- Introducción (campos tangentes) (3 ejercicios)
- Introducción (método de Euler) (3 ejercicios)
- Introducción C (2 ejercicios)
- Funciones exponenciales (3 ejercicios)
- Con la calculadora (2 ejercicios)
- Introducción a las propiedades algebraicas (3 ejercicios)
- Propiedades algebraicas (15 ejercicios)
- Ecuaciones (8 ejercicios)
- Ecuaciones (8 ejercicios)
- Posición relativa de las curvas (2 ejercicios)
- Derivados (3 ejercicios)
- Derivadas y estudio de funciones (7 ejercicios)
- Derivados de un producto (4 ejercicios)
- Derivados de un producto y composición lineal (4 ejercicios)
- Derivadas de un producto y estudio de funciones (3 ejercicios)
- Derivadas de un producto, composición lineal y estudio de funciones (4 ejercicios)
- Derivadas de un cociente (2 ejercicios)
- Derivadas de un cociente y composición lineal (2 ejercicios)
- Derivadas de un cociente y funciones de estudio (5 ejercicios)
- Derivadas de un cociente, composición lineal y estudio de funciones (1 ejercicio)
- Hacia las ecuaciones diferenciales (4 ejercicios)
- Variaciones y diferenciación (4 ejercicios)
- Funciones y secuencias exponenciales (1 ejercicio)
BC
-4-3-2-1IJOCf
I234JOCf
-4-3-2-12I234JOCg
r173-1
-4-3-2-12I234JOCh
mite
una
tangente
en
A
3
cuyo
vector
director
es
−→
u
3
Da
la
derivada
de
la
función
f
en
0
;
7
.
b
¾Qué
relaciones,
entre
las
propuestas,
se
pueden
conje-turar
para
la
función
f
?
f
(
x
)=
x
f
(
x
)=2
·
x
f
(
x
)=
f
(
x
)
f
(
x
)=2
·
f
(
x
)
c
Para
todo
k
∈{
1
;
2
;
:::
;
6
}
,
la
función
f
pasa
por
el
punto
A
k
y
admite
una
tangente
cuyo
vector
director
es
−→
u
k
.
Traza
una
posible
representación
de
la
curva
C
f
.
2
A
continuación
se
muestra
un
campo
de
tangentes
en
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
:
a
Traza
la
representación
de
la
curva
C
g
de
una
función
g
que
verifica
este
campo
de
tangentes
y
pasa
por
el
punto
B
.
b
Trace
la
representación
de
la
curva
C
h
de
una
función
h
que
verifique
este
campo
de
tangentes
y
pase
por
el
punto
C
.
E.8403
En
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
I
;
J
,
consideremos
la
curva
C
f
de
una
función
f
definida
y
derivable
en
R
que
se
muestra
a
continuación
:
En
el
intervalo
−
4
;
1
:
En
el
intervalo
−
2
5
;
9
5
:
1
a
Traza
la
tangente
a
la
curva
C
f
en
el
punto
de
ab-scisa
0
y
da
el
coeficiente
director
de
dicha
tangente.
b
Compara
los
números
f
(0)
y
f
(0)
.
2
Análogamente,
compara
los
números
f
(
−
1)
y
f
(
−
1)
.
3
Gráficamente,
establece
las
igualdades
siguientes
:
f
(1)
=
f
(1)
;
f
1
2
=
f
1
2
.
2.
Introducción
(método
de
Euler)
E.8402
Consideremos
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
I
;
J
:
1
Consideremos
la
función
g
,
afín
a
trozos,
definida
en
R
y
cuya
curva
representativa
C
g
se
da
a
continuación
:
Establece
las
igualdades
siguientes
:
a
g
(
−
1)
=
g
(
−
1)
b
g
(0)
=
g
(0)
c
g
(1)
=
g
(1)
El
siguiente
vídeo
muestra
que
existen
infinitas
funciones
afines
a
trozos
que
verifican
estas
tres
propiedades.
2
Consideremos
la
función
h
definida
en
R
y
cuya
curva
representativa
C
h
se
da
a
continuación
:
Establece
las
igualdades
siguientes
:
a
h
(
−
1)
=
h
(
−
1)
b
h
(0
;
5)
=
h
(0
;
5)
c
h
(1)
=
h
(1)
https://chingmath.fr
BC
chapExoCorrec/8403
sacados/8403
-4-3-2-1IJOCf
I234JOCf
chapExoCorrec/8402
sacados/8402
-4-3-2-12I234JOCg
r173-1
-4-3-2-12I234JOCh
-4-3-2-12I23JOCf
-4-3-2-12I23JOCg
r558-0
-4-3-2-1IJOCf
I234JOCf
La
función
h
,
mostrada
anteriormente,
verifica
para
cualquier
n
∈
Z
tal
que
−
8
n
4
,
la
relación:
h
n
2
=
h
n
2
E.8549
Parte
A
-
sin
1
.
La
función
f
,
representada
a
continuación
en
un
sistema
de
coordenadas,
es
una
función
continua
en
la
que,
en
cada
uno
de
los
intervalos
i
;
i
+1
(
i
∈
Z
)
,
,
la
función
f
es
una
función
afín
cuyo
coeficiente
director
es
f
(
i
)
.
1
a
Da
el
valor
de
f
(0)
y
el
coeficiente
director
de
la
restricción
de
la
función
f
en
el
intervalo
0
;
1
b
Da
el
valor
de
f
(1)
y
el
coeficiente
director
de
la
re-stricción
de
la
función
f
en
el
intervalo
1
;
2
2
Determine
el
valor
de
f
(
−
1)
para
que
f
(0)=1
y
la
re-stricción
de
la
función
f
en
el
intervalo
−
1
;
0
sea
una
función
afín
de
coeficiente
director
f
(
−
1)
.
3
Completa
correctamente
el
trazado
de
la
curva
C
f
.
Parte
B
-
paso
1
/
2
.
La
función
g
,
representada
a
continuación
en
un
sistema
de
coordenadas,
es
una
función
lineal
continua
donde,
en
cada
uno
de
los
intervalos
1
2
·
i
;
1
2
·
i
+1
(
i
∈
Z
)
,
la
función
g
es
una
función
lineal
cuyo
coeficiente
director
es
g
1
2
·
i
.
1
a
Dar
el
valor
de
g
(0)
y
el
coeficiente
director
de
la
restricción
de
la
función
g
en
el
intervalo
0
;
1
2
b
Indique
el
valor
de
g
1
2
y
el
coeficiente
director
de
la
restricción
de
la
función
f
en
el
intervalo
1
2
;
1
2
Determine
el
valor
de
g
−
1
2
para
que
g
(0)=1
y
la
re-stricción
de
la
función
f
en
el
intervalo
−
1
2
;
0
sea
una
función
lineal
con
coeficiente
director
g
−
1
2
3
Completa
correctamente
el
trazado
de
la
curva
C
g
.
Nota:
las
partes
A
et
B
representan
los
dos
primeros
pa-sos
de
la
construcción
de
la
curva
de
la
función
exponencial
mediante
el
método
de
Euler.
Para
ver
los
pasos
sucesivos
de
esta
construcción
y
sus
ˇ
convergencias
ı
hacia
una
única
curva,
puede
ver
esta
animación
:
E.8412
En
el
plano
dotado
de
un
sistema
de
referencia
O
;
I
;
J
,
consideremos
la
curva
C
f
de
una
función
f
definida
en
R
:
1
A
continuación
se
da
la
curva
C
f
sobre
−
4
;
1
:
a
Dibuja
la
tangente
a
la
curva
C
f
en
el
punto
de
abscisa
0
.
Compara
los
números
f
(0)
y
f
(0)
.
b
Compara
los
números
f
(
−
1)
y
f
(
−
1)
.
2
A
continuación
se
da
la
curva
C
f
en
−
2
5
;
9
5
:
a
Compara
los
números
f
(1)
y
f
(1)
.
b
Compara
los
números
f
1
2
y
f
1
2
.
3.
Introducción
C
E.8413
Consideremos
una
función
f
definida
en
R
cuya
curva
representativa
C
f
se
da
en
el
sistema
de
co-
ordenadas
ortonormales
O
;
I
;
J
siguiente
:
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8549
sacados/8549
-4-3-2-12I23JOCf
-4-3-2-12I23JOCg
r558-0
chapExoCorrec/8412
sacados/8412
-4-3-2-1IJOCf
I234JOCf
chapExoCorrec/8413
sacados/8413
-4-3-2-1I23JOCf
Se
admite
que
la
función
f
es
derivable
en
R
y
verifica
las
tres
propiedades
siguientes
:
f
(0)
=
1
;
f
(
x
)
=
f
(
x
)
f
(
x
)
>
0
para
todo
x
∈
R
.
Conjetura
:
1
Consideremos
el
punto
A
de
la
curva
C
f
de
abscisa
1
.
a
Coloca
el
punto
A
y
traza
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
f
en
el
punto
A
.
b
Indique
la
abscisa
del
punto
B
de
intersección
de
la
tangente
(
T
)
con
el
eje
de
abscisas.
2
Repita
la
pregunta
1
con
el
punto
B
de
abscisa
−
1
.
3
¾Qué
conjetura
se
puede
hacer
sobre
la
abscisa
del
punto
de
contacto
de
una
tangente
a
la
curva
C
y
la
abscisa
del
punto
de
intersección
de
esta
tangente
con
el
eje
de
abscisas?
4
Comprueba
tu
conjetura
con
un
tercer
punto
de
la
curva
C
f
elegido
al
azar.
Demostración:
Sea
a
un
número
real
cualquiera.
5
Establecer
que
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
f
en
el
punto
de
abscisa
a
admite
como
ecuación
reducida
:
(
T
)
:
y
=
f
(
a
)
·
x
−
a
+
1
6
Establecer
la
conjetura
formulada
en
la
pregunta
3
.
Ampliación
:
7
Con
ayuda
de
un
programa
de
geometría
dinámica,
comprobar
si
las
curvas
representativas
de
las
fun-ciones
cuadrada,
inversa
y
raíz
cuadrada
verifican
esta
propiedad
E.3342
El
número
de
átomos
de
una
fuente
radiactiva
tiende
a
disminuir
con
el
tiempo.
Se
denota
N
(
t
)
el
número
de
núcleos
en
el
instante
t
.
Al
observar
este
fenómeno
en
una
variación
del
tiempo,
indicada
con
Δ
t
,
el
número
de
átomos
también
ha
experimentado
una
variación,
indicada
con
Δ
N
(
t
)
.
Se
ha
establecido
la
siguiente
fórmula
:
Δ
N
(
t
)
N
(
t
)
=
−
–
·
Δ
t
donde
–
es
una
constante
que
depende
únicamente
de
la
nat-uraleza
de
la
fuente
radiactiva
observada.
1
a
La
vida
media
del
radón-220
es
de
56
s
.
Determine
el
valor
de
la
constante
–
en
el
caso
del
radón-220,
redondeado
a
10
−
4
.
b
Partimos
de
una
muestra
que
contiene
240
g
con
aprox-imadamente
6
;
02
×
10
23
núcleos
de
radón.
Determinar
el
tiempo
que
hay
que
esperar
para
que
la
cantidad
observada
pese
:
120
g
;
60
g
2
a
Establecer
la
siguiente
igualdad
:
Δ
N
(
t
)
Δ
t
=
−
–
·
N
(
t
)
b
¾Qué
representa
la
cantidad
Δ
N
(
t
)
Δ
t
para
la
función
N
?
Suponiendo
que
la
función
N
es
derivable
en
función
del
tiempo
t
,
deduzca
la
relación:
N
(
t
)
=
−
–
·
N
(
t
)
4.
Funciones
exponenciales
E.5499
Admitimos
la
existencia
de
una
fun-ción
f
definida
en
R
que
verifica
las
dos
condiciones
:
f
=
f
;
f
(0)=1
Demostrar
que
esta
función
f
es
única.
La
denotaremos
exp
.
Pistas:
Esta
demostración
se
realiza
en
dos
pasos
:
Se
demuestra
que
cualquier
función
que
verifique
estas
dos
condiciones
no
puede
anularse.
Para
ello,
consider-emos
la
función
h
definida
por:
h
(
x
)
=
f
(
x
)
·
f
(
−
x
)
y
demostremos
que
la
función
h
es
constante.
Suponiendo
que
existen
dos
funciones
f
y
g
que
ver-ifican
estas
dos
condiciones,
considere
la
función
j
definida
por:
j
(
x
)=
f
(
x
)
g
(
x
)
y
se
demuestra
que
la
función
j
es
constante.
Más
pre-cisamente
que
:
j
(
x
)=1
Propiedades
utilizadas
:
La
derivada
de
la
función
producto
u
·
v
tiene
la
ex-presión
:
u
·
v
=
u
(
x
)
·
v
(
x
)
+
u
(
x
)
·
v
(
x
)
Para
a;b
∈
R
,
tenemos
:
exp(
a
·
x
+
b
)
=
a
·
exp
a
·
x
+
b
https://chingmath.fr
-4-3-2-1I23JOCf
chapExoCorrec/3342
sacados/3342
chapExoCorrec/5499
sacados/5499
ABx012345678f(x0,20,40,60,81Cf
E.9751
Objetivo:
El
objetivo
de
este
ejercicio
es
establecer
una
propiedad
algebraica
de
la
función
exponencial.
Propiedades
utilizadas
:
La
función
exponencial
es
la
única
función
que
cumple
:
f
=
f
;
f
(0)
=
1
La
derivada
de
la
función
producto
u
·
v
se
expresa
como:
u
·
v
=
u
·
v
+
u
·
v
Para
a;b
∈
R
,
tenemos
:
exp(
a
·
x
+
b
)
=
a
·
exp
a
·
x
+
b
1
Para
ello,
consideramos
la
función
g
derivable
y
definida
en
R
por:
g
(
x
)
=
exp
x
·
exp
−
x
a
Demuestra
que
para
todo
x
∈
R
,
se
tiene
:
g
(
x
)
=
0
b
Justifica
que,
para
todo
x
∈
R
:
g
(
x
)=1
2
a
Deduzca
de
la
propiedad
anterior
que
la
función
ex-ponencial
nunca
se
anula.
Es
decir,
para
todo
x
∈
R
:
exp(
x
)
=
0
b
Vamos
a
establecer
que
:
exp(
−
x
)
=
1
exp(
x
)
∀
x
∈
R
Observación
:
la
función
exponencial
no
se
anula
y,
dado
que
f
(0)
>
0
,
se
deduce
que
la
función
exponencial
es
estric-tamente
positiva
en
R
.
Dado
que
la
función
exponencial
es
estrictamente
positiva
y
verifica
f
=
f
,
se
deduce
que
la
función
exponencial
es
estrictamente
creciente
en
R
.
E.9752
Objetivo:
El
objetivo
de
este
ejercicio
es
establecer
una
propiedad
algebraica
de
la
función
exponencial.
Propiedades
utilizadas
:
La
función
exponencial
es
la
única
función
que
cumple
:
f
=
f
;
f
(0)
=
1
para
todo
x
∈
R
,
se
tiene
:
exp(
−
x
)
=
1
exp(
x
)
La
derivada
de
la
función
producto
u
·
v
tiene
como
expresión
:
u
·
v
=
u
·
v
+
u
·
v
Para
a;b
∈
R
,
se
tiene
:
exp(
a
·
x
+
b
)
=
a
·
exp
a
·
x
+
b
1
El
objetivo
de
esta
pregunta
es
demostrar
que
para
todos
los
números
reales
x
y
y
,
tenemos
:
exp
x
+
y
=
exp(
x
)
×
exp(
y
)
Para
ello,
consideramos
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
exp(
x
+
a
)
·
exp(
−
x
)
donde
a
∈
R
a
Demostrar
que
para
todo
x
∈
R
,
tenemos
:
f
(
x
)
=
0
b
Demostrar
que
para
todo
x
∈
R
,
tenemos
:
f
(
x
)
=
exp(
a
)
c
Deduzca
que
∀
x;y
∈
R
,
se
tiene
:
exp
x
+
y
=
exp(
x
)
·
exp(
y
)
2
Deduzca
que
∀
x;y
∈
R
,
se
tiene
:
exp(
x
−
y
)
=
exp(
x
)
exp(
y
)
5.
Con
la
calculadora
E.7474
Consideremos
las
dos
funciones
f
y
g
definidas
en
R
por
las
relaciones
:
f
(
x
)
=
2
x
−
x
2
;
g
(
x
)
=
−
x
+
2
En
un
sistema
de
referencia
O
;
I
;
J
,
observa
C
f
y
C
g
las
curvas
representativas
de
las
funciones
f
y
g
respectivamente.
Determina
con
la
calculadora
las
coordenadas
de
los
puntos
de
intersección
de
las
curvas
C
f
y
C
g
.
E.7027
Consideremos
la
función
definida
en
0
;
8
por:
f
(
x
)
=
0
;
4
20
·
e
−
x
+
1
+
0
;
4
En
una
región
montañosa,
una
empresa
está
estudiando
un
proyecto
de
carretera
que
conecte
los
pueblos
A
y
B
,
situados
a
dos
altitudes
diferentes.
La
función
f
,
definida
en
la
parte
A
,
modela
el
perfil
de
este
proyecto
de
carretera.
La
variable
x
representa
la
distancia
horizontal,
en
kilómetros,
desde
el
pueblo
A
y
f
(
x
)
representa
la
altitud
asociada,
en
kilómetros.
A
continuación
se
muestra
la
representación
gráfica
C
f
de
la
función
f
.
Indicación
:
para
cada
una
de
las
siguientes
proposiciones,
indique
si
la
proposición
es
verdadera
o
falsa
y
justifique
su
respuesta.
Proposición
1
La
altitud
del
pueblo
B
es
0
;
6
km
.
Propuesta
2
La
diferencia
de
altitud
entre
los
pueblos
A
y
B
es
de
378
metros,
redondeada
al
metro.
6.
Introducción
a
las
propiedades
algebraicas
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9751
sacados/9751
chapExoCorrec/9752
sacados/9752
chapExoCorrec/7474
sacados/7474
chapExoCorrec/7027
sacados/7027
ABx012345678f(x0,20,40,60,81Cf
-4-3-2-1I23JOCf
-4-3-2-1I23JOCf
E.8414
En
el
plano
provisto
de
una
referen-cia
O
;
I
;
J
ortonormada,
se
da
la
curva
C
f
representativa
de
la
función
exponencial
f
:
Conjetura
:
1
Con
la
precisión
posible
mediante
lectura
gráfica,
com-plete
la
tabla
de
valores
de
la
función
f
:
x
−
1
;
4
−
1
−
0
;
4
0
0
;
6
1
exp(
x
)
2
Utilizando
los
resultados
anteriores,
dé
aproximaciones
de
los
siguientes
productos
:
exp(
−
1)
×
exp(
−
0
;
4)
exp(
−
1)
×
exp(0
;
6)
exp(0)
×
exp(1)
exp(
−
0
;
4)
×
exp(1)
3
¾Qué
conjetura
se
puede
establecer
sobre
el
producto
exp(
a
)
·
exp(
b
)
para
cualquier
número
real
a
y
b
?
Hacia
la
demostración:
Admitimos
que
la
función
exponencial
es
distinta
de
cero
en
R
y
solo
vamos
a
establecer
un
caso
particular
de
la
de-mostración
:
Para
cualquier
número
real
x
,
se
tiene
:
exp
1+
x
=
exp(1)
·
exp(
x
)
(
∗
)
Consideremos
la
función
g
definida
en
R
por:
g
(
x
)
=
exp(
x
+1)
exp(
x
)
4
Determinar
la
expresión
de
la
función
g
derivada
de
la
función
g
.
5
Deduzca
que
la
forma
simplificada
de
la
función
g
y
es-tablezca
la
propiedad
(
∗
)
.
Ampliación
:
6
Establezca
la
propiedad
siguiente
para
todo
x
∈
R
:
exp(2+
x
)
=
exp(2)
×
exp(
x
)
7
¾Qué
simplificación
de
la
expresión
exp(
n
)
×
exp(
x
)
se
puede
conjeturar
para
todo
número
natural
n
y
todo
número
real
x
?
E.8416
En
el
plano
provisto
de
una
referen-cia
O
;
I
;
J
ortonormada,
se
da
la
curva
C
f
representativa
de
la
función
exponencial
f
:
Conjetura
:
1
Con
la
precisión
posible
mediante
lectura
gráfica,
com-plete
la
tabla
de
valores
de
la
función
f
:
x
−
1
;
9
−
1
;
2
−
0
;
8
−
0
;
1
0
;
4
0
;
7
1
;
1
exp(
x
)
2
Utilizando
los
resultados
anteriores,
dé
los
valores
de
los
siguientes
productos
:
exp(
−
1
;
9)
×
exp(1
;
1)
exp(
−
1
;
2)
×
exp(0
;
4)
exp(
−
0
;
8)
×
exp(0
;
7)
exp(0
;
4)
×
exp(0
;
7)
3
¾Qué
conjetura
se
puede
establecer
sobre
el
producto
exp(
x
)
·
exp(
y
)
para
cualquier
número
real
x
y
y
?
Demostración:
Se
admite
que
la
función
exponencial
nunca
se
anula
en
R
.
Para
cualquier
número
real
a
,
se
considera
la
función
g
a
definida
en
R
por:
g
a
(
x
)
=
exp(
x
+
a
)
exp(
x
)
(
∗
)
4
Determinar
la
expresión
de
la
función
g
derivada
de
la
función
g
.
5
Establecer
que
para
todo
número
real
x
,
se
tiene
g
a
(
x
)=
exp(
a
)
,
y
luego
establecer
la
siguiente
identidad
para
to-dos
los
números
reales
x
y
y
:
exp(
x
)
×
exp(
y
)
=
exp(
x
+
y
)
Ampliación
:
6
Establecer
la
propiedad
siguiente
para
todo
x
∈
R
:
exp(3
·
x
)
=
exp(
x
)
3
7
Establecer
la
propiedad
siguiente
para
todo
x
∈
R
:
exp
x
2
=
exp(
x
)
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8414
sacados/8414
-4-3-2-1I23JOCf
chapExoCorrec/8416
sacados/8416
-4-3-2-1I23JOCf
-4-3-2-1I23JOCf
E.8415
En
el
plano
provisto
de
una
referen-cia
O
;
I
;
J
ortonormada,
se
da
la
curva
C
f
representativa
de
la
función
exponencial
f
:
Conjetura
:
1
Con
la
precisión
posible
mediante
lectura
gráfica,
com-plete
la
tabla
de
valores
de
la
función
f
:
x
−
0
;
7
−
0
;
5
−
0
;
1
0
0
;
1
0
;
5
0
;
7
exp(
x
)
2
Utilizando
los
resultados
anteriores,
dé
los
valores
de
los
siguientes
productos
:
exp(
−
0
;
7)
×
exp(0
;
7)
exp(
−
0
;
5)
×
exp(0
;
5)
exp(
−
0
;
1)
×
exp(0
;
1)
exp(0)
×
exp(0)
3
¾Se
puede
conjeturar
una
relación
entre
los
números
exp(
a
)
y
exp(
−
a
)
para
cualquier
número
real
a
?
Demostración:
Consideremos
la
función
g
definida
en
R
por:
g
(
x
)
=
exp(
−
x
)
×
exp(
x
)
4
Determinar
la
expresión
de
la
función
g
derivada
de
la
función
g
.
5
Basándonos
en
el
valor
de
g
(0)
,
deducir
la
forma
simpli-ficada
de
la
función
g
y
establecer
la
conjetura
anterior.
Justificar
también
que
la
función
exponencial
nunca
se
anula
en
R
.
Ampliación
:
6
Justificar
que
la
función
exponencial
toma
sus
valores
en
R
∗
+
.
7.
Propiedades
algebraicas
E.3589
Proposición:
para
cualquier
x;y
∈
R
y
para
cualquier
n
∈
Z
,
tenemos
:
exp
x
+
y
=
exp
x
×
exp
y
exp
x
−
y
=
exp
x
exp
y
exp
n
·
x
=
exp
x
n
a
exp(3)
·
exp(5)
b
exp(
−
2)
·
exp(4)
c
1
exp(
−
5)
d
exp(5)
3
E.9737
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
3
−
2
·
e
5
b
e
6
−
e
3
e
·
e
2
E.3610
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
·
e
2
x
+1
b
e
3
−
2
x
·
e
x
+5
c
e
2
·
x
−
1
·
e
3
−
x
E.9738
Simplifica
las
siguientes
entradas
:
a
exp(2
x
+4)
×
exp(3
−
x
)
b
exp(
x
)
2
exp(3
−
2
x
)
E.3590
Proposición:
para
cualquier
x;y
∈
R
y
para
cualquier
n
∈
Z
,
tenemos
:
e
x
+
y
=
e
x
×
e
y
e
x
−
y
=
e
x
e
y
e
n
·
x
=
e
x
n
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
3
·
e
4
b
e
4
·
e
−
4
c
e
4
3
·
e
4
d
e
5
·
e
−
3
e
−
2
e
e
5
·
e
6
f
e
6
·
e
−
2
e
−
4
E.9727
Simplifica
las
siguientes
entradas
:
a
e
3
x
+1
·
e
2
−
2
x
b
e
x
−
2
e
3
−
x
c
e
−
x
−
e
2
x
+
1
e
x
E.9736
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
3
·
e
5
x
4
−
2
·
e
10
x
2
b
e
9
x
−
2
·
e
3
x
3
E.9726
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
2
·
x
−
1
2
e
7
·
x
−
2
b
3
·
e
−
2
·
x
+
e
x
+
1
e
2
·
x
E.3611
Establece
las
siguientes
igualdades
:
a
2
+
3
·
e
x
+
e
2
x
e
2
x
=
2
·
e
−
2
x
+
3
·
e
−
x
+
1
b
1
−
e
x
e
2
x
=
e
−
2
x
−
e
−
x
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8415
sacados/8415
-4-3-2-1I23JOCf
chapExoCorrec/3589
sacados/3589
chapExoCorrec/9737
sacados/9737
chapExoCorrec/3610
sacados/3610
chapExoCorrec/9738
sacados/9738
chapExoCorrec/3590
sacados/3590
chapExoCorrec/9727
sacados/9727
chapExoCorrec/9736
sacados/9736
chapExoCorrec/9726
sacados/9726
chapExoCorrec/3611
sacados/3611
−∞01∞01e∞xVariationdeexp
E.3608
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
5
−
e
4
2
−
e
5
+
e
4
2
b
e
2
+
e
−
2
·
e
2
−
e
−
2
E.9725
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
a
e
3
x
2
−
e
2
x
·
e
2
x
+
e
−
2
2
b
e
3
x
2
+
e
−
3
x
2
−
e
3
x
−
e
−
3
x
2
E.6873
Copia
las
identidades
que
aparecen
a
continuación,
rellenando
correctamente
las
líneas
de
puntos
:
a
e
x
+
e
−
x
=
e
x
·
:
:
:
+
:
:
:
b
e
x
x
2
=
e
...
:
:
:
2
c
1
+
e
−
x
=
:
:
:
+
:
:
:
e
x
d
1
+
e
x
e
2
x
=
:
:
:
+
:
:
:
e
e
3
x
−
e
x
e
3
x
+
e
2
x
=
1
−
:
:
:
1
+
:
:
:
f
e
16
x
=
e
...
2
E.2031
Simplifica
las
siguientes
expresiones
:
e
x
+e
−
x
2
2
−
e
x
−
e
−
x
2
2
E.9724
Establece
las
siguientes
igualdades
:
a
e
3
x
+
2
e
3
x
−
1
=
1
+
2
·
e
−
3
x
1
−
e
−
3
x
b
e
3
x
−
e
2
x
e
3
x
+
e
2
x
=
e
2
x
−
1
e
x
+
1
2
8.
Ecuaciones
E.8417
Proposición:
para
todos
los
números
reales
a
y
b
a
=
b
⇐⇒
e
a
=e
b
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
:
a
e
5
x
+1
=
e
2
x
b
e
3
x
+1
=
1
c
e
1
−
3
x
e
=
1
E.3593
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
en
R
:
a
exp(
x
)
=
e
b
exp(
−
x
)
=
1
c
exp(2
x
−
1)
=
e
d
e
x
−
e
−
x
=
0
E.8419
Resuelve
las
ecuaciones
:
a
e
x
·
e
2
x
−
e
2
=
0
b
e
3
x
−
1
−
1
e
2
−
x
−
e
=
0
c
x
·
e
x
−
x
=
0
E.3616
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
:
a
e
x
+
e
−
x
=
0
b
e
3
x
+1
=
e
−
2
x
+3
c
e
2
x
−
1
=
0
d
x
·
e
2
x
−
2
·
e
2
x
=
0
E.8418
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
:
a
e
x
2
+1
=
e
x
b
e
x
+1
2
=
e
x
2
+1
c
e
x
2
+1
+
e
x
=
0
E.9739
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
en
R
:
a
e
x
2
+
x
=
1
b
e
x
2
+5
=
e
x
+2
2
9.
Ecuaciones
E.3617
Proposición:
la
función
exponencial
está
definida
en
R
y
tiene
la
tabla
de
variación:
Resuelve
las
siguientes
desigualdades
:
a
e
x
<
1
b
e
−
x
>
0
c
e
−
x
>
1
d
e
2
x
−
1
0
E.3594
Resuelve
las
siguientes
inecuaciones
en
R
:
a
exp(
x
)
<
e
b
exp(
−
x
)
1
E.9740
Propuesta:
Para
cualquier
número
real
a
y
b
:
e
a
>
e
b
⇐⇒
a
>
b
e
a
<
e
b
⇐⇒
a
<b
Observación
:
esta
propiedad
proviene
de
la
estricta
cre-ciente
de
la
función
f
.
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
en
R
:
a
e
2
x
−
4
1
b
e
2
x
−
1
<
e
x
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3608
sacados/3608
chapExoCorrec/9725
sacados/9725
chapExoCorrec/6873
sacados/6873
fichierPlus/6873/
chapExoCorrec/2031
sacados/2031
chapExoCorrec/9724
sacados/9724
chapExoCorrec/8417
sacados/8417
chapExoCorrec/3593
sacados/3593
chapExoCorrec/8419
sacados/8419
chapExoCorrec/3616
sacados/3616
chapExoCorrec/8418
sacados/8418
chapExoCorrec/9739
sacados/9739
chapExoCorrec/3617
sacados/3617
−∞01∞01e∞xVariationdeexp
chapExoCorrec/3594
sacados/3594
chapExoCorrec/9740
sacados/9740
2345678IJOCfCg
xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf
E.9730
Resuelve
las
siguientes
inecuaciones
:
a
e
x
−
e
−
x
>
0
b
x
·
e
−
x
−
3
·
e
−
x
<
0
E.8421
Resuelve
las
siguientes
inecuaciones
:
a
e
x
2
−
3
x
+5
<
e
b
e
[(3
x
+1)
2
]
<
0
E.9731
Resuelve
las
siguientes
inecuaciones
en
R
:
a
e
2
x
+
3e
x
<
4
b
e
x
+
e
−
x
<
2
Sugerencia
:
identificaremos
estas
desigualdades
con
de-sigualdades
polinómicas
de
grado
2
.
10.
Posición
relativa
de
las
curvas
E.4233
Sean
f
y
g
las
funciones
definidas
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
·
e
−
x
;
g
(
x
)
=
x
2
·
e
−
x
Observamos
C
f
y
C
g
las
representaciones
gráficas
de
las
fun-ciones
f
y
g
en
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
i
;
−→
j
.
1
Conjetura
gráficamente
las
posiciones
relativas
de
las
cur-vas
C
f
y
C
g
.
2
a
Factoriza
la
expresión
f
(
x
)
−
g
(
x
)
.
b
Deduce
las
posiciones
relativas
de
las
curvas
C
f
y
C
g
.
E.7523
Una
empresa
quiere
utilizar
un
motivo
decorativo
para
su
comunicación.
Para
realizar
este
motivo,
se
modela
su
forma
mediante
dos
funciones
f
y
g
definidas
para
cualquier
real
x
de
0
;
1
por:
f
(
x
)
=
1
−
x
·
e
3
x
;
g
(
x
)
=
x
2
−
2
·
x
+
1
1
Comprueba
que
los
puntos
A
y
B
de
coordenadas
(1
;
0)
y
(0
;
1)
son
puntos
comunes
a
las
curvas
C
f
y
C
g
.
2
Admitimos
que
:
para
cualquier
x
en
0
;
1
:
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
1
−
x
e
3
x
−
1
+
x
a
Justifique
que
para
cualquier
x
en
0
;
1
:
e
3
·
x
−
1
0
b
Deduce
que
para
cualquier
x
en
0
;
1
:
e
3
·
x
−
1
+
x
0
c
Investiga
el
signo
de
f
(
x
)
−
g
(
x
)
para
cualquier
x
en
0
;
1
.
11.
Derivados
E.9728
Para
cada
función,
determine
la
ex-presión
de
la
función
derivada
:
1
f
(
x
)
=
2
·
e
x
+
x
2
2
g
(
x
)
=
1
4
·
e
3
x
+1
+
e
−
2
x
E.8133
Consideremos
la
función
f
definida,
para
cualquier
número
real
positivo
t
por:
f
(
t
)
=
a
·
e
−
t
5
+
b
donde
a;
b
∈
R
Sea
f
(0)=1
000
y
f
satisfaga
la
relación:
f
(
t
)
+
1
5
·
f
(
t
)
=
4
para
todo
t
∈
R
Determinar
los
valores
de
a
y
b
,
y
dar
la
expresión
de
la
fun-
ción
f
.
E.7479
Propuesta:
Sean
a
y
b
dos
números
reales
y
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
e
ax
+
b
La
función
f
,
derivada
de
f
,
admite
como
expresión
:
f
(
x
)
=
a
·
e
ax
+
b
Para
cada
función,
determine
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
:
a
f
(
x
)
=
e
x
b
f
(
x
)
=
e
2
·
x
c
f
(
x
)
=
e
3
−
x
12.
Derivadas
y
estudio
de
funciones
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9730
sacados/9730
chapExoCorrec/8421
sacados/8421
chapExoCorrec/9731
sacados/9731
chapExoCorrec/4233
sacados/4233
2345678IJOCfCg
chapExoCorrec/7523
sacados/7523
xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf
chapExoCorrec/9728
sacados/9728
chapExoCorrec/8133
sacados/8133
chapExoCorrec/7479
sacados/7479
IJOCCM
E.9741
Consideremos
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
3
·
e
1
−
2
x
1
Determinar
la
expresión
de
la
función
f
,
derivada
de
la
función
f
.
A
continuación,
deduzca
el
signo
de
f
en
R
.
2
Deduzca
el
sentido
de
las
variaciones
de
la
función
f
so-bre
R
.
E.9742
Para
cada
una
de
las
dos
funciones
siguientes
definidas
en
R
,
determina
la
expresión
de
su
fun-ción
derivada
y
su
sentido
de
variación
en
R
:
1
f
(
x
)
=
3
·
e
5
x
+1
2
g
(
x
)
=
2
−
3
·
e
−
x
E.9743
Para
cada
una
de
las
siguientes
fun-ciones
definidas
en
R
,
determina
la
expresión
de
su
función
derivada
y,
a
continuación,
estudia
su
sentido
de
variación
en
R
:
1
f
(
x
)
=
x
−
e
−
x
2
g
(
x
)
=
6
x
+
3
·
e
−
2
x
E.10510
Considera
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
e
4
x
−
4
−
4
·
e
·
x
Determina
la
expresión
de
su
función
derivada
y,
a
contin-uación,
estudia
su
sentido
de
variación
en
R
:
E.5754
Sean
las
funciones
f
y
g
definidas
en
R
por
las
relaciones
:
f
(
x
)
=
e
1+
x
+
e
1
−
x
2
g
(
x
)
=
e
1+
x
−
e
1
−
x
2
En
un
marco
de
referencia
ortonormal
O
;
I
;
J
,
damos
las
curvas
C
y
C
respectivamente
representativas
de
las
fun-ciones
f
y
g
:
1
Establecer
que,
para
cualquier
número
real
x
:
f
(
x
)
−
g
(
x
)
>
0
2
Establecer
que,
para
cualquier
real
x
,
tenemos
:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
;
g
(
x
)
=
f
(
x
)
3
Considera
a
cualquier
número
real:
a
Justifica
que
la
ecuación
reducida
de
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
en
el
punto
de
abscisa
a
tiene
la
expresión
:
y
=
g
(
a
)
·
x
−
a
+
f
(
a
)
b
Justifica
que
la
ecuación
reducida
de
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
en
el
punto
de
abscisa
a
tiene
la
expresión
:
y
=
f
(
a
)
·
x
−
a
+
g
(
a
)
4
Justifica
que
las
tangentes
(
T
)
y
(
T
)
son
secantes
y
de-duce
la
abscisa
del
punto
de
intersección.
E.5990
Sean
las
funciones
f
y
g
definidas
en
R
por
las
relaciones
:
f
(
x
)
=
e
1+
x
+
e
1
−
x
2
g
(
x
)
=
e
1+
x
−
e
1
−
x
2
En
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
I
;
J
,
se
dan
las
curvas
C
y
C
,
representativas
re-spectivamente
de
las
funciones
f
y
g
:
Parte
A
:
estudio
de
la
posición
relativa
de
las
dos
curvas
1
Demuestre
que
la
curva
C
siempre
se
encuentra
por
encima
de
la
curva
C
.
Parte
B:
estudio
de
un
lugar
geométrico
Sea
a
un
número
real
cualquiera.
Consideramos
:
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
en
el
punto
de
abscisa
a
;
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
en
el
punto
de
abscisa
a
;
Se
admite
que
las
rectas
(
T
)
y
(
T
)
nunca
son
paralelas.
Se
indica
M
su
punto
de
intersección.
2
a
Da
la
expresión
de
la
ecuación
reducida
de
la
tan-gente
(
T
)
en
función
de
a
.
b
Da
la
expresión
de
la
ecuación
reducida
de
la
tangente
(
T
)
en
función
de
a
.
3
Determina
la
abscisa
del
punto
M
.
4
a
Determinar
las
coordenadas
de
M
.
b
Justificar
que
el
punto
M
pertenece
a
la
curva
de
una
de
las
funciones
de
referencia
que
se
especificarán.
E.4231
Sea
f
la
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
e
x
.
Llamamos
C
f
a
la
curva
representativa
de
la
función
f
en
un
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
−→
i
;
−→
j
.
1
Sea
a
un
número
real.
Demostrar
que
la
tangente
a
la
curva
C
f
en
el
punto
M
de
abscisa
a
corta
al
eje
x
en
el
punto
P
de
abscisa
a
−
1
.
2
Sea
N
la
proyección
ortogonal
del
punto
M
sobre
el
eje
x.
Demostrar
que
:
−−→
NP
=
−−→
i
13.
Derivados
de
un
producto
E.7480
Proposición:
sea
f
una
función
definida
en
un
intervalo
I
por
el
producto
:
f
(
x
)
=
u
(
x
)
×
v
(
x
)
donde
las
funciones
u
y
v
están
definidas
y
son
derivables
en
I
.
Entonces
la
función
f
es
derivable
en
I
y
su
función
derivada
está
definida
por:
f
(
x
)
=
u
(
x
)
·
v
(
x
)+
u
(
x
)
·
v
(
x
)
Para
cada
función,
determina
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
:
a
f
(
x
)
=
x
·
e
x
b
f
(
x
)
=
1
−
2
·
x
·
e
x
E.9744
Para
cada
función,
determina
la
ex-presión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
:
a
f
(
x
)
=
3
−
x
·
e
x
b
g
(
x
)
=
x
+
1
e
x
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9741
sacados/9741
chapExoCorrec/9742
sacados/9742
chapExoCorrec/9743
sacados/9743
chapExoCorrec/10510
sacados/10510
chapExoCorrec/5754
sacados/5754
chapExoCorrec/5990
sacados/5990
Epreuve pratique - 2009
IJOCCM
chapExoCorrec/4231
sacados/4231
chapExoCorrec/7480
sacados/7480
chapExoCorrec/9744
sacados/9744
E.9733
Considera
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
(2
·
x
−
1)
·
e
x
.
Da
el
conjunto
de
definición
de
la
función
f
y
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
.
Pista:
daremos
la
expresión
de
f
en
forma
factorizada.
E.7431
Consideremos
una
función
definida
y
derivable
en
el
intervalo
−
3
;
2
.
Denotamos
f
a
la
función
derivada
de
la
función
f
.
Se
dan
los
siguientes
datos
sobre
la
función
f
:
f
(0)
=
3
;
f
(1)
=
0
;
f
(0)
=
0
;
5
Admitimos
que
existen
tres
números
reales
a
,
b
,
c
para
los
cuales
la
función
f
definida
anteriormente
está
definida,
para
cualquier
x
de
−
3
;
2
,
por:
f
(
x
)
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
·
e
x
+
5
.
1
Utilizando
uno
de
los
datos
anteriores,
justifica
que
c
=
−
2
.
2
Se
acepta
que
la
función
derivada
f
viene
dada,
para
cualquier
real
x
de
−
3
;
2
,
por:
f
(
x
)
=
a
·
x
2
+
2
·
a
+
b
·
x
−
2
+
b
·
e
x
Utilizando
la
información
anterior,
justifica
que
b
=2
;
5
,
luego,
que
a
=
−
1
.
14.
Derivados
de
un
producto
y
composición
lineal
E.3592
Determinar
la
expresión
de
las
sigu-ientes
funciones
derivadas
:
1
f
(
x
)
=
x
+
3
·
e
−
x
2
g
(
x
)
=
x
·
e
2
·
x
−
1
E.9745
Determina
la
expresión
de
las
sigu-ientes
funciones
derivadas
:
1
h
(
x
)
=
x
·
e
x
+1
2
j
(
x
)
=
x
2
+
1
·
e
3
x
+1
E.7032
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
x
+
1
·
e
−
2
x
+3
.
Cuál
de
las
cuatro
afirmaciones
siguientes
es
cierta?
La
fun-ción
f
es
derivable
en
R
y
su
función
derivada
f
viene
dada
por:
a
f
(
x
)
=
−
2
·
e
−
2
x
+3
b
f
(
x
)
=
e
−
2
x
+3
c
f
(
x
)
=
−
2
x
+3
e
−
2
x
+3
d
f
(
x
)
=
−
2
x
−
1
e
−
2
x
+3
E.7522
Sea
f
una
función
definida
en
el
intervalo
0
;
5
por:
f
(
x
)
=
a
·
x
−
2
·
e
−
x
donde
a
es
un
número
real.
Admitimos
que
la
función
f
es
dos
veces
derivable
en
el
inter-valo
0
;
5
.
Recordemos
que
f
denota
la
función
derivada
de
la
función
f
y
admitamos
que
:
f
(0)
=
−
2
;
f
(0)
=
10
1
Demuestre
que
para
cualquier
x
real
en
el
intervalo
0
;
5
,
tenemos
:
f
(
x
)
=
−
a
·
x
+
a
+
2
·
e
−
x
2
Deduce
de
las
preguntas
anteriores
que
a
=8
.
3
Da
la
expresión
para
f
(
x
)
.
15.
Derivadas
de
un
producto
y
estudio
de
funciones
E.5571
Sea
f
la
función
definida
y
derivable
sobre
el
conjunto
de
los
números
reales
R
tal
que
:
f
(
x
)
=
(
x
+
1)
·
e
x
1
Utilizando
la
calculadora,
conjetura
los
límites
de
f
en
+
∞
y
−∞
.
2
Sea
f
la
función
derivada
de
la
función
f
en
R
.
De-muestre
que
para
cualquier
x
real:
f
(
x
)
=
(
x
+
2)e
x
3
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
f
en
R
.
E.9849
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
−
6
·
x
2
+
5
·
x
·
e
x
1
Establece
que
la
función
f
,
derivada
de
la
función
f
,
tiene
la
expresión
:
f
(
x
)
=
−
6
·
x
2
−
7
·
x
+
5
·
e
x
2
Elabora
la
tabla
de
signos
de
la
función
f
.
3
Da
las
variaciones
de
la
función
f
en
R
.
Pistas:
los
valores
de
las
imágenes
y
los
límites
de
los
límites
no
son
necesarios.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9733
sacados/9733
chapExoCorrec/7431
sacados/7431
Extrait Asie
Juin 2017
chapExoCorrec/3592
sacados/3592
chapExoCorrec/9745
sacados/9745
chapExoCorrec/7032
sacados/7032
chapExoCorrec/7522
sacados/7522
chapExoCorrec/5571
sacados/5571
Extrait Antilles-Guyanes
Juin 2013
chapExoCorrec/9849
sacados/9849
-4-3-2-12I-1234JOCfCg
x-8-7-6-5-4-3-2-101234y-4-3-2-1123Cf
E.9795
Sea
f
la
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
(2
x
+
1)
·
e
x
.
En
la
gráfica
de
abajo
está
trazada
la
curva
C
f
representativa
de
la
función
f
.
1
Determina
las
coordenadas
de
cualquier
punto
de
inter-sección
de
la
curva
C
f
con
el
eje
x.
2
Demuestra
que,
para
cualquier
x
real,
que
:
f
(
x
)
=
2
x
+
3
e
x
3
Elabora
la
tabla
de
signos
de
f
(
x
)
en
R
,
luego
especifica
las
variaciones
de
f
en
R
.
4
Consideremos
la
recta
(
T
)
tangente
a
la
curva
C
f
en
el
punto
de
abscisa
0
:
a
Determinar
la
ecuación
reducida
de
la
tangente
(
T
)
.
b
Dibuja
en
el
sistema
de
referencia
inferior
la
tangente
(
T
)
.
c
Justifica
gráficamente
que,
para
cualquier
x
real,
ten-emos
:
2
x
+1
e
x
3
x
+1
5
Observa
C
g
la
curva
representativa
de
la
función
g
definida
por:
g
(
x
)
=
2
x
+
1
e
1
−
x
Estudia
las
posiciones
relativas
de
las
curvas
C
f
y
C
g
.
16.
Derivadas
de
un
producto,
composición
lineal
y
estudio
de
funciones
E.7524
Admitimos
que
la
función
f
está
definida,
para
cualquier
real
x
del
intervalo
−
2
;
4
por:
f
(
x
)
=
x
+
2
·
e
−
x
+1
Sea
f
la
función
derivada
de
f
.
1
Demuestra
que,
para
cualquier
x
en
el
intervalo
−
2
;
4
,
tenemos
:
f
(
x
)
=
−
x
+
1
·
e
−
x
+1
2
Estudia
el
signo
de
f
(
x
)
en
el
intervalo
−
2
;
4
,
luego
elabora
la
tabla
de
variaciones
de
f
en
este
intervalo.
E.7518
Admitimos
que
la
función
f
está
definida
por:
f
(
x
)
=
x
2
−
2
·
x
+
1
·
e
−
2
·
x
+6
1
Demuestre
que
f
(
x
)=
−
2
·
x
2
+6
·
x
−
4
·
e
−
2
·
x
+6
,
donde
f
denota
la
función
derivada
de
la
función
f
.
2
Investiga
el
sentido
de
variación
de
la
función
f
en
el
intervalo
0
;
7
;
6
y
elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
en
el
intervalo
0
;
7
;
6
.
No
pedimos
calcular
las
ordenadas.
E.7571
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
cuya
curva
representativa
C
f
se
representa
a
continuación
en
un
datum
ortonormal.
Se
supone
que
f
es
de
la
forma
f
(
x
)=
b
−
x
·
e
a
·
x
donde
a
y
b
denotan
dos
constantes.
Sabemos
que
:
Los
puntos
A
(0
;
2)
y
D
(2
;
0)
pertenecen
a
la
curva
C
f
.
La
tangente
a
la
curva
C
f
en
el
punto
A
es
paralela
al
eje
x.
Sea
f
la
función
derivada
de
f
,
definida
en
R
.
1
Por
lectura
gráfica,
muestre
los
valores
de
f
(2)
y
f
(0)
.
2
Calcula
f
(
x
)
.
3
Utilizando
las
cuestiones
anteriores,
demuestra
que
a
y
b
son
soluciones
del
siguiente
sistema
:
b
−
2
=
0
a
·
b
−
1
=
0
4
Calcula
a
y
b
y
da
la
expresión
para
f
(
x
)
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9795
sacados/9795
-4-3-2-12I-1234JOCfCg
chapExoCorrec/7524
sacados/7524
chapExoCorrec/7518
sacados/7518
chapExoCorrec/7571
sacados/7571
x-8-7-6-5-4-3-2-101234y-4-3-2-1123Cf
x-2-1012y2468CfCfMN
E.9848
El
siguiente
gráfico
representa,
en
un
sistema
de
coordenadas
C
f
y
C
g
,
las
funciones
f
y
g
definidas
en
R
por:
f
(
x
)
=
x
2
·
e
−
x
;
g
(
x
)
=
e
−
x
1
a
Determina
las
coordenadas
de
los
puntos
de
inter-sección
de
C
f
y
C
g
.
b
Estudiar
la
posición
relativa
de
las
curvas
C
f
y
C
g
.
2
Para
cualquier
número
real
x
del
intervalo
−
1
;
1
,
se
consideran
los
puntos
M
de
coordenadas
(
x
;
f
(
x
))
y
N
de
coordenadas
(
x
;
g
(
x
))
,
y
se
denota
por
d
(
x
)
la
distan-cia
MN
.
Se
admite
que
:
d
(
x
)=e
−
x
−
x
2
·
e
−
x
.
Se
admite
que
la
función
d
es
derivable
en
el
intervalo
−
1
;
1
y
se
denota
d
su
función
derivada.
a
Demuestre
que
:
d
(
x
)
=
e
−
x
x
2
−
2
x
−
1
b
Deduzca
las
variaciones
de
la
función
d
en
el
intervalo
−
1
;
1
.
c
Determinar
la
abscisa
común
x
0
de
los
puntos
M
0
y
N
0
que
permite
obtener
una
distancia
d
(
x
0
)
máxima,
y
dar
el
valor
de
la
distancia
M
0
N
0
,
redondeado
a
0
;
1
.
17.
Derivadas
de
un
cociente
E.3612
Proposición:
sea
f
una
función
definida
sobre
un
inter-valo
I
por
el
producto
:
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
donde
las
funciones
u
y
v
están
definidas
y
son
derivables
sobre
I
.
Entonces
la
función
f
es
derivable
sobre
I
y
su
función
derivada
está
definida
por:
f
(
x
)
=
u
(
x
)
·
v
(
x
)
−
u
(
x
)
·
v
(
x
)
v
(
x
)
2
Determina
la
expresión
de
las
funciones
derivadas
de
cada
una
de
las
siguientes
funciones
:
1
f
(
x
)
=
1
1
−
e
x
2
g
(
x
)
=
e
x
+1
2
·
x
+
1
E.8431
Para
cada
fila,
la
tabla
siguiente
da
la
expresión
de
la
función
derivada
f
de
la
función
f
:
f
(
x
)
=
e
x
x
+
1
f
(
x
)
=
x
·
e
x
x
+
1
2
f
(
x
)
=
2
·
x
+
1
e
x
f
(
x
)
=
−
2
·
x
+
1
e
x
f
(
x
)
=
3
·
e
x
+
1
e
x
−
1
f
(
x
)
=
−
4
·
e
x
e
x
−
1
2
Comprueba
la
verdad
de
cada
una
de
las
expresiones
f
dadas.
18.
Derivadas
de
un
cociente
y
composición
lineal
E.9732
Determinar
la
expresión
de
las
fun-ciones
derivadas
de
cada
una
de
las
siguientes
funciones
:
1
h
(
x
)
=
1
−
e
−
2
x
e
x
2
j
(
x
)
=
1
−
e
−
2
x
1
+
e
2
x
E.7478
1
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
1
0
;
5
+
100
·
e
−
x
Denotemos
por
f
la
función
derivada
de
f
en
R
.
Demostrar
que,
para
todo
número
real
x
perteneciente
a
R
,
se
tiene
:
f
(
x
)
=
400
·
e
x
e
x
+
200
2
2
Consideremos
la
función
g
definida
en
R
por:
g
(
x
)
=
100
·
e
−
x
0
;
5
+
100
·
e
−
x
Denotemos
por
g
la
función
derivada
de
g
en
R
.
Demuestra
que,
para
todo
número
real
x
perteneciente
a
R
,
se
tiene
:
g
(
x
)
=
−
200
·
e
x
e
x
+
200
2
19.
Derivadas
de
un
cociente
y
funciones
de
estudio
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9848
sacados/9848
Extrait Mars 2021
x-2-1012y2468CfCfMN
chapExoCorrec/3612
sacados/3612
chapExoCorrec/8431
sacados/8431
chapExoCorrec/9732
sacados/9732
chapExoCorrec/7478
sacados/7478
E.9734
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
∗
+
por:
f
(
x
)
=
e
x
x
1
Demuestra
que
la
función
f
,
derivada
de
la
función
f
,
admite
la
expresión
:
f
(
x
)
=
x
−
1
·
e
x
x
2
2
a
En
R
∗
+
,
elaborar
la
tabla
de
signos
de
la
función
f
.
b
En
R
∗
+
,
deducir
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
Indicación
:
se
admiten
los
dos
límites:
lim
x
↦→
0
+
f
(
x
)
=
+
∞
;
lim
x
↦→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
E.10501
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
x
−
8
−
4e
x
e
x
+
1
1
Establecer
que
la
función
f
derivada
de
la
función
f
se
expresa
como:
f
(
x
)
=
e
x
−
1
2
e
x
+
1
2
2
Deduce
las
variaciones
de
la
función
f
.
E.3225
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)=
x
e
x
−
x
Sea
(
C
)
su
curva
representativa
en
el
plano
referido
al
sistema
de
referencia
ortogonal
O
;
−→
i
;
−→
j
,
la
unidad
gráfica
es
2
cm
en
el
eje
x
y
5
cm
en
el
eje
y.
Parte
A
Sea
g
la
función
definida
en
R
por:
g
(
x
)=e
x
−
x
−
1
.
1
Estudia
las
variaciones
de
la
función
g
en
R
.
Deduce
el
signo
de
g
.
2
Justifica
que
para
cualquier
x
,
(e
x
−
x
)
es
estrictamente
positivo.
Parte
B
1
a
Calcula
f
(
x
)
,
con
f
denotando
la
función
derivada
de
f
.
b
Investiga
las
direcciones
de
variación
de
f
.
2
a
Determina
una
ecuación
de
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
(
C
)
en
el
punto
de
abscisa
0.
b
Utilizando
parte
A
,
investiga
la
posición
de
la
curva
(
C
)
respecto
a
la
recta
(
T
)
.
E.10503
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
3
x
+
1
−
12
·
e
x
e
x
+
1
1
Denotemos
por
f
la
función
derivada
de
la
función
f
.
Demuestre
que
la
función
f
admite
una
expresión
de
la
forma
:
f
(
x
)
=
3
·
g
(
x
)
2
donde
g
es
una
función
definida
en
R
.
2
Deduzca
el
sentido
de
variación
de
la
función
f
en
R
.
E.10504
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
2
x
+
1
−
16
·
e
x
2
·
e
x
+
1
Determine
las
variaciones
de
la
función
f
.
20.
Derivadas
de
un
cociente,
composición
lineal
y
estudio
de
funciones
E.10509
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
\{−
1
}
por:
f
(
x
)
=
e
2
x
x
+
1
1
Establecer
que
:
f
(
x
)
=
2
x
+
1
·
e
2
x
x
+
1
2
2
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
21.
Hacia
las
ecuaciones
diferenciales
E.8408
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
e
2
x
+3
1
Demuestra
que,
para
cualquier
número
real
x
,
se
cumple
la
relación:
2
·
f
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0
2
a
Entre
las
siguientes
expresiones
de
una
función
g
,
¾cuál
verifica
la
relación
(
∗
)
?
g
(
x
)
=
e
2
x
+3
+
4
g
(
x
)
=
e
8
x
+12
g
(
x
)
=
4
·
e
2
x
+3
g
(
x
)
=
e
−
2
x
−
3
b
Da
la
expresión
de
una
tercera
función
h
que
verifique
la
relación
(
∗
)
.
E.9735
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
x
·
e
x
1
a
Demuestre
que
la
función
f
,
derivada
de
la
función
f
,
por:
f
(
x
)
=
x
+
1
·
e
x
b
Determine
la
expresión
de
la
función
f
,
derivada
de
la
función
f
.
2
Considera
la
función
g
definida
por:
g
=
f
−
2
·
f
+
f
Justifica
que
la
función
g
es
la
función
nula.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9734
sacados/9734
chapExoCorrec/10501
sacados/10501
chapExoCorrec/3225
sacados/3225
chapExoCorrec/10503
sacados/10503
chapExoCorrec/10504
sacados/10504
chapExoCorrec/10509
sacados/10509
chapExoCorrec/8408
sacados/8408
chapExoCorrec/9735
sacados/9735
-4-3-2-1234I2345JO
E.8409
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
x
+
1
·
e
2
x
Demuestra
que
la
función
f
verifica
la
relación:
f
(
x
)
−
4
·
f
(
x
)
+
4
·
f
(
x
)
=
0
E.8411
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
−
x
−
1
·
e
x
Demuestre
que
la
función
f
verifica
para
cualquier
número
real
x
:
f
(
x
)
−
3
·
f
(
x
)
+
2
·
f
(
x
)
=
e
x
22.
Variaciones
y
diferenciación
E.8369
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
e
x
e
x
+
1
1
Determina
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
.
2
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
en
el
in-tervalo
0
;
10
.
E.8372
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
2
·
e
x
−
1
e
2
x
1
Determina
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
.
2
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
en
el
in-tervalo
−
1
;
10
.
E.8370
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por
la
relación:
f
(
x
)
=
e
x
e
2
x
+
1
1
Determina
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
.
2
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
en
el
in-tervalo
−
1
;
10
.
E.8371
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
∗
+
por
la
relación:
f
(
x
)
=
e
2
x
−
2
e
x
−
1
1
Determina
la
expresión
de
la
función
f
derivada
de
la
función
f
.
2
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
en
el
in-tervalo
1
;
10
.
23.
Funciones
y
secuencias
exponenciales
E.288
Sea
a
un
número
real
cualquiera.
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
a
;
u
n
+1
=
e
2
u
n
−
e
u
n
para
todo
n
∈
N
.
Obsérvese
que
esta
igualdad
también
puede
escribirse
:
u
n
+1
=
e
u
n
·
e
u
n
−
1
.
Considere
la
función
g
definida
para
cualquier
real
x
por:
g
(
x
)
=
e
2
x
−
e
x
−
x
1
Calcule
g
(
x
)
y
demuestre
que,
para
cualquier
real
x
:
g
(
x
)
=
e
x
−
1
2
·
e
x
+
1
2
Determine
las
variaciones
de
la
función
g
y
dé
el
valor
de
su
mínimo.
3
Observando
que
u
n
+1
−
u
n
=
g
u
n
,
estudie
el
sentido
de
variación
de
la
sucesión
u
n
.
24.
Ejercicios
no
clasificados
E.3340
Sea
f
una
función
definida
en
R
que
verifica
la
relación:
f
(
x
)
=
x
para
todo
x
∈
R
1
Da
al
menos
dos
funciones
que
verifiquen
esta
relación.
2
Se
propone
el
campo
de
tangentes
representado
a
contin-uación
:
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8409
sacados/8409
chapExoCorrec/8411
sacados/8411
chapExoCorrec/8369
sacados/8369
chapExoCorrec/8372
sacados/8372
chapExoCorrec/8370
sacados/8370
chapExoCorrec/8371
sacados/8371
chapExoCorrec/288
sacados/288
chapExoCorrec/3340
sacados/3340
-4-3-2-1234I2345JO
a
Compruebe
que
cada
tangente
representada
en
la
recta
de
ecuación
x
=2
tiene
como
coeficiente
director
2
.
b
Compruebe
que
para
cada
tangente
que
tiene
como
origen
el
punto
de
coordenadas
(
x
;
y
)
,
su
coeficiente
director
es
x
.
3
Consideremos
ahora
la
función
f
que
cumple
las
dos
condiciones
siguientes
:
f
(0)
=
3
2
;
f
(
x
)
=
x
para
todo
x
∈
R
Traza
la
curva
C
f
representativa
de
la
función
f
.
https://chingmath.fr