Bachillerato 1 / Exponencial 89 ejercicios (100% corregidos)

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-4-2024246ijC1 -6-4-202246ijC2 r105-0 122 -2-1I2JOA6u6A5u5A2u2A1u1A4u4A3u3 ChingQuizz : 5 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Introducción (campos tangentes) E.3580 Considera una función f que veri-fica las dos condiciones siguientes : f (0) = 1 ; f ( x ) = f ( x ) para todo x R Justifica que las curvas de abajo no son la curva C f represen-tativa de la función f . E.8547 En un plano provisto de un sistema de coorde-nadas, un ˇ campo de tangentes ı es un conjunto de vectores asociados a cada punto del plano. r105-0 Una curva en un campo de tangentes es una curva en la que, en cada punto, el vector asociado al campo de tangentes es un vector director de su tangente. El campo de tangentes siguiente se construye sobre la relación f ( x )= x : en el punto de abscisa 2 , la curva ad-mite una tangente de coeficiente director 2 : 1 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; i ; j , consideramos los cuatro vectores represen-tados a continuación : Consideramos una función f derivable en R y denotamos C f su curva representativa a La función f pasa por el punto A 1 y la tangente ( T ) a la curva C f en A 1 admite el vector u 1 como vector director. Da el coeficiente director de la tangente ( T ) . La función f pasa por el punto A 2 y la tangente ( T ) a la curva C f en A 2 admite el vector u 2 como vector director. Da el coeficiente director de la tangente ( T ) . La función f pasa por el punto A 3 y la curva C f ad- https://chingmath.fr chapExoCorrec/3580 sacados/3580 -4-2024246ijC1 -6-4-202246ijC2 chapExoCorrec/8547 sacados/8547 r105-0 122 -2-1I2JOA6u6A5u5A2u2A1u1A4u4A3u3
BC -4-3-2-1IJOCf I234JOCf -4-3-2-12I234JOCg r173-1 -4-3-2-12I234JOCh mite una tangente en A 3 cuyo vector director es u 3 Da la derivada de la función f en 0 ; 7 . b ¾Qué relaciones, entre las propuestas, se pueden conje-turar para la función f ? f ( x )= x f ( x )=2 · x f ( x )= f ( x ) f ( x )=2 · f ( x ) c Para todo k { 1 ; 2 ; ::: ; 6 } , la función f pasa por el punto A k y admite una tangente cuyo vector director es u k . Traza una posible representación de la curva C f . 2 A continuación se muestra un campo de tangentes en el plano provisto de un sistema de coordenadas : a Traza la representación de la curva C g de una función g que verifica este campo de tangentes y pasa por el punto B . b Trace la representación de la curva C h de una función h que verifique este campo de tangentes y pase por el punto C . E.8403 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos la curva C f de una función f definida y derivable en R que se muestra a continuación : En el intervalo 4 ; 1 : En el intervalo 2 5 ; 9 5 : 1 a Traza la tangente a la curva C f en el punto de ab-scisa 0 y da el coeficiente director de dicha tangente. b Compara los números f (0) y f (0) . 2 Análogamente, compara los números f ( 1) y f ( 1) . 3 Gráficamente, establece las igualdades siguientes : f (1) = f (1) ; f 1 2 = f 1 2 . 2. Introducción (método de Euler) E.8402 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J : 1 Consideremos la función g , afín a trozos, definida en R y cuya curva representativa C g se da a continuación : Establece las igualdades siguientes : a g ( 1) = g ( 1) b g (0) = g (0) c g (1) = g (1) El siguiente vídeo muestra que existen infinitas funciones afines a trozos que verifican estas tres propiedades. 2 Consideremos la función h definida en R y cuya curva representativa C h se da a continuación : Establece las igualdades siguientes : a h ( 1) = h ( 1) b h (0 ; 5) = h (0 ; 5) c h (1) = h (1) https://chingmath.fr BC chapExoCorrec/8403 sacados/8403 -4-3-2-1IJOCf I234JOCf chapExoCorrec/8402 sacados/8402 -4-3-2-12I234JOCg r173-1 -4-3-2-12I234JOCh
-4-3-2-12I23JOCf -4-3-2-12I23JOCg r558-0 -4-3-2-1IJOCf I234JOCf La función h , mostrada anteriormente, verifica para cualquier n Z tal que 8 n 4 , la relación: h n 2 = h n 2 E.8549 Parte A - sin 1 . La función f , representada a continuación en un sistema de coordenadas, es una función continua en la que, en cada uno de los intervalos i ; i +1 ( i Z ) , , la función f es una función afín cuyo coeficiente director es f ( i ) . 1 a Da el valor de f (0) y el coeficiente director de la restricción de la función f en el intervalo 0 ; 1 b Da el valor de f (1) y el coeficiente director de la re-stricción de la función f en el intervalo 1 ; 2 2 Determine el valor de f ( 1) para que f (0)=1 y la re-stricción de la función f en el intervalo 1 ; 0 sea una función afín de coeficiente director f ( 1) . 3 Completa correctamente el trazado de la curva C f . Parte B - paso 1 / 2 . La función g , representada a continuación en un sistema de coordenadas, es una función lineal continua donde, en cada uno de los intervalos 1 2 · i ; 1 2 · i +1 ( i Z ) , la función g es una función lineal cuyo coeficiente director es g 1 2 · i . 1 a Dar el valor de g (0) y el coeficiente director de la restricción de la función g en el intervalo 0 ; 1 2 b Indique el valor de g 1 2 y el coeficiente director de la restricción de la función f en el intervalo 1 2 ; 1 2 Determine el valor de g 1 2 para que g (0)=1 y la re-stricción de la función f en el intervalo 1 2 ; 0 sea una función lineal con coeficiente director g 1 2 3 Completa correctamente el trazado de la curva C g . Nota: las partes A et B representan los dos primeros pa-sos de la construcción de la curva de la función exponencial mediante el método de Euler. Para ver los pasos sucesivos de esta construcción y sus ˇ convergencias ı hacia una única curva, puede ver esta animación : E.8412 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos la curva C f de una función f definida en R : 1 A continuación se da la curva C f sobre 4 ; 1 : a Dibuja la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 . Compara los números f (0) y f (0) . b Compara los números f ( 1) y f ( 1) . 2 A continuación se da la curva C f en 2 5 ; 9 5 : a Compara los números f (1) y f (1) . b Compara los números f 1 2 y f 1 2 . 3. Introducción C E.8413 Consideremos una función f definida en R cuya curva representativa C f se da en el sistema de co- ordenadas ortonormales O ; I ; J siguiente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8549 sacados/8549 -4-3-2-12I23JOCf -4-3-2-12I23JOCg r558-0 chapExoCorrec/8412 sacados/8412 -4-3-2-1IJOCf I234JOCf chapExoCorrec/8413 sacados/8413
-4-3-2-1I23JOCf Se admite que la función f es derivable en R y verifica las tres propiedades siguientes : f (0) = 1 ; f ( x ) = f ( x ) f ( x ) > 0 para todo x R . Conjetura : 1 Consideremos el punto A de la curva C f de abscisa 1 . a Coloca el punto A y traza la tangente ( T ) a la curva C f en el punto A . b Indique la abscisa del punto B de intersección de la tangente ( T ) con el eje de abscisas. 2 Repita la pregunta 1 con el punto B de abscisa 1 . 3 ¾Qué conjetura se puede hacer sobre la abscisa del punto de contacto de una tangente a la curva C y la abscisa del punto de intersección de esta tangente con el eje de abscisas? 4 Comprueba tu conjetura con un tercer punto de la curva C f elegido al azar. Demostración: Sea a un número real cualquiera. 5 Establecer que la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa a admite como ecuación reducida : ( T ) : y = f ( a ) · x a + 1 6 Establecer la conjetura formulada en la pregunta 3 . Ampliación : 7 Con ayuda de un programa de geometría dinámica, comprobar si las curvas representativas de las fun-ciones cuadrada, inversa y raíz cuadrada verifican esta propiedad E.3342 El número de átomos de una fuente radiactiva tiende a disminuir con el tiempo. Se denota N ( t ) el número de núcleos en el instante t . Al observar este fenómeno en una variación del tiempo, indicada con Δ t , el número de átomos también ha experimentado una variación, indicada con Δ N ( t ) . Se ha establecido la siguiente fórmula : Δ N ( t ) N ( t ) = · Δ t donde es una constante que depende únicamente de la nat-uraleza de la fuente radiactiva observada. 1 a La vida media del radón-220 es de 56 s . Determine el valor de la constante en el caso del radón-220, redondeado a 10 4 . b Partimos de una muestra que contiene 240 g con aprox-imadamente 6 ; 02 × 10 23 núcleos de radón. Determinar el tiempo que hay que esperar para que la cantidad observada pese : 120 g ; 60 g 2 a Establecer la siguiente igualdad : Δ N ( t ) Δ t = · N ( t ) b ¾Qué representa la cantidad Δ N ( t ) Δ t para la función N ? Suponiendo que la función N es derivable en función del tiempo t , deduzca la relación: N ( t ) = · N ( t ) 4. Funciones exponenciales E.5499 Admitimos la existencia de una fun-ción f definida en R que verifica las dos condiciones : f = f ; f (0)=1 Demostrar que esta función f es única. La denotaremos exp . Pistas: Esta demostración se realiza en dos pasos : Se demuestra que cualquier función que verifique estas dos condiciones no puede anularse. Para ello, consider-emos la función h definida por: h ( x ) = f ( x ) · f ( x ) y demostremos que la función h es constante. Suponiendo que existen dos funciones f y g que ver-ifican estas dos condiciones, considere la función j definida por: j ( x )= f ( x ) g ( x ) y se demuestra que la función j es constante. Más pre-cisamente que : j ( x )=1 Propiedades utilizadas : La derivada de la función producto u · v tiene la ex-presión : u · v = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) Para a;b R , tenemos : exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b https://chingmath.fr -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/3342 sacados/3342 chapExoCorrec/5499 sacados/5499
ABx012345678f(x0,20,40,60,81Cf E.9751 Objetivo: El objetivo de este ejercicio es establecer una propiedad algebraica de la función exponencial. Propiedades utilizadas : La función exponencial es la única función que cumple : f = f ; f (0) = 1 La derivada de la función producto u · v se expresa como: u · v = u · v + u · v Para a;b R , tenemos : exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b 1 Para ello, consideramos la función g derivable y definida en R por: g ( x ) = exp x · exp x a Demuestra que para todo x R , se tiene : g ( x ) = 0 b Justifica que, para todo x R : g ( x )=1 2 a Deduzca de la propiedad anterior que la función ex-ponencial nunca se anula. Es decir, para todo x R : exp( x ) = 0 b Vamos a establecer que : exp( x ) = 1 exp( x ) x R Observación : la función exponencial no se anula y, dado que f (0) > 0 , se deduce que la función exponencial es estric-tamente positiva en R . Dado que la función exponencial es estrictamente positiva y verifica f = f , se deduce que la función exponencial es estrictamente creciente en R . E.9752 Objetivo: El objetivo de este ejercicio es establecer una propiedad algebraica de la función exponencial. Propiedades utilizadas : La función exponencial es la única función que cumple : f = f ; f (0) = 1 para todo x R , se tiene : exp( x ) = 1 exp( x ) La derivada de la función producto u · v tiene como expresión : u · v = u · v + u · v Para a;b R , se tiene : exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b 1 El objetivo de esta pregunta es demostrar que para todos los números reales x y y , tenemos : exp x + y = exp( x ) × exp( y ) Para ello, consideramos la función f definida por: f ( x ) = exp( x + a ) · exp( x ) donde a R a Demostrar que para todo x R , tenemos : f ( x ) = 0 b Demostrar que para todo x R , tenemos : f ( x ) = exp( a ) c Deduzca que x;y R , se tiene : exp x + y = exp( x ) · exp( y ) 2 Deduzca que x;y R , se tiene : exp( x y ) = exp( x ) exp( y ) 5. Con la calculadora E.7474 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por las relaciones : f ( x ) = 2 x x 2 ; g ( x ) = x + 2 En un sistema de referencia O ; I ; J , observa C f y C g las curvas representativas de las funciones f y g respectivamente. Determina con la calculadora las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas C f y C g . E.7027 Consideremos la función definida en 0 ; 8 por: f ( x ) = 0 ; 4 20 · e x + 1 + 0 ; 4 En una región montañosa, una empresa está estudiando un proyecto de carretera que conecte los pueblos A y B , situados a dos altitudes diferentes. La función f , definida en la parte A , modela el perfil de este proyecto de carretera. La variable x representa la distancia horizontal, en kilómetros, desde el pueblo A y f ( x ) representa la altitud asociada, en kilómetros. A continuación se muestra la representación gráfica C f de la función f . Indicación : para cada una de las siguientes proposiciones, indique si la proposición es verdadera o falsa y justifique su respuesta. Proposición 1 La altitud del pueblo B es 0 ; 6 km . Propuesta 2 La diferencia de altitud entre los pueblos A y B es de 378 metros, redondeada al metro. 6. Introducción a las propiedades algebraicas https://chingmath.fr chapExoCorrec/9751 sacados/9751 chapExoCorrec/9752 sacados/9752 chapExoCorrec/7474 sacados/7474 chapExoCorrec/7027 sacados/7027 ABx012345678f(x0,20,40,60,81Cf
-4-3-2-1I23JOCf -4-3-2-1I23JOCf E.8414 En el plano provisto de una referen-cia O ; I ; J ortonormada, se da la curva C f representativa de la función exponencial f : Conjetura : 1 Con la precisión posible mediante lectura gráfica, com-plete la tabla de valores de la función f : x 1 ; 4 1 0 ; 4 0 0 ; 6 1 exp( x ) 2 Utilizando los resultados anteriores, aproximaciones de los siguientes productos : exp( 1) × exp( 0 ; 4) exp( 1) × exp(0 ; 6) exp(0) × exp(1) exp( 0 ; 4) × exp(1) 3 ¾Qué conjetura se puede establecer sobre el producto exp( a ) · exp( b ) para cualquier número real a y b ? Hacia la demostración: Admitimos que la función exponencial es distinta de cero en R y solo vamos a establecer un caso particular de la de-mostración : Para cualquier número real x , se tiene : exp 1+ x = exp(1) · exp( x ) ( ) Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = exp( x +1) exp( x ) 4 Determinar la expresión de la función g derivada de la función g . 5 Deduzca que la forma simplificada de la función g y es-tablezca la propiedad ( ) . Ampliación : 6 Establezca la propiedad siguiente para todo x R : exp(2+ x ) = exp(2) × exp( x ) 7 ¾Qué simplificación de la expresión exp( n ) × exp( x ) se puede conjeturar para todo número natural n y todo número real x ? E.8416 En el plano provisto de una referen-cia O ; I ; J ortonormada, se da la curva C f representativa de la función exponencial f : Conjetura : 1 Con la precisión posible mediante lectura gráfica, com-plete la tabla de valores de la función f : x 1 ; 9 1 ; 2 0 ; 8 0 ; 1 0 ; 4 0 ; 7 1 ; 1 exp( x ) 2 Utilizando los resultados anteriores, los valores de los siguientes productos : exp( 1 ; 9) × exp(1 ; 1) exp( 1 ; 2) × exp(0 ; 4) exp( 0 ; 8) × exp(0 ; 7) exp(0 ; 4) × exp(0 ; 7) 3 ¾Qué conjetura se puede establecer sobre el producto exp( x ) · exp( y ) para cualquier número real x y y ? Demostración: Se admite que la función exponencial nunca se anula en R . Para cualquier número real a , se considera la función g a definida en R por: g a ( x ) = exp( x + a ) exp( x ) ( ) 4 Determinar la expresión de la función g derivada de la función g . 5 Establecer que para todo número real x , se tiene g a ( x )= exp( a ) , y luego establecer la siguiente identidad para to-dos los números reales x y y : exp( x ) × exp( y ) = exp( x + y ) Ampliación : 6 Establecer la propiedad siguiente para todo x R : exp(3 · x ) = exp( x ) 3 7 Establecer la propiedad siguiente para todo x R : exp x 2 = exp( x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8414 sacados/8414 -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/8416 sacados/8416 -4-3-2-1I23JOCf
-4-3-2-1I23JOCf E.8415 En el plano provisto de una referen-cia O ; I ; J ortonormada, se da la curva C f representativa de la función exponencial f : Conjetura : 1 Con la precisión posible mediante lectura gráfica, com-plete la tabla de valores de la función f : x 0 ; 7 0 ; 5 0 ; 1 0 0 ; 1 0 ; 5 0 ; 7 exp( x ) 2 Utilizando los resultados anteriores, los valores de los siguientes productos : exp( 0 ; 7) × exp(0 ; 7) exp( 0 ; 5) × exp(0 ; 5) exp( 0 ; 1) × exp(0 ; 1) exp(0) × exp(0) 3 ¾Se puede conjeturar una relación entre los números exp( a ) y exp( a ) para cualquier número real a ? Demostración: Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = exp( x ) × exp( x ) 4 Determinar la expresión de la función g derivada de la función g . 5 Basándonos en el valor de g (0) , deducir la forma simpli-ficada de la función g y establecer la conjetura anterior. Justificar también que la función exponencial nunca se anula en R . Ampliación : 6 Justificar que la función exponencial toma sus valores en R + . 7. Propiedades algebraicas E.3589 Proposición: para cualquier x;y R y para cualquier n Z , tenemos : exp x + y = exp x × exp y exp x y = exp x exp y exp n · x = exp x n a exp(3) · exp(5) b exp( 2) · exp(4) c 1 exp( 5) d exp(5) 3 E.9737 Simplifica las siguientes expresiones : a e 3 2 · e 5 b e 6 e 3 e · e 2 E.3610 Simplifica las siguientes expresiones : a e · e 2 x +1 b e 3 2 x · e x +5 c e 2 · x 1 · e 3 x E.9738 Simplifica las siguientes entradas : a exp(2 x +4) × exp(3 x ) b exp( x ) 2 exp(3 2 x ) E.3590 Proposición: para cualquier x;y R y para cualquier n Z , tenemos : e x + y = e x × e y e x y = e x e y e n · x = e x n Simplifica las siguientes expresiones : a e 3 · e 4 b e 4 · e 4 c e 4 3 · e 4 d e 5 · e 3 e 2 e e 5 · e 6 f e 6 · e 2 e 4 E.9727 Simplifica las siguientes entradas : a e 3 x +1 · e 2 2 x b e x 2 e 3 x c e x e 2 x + 1 e x E.9736 Simplifica las siguientes expresiones : a 3 · e 5 x 4 2 · e 10 x 2 b e 9 x 2 · e 3 x 3 E.9726 Simplifica las siguientes expresiones : a e 2 · x 1 2 e 7 · x 2 b 3 · e 2 · x + e x + 1 e 2 · x E.3611 Establece las siguientes igualdades : a 2 + 3 · e x + e 2 x e 2 x = 2 · e 2 x + 3 · e x + 1 b 1 e x e 2 x = e 2 x e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/8415 sacados/8415 -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/3589 sacados/3589 chapExoCorrec/9737 sacados/9737 chapExoCorrec/3610 sacados/3610 chapExoCorrec/9738 sacados/9738 chapExoCorrec/3590 sacados/3590 chapExoCorrec/9727 sacados/9727 chapExoCorrec/9736 sacados/9736 chapExoCorrec/9726 sacados/9726 chapExoCorrec/3611 sacados/3611
−∞0101exVariationdeexp E.3608 Simplifica las siguientes expresiones : a e 5 e 4 2 e 5 + e 4 2 b e 2 + e 2 · e 2 e 2 E.9725 Simplifica las siguientes expresiones : a e 3 x 2 e 2 x · e 2 x + e 2 2 b e 3 x 2 + e 3 x 2 e 3 x e 3 x 2 E.6873 Copia las identidades que aparecen a continuación, rellenando correctamente las líneas de puntos : a e x + e x = e x · : : : + : : : b e x x 2 = e ... : : : 2 c 1 + e x = : : : + : : : e x d 1 + e x e 2 x = : : : + : : : e e 3 x e x e 3 x + e 2 x = 1 : : : 1 + : : : f e 16 x = e ... 2 E.2031 Simplifica las siguientes expresiones : e x +e x 2 2 e x e x 2 2 E.9724 Establece las siguientes igualdades : a e 3 x + 2 e 3 x 1 = 1 + 2 · e 3 x 1 e 3 x b e 3 x e 2 x e 3 x + e 2 x = e 2 x 1 e x + 1 2 8. Ecuaciones E.8417 Proposición: para todos los números reales a y b a = b e a =e b Resuelve las siguientes ecuaciones : a e 5 x +1 = e 2 x b e 3 x +1 = 1 c e 1 3 x e = 1 E.3593 Resuelve las siguientes ecuaciones en R : a exp( x ) = e b exp( x ) = 1 c exp(2 x 1) = e d e x e x = 0 E.8419 Resuelve las ecuaciones : a e x · e 2 x e 2 = 0 b e 3 x 1 1 e 2 x e = 0 c x · e x x = 0 E.3616 Resuelve las siguientes ecuaciones : a e x + e x = 0 b e 3 x +1 = e 2 x +3 c e 2 x 1 = 0 d x · e 2 x 2 · e 2 x = 0 E.8418 Resuelve las siguientes ecuaciones : a e x 2 +1 = e x b e x +1 2 = e x 2 +1 c e x 2 +1 + e x = 0 E.9739 Resuelve las siguientes ecuaciones en R : a e x 2 + x = 1 b e x 2 +5 = e x +2 2 9. Ecuaciones E.3617 Proposición: la función exponencial está definida en R y tiene la tabla de variación: Resuelve las siguientes desigualdades : a e x < 1 b e x > 0 c e x > 1 d e 2 x 1 0 E.3594 Resuelve las siguientes inecuaciones en R : a exp( x ) < e b exp( x ) 1 E.9740 Propuesta: Para cualquier número real a y b : e a > e b a > b e a < e b a <b Observación : esta propiedad proviene de la estricta cre-ciente de la función f . Resuelve las siguientes ecuaciones en R : a e 2 x 4 1 b e 2 x 1 < e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3608 sacados/3608 chapExoCorrec/9725 sacados/9725 chapExoCorrec/6873 sacados/6873 fichierPlus/6873/ chapExoCorrec/2031 sacados/2031 chapExoCorrec/9724 sacados/9724 chapExoCorrec/8417 sacados/8417 chapExoCorrec/3593 sacados/3593 chapExoCorrec/8419 sacados/8419 chapExoCorrec/3616 sacados/3616 chapExoCorrec/8418 sacados/8418 chapExoCorrec/9739 sacados/9739 chapExoCorrec/3617 sacados/3617 −∞0101exVariationdeexp chapExoCorrec/3594 sacados/3594 chapExoCorrec/9740 sacados/9740
2345678IJOCfCg xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf E.9730 Resuelve las siguientes inecuaciones : a e x e x > 0 b x · e x 3 · e x < 0 E.8421 Resuelve las siguientes inecuaciones : a e x 2 3 x +5 < e b e [(3 x +1) 2 ] < 0 E.9731 Resuelve las siguientes inecuaciones en R : a e 2 x + 3e x < 4 b e x + e x < 2 Sugerencia : identificaremos estas desigualdades con de-sigualdades polinómicas de grado 2 . 10. Posición relativa de las curvas E.4233 Sean f y g las funciones definidas en el intervalo 0 ; + por: f ( x ) = x · e x ; g ( x ) = x 2 · e x Observamos C f y C g las representaciones gráficas de las fun-ciones f y g en el plano provisto de un sistema de referencia O ; i ; j . 1 Conjetura gráficamente las posiciones relativas de las cur-vas C f y C g . 2 a Factoriza la expresión f ( x ) g ( x ) . b Deduce las posiciones relativas de las curvas C f y C g . E.7523 Una empresa quiere utilizar un motivo decorativo para su comunicación. Para realizar este motivo, se modela su forma mediante dos funciones f y g definidas para cualquier real x de 0 ; 1 por: f ( x ) = 1 x · e 3 x ; g ( x ) = x 2 2 · x + 1 1 Comprueba que los puntos A y B de coordenadas (1 ; 0) y (0 ; 1) son puntos comunes a las curvas C f y C g . 2 Admitimos que : para cualquier x en 0 ; 1 : f ( x ) g ( x ) = 1 x e 3 x 1 + x a Justifique que para cualquier x en 0 ; 1 : e 3 · x 1 0 b Deduce que para cualquier x en 0 ; 1 : e 3 · x 1 + x 0 c Investiga el signo de f ( x ) g ( x ) para cualquier x en 0 ; 1 . 11. Derivados E.9728 Para cada función, determine la ex-presión de la función derivada : 1 f ( x ) = 2 · e x + x 2 2 g ( x ) = 1 4 · e 3 x +1 + e 2 x E.8133 Consideremos la función f definida, para cualquier número real positivo t por: f ( t ) = a · e t 5 + b donde a; b R Sea f (0)=1 000 y f satisfaga la relación: f ( t ) + 1 5 · f ( t ) = 4 para todo t R Determinar los valores de a y b , y dar la expresión de la fun- ción f . E.7479 Propuesta: Sean a y b dos números reales y la función f definida por: f ( x ) = e ax + b La función f , derivada de f , admite como expresión : f ( x ) = a · e ax + b Para cada función, determine la expresión de la función f derivada de la función f : a f ( x ) = e x b f ( x ) = e 2 · x c f ( x ) = e 3 x 12. Derivadas y estudio de funciones https://chingmath.fr chapExoCorrec/9730 sacados/9730 chapExoCorrec/8421 sacados/8421 chapExoCorrec/9731 sacados/9731 chapExoCorrec/4233 sacados/4233 2345678IJOCfCg chapExoCorrec/7523 sacados/7523 xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf chapExoCorrec/9728 sacados/9728 chapExoCorrec/8133 sacados/8133 chapExoCorrec/7479 sacados/7479
IJOCCM E.9741 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 3 · e 1 2 x 1 Determinar la expresión de la función f , derivada de la función f . A continuación, deduzca el signo de f en R . 2 Deduzca el sentido de las variaciones de la función f so-bre R . E.9742 Para cada una de las dos funciones siguientes definidas en R , determina la expresión de su fun-ción derivada y su sentido de variación en R : 1 f ( x ) = 3 · e 5 x +1 2 g ( x ) = 2 3 · e x E.9743 Para cada una de las siguientes fun-ciones definidas en R , determina la expresión de su función derivada y, a continuación, estudia su sentido de variación en R : 1 f ( x ) = x e x 2 g ( x ) = 6 x + 3 · e 2 x E.10510 Considera la función f definida en R por: f ( x ) = e 4 x 4 4 · e · x Determina la expresión de su función derivada y, a contin-uación, estudia su sentido de variación en R : E.5754 Sean las funciones f y g definidas en R por las relaciones : f ( x ) = e 1+ x + e 1 x 2 g ( x ) = e 1+ x e 1 x 2 En un marco de referencia ortonormal O ; I ; J , damos las curvas C y C respectivamente representativas de las fun-ciones f y g : 1 Establecer que, para cualquier número real x : f ( x ) g ( x ) > 0 2 Establecer que, para cualquier real x , tenemos : f ( x ) = g ( x ) ; g ( x ) = f ( x ) 3 Considera a cualquier número real: a Justifica que la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa a tiene la expresión : y = g ( a ) · x a + f ( a ) b Justifica que la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa a tiene la expresión : y = f ( a ) · x a + g ( a ) 4 Justifica que las tangentes ( T ) y ( T ) son secantes y de-duce la abscisa del punto de intersección. E.5990 Sean las funciones f y g definidas en R por las relaciones : f ( x ) = e 1+ x + e 1 x 2 g ( x ) = e 1+ x e 1 x 2 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se dan las curvas C y C , representativas re-spectivamente de las funciones f y g : Parte A : estudio de la posición relativa de las dos curvas 1 Demuestre que la curva C siempre se encuentra por encima de la curva C . Parte B: estudio de un lugar geométrico Sea a un número real cualquiera. Consideramos : la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa a ; la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa a ; Se admite que las rectas ( T ) y ( T ) nunca son paralelas. Se indica M su punto de intersección. 2 a Da la expresión de la ecuación reducida de la tan-gente ( T ) en función de a . b Da la expresión de la ecuación reducida de la tangente ( T ) en función de a . 3 Determina la abscisa del punto M . 4 a Determinar las coordenadas de M . b Justificar que el punto M pertenece a la curva de una de las funciones de referencia que se especificarán. E.4231 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = e x . Llamamos C f a la curva representativa de la función f en un sistema de referencia ortonormal O ; i ; j . 1 Sea a un número real. Demostrar que la tangente a la curva C f en el punto M de abscisa a corta al eje x en el punto P de abscisa a 1 . 2 Sea N la proyección ortogonal del punto M sobre el eje x. Demostrar que : NP = i 13. Derivados de un producto E.7480 Proposición: sea f una función definida en un intervalo I por el producto : f ( x ) = u ( x ) × v ( x ) donde las funciones u y v están definidas y son derivables en I . Entonces la función f es derivable en I y su función derivada está definida por: f ( x ) = u ( x ) · v ( x )+ u ( x ) · v ( x ) Para cada función, determina la expresión de la función f derivada de la función f : a f ( x ) = x · e x b f ( x ) = 1 2 · x · e x E.9744 Para cada función, determina la ex-presión de la función f derivada de la función f : a f ( x ) = 3 x · e x b g ( x ) = x + 1 e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/9741 sacados/9741 chapExoCorrec/9742 sacados/9742 chapExoCorrec/9743 sacados/9743 chapExoCorrec/10510 sacados/10510 chapExoCorrec/5754 sacados/5754 chapExoCorrec/5990 sacados/5990 Epreuve pratique - 2009 IJOCCM chapExoCorrec/4231 sacados/4231 chapExoCorrec/7480 sacados/7480 chapExoCorrec/9744 sacados/9744
E.9733 Considera la función f definida por: f ( x ) = (2 · x 1) · e x . Da el conjunto de definición de la función f y la expresión de la función f derivada de la función f . Pista: daremos la expresión de f en forma factorizada. E.7431 Consideremos una función definida y derivable en el intervalo 3 ; 2 . Denotamos f a la función derivada de la función f . Se dan los siguientes datos sobre la función f : f (0) = 3 ; f (1) = 0 ; f (0) = 0 ; 5 Admitimos que existen tres números reales a , b , c para los cuales la función f definida anteriormente está definida, para cualquier x de 3 ; 2 , por: f ( x ) = a · x 2 + b · x + c · e x + 5 . 1 Utilizando uno de los datos anteriores, justifica que c = 2 . 2 Se acepta que la función derivada f viene dada, para cualquier real x de 3 ; 2 , por: f ( x ) = a · x 2 + 2 · a + b · x 2 + b · e x Utilizando la información anterior, justifica que b =2 ; 5 , luego, que a = 1 . 14. Derivados de un producto y composición lineal E.3592 Determinar la expresión de las sigu-ientes funciones derivadas : 1 f ( x ) = x + 3 · e x 2 g ( x ) = x · e 2 · x 1 E.9745 Determina la expresión de las sigu-ientes funciones derivadas : 1 h ( x ) = x · e x +1 2 j ( x ) = x 2 + 1 · e 3 x +1 E.7032 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x + 1 · e 2 x +3 . Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es cierta? La fun-ción f es derivable en R y su función derivada f viene dada por: a f ( x ) = 2 · e 2 x +3 b f ( x ) = e 2 x +3 c f ( x ) = 2 x +3 e 2 x +3 d f ( x ) = 2 x 1 e 2 x +3 E.7522 Sea f una función definida en el intervalo 0 ; 5 por: f ( x ) = a · x 2 · e x donde a es un número real. Admitimos que la función f es dos veces derivable en el inter-valo 0 ; 5 . Recordemos que f denota la función derivada de la función f y admitamos que : f (0) = 2 ; f (0) = 10 1 Demuestre que para cualquier x real en el intervalo 0 ; 5 , tenemos : f ( x ) = a · x + a + 2 · e x 2 Deduce de las preguntas anteriores que a =8 . 3 Da la expresión para f ( x ) . 15. Derivadas de un producto y estudio de funciones E.5571 Sea f la función definida y derivable sobre el conjunto de los números reales R tal que : f ( x ) = ( x + 1) · e x 1 Utilizando la calculadora, conjetura los límites de f en + y −∞ . 2 Sea f la función derivada de la función f en R . De-muestre que para cualquier x real: f ( x ) = ( x + 2)e x 3 Elabora la tabla de variaciones de f en R . E.9849 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 6 · x 2 + 5 · x · e x 1 Establece que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = 6 · x 2 7 · x + 5 · e x 2 Elabora la tabla de signos de la función f . 3 Da las variaciones de la función f en R . Pistas: los valores de las imágenes y los límites de los límites no son necesarios. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9733 sacados/9733 chapExoCorrec/7431 sacados/7431 Extrait Asie Juin 2017 chapExoCorrec/3592 sacados/3592 chapExoCorrec/9745 sacados/9745 chapExoCorrec/7032 sacados/7032 chapExoCorrec/7522 sacados/7522 chapExoCorrec/5571 sacados/5571 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2013 chapExoCorrec/9849 sacados/9849
-4-3-2-12I-1234JOCfCg x-8-7-6-5-4-3-2-101234y-4-3-2-1123Cf E.9795 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = (2 x + 1) · e x . En la gráfica de abajo está trazada la curva C f representativa de la función f . 1 Determina las coordenadas de cualquier punto de inter-sección de la curva C f con el eje x. 2 Demuestra que, para cualquier x real, que : f ( x ) = 2 x + 3 e x 3 Elabora la tabla de signos de f ( x ) en R , luego especifica las variaciones de f en R . 4 Consideremos la recta ( T ) tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 : a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . b Dibuja en el sistema de referencia inferior la tangente ( T ) . c Justifica gráficamente que, para cualquier x real, ten-emos : 2 x +1 e x 3 x +1 5 Observa C g la curva representativa de la función g definida por: g ( x ) = 2 x + 1 e 1 x Estudia las posiciones relativas de las curvas C f y C g . 16. Derivadas de un producto, composición lineal y estudio de funciones E.7524 Admitimos que la función f está definida, para cualquier real x del intervalo 2 ; 4 por: f ( x ) = x + 2 · e x +1 Sea f la función derivada de f . 1 Demuestra que, para cualquier x en el intervalo 2 ; 4 , tenemos : f ( x ) = x + 1 · e x +1 2 Estudia el signo de f ( x ) en el intervalo 2 ; 4 , luego elabora la tabla de variaciones de f en este intervalo. E.7518 Admitimos que la función f está definida por: f ( x ) = x 2 2 · x + 1 · e 2 · x +6 1 Demuestre que f ( x )= 2 · x 2 +6 · x 4 · e 2 · x +6 , donde f denota la función derivada de la función f . 2 Investiga el sentido de variación de la función f en el intervalo 0 ; 7 ; 6 y elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo 0 ; 7 ; 6 . No pedimos calcular las ordenadas. E.7571 Consideremos la función f definida en R cuya curva representativa C f se representa a continuación en un datum ortonormal. Se supone que f es de la forma f ( x )= b x · e a · x donde a y b denotan dos constantes. Sabemos que : Los puntos A (0 ; 2) y D (2 ; 0) pertenecen a la curva C f . La tangente a la curva C f en el punto A es paralela al eje x. Sea f la función derivada de f , definida en R . 1 Por lectura gráfica, muestre los valores de f (2) y f (0) . 2 Calcula f ( x ) . 3 Utilizando las cuestiones anteriores, demuestra que a y b son soluciones del siguiente sistema : b 2 = 0 a · b 1 = 0 4 Calcula a y b y da la expresión para f ( x ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9795 sacados/9795 -4-3-2-12I-1234JOCfCg chapExoCorrec/7524 sacados/7524 chapExoCorrec/7518 sacados/7518 chapExoCorrec/7571 sacados/7571 x-8-7-6-5-4-3-2-101234y-4-3-2-1123Cf
x-2-1012y2468CfCfMN E.9848 El siguiente gráfico representa, en un sistema de coordenadas C f y C g , las funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = x 2 · e x ; g ( x ) = e x 1 a Determina las coordenadas de los puntos de inter-sección de C f y C g . b Estudiar la posición relativa de las curvas C f y C g . 2 Para cualquier número real x del intervalo 1 ; 1 , se consideran los puntos M de coordenadas ( x ; f ( x )) y N de coordenadas ( x ; g ( x )) , y se denota por d ( x ) la distan-cia MN . Se admite que : d ( x )=e x x 2 · e x . Se admite que la función d es derivable en el intervalo 1 ; 1 y se denota d su función derivada. a Demuestre que : d ( x ) = e x x 2 2 x 1 b Deduzca las variaciones de la función d en el intervalo 1 ; 1 . c Determinar la abscisa común x 0 de los puntos M 0 y N 0 que permite obtener una distancia d ( x 0 ) máxima, y dar el valor de la distancia M 0 N 0 , redondeado a 0 ; 1 . 17. Derivadas de un cociente E.3612 Proposición: sea f una función definida sobre un inter-valo I por el producto : f ( x ) = u ( x ) v ( x ) donde las funciones u y v están definidas y son derivables sobre I . Entonces la función f es derivable sobre I y su función derivada está definida por: f ( x ) = u ( x ) · v ( x ) u ( x ) · v ( x ) v ( x ) 2 Determina la expresión de las funciones derivadas de cada una de las siguientes funciones : 1 f ( x ) = 1 1 e x 2 g ( x ) = e x +1 2 · x + 1 E.8431 Para cada fila, la tabla siguiente da la expresión de la función derivada f de la función f : f ( x ) = e x x + 1 f ( x ) = x · e x x + 1 2 f ( x ) = 2 · x + 1 e x f ( x ) = 2 · x + 1 e x f ( x ) = 3 · e x + 1 e x 1 f ( x ) = 4 · e x e x 1 2 Comprueba la verdad de cada una de las expresiones f dadas. 18. Derivadas de un cociente y composición lineal E.9732 Determinar la expresión de las fun-ciones derivadas de cada una de las siguientes funciones : 1 h ( x ) = 1 e 2 x e x 2 j ( x ) = 1 e 2 x 1 + e 2 x E.7478 1 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 1 0 ; 5 + 100 · e x Denotemos por f la función derivada de f en R . Demostrar que, para todo número real x perteneciente a R , se tiene : f ( x ) = 400 · e x e x + 200 2 2 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = 100 · e x 0 ; 5 + 100 · e x Denotemos por g la función derivada de g en R . Demuestra que, para todo número real x perteneciente a R , se tiene : g ( x ) = 200 · e x e x + 200 2 19. Derivadas de un cociente y funciones de estudio https://chingmath.fr chapExoCorrec/9848 sacados/9848 Extrait Mars 2021 x-2-1012y2468CfCfMN chapExoCorrec/3612 sacados/3612 chapExoCorrec/8431 sacados/8431 chapExoCorrec/9732 sacados/9732 chapExoCorrec/7478 sacados/7478
E.9734 Consideremos la función f definida en R + por: f ( x ) = e x x 1 Demuestra que la función f , derivada de la función f , admite la expresión : f ( x ) = x 1 · e x x 2 2 a En R + , elaborar la tabla de signos de la función f . b En R + , deducir la tabla de variaciones de la función f . Indicación : se admiten los dos límites: lim x ↦→ 0 + f ( x ) = + ; lim x ↦→ + f ( x ) = + E.10501 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 8 4e x e x + 1 1 Establecer que la función f derivada de la función f se expresa como: f ( x ) = e x 1 2 e x + 1 2 2 Deduce las variaciones de la función f . E.3225 Consideremos la función f definida en R por: f ( x )= x e x x Sea ( C ) su curva representativa en el plano referido al sistema de referencia ortogonal O ; i ; j , la unidad gráfica es 2 cm en el eje x y 5 cm en el eje y. Parte A Sea g la función definida en R por: g ( x )=e x x 1 . 1 Estudia las variaciones de la función g en R . Deduce el signo de g . 2 Justifica que para cualquier x , (e x x ) es estrictamente positivo. Parte B 1 a Calcula f ( x ) , con f denotando la función derivada de f . b Investiga las direcciones de variación de f . 2 a Determina una ecuación de la tangente ( T ) a la curva ( C ) en el punto de abscisa 0. b Utilizando parte A , investiga la posición de la curva ( C ) respecto a la recta ( T ) . E.10503 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 3 x + 1 12 · e x e x + 1 1 Denotemos por f la función derivada de la función f . Demuestre que la función f admite una expresión de la forma : f ( x ) = 3 · g ( x ) 2 donde g es una función definida en R . 2 Deduzca el sentido de variación de la función f en R . E.10504 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 x + 1 16 · e x 2 · e x + 1 Determine las variaciones de la función f . 20. Derivadas de un cociente, composición lineal y estudio de funciones E.10509 Consideremos la función f definida en R \{− 1 } por: f ( x ) = e 2 x x + 1 1 Establecer que : f ( x ) = 2 x + 1 · e 2 x x + 1 2 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f . 21. Hacia las ecuaciones diferenciales E.8408 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = e 2 x +3 1 Demuestra que, para cualquier número real x , se cumple la relación: 2 · f ( x ) f ( x ) = 0 2 a Entre las siguientes expresiones de una función g , ¾cuál verifica la relación ( ) ? g ( x ) = e 2 x +3 + 4 g ( x ) = e 8 x +12 g ( x ) = 4 · e 2 x +3 g ( x ) = e 2 x 3 b Da la expresión de una tercera función h que verifique la relación ( ) . E.9735 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x · e x 1 a Demuestre que la función f , derivada de la función f , por: f ( x ) = x + 1 · e x b Determine la expresión de la función f  , derivada de la función f . 2 Considera la función g definida por: g = f  2 · f + f Justifica que la función g es la función nula. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9734 sacados/9734 chapExoCorrec/10501 sacados/10501 chapExoCorrec/3225 sacados/3225 chapExoCorrec/10503 sacados/10503 chapExoCorrec/10504 sacados/10504 chapExoCorrec/10509 sacados/10509 chapExoCorrec/8408 sacados/8408 chapExoCorrec/9735 sacados/9735
-4-3-2-1234I2345JO E.8409 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x + 1 · e 2 x Demuestra que la función f verifica la relación: f  ( x ) 4 · f ( x ) + 4 · f ( x ) = 0 E.8411 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 1 · e x Demuestre que la función f verifica para cualquier número real x : f  ( x ) 3 · f ( x ) + 2 · f ( x ) = e x 22. Variaciones y diferenciación E.8369 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = e x e x + 1 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo 0 ; 10 . E.8372 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · e x 1 e 2 x 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo 1 ; 10 . E.8370 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = e x e 2 x + 1 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo 1 ; 10 . E.8371 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = e 2 x 2 e x 1 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f en el in-tervalo 1 ; 10 . 23. Funciones y secuencias exponenciales E.288 Sea a un número real cualquiera. Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = a ; u n +1 = e 2 u n e u n para todo n N . Obsérvese que esta igualdad también puede escribirse : u n +1 = e u n · e u n 1 . Considere la función g definida para cualquier real x por: g ( x ) = e 2 x e x x 1 Calcule g ( x ) y demuestre que, para cualquier real x : g ( x ) = e x 1 2 · e x + 1 2 Determine las variaciones de la función g y el valor de su mínimo. 3 Observando que u n +1 u n = g u n , estudie el sentido de variación de la sucesión u n . 24. Ejercicios no clasificados E.3340 Sea f una función definida en R que verifica la relación: f ( x ) = x para todo x R 1 Da al menos dos funciones que verifiquen esta relación. 2 Se propone el campo de tangentes representado a contin-uación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8409 sacados/8409 chapExoCorrec/8411 sacados/8411 chapExoCorrec/8369 sacados/8369 chapExoCorrec/8372 sacados/8372 chapExoCorrec/8370 sacados/8370 chapExoCorrec/8371 sacados/8371 chapExoCorrec/288 sacados/288 chapExoCorrec/3340 sacados/3340 -4-3-2-1234I2345JO
a Compruebe que cada tangente representada en la recta de ecuación x =2 tiene como coeficiente director 2 . b Compruebe que para cada tangente que tiene como origen el punto de coordenadas ( x ; y ) , su coeficiente director es x . 3 Consideremos ahora la función f que cumple las dos condiciones siguientes : f (0) = 3 2 ; f ( x ) = x para todo x R Traza la curva C f representativa de la función f . https://chingmath.fr