Bachillerato 1 / Segundo grado: ecuaciones 91 ejercicios (100% corregidos)

a
4x28x7(x2−5x24x−1(x−2−4x2−8x204(x234x2−16x64(x−2−10−4x2−16x−12(x−24x2−8x12−4(x−24−4x216x−12−4(x24 ChingQuizz : 13 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Manejo de polinomios de segundo grado E.432 Consideremos la función f cuya imagen de un número x está definida por: f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 6 1 a Establece la igualdad : f ( x )=2 · ( x − 3)( x − 1) b Resuelve la ecuación : f ( x )=0 . c Resuelve la inecuación : f ( x ) 0 . 2 a Establece la igualdad : f ( x )+2=2 x − 2 2 b Deduce que, para cualquier número real x , tenemos : f ( x ) − 2 E.439 Consideremos la función f cuya ima-gen de un número x está definida por: f ( x ) = − 4 x 2 +36 x + 63 1 a Establece la igualdad : f ( x )=(21 − 2 · x )(2 · x +3) b Determina el conjunto de soluciones de la ecuación : f ( x )=0 . c Resuelve la inecuación : f ( x ) > 0 . 2 a Establece la igualdad : f ( x ) − 144= − 4 · x − 9 2 2 . b Deduce que, para cualquier número real x , tenemos : f ( x ) 144 E.418 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = − 2 · x 2 + 12 · x − 16 1 a Determina los valores de los reales a y b realizando la identidad : f ( x ) = x − 2 a · x + b b Resuelve la inecuación : f ( x ) < 0 2 a Determina los valores de los reales c y d realizando la identidad f ( x ) = − 2 · x + c 2 + d b Deduce que, para cualquier número real x , tenemos : f ( x ) 2 2. Forma canónica E.4458 Propuesta-Definición : todo polinomio de segundo grado a · x 2 + b · x + c admite una expresión de la forma : f : x ↦→ ¸ · x − ˛ 2 + ‚ donde ¸ , ˛ , ‚ son números reales con ¸ =0 . Esta expresión se denomina forma canónica . Asocie a cada uno de los polinomios de segundo grado su forma canónica : E.9397 Determina la forma canónica de cada una de las expresiones siguientes : a x 2 − 4 x + 1 b x 2 + 6 x + 3 E.9398 Determina la forma canónica de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 + 4 x − 5 b x 2 − 2 x − 1 E.9405 Determina la forma canónica de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 + 2 x − 3 b x 2 − 6 x − 2 c x 2 + 12 x + 5 d x 2 − 10 x + 5 E.4456 Determina la forma canónica de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 + 4 x b x 2 − 14 x + 9 E.4406 Determina la forma canónica de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a 2 x 2 + 12 x − 4 b 7 x 2 − 14 x + 10 E.2259 Da la forma canónica de cada uno de los trinomios de segundo grado siguientes : a 2 x 2 + 8 x − 6 b 3 x 2 + 6 x + 6 E.9404 Da la forma canónica de cada uno de los trinomios de segundo grado siguientes : a 2 x 2 + 12 x − 4 b 3 x 2 + 30 x + 12 https://chingmath.fr chapExoCorrec/432 sacados/432 aa chapExoCorrec/439 sacados/439 chapExoCorrec/418 sacados/418 chapExoCorrec/4458 sacados/4458 4x28x7(x2−5x24x−1(x−2−4x2−8x204(x234x2−16x64(x−2−10−4x2−16x−12(x−24x2−8x12−4(x−24−4x216x−12−4(x24 chapExoCorrec/9397 sacados/9397 chapExoCorrec/9398 sacados/9398 chapExoCorrec/9405 sacados/9405 chapExoCorrec/4456 sacados/4456 chapExoCorrec/4406 sacados/4406 Utilisation des quotients dans l'exercice chapExoCorrec/2259 sacados/2259 chapExoCorrec/9404 sacados/9404
E.10553 Exprese en forma canónica cada uno de los trinomios de segundo grado siguientes : a 9 x 2 + 18 x + 27 b 5 x 2 + 10 x + 2 E.2248 Determina la forma canónica de cada una de las expresiones siguientes : a x 2 + x + 2 b x 2 − 3 x − 1 E.10552 Determina la forma canónica de cada una de las expresiones siguientes : a x 2 + 1 2 x − 3 b x 2 + x − 1 3 E.9396 Determina la forma canónica de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 + 1 4 x + 1 b x 2 + x + 1 E.2250 Sean a , b , c tres números reales. Ex-pande la siguiente expresión : a · x + b 2 a 2 − b 2 − 4 ac 4 a E.7101 Determina la forma canónica del polinomio siguiente : 2 · x 2 − 3 · x + 1 3. Forma canónica y ecuaciones E.7227 Recordatorio : para resolver una ecuación en forma de igualdad de dos cuadrados, utilizamos la tercera identidad notable para reducir a una ecuación producto : Resolvamos la ecuación x + 1 2 = 9 : x + 1 2 = 9 x + 1 2 = 3 2 x + 1 2 − 3 2 = 0 D de la identidad notable : x + 1 + 3 x + 1 − 3 = 0 x + 4 x − 2 = 0 Un producto es cero si, y sólo si al menos uno de sus factores es cero: x + 4 = 0 x = − 4 x − 2 = 0 x = 2 La solución de esta ecuación es : − 4 y 2 . Consideremos el polinomio ( P ) : x 2 +6 x − 7 1 Determina la forma canónica del polinomio P . 2 Utilizando la forma canónica del polinomio, determina las dos soluciones de la ecuación : x 2 +6 x − 7=0 . E.9763 Consideremos el polinomio: P =3 · x 2 − 12 · x +17 . 1 Entre las expresiones siguientes, ¾cuál es la forma canónica del polinomio P : 3 · x − 2 2 +5 3 · x +1 2 +7 3 · x − 3 2 − 17 2 Utilizando la forma canónica del polinomio P , resuelve la ecuación : 3 · x 2 − 12 · x +17=8 E.7220 Consideremos el polinomio ( P ) : x 2 +4 · x +9 . 1 Determina los valores de los números a y b realizando la identidad : x 2 +4 · x +9= x + a 2 + b 2 Deduce que la ecuación x 2 +4 · x +9=1 no admite solu-ción. E.10200 1 Dar la forma canónica de la expresión : 3 · x 2 + 12 · x + 2 2 a Resuelve la ecuación : 3 · x + 2 2 = 27 b Deduce las soluciones de la ecuación : 3 · x 2 + 12 · x + 2 = 17 E.9442 Consideremos la ecuación : ( E ): 2 x 2 +4 x +4=20 . 1 Determinar la forma canónica del polinomio: 2 x 2 +4 x − 16 . 2 Deducir las soluciones de la ecuación ( E ) . E.4410 Considera la expresión : ( E ): x 2 + 3 x +10 1 Determina la expresión para la forma canónica de ( E ) . 2 Deduce que la ecuación x 2 +3 x +10=0 no admite solu-ción. E.10564 1 Determinar la forma canónica de la expresión : x 2 − 6 x + 3 2 Resolver la ecuación : x 2 − 6 x + 3 = 19 E.2246 1 Factoriza cada una de las siguientes expresiones en un producto de factores de primer grado : a 4 x 2 − 81 b x 2 − 5 c (2 x − 4) 2 − 9 d x 2 − 6 · x + 9 2 Encuentra un argumento que justifique que la expresión x 2 +1 no se puede factorizar como producto de factores de primer grado. entonces habremos establecido la siguiente afirmación : No existen números reales ¸ , ˛ , ‚ , ‹ tales que : x 2 + 1 = ( ¸ · x + ˛ )( ‚ · x + ‹ ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/10553 sacados/10553 chapExoCorrec/2248 sacados/2248 Utilisation des quotients dans l'exercice chapExoCorrec/10552 sacados/10552 chapExoCorrec/9396 sacados/9396 chapExoCorrec/2250 sacados/2250 chapExoCorrec/7101 sacados/7101 chapExoCorrec/7227 sacados/7227 chapExoCorrec/9763 sacados/9763 chapExoCorrec/7220 sacados/7220 chapExoCorrec/10200 sacados/10200 chapExoCorrec/9442 sacados/9442 chapExoCorrec/4410 sacados/4410 chapExoCorrec/10564 sacados/10564 chapExoCorrec/2246 sacados/2246
<0Aucune racine01racine−b2·a>02racine−b−2·a;−b2·a E.2247 Consideremos la expresión P definida por: P = x − − 3 + 5 2 x − − 3 − 5 2 1 Dar la forma expandida y reducida de la expresión P . 2 Resuelve la ecuación : x 2 +3 · x +1=0 . E.9533 Sea la función f cuya imagen de x se define por: f ( x ) = x 2 − 2 x − 2 1 Determinar los valores de los dos números reales ¸ y ˛ que verifican la siguiente igualdad : f ( x ) = x − ¸ 2 + ˛ 2 Determinar la forma factorizada de la función f . 3 Deduzca de la pregunta anterior los antecedentes de 0 mediante la función f . 4. Cálculo del discriminante E.4459 Definición : el discriminante de un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado es un número que se calcula uti-lizando los coeficientes del polinomio: Δ = b 2 − 4 × a × c Completa la siguiente tabla para cada uno de los polinomios de segundo grado : a b c Δ= b 2 − 4 · a · c 2 x 2 +5 x +1 − x 2 +7 x +3 x 2 − 5 x +4 2 x 2 − 4 x − 1 − x 2 − x − 1 x 2 +7 E.4408 Determina el discriminante de los polinomios de segundo grado siguientes : a x 2 + 2 x + 4 b 2 x 2 + 4 x + 1 c x 2 − 2 x + 1 E.10201 Determina el discriminante de cada uno de los polinomios de segundo grado siguientes : a 3 · x 2 + 5 · x + 2 b − x 2 − 3 · x + 2 c 2 · x 2 − 1 3 · x + 1 E.10554 Determina el discriminante de los siguientes polinomios de segundo grado : a − 2 x 2 + 2 x + 1 b x 2 − x − 1 c 3 x 2 + x − 2 5. Ecuación de segundo grado E.2253 Definición : las raíces de un polinomio son los valores que cancelan dicho polinomio. Proposición: para un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado, el número de raíces existentes depende del discrimi-nante : Determina las raíces de los siguientes polinomios: a x 2 + 4 x − 5 b x 2 + x + 1 c 2 x 2 − 13 x + 15 d 3 x 2 − 6 x + 3 E.7082 Determina las raíces de los poli-nomios siguientes : a 2 x 2 − 3 x − 2 b − 4 x 2 + 12 x − 9 c 3 x 2 − 4 x + 2 E.770 Determina las raíces de los siguientes polinomios: a 3 x 2 − 5 x + 6 b 3 x 2 − 24 x + 48 c − 2 · x 2 + x + 6 E.2260 Determina las raíces de los siguientes polinomios: a x 2 + 2 x − 15 b 3 x 2 − 5 x + 7 E.10551 Determina las raíces de los sigu-ientes polinomios: a 3 x 2 − 24 x + 48 b − 4 · x 2 − x + 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2247 sacados/2247 chapExoCorrec/9533 sacados/9533 chapExoCorrec/4459 sacados/4459 chapExoCorrec/4408 sacados/4408 chapExoCorrec/10201 sacados/10201 chapExoCorrec/10554 sacados/10554 chapExoCorrec/2253 sacados/2253 <0Aucune racine01racine−b2·a>02racine−b−2·a;−b2·a chapExoCorrec/7082 sacados/7082 chapExoCorrec/770 sacados/770 chapExoCorrec/2260 sacados/2260 chapExoCorrec/10551 sacados/10551
ABCDEFG6cm3cm E.7086 Determina las raíces de los siguientes polinomios de segundo grado : a 4 · x 2 − 8 · x + 3 b 9 x 2 + 12 x + 4 E.9534 Determina las raíces de los siguientes polinomios de segundo grado : a − 2 · x 2 − 5 · x − 3 b 2 · x 2 + 5 · x + 2 E.10555 Determina las raíces de los sigu-ientes polinomios de segundo grado : a x 2 + x − 2 b 3 · x 2 + 4 · x + 2 E.5710 Determina las raíces, en forma sim-plificada, de los siguientes polinomios: a 2 x 2 − 3 x − 9 b 5 x 2 − 8 x + 5 c 2 x 2 − 8 x + 8 E.7104 Resuelve las siguientes ecuaciones : a x 2 − 4 · x − 5 = 0 b 3 · x 2 − x − 2 = 0 E.9464 Determina las raíces de los siguientes polinomios: a 2 3 · x 2 + x − 3 b − 2 · x 2 − 11 3 · x − 1 c 3 · x 2 − 3 · x + 2 3 E.9400 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 7 · x 2 − 5 3 · x − 7 3 = 0 b − 1 2 · x 2 − 4 5 · x + 2 5 = 0 E.7047 Cuál de las cuatro afirma-ciones siguientes es correcta? La ecuación − x 3 3 + x 2 +3 · x =0 admite en R : a la solución es − 2 b trois soluciones distintas c aucune solution d une únicas solution 6. Ecuación de segundo grado E.10546 Determina las raíces de los poli-nomios de segundo grado : a x 2 − 3 x + 1 b 5 x 2 + 5 x + 1 E.10550 Determina las raíces de los poli-nomios de segundo grado : a x 2 − 7 x + 9 b − 2 x 2 − 3 x + 1 E.10547 Determina las raíces de los poli-nomios : a − 3 x 2 + 6 x + 1 b 4 x 2 − 6 x + 1 Pista: recuerda simplificar el radical 7. Ecuación de segundo grado y manipulación algebraica E.9399 Resuelve la siguiente ecuación : x ( x − 2)( x + 1) = ( x − 2)( − 7 − 3 x ) E.10548 Resuelve la ecuación : x − 1 x + 1 = 1 − 2 · x E.10549 Resuelve la ecuación : 2 x − 1 2 x + 1 = 1 − x 8. Problemas E.10202 Consideremos el rectángulo de abajo con dimensiones 6 cm y 3 cm . Dentro de este rectán-gulo construimos el cuadrado ABCD y el rectángulo CEFG cuyos lados son paralelos al rectángulo que los contiene. Sea x la longitud del segmento [ AB ] . Determina si es posible que la parte sombreada de esta figura tenga un área de 8 cm 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7086 sacados/7086 chapExoCorrec/9534 sacados/9534 chapExoCorrec/10555 sacados/10555 chapExoCorrec/5710 sacados/5710 chapExoCorrec/7104 sacados/7104 chapExoCorrec/9464 sacados/9464 chapExoCorrec/9400 sacados/9400 chapExoCorrec/7047 sacados/7047 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2014 chapExoCorrec/10546 sacados/10546 chapExoCorrec/10550 sacados/10550 chapExoCorrec/10547 sacados/10547 chapExoCorrec/9399 sacados/9399 chapExoCorrec/10548 sacados/10548 chapExoCorrec/10549 sacados/10549 chapExoCorrec/10202 sacados/10202 ABCDEFG6cm3cm
ABCDEFGHI2xx4cm4cm ABCDIxcm10cm ABMNPx19m 5cmxx 9m5mx ABCDMNxx E.10328 Considera la siguiente figura formada por: AEFG el cuadrado, de dos rectángulos ABCD y CIFH . Los puntos B , D , I , H pertenecen a los lados del cuadrado AEFG . Considera el área som-breada que se muestra al lado y anota su área A : (las medidas están en centímetros) Determina el conjunto de valores de x que satisface la ecuación : A = 37 4 Cualquier prueba de investigación o de toma de ini-ciativa se tendrá en cuenta en la evaluación. . E.2955 Consideremos un cuadrado ABCD de 10 centímetros de lado; un punto I pertenece a la diagonal [ AC ] , está marcado como se muestra en la figura siguiente por la longitud x : A partir de este punto I , construimos dos cuadrados de diago-nales [ AI ] y [ IC ] re-spectivamente. Determina el valor de x para el cual la suma de las áreas de estos dos cuadrados es 5 = 8 del área del cuadrado ABCD . E.9463 Pista: redacción y cualquier rastro de investigación se ten-drán en cuenta a la hora de evaluar este ejercicio . Considera un segmento [ AB ] de longitud 19 m y un punto M perteneciente a dicho segmento. Sea x la longitud del segmento [ AM ] y sitúe sobre esta figura los puntos N y P tales que AMNP es un cuadrado. Determina el valor del número x para que el área del polígono ABNP sea igual a 91 m 2 . E.10190 Considera el siguiente cuadrado de lado 5 cm y sombreado un triángulo rectángulo isósceles y un trapecio rectángulo : Determina el valor de x para que el área de la parte sombreada mida 16 cm 2 . E.5713 Junto a su casa, Jean tiene un jardín rectangular con unas dimensiones de 9 m y 5 m . Quiere construir un camino con la misma anchura en tres de los lados del jardín y plantar césped en el resto. Propone el siguiente esquema, en el que la parte sombreada es el espacio del césped ¾Cuál debe ser el ancho del camino para que todo el césped tenga una superficie de 10 m 2 ? E.5972 En este ejercicio, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investi-gación, aunque sea incompleta, o cualquier iniciativa, aunque no haya dado fruto. Consideremos un rectángulo ABCD cuyas dimensiones se indican a continuación : AB =6 m ; AD =4 m . Para un número real x com-prendido entre 0 y 4 , se colocan los puntos M y N respectiva-mente en los [ AB ] y [ BC ] de tal manera que : AM = x ; BN = x Determinar el valor o valores posibles de x para que el área del triángulo MBN sea igual a 1 6 del área total del rectángulo ABCD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10328 sacados/10328 ABCDEFGHI2xx4cm4cm chapExoCorrec/2955 sacados/2955 ABCDIxcm10cm chapExoCorrec/9463 sacados/9463 ABMNPx19m chapExoCorrec/10190 sacados/10190 5cmxx chapExoCorrec/5713 sacados/5713 9m5mx chapExoCorrec/5972 sacados/5972 ABCDMNxx
ABCDIJKLxcm7cm5cm ABCDEFxy 5m20m E.5706 Considera la siguiente figura donde ABCD es un rectángulo tal que : ABCD es un rectángulo. Los puntos I , J , K , L son puntos pertenecientes respectiva-mente a los segmentos [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] y [ AD ] verificando : IB = JC = KD = LA Determina, si es posible, la posición o posiciones del punto K para que el área del dominio sombreado sea 25 cm 2 . E.6786 1 Comprueba que : 10 2 +11 2 +12 2 =13 2 +14 2 2 ¾Existen otros conjuntos de 5 enteros naturales consecu-tivos tales que la suma de los cuadrados de los dos may-ores sea igual a la suma de los cuadrados de los menores? E.7152 Sea m un número real. Considere-mos el polinomio P definido por: P =( m +1) · x 2 +(2 − m ) · x + 1 ¾Para qué valores de m el polinomio P no tiene raíces? 9. Problemas con la sustitución E.8384 1 Resuelve la ecuación : x 2 − 37 2 · x +85=0 2 Considera un rectángulo con 37 m como perímetro y 85 m 2 como área. Anotaremos L y ‘ , la longitud y la anchura de este rectángulo respectivamente. a Expresa ‘ en función de L . b Determina las dimensiones de este rectángulo. E.10565 La siguiente figura está formada por dos rectángulos y un cuadrado : Observamos P el polígono ABCDEF . 1 a Expresa el perímetro L del polígono P en función de x y y . b Expresa el área A del polígono P en función de x y y . 2 Determina el conjunto de parejas ( x ; y ) que alcanzan las dos condiciones siguientes : L = 15 ; A = 14 E.8196 Un rectángulo tiene perímetro 19 m y área 12 m 2 . Determina las dimensiones de este rectángulo. E.8309 Iliam quiere construir un gallinero rectangular en su jardín. La siguiente figura muestra las dimensiones del jardín de Il-iam y la ubicación del gallinero, que se adosará a la pared de su casa : El gallinero está representado por la superficie sombreada. Dispone de 17 m de malla metálica para construir la valla y desea utilizar toda la malla para construir su gallinero, que tendrá una superficie de 30 m 2 . Determine las dimensiones del gallinero que cumpla sus condi-ciones. 10. Problemas y curvas representativas de funciones E.9444 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, consideremos la recta ( d ) que pasa por los puntos A (0 ; 6) y B (3 ; 0) : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5706 sacados/5706 ABCDIJKLxcm7cm5cm chapExoCorrec/6786 sacados/6786 Olympiade Amiens 2015 chapExoCorrec/7152 sacados/7152 chapExoCorrec/8384 sacados/8384 chapExoCorrec/10565 sacados/10565 ABCDEFxy chapExoCorrec/8196 sacados/8196 chapExoCorrec/8309 sacados/8309 5m20m chapExoCorrec/9444 sacados/9444
3I23456JOAB(dMNQP IJOA(dMNQP MNP234567I2JOCf PQMIJO(dA Considera los puntos 4 M , N , P , Q verificando las siguientes propiedades : tenemos las coordenadas : Q (2 ; 0) ; M ( x ; 0) donde x pertenece al intervalo 0 ; 2 . puntos N y P pertenecen a la recta ( d ) . los puntos M y P tienen la misma abscisa y los puntos Q y P tienen la misma abscisa. 1 a Determina la expresión de la función afín f que ad-mite como curva representativa la recta ( d ) . b Deduce las coordenadas del punto P . c Deduce la expresión de las coordenadas del punto N en función de x . 2 Observa A el área del trapecio MNPQ : a Da la expresión del área A en función de x . b Determina la posición del punto M para que el área A sea 3 . E.8308 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, consideremos la recta ( d ) que pasa por los puntos J y A (6 ; 0) : El punto Q tiene abscisa 4 y la abscisa del punto M pertenece al intervalo 0 ; 4 ; El punto N (resp. P) pertenece a la recta ( d ) y tiene la misma abscisa que el punto M (resp. Q) cuya abscisa se denota x . 1 Determina las coordenadas del punto N en función de x . 2 Determina la posición del punto M en el eje x de forma que el área del trapecio MNPQ sea 7 4 . E.10204 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considere la curva C f de la función f afín admitiendo como expresión : f ( x ) = − 1 3 · x + 2 Sea x un número perteneciente al intervalo 0 ; 6 . Anota N el punto de la curva C f de abscisa x y construye el rectángulo OMNP cuyos lados sean paralelos a los ejes. Determina las (o las) coordenadas del punto N tal que el rectángulo OMNP tenga un área de 5 3 . E.6691 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la recta ( d ) que pasa por los puntos A (4 ; 0) y J . Consideremos un punto M perteneciente a la recta ( d ) y con abscisa x tal que x ∈ 0 ; 4 . Determina la posición del punto M en la recta ( d ) tal que el rectángulo OPMQ y el triángulo MPA tengan la misma área. Cualquier prueba de investigación e iniciativa se ten-drá en cuenta durante la evaluación. https://chingmath.fr 3I23456JOAB(dMNQP chapExoCorrec/8308 sacados/8308 IJOA(dMNQP chapExoCorrec/10204 sacados/10204 MNP234567I2JOCf chapExoCorrec/6691 sacados/6691 PQMIJO(dA
DI2JOC A1A2aI2JOC 2IJOMNPA xxyyCfMO E.6754 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 2 − x para todo número real x del intervalo 0 ; 1 . Se admite que : f ( x ) > 0 , para todo real x del intervalo 0 ; 1 . Se denota por C la curva repre-sentativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonor-males, y por D el dominio plano comprendido, por un lado, en-tre el eje de abscisas y la curva C y, por otro, entre las rectas de ecuaciones x =0 y x =1 . La curva C y el dominio D se rep-resentan al lado. El objetivo de este ejercicio es dividir el dominio D en dos dominios de igual área, primero mediante una recta paralela al eje de ordenadas (parte A ) , y luego mediante una recta paralela al eje de abscisas (parte B ) . Parte A Sea a un número real tal que 0 a 1 . Denotemos por A 1 el área del dominio comprendido entre la curva C , el eje Ox , las rec-tas de ecuaciones x =0 y x = a , y luego A 2 el del dominio com-prendido entre la curva C , Ox y las rectas de ecuaciones x = a y x =1 . A 1 y A 2 se expresan en unidades de área. Determinar el valor de a para que las áreas A 1 y A 2 sean iguales Parte B Sea b un número real positivo. En esta parte, se propone dividir el dominio D en dos do-minios de igual área mediante la recta de ecuación y = b . Se admite que existe un único número real positivo b como solu-ción. Determinar el valor de b . E.7153 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 2 por la relación: f ( x ) = 17 · x − 48 12 · x − 48 La curva C f representativa de la función f se representa en el marco ortonormal O ; I ; J siguiente : Sea x un número perteneciente al intervalo 0 ; 2 . Denota-mos por N el punto de abscisa x de la curva C f . El punto A tiene coordenadas (2 ; 0) y el rectángulo OMNP es un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes. Determina el valor o valores de x para que los triángulos JNP y AMN tengan la misma área. E.9465 Consideremos la función f definida en 0 ; 3 por: f ( x ) = − 3 · x 2 + 9 · x En el plano provisto de un sistema de coordenadas, consider-amos la curva C f representativa de la función f y el punto M perteneciente a la curva C : Construimos el rectángulo que tiene los puntos O y M como vértices opuestos y cuyos lados son paralelos a los ejes del sistema de coordenadas. Determina la abscisa del punto M para que el área de este rectángulo tenga un valor de 12 . Indicación : se puede factorizar la expresión del área del rectángulo en función de la abscisa x del punto M mediante una expresión de la forma : x − 2 a · x 2 + b · x + c donde a;b;c ∈ R 11. Raíces y radicales E.9402 Expresa las dos raíces del polinomio x 2 − 3 x +1 como a + 5 b donde a y b son dos números reales. E.9462 Considera el polinomio P definido por: P = − 4 · x 2 +4 · x +1 . Determina las dos raíces de este polinomio de la forma : a + b · 2 donde a , b son números reales. E.8310 Determina las raíces del polinomio x 2 +8 x +8 . Sus raíces se expresarán como: a + b · 2 donde a;b ∈ R Indicación : utilizaremos la simplificación: 32=4 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6754 sacados/6754 DI2JOC A1A2aI2JOC chapExoCorrec/7153 sacados/7153 2IJOMNPA chapExoCorrec/9465 sacados/9465 xxyyCfMO chapExoCorrec/9402 sacados/9402 chapExoCorrec/9462 sacados/9462 chapExoCorrec/8310 sacados/8310
E.8288 Determina las raíces de los siguientes polinomios: a 2 x 2 + 3 x + 3 b x 2 − 2 x − 6 c x 2 + 2 x − 1 Pista: expresaremos estas raíces, si existen, de la forma : a + b · c donde a ∈ R , b ∈ R , c ∈ R ∗ + E.8289 Determinar las raíces de los sigu-ientes polinomios de segundo grado : a − x 2 − 4 x − 2 b − 4 · x 2 − 12 x − 9 c − 2 · x 2 + 2 · x + 1 Indicación : las raíces se expresarán de la forma más sim-plificada posible. E.9401 Determinar las raíces de los sigu-ientes polinomios de segundo grado : a − 2 · x 2 − x + 1 b 2 · x 2 − x + 3 c 2 · x 2 − 4 x + 1 Indicación : las raíces se expresarán de la forma más sim-plificada posible. E.1969 1 Sea ( P ) el polinomio definido por: x 2 − 2 · x − 1 Evalúe el polinomio ( P ) para x =1+ 2 . 2 Establece que el número − 5 − 17 2 es raíz del polinomio x 2 +5 x +2 . 3 Demuestra que la ecuación − 3 x 2 +6 x − 2=0 admite como conjunto solución : S = 1 − 3 3 ; 1+ 3 3 12. Suma y producto de raíces E.2297 1 Estudio teórico: Admitimos que para un trinomio ax 2 + bx + c de segundo grado cuyo discriminante Δ es estrictamente positivo, es-tas dos raíces se expresan de la forma : x 1 = − b − √ Δ 2 a ; x 2 = − b + √ Δ 2 a a Demuestra que la suma de las raíces es − b a . b Demuestra que el producto de las raíces es c a 2 Aplicación : A partir de las propiedades establecidas en la pregunta anterior, responde a las siguientes cuestiones : a Considera el polinomio 2 x 2 +4 x − 16 . Tras comprobar que 2 es una raíz de este polinomio, determina el valor de la otra raíz. b Determina un trinomio de segundo grado que admita dos raíces cuya suma de raíces sea 3 y producto de raíces sea − 10 . 13. Otras ecuaciones E.8106 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 · x 3 − 18 · x 2 + 16 · x − 4 1 Determinar los reales a , b , c realizando la identidad : f ( x ) = 2 · x − 1 a · x 2 + b · x + c 2 Elabora la tabla de signos de la función f . E.2255 Consideremos la función polinómica P de grado 3 definida por: P ( x ) = 3 x 3 + x 2 − 8 x + 4 1 Determine los valores de a , b , c tales que : P ( x ) = ( x + 2) a · x 2 + b · x + c 2 Deduce el conjunto de ceros del polinomio P . E.2256 Considera la siguiente fracción racional: Q ( x ) = 2 x 2 + 2 x − 8 9 x 2 − 3 x + 1 1 Determina el conjunto de definición de la función Q . 2 Determina el conjunto de ceros de esta función. 14. Desarrollos y problemas E.8195 Un artículo comienza en 128 e , se incrementa en t % y finalmente se reduce en t % . Su nuevo precio es 126 e . Determina el valor del número t asociado a cada uno de estos cambios. E.8194 Neo abrió una cuenta en 2017 y de- positó el 1 er de enero de 2017, el 1 er de enero de 2018 y el 1 er de enero de 2019 siempre la misma cantidad, que anotaremos como x . Su cuenta devenga un interés fijo 4 % anual. Sabiendo que su cuenta tiene un saldo acreedor, a 1 er de enero de 2019, de 468 ; 24 e , , determine la suma x que Neo deposita cada año en su cuenta. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8288 sacados/8288 chapExoCorrec/8289 sacados/8289 chapExoCorrec/9401 sacados/9401 chapExoCorrec/1969 sacados/1969 chapExoCorrec/2297 sacados/2297 chapExoCorrec/8106 sacados/8106 chapExoCorrec/2255 sacados/2255 chapExoCorrec/2256 sacados/2256 chapExoCorrec/8195 sacados/8195 chapExoCorrec/8194 sacados/8194
-1234567I-2246JOCfCg -1234567I-2246JOCf 15. Ejercicios no clasificados E.2245 Consideremos la función f definida en R cuya imagen de un número x viene definida por la relación algebraica: f ( x ) = 4 x 2 + 4 x − 3 1 a Demuestra que para cualquier x ∈ R , tenemos : f ( x ) = (2 x − 1)(2 x + 3) b Demuestra que para cualquier x ∈ R , tenemos : f ( x ) = (2 x + 1) 2 − 4 2 Para cada una de las siguientes preguntas, utilice la forma más adecuada : a Determine los antecedentes de 0 mediante la función f . b Sabiendo que el cuadrado de un número es siempre positivo o cero, establecer que la función f se reduce en − 4 . c Determina el signo de la función f en R . d Resuelve la inecuación : f ( x ) 5 . E.7221 Resuelve la siguiente ecuación y da las respuestas redondeadas al centésimo más cercano : 3 · x 2 + x − 1=0 E.8213 Consideremos la función f definida por el polinomio de segundo grado : f ( x )=4 x 2 − 12 x +8 1 Determina la forma canónica de la expresión de f . 2 Establecer que en x = 3 2 , la función f admite un mínimo. Se darán los rasgos característicos de este extremo. a Comprobar que el número 1 es un cero de la función f . b Deduce la forma factorizada de la función f . c Elaborar la tabla de signos de la función f . E.9525 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 ; g ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x + 2 En el plano provisto de un sistema de referencia ortogonal O ; I ; J , damos las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g respectivamente. 1 Determina los ceros de la función f . 2 Determina la posición relativa de las curvas C f y C g . E.9526 En el plano provisto de un sistema de referencia ortogonal O ; I ; J , consideremos la curva C f rep-resentativa de la función f definida en R por: f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 He aquí la representación de la curva C f : Determina los ceros de la función f . E.10203 Sea m un número real ( m ∈ R ) . Para cualquier número m , consideramos la función f m definida en R por: f m ( x ) = 4 · x 2 + 5 − m x + m Determinar el conjunto de valores de m para los que la curva de la función f m interseca una sola vez el eje de abscisas. E.10563 Proposición: (admitido) Un polinomio es factorizable en forma de cuadrado, si y sólo si, su discriminante es cero. Sea a un número conocido, considere el polinomio P definido por: P = x + 10 x + 10 + a + k Determina el valor de k en función de a para que el polinomio P pueda factorizarse como un cuadrado. Indicación : cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto, se tendrá en cuenta durante la evaluación. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2245 sacados/2245 chapExoCorrec/7221 sacados/7221 chapExoCorrec/8213 sacados/8213 chapExoCorrec/9525 sacados/9525 -1234567I-2246JOCfCg chapExoCorrec/9526 sacados/9526 -1234567I-2246JOCf chapExoCorrec/10203 sacados/10203 chapExoCorrec/10563 sacados/10563