Bachillerato 1 / Competición olímpica 38 ejercicios (incluyendo 36 corregidos)

a
1. Comprender una nueva definición E.5940 Un número natural distinto de cero es un número de Harshad si es divisible por la suma de sus dígitos. Por ejemplo, n =24 es un número de Harshad porque la suma de sus dígitos es 2+4=6 , y 24 es efectivamente divisible por 6 . 1 a Demuestra que 364 es un número de Harshad. b ¾Cuál es el número entero más pequeño que no es un número de Harshad? 2 a Da un número de Harshad de 4 cifras. b Sea n un número entero distinto de cero. Sea un número de Harshad de n dígitos. E.5941 A partir de dos enteros posi-tivos, construye una lista de números donde cada número sea la suma de los dos anteriores. 1 Elige dos enteros positivos menores que 10 y determina los diez primeros números de la lista definida anterior-mente. 2 Un matemático afirma poder determinar rápida y exacta-mente la suma de los diez primeros números de cualquier lista así construida. Demuestre que, cualesquiera que sean los números de partida, esta suma es múltiplo de uno de los números de la lista cuya posición se determi-nará. E.5982 Una calculadora defectuosa solo permite: introducir números positivos o cero; realizar la siguiente operación: a partir de tres números introducidos sucesivamente ( x ; y ; z ) , muestra 0 si x = y y el resultado de z x − y en caso contrario. ( x ; y ; z ) −→ z x − y si x = y 0 si x = y el uso de paréntesis que permite componer cálculos. 1 Al detallar los cálculos, comprueba los siguientes resulta-dos dados por la calculadora: 0 ; 1 ; 2 ↦−→ − 2 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ↦−→ − 2 2 ¾Qué da 2 ; 0 ; 1 , 0 ; 2 ; 1 y 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ? 3 Da un cálculo que permita obtener − 1 . 4 Comprueba que el cálculo a ; 0 ; 1 permite obtener el inverso de a para cualquier a> 0 . 5 Proponer un cálculo que permita dividir dos números positivos : a b con a 0 y b> 0 . 6 Proponer un cálculo que permita multiplicar dos números positivos : a × b con a 0 y b 0 . E.8128 Medidas de ángulos aprox-imadas Se dice que un triángulo ABC es aproximadamente rectán-gulo en un vértice A si la medida del ángulo en A está en el intervalo 75 o ; 105 o . Se dice que un triángulo ABC es aproximadamente isósceles en un vértice A si las medidas de los ángulos en B y en C difieren de 15 o como máximo. 1 a ¾Un triángulo rectángulo es aproximadamente rec-tángulo? ¾Un triángulo isósceles es aproximadamente isósceles? b ¾Un triángulo puede ser rectángulo en dos vértices? ¾Aproximadamente rectángulo en dos vértices? En tal caso, cuando además es agudo (, es decir, todos sus ángulos son agudos) , , ¾es aproximadamente isósceles? 2 ¾Existe un triángulo agudo que no sea aproximadamente rectángulo ni aproximadamente isósceles? 3 Escriba un programa (en lenguaje natural o con calcu-ladora) , para copiar en su examen, que compruebe si un triángulo ABC del que se conocen los tres ángulos A , B y C es aproximadamente isósceles. Medidas de longitudes aproximadamente En esta parte, se supone que se ha dado una unidad de longi-tud en el plano y se adoptan las siguientes definiciones : Dos puntos son aproximadamente iguales si su distancia es menor o igual a 0 ; 1 Dos segmentos son aproximadamente de la misma longi-tud si sus longitudes difieren en 0 ; 1 o menos ; Un triángulo es aproximadamente equilátero si las longi-tudes de sus lados difieren, dos a dos, en 0 ; 1 o menos. 4 a ¾Puede un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide (exactamente) 1 ser aproximadamente equi-látero? b ¾Puede un triángulo rectángulo ser aproximadamente equilátero? 5 Consideremos un círculo, con centro O y radio (exacta-mente) 2 , y dos puntos de este círculo: A , fijo, y B , móvil. Llamamos I al punto medio del segmento OA ] y H a la proyección ortogonal de B sobre la recta ( OA ) . a Representa en una figura el conjunto de puntos B para los que H y I son aproximadamente iguales. Calcular la longitud (el resultado se redondeará al centésimo) . b Si H y I son aproximadamente iguales, ¾el triángulo AOB es aproximadamente equilátero? 2. Aritmética E.5942 1 a Partiendo de 12 589 y contando desde 29 hasta 29 , ¾se puede llegar al número 12 705 ? b Partiendo de 1 485 y contando de 29 en 29 , ¾se puede https://chingmath.fr chapExoCorrec/5940 sacados/5940 chapExoCorrec/5941 sacados/5941 chapExoCorrec/5982 sacados/5982 chapExoCorrec/8128 sacados/8128 chapExoCorrec/5942 sacados/5942
R00123456R10123456R20123456 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617 llegar al número 310 190 ? Explique su razonamiento. 2 ¾Cuál es el número entero positivo más pequeño a partir del cual, contando desde 29 hasta 29 , se puede llegar a 2013 ? 3 ¾Existen números enteros positivos menores que 2 013 a partir de los cuales sea posible alcanzar este número tanto contando de 29 a 29 como contando de 31 a 31 ? Si es así, encuéntralos todos. E.5943 Un contador se compone de tres ruedas dentadas, denominadas R 0 , R 1 y R 2 cada una con tres 7 muescas, numeradas de 0 a 6 . Este contador está diseñado de forma que : Las ruedas giran siempre de una muesca a la siguiente, en este orden : 0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→ 5 −→ 6 −→ 0 Lorsque la rueda R 0 completa una vuelta completa, es decir, cuando gira 7 muescas entonces la rueda R 1 gira una muesca. Cuando la rueda R 1 da una vuelta completa, es decir, cuando gira 7 muescas, entonces la rueda R 2 gira una muesca. Initialement, todas las ruedas R 0 , R 1 y R 2 muestran 0 . Entre cada pregunta, el contador se pone a cero, es decir, cada rueda muestra 0 . 1 On vuelve a girar la rueda R 0 por 15 muescas. ¾Qué números muestran entonces las ruedas? 2 La rueda R 0 gira 100 muescas. ¾Qué números muestran entonces las ruedas? 3 Giramos la rueda R 0 hasta que la rueda R 2 muestre 5 por primera vez. ¾Por cuántas muescas se ha girado R 0 ? 4 De ¾cuántas muescas hay que girar R 0 para que las ruedas vuelvan a mostrar 0 al mismo tiempo por primera vez? 5 On gira la rueda R 0 por 3 580 muescas. Cuáles son los números que muestran las ruedas? E.5968 Consideramos octógonos reg-ulares, de igual centro O . En los vértices del octógono central, escribimos los ocho primeros enteros distintos de cero. En los vértices del segundo octógono, anotamos los 8 primeros enteros siguientes, con un giro de 45 grados alrededor del punto O . Y así sucesivamente suite. . . Se dice que cada entero tiene una dirección ( A , B , C , D , E , F , G o H con respecto al origen O ) . Por ejemplo, 1 tiene la dirección A , 2 tiene la dirección B . . . He aquí una figura que representa los cuatro primeros octó-gonos : 1 ¾Cuál será el primer entero inscrito en el cuarto octó-gono? Especifica su dirección. 2 Determina el primer entero inscrito en el octavo octógono. Especifique su dirección. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5943 sacados/5943 R00123456R10123456R20123456 chapExoCorrec/5968 sacados/5968 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617
E.5984 Partimos de un número entero n estrictamente positivo: Si n es par, lo transformamos en n 2 . Si n es impar ( n> 1 ) , lo transformamos en 3 n +1 . Si n =1 , nos detenemosête. Ejemplos : Si n =6 , obtenemos la siguiente secuencia : 6 ↦−→ 3 ↦−→ 10 ↦−→ 5 ↦−→ 16 ↦−→ 8 ↦−→ 4 ↦−→ 2 ↦−→ 1 Si n =13 , obtenemos la siguiente secuencia : 13 ↦→ 40 ↦→ 20 ↦→ 10 ↦→ 5 ↦→ 16 ↦→ 8 ↦→ 4 ↦→ 2 ↦→ 1 Se ha observado, mediante un programa informático, que para cada número entero probado, la secuencia siempre da como resultado 1 . Sin embargo, este resultado aún no se ha de-mostrado. Por otra parte, podemos interesarnos por la longitud de esta secuencia, que anotaremos como L ( n ) . Por ejemplo : L (6)=9 et L (13)=10 . 1 Determinar L ( n ) para los números enteros que van de 1 a 12 . 2 Sea p un número entero, consideramos el número entero n =2 p . Expresar L ( n ) en función de p . 3 Encontrar un número entero n comprendido entre 2 2008 y 2 2009 tal que : L ( n )=2012 . Indicación : Se puede buscar un número de la forma 2 p × q . 4 Sea k un número entero distinto de cero. a Demostrar que : L (8 k +4)= L (6 k +4)+3 . b De même, demostrar que : L (8 k +5)= L (6 k +4)+3 . c Demostrar que : L (16 k +2)= L (16 k +3) E.8129 Un conjunto S de números racionales es un conjunto aritmético (abreviado EA) si para cualquier par ( a ; b ) con a y b pertenecientes a S , existe un elemento c de S tal que uno de los números a , b o c es la media aritmética (es decir, la mitad de la suma) de los otros dos. Se desea determinar todos los números enteros n estrictamente positivos para los que existe un EA con n elementos. 1 a ¾Son los siguientes conjuntos EA? Justificar. S 1 = 0 ; 1 ; 2 S 2 = 0 ; 1 ; 2 ; 3 S 3 = 0 ; 1 ; 2 ; 4 S 4 = 1 2 ; 3 2 ; 2 ; 5 2 ; 7 2 b Demuestre que no existe ningún conjunto elemental con dos elementos. ¾Qué hay de los singletons (con-junto con un solo elemento) ? c Da un EA con 5 elementos, incluido en el intervalo 0 ; 2 , y que contenga 0 , 1 , 2 . 2 a Además de a + b 2 , ¾cuáles son los otros dos racionales que hay que tener en cuenta para verificar que un par ( a ; b ) de elementos de S no incumple la definición de un EA? b Se desea escribir un algoritmo que compruebe si un con-junto es un EA. El conjunto S se decodifica en forma de lista S = S [1] ;:::;S [ n ] de tamaño n . Por ejemplo, la media aritmética del elemento i ième y del elemento j ième de S se escribe S [ i ]+ S [ j ] = 2 Además, disponemos de una función Pertenece(r,S) que devuelve Verdadero cuando el racional r pertenece a la lista S y Falso en caso contrario. Complete el esqueleto de la función siguiente (que debe copiar en su hoja de composición) para que devuelva Verdadero si, y solo si, S = S [1] ;:::;S [ n ] es un con-junto aritmético de longitud n . función TesterEA(S=[S[1],...,S[n]],n) Resultado ← Verdadero Para i de 1 a n Para j de 1 a n [...] Fin Para Fin Para Devolver(Resultado) 3. Ecuaciones y álgebra E.5971 Calcula la siguiente suma sin utilizar una calculadora: 1 2 − 2 2 − 3 2 + 4 2 + 5 2 − 6 2 − 7 2 + 8 2 + 9 2 − 10 2 − 11 2 + 12 2 + · · · + 2009 2 − 2010 2 − 2011 2 + 2012 2 E.5976 1 L , siendo S y V tres números reales positivos, muestran que las tripletas ( a ; b ; c ) soluciones del sistema : a + b + c = L ab + ac + bc = S abc = V son tales que a , b y c son soluciones de la ecuación : X 3 − L · X 2 + S · X − V = 0 2 Determina las dimensiones de un bloque recto cuya suma de las longitudes de todas sus aristas es 20 cm , la suma de las áreas de las seis caras es 14 cm 2 y cuyo volumen es 3 cm 3 . 3 ¾Cuáles son los volúmenes mínimo y máximo de un bloque recto cuya suma de las longitudes de todas las aristas es 20 cm , la suma de las áreas de las seis caras es 14 cm 2 ? 4. Geometría https://chingmath.fr chapExoCorrec/5984 sacados/5984 chapExoCorrec/8129 sacados/8129 chapExoCorrec/5971 sacados/5971 chapExoCorrec/5976 sacados/5976
ABC ABCDOMNPC ABCDEABCDEF hBb E.5969 A y B son dos puntos de una circunferencia de centro O y radio 5 tales que AB =6 . El cuadrado PQRS está inscrito en el sector angular OAB de modo que : P está en el radio [ OA ] ; S está en el radio [ OB ] ; Q y R son dos puntos del arco de círculo que une A y B . 1 Haz una figura correspondiente a la situación propuesta. 2 Calcula el área del cuadrado PQRS . E.5975 Se han colocado cinco cír-culos de radio 1 cm en un cuadrado como se mues-tra en el dibujo. Las circunferencias son tangentes entre sí y tan-gentes a los lados del cuadrado. Determina la longitud de uno de los lados del cuadrado. E.5977 Un granjero tiene un gran terreno junto a un muro y una valla. A lo largo de ese mismo muro, quiere construir un gallinero en forma de triángulo isósceles con vértice C . La valla no se colocará contra el muro. ¾Cuál es el área máxima del gallinero sabiendo que la alambrada tiene una longitud de 88 m ? (Podemos utilizar el ángulo en el vértice y el hecho de que sin „ · cos „ = sin(2 „ ) 2 ) E.5980 Damos una circunferencia C con centro O y dos diámetros perpen-diculares [ AB ] y [ CD ] . Siendo M un punto del segmento [ AB ] , trazamos ( CM ) que corta a la cir-cunferencia en N . La tangente en N a la circunfer-encia y la perpendicular en M a ( AB ) se intersecan en P . Demues-tra que : OP = CM . E.8167 El taller de metalurgia de un astillero corta piezas de diversas formas en placas de acero cuadradas que encarga a la laminadora. Para limitar las pérdidas de material y, por lo tanto, los costes de producción, el jefe del taller debe determinar de antemano el tamaño de las placas cuadradas que debe encargar en fun-ción de las piezas que se van a cortar. En algunos pedidos, solo se les comunica la forma y la super-ficie de las piezas que deben cortarse. En cada una de las tres partes siguientes, se estudia el corte de determinados tipos de piezas. Estas partes pueden tratarse de forma independiente unas de otras. Indicación : se redondearán, si es necesario, las longitudes a mm y las superficies a cm 2 . Parte 1: Corte de piezas triangulares El taller debe producir una pieza con forma de triángulo equi-látero con una superficie de 20 m 2 . El jefe de taller baraja dos soluciones de corte, tal y como se ilustra en los siguientes esquemas : Se denomina a al lado del triángulo y c al lado del cuadrado. 1 Esquema n o 1: a Expresar la altura h en función de a . b Deduzca el lado a del cuadrado que se debe construir para cumplir con las restricciones c Calcule la superficie de acero perdida con este método. 2 Esquema n o 2: a Justificar que el ángulo BAE mide 15 o . b Deduzca el lado c del cuadrado que debe pedir. c Calcular la superficie de acero perdida con este método. d ¾Cuál es el porcentaje de acero ganado en comparación con la primera propuesta de corte? 5. Geometría y álgebra E.5967 Reminder : Área de un trapecio A = ( B + b ) × h 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5969 sacados/5969 chapExoCorrec/5975 sacados/5975 chapExoCorrec/5977 sacados/5977 ABC chapExoCorrec/5980 sacados/5980 ABCDOMNPC chapExoCorrec/8167 sacados/8167 ABCDEABCDEF chapExoCorrec/5967 sacados/5967 hBb
ABCDFGH ABCDFGHEsituation1:L>2 ABCDFGHEsituation2:L<2 IJKO25%35%40% ABOMNCC LABCDEFG xyBAMHJDC xyBAMHJEC xyABCDHJKMNP Una pizza rectangular ABCD tiene corteza en dos lados con-secutivos, [ DA ] y [ AB ] . Estamos viendo cómo dividir la pizza en tres trozos justos : cada trozo debe tener la misma longitud de corteza y la misma área. En cada situación, fijamos la longitud del lado corto AD =1 . 1 En el caso particular opuesto, se supone que el reparto con-seguido es equitativo. ¾Cuál es la longitud AB ? Determina las longitudes : DF , FH y HC . 2 Esto se generaliza planteando AB = L (y suponiendo siempre AD =1 ) . Determina, para cada una de las situaciones siguientes, las longitudes útiles para cortar la pizza por igual. E.5970 En un cuadrado de lado 10 cm , queremos realizar un gráfico es-tadístico en el que las áreas de las 3 partes sean proporcionales a las frecuencias que representan ( O es el centro del cuadrado) . El punto I está a 2 cm del vértice más cercano. Calcular las distancias de J y K a los vértices del cuadrado más cercanos. E.5978 Consideremos un triángulo equi-látero OAB . Sea R la medida de los lados del triángulo OAB . Sea C la circunferencia con centro O que pasa por el punto A . Sea x un número real tal que 0 <x< R 2 . Situamos el punto M en el segmento [ AB ] verificando : AM = x . Consideremos la circunferencia C de centro M y tangente a la circunferencia C en el punto N . Expresa el radio de la circunferencia C en función de R y x . E.8351 Espacio ocupado por una serie de discos Se coloca en una estantería una serie de discos de madera del mismo grosor, cuyos radios pueden ser diferentes. La lig-era inclinación de la estantería garantiza que cada disco esté en contacto con uno o varios de los vecinos. El objetivo del problema es estudiar las disposiciones que minimizan el espa-cio ocupado L . 1 Caso de dos discos : Two discs (centered at A and B , with radii R and r , such that r R ) are tangent at H and J to the line ( xy ) , see the figure below : a Express in terms of R the maximum radius of the small disk r for which the space occupied by the two disks is the same as that occupied by the large disk alone (see the figure below) : Hint: you may need to solve a quadratic equation with unknown x = x b If r is greater than this maximum, establish that the space occupied by the two discs is : L = R + r + 2 · R · 2 Case of three discs : a Three discs, with centers A , B , and C and radii p , q , and r are tangent to the same line and tangent to each other in pairs (see the figure below) . The space oc-cupied is therefore equal to that occupied by the two outer discs alone Express the radius q of the inner disc in terms of the radii p and r of the outer discs. b En esta pregunta, los tres discos son tangentes a una misma recta y, de izquierda a derecha (en el orden de https://chingmath.fr ABCDFGH ABCDFGHEsituation1:L>2 ABCDFGHEsituation2:L<2 chapExoCorrec/5970 sacados/5970 IJKO25%35%40% chapExoCorrec/5978 sacados/5978 ABOMNCC sacados/8351 Extrait Asie Pacifique 2019 LABCDEFG xyBAMHJDC xyBAMHJEC xyABCDHJKMNP
431432 sus centros) , , el círculo con centro A es tangente al círculo de centro B , que a su vez es tangente al círculo de centro C , que no tiene ningún punto en común con el círculo de centro A . Expresar el espacio ocupado por estos tres discos en función de sus radios p , q y r . c Intercambiamos las posiciones de los discos de centro B y C y suponemos, como en b , que el disco central separa a sus dos vecinos. ¾Cuál es el nuevo espacio ocupado? Siguiendo con la hipótesis planteada en b et c , , suponemos además que p q r . Colocamos los dis-cos en el orden A - B - C , A - C - B y B - A - C (disposición en orden decreciente de radios, o el más pequeño en el centro o el más grande en el centro) . d Demostrar que la disposición A - B - C crea el máximo espacio ocupado. e Demostrar que la disposición B - A - C crea el mínimo espacio ocupado si y solo si : q − r p − q . 6. Probabilidad E.5983 Un dado tetraédrico tiene cuatro caras, como el dado que se muestra aquí. Cuando se lanza un dado de este tipo, el resultado es el número más cercano a la base tetraédrica. En nuestro ejemplo, el dado tetraédrico ha caído en la cara 4 . Antoine, Baptiste, Cyril y Diane juegan con cuatro dados tetraédricos regulares y equilibrados, pero que no están nu-merados de la forma habitual. Así, el dado de Antoine tiene cuatro caras numeradas 1 , 6 , 6 y 6 . Con este dado, el número 1 se obtiene con una probabilidad de 1 4 y el número 6 con una probabilidad de 3 4 . El dado de Baptiste está numerado 4 , 4 , 5 y 5 ; el de Cyril 3 , 3 , 3 y 8 ; y, por último, el de Diane 2 , 2 , 7 y 7 . 1 Cada jugador lanza este dado tetraédrico una vez. ¾Quién tiene más posibilidades de obtener un número superior o igual a 6 ? 2 Los jugadores comienzan una serie de duelos : Antoine juega contra Baptiste, Baptiste juega contra Cyril, Cyril juega contra Diane, Diane juega contra Antoine. El ganador de cada duelo es el jugador que ha obtenido el resultado más alto. a Demuestra que en el primer duelo Antoine gana contra Baptiste con una probabilidad de 3 4 b Da las probabilidades de ganar de los jugadores en los otros tres duelos. 3 Antoine, Baptiste, Cyril y Diane lanzan simultáneamente sus dados. El que obtenga el número más alto de los cu-atro jugadores gana. a Demuestra que la probabilidad de que Baptiste gane es igual a 3 32 . b ¾Quién tiene más posibilidades de ganar este juego? E.8130 Sea n un número natural mayor o igual a 2 . Se dispone de una urna que contiene n bolas que pueden ser de diferentes colores. El juego consiste en sacar al azar una bola de la urna y, sin volver a colocarla en la urna, sacar una segunda bola. El ju-gador gana cuando las dos bolas sacadas son del mismo color. Se admite que, en cada extracción, todas las bolas de la urna tienen la misma probabilidad de ser extraídas. Se dice que el juego es justo cuando la probabilidad P G de que el jugador gane es igual a 1 2 . 1 a Demuestra que si la urna contiene 10 bolas, de las cuales 4 son blancas y 6 son rojas, entonces P G = 7 15 . b Calcular P G cuando la urna contiene 12 bolas, de las cuales 4 son blancas, 6 rojas y 2 negras. 2 En esta pregunta, la urna contiene 6 bolas rojas y otras bolas que son todas blancas. a Sea x el número de bolas blancas que contiene la urna. Demuestra que : P G = x x − 1 +30 x +6 x +5 b ¾Cuántas bolas blancas se necesitarían para que el juego fuera justo? 3 En esta pregunta, la urna solo contiene bolas de dos col-ores diferentes. a Supongamos que la urna tiene la configuración ( a ; b ) , es decir, que contiene, por ejemplo, a bolas rojas y b bolas blancas. Demuestra que el juego es justo cuando n = a − b 2 . b Recíprocamente, demuestre que si n es el cuadrado de un número entero p , entonces existen dos números nat-urales a y b con a b que se expresará en función de p , de modo que la configuración ( a ; b ) conduzca a un juego equitativo. c Dar seis pares ( a ; b ) que conduzcan a un juego equi-tativo. 7. Anuarios de todas las series https://chingmath.fr chapExoCorrec/5983 sacados/5983 431432 chapExoCorrec/8130 sacados/8130
MH(D R¸ OA EABCDO E.5929 Se dice que un número entero es digisible cuando se verifican las tres condiciones siguientes : ninguno de sus dígitos es cero; se escribe con todos los dígitos diferentes ; es divisible por cada uno de ellos. Por ejemplo, 24 es digisible , ya que es divisible por 2 y por 4 . 324 es digisible , pues es divisible por 3 , por 2 y por 4 . 32 no es digisible , porque no es divisible por 3 . Recordemos que un número entero es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3 . 1 Proponga otro número digisible con dos cifras. 2 a Indique todos los divisores de una cifra del número 1000 . b Deduce un número digisible a cuatro cifras. 3 Sea n un número entero digisible escrito con un 5 . a Demuestra que 5 es el dígito de sus unidades. b Demostrar que todos los dígitos de n son impares. c Demuestra que n se escribe con, a lo sumo, cuatro dígi-tos. d Determine el mayor entero digisible escrito con una 5 . E.5930 Definición : Se denomina distancia entre un punto M y una recta ( D ) la distancia MH , donde H es el punto de intersección de ( D ) con la recta per-pendicular a ( D ) que pasa por M . En la figura adjunta, si el radio del disco es R y si el ángulo del sector an-gular sombreado mide ¸ (en grados) , , entonces el área de la porción som-breada del disco es : ı · ¸ · R 2 360 . En la parte 2 del ejercicio, consider-aremos la distancia de un punto M a un segmento [ BC ] como la distancia del punto M a la recta ( BC ) . Parte 1 Sea C un círculo con cen-tro O , A un punto de este círculo y D el disco delim-itado por este círculo. 1 Reproduce la figura y representa el conjunto de puntos del disco equidistantes de O y A . 2 Sombrea el conjunto de puntos del disco más cercanos a O que a A . 3 Sea M un punto determinado aleatoriamente de forma equiprobable en la superficie del disco D . ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de A ? Parte 2 Sea ABCD un rectángulo de longitud AB =20 cm y anchura BC =12 cm , con centro O Sea E un punto situado en el interior del rectángulo, cercano a A , a 2 cm de cada borde (como se muestra en la siguiente figura, que sin embargo no está a escala) . Sea M un punto determinado aleatoriamente de manera equiprobable dentro del rectángulo ABCD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5929 sacados/5929 chapExoCorrec/5930 sacados/5930 MH(D R¸ OA EABCDO
1 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ BC ] que del lado [ AD ] ? 2 a Reproduce el rectángulo y representa el conjunto de puntos interiores al rectángulo y equidistantes de los lados [ AB ] y [ BC ] . b Sombrea el conjunto de puntos interiores al rectángulo y más cercanos al lado [ BC ] que al lado [ AB ] . c ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ BC ] que del lado [ AB ] ? 3 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ AB ] que de los tres lados [ BC ] , [ CD ] y [ DA ] ? 4 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de E ? 5 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de los cuatro vértices A , B , C y D ? E.5931 I. Un primer algoritmo Este es un algoritmo aplicable a números enteros de tres cifras en los que la cifra de las centenas no es igual a la de las unidades : Paso 1 : Invertir el orden de los dígitos (por ejemplo, 275 se convierte en 572 ) Paso 2 : Calcular la diferencia entre el mayor y el menor de estos dos números. Paso 3 : Repetir el paso 1 con el número obtenido. Paso 4 : Sumar estos dos últimos números 1 a Aplicar el algoritmo a los números 123 , 448 y 946 . b ¾Qué se puede conjeturar? 2 Para implementar este algoritmo, el paso 2 , implícito cuando se realizan los cálculos ˇa manoı , , requiere diso-ciar el número entero introducido : aislar la cifra de las unidades, la de las decenas y luego la de las centenas. Complete la siguiente función, derivada de un algoritmo, cuyo argumento n es un número entero natural de 3 dígi-tos y cuya función es realizar esta disociación. Para esta función, a es la cifra de las centenas, b la de las dece-nas y c la de las unidades del número n que se desea descomponer. Función f(n) a ← 0 b ← 0 c ← 0 Mientras n 100 a ← a+1 n ← n − 100 Fin Mientras que Mientras que n ...... b ← ...... ...... ← ...... Fin Mientras que c ← ...... Devolver a ; b ; c 3 Ahora nos proponemos demostrar la conjetura estable-cida en 1 b . Para ello, elegimos un número de tres cifras que escribi-mos abc donde a , b y c son, por lo tanto, números enteros comprendidos entre 0 y 9 y representan, respectivamente, las centenas, las decenas y las unidades de n . Sin perder generalidad, podemos suponer que a<c a Descomponer abc según las potencias de 10 . b Dar el número obtenido tras el paso 1 en su forma descompuesta. c Demostrar que el número obtenido tras el paso 2 se puede escribir : ( c − a − 1) × 100 + 9 × 10 + 10 + a − c d Aplicar los pasos 3 y 4 y concluir. II. El algoritmo de Kaprekar En matemáticas, el algoritmo de Kaprekar es un algoritmo descubierto en 1949 por el matemático indio DR. Kaprekar para números enteros de cuatro dígitos, pero que puede gen-eralizarse a todos los números enteros. Aquí lo estudiaremos para números enteros de tres dígitos, siendo todos estos dígi-tos distintos. El algoritmo de Kaprekar consiste en asociar a cualquier número entero n otro número K ( n ) generado de la siguiente manera : Paso 1: A partir de los dígitos que componen n , for-mar el mayor número posible. Lo anotamos como G Paso 2: A partir de los dígitos que componen n , for-mar el menor número posible. Lo anotamos como P Paso 3: K ( n ) es entonces igual a la diferencia G − P Por ejemplo, partiendo de 539 , tenemos : G =953 y P =359 . Por lo tanto : K (539)=953 − 359=594 . 1 a Calcular K (198) , K (357) y K (495) . b Escribir un algoritmo cuya entrada sea un número n de tres cifras todas distintas y cuya salida sea K ( n ) . Para separar las cifras de las unidades, las decenas y las centenas, podemos utilizar el algoritmo de la parte I . c Aplicar el algoritmo de Kaprekar partiendo del número 198 y repitiéndolo tantas veces como sea necesario. Repetir con otros números de tres cifras, todos dis-tintos. ¾Qué se puede conjeturar? 2 Se propone demostrar la conjetura planteada en la pre-gunta 1 . Para ello, se elige un número entero n compuesto por tres dígitos y se escribe abc donde a , b y c son, por lo tanto, números enteros distintos comprendidos entre 0 y 9 que representan, respectivamente, las centenas, las decenas y las unidades de n . a Explique por qué se puede suponer, sin perder gener-alidad, que a<b<c . b Demuestre que : K ( n )=99( c − a ) . c Demuestre la conjetura y especifique el número máx-imo de iteraciones necesarias. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5931 sacados/5931
ABCD E.5932 Una mariquita se desplaza por los la-dos de un cuadrado ABCD partiendo del punto A . Puede caminar hacia atrás si lo desea. Se denomina desplazamiento a cualquier recorrido de la mariquita a lo largo de un lado del cuadrado. Una marcha se compone de desplazamien-tos, de la siguiente manera : A −→ B −→ A −→ D −→ C es una marcha de cuatro desplazamientos cuyo punto de lle-gada es el punto C . Parte A En esta parte, la mariquita se desplaza aleatoriamente por los lados de un cuadrado ABCD y se considera que todos sus desplazamientos son equiprobables. 1 a ¾Puede la mariquita llegar al punto B en tres de-splazamientos? b ¾Cuáles son las llegadas posibles para un recorrido de tres movimientos? c ¾Cuáles son las llegadas posibles si el recorrido cuenta con un número par de movimientos? d ¾Cuáles son las llegadas posibles si el recorrido cuenta con un número impar de movimientos? 2 En esta pregunta, la mariquita realiza dos movimientos. Utilizando un árbol, calcule la probabilidad del evento A 2 : ˇ la mariquita llega a A realizando dos desplazamien-tos ı. 3 Reproduzca y complete la tabla siguiente : Número de movimientos de la marcha 1 2 3 4 5 Probabilidad de que la mariquita llegue a A Parte B En esta parte, la mariquita siempre se desplaza por los lados del cuadrado ABCD partiendo del punto A , pero tiene el doble de posibilidades de desplazarse verticalmente que hori-zontalmente. Siempre puede caminar hacia atrás si lo desea. Sin embargo, decide detenerse tan pronto como vuelve a A . 1 En esta pregunta, la mariquita realiza exactamente dos movimientos. a Calcular la probabilidad del evento A 2 : ˇ el escarabajo llega a A realizando dos desplazamientos ı. b Calcular la probabilidad del evento C 2 : ˇ la mariquita llega a C realizando dos desplazamientos ı. 2 a Calcular la probabilidad del evento A 4 : ˇ la mariq-uita llega a A realizando exactamente cuatro desplaza- mientos ı. b Calcular la probabilidad del evento A 6 : ˇ la mariquita llega a A realizando exactamente seis desplazamien-tos ı. 3 Sea n un número natural mayor o igual a dos a Se denota A 2 n el evento : ˇ la mariquita llega a A real-izando exactamente 2 n desplazamientos ı y P ( A 2 n ) la probabilidad de este evento. Expresar P ( A 2 n ) en función de n . Sea q un número real distinto de 1 y n un número entero nat-ural distinto de cero. Recordemos que : 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1 − q n +1 1 − q b Denotemos por G 2 n el evento : ˇ el escarabajo llega a A realizando como máximo 2 n desplazamientos ı. Ex-presar en función de n la probabilidad de G 2 n indicada por P ( G 2 n ) . c ¾Cuál es el número entero más pequeño n tal que : P ( G n ) 0 ; 9999 ? E.5938 Supongamos que existe una función f definida sobre el conjunto de los números naturales N que verifica la propiedad : ( E ) : para todos los x y y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Preliminar Demostrar que f (0)=1 . Se podrán admitir los resultados en las siguientes partes. A. Estudio de un primer ejemplo : Supongamos aquí que : f (1)=3 . 1 Calcular f (2) y luego f (3) . 2 Demostrar mediante dos cálculos distintos que f (4)=60 y que f (4)=63 . Concluir. B. Estudio de un segundo ejemplo : Supongamos aquí que : f (1)=0 . 1 Calcular f (2) , f (3) y f (4) . 2 Conjeturar la expresión de f ( n ) en función de n . 3 Demuestre esta conjetura. 4 Demuestre que para la función encontrada en 2 et 3 se cumple la propiedad ( E ) . C. Caso general Primera parte : se anota f (1) = a 1 Expresar f (2) y f (3) en función de a . 2 Expresar f (4) en función de a de dos maneras diferentes. 3 Deduzca que : a =0 ou a =2 . Segunda parte : estudiamos el segundo caso : Supongamos aquí que : f (1)=2 . Expresar f ( n ) en función de n . 8. Serie Annales S https://chingmath.fr chapExoCorrec/5932 sacados/5932 ABCD chapExoCorrec/5938 sacados/5938
„oER ER E.5934 Pedro y su hija Eloísa cami-nan por una carretera horizontal. En un punto R , este camino desciende formando un ángulo „ de 5 o con la horizontal (ver figura) . Eloísa, cuyos ojos están a 1 ; 6 metros del suelo, se detiene en un punto E , a 24 metros del punto R . Su padre sigue caminando, pasa por el punto R y luego entra en la parte inclinada del camino. 1 Cuando está a 86 metros de R , desaparece de la vista de su hija. Determina la altura de Pedro. 2 En la parte inclinada de la carretera, hay postes 6 ; 5 met-ros de altura plantados verticalmente cada 28 metros, como en el diagrama siguiente. El pie del primer poste está a 28 metros del punto R . Se supone que los postes no pueden esconderse unos de otros. Cuántos postes puede ver Eloísa desde donde está parada? 3 ¾Cuál es, en realidad, la medida del ángulo „ , dado que Eloísa sólo puede ver 5 polos? Podríamos utilizar la fórmula : 1+ tan „ 2 = 1 cos „ 2 Daremos el valor de „ , redondeado al 10 − 3 más próximo. E.5936 Tres números naturales dis-tintos a , b , c ordenados en orden estrictamente as-cendente , a<b<c , forman una progresión aritmética si : c − b = b − a Entonces se dice que ( a ; b ; c ) es un triplete aritmético. 1 Completa los siguientes tripletes aritméticos: a (57 ; 101 ; : : : ) b 57 ; : : : ; 101 c : : : ; 57 ; 101 2 a ¾Se puede encontrar un triplete aritmético ( a ; b ; c ) cuya suma sea 2012 ? b ¾Cuántos tripletes aritméticos ( a ; b ; c ) hay cuya suma es 2013 ? 3 Tomamos al azar tres números enteros a , b , c en 1 , 2 , 3 , . . . , 10 con a<b<c . ¾Cuál es la probabilidad de que ( a ; b ; c ) sea un triplete aritmético? 4 Recordemos que un número natural p es primo si p 2 y si sus únicos divisores positivos son 1 y p . a ¾Cuáles son los cinco números primos más pequeños? b Da un trío aritmético ( a ; b ; c ) formado por números primos. ¾Es este trío aquel para el que la suma a + b + c es mínima? Se pide justificar la respuesta. Si no es así, encuentra los tres números primos a<b<c en pro-gresión aritmética y de suma mínima. c ¾Se puede encontrar un triplete aritmético ( a ; b ; c ) compuesto únicamente por números enteros primos y cuya suma a + b + c sea igual a 366 ? 5 Sea n un número natural mayor o igual a 3 Se nos da una lista [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a n ] de números enteros ordenados es-trictamente ascendente. Queremos saber si tres de sus términos consecutivos forman un triplete aritmético. a Solo en esta pregunta , la lista es [1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 27 ; 32 ; 39 ; 45] . ¾Contiene un triplete aritmético formado por tres tér-minos consecutivos? b Volvemos al caso general de una lista [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a n ] , de números enteros ordenados estrictamente ascendente. Escribir un algoritmo que muestre, si existe, el primer triplete aritmético formado por tres términos consecu-tivos. c Con la calculadora, programe y pruebe este algoritmo en la lista [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a 20 ] donde, para 1 k 20 : a k = − k 3 + 36 k 2 + 9 k No se pide verificar que esta lista esté formada por números naturales ordenados estrictamente en orden ascendente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5934 sacados/5934 „oER ER chapExoCorrec/5936 sacados/5936
24 E.8131 Se lanzan dos dados D a y D b sucesivamente y de forma independiente ; se tiene en cuenta la suma de los puntos obtenidos y su probabilidad de apari-ción. Por ejemplo, con dos dados estándar de seis caras, si la primera tirada da 1 y la segunda también 1 , el total será 1+1=2 y su probabilidad de aparición 1 12 . El estudio estadís-tico de estas sumas puede intervenir en algunos juegos de azar, como el juego de la oca, por ejemplo. Los dados considerados son tetraédricos, como en el esquema adjunto. En la pre-gunta 1 et 2 , , sus cuatro caras son es-tándar, numeradas 1 , 2 , 3 , 4 . 1 Indique las tres formas de obtener un total de 6 y de-duzca que la probabilidad de obtener un total de 6 es 3 16 . 2 Indique los diferentes totales que se pueden alcanzar de esta manera y, a continuación, sus probabilidades de aparición. ¾Qué indican los coeficientes de la expresión polinómica: P ( x )= x + x 2 + x 3 + x 4 2 una vez desarrollada? Explique. Para mayor originalidad, ahora tomamos dados no estándar : un dado D 1 con caras numeradas 1 , 1 , 2 , 5 y un dado D 2 con las caras numeradas 1 , 4 , 4 , 4 . 3 ¾Cuál es la probabilidad de obtener un total de 6 ? En general, el dado D a tiene cuatro caras cuyos valores a 1 , a 2 , a 3 , a 4 verifican 1 a 1 a 2 a 3 a 4 y se almacenan en una tabla t a = a 1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 . Del mismo modo, el dado D b tiene cuatro caras b 1 , b 2 , b 3 , b 4 comprueban 1 b 1 b 2 b 3 b 4 y se almacenan en la tabla t b = b 1 ;b 2 ;b 3 ;b 4 . Se definen las cantidades polinómicas: A ( x ) = x a 1 + x a 2 + x a 3 + x a 4 y B ( x ) = x b 1 + x b 2 + x b 3 + x b 4 Por ejemplo, los dados de la pregunta 3 dan lugar a: t a = [1 ; 1 ; 2 ; 5] t b = [1 ; 4 ; 4 ; 4] A ( x ) = 2 x + x 2 + x 5 B ( x ) = x + 3 x 4 4 Determinar t a , t b , A ( x ) , B ( x ) asociados a los dados D a y D b de caras 1 , 2 , 2 , 3 y 1 , 3 , 3 , 5 . 5 El siguiente algoritmo (, que se puede ampliar a dados grandes) , devuelve el coeficiente de x k en el producto : x p x b 1 + x b 2 + x b 3 + x b 4 . Coef ← 0 Para j que va de 1 a 4 Si p+t b [j]=k entonces Coef ← Coef+1 Fin Si Fin Para Devolver Coef Modifique este algoritmo para que devuelva el coeficiente de x k en el producto A ( x ) · B ( x ) de dos dados de n caras El coronel George Sicherman (Estados Unidos, siglo XX e ) in-vestigó pares de dados no estándar D a y D b cuyas sumas de caras obedecen a las mismas leyes de probabilidad que las de dos dados estándar. Así es como pudo proceder, primero con dados de cuatro caras. 6 Repasemos las anotaciones : 1 a 1 a 2 a 3 a 4 , 1 b 1 b 2 b 3 b 4 , y P ( x ) = x + x 2 + x 3 + x 4 2 . a Justificar que : A ( x ) · B ( x )= P ( x ) . b Factorizar x + x 2 + x 3 + x 4 haciendo aparecer solo canti-dades de grados 1 y 2 . c ¾Cuánto valen A (0) , A (1) , B (0) , B (1) ? d Proponer entonces una distribución posible y viable de los factores de P entre A y B , definiendo un buen par de dados no estándar. 7 Determinar un par de dados no estándar de 6 caras cuya suma de caras obedezca a la misma ley de probabilidades que la de dos dados estándar (con caras: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) 9. Anuarios para series distintas de S E.5933 Los sextillizos del Sr. y la Sra. Logic están en la misma clase de 2 nde . Al final del día, en el que han tenido un examen de matemáti-cas, vuelven a casa y muestran a sus padres las respuestas que han dado a las distintas preguntas : Alix Béa Carol Del-phine Émile Félix Pregunta 1 150 700 150 100 700 150 Pregunta 2 103 101 101 101 103 35 Pregunta 3 101 732 107 101 101 107 Pregunta 4 34 125 216 28 34 34 Pregunta 5 216 216 27 55 25 103 ˇPapá, ¾puedes decirnos cuánto tenemos cada uno?ı. ½Claro, pero no me habéis dado las preguntas! No las tenemos, tuvimos que entregar el examen con las respuestas. Yo recuerdo que había que encontrar el número primo más pequeño después de 100 , dice Béa. También había que calcular el volumen de un cubo cuyo lado era un número entero, no recuerdo cuál, añade Félix. También preguntaban la edad del capitán de, no sé qué barco, recuerda Carol. ¾Eso es todo lo que recordáis?, pregunta el padre. Sí, pero al echar un vistazo rápido a los exámenes, el profesor nos dijo que uno de nosotros lo había acertado todo. . . y otro lo había fallado todo. Al cabo de un rato, su padre les anuncia que conoce sus notas ¾Cuáles son esas notas? (Cada respuesta correcta vale 4 pun-tos) ¾Y qué edad tiene el capitán? Detalla el razonamiento https://chingmath.fr chapExoCorrec/8131 sacados/8131 24 chapExoCorrec/5933 sacados/5933
ABCIEF ABCK Figure 2Figure 1 que te ha llevado al resultado. Definición : un entero primo es un entero estrictamente positivo que admite exactamente dos divisores : 1 y él mismo. Los primeros enteros primos son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 . . . E.5935 Una asociación desea crear un logotipo. Este logotipo se ha diseñado a partir de la siguiente construc-ción : ABC es un triángulo rectángulo en A , se establece : AC = x ; AB = y ; BC = z , se han trazado los semicírculos de diámetros [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] y el cuadrado AEFI tal que E ∈ [ AB ) , F ∈ [ BC ) y I ∈ [ AC ) . 1 Para esta pregunta, consideramos la siguiente figura : a Calcular la longitud del lado del cuadrado AEFI en función de x y y . b ¾Qué se puede decir del punto I si el triángulo ABC es isósceles? (justificar) c Supongamos y =4 . ¾Puede el área del cuadrado AEFI ser igual a 9 ? (justificar) 2 Sea K el pie de la altura que sale de A del triángulo ABC . Se establece AK = h . Por lo tanto, tenemos la siguiente figura : a Justificar que : ( x + y ) 2 = z 2 +2 · z · h . b Expresar igualmente ( x − y ) 2 en función de z y de h . Demuestre que h es menor que la mitad de z . c ¾Es posible que : z =10 et h =4 ; 8 ? Si es así, determine los valores de x y y . 3 Compare el área del triángulo ABC con el área de la superficie sombreada. E.8132 Para todos los números nat-urales m y n , llamamos triángulo de m por n , y anotamos m Δ n , el número definido por las siguientes reglas, que ad-mitimos que son posibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 siempre que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Atención, m Δ n no es necesariamente igual a n Δ m . Algunos resultados. 1 a Demostrar que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calcular 1Δ2 . c De manera más general, determinar, para cualquier número natural n , el valor de 1Δ n . Se puede plantear u n =1Δ n y comprobar que la sucesión u n es arit-mética. 2 a Calcular 2Δ0 , 2Δ1 y 2Δ2 . b Justificar que, para todo número natural n : 2Δ n =2 n +3 . 3 a Calcular 3Δ0 , 3Δ1 y 3Δ2 . b Demostrar que, para todo número natural n , 3Δ n es igual a 2 n +3 − 3 . Se puede plantear v n =3Δ n y de-mostrar que, para todo n mayor o igual que 1 : v n = 2 · v n − 1 + 3 . Ilustración de 3Δ n . Un artista ha ilustrado así los valores 3Δ0 y 3Δ1 : 4 Dibuje en la copia una tercera figura que complete lógi-camente esta serie de dibujos e ilustre el valor de 3Δ2 . 5 Supongamos que el lado de un cuadrado de la figura 1 mide 1 cm a Determina el área respectiva de las figuras 1 y 2 . b ¾Cuál sería el área de la figura que se muestra en 3Δ n ? No se tendrán en cuenta los posibles solapamientos. 10. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/5935 sacados/5935 ABCIEF ABCK chapExoCorrec/8132 sacados/8132 Figure 2Figure 1
E.7317 Intercambios térmicos En arquitectura, se denomina factor de compacidad de un edificio el relación entre la superficie exterior ≠incluida la base en contacto con el suelo≠ de dicho edificio, medida en m 2 , y su volumen, medido en m 3 . El factor de compacidad c = S v , expresado en m − 1 , proporciona una primera evaluación aproximada del rendimiento térmico de una construcción res-idencial. 1 Cálculos de compacidad para algunos volúmenes habit-uales, dibujados a continuación. a Determinar el factor de compacidad del cubo de lado a . b Determinar el de una semiesfera de radio r . Recorde-mos que el volumen de una esfera de radio r es 4 3 · ı · r 3 y que su superficie es 4 · ı · r 2 . c Determinar el de una pirámide regular de base cuadrada con lado a y altura vertical a . d ¾En qué medida, en su opinión, el factor de compaci-dad está relacionado con el rendimiento térmico de un edificio? 2 Se propone estudiar el factor de compacidad de un ado-quín recto de volumen 1 cuyas dimensiones son x , y y z . a Comprueba que para todos los números a , b y c : a 3 + b 3 + c 3 − 3 · a · b · c = 1 2 · a + b + c a − b 2 + b − c 2 + c − a 2 b Deduzca que para todos los números reales positivos a , b y c : a 3 + b 3 + c 3 3 · a · b · c c Deduzca que para todos los números reales positivos A , B y C cuyo producto es igual a 1 : A + B + C 3 d Demostrar que el factor de compacidad de este bloque es : c = 2 · 1 x + 1 y + 1 z E.7318 Liber abaci Hace 4 000 años, los antiguos egipcios utilizaban en sus cál-culos una propiedad aritmética muy sorprendente : cualquier número racional p q estrictamente positivo se puede escribir como una suma de fracciones unitarias, es decir, de inversos de números enteros positivos, todos ellos diferentes entre sí. Desde entonces, dicha descomposición se denomina ˇescritura egipciaı. . Así, la suma 1 6 + 1 17 + 1 102 es una ˇescritura egip-ciaı del cociente 4 17 , mientras que las sumas 1 17 + 1 17 + 1 17 + 1 17 y 1 17 + 3 17 no lo son. Aún hoy siguen sin respuesta varias preguntas sobre estas escrituras. 1 ¾Por qué las dos últimas descomposiciones dadas en el preámbulo no son ˇ escrituras egipcias ı? Proponer una es-critura egipcia de 2 3 con dos fracciones unitarias, y luego otra de 2 3 con tres. 2 Un algoritmo Sean p y q dos números enteros tales que 0 <p<q . El cociente p q es, por lo tanto, un elemento de 0 ; 1 . k ← 1 p 1 ← p q 1 ← q . Mientras p k =0 Determinar el menor entero positivo n k tal que: 1 n k p k q k . Así: 1 n k p k q k < 1 n k − 1 p k+1 ← p k · n k − q k q k+1 ← q k · n k Así: p k +1 q k +1 = p k q k − 1 n k Incrementar k es decir, aumentar el valor del contador k en una unidad Fin del Mientras a Aquí se ejecuta el algoritmo sobre el cociente p q = 4 17 . Al comienzo de la primera vuelta del bucle : k =1 ; p 1 =4 ; q 1 =17 . A continuación, se determina n 1 =5 . Entonces, p 2 =3 , q 2 =85 y k valen 2 antes de entrar en la segunda vuelta del bucle. Continuar hasta la parada completa. ¾Cuál es el valor de 1 n 1 + 1 n 2 + 1 n 3 + 1 n 4 ? ¾Son distintas las cuatro fracciones unitarias? b Se supone que el algoritmo finaliza al término de la N ème ronda del bucle. Justifique que permite dar una ˇ escritura egipcia ı del cociente p q . c Justifique claramente que el algoritmo no puede ser ilimitado. Por lo tanto, este algoritmo permite obtener una ˇ escrit-ura egipcia ı de cualquier número racional elemento de 0 ; 1 . Pertenece a una clase de algoritmos denominados ˇ glotones ı ı y se atribuye a Leonardo de Pisa, autor del Liber abaci (1202) . El adjetivo ˇglotónı se aplica a los algoritmos que, en cada https://chingmath.fr chapExoCorrec/7317 sacados/7317 chapExoCorrec/7318 sacados/7318
1234512345 12A12345B1234C1234D ABCDEGrst etapa, realizan una elección óptima. La optimización global no se alcanza necesariamente, como lo demuestran las dos descomposiciones de 4 17 que se encuentran en este problema. E.7319 Hay n fichas dispuestas verticalmente. Son negras por un lado y blancas por el otro, y están numeradas del 1 al n . Al comienzo del juego, cada ficha mues-tra aleatoriamente su cara negra o su cara blanca. En cada turno, que en lo sucesivo denominaremos op-eración , se da la vuelta a una de las fichas y a todas las que tiene encima . El dibujo adjunto muestra un ejemplo del cambio que supone una operación con la tercera ficha en una configuración inicial. El objetivo del juego es encontrar una secuencia de opera-ciones tal que todas las fichas muestren su cara blanca. 1 ¾Importa el orden en que se suceden dos operaciones? 2 ¾Cuál es el efecto combinado de dos operaciones idénti-cas? 3 Indique los números de las fichas que hay que dar la vuelta para que solo se vean las caras blancas, en las situaciones que se representan a continuación. 4 Se da el siguiente algoritmo, para una configuración de n casillas: Para k que va de n a 1 por pasos de − 1 Si la ficha k es negra, realizar una operación con esta ficha Fin Para a Explique por qué este algoritmo blanquea la columna con un mínimo de operaciones. ¾Cuántas operaciones realiza como máximo? b Dé un ejemplo de configuración de n casillas que re-quiera n operaciones. E.6753 El fabricante de ˇ K ı canda-dos quiere imprimir un logotipo para su empresa. Este logotipo adopta la forma de una letra mayúscula es-tilizada K , inscrita en un cuadrado ABCD , de lados de una unidad de longitud, y que cumple las siguientes condiciones C 1 y C 2 : Condición C 1 : la letra K debe constar de tres líneas : una de las líneas es el segmento [ AD ] ; una segunda línea tiene como extremos el punto A y un punto E del segmento [ DC ] ; la tercera línea tiene como extremos el punto B y un punto G situado en la segunda línea. Condición C 2 : el área de cada una de las tres superficies limitadas por las tres rectas trazadas en el cuadrado debe estar comprendida entre 0 ; 3 y 0 ; 4 , siendo la unidad de área la del cuadrado. Estas áreas se denotan r , s , t en las figuras siguientes. Un estudio de diseño ofrece el diseño que se muestra al lado. Para realizar el siguiente estudio, nos situamos en el marco de refer-encia ortonormal A ; −−→ AB ; −−→ AD . Las tres rectas son segmentos y las tres áreas son iguales : r = s = t = 1 3 . Determina las coordenadas de los puntos E y G . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7319 sacados/7319 1234512345 12A12345B1234C1234D chapExoCorrec/6753 sacados/6753 ABCDEGrst
E.9548 En este problema, solo se tienen en cuenta los números naturales no nulos. Para cada uno de estos números enteros, se numeran los dígi-tos de su escritura decimal de izquierda a derecha. El primer dígito de la izquierda no puede ser 0 . Por ejemplo, para el número 3021 , la cifra 3 recibe el número 1 , la cifra 0 el número 2 , la cifra 2 el número 3 y la cifra 1 el número 4 . Se denomina ˇ par grande ı a todo número en el que cada cifra en posición par, si la hay, es al menos tan grande como sus cifras directamente vecinas (si las hay) . Se denomina ˇ número impar grande ı a todo número en el que cada cifra en posición impar es al menos tan grande como sus cifras directamente vecinas (si las hay) . Por ejemplo : el número 3021 es un número impar grande, pero no un número par grande ; los números 3 , 2 , 7 y 777 son a la vez números pares grandes y números impares grandes ; el número 2019 no es ni un número par grande ni un número impar grande. 1 ¾El número 384 957 es un número par grande? ¾Un número impar grande? 2 Determinar los números que son a la vez pares grandes e impares grandes. 3 Entre los números de dos cifras, ¾hay más pares grandes o impares grandes? 4 a ¾Se puede escribir el número 3021 como la suma de dos impares grandes con el mismo número de cifras? b ¾Se puede escribir el número 3021 como la suma de dos pares grandes que tengan el mismo número de cifras? 5 Demuestra que cualquier número entero se puede escribir como la suma de dos impares grandes (sin que se imponga aquí ninguna restricción en cuanto al número de cifras de estos dos impares grandes) . 6 Demuestre que todo número impar grande estrictamente inferior a 100 puede escribirse como la suma de dos números pares grandes (sin restricción en cuanto al número de dígitos de estos números pares grandes) . 7 Determinar el mayor impar mayor o igual a 2 que no se puede escribir como la suma de dos pares grandes (sin restricción en cuanto al número de dígitos de estos pares grandes) . 8 Complete el pseudocódigo siguiente (o inspírese en él) para redactar un algoritmo (que deberá transcribir en su copia) , y que, partiendo de una tabla ˇ T ı que representa un número ˇ N ı (por ejemplo 384957) de ˇ nb ı cifras (aquí 6 ) . nb = 6 T=[3,8,4,9,5,7] resultado = 1 i = 1 while (resultado == 1) and (i <=nb): ... i = i+2 print(r) https://chingmath.fr sacados/9548