Bachillerato 1 / Segundo grado: funciones, variaciones, desigualdades 81 ejercicios corregidos

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ChingQuizz : 8 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios E.8375 Completa las tablas de signos sigu-ientes : 1 x −∞ + ∞ 1 − x 2 x + 1 altura0.75pt (1 − x )(2 x +1) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 altura0.75pt ( x − 3)( − 2 x +4) 2. Tabla de variaciones E.3080 Propuesta: tabla de variaciones de una función de se-gundo grado en función del coeficiente a del término de segundo grado : Elabora la tabla de variaciones de las funciones polinómicas de segundo grado siguientes : a f ( x ) = 3 · x 2 − 3 · x + 2 b g ( x ) = − x 2 − 2 · x + 3 E.2976 Para cada una de las funciones, elab-ora la tabla de variaciones e indica las características de sus extremos : a f : x ↦−→ 2 x 2 + 8 x + 1 b g : x ↦−→ − x 2 + 2 x + 1 E.8380 Para cada una de las funciones, elab- ora la tabla de variaciones y da las características de su ex-tremo : 1 f ( x ) = − 3 x 2 + 9 x − 2 2 g ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 2 E.8522 Para cada una de las funciones, elab-ora la tabla de variaciones y da las características de su ex-tremo : 1 f : x ↦−→ 1 6 · x 2 + 1 4 x + 1 2 g : x ↦−→ − x 2 + 2 3 x − 1 E.4502 1 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = a · x 2 + 3 x + 2 donde a ∈ R Sabiendo que su curva representativa pasa por el punto de coordenadas A ( − 2 ; − 12) , determine la expresión completa de la función f . 2 Sea g la función cuya imagen de un número real x se de-fine mediante : g ( x ) = 3 x 2 + b · x + 1 donde b ∈ R Sabiendo que el vértice de la parábola representativa de la función g tiene como abscisa 1 , determine la expresión completa de la función g . 3. Tabla de variaciones y raíces E.2977 Sea h la función definida por la relación: h ( x ) = 4 x 2 + 2 x + 1 1 Elabora la tabla de variaciones de la función h . 2 Justifica que la función h nunca se anula en R . E.8520 Sea f la función definida por la relación: f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 1 1 Elabora la tabla de variaciones de la función f . 2 Justifica que la función f se anula en dos valores. https://chingmath.fr quizzChap/1197 chapExoCorrec/8375 sacados/8375 chapExoCorrec/3080 sacados/3080 x−∞∞Variationsdef−b=2a−∞−∞−4ax−∞∞Variationsdef−b=2a∞∞−4aPoura<0Poura>0 chapExoCorrec/2976 sacados/2976 chapExoCorrec/8380 sacados/8380 chapExoCorrec/8522 sacados/8522 chapExoCorrec/4502 sacados/4502 chapExoCorrec/2977 sacados/2977 chapExoCorrec/8520 sacados/8520
E.8521 Sea g la función definida por la relación: g ( x ) = − 4 x 2 + 4 x − 1 1 Elabora la tabla de variaciones de la función g . 2 Justifica que la función g se anula en un único valor que especificaremos. E.4469 Empareja cada uno de los polinomios que aparecen a continuación con su representación gráfica: A = x 2 +4 x +5 ; B = − x 2 +2 x +2 ; C =4 x 2 − 4 x +1 D = − x 2 − 1 ; E = x 2 − 2 x − 1 ; F = − x 2 +2 x − 1 4. Problemas y extremos E.8379 Se quiere construir un área de jue-gos rectangular junto a un edificio. Además, queremos que las dimensiones de este rectángulo sean mayores o iguales a 10 m . Esta zona de juegos está rodeada por tres lados por una pasarela de anchura 3 m , como se muestra en el siguiente esquema. El conjunto está vallado por tres lados [ AB ] , [ BC ] y [ CD ] . Nos interesa la longitud L de la valla: L = AB + BC + CD . Observamos x y y las dimensiones en metros del área de juego (el valor de x y y son necesariamente positivos) . Disponemos de 100 metros de valla que queremos utilizar en su totalidad : 1 a Expresa, en estas condiciones, el valor de y en fun-ción de x . b Justifica que el valor de x debe ser menor que 44. 2 Determina las dimensiones para que se utilicen los 100 metros de vallado y se maximice la superficie de juego. E.8104 Consideremos un segmento [ AB ] de longitud 1 m , un punto M perteneciente al segmento [ AB ] y los dos discos D 1 y D 2 de diámetros [ AM ] y [ MB ] respecti-vamente. Determinar el lugar o lugares del punto M tal que la suma de las áreas de los discos D 1 y D 2 sea mínima. E.4867 Un granjero tiene en su campo un gallinero de forma rectangular y dimensiones 5 m y 2 m . Quiere construir un potrero como el de la figura siguiente con 17 m de vallado: Los números x y y representan las dimensiones de este campo. El gallinero está representado por la zona sombreada, la valla está representada por la línea de puntos y la zona exterior dedicada a las gallinas está representada por la zona blanca. Anotamos A la superficie de la parte exterior. 1 Establece la siguiente relación entre x y y : x + y = 12 2 Demuestra que el área del espacio exterior tiene la expre-sión : A ( x )= − x 2 +12 · x − 10 3 Elabora la tabla de variaciones de la función A sobre R . 4 Determina los valores de x y y para que la superficie del espacio exterior reservado a las gallinas sea máxima. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8521 sacados/8521 chapExoCorrec/4469 sacados/4469 IJOCf IJOCg IJOCh IJOCj IJOCk IJOC chapExoCorrec/8379 sacados/8379 3yxABCD chapExoCorrec/8104 sacados/8104 ABMD1D2 chapExoCorrec/4867 sacados/4867 2myx5m
E.8381 Un carpintero tiene un palo de madera de 100 centímetros de largo y 3 centímetros de an-cho. Quiere utilizar toda la longitud del palo para hacer un marco de madera como el que se muestra a continuación : Sea A ( x ) el área interna del marco en función de x . 1 Elabora la tabla de variaciones de la función A . 2 Deduce las dimensiones del marco para que el área inte-rior sea máxima. E.8430 La figura siguiente está formada por el segmento [ AB ] que mide 6 cm y un punto M plano en el segmento [ AB ] . El semicírculo C 1 (resp. C 2 , C 3 ) admite el segmento [ AB ] (resp. [ MB ] , [ AM ] ) por diámetro. Sea x la longitud del segmento [ AM ] . Determina para quelle (s) valeur (s) de x el área del dominio sombreado es máx-ima. 5. Forma canónica y factorización E.1829 Considera el polinomio de segundo grado : P = x 2 − 6 x − 16 1 Determina la forma canónica del polinomio P . 2 Deduce la factorización: P = x − 8 x + 2 3 Deduce que la tabla de signos : x −∞ − 2 8 + ∞ x 2 − 6 x − 16 + 0 − 0 + E.8373 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x 2 − 16 · x + 30 1 Establecer que la función f admite como forma canónica : f ( x ) = 2 · x − 4 2 − 1 2 Deduce la expresión de la función f , luego factoriza en la forma de dos factores de grado 1 . Pista: la función f admite una factorización de la forma : f ( x )=2 · a · x + b c · x + d donde a; b; c; d ∈ R 3 Elabora la tabla de signos de la función f . E.2249 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 6 x 2 − 9 x − 6 1 Demuestre que la expresión de f ( x ) puede escribirse : f ( x ) = 6 x − 3 4 2 − 25 16 2 Observando que 25 16 = 5 4 2 , factoriza la expresión de la función f como dos factores de grado 1 . 3 Elabora la tabla de signos de la función f . E.6397 Considera el polinomio de segundo grado : P = − 2 x 2 − 13 x − 15 1 Determina la forma canónica del polinomio P . 2 Deduce la factorización: P = − 2 x − 3 x + 5 3 Deduce que la tabla de signos del polinomio P E.8374 Consideremos la función f definida para cualquier x ∈ R por: f ( x ) = 2 · x 2 − 6 · x − 8 1 A continuación se da la curva C f representativa de la fun-ción f en un sistema de referencia ortogonal O ; I ; J : Conjetura la tabla de signos de la función f . 2 a Determina la forma canónica y luego la forma fac-torizada de la función f . b Establecer la tabla de signos de la función f . 6. Introducción: raíces, factorización y signos https://chingmath.fr chapExoCorrec/8381 sacados/8381 xcmycm3cm chapExoCorrec/8430 sacados/8430 ABMC1C2C3 chapExoCorrec/1829 sacados/1829 chapExoCorrec/8373 sacados/8373 chapExoCorrec/2249 sacados/2249 chapExoCorrec/6397 sacados/6397 chapExoCorrec/8374 sacados/8374 -3-2-123456I-12-8-448JOCf
E.10223 Consideremos el polinomio: P = 3 · x 2 + 3 · x − 18 1 Determina las raíces del polinomio P . Sean x 1 y x 2 las dos raíces del polinomio P . 2 a Expande la expresión x − x 1 x − x 2 . b Deduce una factorización del polinomio P . c Elabora la tabla de signos de la expresión P en R . E.10224 Considera el polinomio: P = − 9 · x 2 + 6 · x + 15 1 Determina las raíces del polinomio P . Sean x 1 y x 2 las dos raíces del polinomio P . 2 a Expande la expresión x − x 1 x − x 2 . b Deduce una factorización del polinomio P . c Elabora la tabla de signos de la expresión P en R . E.10323 Consideremos el polinomio: P = − 2 · x 2 − 8 · x + 16 1 Determinar las raíces del polinomio P . Indicación : Las raíces se expresarán en la forma ˇ a + b · √ c ı, donde a;b;c ∈ Z . Denotemos por x 1 y x 2 las dos raíces del polinomio P . 2 a Desarrollar la expresión x − x 1 x − x 2 . b Deduzca una factorización del polinomio P . c Elabore la tabla de signos de la expresión P sobre R . 7. Factoring E.2527 Propuesta: La factorización de un polinomio a · x 2 + b · x + c de segundo grado depende del valor de su discriminante Δ : Factoriza, si es posible, las siguientes expresiones : a x 2 − 3 x + 2 b − 2 x 2 − 2 x + 4 c − x 2 + 2 x − 1 d 4 x 2 + x + 3 E.9518 Exprese las siguientes expresiones en forma factorizada : a 3 · x 2 − 3 · x − 6 b 2 · x 2 + 12 · x + 18 E.9521 Factoriza, si es posible, los poli-nomios de segundo grado siguientes : a x 2 + 2 x + 1 b 3 x 2 − 4 x + 2 c − 3 x 2 + 4 x − 1 Sugerencia : presentar los resultados como: a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 con a;b;c;d ∈ Z E.9520 Factoriza, si es posible, las siguientes expresiones : a 8 x 2 − 24 x + 18 b 3 x 2 + x + 1 c − 4 x 2 + x + 3 Sugerencia : presentar los resultados como: a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 con a;b;c;d ∈ Z E.8427 Factoriza las siguientes expresiones : a 6 · x 2 − 7 · x − 3 b 4 · x 2 +12 · x +9 Sugerencia : presentar los resultados como: a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 con a;b;c;d ∈ Z E.10594 Factoriza, si es posible, cada uno de los polinomios que aparecen a continuación : a 3 x 2 − 12 x + 12 b − 5 x 2 + 2 x − 1 c 6 x 2 + x − 15 E.8290 Factoriza las siguientes expresiones : a 4 x 2 + 4 x − 5 b x 2 − 2 x − 4 Indicación : simplificaremos al máximo la expresión factor-izada de estos polinomios, prestando especial atención a la expresión de sus raíces. E.10579 Factoriza las siguientes expre-siones : a 2 x 2 − 6 x + 2 b − x 2 − 4 x + 8 Indicación : simplificaremos al máximo la expresión factor-izada de estos polinomios, prestando especial atención a la expresión de sus raíces. E.10595 Factorizar la expresión : A = 12 x 2 + 12 x − 3 Indicación : se factoriza la expresión en la forma : A = 2 x + ¸ 6 x + ˛ donde ¸ y ˛ son dos números reales. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10223 sacados/10223 chapExoCorrec/10224 sacados/10224 chapExoCorrec/10323 sacados/10323 chapExoCorrec/2527 sacados/2527 <0Aucunefactorisation0a·xb2·a2>0a·x−¸x−˛où¸et˛sontles deux racines du polynômes chapExoCorrec/9518 sacados/9518 chapExoCorrec/9521 sacados/9521 chapExoCorrec/9520 sacados/9520 chapExoCorrec/8427 sacados/8427 chapExoCorrec/10594 sacados/10594 chapExoCorrec/8290 sacados/8290 chapExoCorrec/10579 sacados/10579 chapExoCorrec/10595 sacados/10595
E.8376 1 Factorizar la expresión : − 2 · x 2 − 3 · x +5 . 2 Para cada propuesta, solo hay una respuesta correcta. Marque la casilla correspondiente. Indicación : se utilizará el resultado de la pregunta 1 a La forma factorizada de − x 2 − 3 2 · x + 5 2 es : x + 5 1 − x x + 5 2 1 − x x + 5 1 − 1 2 · x x + 5 2 1 2 − 1 2 x b La forma factorizada de − 2 · x 2 − 3 · x +5+ 1 − x es : 2 · x + 5 1 − x 2 · x + 5 · x 2 · x + 6 1 − x 2 · x + 6 2 − x c La forma factorizada de − 2 · x +1 2 − 3 · x +1 +5 es : 2 · x + 6 1 − x 2 · x + 6 2 − x − 2 · x + 7 · x 2 · x + 7 2 − x 8. Factorizaciones (grado 3) E.9527 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 3 − 7 · x − 6 1 Comprueba que el número 3 es un cero de la función f . Indicación : el polinomio x 3 − 7 · x − 6 admite el número 3 como raíz. Por lo tanto, admite una factorización de la forma : x 3 − 7 · x − 6= x − 3 a · x 2 + b · x + c donde a;b;c ∈ R 2 a Para a , b , c números reales, comprueba la siguiente identidad : x − 3 a · x 2 + b · x + c = a · x 3 + b − 3 a · x 2 + c − 3 b · x − 3 c b Determinar los valores de a y b que verifican : a =1 ; b − 3 a = 0 ; c − 3 b = − 7 ; − 3 c = − 6 c Deduzca la forma factorizada de la función f en fac-tores de grado 1 . E.9522 Consideremos la función f definida en R cuya expresión es : f ( x )=2 · x 3 − 7 · x 2 +4 · x +3 1 Determina los números reales a , b , c que logran la igual-dad : f ( x ) = 2 · x − 3 a · x 2 + b · x + c 2 Deduce la forma factorizada de la función f como pro-ducto de factores de grado 1 . 9. Tabla de signos E.2277 La tabla de signos de un polinomio de segundo grado de-pende del signo del coeficiente a del término de segundo grado y del signo del discriminante Δ . Las seis posibilidades se representan a continuación : Establezca la tabla de signos de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 + 3 x + 4 b 4 x 2 + 3 x − 10 c 4 x 2 − 16 x + 16 E.5712 Elabora la tabla de signos de las siguientes expresiones : a 3 x 2 +4 x − 4 b − 4 x 2 +2 x +6 E.10597 Dibuja, en R , la tabla de signos de cada una de las siguientes funciones definidas en R : a f ( x ) = 5 x 2 − 4 x + 1 b g ( x ) = − 3 x 2 + 7 x + 20 E.10580 Elabora la tabla de signos de las siguientes expresiones en R : a 2 x 2 +11 x +5 b − 3 x 2 + 4 x + 4 E.6505 Elabora la tabla de signos de cada una de las expresiones siguientes : a 2 · x 2 +9 · x +10 b 12 x 2 − 31 x +20 c − 5 x 2 − 3 x − 1 E.8377 Establecer la tabla de signos de los polinomios de segundo grado siguientes : a − x 2 + 2 x + 6 b 2 x 2 − 8 x − 8 Indicación : se indicarán las raíces de los polinomios en la forma : a + b c donde a;b ∈ R y c ∈ R ∗ + . 10. Tabla de signos e inecuación https://chingmath.fr chapExoCorrec/8376 sacados/8376 chapExoCorrec/9527 sacados/9527 chapExoCorrec/9522 sacados/9522 chapExoCorrec/2277 sacados/2277 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− chapExoCorrec/5712 sacados/5712 chapExoCorrec/10597 sacados/10597 chapExoCorrec/10580 sacados/10580 chapExoCorrec/6505 sacados/6505 chapExoCorrec/8377 sacados/8377
E.4460 Resuelve las siguientes inecuaciones : a x 2 − x − 2 < 0 b − 9 x 2 +12 x − 4 0 E.8378 Resuelve las siguientes inecuaciones : a − 4 x 2 +2 x +2 0 b 3 · x 2 + x +1 < 0 E.8428 Resuelve las siguientes inecuaciones : a − 2 · x 2 + x + 3 < 0 b 3 · x 2 − 6 · x − 3 0 E.10581 Resuelve las siguientes ecuaciones : a x 2 − 3 x +2 > 0 b 5 x 2 +4 x − 1 < 0 E.9519 Resuelve las inecuaciones : a 6 · x 2 + x − 1 0 b − x 2 + x − 3 > 0 E.9436 Resuelve las siguientes ecuaciones : a − 10 x 2 − 13 x + 3 0 b (3 x + 1)( x 2 + x + 1) < 0 E.9437 Resuelve la inecuación : 2 x 2 − 8 x + 2 0 11. Tabla de signos e inecuación (grado 3) E.9523 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 3 − 4 · x 2 − 4 · x + 16 1 Comprueba que el número 2 es un cero de la función f . Indicación : el polinomio x 3 − 4 · x 2 − 4 · x +16 admite el número 2 como raíz. Por lo tanto, admite una factorización de la forma : x 3 − 4 · x 2 − 4 · x +16= x − 2 a · x 2 + b · x + c donde a;b;c ∈ R 2 a Para a , b , c números reales, comprueba la siguiente identidad : x − 2 a · x 2 + b · x + c = a · x 3 + b − 2 a · x 2 + c − 2 b · x − 2 c b Determinar los valores de a y b que verifican : a =1 ; b − 2 a = − 4 ; c − 2 b = − 4 ; − 2 c = 16 Proponer una forma factorizada de la función f . c Establecer la tabla de signos de la función f . E.1643 Considera el polinomio P cuya ex-presión es : P = 2 · x 3 + 7 · x 2 − 7 · x − 12 1 Establece la siguiente factorización donde b es un número real a determinar : P = x + 1 · 2 · x 2 + b · x − 12 2 Deduce la tabla de signos del polinomio P . E.1158 Considera el polinomio de tercer grado : P = 3 x 3 + 5 x 2 − 5 x + 1 Sabemos que el polinomio P admite una factorización de la forma : P = 3 x − 1 a · x 2 + b · x + c 1 Determina los valores de a , b , c verificando esta factor-ización. 2 Deduce el conjunto de raíces del polinomio P . 3 Elabora la tabla de signos de P . E.2965 1 a Establece que el polinomio P ( x )=2 x 2 − x +1 es estric-tamente positivo en R . b Deduce el signo del polinomio: Q ( x ) = (2 x 2 − x + 1) 2 + 3 · (2 x 2 − x + 1) + 1 2 a Dar la forma expandida reducida del polinomio Q . b Justifique que la ecuación siguiente no admite solu-ción : 4 x 4 − 4 x 3 + 11 x 2 − 5 x + 5 = 0 E.4615 1 Establece la siguiente igualdad : ( − 2 · x 2 + 4 · x − 2)( a · x 2 + b · x + c ) = − 2 ax 4 + (4 a − 2 b ) x 3 + ( − 2 c +4 b − 2 a ) x 2 + (4 c − 2 b ) x − 2 c 2 Dar, sin justificar, los valores de a , b , c que alcancen la siguiente igualdad : ( − 2 x 2 + 4 x − 2)( a · x 2 + b · x + c ) = − 18 · x 4 + 18 · x 3 + 14 · x 2 − 10 · x − 4 3 Elabora la tabla de signos de la función f definida en R por: f ( x )= − 18 · x 4 +18 · x 3 +14 · x 2 − 10 · x − 4 12. Posiciones relativas de las curvas E.5742 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = − x 2 − 2 x + 3 . A continuación se da la curva C f representativa de la función f en un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal: https://chingmath.fr chapExoCorrec/4460 sacados/4460 chapExoCorrec/8378 sacados/8378 chapExoCorrec/8428 sacados/8428 chapExoCorrec/10581 sacados/10581 chapExoCorrec/9519 sacados/9519 chapExoCorrec/9436 sacados/9436 chapExoCorrec/9437 sacados/9437 chapExoCorrec/9523 sacados/9523 chapExoCorrec/1643 sacados/1643 chapExoCorrec/1158 sacados/1158 chapExoCorrec/2965 sacados/2965 chapExoCorrec/4615 sacados/4615 chapExoCorrec/5742 sacados/5742
Consideremos la función afín g definida por la relación: g ( x ) = − x + 1 1 Dibuja en el sistema de referencia inferior la recta ( d ) representativa de la función g . 2 a Dibuja la tabla de signos de la expresión : f ( x ) − g ( x ) . b Deduce la posición relativa de las curvas C g y C f en R . E.6506 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 ; g ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x + 2 En el plano provisto de un sistema de referencia ortogonal O ; I ; J , damos las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g respectivamente. Determina la posición relativa de las curvas C f y C g . E.5054 Consideremos la función f cuya im-agen de cualquier número real x está definida por la relación: f ( x )= − 2 x 2 +4 x +2 . En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos la curva C representativa de la función f y la recta (Δ) primera bisectriz del plano con ecuación y = x . Investiga algebraicamente la posición relativa de la curva C f y la recta (Δ) . E.7105 En el plano provisto de un sistema de referencia ( O ; I ; J , consideremos las curvas C f y C g rep-resentativas de las funciones f y g definidas por: f ( x ) = − 2 · x 2 − 5 x + 1 ; g ( x ) = 6 · x 2 + x − 4 A continuación se muestra una representación gráfica de estas dos curvas : Determina la posición relativa de estas dos curvas. E.7084 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos las curvas C f y C g rep-resentativas de las funciones f y g definidas por: f ( x ) = − x 2 + 4 · x − 3 ; g ( x ) = 7 2 · x 2 − 5 x + 1 Determina la posición relativa de estas dos curvas. 13. Posiciones relativas de las curvas (grado 3) E.9524 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R \{ 5 } por las relaciones : f ( x ) = 5 4 x 2 + 1 ; g ( x ) = − x + 2 Estudiar la posición relativa de las curvas C f y C g represen-tativas respectivamente de las funciones f y g . https://chingmath.fr -5-4-3-2-123I-1234JOCf chapExoCorrec/6506 sacados/6506 -1234567I-2246JOCfCg chapExoCorrec/5054 sacados/5054 -3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/7105 sacados/7105 -4-3-2-101234-4-224CfCg chapExoCorrec/7084 sacados/7084 -2-1234I-12JOCfCg chapExoCorrec/9524 sacados/9524
14. Problemas y desigualdades E.8383 Considera la siguiente figura formada por: AEFG el cuadrado, de dos rectángulos ABCD y CIFH . Los puntos B , D , I , H pertenecen a los lados del cuadrado AEFG . Considera el área som-breada que se muestra al lado y anota su área A : (las medidas están en centímetros) Determina el conjunto de valores de x que logran la in-ecuación : A 37 4 Cualquier rastro de investigación o de toma de inicia-tiva se tendrá en cuenta en la evaluación. . E.6443 Considere la siguiente configuración en la que : donde : los cuadriláteros ABCD y CRNQ son rectángulos y AMNP es un cuadrado los puntos M , Q , R , P pertenecen a los segmentos [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] respectivamente. AB = 10 cm y AD = 5 cm . Sea x la longitud del segmento [ AM ] y sea A el área de la parte no eclosionada de esta figura : 1 Demuestra que el área A se expresa en función de x me-diante : A = − 2 · x 2 + 15 · x 2 a Resuelve la ecuación A = 27 b Determina las posiciones del punto M para que el área no eclosionada tenga un área mayor o igual que 27 cm 2 . 3 Análogamente, determina las posiciones del punto M para que el área no eclosionada tenga un área mayor o igual que 18 cm 2 . E.8429 Considera la figura de al lado donde ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 5 cm . Considera un punto M en el segmento [ AB ] y sitúa el punto P en el segmento [ AD ] y los puntos N y Q de forma que AMNP sea un cuadrado y BCQM un rectángulo. Sea x la medida del segmento [ AM ] . Determinar el conjunto de valores de x para que el área del cuadrado AMNP sea estrictamente mayor que el área del rectángulo BCQM . E.8382 Queremos construir, a partir del pa-trón que se muestra a continuación, una caja rectangular sin tapa. Las longitudes se expresan en cm . 1 a Cuando se construya la caja, ¾qué dimensión repre-sentará el número x ? ¾La longitud, la anchura o la altura? b ¾Qué valores puede tomar la variable x en este prob-lema? c Expresa el volumen V en función del valor de x . 2 En esta pregunta, buscamos para qué valores de ˇ x ı esta caja tiene un volumen igual a 144 cm 3 : a Determinar el valor de los números reales de a y b que verifican la siguiente factorización: 4 x 3 − 52 x 2 + 160 x − 144 = ( a · x + b )(2 x − 4) 2 b Deducir los valores de x para los que V ( x ) tiene un valor de 144. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8383 sacados/8383 ABCDEFGHI2xx4cm4cm chapExoCorrec/6443 sacados/6443 ABCDMNPRQ chapExoCorrec/8429 sacados/8429 ABCDMNPQ chapExoCorrec/8382 sacados/8382 16cmxx10cm
E.2956 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) , consideramos la rep-resentación de las dos funciones f y g cuya imagen de x se define por: f ( x ) = 8 x + 1 ; g ( x ) = − 6 x + 1 + 6 El número x pertenece al intervalo [0 ; 8] . Consideramos los puntos A y B de abscisa x que pertenecen respectivamente a las curvas representativas C f y C g . Paralelamente a los ejes, se construyen dos rectángulos repre-sentados arriba; se anotan A 1 y A 2 cada uno de sus áreas. 1 Determinar la expresión de las áreas A 1 y A 2 en función del valor de x . 2 Determinar para qué valores de x se tiene : A 2 A 1 15. Problemas, desigualdades y raíces cuadradas E.8105 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos el disco D de centro A (3 ; 1) y de radio 2 y la recta ( d ) que pasa por los puntos B (0 ; 3 ; 5) y C (1 ; 5 ; 3) : Determina el conjunto de abscisas de los puntos de la recta ( d ) incluidos en el disco D . Pista : nos interesará el conjunto de puntos M de la recta ( d ) tales que AM 2 4 E.8110 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos el disco D de centro A 3 2 ; 0 y radio 5 y la recta ( d ) que pasa por los puntos B ( − 2 ; 5) y C (1 ; − 1) : Determina el conjunto de abscisas de los puntos de la recta ( d ) incluidos en el disco D . Pista : nos interesará el conjunto de puntos M de la recta ( d ) tales que AM 2 25 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2956 sacados/2956 IJOCfCgx8A1A2AB chapExoCorrec/8105 sacados/8105 DA23456I234JO(d chapExoCorrec/8110 sacados/8110 DA-4-3-2-12345678I-6-5-4-3-2-123456JO(d
E.5821 Consideremos la función f cuya im-agen de un número x está definida por: f ( x ) = 2 x − − x 2 + 6 x − 8 1 a Resuelve la inecuación : − x 2 +6 x − 8 0 . b Demuestra que la siguiente ecuación no tiene solución : x = − x 2 + 6 x − 8 c Dar el conjunto definidor D f de la función f 2 Demuestra que la función f es positiva en su conjunto definidor. 16. Fracciones racionales y simplificaciones E.7154 Consideremos la función f definida por: f ( x )= x 2 − 6 · x − 7 1 Determina la forma factorizada de la función f . 2 Consideremos la función g definida en R \{ 3 ; 7 } por: g ( x ) = x 2 − 6 · x − 7 x − 3 x − 7 . a Simplifica la expresión de la función g . b Elabora la tabla de signos de la función g . E.7102 Simplifica la siguiente fracción racional: x 2 − x − 2 2 x 2 − 3 x − 2 E.2528 Simplifica la expresión de las frac- ciones racionales siguientes : a 3 x − 1 3 x 2 + 2 x − 1 b 6 x 2 − 5 x + 1 1 − 4 x 2 E.2746 Consideremos la función f cuya im-agen de x está definida por la fracción racional siguiente : f ( x ) = 8 x 2 + 6 x − 5 14 x 2 − 13 x + 3 Da el conjunto de definición de la función f , luego determina, si existe, la forma simplificada de f ( x ) . E.7103 Simplifica la siguiente expresión racional: 3 x 2 − 6 x − 6 x 2 − 3 + 2 x + 3 + 1 17. Tabla de variaciones y tabla de signos E.2276 Consideremos las funciones f y g definidas sobre R definidas por las relaciones : f ( x ) = x 2 + x + 1 ; g ( x ) = − 2 x 2 − 3 x + 5 1 Elabora la tabla de variaciones de cada una de estas fun-ciones. 2 Elabora la tabla de signos de cada una de estas funciones. E.7083 Determina la tabla de signos de las siguientes expresiones en R : a 2 x 2 − 3 x − 2 b (2 x + 1)(3 x 2 − 2 x − 1) 18. Compartir E.2973 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos las curvas C f y C g rep-resentativas de las funciones f y g definidas por: f ( x ) = x 2 + 3 2 · x − 1 ; g ( x ) = − 1 2 · x 2 + x + 1 Las preguntas siguientes se responderán algebraicamente : 1 Determinar los ceros de las funciones f y g . (es decir, los antecedentes de 0 por cada una de estas dos funciones) 2 Determina, algebraicamente, la posición relativa de las curvas C f y C g . E.2279 Consideremos la parábola P con ecuación y = x 2 − x − 10 y la recta D con ecuación y =2 x − 1 . 1 Determina las coordenadas de los puntos de intersección de D y P . 2 Dar los valores de x para los que el punto P con abscisa x queda por encima del punto de D con la misma abscisa. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5821 sacados/5821 chapExoCorrec/7154 sacados/7154 chapExoCorrec/7102 sacados/7102 chapExoCorrec/2528 sacados/2528 chapExoCorrec/2746 sacados/2746 chapExoCorrec/7103 sacados/7103 chapExoCorrec/2276 sacados/2276 chapExoCorrec/7083 sacados/7083 chapExoCorrec/2973 sacados/2973 -4-3-2-1234I-2-12JOCfCg chapExoCorrec/2279 sacados/2279
19. Ejercicios no clasificados E.4614 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = − x 2 − 7 2 x + 2 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, viene dada la curva C f representativa de la fun-ción f y la recta ( d ) de ecuación : y = − 3 4 · x + 5 4 1 a Determinar las coordenadas de los puntos de inter-sección de la curva C f con el eje x. b Determina las coordenadas del punto de intersección de la curva C f con el eje y. 2 Determina la posición relativa de las curvas C f y ( d ) en R . E.11675 Consideremos el triángulo ABC rectángulo en A tal que : AB = 9 cm ; AC = 4 cm Considera un punto D perteneciente al segmento [ AB ] y an-ota x la longitud del segmento [ BD ] . A partir del punto D se construye un rectángulo DEFA tal que : E ∈ [ BC ] ; F ∈ [ AC ] El área del rectángulo DEFA es A . 1 a Determina la expresión de la longitud FA en función de x . b Justifica, brevemente, que el número real x pertenece al intervalo 0 ; 9 . 2 Establece que el área A se expresa en función de x medi-ante : A ( x ) = 4 x − 4 9 · x 2 3 a Elabora la tabla de variaciones de la función A sobre el intervalo 0 ; 9 . b ¾Cuál es el área máxima que alcanza el área A ? 4 Deseamos conocer los valores de x para los que el área A es mayor o igual que 5 cm 2 : a Establece la siguiente factorización: − 4 x 2 + 36 x − 45 = (2 x − 15)(3 − 2 x ) b Resuelve la inecuación : A ( x ) 5 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4614 sacados/4614 -5-4-3-2-12I-2246JOCf(d chapExoCorrec/11675 sacados/11675 x9cm4cmABCDEF
E.9550 Parte A 1 Resuelve en R la ecuación : x 2 − 42 · x +80=0 2 Dibuja en R la tabla de signos de x 2 − 42 · x +80 . 3 Deduce el conjunto solución de la inecuación : x 2 − 42 · x +80 0 Parte B Un terreno rectangular tiene longitud 30 m y anchura 12 m . Se propone un camino de anchura x , en metros, a lo largo de dos lados consecutivos como se indica en la figura de al lado. Se desea que el resto del terreno tenga una superficie mayor o igual a 280 m 2 . 1 Modela el problema y justifica que esto equivale a re-solver la inecuación : x 2 − 42 · x +80 0 2 ¾Cuáles son los posibles valores de la anchura del camino? E.7329 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 3 · x 2 + 4 · x + 1 . A continuación se da la curva representativa C f de la función f en un O ; I ; J sistema de referencia ortonormal: 1 Consideremos la recta ( d ) que pasa por los puntos A ( − 3 ; 2) y B ( − 2 ; 1) . a Dibuja la recta ( d ) en el marcador de abajo. b Determina la ecuación reducida de la recta ( d ) . 2 Determina la posición relativa de la curva C f y la recta ( d ) . E.2838 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = − x + 1 . La representación gráfica se da a continuación : Considera el punto A de coordenadas (3 ; 1) y M un punto de la curva C f . Determina la posición del punto M en C f de forma que la longitud AM sea mínima. E.10596 Sea ABCD un rectángulo de dimen-siones 6 cm y 4 cm . Consideremos los puntos E y G , situados fuera del rectángulo ABCD , que pertenecen respectivamente a las semirrectas [ AB ) y [ AD ) , y el punto F , de modo que el cuadrilátero AGFE sea un rectángulo. Denotamos por x y y las dos distancias siguientes : x = DG ; y = BE Se impone que los puntos E y G formen un rectángulo AEFG cuyo perímetro sea 28 cm . 1 a Demuestre que la longitud y se expresa en función de x mediante : y =4 − x b Deduzca los valores posibles de x . Denotemos por A el área de la parte sombreada (la del polí-gono BEFGDC ) . 2 Establecer que el área de la parte sombreada se escribe en función de x se obtiene mediante la igualdad : A ( x ) = − x 2 + 2 x + 24 3 Elaborar la tabla de variaciones de la función A sobre 0 ; 4 . (Se indicará el valor del extremo local) . 4 ¾Cuál es el valor del área máxima de la parte sombreada? ¾Para qué valores de x se alcanza? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9550 sacados/9550 30m12mxx chapExoCorrec/7329 sacados/7329 -4-3-2-1I-12JOCf chapExoCorrec/2838 sacados/2838 -2-1234I-2-12JOAMCf chapExoCorrec/10596 sacados/10596 4cm6cmyxABCDEFG