Bachillerato 1 / Funciones derivadas 94 ejercicios (100% corregidos)

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x-4-2024y-4-224C1 x-4-2024y-4-224C2 x-4-2024y-4-224C3 x-4-2024y-4-224C4 -8-6-4-22468I-4-22JOCf -6-4-2246I-4-22JOC1 -6-4-2246I-4-22JOC2 -6-4-2246I24JOC3 -6-4-2246I24JOC4 xxyy-12-10-8-6-4-202468-4-224CfACBD ChingQuizz : 5 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Función derivada: relación gráfica E.7748 Consideremos una función f definida y derivable en el intervalo − 4 ; 4 y de la que se conocen las siguientes propiedades : la función f admite un máximo en − 2 en el intervalo − 3 ; 0 . función f admite un mínimo en 3 en el intervalo 1 ; 4 . De las cuatro curvas representativas siguientes, sólo una es la curva representativa de la función f derivada de la función f . E.5020 Consideremos la función f definida y derivable en R que admite en el sistema de coordenadas O ; I ; J la curva C f como representación : Entre las cuatro curvas C 1 , C 2 , C 3 y C 4 que se presentan a continuación, determine la curva representativa de la función f , derivada de la función f . Justifique su elección: E.5731 Consideremos la función f definida en R cuya curva representativa C se da a continuación en una gráfica ortonormal: La curva C f admite dos tangentes horizontales en los puntos A y C con abscisas respectivas − 7 y 1 2 ; La curva C f intercepta el eje x en los puntos B y D de coordenadas ( − 1 ; 0) et (3 ; 0) . 1 Considera la función g que tiene como derivada la función f ( g = f ) . Elabora la tabla de variaciones de la función g . 2 Considera la función h que es la derivada de la función f ( f = h ) . Elabora la tabla de signos de la función h . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7748 sacados/7748 x-4-2024y-4-224C1 x-4-2024y-4-224C2 x-4-2024y-4-224C3 x-4-2024y-4-224C4 chapExoCorrec/5020 sacados/5020 -8-6-4-22468I-4-22JOCf -6-4-2246I-4-22JOC1 -6-4-2246I-4-22JOC2 -6-4-2246I24JOC3 -6-4-2246I24JOC4 chapExoCorrec/5731 sacados/5731 xxyy-12-10-8-6-4-202468-4-224CfACBD
-4-3-2-1234I-2-123JOCf -4-3-2-1234I-2-123JOCg -4-3-2-1234I-2-123JOCh -4-3-2-1234I-2-123JOCj -4-3-2-1234I-2-123JOCk -4-3-2-1234I-2-123JOC‘ E.2926 Consideremos las seis funciones f , g , h , j , k , l definidas en [ − 4 ; 4] cuyas curvas representativas se dan a continuación : Asocia tres de estas funciones con sus tres derivadas respecti-vas. 2. Derivadas de productos: función polinómica E.7511 Consideremos las dos funciones u y v definidas en R por las relaciones : u ( x ) = 3 · x − 2 ; v ( x ) = 2 − x Definimos la función f definida por la relación f = u · v . Determina las imágenes siguientes por la función f : a f (1) b f (3) c f − 1 3 E.105 Propuesta: para dos funciones u y v definidas en un in-tervalo I , la función producto u · v admite como derivada la función indicada u · v definida para todo x ∈ I por: u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Completa la tabla siguiente, donde la función u (resp. v ) es la función derivada de la función u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 · x 2 +3 · x 2 · x + 2 x 8 3 − x 2 Para cada una de las líneas de la tabla, demuestre que la función f admite la función f como función derivada : f ( x ) f ( x ) (3 · x 2 + 3 · x )(2 · x + 2) 18 · x 2 + 24 · x + 6 x 8 · 3 − x x 7 · 24 − 9 · x E.4686 1 Para cada una de las funciones u (resp. v ) , da la expre-sión para su función derivada u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 · x 2 − 2 8 − x 2 Determine la expresión de la función derivada f de la función f definida por: f : x ↦−→ 3 · x 2 − 2 8 − x E.4689 Determina, para cada función, la expresión de su función derivada : 1 f : x ↦−→ ( x 2 − 3 · x + 1)(1 − 2 · x ) 2 g : x ↦−→ ( − x 3 + 2 · x + 3) · ( x 2 + 1) E.7085 Determina la expresión de las derivadas de las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ x 5 · x 2 − 1 2 g : x ↦−→ 2 · x 2 − 5 x +1 1 − x 2 3. Derivadas del producto: función inversa https://chingmath.fr chapExoCorrec/2926 sacados/2926 -4-3-2-1234I-2-123JOCf -4-3-2-1234I-2-123JOCg -4-3-2-1234I-2-123JOCh -4-3-2-1234I-2-123JOCj -4-3-2-1234I-2-123JOCk -4-3-2-1234I-2-123JOC‘ chapExoCorrec/7511 sacados/7511 chapExoCorrec/105 sacados/105 chapExoCorrec/4686 sacados/4686 chapExoCorrec/4689 sacados/4689 chapExoCorrec/7085 sacados/7085
E.10466 Propuesta: para dos funciones u y v definidas en un in-tervalo I , la función producto u · v admite como derivada la función indicada u · v definida para todo x ∈ I por: u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Completa la tabla siguiente, donde la función u (resp. v ) es la función derivada de la función u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 1 x x 5 + 1 1 x 3 − x 2 2 Para cada una de las líneas de la tabla, demuestre que la función f admite la función f como función derivada : f ( x ) f ( x ) 1 x · ( x 5 + 1) 4 x 5 − 1 x 2 1 x · (3 − x 2 ) − x 2 − 3 x 2 E.7736 Considera las dos funciones f y g definidas en R ∗ cuyas expresiones se dan en la tabla siguiente. Establece las expresiones de sus funciones derivadas dadas en la tabla : f ( x ) = x 2 − 1 · 1 x f ( x ) = x 2 + 1 x 2 g ( x ) = 2 − 3 · x 2 · 1 x g ( x ) = − 3 · x 2 − 2 x 2 E.10463 1 Para cada una de las funciones u (resp. v ) , da la expre-sión para su función derivada u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 1 x x 2 − 1 5 · x + 2 x 3 − 2 · x 3 2 Para cada una de las funciones siguientes, determina la expresión de su función derivada : a f : x ↦−→ 1 x · x 2 − 1 c g : x ↦−→ 5 · x + 2 x 3 − 2 · x 3 E.5226 Determina la expresión de las derivadas de las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ 3 − x · 1 x 2 g : x ↦−→ x · x + 1 x La expresión para las funciones derivadas vendrá dada como un cociente simplificado . 4. Derivadas de productos: función raíz cuadrada E.10465 Propuesta: para dos funciones u y v definidas en un in-tervalo I , la función producto u · v admite como derivada la función indicada u · v definida para todo x ∈ I por: u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Completa la tabla siguiente, donde la función u (resp. v ) es la función derivada de la función u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 2 · x 2 +1 x 2 x x 2 Para cada una de las líneas de la tabla, demuestre que la función f admite la función f como función derivada : f ( x ) f ( x ) (2 · x 2 + 1) x 10 · x 2 + 1 2 x 2 x · x − 1 x · x E.10464 1 Para cada una de las funciones u (resp. v ) , indique la expresión de su función derivada u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) x x x 2 + 1 x 2 Para cada una de las funciones siguientes, determine la expresión de su función derivada : a f : x ↦−→ x · √ x b g : x ↦−→ x 2 + 1 · √ x E.10462 Determina la expresión de la fun-ción derivada de la función g definida a continuación : g : x ↦−→ x 2 − 3 · x La expresión de la función derivada g vendrá dada en forma de cociente simplificado . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10466 sacados/10466 chapExoCorrec/7736 sacados/7736 chapExoCorrec/10463 sacados/10463 chapExoCorrec/5226 sacados/5226 chapExoCorrec/10465 sacados/10465 chapExoCorrec/10464 sacados/10464 chapExoCorrec/10462 sacados/10462
23456I-4-3-2-1234JO -4-3-2-1234I234JOCf 234I-2-12JOCf 5. Productos: funciones derivadas a tangentes E.4715 Consideremos la función f definida por la relación es : f ( x ) = x · 1 2 · x 2 − 4 x + 6 En el plano dotado de un marco de referencia ortonormal O ; I ; J , observamos C f la curva representativa de la fun-ción f : 1 a Traza la recta ( d ) cuya ecuación es : y = − 1 2 · x − 2 b Dibuja la recta (Δ) cuya ecuación es : y = − 7 4 · x + 17 4 2 a Determina la expresión de la función derivada de la función f . b Dar los valores de los números derivados de la función f en 1 y 4 . 6. Productos: tangentes E.7719 Consideremos la función f definida en R ∗ por: f ( x ) = 1 x · x + 1 x 1 Establecer que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f ( x )= − 2 x 3 2 Damos la curva C f representativa de la función f en un sistema de referencia O ; I ; J : a Dar el valor de los números f (2) y f (2) . b Deduce la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . c Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia an-terior. E.8193 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = (2 · x − 3) · x La curva C f representativa de la función f se da en el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J : 1 Establecer que la función f , derivada de la función f , admite como expresión : f ( x ) = 6 x − 3 2 x 2 a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . b Trazar en el sistema de coordenadas anterior la tan-gente ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4715 sacados/4715 23456I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/7719 sacados/7719 -4-3-2-1234I234JOCf chapExoCorrec/8193 sacados/8193 234I-2-12JOCf
23456I-3-2-12JOCf E.10643 Consideremos la función f definida en R + por: f ( x ) = 3 − x · x 1 Establezcamos que : f (9) = − 4 2 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. Deduzca la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 9 . E.10642 Consideremos la función f definida en R + por: f ( x ) = 2 x + 2 · x 1 Establezcamos que : f (4) = 13 2 2 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. Deduzca la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 4 . E.5227 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = ( x − 4) · x La curva C f representativa de la función f se da en el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J : 1 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T 1 ) a la curva C f en el punto de abscisa 4 . Trazar la tangente ( T 1 ) en el sistema de coordenadas. 2 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T 2 ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . Trazar la tangente ( T 2 ) en el sistema de coordenadas. E.10644 Consideremos la función f definida en R + por: f ( x ) = 4 − x · x 1 Establezcamos que : f (8) = − 5 · 2 2 2 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas. Deduzca la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 8 . 7. Productos: variaciones E.2668 Consideremos la función f definida en R + por la expresión : f ( x ) = 5 x 2 + 5 x − 4 · x 1 Establece que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = 25 · x 2 + 15 · x − 4 2 · x 2 Elabora la tabla de signos de la función f en R ∗ + . 3 Suponiendo los dos límites siguientes : lim x ↦→ 0 + f ( x ) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ Elabora la tabla de variaciones de la función f . E.2842 Consideremos la función f definida en R + por la expresión : f : x ↦−→ x · − 5 x 2 − 5 x − 1 + 1 2 1 Determina la expresión de la función derivada f de f . 2 Elabore la tabla completa de variaciones de la función f . Se admite el siguiente límite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ 3 a Justifique que la función f se anula una sola vez en su conjunto de definición. Se anotará ¸ este valor. b Determinar las imágenes de 1 10 y 15 100 mediante la fun-ción f , redondeadas al décimo de milésima. Deduzca un intervalo de ¸ en https://chingmath.fr chapExoCorrec/10643 sacados/10643 chapExoCorrec/10642 sacados/10642 chapExoCorrec/5227 sacados/5227 23456I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/10644 sacados/10644 chapExoCorrec/2668 sacados/2668 chapExoCorrec/2842 sacados/2842
8. Productos: tangentes y variaciones E.10520 Consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = x 2 − x · x 1 Establece que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = 5 · x 2 − 3 x 2 · x 2 En el sistema de referencia O ; I ; J , observamos C f la curva representativa de la función f . Determinamos la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 3 a Elabora la tabla de signos de la función f . b Estudia las variaciones de la función f en R ∗ + . E.10521 Consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = 3 · x 2 − 5 · x · x 1 Establece que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = 15 x · x − 1 2 · x 2 En el sistema de referencia O ; I ; J , observamos C f la curva representativa de la función f . Determinamos la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 3 Estudia las variaciones de la función f sobre R ∗ + . 9. Cocientes: derivada de funciones racionales E.10461 Consideremos las dos funciones u y v definidas en R por las relaciones : u ( x ) = 3 · x − 2 ; v ( x ) = 2 − x Definimos la función g definida por la relación g = u v . Determina, si es posible, las imágenes de abajo por la función g : a g (0) b g (2) c g − 1 4 E.4688 Propuesta: Sean u y v dos funciones definidas en un intervalo I tales que v no se anula en v . Consideremos la función f definida en I por: f ( x ) = u ( x ) v ( x ) La función f admite como función derivada la función f definida por: f ( x ) = u ( x ) · v ( x ) − u ( x ) · v ( x ) v ( x ) 2 1 Para cada línea, dé la expresión de la función u (resp. v ) derivada de la función u (resp. u ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 5 · x + 2 3 · x − 2 x 2 − 3 x + 1 2 Para cada una de las funciones f siguientes, se estable-cerá la expresión propuesta de su función derivada f : f ( x ) f ( x ) 5 · x + 2 3 · x − 2 − 16 (3 · x − 2) 2 x 2 − 3 x + 1 x 2 + 2 · x + 3 ( x + 1) 2 E.5225 1 Para cada línea, indique la expresión de la función u (resp. v ) derivada de la función u (resp. u ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 − 2 x x + 1 x 2 2 x + 1 2 Para cada una de las líneas siguientes, establezca la ex-presión de la función f derivada de la función f : f ( x ) f ( x ) 3 − 2 · x x + 1 − 5 ( x + 1) 2 x 2 2 · x + 1 2 · x 2 + 2 · x 2 · x + 1 2 E.4691 Consideremos la función f definida por: f ( x )= 3 · x +1 2 · x − 1 Establezca la siguiente igualdad : f ( x )= − 5 (2 · x − 1) 2 E.8398 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 3 2 − x Determina la expresión de la función f , derivada de la fun-ción f . E.8393 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas asociadas a cada una de las siguientes fun-ciones : 1 f ( x ) = 1 x 5 + 1 2 g ( x ) = 5 · x − 2 3 · x + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10520 sacados/10520 chapExoCorrec/10521 sacados/10521 chapExoCorrec/10461 sacados/10461 chapExoCorrec/4688 sacados/4688 chapExoCorrec/5225 sacados/5225 chapExoCorrec/4691 sacados/4691 chapExoCorrec/8398 sacados/8398 chapExoCorrec/8393 sacados/8393
E.10468 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 x 2 − 2 x + 3 Establecer que la función f , derivada de la función f , tiene la siguiente expresión : f ( x ) = − 8 x + 8 ( x 2 − 2 x + 3) 2 E.10491 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 2 · x + 1 Determina la expresión de la función f , derivada de la fun-ción f . E.10490 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 2 + 4 · x − 1 2 · x − 1 Demostrar que la función f , derivada de la función f , admite como expresión : f ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x − 2 (2 · x − 1) 2 E.10493 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 2 · x − 1 x 2 + x Demuestra que la función f , derivada de la función f , admite la expresión : f ( x ) = − 2 · x 2 − 2 · x − 1 x 2 · ( x + 1) 2 E.7106 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ x 2 − 3 x 2 x − 4 Determine la derivada de la función f . E.7108 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 5 · x − 2 · x 2 + x − 2 4 · x − 3 Sea f la derivada de la función f . Determina las soluciones de la ecuación : f ( x ) = 0 . E.10467 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 2 + x + 1 2 · x 2 − 1 Establece que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = − 2 · x 2 − 6 · x − 1 (2 · x 2 − 1) 2 E.10489 Consideremos la función g definida por: g ( x )= 5 · x − x 2 3 − x 2 Establezca la siguiente igualdad : g ( x )= 5 · x 2 − 6 · x +15 3 − x 2 2 E.10494 Consideremos la función f definida por: f ( x )= 4 · x 2 + x − 3 3 · x 2 +2 · x − 1 Demuestre que la función f , derivada de la función f tiene la siguiente expresión : f ( x ) = 5 3 · x − 1 2 E.8397 Consideremos la función f definida por: f ( x )= 2 x 2 − 2 2 x 2 − 3 x +1 Establecer que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f ( x )= − 6 2 x − 1 2 E.10492 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 · x 2 + x 3 · x 2 − x Demuestre que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = − 7 3 · x − 1 2 E.11404 Consideremos la función g definida por: g : x ↦−→ − 2 · x 2 + x − 3 4 · x 2 + 3 · x Determine la expresión de la derivada de la función g . E.4828 Consideremos la función h cuya ima-gen de x se define mediante la relación: h ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 x 2 − 5 · x + 6 1 Determinar el conjunto de definición de la función h . 2 Demuestre que la derivada de h en x se expresa mediante : h ( x ) = − 3 · x 2 + 10 · x − 7 ( x 2 − 5 · x + 6) 2 10. Cocientes: funciones derivadas y raíces cuadradas E.2320 La tabla siguiente muestra, para cada línea, la expresión de la imagen de x mediante una fun-ción y la expresión del número derivado en x de dicha función. Compruebe la exactitud de la expresión del número derivado en x : Fonction Imagen de x Número derivado en x f x x + 1 − x + 1 2 x · ( x + 1) 2 g ( x 2 − 3) · x 5 · x 2 − 3 2 · x https://chingmath.fr chapExoCorrec/10468 sacados/10468 chapExoCorrec/10491 sacados/10491 chapExoCorrec/10490 sacados/10490 chapExoCorrec/10493 sacados/10493 chapExoCorrec/7106 sacados/7106 chapExoCorrec/7108 sacados/7108 chapExoCorrec/10467 sacados/10467 chapExoCorrec/10489 sacados/10489 chapExoCorrec/10494 sacados/10494 chapExoCorrec/8397 sacados/8397 chapExoCorrec/10492 sacados/10492 chapExoCorrec/11404 sacados/11404 chapExoCorrec/4828 sacados/4828 chapExoCorrec/2320 sacados/2320
-4-3-2-1234I-2-1234JO -123456I-2-123JOCf E.5349 Consideremos las dos funciones f y g definidas por las relaciones : f ( x ) = x 2 − 3 · x · √ x ; g ( x ) = x + 1 x Determina las expresiones de las funciones derivadas f y g como cocientes simplificados. 11. Cocientes: funciones derivadas y tangentes E.4717 Consideremos la función f definida por la relación es : f ( x ) = 4 · x + 2 2 · x 2 + x + 1 En el plano provisto de un marco de referencia ortonormal O ; I ; J , observamos C f la curva representativa de la fun-ción f : 1 a Traza la recta ( d 1 ) cuya ecuación es : y = 1 2 · x − 1 2 b Dibuja la recta ( d 2 ) cuya ecuación es : y = 2 · x + 2 c Traza la recta ( d 3 ) cuya ecuación es : y = − x + 5 2 2 a Determina la expresión de la función derivada de la función f . b Dar los valores de los números derivados de la función f en − 1 , 0 y 1 2 . 12. Cocientes: tangentes E.4830 Consideremos la función f definida en − 1 ; + ∞ y cuya imagen de un número x viene definida por la relación f ( x ) = 3 x − 2 x + 1 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera la curva C f representativa de la función f : Observa ( d ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 1 Determina la ecuación reducida de la recta ( d ) . 2 Dibuja la tangente ( d ) en el sistema de referencia O ; I ; J . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5349 sacados/5349 chapExoCorrec/4717 sacados/4717 -4-3-2-1234I-2-1234JO chapExoCorrec/4830 sacados/4830 -123456I-2-123JOCf
-3-2-123I-3-2-1JOCf -3-2-123I-3-2-1JO -2-12IJOCf -3-2-1234I234JOCf E.4699 Consideremos la función f definida en R cuya imagen de x viene definida por la relación: f ( x ) = − 16 4 · x 2 + 7 1 Establecer que la función f tiene como derivada la fun-ción f cuya expresión es : f ( x ) = 128 · x 4 · x 2 + 7 2 2 Determina la ecuación de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 1 2 . 3 En, el sistema de referencia ortonormal O ; I ; J , se rep-resenta la curva representativa C f de la función f . Traza la representación gráfica de ( T ) . E.7218 Consideremos la función f definida sobre R cuya imagen de x viene definida por la relación: f ( x ) = − 16 4 · x 2 + 7 1 Determina la ecuación de la tangente a C f en el punto de abscisa − 1 2 . 2 El sistema de referencia ortonormal O ; I ; J representa la curva representativa C f de la función f . Traza la rep-resentación gráfica de ( T ) . E.6665 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x + 3 x 2 + 4 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas O ; I ; J . A continuación se representa una parte de la curva C f . 1 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0 y trazarla en el sistema de coordenadas anterior. (Se indicarán las coordenadas de los dos puntos utilizados para trazar la tangente) . 2 Determinar la abscisa o abscisas de los puntos de la curva C f donde esta admite una tangente horizontal. E.4719 Se da al plano un sistema de refer-encia O ; I ; J y consideramos la función h definida por: h ( x ) = 3 · x 2 − x + 2 x + 1 Nótese C h su curva representativa en el plano. 1 Determina la ecuación de la tangente (Δ) a la curva C h en el punto de abscisa 2 . 2 Comprueba tus resultados con la calculadora E.4883 Consideremos la función f definida en − 1 ; + ∞ cuya expresión viene dada por la relación: f ( x ) = x 2 + x + 1 x + 1 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J , consideramos la curva C f representativa de la función f : 1 Establecer que la función f derivada de la función f tiene como expresión : f ( x ) = x 2 + 2 · x ( x + 1) 2 2 Consideramos las rectas ( d ) y (Δ) tangentes a la curva C f en los puntos de abscisas respectivas − 1 2 y 1 . a Determinar las ecuaciones reducidas de las tangentes ( d ) y (Δ) . b Trazar las rectas ( d ) y (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4699 sacados/4699 -3-2-123I-3-2-1JOCf chapExoCorrec/7218 sacados/7218 -3-2-123I-3-2-1JO chapExoCorrec/6665 sacados/6665 -2-12IJOCf chapExoCorrec/4719 sacados/4719 chapExoCorrec/4883 sacados/4883 -3-2-1234I234JOCf
-4-3-2-1234I-2-1JOCf -3-2-123I-3-2-1JO E.7734 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = − 4 · x − 2 x 2 + 2 Observa C f la curva representativa de la función f en un sistema de referencia O ; I ; J . A continuación se muestra parte de la curva C f . 1 Da las coordenadas del punto A de la curva C f que tiene la abscisa 0 . 2 a Establecer que la función f , derivada de la función f , tiene la expresión : f ( x ) = 4 · x 2 + 4 · x − 8 x 2 + 2 2 b Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0 . c Traza la tangente ( T ) en el sistema de referencia ante-rior. (se indicarán los dos puntos utilizados para trazar la tangente) . 3 Determina las abscisas de los puntos de la curva C f donde admite tangente horizontal. E.2827 Considera las dos funciones f y g definidas por: f : x ↦−→ 2 x 2 − 5 x + 2 ; g : x ↦−→ 3 x − 2 1 − 2 x En un sistema de referencia O ; I ; J , nótese C f y C g las cur-vas representativas de las funciones f y g respectivamente, y la recta ( T ) de ecuación reducida : y = − x Demostrar que la recta ( T ) es tangente a la curva C f y a la curva C f . (se darán las abscisas de los puntos de contacto de ( T ) con cada una de estas dos curvas) . E.2839 Consideremos la función f cuya im-agen de x viene definida por la relación: f ( x ) = − 2 · x 2 + x + 1 4 · x − 1 1 Establece que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f : x ↦−→ − 8 · x 2 − 4 · x + 5 (4 · x − 1) 2 2 a ¾Admite la función f tangentes cuyo coeficiente di-rector sea − 1 ? b En caso afirmativo, determina sus ecuaciones reduci-das. 13. Cocientes: tangentes y puntos de intersección E.2395 Consideremos la función f definida sobre R cuya imagen de x viene definida por la relación: f ( x ) = − 16 4 x 2 + 7 1 a Determina la ecuación de la tangente a C f en el punto de abscisa − 1 2 . b El sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) repre-senta la curva representativa C f de la función f . Traza la representación gráfica de ( T ) . 2 a Establece la siguiente factorización: 8 x 3 + 20 x 2 + 14 x + 3 = (2 x + 1) 2 · (2 x + 3) b Investiga la posición relativa de la recta ( T ) respecto a la curva C f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7734 sacados/7734 -4-3-2-1234I-2-1JOCf chapExoCorrec/2827 sacados/2827 chapExoCorrec/2839 sacados/2839 chapExoCorrec/2395 sacados/2395 fichierPlus/2395/ -3-2-123I-3-2-1JO
IJOCf -5-4-3-2-123I-12JO -4-3-2-1234I-2-12JO E.6617 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 x 2 + 2 · x + 2 La curva C f representativa de la función f viene dada en el sistema de referencia O ; I ; J ortonormal a continuación : Sea (Δ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 . 1 a Establecer que la función derivada de la función f tiene la expresión : f ( x ) = − 2 · x − 2 x 2 + 2 · x + 2 2 b Establece que la ecuación reducida de la recta (Δ) tiene la expresión : y = − 1 2 · x + 1 2 . 2 Investiga la posición relativa de la curva C f y la recta (Δ) . E.4709 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 3 · x + 1 x 2 + 3 En el plano provisto de un marco de referencia ortonormal O ; I ; J , damos la curva C f representativa de la función f : 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 a Determina el número de la derivada de la función f en 1 . b Deduce la ecuación de la tangente ( d ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . c Realiza la gráfica de la recta ( d ) . 3 a Determina el valor de los reales a , b y c que realizan la siguiente identidad : x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 = ( x − 1)( a · x 2 + b · x + c ) b Deduce la forma factorizada del polinomio: x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 . c Deduce el conjunto de soluciones de la ecuación : f ( x ) = 1 4 · x + 3 4 4 Da el conjunto de coordenadas de los puntos de intersec-ción de la curva C f y la tangente ( d ) . E.4708 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x − 1 x 2 + 1 En el plano provisto de un marco de referencia ortonormal O ; I ; J , damos la curva C f representativa de la función f : 1 Demuestra que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 2 . 2 a Determina el número de la derivada de la función f en 1 . b Deduce la ecuación de la tangente ( d ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . c Realiza la gráfica de la recta ( d ) . 3 a Determina el valor de los reales a , b y c que realizan la siguiente identidad : x 3 − x 2 − x + 1 = ( x − 1)( a · x 2 + b · x + c ) b Determina la forma factorizada del polinomio: x 3 − x 2 − x + 1 c Deduce el conjunto de soluciones de la ecuación : f ( x ) = 1 2 · x − 1 2 4 Da el conjunto de coordenadas de los puntos de intersec-ción de la curva C f y la tangente ( d ) . 14. Cocientes: variaciones E.10522 Consideremos la función f definida para cualquier x ∈ R por: f ( x ) = 2 − 3 · x 4 · x 2 + 1 1 Determina la expresión de la función f , derivada de la función f . 2 a Elabora la tabla de signos de la función f . b Deduce las variaciones de la función f en R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6617 sacados/6617 IJOCf chapExoCorrec/4709 sacados/4709 -5-4-3-2-123I-12JO chapExoCorrec/4708 sacados/4708 -4-3-2-1234I-2-12JO chapExoCorrec/10522 sacados/10522
-∞1−√31√3∞Variationdefx E.7296 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 4 − 3 · x x 2 + 1 Con ayuda de un software de cálculo formal, obtenemos los siguientes resultados, que pueden utilizarse sin necesidad de demostrarlos : L1 f(x):=(4-3*x)/(x^2+1) f ( x ) = 4 − 3 x x 2 + 1 L2 g(x):=Derivada f(x) g ( x ) = 3 x 2 − 8 x − 3 x 2 + 1 2 L3 Resolver f(x)=0 x = 4 3 L4 Resolver g(x)=0 x = − 1 3 ; x =3 1 Elaborar la tabla de signos de la función f . 2 Dar el conjunto de soluciones de la desigualdad f ( x ) > 0 . E.5278 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 3 x − 4 x 2 + 1 1 a Determine la expresión de la función derivada f . b Elabora la tabla de signos de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f . Se admitirán los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 0 3 ¾Admite extremos la función f ? En caso afirmativo, es-pecifica sus características. E.2964 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 3 x 2 − 2 x − 2 2 x 2 + x + 1 1 Justifica que la función f está definida en R . 2 a Establece que la función derivada f admite la sigu-iente expresión : f ( x ) = 7 x 2 + 14 x 2 x 2 + x + 1 2 b Elabora la tabla de variaciones de la función f . Se admiten los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 3 2 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 3 2 3 Deduce que la función f admite como minorante el número − 2 y como mayorante el número 2 . E.10646 Consideremos la función f , definida en R \ − 1 3 , por: f ( x ) = 3 3 x + 1 + x + 1 . Denotemos por f la función derivada de la función f . 1 Establecer que para todo x ∈ R \ − 1 3 : f ( x ) = 3 x − 2 3 x + 4 3 x + 1 2 2 a Establecer la tabla de signos de la función f . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . (Indicación : no se indicarán los valores de sus ex-tremos, ni en los límites de su conjunto de definición) . E.2326 Consideremos la función f cuya ima-gen de x está definida por la relación: f ( x ) = x 2 − x + 3 2 x 2 − 2 x + 3 1 Demuestre que el denominador nunca se cancela. Así, la función f está definida sobre el conjunto de los números reales R . 2 Establece que la función derivada f de la función f tiene la expresión : f ( x ) = − 6 x + 3 2 x 2 − 2 x + 3 2 3 a Dibuja la tabla de signos de f en R . b Elabora la tabla de variaciones de la función f . Se admitirán los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 1 2 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 1 2 4 Deduce los extremos de la función f . E.6666 Consideremos la función f cuya im-agen de un número x viene definida por la relación: f ( x ) = − x 2 − 3 · x + 1 x − 1 1 Justifica que la función f admite la tabla de variaciones: (no mostraremos las imágenes de la tabla) 2 En un marco de referencia O ; I ; J , anote C f la curva representativa de la función f y ( T ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 . Determinar la posición relativa de las curvas C y ( T ) en R \{ 1 } . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7296 sacados/7296 chapExoCorrec/5278 sacados/5278 chapExoCorrec/2964 sacados/2964 chapExoCorrec/10646 sacados/10646 chapExoCorrec/2326 sacados/2326 chapExoCorrec/6666 sacados/6666 -∞1−√31√3∞Variationdefx
-8-6-4-22468I-4-224JO E.5347 Consideremos la función f cuya im-agen de un número x se define mediante la relación: f ( x ) = 5 · x + 2 x 2 + x + 1 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , consideramos la curva C representativa de la función f dada a continuación : 1 Justificar que la función f está definida para cualquier número real. 2 Establecer la tabla de variaciones de la función f en R . Solo se indicarán los valores de los extremos, redondeados al décimo. 3 Se denota ( T ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 . Estudiar la posición relativa de la curva C f y la recta ( T ) . E.10523 Para a ∈ R fija, considere la función f a definida en R \{− 1 } por: f a ( x ) = a · x 2 + 1 x + 1 Determinar el conjunto de valores de a tales que la función f a es estrictamente decreciente en R \{− 1 } . Indicación : todas las huellas de la investigación, incluso incompletas, se tendrán en cuenta en la evaluación. 15. Cocientes: modelización de problemas económicos E.379 Un supermercado desea com-prar fruta a un proveedor. Este proveedor ofrece precios por kilogramo, decrecientes en función del peso de la fruta solicitada. Para un pedido de x kilogramos de fruta, el precio P ( x ) en euros por kilogramo de fruta se calcula mediante la fórmula : P ( x ) = x + 300 x + 100 para x ∈ 100 ; + ∞ . Por ejemplo, si el supermercado compra 300 kilogramos de fruta, esta fruta se le vende a: P (300) = 600 400 = 1 ; 50 euros el kilogramo. En este caso, el supermercado deberá pagar 300 × 1 ; 5=450 euros al proveedor por este pedido. Parte A : Estudio del precio P propuesto por el proveedor. 1 Demostrar que : P ( x )= − 200 ( x +100) 2 sobre 100 ; + ∞ . 2 Indique el sentido de las variaciones de la función P sobre 100 ; + ∞ . Parte B: Estudio de la suma S que debe gastar el superme-rcado. Denominamos S ( x ) la suma en euros que debe gastar el su-permercado para un pedido de x kilogramos de fruta (esta fruta vendida por el proveedor al precio de P ( x ) euros por kilogramo) . Esta suma es, por lo tanto, igual a: S ( x )= x · P ( x ) para x ∈ 100 ; + ∞ . 1 Demuestre que para todo x perteneciente a 100 ; + ∞ : S ( x ) = x 2 + 200 · x + 30 000 ( x + 100) 2 2 Demuestra que para todo x perteneciente a 100 ; + ∞ : S ( x ) = x + 200 − 20 000 × 1 x + 100 E.7044 Los antibióticos son molécu-las que tienen la propiedad de matar bacterias o limitar su propagación. La tabla siguiente muestra la concentración en sangre en fun-ción del tiempo de un antibiótico inyectado en una sola dosis a un paciente. Tiempo en horas 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Concentración en mg = 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 Estos datos permiten modelar la concentración en función del tiempo mediante la función g definida en el intervalo 0 ; 10 por: g ( t ) = 4 · t t 2 + 1 Cuando t representa el tiempo transcurrido, en horas, desde la inyección del antibiótico, g ( t ) representa la concentración en mg = del antibiótico. El gráfico siguiente representa los datos de la tabla y la curva representativa de la función g . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5347 sacados/5347 -8-6-4-22468I-4-224JO chapExoCorrec/10523 sacados/10523 chapExoCorrec/379 sacados/379 chapExoCorrec/7044 sacados/7044
012345678910110,511,52 012345678910100020003000400050006000700080009000 1 A partir de la lectura del gráfico, indique sin justifi-cación: a las variaciones de la función g en 0 ; 10 ; b la concentración máxima de antibiótico durante las primeras 10 horas ; c el intervalo de tiempo durante el cual la concentración del antibiótico en sangre es superior a 1 ; 2 mg = . 2 a La función g es derivable en el intervalo 0 ; 10 y su derivada es g . Demuestre que : g ( t ) = 4 · 1 − t 2 t 2 + 1 2 b Utilizando la expresión de g ( t ) , demuestre que, con este modelo, la concentración máxima se alcanzaría exactamente 1 horas después de la inyección. E.4885 La empresa CoTon produce tejido de algodón. Este se fabrica en 1 metros de ancho y con una longitud x expresada en kilómetros, siendo x compren-dido entre 0 y 10 . El coste total de producción en euros de la empresa CoTon se calcula en función de la longitud x mediante la fórmula : C ( x ) = 15 x 3 − 120 x 2 + 500 x + 750 . El siguiente gráfico representa gráficamente la función C . Las dos partes A y B de este ejercicio son independi-entes. Parte A : Estudio del beneficio Si el mercado ofrece un precio p en euros por un kilómetro de este tejido, entonces los ingresos de la empresa CoTon por la venta de una cantidad x son iguales a R ( x ) = p · x . 1 Traza en el gráfico la recta D 1 de ecuación : y = 400 · x . Explique, a la vista de este trazado, por qué la empresa CoTon no puede obtener beneficios si el precio p del mer-cado es igual a 400 euros. 2 En esta pregunta, se supone que el precio de mercado es igual a 680 euros. a Traza en el gráfico la recta D 2 de ecuación : y = 680 · x . Determinar gráficamente, con la precisión que permite el gráfico, para qué cantidades producidas y vendidas la empresa CoTon obtiene beneficios si el precio p del mercado es de 680 euros b Consideramos la función B definida en el intervalo 0 ; 10 por: B ( x ) = 680 · x − C ( x ) Demuestre que para todo x perteneciente al intervalo 0 ; 10 , se tiene : B ( x ) = − 45 · x 2 + 240 · x + 180 c Estudie las variaciones de la función B en 0 ; 10 . Deduzca para qué cantidad producida y vendida el ben-eficio obtenido por la empresa CoTon es máximo. In-dique el valor de este beneficio. Parte B: Estudio del coste medio Recordemos que el coste medio de producción C M mide el coste por unidad producida. Consideremos la función C M https://chingmath.fr 012345678910110,511,52 chapExoCorrec/4885 sacados/4885 Bacalaureat ES Nouvelle-Caledonie Mars 2011 7 points 012345678910100020003000400050006000700080009000
IJO 024681012 definida en el intervalo 0 ; 10 por: C M ( x ) = C ( x ) x 1 Demuestre que para todo x perteneciente al intervalo 0 ; 10 , se tiene : C M ( x ) = 30 · ( x − 5)( x 2 + x + 5) x 2 2 a Demostrar que para todo x perteneciente al inter-valo 0 ; 10 , C M ( x ) es del signo de ( x − 5) . Deduzca las variaciones de la función C M en el inter-valo 0 ; 10 . b ¾Para qué cantidad de tejido producido es mínimo el coste medio de producción? ¾Cuál es en este caso el coste medio de producción y el coste total? E.4773 Parte A 1 El precio de un artículo es de 120 euros. Este precio sufre una primera variación al tipo de 25 % , y luego una se-gunda variación que lo devuelve a su valor inicial. ¾Cuál es la tasa de la segunda variación? 2 El precio de un artículo es de 120 euros. Este precio sufre una primera variación al tipo de − 20 % , y luego una se-gunda variación que lo devuelve a su valor inicial. ¾Cuál es la tasa de la segunda variación? Parte B En general, un precio P sufre dos evoluciones sucesivas, la primera a una tasa de x y la segunda a una tasa de y . Vuelve entonces a su valor inicial P . 1 Demuestre que x y y verifican : (1+ x )(1+ y )=1 . Se admite entonces que : y = − x 1+ x 2 Se quiere estudiar en el intervalo − 0 ; 5 ; 2 la función f tal que : f ( x ) = − x 1 + x . Sea C la curva representativa de f en el plano referido a un sistema de coordenadas ortonormales. a Se denota por f la función derivada de la función f . Calcular f ( x ) . b Determine las variaciones de la función f en el inter-valo − 0 ; 5 ; 2 y elabore la tabla de variaciones de f en este intervalo. 3 Utilizando la representación gráfica de la curva C que se incluye en el anexo, o mediante un cálculo, responda a las siguientes preguntas : a ¾Qué variación debe sufrir un precio aumentado en 50 % para volver al precio inicial? b ¾Qué variación debe sufrir un precio reducido en 50 % para volver al precio inicial? E.6113 Los antibióticos son molécu-las que tienen la propiedad de matar bacterias o limitar su propagación. La tabla siguiente muestra la concentración en sangre en fun-ción del tiempo de un antibiótico inyectado en una sola dosis a un paciente. Temps en heure 0 ; 5 1 1 ; 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Concen tration en mg = 1 ; 6 2 1 ; 9 1 ; 6 1 ; 2 0 ; 9 0 ; 8 0 ; 7 0 ; 6 0 ; 5 0 ; 4 0 ; 4 Estos datos permiten modelar la concentración en función del tiempo mediante la función g definida en el intervalo 0 ; 10 por: g ( t ) = 4 · t t 2 + 1 Cuando t representa el tiempo transcurrido, en horas, desde la inyección del antibiótico, g ( t ) representa la concentración en mg = del antibiótico. El gráfico adjunto representa los datos de la tabla y la curva rep-resentativa de la función g . 1 La función g es derivable en el intervalo 0 ; 10 y su derivada es g . Demuestre que : g ( t ) = 4 1 − t 2 t 2 + 1 2 2 Utilizando la expresión de g ( t ) , demuestre que, con este modelo, la concentración máxima se alcanzaría exacta-mente 1 horas después de la inyección. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4773 sacados/4773 IJO chapExoCorrec/6113 sacados/6113 024681012
234IJOCfM Mx234IJOCf E.7063 Una empresa fabrica y com-ercializa un artículo cuya producción está comprendida entre 1 000 y 7 000 artículos por semana. El coste de fabricación, expresado en miles de euros, se mod-ela mediante la función f definida por: f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 donde x denota el número de miles de artículos fabricados. Sea c la función definida en 1 ; 7 que representa el coste medio por artículo fabricado, expresado en euros. Tenemos, por tanto, para cualquier x de 1 ; 7 : c ( x ) = f ( x ) x = 1 ; 5 · x 2 − 9 · x + 24 + 48 x Se acepta que la función c es derivable en 1 ; 7 . Denotamos c su función derivada. 1 Demuestra que, para cualquier x en el intervalo 1 ; 7 , tenemos : c ( x ) = 3 x − 4 x 2 + x + 4 x 2 2 a Estudia las variaciones de la función c en el intervalo 1 ; 7 . b Determine, en miles, el número de artículos que deben fabricarse para que el coste medio por artículo sea mín-imo. 16. Cocientes: modelización y funciones E.5244 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = 1 x 2 − x + 1 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , consideremos la curva C f representativa de la función f : Consideramos un punto M de la curva C f de abscisa x y el rectángulo representado arriba, donde : los puntos O y M son dos vértices opuestos. sus lados son paralelos a los ejes del sistema de coorde-nadas. Denotemos por A ( x ) el área de este rectángulo en función del valor de x . 1 Expresar la función A . 2 a Demuestre que la función A derivada de la función A admite como expresión : A ( x ) = 1 + x 1 − x x 2 − x + 1 2 b Elabore la tabla de signos de la función A . c Elabora la tabla de variaciones de la función A . 3 Justifica que el área del rectángulo es máxima cuando el punto M tiene como abscisa 1 . E.10650 Consideremos la función f definida, en R + , por: f ( x ) = 5 − x 3 x + 5 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas que se proporciona a continuación : Denotamos por M el punto de la curva C f de abscisa x con x 0 . Denotemos por A la función que asocia, a un entero x perteneciente a R ∗ + , el área del rectángulo que tiene como vértices opuestos los puntos O y M y cuyos lados son parale-los a los ejes. 1 Denotando por A la función derivada de la función A , establezca la identidad : A = x + 5 5 − 3 x 3 x + 5 2 2 a Establezca la tabla de signos de la función A . b Deduzca la tabla de variaciones de la función A . Indicación : solo se indicarán los sentidos de las varia-ciones. 3 Deducir el valor de x para que el área A sea máxima. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7063 sacados/7063 chapExoCorrec/5244 sacados/5244 234IJOCfM chapExoCorrec/10650 sacados/10650 Mx234IJOCf
234I2JOCfMNP CfMPQO63 2IJOAMNP E.2828 Consideremos la función f definida en el intervalo 2 3 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = x + 1 3 x − 2 La representación C f se muestra a continuación : Consideremos un punto M perteneciente a la curva C f y el rectángulo MNOP construido a partir de los puntos O y M , cuyos lados son paralelos a los ejes. Denotemos por A ( x ) el área del rectángulo MNOP , donde x es la abscisa del punto M . El objetivo del ejercicio es deter-minar para qué valores de x el área A ( x ) es mínima. 1 Expresar A ( x ) en función de x . 2 Determinar la expresión de la función derivada de A . 3 Establezca el sentido de variación de la función A . 4 Deduzca la posición del punto M para que el área del rectángulo MNOP sea mínima. E.5348 Consideremos la función f definida en 0 ; 6 por: f ( x ) = 12 − 2 x x + 4 En el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J que se muestra a continuación, se representa la curva C f representa-tiva de la función f : Sea M un punto de la curva C f . Consideremos los puntos P y Q pertenecientes respectivamente al eje de abscisas y al eje de ordenadas, de modo que el cuadrilátero OPMQ sea un rectángulo. Determina la posición del punto M para que el área del rec-tángulo OPMQ sea máxima. 17. Modelización: ir más allá E.6667 Consideremos el plano provisto de una ortonormal O ; I ; J representada a continuación : El punto A tiene coordenadas A (1 ; 1) . Para cualquier número real x perteneciente al intervalo 0 ; 1] , consideremos los dos puntos M y N definidos por: M ∈ [ OJ ] ; JM = x N ∈ [ OI ) ; N ∈ [ OI ] ; IN = x El punto P está definido por la intersección de las rectas ( MN ) y ( AI ) . Determina el valor de x para que la ordenada del punto P sea máxima. 18. Compuesto por una función afín E.2826 Propuesta: Sea f una función derivable en I , a y b dos números reales cualesquiera. La función definida por: x ↦−→ f ( a · x + b ) es una función derivable en todo intervalo J tal que : x ∈ J = ⇒ ax + b ∈ J y su función derivada tiene la expresión : x ↦−→ a · f ( a · x + b ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/2828 sacados/2828 234I2JOCfMNP chapExoCorrec/5348 sacados/5348 CfMPQO63 chapExoCorrec/6667 sacados/6667 2IJOAMNP chapExoCorrec/2826 sacados/2826
Determinar, para cada función, la expresión de la función derivada : a f : x ↦−→ 4 x − 2 7 b g : x ↦−→ 1 5 − 3 x E.2841 Determina la expresión, en forma de cociente simplificado, de la función f (resp. g ) derivada de la función f (resp. g ) : a f ( x ) = 1 3 x − 2 b g ( x ) = 3 x − 1 E.5065 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = − x 2 + 4 x − 3 x 2 − 4 x + 4 1 Determinar el conjunto de definición de la función f . 2 Demuestra que la función f admite como derivada la fun-ción f cuya expresión es : f ( x ) = − 2 ( x − 2) 3 3 Consideremos la función g definida por la relación: g ( x ) = f 2 x − 1 a Determinar la expresión simplificada del número g ( x ) en función de x . b Determinar, mediante el método que prefiera, la expre-sión de la función g derivada de la función g . 19. Compuesto por una función afín: tangente y variación E.3510 Sea f la función definida en R por la relación: f ( x ) = 1 2 · x + 1 4 Determina la ecuación de la tangente a la curva C f represen-tativa de la función f en el punto de abscisa 2. E.3305 Sea g la función cuya imagen de un número x se define por: g ( x ) = 2 − 3 · x En el plano dotado de un sistema de referencia, observamos C g la curva representativa de la función g . 1 Dar el conjunto de definición de la función f . 2 Determinar la ecuación de la tangente a la curva C g en el punto de abscisa − 2 . E.2325 Consideremos dos funciones f y g definidas sobre R y 5 3 ; + ∞ respectivamente por: f ( x ) = 2 3 − 2 x 5 ; g ( x ) = 3 x − 5 1 Determina la expresión de las funciones derivadas f y g asociadas a las funciones f y g . 2 a Determina el signo de las funciones f y g en su conjunto de derivación. b Elabora la tabla de variaciones de cada una de estas funciones. 20. Compuesto por una función afín: producto y cociente E.119 Determina la expresión de la función derivada para cada una de las funciones siguientes : a f : x ↦−→ 1 1 − 2 x b g : x ↦−→ (2 x + 1) · 3 x − 1 E.2667 Consideremos la función f definida en 1 3 ; + ∞ mediante la relación: f ( x ) = x · 3 x − 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f (La expresión de f se dará como cociente simplificado) . E.8401 Consideremos la función f definida en − 1 4 ; + ∞ por: f : x ↦−→ 3 − 2 x 3 · 4 x + 1 Indicación : se dará la expresión de f en forma de P ( x ) 4 x + 1 , donde P ( x ) es un polinomio que tiene 3 − 2 x 2 como factor 21. Compuestos por una función afín: producto, cociente, tangente y variaciones E.2521 Consideremos la función f cuya im-agen de x , para x ∈ [1 ; + ∞ [ , viene definida por la relación f ( x ) = ( x 2 − 4 x + 3) 2 x − 2 Observa C f la curva representativa de la función f en un sis-tema de referencia ortonormal. 1 Determina el valor del número de la derivada de la fun-ción f en 3 . 2 Determina la expresión de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 3. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2841 sacados/2841 chapExoCorrec/5065 sacados/5065 chapExoCorrec/3510 sacados/3510 chapExoCorrec/3305 sacados/3305 chapExoCorrec/2325 sacados/2325 chapExoCorrec/119 sacados/119 chapExoCorrec/2667 sacados/2667 chapExoCorrec/8401 sacados/8401 chapExoCorrec/2521 sacados/2521
E.2348 Sea f la función definida por la relación: f : x ↦−→ ( x + 5) 1 − 2 x 1 Dar el conjunto de definición de la función f . 2 Determina la expresión de la función derivada de f . 3 Elabora la tabla de signos de f . 4 Deduce la tabla de variaciones de la función f . 5 Justificar que f admite un extremo global en − 4 3 . E.2338 Consideremos la función f definida en − 3 ; + ∞ por: f : x ↦−→ x 2 + 2 x + 1 x + 3 1 Demuestre que el número derivado de f en x se escribe : f ( x ) = 3 · x 2 + 14 · x + 11 2( x + 3) x + 3 2 Elabora la tabla de signos de la función f . 3 a Deduce las variaciones de la función f sobre − 3 ; + ∞ . b Dar el mínimo de la función f en su conjunto definidor. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2348 sacados/2348 fichierPlus/2348/diapo-correction.pdf chapExoCorrec/2338 sacados/2338