Bachillerato 1 -STMG / Número derivativo y función de tercer grado 32 ejercicios (100% corregidos)

a
x-2-1012y-112Cf x-2-1012y-2-1Cf 1. Tabla de signos E.11647 Complete las tablas de signos sigu-ientes : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ 2 − x 4 x − 3 (2 − x )(4 x − 3) E.11649 Construire le tableau de signes de cha-cune des expressions ci-dessous : a (2 x − 15)(2 x − 3) b x ( x + 1) E.11651 Construire le tableau de signe des ex-pressions : a ( − 2 x − 1)( x + 1) b ( − x + 2)( x + 3) E.11691 Complete las tablas de signos sigu-ientes : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ 2 − x 4 x − 3 (2 − x )(4 x − 3) 2. Recta y tangente E.7764 Consideremos la función f definida en el intervalo − 1 ; 25 ; 1 ; 75 por: f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 En el plano con punto de referencia que se muestra a contin-uación, damos la curva representativa C f de la función f : 1 Consideremos la recta ( d ) con ecuación : y = − 1 ; 25 · x +1 a Determina las coordenadas de dos puntos, elegidos al azar, de la recta ( d ) . b Dibuja la recta ( d ) en el sistema de referencia. 2 Considera la recta (Δ) con ecuación : y = 0 ; 75 · x + 1 ; 5 Traza la recta (Δ) en el sistema de referencia. 3 Completa las siguientes frases : a La recta ( d ) se . . . . . . . . . . . . . . . a la curva C f en el punto de abscisa . . . . . . b La recta (Δ) está . . . . . . . . . . . . . . . a la curva C f en el punto de abscisa . . . . . . E.7765 Consideremos la función f definida en el intervalo − 1 ; 75 ; 2 ; 25 por: f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 En el plano con punto de referencia que se muestra a contin-uación, damos la curva representativa C f de la función f : 1 Consideremos la recta ( d ) con ecuación : y = − 1 ; 5 · x +2 a Determina las coordenadas de dos puntos, elegidos al azar, de la recta ( d ) . b Dibuja la recta ( d ) en el sistema de referencia. 2 Considera la recta (Δ) con ecuación : y = 0 ; 25 · x − 0 ; 75 Traza la recta (Δ) en el sistema de referencia. 3 Completa las siguientes frases : a La recta ( d ) se . . . . . . . . . . . . . . . a la curva C f en el punto de abscisa . . . . . . b La recta (Δ) está . . . . . . . . . . . . . . . a la curva C f en el punto de abscisa . . . . . . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11647 sacados/11647 chapExoCorrec/11649 sacados/11649 chapExoCorrec/11651 sacados/11651 chapExoCorrec/11691 sacados/11691 chapExoCorrec/7764 sacados/7764 x-2-1012y-112Cf chapExoCorrec/7765 sacados/7765 x-2-1012y-2-1Cf
123456f(xa·x3b·x2c·xdabcdf(x3a·x2b·xc3·x3·x2xx3−x2·x−4x3−3·x2−x−2·x3;5·x2x−1x3x−x3−x2 3. Función derivada de tercer grado E.7864 Propuesta: una función f polinómica de tercer grado ad-mite una expresión de la forma : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + d donde a , b , c , d son números reales con a =0 La función f es derivable para cualquier número real ( x ∈ R ) y su función derivada f admite la expresión : f ( x ) = 3 a · x 2 + 2 b · x + c Copie y complete la tabla siguiente para obtener la expresión de la función f derivada de la función f : E.7766 Para cada una de las funciones siguientes, da la expresión de su función derivada : a f ( x ) = 2 · x 3 + x 2 + 4 · x + 1 b g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 + x − 4 c h ( x ) = − 4 · x 3 + x + 1 d j ( x ) = x 3 + 4 · x 2 + 1 e k ( x ) = − 3 x 3 + x 2 − 3 · x − 4 f ‘ ( x ) = x 2 + 3 · x − 3 E.7767 1 Consideremos la función f definida para cualquier número real ( x ∈ R ) por la relación: f ( x ) = 2 · x 3 − x 2 + 2 · x + 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. a Determinemos las coordenadas del punto A de la curva C f en el punto de abscisa 1 . b Se denota ( d ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 . Determinar el coeficiente director de la tangente ( d ) . 2 Consideramos la función f definida para todo número real ( x ∈ R ) por la relación: g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 − x − 2 Denotemos por C g la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. a Determinar las coordenadas del punto B de la curva C g en el punto de abscisa − 2 . b Se denota (Δ) la tangente a la curva C f en el punto B . Determinar el coeficiente directriz de la tangente (Δ) . E.11692 Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner l’expression de sa fonction dérivée : 1 f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 7 2 g ( x ) = − x 3 + 4 x 2 − 7 x + 4 4. Ecuación de la tangente E.7590 Definición : Sea f una función polinómica de grado 3 que admite la expresión : f ( x ) = a · x 3 + b · x + c · x + d donde los números a , b , c y d son números reales. Se denomina función derivada de la función f de ter-cer grado , a la función, denotada f , cuya expresión es : f ( x ) = 3 · a · x 2 + 2 · b · x + c f ( x ) = − 2 3 · x 3 − 3 · x 2 + x + 10 En un sistema de coordenadas O ; I ; J , se denota por C f la curva representativa de la función f . 1 a Determinar la expresión de la función derivada f de la función f . b Dar el valor de f ( − 3) . 2 a Dar las coordenadas del punto A de C f que tiene como abscisa − 3 . b Determina la expresión de la función lineal g que pasa por el punto de coordenadas ( − 3 ; − 2) y tiene 1 como coeficiente director. 3 Con ayuda de la calculadora, traza las curvas de estas dos funciones. ¾Qué observas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7864 sacados/7864 123456f(xa·x3b·x2c·xdabcdf(x3a·x2b·xc3·x3·x2xx3−x2·x−4x3−3·x2−x−2·x3;5·x2x−1x3x−x3−x2 chapExoCorrec/7766 sacados/7766 chapExoCorrec/7767 sacados/7767 chapExoCorrec/11692 sacados/11692 chapExoCorrec/7590 sacados/7590
-1I-2-1JOCf x-3-2-10y-2-11Cf x-4-3-2-10123y-4-3-2-112Cf E.7774 Consideremos la función f definida en el intervalo − 1 ; 25 ; 1 ; 5 por la relación: f ( x ) = − x 3 + x 2 + x − 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas siguiente : 1 Establecer que la función f derivada de la función f tiene como expresión : f ( x ) = − 3 · x 2 + 2 · x + 1 2 Determinar la imagen y el número derivado de − 0 ; 5 por la función f . 3 a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 0 ; 5 . b Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. E.7775 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 5 ; 0 ; 5 por la relación: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas siguiente : 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar los valores de f (0) y f (0) mediante la fun-ción f . 3 a Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0 . b Traza la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. E.7776 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 5 ; 2 ; 25 por la relación: f ( x ) = 0 ; 5 · x 3 + x 2 − 2 ; 5 · x − 3 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas siguiente : 1 Establecer que la función f derivada de la función f tiene como expresión : f ( x ) = 1 ; 5 · x 2 + 2 · x − 2 ; 5 2 a Determinar los valores de f ( − 2) y f ( − 2) . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . c Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. 3 a Determinar los valores de f (1) y f (1) . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . c Trace la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. 5. Tabla de variaciones con factorización dada https://chingmath.fr chapExoCorrec/7774 sacados/7774 -1I-2-1JOCf chapExoCorrec/7775 sacados/7775 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/7776 sacados/7776 x-4-3-2-10123y-4-3-2-112Cf
E.11655 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 5 x 3 − 6 x 2 − 3 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 15 x 2 − 12 x − 3 b Etablir que : f ( x ) = (3 x − 3)(5 x + 1) c Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11654 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 4 x 3 + 3 x 2 + 6 x − 5 1 a Montrer que : f ( x ) = − 12 x 2 + 6 x + 6 b Etablir que : f ( x ) = ( − 6 x + 6)(2 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11652 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 − 4 x − 2 b Etablir que : f ( x ) = (2 x − 2)(3 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11653 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 4 x − 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 3 x 2 − 8 x + 4 b Etablir que : f ( x ) = ( x − 2)(3 x − 2) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11693 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 + 6 x 2 − 18 x + 5 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 + 12 x − 18 b Etablir que : f ( x ) = (6 x − 6)( x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11694 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 8 x 3 + 15 x 2 + 9 x − 2 1 a Montrer que : f ( x ) = 24 x 2 + 30 x + 9 b Etablir que : f ( x ) = (6 x + 3)(4 x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11695 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 1 a Montrer que : f ( x ) = − 3 x 2 + 12 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 9)( x − 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11696 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 5 x 3 + 12 x 2 − 9 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = − 15 x 2 + 24 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 3)(5 x − 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . 6. Tabla de variaciones E.7803 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 3 por la expresión : f ( x ) = 4 · x 3 + 3 · x 2 − 6 · x + 1 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 a Resuelve la ecuación 12 · x 2 +6 · x − 6=0 b Dibuja la tabla de signos de la función f en el intervalo − 3 ; 3 3 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo − 3 ; 3 . E.7804 Consideremos la función f definida en el intervalo − 2 ; 4 por la expresión : f ( x ) = − 5 · x 3 − 6 · x 2 + 3 · x + 2 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 a Resuelve la ecuación − 15 · x 2 − 12 · x +3=0 b Dibuja la tabla de signos de la función f en el intervalo − 2 ; 4 3 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo − 2 ; 4 . 7. Problemas con una factorización dada E.11668 Une entreprise fabrique des croquettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre 0 et 80 tonnes. Le coût de fabrication, en euros, de x tonnes est modélisé par la fonction C définie par : C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Une tonne de croquettes est vendue 1 900 e . La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par une fonction R définie sur l’intervalle 0 ; 80 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11655 sacados/11655 chapExoCorrec/11654 sacados/11654 chapExoCorrec/11652 sacados/11652 chapExoCorrec/11653 sacados/11653 chapExoCorrec/11693 sacados/11693 chapExoCorrec/11694 sacados/11694 chapExoCorrec/11695 sacados/11695 chapExoCorrec/11696 sacados/11696 chapExoCorrec/7803 sacados/7803 chapExoCorrec/7804 sacados/7804 chapExoCorrec/11668 sacados/11668
-20-1001020304050-2000-10001000200030004000 1 a Pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 80 , donner l’expression de R ( x ) . b En déduire que le bénéfice réalisé par la vente de x tonnes de croquettes est donné par la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 80 par : B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Justifier que : B ( x ) = (180 − 3 x )( x − 10) 3 Justifier que le signe de B ( x ) est donné par le tableau suivant : x 0 10 60 80 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 80 . 5 Quelle doit être la quantité de croquettes que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice? E.11669 Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note x sa longueur exprimée en kilomètre, x étant un nombre com-pris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de x , par : C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 Le cours du marché offre un prix de 530 e le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise. Pour tout x ∈ 0 ; 10 , on note R ( x ) la recette et B ( x ) le béné-fice générés par la production et la vente de x kilomètres de tissu par l’entreprise. 1 Exprimer R ( x ) en fonction de x . 2 Montrer que pour tout x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Justifier que : B ( x ) = (90 − 15 x )(3 x + 2) 4 Étudier le signe de B ( x ) et en déduire les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . 5 a Pour quelle longueur de tissu produite et vendue l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? b Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal? E.11670 Partie A On considère les fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = 1 10 · x 3 − 6 · x 2 + 120 · x ; g ( x ) = 40 · x . 1 a Calculer le nombre dérivé f ( x ) et vérifier que : f ( x ) = 3 10 · ( x − 20) 2 . b Étudier le sens de variation de la fonction f sur R . c Calculer f (10) , f (20) et f (40) . 2 La courbe ( C f ) représentative de la fonction f est tracée sur la feuille annexe que l’on remettra avec la copie. a Déterminer une équation de la tangente T A à courbe ( C f ) au point A d’abscisse 10. b Montrer que la courbe ( C f ) et la courbe ( C g ) se coupent au point d’abscisse 40. c Tracer sur la feuille annexe la courbe ( C g ) représenta- tive de la fonction g . Partie B Le coût exprimé en euros d’une production est fonction du nombre d’unités x fabriquées est égal à f ( x ) où f est la fonc-tion étudiée dans la partie A . 1 Montrer que pour x unités produites et vendues 40 euros l’unité, le bénéfice en euros s’exprime par g ( x ) − f ( x ) . 2 a Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f ( x )= g ( x ) sur l’intervalle 0 ; 45 . On fera les traits de constructions utiles et on vérifiera que les valeurs entières lues sont solutions. b Déterminer l’intervalle auquel doit appartenir le nom-bre d’unités fabriquées x pour que l’entreprise soit bénéficiaire. E.7771 Una empresa fabrica cada día piezas metálicas para la industria automovilística. La pro-ducción diaria varía entre 0 y 25 piezas. El importe de los gastos correspondientes a la fabricación de x piezas, expresado en euros, se modela mediante la función C definida en el intervalo 0 ; 25 por: C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 Se supone que la empresa vende cada día su producción diaria. Cada pieza se vende al precio de 247 euros. 1 Se denota B la función beneficio, expresada en euros. Justifique que la expresión de B ( x ) en el intervalo 0 ; 25 es : B ( x ) = − x 3 + 30 · x 2 − 153 · x − 100 2 Se anota B la función derivada de la función B . Calcular B ( x ) , para cualquier número real x perteneciente al intervalo 0 ; 25 . 3 Justificar la siguiente tabla : x 0 3 17 + ∞ Signo de B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduzca la tabla completa de variaciones de la función B en el intervalo 0 ; 25 . 5 Determine el número de piezas que la empresa debe pro-ducir cada día para que el beneficio obtenido sea máximo. ¾Cuál es entonces ese beneficio máximo? https://chingmath.fr chapExoCorrec/11669 sacados/11669 chapExoCorrec/11670 sacados/11670 -20-1001020304050-2000-10001000200030004000 chapExoCorrec/7771 sacados/7771
x024681012141618202224262830y200040006000800010000 8. Problemas E.7772 Un estudio del INSEE ha enu-merado la evolución en Francia de los salarios netos medios anuales de 1990 a 2010 . Utilizando los datos de este estudio, se modela la evolución de los salarios netos medios anuales hasta 2020 : Para los hombres mediante la función h definida en 0 ; 30 por: h ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + 2 · x 2 + 318 · x + 17 865 Para las mujeres mediante la función f definida en 0 ; 30 por: f ( x ) = 0 ; 6 · x 3 − 13 · x 2 + 470 · x + 13 324 Así, h (0) designa el salario neto anual de los hombres en 1990 , f (1) designa el salario neto anual de las mujeres en 1991 , etc.. . . 1 Calcular h (15) y f (15) e interpretar los resultados. 2 Calcular la diferencia entre los salarios netos anuales medios previstos por este modelo entre hombres y mu-jeres en 2020 . 3 Mostrar que la diferencia entre estos dos salarios puede modelizarse mediante la función g definida en 0 ; 30 por: g ( x ) = − 0 ; 35 · x 3 + 15 · x 2 − 152 · x + 4 541 4 Se denota g la derivada de la función g . Calcular g ( x ) . 5 Determine el signo de g ( x ) en 0 ; 30 . 6 ¾Se puede afirmar que la diferencia entre los salarios ne-tos medios anuales de hombres y mujeres no ha hecho más que disminuir desde 1990 ? E.7773 Una empresa produce y vende un tejido de algodón rectangular de 1 metros de ancho ; se indica x su longitud expresada en kilómetros, siendo x un número comprendido entre 0 y 10 . El coste total de producción en euros de esta tela viene dado, en función de x , por: C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 El precio de mercado es de 530 e por kilómetro de tela fabri-cada por la empresa. Para todo x ∈ 0 ; 10 , se denota R ( x ) los ingresos y B ( x ) los beneficios generados por la producción y venta de x kilómet- ros de tejido por parte de la empresa. 1 Expresar R ( x ) en función de x . 2 Demuestre que para todo x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Determine B ( x ) para x ∈ 0 ; 10 , donde B designa la función derivada de B . 4 Estudiar el signo de B ( x ) y deducir las variaciones de la función B en 0 ; 10 . 5 a ¾Para qué longitud de tejido producido y vendido obtiene la empresa el máximo beneficio? b Indique entonces el valor de este beneficio máximo. E.7825 Una empresa fabrica croquetas para perros. Cada día fabrica entre 0 y 80 toneladas. El coste de fabricación, en euros, de x toneladas se modela me-diante la función C definida por: C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Una tonelada de croquetas se vende a 1 900 e . Los ingresos por la venta de x toneladas vienen dados por una función R definida en el intervalo 0 ; 80 . 1 a Para x perteneciente al intervalo 0 ; 80 , dar la ex-presión de R ( x ) . b Deduzca que el beneficio obtenido por la venta de x toneladas de croquetas viene dado por la función B definida en el intervalo 0 ; 80 por: B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Calcular B ( x ) donde B designa la derivada de la fun-ción B . 3 Justificar que el signo de B ( x ) viene dado por la sigu-iente tabla : x 0 10 60 80 Signo de B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduzca la tabla de variaciones de la función B en el intervalo 0 ; 80 . 5 ¾Cuál debe ser la cantidad de croquetas que debe vender la empresa para obtener el máximo beneficio? ¾Cuál es el valor de este beneficio? 9. Ejercicios no clasificados E.11676 Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 30] par : f ( x ) = − 2 x 3 + 60 x 2 + 2000 1 On note f la dérivée de f . Calculer f ( x ) pour x appar-tenant à [0 ; 30] . 2 Vérifier que f ( x ) = 6 x (20 − x ) pour x appartenant à [0 ; 30] , puis étudier le signe de f . 3 Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; 30] . 4 Tracer dans le même repère la droite D d’équation : y = 150 x + 4500 . 5 Déterminer graphiquement les coordonnées des points https://chingmath.fr chapExoCorrec/7772 sacados/7772 chapExoCorrec/7773 sacados/7773 chapExoCorrec/7825 sacados/7825 chapExoCorrec/11676 sacados/11676 x024681012141618202224262830y200040006000800010000
d’intersection de la courbe C et de la droite D . Partie B Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et organise une représentation de " Ubu Roi " d’Alfred Jarry. Le prix de location de la salle est de 4500 F. Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la popula-tion des environs, aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur radio locale. Soit x le nombre de jours de publicité. Pour x compris entre 0 et 20, la recette prévue est donnée par f ( x ) où f est la fonction définie dans la partie A. Chaque jour de publicité est facturé 150 F. 1 On fait un calcul sur 20 jours de publicité. a Quelle est la recette prévisible ? b Calculer les frais engagés : publicité et location. c Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est con-forme à la prévision. 2 Quel est le bénéfice si on prévoit 5 jours de publicité ? 3 Établir la formule donnant, en fonction du nombre x de jours de publicité, le montant total des frais engagés C ( x ) . 4 Combien de jours de publicité au minimum faut-il envis-ager pour que le bénéfice prévisible soit positif ou nul ? https://chingmath.fr