Bachillerato 1 / Ecuación cartesiana 52 ejercicios (100% corregidos)

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-4-3-2-101234-3-2-1123ij -12345678910I-1234JOBA xxyy-4-3-2-1234I-2-12JO(d ChingQuizz : 3 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios: Dirigir vectores E.9706 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera las cuatro rectas siguientes definidas por su ecuación cartesiana : ( d 1 ) : 2 x − 3 y + 3 = 0 ; ( d 2 ) : − 2 x − y + 1 = 0 ( d 3 ) : 4 x + 8 y − 10 = 0 ; ( d 4 ) : − 3 x + y + 4 = 0 1 Para cada una de las rectas, da un punto y un vector director de esa recta. 2 Dibuja cada una de estas rectas en el marco de referencia de abajo : E.9707 Proposición: en el plano dotado de un sistema de referen-cia, consideremos una recta cuyo vector director es −→ u ( a ; b ) . Esta recta tiene una ecuación cartesiana de la forma : − b · x + a · y + c = 0 . Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Para cada pregunta, determina una ecuación cartesiana de la recta ( d ) que pasa por el punto A y tiene el vector de dirección −→ u : a A (2 ; 1) et −→ u (2 ; 3) b A (3 ; − 2) et −→ u 1 2 ; − 1 c A (0 ; 3) et −→ u ( − 2 ; 1) d A − 2 ; 1 2 et −→ u 3 ; − 5 3 E.9708 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j , consideramos los puntos A y B con coordenadas : A 22 5 ; 14 5 ; B 42 5 ; 4 5 Consideramos también la recta ( d ) cuya ecuación cartesiana es : ( d ) : 3 · x + 6 · y − 12 = 0 1 a Determinar las coordenadas del vector −−→ AB . b Justificar que el segmento [ AB ] mide 20 . 2 Justificar que las rectas ( AB ) y ( d ) son paralelas. 3 a Determinar los puntos C y D de intersección de la recta ( d ) con el eje de abscisas y el eje de ordenadas, respectivamente. b Justificar que el cuadrilátero ABCD es un rombo. 2. Recordatorios: ecuaciones cartesianas e intersección de rectas E.9709 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) que se muestra a continuación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9706 sacados/9706 -4-3-2-101234-3-2-1123ij chapExoCorrec/9707 sacados/9707 chapExoCorrec/9708 sacados/9708 -12345678910I-1234JOBA chapExoCorrec/9709 sacados/9709 xxyy-4-3-2-1234I-2-12JO(d
-5-4-3-2-12345I-1234JO 1 Determina una ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 2 Considera la recta (Δ) con ecuación cartesiana : (Δ) : 5 x + 6 y − 6 = 0 a Dar las coordenadas de dos puntos pertenecientes a la recta (Δ) . b Dibuja una recta (Δ) en el sistema de referencia sigu-iente. 3 Algebraicamente, determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas ( d ) y (Δ) . E.9710 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones : a x − 3 y = 8 4 x + y = − 7 b 2 x + 3 y = 10 5 x + 10 y = 20 E.9711 Resuelve el siguiente sistema : x + 2 y − z = − 2 3 x + y + 2 z = − 1 x − y + 3 z = 3 (Se demostrará que este sistema admite una única solución triplete) . 3. Vectores normales y ecuaciones de rectas E.2591 Definición : Se denomina vector normal de una recta a cualquier vector ortogonal a los vectores directores de dicha recta. Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coor-denadas, consideramos una recta ( d ) que admite el vector −→ u ( a ; b ) como vector normal. Entonces, la recta ( d ) admite como ecuación cartesiana : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 donde c ∈ R Consideramos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) . 1 En cada caso, determine una ecuación cartesiana que pase por el punto A y admita el vector −→ u como vector normal: a −→ u = (2 ; 3) et A (1 ; 0) b −→ u = ( − 1 ; 1) et A ( − 2 ; 1) 2 Trace la representación de cada una de estas rectas en el sistema de coordenadas siguiente, así como un represen-tante de cada vector −→ u en el punto A correspondiente : E.9704 Proposición: en el plano provisto de un sistema de ref-erencia O ; I ; J , consideramos la recta ( d ) admitiendo el vector −→ u ( a ; b ) por vector normal entonces la ecuación carte-siana de la recta ( d ) es de la forma : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 c ∈ R Considera el plano provisto de una ortonormal O ; I ; J . Para cada pregunta, determine la ecuación cartesiana de la recta ( d ) que admite el vector −→ u como vector normal y pasa por el punto A donde : a −→ u (5 ; 2) ; A (1 ; 1) b −→ u ( − 1 ; 1) ; A (4 ; − 1) E.9746 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . Para cada pregunta, determine la ecuación cartesiana de la recta ( d ) que admite el vector −→ u como vector normal y pasa por el punto A , donde : a −→ u (1 ; − 2) ; A ( − 5 ; 2) b −→ u ( − 2 ; − 4) ; A ( − 1 ; 3) E.8552 Dotamos al plano de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal. 1 Consideremos la recta ( d ) que admite el vector −→ n ( − 2 ; 1) como su vector normal y que pasa por el punto A (4 ; 1) . Determina una ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 2 Consideremos la recta ( d ) que admite la ecuación carte-siana : x − 4 · y + 3 = 0 Dar un vector −→ v normal de ( d ) , un vector −→ u director de ( d ) y un punto B perteneciente a ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9710 sacados/9710 chapExoCorrec/9711 sacados/9711 chapExoCorrec/2591 sacados/2591 -5-4-3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/9704 sacados/9704 chapExoCorrec/9746 sacados/9746 chapExoCorrec/8552 sacados/8552
-3-2-12345I-3-2-12JO E.9705 Proposición: consideremos el plano provisto de un sis-tema de referencia O ; I ; J ortonormal. Si una recta ( d ) admite como ecuación cartesiana : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 a;b;c ∈ R entonces la recta ( d ) admite el vector −→ u ( a ; b ) como su vec-tor normal. Sea O ; I ; J un sistema de referencia ortonormal. 1 Consideremos la recta ( d ) con ecuación cartesiana : 2 · x + 3 · y + 5 = 0 Demos un vector normal a la recta ( d ) y determina las coordenadas del punto de intersección de la recta ( d ) con el eje x. 2 Consideremos la recta ( d ) con ecuación cartesiana : − x + 2 · y − 2 = 0 Dar un vector normal a la recta ( d ) y determinar las co-ordenadas del punto de intersección de la recta ( d ) con el eje y. E.8446 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos los puntos A ( − 2 ; − 3) y B (4 ; 1) . Sea ( d ) la mediatriz del segmento [ AB ] . 1 Determinar las coordenadas del punto K punto medio del segmento [ AB ] . 2 Dar las coordenadas de un vector −→ v normal a la recta ( d ) . 3 Determina una ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 4 Dibuja en el sistema de referencia inferior la recta ( d ) . 4. Paralelismo y ortogonalidad de las rectas E.8449 Definición : En el plano provisto de un sistema de coor-denadas, se denomina determinante de los dos vectores −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; v ) al número, denotado por det −→ u ; −→ v , definido por: det −→ u ; −→ v = x · y − x · y Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coorde-nadas, consideramos los dos vectores −→ u y −→ v distintos de cero. Tenemos : −→ u y −→ v colineales ⇐⇒ det −→ u ; −→ v = 0 −→ u y −→ v ortogonales ⇐⇒ −→ u · −→ v = 0 Consideramos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J ortonormado : 1 Consideramos las dos rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) que admiten como ecuación cartesiana : ( d 1 ) : x + 2 · y − 1 = 0 ; ( d 2 ) : 4 · x + 8 · y + 2 = 0 a Dar dos vectores −→ u y −→ v normales respectivamente a las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) . b Justificar que las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) son paralelas. 2 Consideramos las dos rectas (Δ 1 ) y (Δ 2 ) que admiten como ecuación cartesiana : (Δ 1 ) : 4 · x +3 · y − 1 = 0 ; (Δ 2 ) : − 6 · x +8 · y +5 = 0 a Dar dos vectores −→ u y −→ v normales respectivamente a las rectas (Δ 1 ) y (Δ 2 ) . b Justifique que las rectas (Δ 1 ) y (Δ 2 ) son perpendicu-lares. E.9712 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) cuya ecuación cartesiana es : ( d ) : 2 x − y + 1 = 0 1 La recta ( d ) es paralela a la recta ( d ) y su ecuación carte-siana es : ( d ) : 5 x + b · y + 4 = 0 donde b ∈ R Determine el valor de b . 2 La recta (Δ) es perpendicular a la recta ( d ) y su ecuación cartesiana es : (Δ) : a · x + 3 · y − 2 = 0 donde a ∈ R Determine el valor de a . E.9779 En un plano con un sistema de ref-erencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) con ecuación carte-siana : − 3 · x + y + 7 = 0 1 Dar un vector −→ u director de la recta ( d ) . 2 Determinar la ecuación cartesiana de la recta (Δ) par-alela a la recta ( d ) y que pasa por el punto de coorde-nadas A ( − 2 ; 2) . 3 Sea ( d ) la recta perpendicular a la recta ( d ) y que pasa por el punto de coordenadas B (3 ; − 1) . a Sean las coordenadas de un vector −→ v normal a la recta ( d ) . b Determinar la ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 5. Intersección de rectas https://chingmath.fr chapExoCorrec/9705 sacados/9705 chapExoCorrec/8446 sacados/8446 -3-2-12345I-3-2-12JO chapExoCorrec/8449 sacados/8449 chapExoCorrec/9712 sacados/9712 chapExoCorrec/9779 sacados/9779
ABCDEFGI−i−j E.6484 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) (resp. ( d ) ) pasa por el punto A ( − 2 ; 1) (resp. B (3 ; 2) ) y admite el vec-tor −→ u (3 ; − 1) (resp. −→ v (1 ; 1) ) para el vector normal. 1 Determina las ecuaciones cartesianas de las rectas ( d ) y ( d ) . 2 a Justifica que las rectas ( d ) y ( d ) son secantes. b Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas ( d ) y ( d ) . E.9780 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J . 1 Observamos ( d ) la recta que admite el vector −→ u (2 ; 1) como vector director y que pasa por el punto B (1 ; 1) . Determina la ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 2 Nota ( d ) la recta que admite el vector −→ v (4 ; − 3) como vector normal y pasa por el punto C (2 ; 2) . Determina la ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 3 a Justifica que las rectas ( d ) y ( d ) son secantes. b Determina las coordenadas del punto A , intersección de las rectas ( d ) y ( d ) . E.9755 En el plano con un sistema de ref-erencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) con ecuación carte-siana : ( d ) : 3 · x + 4 · y − 5 = 0 1 Consideremos la recta (Δ) que admite −→ u (2 ; − 1) como vector normal y pasando por el punto A − 1 3 ; 1 a Determina la ecuación cartesiana de la recta (Δ) . b Justifica que las rectas ( d ) y (Δ) son secantes. 2 a Resuelve el sistema de ecuaciones : 3 x + 4 y − 5 = 0 6 x − 3 y + 5 = 0 b Deduce las coordenadas del punto de intersección de las rectas ( d ) y (Δ) . E.3036 En el plano O ; I ; J , considera los puntos A , B , C , D de coordenadas : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; − 4) ; C 22 5 ; 4 5 ; D 1 5 ; 7 5 1 Sea K el punto medio del segmento [ AB ] . Consideremos el conjunto ( E ) de puntos M ( x ; y ) del plano que verifica la relación: −−→ AB · −−→ KM = 0 a Demuestre que cualquier punto M ( x ; y ) , perteneciente al conjunto ( E ) , tiene sus coordenadas verificando la ecuación : x − y − 3=0 b Cómo se llama el conjunto ( E ) relativo al segmento [ AB ] . 2 a Determina las coordenadas de un vector ortogonal a la recta ( CD ) . b Deduce la ecuación de la recta ( CD ) . 3 Determina las coordenadas del punto de intersección del conjunto E y la recta ( CD ) . E.3082 En el plano, considera los dos cuadra-dos ABCD y BEFG que se muestran a continuación : El plano recibe el marco de referencia ortonormal A ; −→ i ; −→ j donde : −−→ AB = 6 ; −−→ BE = 3 1 a Determina las coordenadas de los vectores −−→ DE y −−→ CF . b Deduce las ecuaciones cartesianas de las rectas ( DE ) y ( CF ) en el plano A ; −→ i ; −→ j . 2 Determina las coordenadas del punto I . 3 Justifica que las rectas ( BI ) y ( CE ) son perpendiculares. 6. Proyección ortogonal E.8447 Propuesta-definición : En el plano, consideramos una recta ( d ) y un punto A que no pertenece a ( d ) . Existe un único punto H tal que la recta ( AH ) es perpendicular a la recta ( d ) . El punto H se denomina proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( d ) . En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se consideran los puntos A ( − 1 ; 1) , B (3 ; 5 ; − 2) , M (4 ; 2) . 1 Determinar una ecuación cartesiana de la recta ( AB ) . 2 Demuestre que el punto H (2 ; − 1) es la proyección ortog-onal del punto M sobre la recta ( AB ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6484 sacados/6484 chapExoCorrec/9780 sacados/9780 chapExoCorrec/9755 sacados/9755 chapExoCorrec/3036 sacados/3036 chapExoCorrec/3082 sacados/3082 ABCDEFGI−i−j chapExoCorrec/8447 sacados/8447
-4-3-2-1234I-12JO(dA E.8553 En el plano provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , consideramos el punto A (3 ; 1) y la recta ( d ) representada a continuación con su ecuación cartesiana : 2 · x + 5 · y − 2 = 0 Denotemos por H la proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( d ) . 1 Construir el punto H en el sistema de coordenadas. 2 Justificar que la recta (Δ) que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta ( d ) tiene como ecuación : (Δ) : − 5 · x + 2 · y + 13 = 0 3 Determinar las coordenadas del punto H . Preguntas subsidiarias: (otro método) 3 Justificar que el vector −−→ AH admite como coordenadas : −−→ AH x − 3 ; − 2 5 · x − 3 5 4 Deduzca las coordenadas del punto H . E.8448 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los puntos : A 1 ; − 1 5 ; B ( − 2 ; 1) ; M 2 ; − 7 2 . 1 Determina una ecuación cartesiana de la recta ( AB ) . 2 a Determina la ecuación reducida de la recta ( d ) que pasa por el punto M y es perpendicular a la recta ( AB ) . b Determinar las coordenadas del punto E , intersección de las rectas ( d ) y ( AB ) . 7. Proyección ortogonal y área E.9758 En el plano provisto de una refer-encia O ; I ; J , consideramos los tres puntos : A ( − 3 ; 2) ; B (3 ; 5) ; C (2 ; 2) 1 Sea ( d ) la recta que pasa por el punto C y es ortogonal a la recta ( AB ) : a Determinar las coordenadas de un vector −→ u normal a la recta ( d ) . b Determinar la ecuación cartesiana de la recta ( d ) . c Determinar las coordenadas del pie H de la altura del triángulo ABC que sale del vértice C . 2 Determinar el área del triángulo ABC . E.9781 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera los tres puntos : A ( − 1 ; − 1) ; B (3 ; 3) ; C (4 ; 1) 1 Determina la ecuación cartesiana de la recta ( AB ) . 2 Determina la ecuación cartesiana de la recta ( d ) que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta ( AB ) . 3 Determina las coordenadas del punto M , intersección de la recta ( AB ) y la recta ( d ) . 4 Deduce el área del triángulo ABC . E.8450 En el plano provisto de una refer-encia O ; I ; J , consideramos los tres puntos : A ( − 3 ; 2) ; B (3 ; 5) ; C (2 ; 2) 1 Determinar las coordenadas del pie H de la altura del triángulo ABC que sale del vértice C . 2 Determinar el área del triángulo ABC . E.8451 En el plano provisto de una referen-cia O ; I ; J , consideramos los tres puntos : A − 2 3 ; 2 ; B 1 4 ; 3 2 ; C 5 ; 11 3 1 Determinar las coordenadas del pie H de la altura del triángulo ABC que sale del vértice C . 2 Determinar el área del triángulo ABC . E.8456 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J y los cuatro puntos : A (3 ; 2) ; B ( − 1 ; 3) ; C (2 ; − 2) ; D (6 ; − 3) 1 Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un paralelo-gramo. 2 Determina el área del paralelogramo ABCD . 8. Círculo: caracterizado por el centro y el radio E.2592 Definición : le Círculo con centro A y radio r Es el conjunto de puntos M tales que : OM = r También se dice que un círculo es el conjunto de puntos equidistantes del centro del círculo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8553 sacados/8553 -4-3-2-1234I-12JO(dA chapExoCorrec/8448 sacados/8448 chapExoCorrec/9758 sacados/9758 chapExoCorrec/9781 sacados/9781 chapExoCorrec/8450 sacados/8450 chapExoCorrec/8451 sacados/8451 chapExoCorrec/8456 sacados/8456 chapExoCorrec/2592 sacados/2592
El plano está provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males ( O ; I ; J ) cuya unidad es el centímetro. Consideremos el círculo C con centro I y radio r . Para cada pregunta, determine la ecuación del círculo: a I (1 ; 2) et r =3 cm b I ( − 3 ; 1) et r =5 cm E.8554 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y la circunfer-encia C de centro A (2 ; 1) y radio 4 . Determinar la ecuación cartesiana de la circunferencia C . E.8457 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, consideremos la circunferen-cia C de centro K (3 ; − 1) y radio 5 . 1 Determina la ecuación cartesiana de la circunferencia C . 2 Cuál de los puntos siguientes pertenece a la circunferen-cia C : M ( − 1 ; 2) ; N 8 5 ; − 29 5 ; P 9 5 ; 2 5 E.3035 En el plano O ; I ; J , consideramos los puntos A , B , C , D con coordenadas : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; − 4) ; C 22 5 ; 4 5 ; D 1 5 ; 7 5 1 Determinar si existen números reales a , b y c tales que la ecuación : x 2 + y 2 − 2 · a · x − 2 · b · y + c = 0 se cumpla con las coordenadas de los cuatro puntos A , B , C y D . 2 ¾Qué se puede decir de los puntos A , B , C y D ? E.8458 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y los tres puntos siguientes : A ( − 1 ; 2) ; B (0 ; − 5) ; C (3 ; 4) 1 a Determina la ecuación cartesiana de la mediatriz del segmento [ AB ] . b Determina la ecuación cartesiana de la mediatriz del segmento [ AC ] . 2 a Deduce el centro de la circunferencia C circunscrita por el triángulo ABC . b Determina la ecuación cartesiana de la circunferencia C . 9. Círculo: caracterización del diámetro E.8455 Proposición: Si un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y uno de sus lados forma un diámetro en-tonces ese triángulo es un rectángulo y ese lado es su hipotenusa. Consecuencia: Para una circunferencia C de diámetro [ AB ] y para cualquier punto M de esta circunferencia : −−→ MA · −−→ MB = 0 El plano está dotado de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) cuya unidad es el centímetro. Considera la circunferencia C cuyos puntos A y B son diame-tralmente opuestos. Determina la ecuación de la circunferen-cia en cada uno de los siguientes casos : a A ( − 2 ; 0) et B (4 ; 0) b A (2 ; − 3) et B ( − 1 ; 2) E.8555 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y la circunferen-cia C cuyos puntos A ( − 2 ; 1) y B (3 ; 0) son diametralmente opuestos. Determina la ecuación cartesiana de la circunferencia C . E.8459 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . 1 a Determinar la ecuación cartesiana de la circunferen-cia C cuyo diámetro es el segmento [ AB ] , donde : A ( − 1 ; 2) ; B (7 ; − 4) b Determinar la ecuación cartesiana de la circunferencia C cuyo diámetro es el segmento [ CD ] , donde : C − 9 5 ; 2 5 ; D 39 5 ; − 12 5 2 ¾Qué se puede decir de las circunferencias C y C ? 10. Reconocer la ecuación de un círculo E.8452 Proposición: En el plano, consideremos la ecuación cartesiana x 2 + y 2 + a · x + b · y + c =0 , Observemos = a 2 4 + b 2 4 − c . El conjunto E de puntos definidos por esta ecuación cartesiana es : vacío si < 0 un punto si =0 un círculo si > 0 cuyo radio es y cuyo centro es − a 2 ; − b 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8554 sacados/8554 chapExoCorrec/8457 sacados/8457 chapExoCorrec/3035 sacados/3035 chapExoCorrec/8458 sacados/8458 chapExoCorrec/8455 sacados/8455 chapExoCorrec/8555 sacados/8555 chapExoCorrec/8459 sacados/8459 chapExoCorrec/8452 sacados/8452
En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la ecuación cartesiana : ( E ) : x 2 + y 2 − 4 · x − 3 · y − 31 = 0 1 Demuestre que los puntos A ( − 3 ; 5) et B 11 2 ; 13 2 pertenecen al conjunto de puntos cuyas coordenadas son soluciones de ( E ) . 2 Deduce la naturaleza del conjunto de puntos del plano que verifican la ecuación cartesiana ( E ) E.3083 Considera las siguientes tres ecua-ciones cartesianas : a x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 9 = 0 b x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 10 = 0 c x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 9 = 0 1 Escribe cada una de las ecuaciones anteriores de la forma : x − a 2 + y − b 2 = c donde a , b , c son números reales a determinar. 2 Para cada ecuación, deduzca la naturaleza del conjunto de puntos definido por esta ecuación y especifique sus elementos característicos E.8556 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera las tres ecuaciones carte-sianas : a x 2 + y 2 − 10 · x + 2 · y + 22 = 0 b x 2 + y 2 − 2 · x − 4 · y + 5 = 0 c x 2 + y 2 + 2 · x + 2 · y + 5 = 0 Determinar la naturaleza, y si es necesario los elementos car-acterísticos, del conjunto definido por cada una de estas ecua-ciones cartesianas. E.9756 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J . 1 Consideremos la circunferencia C que admite la ecuación cartesiana : x 2 + y 2 − 6 · x + 4 y + 4 = 0 . Determina los elementos característicos de la circunfer-encia C . 2 Considere el conjunto E del plano cuyas coordenadas pun-tuales verifican la ecuación cartesiana : x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 17 = 0 . Determina la naturaleza de este conjunto. E.9782 En un plano con un sistema de coor-denadas ortonormal, considere las dos ecuaciones cartesianas : x 2 + y 2 + 3 x − y + 5 = 0 x 2 + y 2 − 8 x − 6 y − 11 = 0 Para cada una de estas ecuaciones, determina la naturaleza de los conjuntos que definen y, si es posible, da sus elementos característicos. E.8453 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormales, consideremos los dos puntos A (0 ; − 1) y B (2 ; 1) . Para cualquier número real k , consideremos la ecuación carte-siana E k definida por: ( E k ) : x 2 + y 2 − 2 k · x + (2 k − 2) · y + 2 · k − 3 1 a Para cualquier número real k , demuestre que las co-ordenadas de los puntos A y B verifican la ecuación cartesiana ( E k ) . b Para cualquier número real k , dar y justificar la natu-raleza del conjunto de puntos del plano que verifican la ecuación ( E k ) . 2 a Determina, en función de k , las coordenadas del cen-tro y del radio de la circunferencia definida por la ecuación ( E k ) . b Demostrar que el conjunto de centros de circunfer-encias definido por ( E k ) pertenece a una recta cuya ecuación cartesiana vendrá dada. 11. Estudio de la parábola E.6485 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormales, consideremos el conjunto de puntos M ( x ; y ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación cartesiana : ( E ) : x 2 − 2 · x + y + 3 = 0 1 Considera los dos puntos A (0 ; − 3) y B (2 ; − 3) . a Demuestre que los dos puntos A y B pertenecen al conjunto de puntos del plano que verifican la ecuación cartesiana ( E ) . b Demuestra que la recta de ecuación x =1 es la media-triz del segmento [ AB ] . 2 Sea h un número estrictamente positivo. a Demuestre que existe un único punto, que denotare-mos M (resp. N ) , del conjunto ( E ) que tiene abscisa 1+ h (resp. 1 − h ) . Daremos las coordenadas de estos dos puntos en función de h . b Demuestra que la recta de ecuación x =1 es la medi-atriz del segmento [ MN ] para cualquier real estricta-mente positivo h . E.8557 En el plano provisto de una ref-erencia O ; I ; J , consideramos la parábola P de ecuación cartesiana : y =2 · x 2 + x +3 A cada punto M de la parábola, distinto del vértice de la parábola, se le asocia el punto M , segundo punto de intersec-ción de la parábola P con la recta paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto M . Determina las coordenadas del punto M de modo que MM = 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3083 sacados/3083 chapExoCorrec/8556 sacados/8556 chapExoCorrec/9756 sacados/9756 chapExoCorrec/9782 sacados/9782 chapExoCorrec/8453 sacados/8453 chapExoCorrec/6485 sacados/6485 chapExoCorrec/8557 sacados/8557
-2-12IJOFAH 12. Estudio en profundidad: foco y dirección de una parábola E.8460 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera el conjunto ( E ) de puntos cuyas coordenadas verifican : x 2 − y = 0 cuya representación se da a continuación : Denotamos F al punto de coordenadas F 0 ; 1 4 . 1 Consideremos el punto A (1 ; 1) y H su ortogonal proyec-tada sobre la recta ( d ) cuya ecuación cartesiana es : y + 1 4 = 0 a Justifica que el punto A pertenece al conjunto ( E ) . b Determina la distancia AF . c Dar las coordenadas del punto H . d Determina la distancia AH . 2 Sea x un número real cualquiera. Sea M el punto del conjunto ( E ) que tiene abscisa x . a Dar las coordenadas del punto M y su proyectada H sobre la recta ( d ) . b Determinar la medida de la distancia FM y MH . 13. Estudio en profundidad: intersección del círculo y la parábola con una recta E.2597 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) . 1 a Sea ( d ) la recta con vector de dirección (1 ; 2) y que pasa por el punto A (0 ; − 1) . Determinar la ecuación cartesiana de esta recta. b Sea C la circunferencia de centro A (1 ; 1) y radio 3 . Determina la ecuación cartesiana de esta circunferen-cia. 2 En esta pregunta nos interesa el punto de intersección de ( d ) y C . a Justifica que si M ( x ; y ) es un punto de intersección de la recta y la circunferencia entonces sus coordenadas verifican el sistema de ecuación : x 2 + y 2 − 2 · x − 2 · y − 7 = 0 − 2 · x + y + 1 = 0 b Por sustitución, resuelve este sistema de ecuaciones. E.2660 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) y el conjunto de puntos E definido por la ecuación cartesiana : ( E ) : x 2 + y 2 − 4 · x + 6 · y + 3 = 0 1 a Escribe la ecuación ( E ) como: x − a 2 + y − b 2 = c b Justifica que el conjunto E es una circunferencia C cuyas características deben especificarse. 2 a Demuestra que el punto A (3 ; 0) es un punto de la circunferencia C . b Determina una ecuación cartesiana de la tangente ( d ) a la circunferencia C que pasa por el punto A . 3 Habiendo demostrado que el punto B ( − 1 ; − 2) es un punto de la circunferencia, dar una ecuación cartesiana de la recta ( d ) tangente a la circunferencia C en el punto B . 4 Determina las coordenadas del punto M , intersección de las rectas ( d ) y ( d ) . 5 Dibuja en el marcador debajo de la circunferencia C (o parte) y sus dos tangentes. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8460 sacados/8460 -2-12IJOFAH chapExoCorrec/2597 sacados/2597 chapExoCorrec/2660 sacados/2660
-2246I-4-22JO -7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-123456JOCAB -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC E.3039 En el plano dotado de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J , consideremos la circunfer-encia C de centro A ( − 2 ; 1) y radio 4 ; el punto B tiene la coordenada (6 ; 0) : El objetivo de este ejercicio es determinar la ecuación de las dos tangentes, ( d ) y ( d ) , a la circunferencia C que pasa por el punto B : 1 a Determina la ecuación de la circunferencia C . b Determina la ecuación de la circunferencia de diámetro [ AB ] . 2 Determina las coordenadas de los puntos de contacto de las rectas ( d ) y ( d ) con la circunferencia C . 3 Deduce que las rectas ( d ) y ( d ) admiten las ecuaciones cartesianas : 35 · x − 84 · y − 210 = 0 ; − 21 · x − 28 · y + 126 = 0 4 Determina las coordenadas, para cada una de las rectas, de sus puntos de abscisa 3; traza estas rectas. E.9757 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , consideramos los puntos A (0 ; 5) , B (3 ; − 2) , C ( − 1 ; − 1) ; los puntos A y B son diametralmente opuestos en el círculo C ; el círculo C tiene por centro C y por radio 2 . Se denotan M y N los dos puntos de intersección de los círculos C y C . 1 Determinar las ecuaciones de los círculos C y C . 2 Determinar las coordenadas de los puntos M y N . E.9778 Considera los dos círculos : C de centro A (1 ; − 2) y radio 2 ; C admitiendo para diámetro [ BC ] donde B (3 ; 4) y C (5 ; − 2) . 1 Determina la ecuación cartesiana de la circunferencia C . 2 Determina la ecuación cartesiana de la circunferencia C . 3 Determina las coordenadas de los puntos de intersección de estas dos circunferencias. E.3088 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideramos los puntos A − 11 5 ; 12 5 , B 21 5 ; − 12 5 , C ( − 3 ; 2) ; los puntos A y B son diametral-mente opuestos en la circunferencia C ; la circunferencia C tiene centro C y radio 2 . Sean M y N los dos puntos de intersección de las circunferencias C y C . 1 Determina las ecuaciones de las circunferencias C y C . 2 Determinar las coordenadas de los puntos M y N . 3 Deduce la ecuación cartesiana de la recta ( d ) . 14. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr -2246I-4-22JO chapExoCorrec/3039 sacados/3039 -7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-123456JOCAB chapExoCorrec/9757 sacados/9757 -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC chapExoCorrec/9778 sacados/9778 chapExoCorrec/3088 sacados/3088 -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC
E.3040 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J ; los puntos A y B tienen coordenadas respectivas (2 ; − 3) y ( − 1 ; 1) ; Denotemos por I el punto medio del segmento [ AB ] ; . M representa un punto cualquiera del plano y sus coordenadas se denotan por ( x ; y ) : 1 .Nos interesa el lugar geométrico E definido por la relación: −−→ MA · −−→ MB = 2 a Determinar una relación entre x y y que caracterice al conjunto E . b Verificar que el punto de coordenadas 2 ; 6 − 1 pertenece al conjunto E . c ¾Cuál es la naturaleza geométrica de E ? Indique sus elementos característicos. 2 Nos interesa el lugar geométrico F definido por la relación: −−→ AB · −−→ IM = − 7 ; 5 a Determinar una relación sobre las coordenadas de los puntos M pertenecientes al conjunto F . b ¾Cuál es la naturaleza geométrica de F ? Indique los elementos característicos de F . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3040 sacados/3040