Bachillerato 1 -STMG / Polinomio de segundo grado 32 ejercicios (incluyendo 31 corregidos)

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ABCDMNx23EFGHPQRSOx22x3 -4-3-2-123I-3-2-12JOCfCg ..................xVariationde... ..................xVariationde... 1. Recordatorios de álgebras E.7182 Considera los dos rectángulos ABCD y EFGH que se muestran a continuación : 1 El rectángulo ABCD se ha dividido en dos rectángulos : AMND y BCNM . Las dimensiones vienen dadas : AM =2 ; MN = x ; AD =3 Justifica que el área A del rectángulo ABCD se puede expresar de dos formas : A = 3 · x + 6 ; A = 3 · x + 2 2 El rectángulo EFGH se ha dividido en cuatro rectángu-los : EPOR , PFSO , SGQO y QHRO . Se dan las siguientes medidas : EP = x ; PF =2 ; ER =3 ; RH =2 x Justifica que el área A del rectángulo EFGH se puede expresar de dos formas : A = 2 x 2 + 7 x + 6 ; A = 2 x + 3 x + 2 E.7129 Expande las siguientes expresiones : a 2 x + 1 x + 1 b 3 · 1 + x 2 · x + 3 c 2 x + 1 2 d 5 x + 2 x + 2 + 2 1 + x E.7176 Expande y reduce las siguientes expre-siones : a 3 · 2 · x + 3 + 2 · 4 x b 2 · x 1 2 3 · x E.7130 Para cada una de las ecuaciones sigu-ientes, comprueba si el número 2 es una solución de la misma : a 2 x + 5 = 5 x 1 b 2 x + 3 + 1 = 15 c 2 1 x 2 4 = 4 4 x d x 2 4 x + 1 = 3 E.7131 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 x + 3 = 6 b 5 x + 1 = 2 x + 7 c 3 x 4 = 7 x + 4 d x + 1 2 = 9 E.7177 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 3 · x + 2 = 7 x b 3 · ( x 2) 2 · (1 x ) = 0 E.7132 Consideremos dos funciones f y g repre-sentadas a continuación en un sistema de referencia O ; I ; J respectivamente por las curvas C f y C g : A continuación se muestran dos tablas de variaciones. Completa las líneas de puntos de cada una de estas tablas de variaciones. E.11428 1 a Consideremos la función f afín definida por: f ( x ) = 3 x 4 Completa la tabla de signos de la función f : x −∞ + f ( x ) b Consideremos la función g definida por: g ( x ) = 2 x + 1 Completa la tabla de signos de la función g : x −∞ + g ( x ) 2. Escribir un polinomio de segundo grado E.7158 Escribe cada uno de los polinomios sigu-ientes de la forma : a · x 2 + b · x + c a 3 · x 2 + 5 2 · x b 5 x + 3 · x 2 c 2 · x + 1 x 2 + 3 · x d 3 · x 2 1 + x + 3 e 2 · x 2 + x + 3 · 3 x f ( x + 1)(2 x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7182 sacados/7182 ABCDMNx23EFGHPQRSOx22x3 chapExoCorrec/7129 sacados/7129 chapExoCorrec/7176 sacados/7176 chapExoCorrec/7130 sacados/7130 chapExoCorrec/7131 sacados/7131 chapExoCorrec/7177 sacados/7177 chapExoCorrec/7132 sacados/7132 -4-3-2-123I-3-2-12JOCfCg ..................xVariationde... ..................xVariationde... chapExoCorrec/11428 sacados/11428 chapExoCorrec/7158 sacados/7158
E.7159 1 Expande las siguientes expresiones : a ( x 3)( x 1) b x 2 2 1 2 Expande las siguientes expresiones : a 2 · x + 2 x + 4 b 2 · x + 3 2 2 3 Expande las siguientes expresiones : a ( x 5)( x 1) b 4 x 3 2 3. Forma canónica E.7160 Propuesta-definición : para todo polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado, existen dos números reales ¸ y ˛ tales que : a · x 2 + b · x + c = a · x + ¸ 2 + ˛ Esta expresión se denomina forma canónica de este poli-nomio. 1 a Demostrar que x 3 2 4 es la forma canónica del polinomio x 2 6 · x +5 b Demostrar que x +1 2 4 es la forma canónica del poli-nomio x 2 +2 · x 3 c Demostrar que x 3 2 25 es la forma canónica del polinomio x 2 6 · x 16 Definición : Sea a · x 2 + b · x + c un polinomio de segundo grado. Se denominan raíces de este polinomio los números x cuya evaluación por el polinomio es 0 : a · x 2 + b · x + c = 0 Método: para determinar las raíces de un polinomio, se utiliza su forma canónica. Tomemos como ejemplo la expresión de la pregunta a : x 2 6 · x + 5 = 0 x 3 2 4 = 0 x 3 2 = 4 x 3 2 = 2 2 Utilizamos la siguiente propiedad : ˇ Dos números cuyos cuadrados son iguales son iguales o opuestos ı. De ello se deducen las dos ecuaciones : x 3 = 2 x = 2 + 3 x = 5 x 3 = 2 x = 2 + 3 x = 1 Así, el polinomio x 2 6 · x +5 admite las dos raíces 1 y 5 . 2 Utilizando el mismo método, b Demostrar que el polinomio x 2 +2 · x 3 admite como raíces 3 y 1 . c Demostrar que el polinomio x 2 6 · x 16 admite como raíces 2 y 8 . E.7178 Copia y completa las líneas de puntos en cada igualdad para obtener la forma canónica de cada uno de los polinomios: a x 2 + 4 · x 1 = x + 2 2 + : : : b 2 · x 2 8 · x + 10 = 2 · x : : : 2 + 2 E.7179 Deseamos resolver la ecuación : x 2 + 6 x 7=0 1 Establecemos la igualdad : x 2 + 6 x 7 = x + 3 2 16 2 Deduce las dos soluciones de la ecuación x 2 +6 · x 7=0 4. Discriminante E.7706 Definición : le El discriminante de un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado es un número que se calcula uti-lizando los coeficientes del polinomio: Δ = b 2 4 × a × c Complete la tabla siguiente para cada uno de los polinomios de segundo grado : a b c Δ= b 2 4 · a · c x 2 + x +1 0 ; 5 · x 2 +2 · x +1 x 2 +4 2 · x 2 3 · x 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7159 sacados/7159 chapExoCorrec/7160 sacados/7160 chapExoCorrec/7178 sacados/7178 chapExoCorrec/7179 sacados/7179 chapExoCorrec/7706 sacados/7706
<0Aucune solution01solutionb2·a>02solutionsb2·a;b2·a ABCDMNP32x2x E.7161 Completa la siguiente tabla para cada uno de los polinomios de segundo grado : a b c Δ= b 2 4 · a · c 2 · x 2 +5 · x +1 x 2 +7 · x +3 x 2 5 · x +4 2 · x 2 4 · x 1 x 2 x 1 x 2 +7 E.7162 Determina el discriminante de los poli-nomios de segundo grado siguientes : a x 2 + 2 x + 4 b 2 x 2 + 4 x + 1 c x 2 2 x + 1 d 2 x 2 + 2 x + 1 e x 2 x 1 f 3 x 2 + x 2 E.7180 Determina el discriminante de los sigu-ientes polinomios: a 2 · x 2 3 · x + 3 b x 2 + 5 · x 4 5. Ecuación de segundo grado E.7163 Definición : las raíces de un polinomio son los valores que anulan dicho polinomio. Propuesta : para un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado, el número de raíces existentes depende del discrimi-nante : Resuelve las siguientes ecuaciones : a x 2 + 2 x 35 = 0 b 2 x 2 + 8 x + 6 = 0 c 5 x 2 3 x + 2 = 0 d 9 x 2 24 x + 16 = 0 e 2 x 2 + 3 x 5 = 0 f 3 x 2 + 12 x + 9 = 0 E.7164 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 3 x 2 + 9 x + 6 = 0 b 3 x 2 4 x + 2 = 0 c x 2 + 2 x + 3 = 0 d 2 x 2 4 x + 2 = 0 e x 2 + 12 x + 27 = 0 f 2 x 2 + 12 x + 10 E.7181 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 x 2 + 2 x + 4 = 0 b 2 · x 2 4 · x + 2 = 0 E.7170 Denotamos x una medida indeterminada. Consideremos el rectángulo ABCD que se muestra a contin-uación donde : AM =3 ; MB =2 x ; AN =2 ; ND = x 1 En el caso particular en que x =2 , establece que el área A del rectángulo ABCD tiene la medida 28 . 2 Nos situamos en el caso general en el que x representa un número indeterminado : a Demostrar que el área A del rectángulo ABCD tiene el valor: A = 2 · x 2 + 7 · x + 6 b Determina el valor o valores de x para que el área A del rectángulo ABCD tenga el valor 36 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7161 sacados/7161 chapExoCorrec/7162 sacados/7162 chapExoCorrec/7180 sacados/7180 chapExoCorrec/7163 sacados/7163 <0Aucune solution01solutionb2·a>02solutionsb2·a;b2·a chapExoCorrec/7164 sacados/7164 chapExoCorrec/7181 sacados/7181 chapExoCorrec/7170 sacados/7170 ABCDMNP32x2x
ABCDxx64 IJOCfCg <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞x−∞x−∞b/2a0x−∞b/2a0x−∞αβ00x−∞αβ00 E.7171 Sea x una medida indeterminada y con-sideremos el rectángulo ABCD , de dimensiones 6 y 4 , que se muestra a continuación : donde un rectángulo, de área mostrada rayada, obtenido re-duciendo las dimensiones de ABCD en x . Nota A el área del rectángulo mostrado rayado. 1 Demuestra que el área A se expresa como: A = x 2 10 · x +24 2 Determina el valor de x para que A tenga el valor 8 . 6. Recordatorio de las mesas de firmas E.7173 Consideremos las dos funciones f y g definidas por: f ( x ) = x + 1 ; g ( x ) = 0 ; 5 · x 1 En el sistema de coordenadas O ; I ; J que se muestra a con-tinuación, se representan las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g . Sin justificación, complete las tablas de signos de las funciones f y g : x −∞ + f ( x ) x −∞ + g ( x ) E.7172 Completa la tabla de signos de cada una de las expresiones E : 1 x −∞ 3 1 2 + 2 x + 1 0 3 + x 0 E =(2 x +1)(3+ x ) 0 0 2 x −∞ 3 4 2 + x 2 4 x 3 altura0,75pt E =( x 2)(4 x 3) 3 x −∞ + 2 + x 2 x E = 2+ x 2 x 7. Tabla de signos E.7174 Propuesta: La tabla de signos de un polinomio de se-gundo grado depende del signo del coeficiente del término de segundo grado y del signo del discriminante. Las seis posibilidades se representan a continuación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7171 sacados/7171 ABCDxx64 chapExoCorrec/7173 sacados/7173 IJOCfCg chapExoCorrec/7172 sacados/7172 chapExoCorrec/7174 sacados/7174 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞x−∞x−∞b/2a0x−∞b/2a0x−∞αβ00x−∞αβ00
2m12xx5m 31;5·xxABCD Elabora la tabla de signos de cada una de las siguientes ex-presiones : a x 2 + x 6 b 2 · x 2 3 · x + 1 c 3 x 2 + 3 x 6 d x 2 + x + 2 e 2 x 2 + 12 x 18 f 3 x 2 5 x 2 E.7175 Elabora la tabla de signos de las sigu-ientes expresiones : a 2 · x 2 + 3 · x 5 b 6 · x 2 + x 1 c 2 · x 2 + 4 x + 6 d 3 · x 2 3 · x 1 8. Ecuaciones E.7198 Resuelve las siguientes inecuaciones : a x 2 3 x + 2 > 0 b x 2 x 2 < 0 c 9 x 2 + 12 x 4 0 d 5 x 2 + 4 x 1 < 0 e 4 x 2 + 2 x + 2 0 f x 2 + x 3 > 0 E.7199 Resuelve las siguientes inecuaciones : a x 2 + 5 x + 4 < 0 b x 2 x + 6 < 0 c 4 x 2 + 4 x + 1 > 0 d 2 x 2 + 5 x + 3 > 0 e 4 x 2 3 x + 2 0 f 12 x 2 + 12 x + 3 0 9. Problemas E.7200 Un granjero tiene en su campo un gallinero de forma rectangular y dimensiones 5 m y 2 m . De-sea construir un recinto (representado en línea de puntos) como se muestra en la figura siguiente con 17 m de valla: El gallinero se representa con la parte rayada, la valla se rep-resenta en línea de puntos y la parte exterior dedicada a las gallinas se representa con la parte blanca. Sea A el área de la parte exterior. 1 Justifier que el área A del espacio exterior tiene la expre-sión : A ( x )= x 2 +12 · x 10 2 Pour qué valores de x , el espacio exterior tiene un área de 25 m 2 . E.7201 Se desea construir un área de juego rect-angular a lo largo del lateral de un edificio bâ. Además, se desea que las dimensiones de este rectángulo sean mayores o iguales que 10 m . Esta zona de juego está rodeada en tres de sus lados por una 3 m pasarela ancha, como se muestra en el siguiente croquis. 1 Exprimer la superficie total del terreno de juego (incluida la ales) . 2 Pour cuyo valor de x , la superficie A mide 84 m 2 . 10. Compartir E.11622 Sur un axe gradué en mètres, on organise une course en-tre une tortue et un escargot. La tortue part du point d’abscisse x = 0 . Elle se déplace vers la droite à une vitesse de 2 mètres par minute. L’escargot part du point d’abscisse x = 12 . Il se déplace vers la droite à une vitesse de 50 centimètres par minute. Les deux concurrents partent en même temps. À quel endroit la tortue rattrapera-t-elle l’escargot ? (Toute trace de recherche, même infructueuse, sera prise en compte). https://chingmath.fr chapExoCorrec/7175 sacados/7175 chapExoCorrec/7198 sacados/7198 chapExoCorrec/7199 sacados/7199 chapExoCorrec/7200 sacados/7200 2m12xx5m chapExoCorrec/7201 sacados/7201 31;5·xxABCD chapExoCorrec/11622 sacados/11622
E.11623 1 Le volume d’un glacier diminue de 3 % chaque année. Si V ( n ) désigne le volume du glacier pour l’année n , on a: a V ( n + 1) = V ( n ) 0 ; 03 b V ( n + 1) = 0 ; 03 × V ( n ) c V ( n + 1) = 0 ; 97 × V ( n ) d V ( n + 1) = V ( n ) 0 ; 97 2 Dans un repère du plan on a représen une droite. Le coefficient directeur de cette droite est égal à: a 3 b 1 c 2 d 3 3 Dix stylos coûtent en tout 13 euros. Le prix de trois stylos est égal à: a 3,60 euros b 6,90 euros c 3,90 euros d 6,50 euros 4 Une athlète parcourt 1 km en 5 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne ? a 8 km/h b 10 km/h c 12 km/h d 14 km/h 5 Sur 60 personnes présentes à une exposition, on distingue trois groupes : groupe A: 30 personnes groupe B : 12 personnes groupe C : les autres. Quelle représentation décrit la situation ? 6 Donner un ordre de grandeur de 101 × 99 : a 100 b 1 000 c 10 000 d 100 000 7 Un prix augmente de 20% puis diminue de 20%. Après ces deux évolutions, on peut affirmer que : a Le prix est égal à sa valeur de départ. b Le prix est strictement supérieur à sa valeur de départ. c Le prix est strictement inférieur à sa valeur de départ. d On ne peut pas savoir: cela dépend de la valeur de départ. 8 Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de 2,3% ? a 1,23 b 0,977 c 0,77 d 1,023 9 Dans un lycée, 50 élèves étudient le Grec, ce qui représente 4% du nombre d’élèves inscrits dans ce lycée. Le nombre d’élèves inscrits dans ce lycée est égal à: a 2 b 200 c 125 d 1250 10 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 1 . L’image de 1 par la fonction f est égale à: a 0 b 2 c 2 d 4 https://chingmath.fr sacados/11623
11 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 5 x + 3 . Un antécédent de 0 par la fonction f est : a 1 b 1 c 0 d 2 12 On considère : A = 1 2 1 2 × 4 3 a A = 0 b A = 1 6 c A = 2 3 d A = 1 https://chingmath.fr