 2 Consideremos la función g definida en el intervalo − 1 ; 4 por la expresión : g ( x ) = − x 2 + 2 · x − 1 A continuación se muestra la tabla de variaciones de la https://chingmath.fr chapExoCorrec/7509 sacados/7509 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− chapExoCorrec/7642 sacados/7642 chapExoCorrec/7587 sacados/7587 -4-3-2-1234I-2-123JOCf chapExoCorrec/7588 sacados/7588 x-1012y-2-112Cf chapExoCorrec/7601 sacados/7601 −203.........xVariationdef
−114.........xVariationdeg -3-2-10123456-11234Cf(d3(d2AB función g en la que no se ha dado alguna información : 5. Introducción E.7510 Consideremos la función de segundo grado f definida para cualquier número real x por la relación: f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − x + 1 ; 5 1 La recta ( d 1 ) es una función afín con ecuación reducida : ( d 1 ) : y = a · x + b donde a y b son dos números derivados. a Da las coordenadas de los puntos A y B . b Determina el coeficiente director de la recta ( d 1 ) . c Deduce la expresión de la ecuación reducida de la recta ( d 1 ) . 2 a Elige un punto C sobre la recta ( d 2 ) y da sus coor-denadas. b Determina la ecuación reducida de la recta ( d 2 ) . 6. Función derivada E.7643 Definición : Sea f una función de segundo grado definida por la expresión : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c donde a , b y c son tres números reales con a =0 . Se denomina función derivada de la función f , la fun-ción f definida por: f ( x ) = 2 a · x + b Copie y complete la tabla siguiente para obtener la expresión de la función f derivada de la función f : f ( x )= a · x 2 + b · x + c a b c f ( x )=2 a · x + b − 2 · x 2 − x + 1 0 ; 25 · x 2 + x − 1 x 2 − x − 4 · x 2 − 2 E.7742 Copia y completa la siguiente tabla para obtener la expresión de la función f derivada de la función f : f ( x )= a · x 2 + b · x + c a b c f ( x )=2 a · x + b 2 · x 2 − 3 · x + 1 − 2 · x 2 + 0 ; 25 · x − 1 2 · x 2 − 3 3 · x 2 + 2 · x E.7551 Da la expresión de las funciones f de las funciones de segundo grado f definidas a continuación : a f ( x ) = 2 · x 2 + x − 1 b f ( x ) = 4 · x 2 + 8 · x + 4 c f ( x ) = x 2 − 3 · x + 3 d f ( x ) = − 2 · x 2 + 2 e f ( x ) = − x 2 − 3 · x + 4 f f ( x ) = 0 ; 4 x 2 + x − 4 https://chingmath.fr −114.........xVariationdeg chapExoCorrec/7510 sacados/7510 -3-2-10123456-11234Cf(d3(d2AB chapExoCorrec/7643 sacados/7643 chapExoCorrec/7742 sacados/7742 chapExoCorrec/7551 sacados/7551
xxyy-5-4-3-2-10123-4-3-2-11Cf(d1(d2 C1x-3-2-10123y-112 C2x-3-2-10123y-2-11 C3x-3-2-10123y-2-11 C4x-3-2-10123y-112 x-10123y-3-2-11CfABC E.7552 1 Consideremos la función de segundo grado f definida por: f ( x ) = 3 · x 2 − x + 1 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Calcula las siguientes imágenes mediante la función f : f (2) f (1) f (0 ; 5) f (0) 2 Consideremos la función de segundo grado f definida por: f ( x ) = − x 2 + 2 · x − 4 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Calcula las siguientes imágenes mediante la función f : f (1) f (0) f ( − 2) f ( − 0 ; 5) E.7553 Consideremos la función f de segundo grado cuya curva representativa se muestra en el siguiente sistema de coordenadas : 1 a La recta ( d 1 ) es la tangente a la curva C f en el punto de coordenadas (1 ; − 0 ; 5) . Determina el coeficiente directriz de la recta ( d 1 ) . b La recta ( d 2 ) es la tangente a la curva C f en el punto de coordenadas ( − 2 ; − 2) . Determinar el coeficiente director de la recta ( d 2 ) . 2 La expresión de la función se define por: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + x − 2 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Calcular las siguientes imágenes mediante la función f : f (1) f ( − 2) E.7705 Consideremos la función f definida en ; por la relación: f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 − 0 ; 25 · x + 1 ; 5 Observamos C f la representación de la función f en un sis-tema de referencia. 1 a Resuelve la ecuación f ( x )=0 b De las cuatro representaciones de curvas que aparecen a continuación, sólo una es la curva C f . ¾Cuál es? Justifica tu respuesta. 2 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b De las cuatro proposiciones siguientes, sólo una es cor-recta. ¾Cuál es? Justifica tu respuesta. f (2) = − 2 ; 25 f (2) = − 1 ; 75 f (2) = − 1 ; 25 f (2) = − 0 ; 75 E.11616 On considère la fonction f du second degré définie par : f ( x ) = − x 2 + 2 · x − 4 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Calculer les images suivantes par la fonction f : f (1) f (0) f ( − 2) f ( − 0 ; 5) E.11697 Donner l’expression des fonctions f des fonctions f du second degré définies ci-dessous : 1 f ( x ) = 5 · x 2 − x + 5 2 f ( x ) = − 3 · x 2 − 3 · x + 1 7. Tangente: encontrar la ecuación E.7564 Consideremos la función f definida en − 1 ; 3 por la relación: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − x − 2 A continuación se muestra la curva representativa de la fun-ción f en el plano provisto de un sistema de coordenadas : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7552 sacados/7552 chapExoCorrec/7553 sacados/7553 xxyy-5-4-3-2-10123-4-3-2-11Cf(d1(d2 chapExoCorrec/7705 sacados/7705 C1x-3-2-10123y-112 C2x-3-2-10123y-2-11 C3x-3-2-10123y-2-11 C4x-3-2-10123y-112 chapExoCorrec/11616 sacados/11616 chapExoCorrec/11697 sacados/11697 chapExoCorrec/7564 sacados/7564 x-10123y-3-2-11CfABC
x-5-4-3-2-10y1234Cf x-10123y-3-2-11Cf x01234567y-11234Cf 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Se denota por T la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 2 . a Determinar las coordenadas del punto A de abscisa 2 de la curva C f . b Determinar el coeficiente director de la tangente ( T ) . c Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . 3 a Dar las coordenadas de dos puntos pertenecientes a la tangente ( T ) . b Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. E.7565 Consideremos la función f definida en − 5 ; − 1 por la relación: f ( x )= − 0 ; 5 · x 2 − 3 · x − 1 A continuación se muestra la curva representativa de la fun-ción f en el plano provisto de un sistema de coordenadas : 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Se denota por T la tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . a Determinar el coeficiente director de la tangente C f . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . 3 Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas an-terior. E.7589 Consideremos la función f definida en − 1 ; 3 por la relación: f ( x ) = x 2 − x − 2 ; 5 A continuación se muestra la curva representativa de la fun-ción f en el plano provisto de un sistema de coordenadas : 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Se denota por T la tan-gente a la curva C f en el punto de abscisa 1 ; 5 . a Determinar las coordenadas del punto A de abscisa 1 ; 5 de la curva C f . b Determinar el coeficiente director de la tangente ( T ) . c Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . 1 a Dar las coordenadas de dos puntos pertenecientes a la tangente ( T ) . b Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. 8. Tangente: utilice la fórmula E.7609 Propuesta: Sea f una función f derivable en a y denote-mos por C la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. La tangente a la curva C en el punto de abscisa a tiene como ecuación reducida : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) Consideremos la función f definida para todo número x perteneciente al intervalo 0 ; 7 por: f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 3 ; 5 · x − 3 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas y por A el punto de abscisa 2 perteneciente a C f . 1 Da las coordenadas del punto A . 2 Determina el valor de la derivada de la función f en x =2 . 3 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto A . 4 Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas sigu-iente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7565 sacados/7565 x-5-4-3-2-10y1234Cf chapExoCorrec/7589 sacados/7589 x-10123y-3-2-11Cf chapExoCorrec/7609 sacados/7609 x01234567y-11234Cf
x-3-2-1012y-4-3-2-11234Cf x-2-1012345y-2-11Cf x-4-3-2-10123y-11Cf xyC1−2;5 xyC2−2;5 xyC3−2;5 E.7610 Consideremos la función f definida para cualquier número x perteneciente al intervalo − 3 ; 1 ; 5 por: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + 1 ; 5 · x − 1 Sea C f la curva representativa de la función f en un sistema de referencia y A el punto de abscisa 1 perteneciente a C f . 1 Dar las coordenadas del punto A . 2 Determina el valor del número de la derivada de la fun-ción f en x =1 . 3 Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto A . 4 Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia de abajo : E.7641 Consideremos la función f definida para cualquier número x perteneciente al intervalo − 2 ; 5 por: f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − 0 ; 75 · x − 1 Sea C f la curva representativa de la función f en un sistema de referencia y A el punto con abscisa 2 perteneciente a C f . 1 Dar las coordenadas del punto A . 2 Determina el valor del número de la derivada de la fun-ción f en x =2 . 3 Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto A . 4 Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia de abajo : E.7707 Consideremos la función f definida para cualquier número x perteneciente al intervalo − 2 ; 5 por: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + 0 ; 25 · x − 0 ; 75 Observamos C f la curva representativa de la función f en un sistema de referencia y A el punto de abscisa 1 perteneciente a C f . 1 Dar las coordenadas del punto A . 2 Determina el valor del número de la derivada de la fun-ción f en x =1 . 3 Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto A . 4 Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia de abajo : Indica en la copia las coordenadas de los dos puntos uti-lizados para trazar la tangente. 9. Signo del número derivado y variación E.7563 Sea f la función de segundo grado definida en − 4 ; 4 por la relación: f ( x )= x 2 +5 · x +1 1 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Resolver la ecuación : f ( x )=0 c Completar la tabla de signos siguiente : x − 4 4 f ( x ) 2 Se denota por C la curva representativa de la función f en el plano provisto de un sistema de coordenadas. ¾Cuál de estas tres curvas es la curva C : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7610 sacados/7610 x-3-2-1012y-4-3-2-11234Cf chapExoCorrec/7641 sacados/7641 x-2-1012345y-2-11Cf chapExoCorrec/7707 sacados/7707 x-4-3-2-10123y-11Cf chapExoCorrec/7563 sacados/7563 xyC1−2;5 xyC2−2;5 xyC3−2;5
−215-71-14xVariationdef −215-72-14xVariationdef −2157114xVariationdef −114.........xVariationde ... −203.........xVariationde ... −203.........xVariationde ... E.7566 Sea f la función de segundo grado definida en − 2 ; 5 por la relación: f ( x )= − x 2 +2 · x +1 1 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Resolver la ecuación : f ( x ) = 0 c Completar la tabla de signos siguiente : x − 2 5 f ( x ) 2 Entre las tablas de variaciones siguientes, ¾cuál es la tabla de variaciones de la función f : a b c E.7602 1 Consideremos la función f definida en el intervalo − 2 ; 5 por la expresión : f ( x ) = 2 · x 2 + x + 1 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Determina el valor de f (2) . c Considera la siguiente tabla de variaciones: Justifica que esta tabla de variaciones no puede ser la tabla de variaciones de la función f . 2 Consideremos la función g definida en el intervalo − 4 ; 3 por la expresión : g ( x ) = − x 2 + 2 · x − 1 a Determina la expresión para la función g derivada de la función g . b Determina el valor de g ( − 1) . c Considera la siguiente tabla de variaciones: Justifica que esta tabla de variaciones no puede ser la tabla de variaciones de la función g . E.11617 On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 4 ; 3 par l’expression : g ( x ) = − x 2 + 2 · x − 1 1 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 2 Déterminer la valeur de g ( − 1) . 3 On considère le tableau de variations ci-dessous : Justifier que ce tableau de variations ne peut pas être le tableau de variations de la fonction g . 10. Estudio de las variaciones E.7603 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7566 sacados/7566 −215-71-14xVariationdef −215-72-14xVariationdef −2157114xVariationdef chapExoCorrec/7602 sacados/7602 −114.........xVariationde ... −203.........xVariationde ... chapExoCorrec/11617 sacados/11617 −203.........xVariationde ... chapExoCorrec/7603 sacados/7603
010xVariationdef −34xVariationdeg Método: Sea f una función definida en un intervalo a ; b , cuya función derivada se denotará f : Si f es positiva en a ; b , entonces la función f es cre-ciente : Para x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ , f es creciente. Si f es negativa en a ; b , entonces la función f es decreciente : Para x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ , f es decreciente. Así, si la función f admite la siguiente tabla de signos : x a ¸ ˛ b f ( x ) − 0 + 0 − entonces la función f admite la tabla de variaciones: 1 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 definida por: f ( x ) = x 2 − 12 · x − 10 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Completa la tabla de signos siguiente : x 0 10 f ( x ) c Completa la tabla de variaciones siguiente : 2 Consideramos la función g definida en el intervalo − 3 ; 4 definida por: g ( x ) = − x 2 + 2 · x + 3 a Determinar la expresión de la función g derivada de la función g b Completar la tabla de signos siguiente : x − 3 4 g ( x ) c Completa la tabla de variaciones siguiente : E.7606 1 Consideremos la función f definida en el intervalo − 4 ; 2 por: f ( x ) = − 2 · x 2 − 4 · x + 3 a Expresar la función f derivada de la función f . b Estudiar el signo de la función f en el intervalo − 4 ; 2 . c Elaborar la tabla de variaciones de la función f en − 4 ; 2 . 2 Consideremos la función g definida en el intervalo 0 ; 5 por: g ( x ) = 6 · x 2 − 3 · x + 3 a Exprese la función g derivada de la función g . b Estudiar el signo de la función g en el intervalo 0 ; 5 . c Elaborar la tabla de variaciones de la función g en 0 ; 5 . E.7708 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 3 por: f ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 3 1 Dar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Estudia el signo de la función f en el intervalo − 3 ; 3 . 3 Elabora la tabla de variaciones de la función f sobre − 3 ; 3 . https://chingmath.fr 010xVariationdef 010xVariationdef −34xVariationdeg chapExoCorrec/7606 sacados/7606 chapExoCorrec/7708 sacados/7708
010xVariationdef −34xVariationdeg Temps de vol(en dixième de seconde)02468101214161820222426Hauteur(en mètre)1020304050 E.11634 Método: Sea f una función definida en un intervalo a ; b , cuya función derivada se denotará f : Si f es positiva en a ; b , entonces la función f es cre-ciente : Para x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ , f es creciente. Si f es negativa en a ; b , entonces la función f es decreciente : Para x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ , f es decreciente. Así, si la función f admite la siguiente tabla de signos : x a ¸ ˛ b f ( x ) − 0 + 0 − entonces la función f admite la tabla de variaciones: 1 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 definida por: f ( x ) = x 2 − 12 · x − 10 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Completa la tabla de signos siguiente : x 0 10 f ( x ) c Completa la tabla de variaciones siguiente : 2 Consideramos la función g definida en el intervalo − 3 ; 4 definida por: g ( x ) = − x 2 + 2 · x + 3 a Determinar la expresión de la función g derivada de la función g b Completar la tabla de signos siguiente : x − 3 4 g ( x ) c Completa la tabla de variaciones siguiente : E.11635 1 Consideremos la función f definida en el intervalo − 4 ; 2 por: f ( x ) = − 2 · x 2 − 4 · x + 3 a Expresar la función f derivada de la función f . b Estudiar el signo de la función f en el intervalo − 4 ; 2 . c Elaborar la tabla de variaciones de la función f en − 4 ; 2 . 2 Consideremos la función g definida en el intervalo 0 ; 5 por: g ( x ) = 6 · x 2 − 3 · x + 3 a Exprese la función g derivada de la función g . b Estudiar el signo de la función g en el intervalo 0 ; 5 . c Elaborar la tabla de variaciones de la función g en 0 ; 5 . 11. Problemas E.7709 Con motivo de un festival pirotéc-nico, un pirotécnico se prepara para lanzar cohetes desde una plataforma situada a 8 metros de altura. Dispone de dos tipos de cohetes, denominados A y B . Parte A La altura, en metros, alcanzada por los cohetes de tipo A en función de su tiempo de vuelo x , en décimas de segundo, se representa en la siguiente curva. https://chingmath.fr chapExoCorrec/11634 sacados/11634 010xVariationdef 010xVariationdef −34xVariationdeg chapExoCorrec/11635 sacados/11635 chapExoCorrec/7709 sacados/7709 Temps de vol(en dixième de seconde)02468101214161820222426Hauteur(en mètre)1020304050
Distance en mètres0123456Hauteur en mètres12345CfJPAB Responda a las dos preguntas siguientes con la precisión que permite el gráfico. 1 ¾Qué altura alcanzará el cohete tras 0 ; 7 segundos de vuelo? 2 Por razones de seguridad, el cohete debe explotar a una altitud superior a 40 metros. Determine el intervalo de tiempo al que debe pertenecer x para satisfacer esta re-stricción. Parte B Se modela la altura, en metros, alcanzada por los cohetes de tipo B en función de su tiempo de vuelo x , en décimas de segundo, mediante la función f definida para todo número real x perteneciente al intervalo 0 ; 20 : f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 10 · x + 8 Al igual que en el caso de los cohetes de tipo A , la explosión de los cohetes de tipo B debe producirse cuando estos se en-cuentran a una altitud superior o igual a 40 metros. Se busca determinar el intervalo en el que debe encontrarse x para sat-isfacer esta restricción. 1 a Demuestre que, para satisfacer la restricción planteada, x debe ser la solución de la desigualdad : − 0 ; 5 · x 2 +10 · x − 32 0 . b Elaborar la tabla de signos de la función que asocia x con − 0 ; 5 · x 2 +10 · x − 32 en el intervalo 0 ; 20 y respon-der al problema planteado. 2 a Para cualquier número real x del intervalo 0 ; 20 , calcular f ( x ) , siendo f la función derivada de f . b El pirotécnico desea conocer el coeficiente director de la tangente en el punto de abscisa 0 de la curva repre-sentativa de f . Indique el coeficiente directriz buscado. 3 Por razones estéticas, el pirotécnico desea hacer explotar sus cohetes de tipo B cuando alcancen la altura máxima. ¾Qué tiempo de vuelo antes de la explosión debe progra-mar? E.7711 Nos interesa la trayectoria de un balón de baloncesto lanzado por un jugador frente al tablero. Esta trayectoria se representa en el sistema de coordenadas que se muestra a continuación. En este sistema de coordenadas, el eje de abscisas corresponde a la recta que pasa por los pies del jugador y la base del tablero, y la unidad en ambos ejes es el metro. Suponemos que la posición inicial del balón se encuentra en el punto J y que la posición de la canasta se encuentra en el punto P . La trayectoria del balón se asimila a la curva C que repre-senta una función f . Las coordenadas del balón son, por lo tanto, ( x ; f ( x )) . 1 Estudio gráfico Utilizando la figura anterior, responda a las siguientes preguntas : a ¾Cuál es la altura del balón cuando x =0 ; 5 m ? b ¾Alcanza el balón la altura de 5 ; 5 m ? 2 Estudio de la función f La función f se define en el intervalo 0 ; 6 por: f ( x ) = − 0 ; 4 · x 2 + 2 ; 2 · x + 2 a Calcula f ( x ) , donde f es la derivada de la función f . b Estudiar el signo f ( x ) y deducir la tabla de variaciones de f en el intervalo 0 ; 6 . c ¾Cuál es la altura máxima que alcanza el balón en este lanzamiento? 3 Modificación del lanzamiento En realidad, el panel, representado por el segmento [ AB ] en la figura anterior, se encuentra a una distancia de 5 ; 3 m del jugador. El punto A se encuentra a una altura de 2 ; 9 m y el punto B se encuentra a una altura de 3 ; 5 m . El jugador decide modificar su lanzamiento para intentar que el balón rebote en el tablero. A continuación, realiza dos lanzamientos sucesivos. En el primer lanzamiento, la trayectoria del balón se mod-ela mediante la función g , definida en el intervalo 0 ; 6 por: g ( x ) = − 0 ; 2 · x 2 + 1 ; 2 · x + 2 En el segundo lanzamiento, la trayectoria del balón se modela mediante la función h definida en el intervalo 0 ; 6 por: h ( x ) = − 0 ; 3 · x 2 + 1 ; 8 · x + 2 Para cada uno de estos dos lanzamientos, determine si el balón rebota o no en el tablero. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7711 sacados/7711 Distance en mètres0123456Hauteur en mètres12345CfJPAB
123456789101112ABCDxRecetteCoûtBéné∏ce0020-2010299018528052030405060708090100 E.7710 En 2012 , el gerente de una cerve-cería situada junto a la playa ofrece un menú para el almuerzo a 9 ; 80 e . A este precio, sirve una media de 420 comensales por semana. Esta fórmula tiene tanto éxito que decide aumentar el precio los veranos siguientes. Observa una ligera disminución en el número de comensales, pero su fórmula sigue siendo rentable. 1 El número medio semanal de comensales en función del precio x del menú es : N ( x )= − 19 · x +604 El precio x del menú se expresa en euros. a Calcular el número medio semanal de comensales cuando el precio del menú es de 11 e . b Calcular la facturación semanal de la brasserie cuando el menú tiene un precio de 11 e . c Se indica C ( x ) la facturación semanal en euros para un precio del menú de x euros. Demostrar que : C ( x )= − 19 · x 2 +604 · x . 2 Consideramos la función c definida en el intervalo 0 ; 25 por: C ( x )= − 19 · x 2 +604 · x a Determinar la expresión de la función derivada C de C . b Indique el signo de C ( x ) en el intervalo 0 ; 25 . c Elabore la tabla de variaciones de la función C en el intervalo 0 ; 25 . 3 a ¾A qué precio del menú se maximiza la facturación semanal de la cervecería? Redondearemos el resultado al centésimo. b A este precio, ¾cuál es la facturación semanal de la cervecería? Redondearemos el resultado a la unidad. E.7712 Una empresa fabrica un modelo de muebles de madera. Puede producir un máximo de 100 muebles al día. Por cada x mueble fabricado y vendido, el coste de producción diario (expresado por día) , , indicado con C ( x ) , viene dado por: C ( x ) = 2 ; 25 · x 2 − 6 · x + 20 Cada mueble se vende por 299 e . La empresa está abierta cinco días a la semana. El director de la empresa ha elaborado la siguiente hoja de cálculo: 1 a Proporcione una fórmula que, al introducirla en la celda B2 , , permita obtener, al copiarla hacia abajo, los ingresos en función del número de muebles fabricados y vendidos cada día. b Indique una fórmula que, introducida en la celda C2 , , permita obtener, al copiarla hacia abajo, el coste en función del número de muebles fabricados y vendidos cada día. c Calcule los valores asociados a las celdas B7 , C7 et D7 . 2 Mostrar que el beneficio diario corresponde a la produc-ción y venta de x muebles ( x ∈ 0 ; 100 ) viene dado por: B ( x ) = − 2 ; 25 · x 2 + 305 · x − 20 3 Calcular B ( x ) y dar la tabla de variaciones de B sobre 0 ; 100 . 4 ¾Cuántos muebles hay que producir y vender para obtener el beneficio diario máximo? Determinar el beneficio máximo que puede obtener la empresa en un periodo de cuatro semanas. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7710 sacados/7710 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017 chapExoCorrec/7712 sacados/7712 Antilles-Guyane Juin 2015 123456789101112ABCDxRecetteCoûtBéné∏ce0020-2010299018528052030405060708090100