Bachillerato 1 / Funciones de referencia y derivadas 94 ejercicios corregidos

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ChingQuizz : 4 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Introducción a las funciones derivadas (ejemplo 1) E.598 Consideremos la función f definida en R mediante la relación: f ( x ) = 1 4 · x 2 . A continuación se muestra la curva C f representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormado O ; I ; J : Se supone que la curva C f tiene una tangente en cada uno de sus puntos. 1 Denotemos por c ( x ) el coeficiente director de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa x : es decir, de la tangente a C f que pasa por el punto de coordenada ( x ; f ( x )) . Completa la siguiente tabla : x − 3 − 1 0 2 4 c ( x ) 2 Se considera la función g definida en R por: g ( x ) = 0 ; 5 · x . Completa la siguiente tabla : x − 3 − 1 0 2 4 g ( x ) E.592 Consideremos la función f definida en R mediante la relación: f ( x ) = 1 10 · x 3 . A continuación se muestra la curva C f representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormado O ; I ; J : Se supone que la curva C f tiene una tangente en cada uno de sus puntos. Indicación : los cálculos se redondearán a la centésima más cercana. https://chingmath.fr quizzChap/1204 chapExoCorrec/598 sacados/598 -4-3-2-1234I234JO chapExoCorrec/592 sacados/592 -4-3-2-1234I-6-5-4-3-2-123456JO
1 Denotemos por c ( x ) el coeficiente director de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa x : es decir, de la tangente a C f que pasa por el punto de coordenada ( x ; f ( x )) . Completa la siguiente tabla : x − 3 ; 5 − 1 0 2 3 c ( x ) 2 Se considera la función g definida en R por: g ( x ) = 3 10 × x 2 . Completa la siguiente tabla : x − 3 ; 5 − 1 0 2 3 g ( x ) 2. Introducción a las funciones derivadas (ejemplo 2) E.4655 La curva C que representa la función cuadrada se muestra a continuación en líneas ortogonales. En cada una de estas representaciones se dibuja una tangente a la curva C : 1 Mediante lectura gráfica, completa la siguiente tabla : x − 3 − 1 2 0 1 2 1 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Conjetura la expresión de una función que asocie al número real x el coeficiente director de la tangente en el punto de abscisa x . E.4656 La curva C , representativa de la función inversa, se representa a continuación en líneas ortog-onales. En cada una de estas representaciones se dibuja una tangente a la curva C : 1 Mediante lectura gráfica, completa la siguiente tabla : x − 2 − 1 2 3 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Conjetura la expresión de una función que asocie al número real x el coeficiente director de la tangente en el punto de abscisa x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4655 sacados/4655 0120123CT1 -4-3-246810121416CT2 -10101CT3 -10101CT4 chapExoCorrec/4656 sacados/4656 -3-2-10123-3-2-10123CT1 23456701CT2 -4-3-2-10-3-2-10CT3 012340123CT4
E.4657 La curva C que representa la función raíz cuadrada se muestra a continuación en líneas ortogonales. En cada una de estas representaciones se dibuja una tangente a la curva C : 1 Mediante lectura gráfica, completa la siguiente tabla : x 1 4 1 4 9 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Conjetura la expresión de una función que asocie al número real x el coeficiente director de la tangente en el punto de abscisa x . 3. Variaciones y número derivativo E.4730 Consideremos la función f definida y derivable en el intervalo − 4 ; 4 , cuya curva representativa C f se da en el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J que se muestra a continuación : Responderemos a todas las preguntas de este ejercicio refir-iéndonos al gráfico anterior. 1 Elaborar la tabla de variaciones de la función f en − 4 ; 4 . 2 a Consideremos la tangente ( T 1 ) , la tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 3 . Indique el signo del coeficiente director de la tangente ( T 1 ) . b Consideremos la tangente ( T 2 ) , tangente a la curva C f en el punto de abscisa 0 . Indique el signo del coefi-ciente director de la tangente ( T 2 ) . c Consideremos la tangente ( T 3 ) , tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . Indique el signo del coefi-ciente director de la tangente ( T 3 ) . 3 a ¾Cuál es el signo del número derivado de la función f en x = − 1 ? b ¾Cuál es el signo del número derivado de la función f en x =2 ? c ¾Cuál es el signo del número derivado de la función f en x =2 ; 5 ? 4 Se denota f la función derivada de la función f . Elabora la tabla de signos de la función f . E.10621 Consideremos una función f definida y derivable en − 3 ; 3 . Denotamos por f su fun-ción derivada. La representación gráfica de la función f se muestra en el siguiente gráfico 1 Justifique que la función f es creciente en el intervalo − 3 ; 0 . 2 Determinar el sentido de variación de la función f en 0 ; 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4657 sacados/4657 -10123012CT1 00.5100.51CT2 0246811.522.53CT3 4567891001234CT4 chapExoCorrec/4730 sacados/4730 -4-3-2-1234I-2-12JOCf chapExoCorrec/10621 sacados/10621 -4-3-2-1234I2JOCf
E.10622 Consideremos una función f definida y derivable en − 3 ; 3 . Denotamos f a la función derivada de la función f . La representación gráfica de la función f se da en el marco de referencia siguiente Determina las direcciones de variación de la función f en − 3 ;3 . E.6061 Sea f una función f definida en − 4 ; 4 cuya tabla de variación se da a continuación : Determina el signo del número de la derivada de la función f en 1 . E.6062 Consideremos una función f cuya tabla de signos para su función derivada se da a continuación : x − 5 − 2 1 4 f ( x ) − 0 + 0 − Consideremos la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . Cuál es la dirección de cambio de la tangente ( T ) ? E.4858 Consideremos una función f definida en − 3 ; 5 cuya derivada admite la siguiente tabla de signos : Tenemos los siguientes valores y relaciones : f ( − 1) = 3 f (5) = − 2 · f ( − 1) f ( − 3) = f (5) + 5 f (2) = f ( − 1) · f (5) En la tabla anterior, completa la recta de variaciones de la función f . E.4856 1 Consideremos la función f definida en R que admite una derivada estrictamente positiva en R . Además, tenemos la información : f (2)=0 . Dibuja la tabla de signos de la función f en R . 2 Considera la función g definida en R que admite una derivada g verificando : Para cualquier x real, tenemos : g ( x ) < 0 Además, sabemos que : g ( − 3)=0 . Dibuja la tabla de signos de la función g en R . E.3004 La siguiente tabla muestra la tabla de variaciones de una función f definida en R : Completa las filas correspondientes al signo de la función f y al signo de la función f . 4. Polinomios: funciones derivadas E.9702 Proposición: las tablas siguientes dan las derivadas de los monomios : https://chingmath.fr chapExoCorrec/10622 sacados/10622 -4-3-2-1234I-1JOCf chapExoCorrec/6061 sacados/6061 −4−2−14−24−3−1Variationdefx chapExoCorrec/6062 sacados/6062 chapExoCorrec/4858 sacados/4858 +-0+0−3−125VariationdefSignedefx chapExoCorrec/4856 sacados/4856 chapExoCorrec/3004 sacados/3004 -∞−4−2−12∞150−2−12−3SignesdefVariationdefSignedefx chapExoCorrec/9702 sacados/9702 Pour toutaRf(xaf(x0f(x1f(x0f(x5f(x0 Pour toutnN∗f(xxnf(xn·xn−1g(xxg(x1j(xx3j(x3x2h(xx2h(x2xk(xx4k(x4x3 Pour toutaR; nN∗f(xa·xnf(xa×n·xn−1g(x2xg(x2j(x7x3j(x21x2h(x−2x2h(x−4xk(x−x4k(x−4x3
Determina la expresión de la función derivada de cada una de las funciones siguientes : 1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 3 2 g ( x ) = 3 x 4 − 5 x + 2 3 h ( x ) = 5 − 3 x 2 4 j ( x ) = 3 x 2 − x + 1 E.7735 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas de cada una de las funciones siguientes : 1 f ( x )= x 5 +3 · x 2 − x +10 2 f ( x )=2 · x 7 − x 2 − 2 · x +1 E.4670 Determina los números derivados en 1 para cada una de las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ 2 x + 4 2 g : x ↦−→ 5 − 3 x 3 k : x ↦−→ x 4 + x 2 + 1 4 ‘ : x ↦−→ 2 x 4 − 2 x 3 − 8 x E.8392 Consideremos la función f definida por: f ( x )= 5 3 · x 3 − 2 3 · x 2 +3 · x − 4 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . E.104 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas de las siguientes funciones polinómicas: 1 f : x ↦−→ − 3 · x + 2 2 g : x ↦−→ 4 · x 2 − 4 3 h : x ↦−→ 2 · x 2 + 3 · x 4 j : x ↦−→ 5 · x 3 − 2 · x 2 E.118 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas de las siguientes funciones polinómicas: 1 f : ↦−→ 3 · x + 2 2 g : ↦−→ x 2 + 4 3 h : ↦−→ x 2 + x 4 j : ↦−→ x 3 + 2 · x 2 E.5219 Determina la expresión de la derivada de cada una de las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ 3 · x 2 − 4 · x + 1 2 g : x ↦−→ 5 · x 6 − 3 · x 3 − 4 E.7534 La función f se define para cualquier elemento real x del intervalo 1 ; 7 por: f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 Sea f la función derivada de la función f y f  su segunda derivada en 1 ; 7 . Para cualquier real x en el intervalo 1 ; 7 : 1 Calcula f ( x ) 2 Calcula f  ( x ) . E.10375 Determina los números derivados en 1 para cada una de las siguientes funciones : 1 h : x ↦−→ 2 x 2 + 3 2 j : x ↦−→ 5 x − 3 x 2 − 1 3 k : x ↦−→ − 2 · x 2 + 2 · x 4 ‘ : x ↦−→ 3 x 2 − 2 · x E.10376 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas de las siguientes funciones polinómicas: 1 f : x ↦−→ (3 · x + 11)(4 − x ) 2 g : x ↦−→ ( x + 1)(2 · x − 4) E.11397 Determina la expresión de la derivada de cada una de las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ x 2 − ( x − 1) 2 2 g : x ↦−→ 8 · x 3 − 2 · x 2 x 5. Polinomios: vínculo entre la función derivada y la tangente E.7649 Consideremos la función f de se-gundo grado cuya curva representativa se muestra en el sigu-iente sistema de coordenadas : 1 a La recta ( d 1 ) es la tangente a la curva C f en el punto de coordenadas (1 ; − 0 ; 5) . Determina el coeficiente directriz de la recta ( d 1 ) . b La recta ( d 2 ) es la tangente a la curva C f en el punto de coordenadas ( − 2 ; − 2) . Determinar el coeficiente director de la recta ( d 2 ) . 2 La expresión de la función se define por: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + x − 2 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Calcular las siguientes imágenes mediante la función f : f (1) f ( − 2) 6. Polinomios: tangentes https://chingmath.fr chapExoCorrec/7735 sacados/7735 chapExoCorrec/4670 sacados/4670 chapExoCorrec/8392 sacados/8392 chapExoCorrec/104 sacados/104 chapExoCorrec/118 sacados/118 chapExoCorrec/5219 sacados/5219 chapExoCorrec/7534 sacados/7534 chapExoCorrec/10375 sacados/10375 chapExoCorrec/10376 sacados/10376 chapExoCorrec/11397 sacados/11397 chapExoCorrec/7649 sacados/7649 xxyy-5-4-3-2-10123-4-3-2-11Cf(d1(d2
E.4682 Proposición: sea a un número real y f una función deriv-able en a . La tangente ( T ) en el punto de abscisa a a la curva C f de la función f tiene la ecuación reducida : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) Consideremos la función f definida en R por la relación f ( x ) = 1 2 · x 3 − 3 2 · x 2 + x + 1 En un sistema de referencia O ; I ; J , observe C f la curva representativa de la función f . 1 a Determine la expresión de la función derivada f de la función f . b Dar el valor de f (2) . 2 a Dar las coordenadas del punto A de C f que tiene abscisa 2 . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . 3 Comprueba con la calculadora que la recta obtenida es efectivamente la tangente ( T ) . E.4683 Consideremos la función f definida en R por la relación f ( x ) = − 2 3 · x 3 − 3 · x 2 + x + 10 En un sistema de referencia O ; I ; J , observe C f la curva representativa de la función f . 1 a Determine la expresión de la función derivada f de la función f . b Dar el valor de f ( − 3) . 2 a Dar las coordenadas del punto A de C f que tiene abscisa − 3 . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 3 . 3 Comprueba con la calculadora que la recta obtenida es efectivamente la tangente ( T ) . E.7782 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 5 ; 0 ; 5 por la relación: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas siguiente : 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0 . 3 Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas an-terior. E.4684 Consideremos la función f definida en R por la relación f ( x ) = − 1 2 · x 3 − x 2 + 5 2 · x + 2 En un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, la curva C f representativa de la función f : 1 a Determine la expresión de la función derivada f de la función f . b Dar el valor de f ( − 2) . 2 a Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . b Trazar la tangente ( T ) en el sistema de referencia an-terior. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4682 sacados/4682 chapExoCorrec/4683 sacados/4683 chapExoCorrec/7782 sacados/7782 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/4684 sacados/4684 -4-3-2-123I-4-3-2-1234JOCf
E.4706 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 2 · x 3 − 3 4 · x 2 − 5 2 · x + 3 2 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , damos la curva C f representativa de la función f : 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Consideremos la función afín g definida por: g ( x ) = 1 2 · x + 13 4 a Dibuja la recta ( d ) representativa de la función g . b Determina el número de la derivada de la función f en − 1 . c Demuestre que la recta ( d ) es la tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 1 . 3 a Resuelve la ecuación : f ( x )= 1 2 b Deduce la ecuación reducida de una recta (Δ) paralela a ( d ) y tangente a la curva C f en otro punto. E.4731 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 1 2 · x 4 − x 3 − 3 2 · x 2 + x + 2 Dotemos al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J en el que se representa la curva C f representativa de la función f : 1 a Trace la recta ( d ) de ecuación y = − x . b ¾Qué conjetura se puede establecer sobre la recta ( d ) en relación con la curva C f ? 2 Establezca la conjetura anterior. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4706 sacados/4706 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/4731 sacados/4731 -3-2-123I-3-2-123JOCf
E.98 Una empresa desea fabricar tobo-ganes para niños pequeños cuyo perfil tenga la forma de la curva que se muestra a continuación. El plano está provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j ) . Tomaremos 3 cm como unidad gráfica. El objetivo del ejercicio es modelar este perfil utilizando la curva representativa C de una función definida en el inter-valo [0 ; 3] que cumpla las siguientes condiciones : La curva C pasa por los puntos A (0 ; 2) y B (3 ; 0) ; La curva C admite en cada uno de los puntos A y B una tangente paralela al eje de abscisas. Parte 1 1 a Sea f la función definida en el intervalo R por: f ( x ) = − 2 3 · x 2 + 2 Estudiar las variaciones de la función f (No se pide el estudio de los límites) . b Sea g la función definida en el intervalo R por: g ( x ) = 1 3 · x 2 − 2 · x + 3 Estudiar las variaciones de la función g (No se pide el estudio de los límites) . 2 Se denotan respectivamente C f y C g las curvas represen-tativas de las funciones f y g . a Demostrar que C f y C g pasan por el punto K 1 ; 4 3 y tienen la mê me tangente T en este punto. b Trazar en un mêgráfico, la recta T , la parte de C f correspondiente a los puntos de abscisas comprendi-dos entre 0 y 1, y la parte de C g correspondiente a los puntos de abscisas comprendidos entre 1 y 3. La curva obtenida al unir las dos partes de las curvas es una representación del problema planteado. Parte 2 La oficina de estudios ha determinado que también se puede modelar el perfil del tobogán utilizando una parte de la curva representativa C h de la función h definida en R por: h ( x ) = 4 27 · x 3 − 2 3 · x 2 + 2 1 Demuestre que la función h cumple las condiciones (1) y (2) . 2 Determine las coordenadas del punto C h de abscisa 1 y el coeficiente director de la tangente en ese punto. E.2844 Consideremos la función f definida en R por la relación: f : x ↦−→ 3 2 · x 4 + 3 · x 3 − 9 2 · x 2 − 5 · x + 6 A continuación se muestra la curva representativa de la fun-ción f en un sistema de referencia ( O ; I ; J ) : La curva C f representativa de esta función admite una recta ( d ) de directriz 1 como tangente en dos puntos. Determina la ecuación de esta recta y las coordenadas de estos dos puntos. Todo rastro de investigación o iniciativa, por incom-pleto que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. . 7. Polinomios: tangentes, puntos de intersección, posiciones relativas E.4707 Consideremos la función definida por la relación: f ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal, obsérvese C f la curva representativa de la función f . Sean ( d ) y (Δ) las dos tangentes a la curva C f en los puntos de abscisa 2 y 5 respectivamente. 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Déterminer la ecuación de la tangente ( d ) . 3 Determinar la ecuación de la tangente (Δ) . 4 Déterminer las coordenadas del punto de intersección de las rectas ( d ) y (Δ) . E.7738 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 3 − 2 · x 2 + 3 · x − 2 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas O ; I J 1 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Deducir la expresión de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 2 a Estudiar el signo del polinomio x · x 2 − 2 · x +1 . b Deduzca la posición relativa de las curvas C f y ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/98 sacados/98 France - Septembre 2002 - 8 points 012312 chapExoCorrec/2844 sacados/2844 -4-3-2-1234I-22468JO chapExoCorrec/4707 sacados/4707 chapExoCorrec/7738 sacados/7738
E.7739 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x 3 − 4 · x 2 + 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas O ; I J 1 a Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . b Deducir la expresión de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 2 a Estudiar el signo del polinomio 2 · x · x 2 − 2 · x +1 . b Deduzca la posición relativa de las curvas C f y ( T ) . E.2347 Consideremos la función f cuya imagen de x se define mediante la relación: f ( x ) = 1 8 · x 3 − 1 2 · x 2 − 1 2 · x + 3 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales. 1 Da la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Consideremos la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . a Da el valor del coeficiente director de ( T ) . b Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) . c En el sistema de coordenadas siguiente, traza la tan-gente ( T ) . 3 Consideremos la recta ( d ) que admite la ecuación re-ducida : ( d ) : y = − x + 3 Determina las coordenadas de los puntos de intersección de la recta ( d ) y la curva C f . E.7741 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 − 2 x + 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas O ; I J Consideremos la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . Determinemos la posición relativa de las curvas C f y ( T ) . 8. Polinomios: introducción a las variaciones E.5230 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 3 · x 3 − x 2 − 3 x + 1 La curva C f representativa de la función f se da en el sistema de coordenadas ortogonales O ; I ; J siguiente : 1 Gráficamente, elabore la tabla de variaciones de la fun-ción f en el intervalo − 3 ; 6 . (No se indicarán los val-ores de las imágenes) 2 a Determine la expresión de la función f . b Elabore la tabla de signos de la función f en R . 3 ¾Qué se observa? E.4840 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 3 − 3 2 · x 2 − 6 · x + 2 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se da la curva C f representativa de la función f : 1 Gráficamente y en el intervalo − 5 2 ; 11 4 , elabore la tabla de variaciones de la función f . 2 a Determine la expresión de la función f derivada de la función f . b Estudiar la tabla de signos de la función f en R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7739 sacados/7739 chapExoCorrec/2347 sacados/2347 fichierPlus/2347/diapo-correction.pdf -3-2-123456I234JOCf chapExoCorrec/7741 sacados/7741 chapExoCorrec/5230 sacados/5230 -3-2-123456I-8-6-4-224JOCf chapExoCorrec/4840 sacados/4840 -4-3-2-1234I-8-6-4-2246JOCf
3 ¾Qué conjetura se puede hacer entre el signo de la fun-ción derivada f y el sentido de variación de la función f ? 9. Polinomios: variaciones E.4851 Proposition: let f ser una función derivable en I . Si f ( x ) > 0 para todo x ∈ I entonces f es estrictamente creciente en I . Si f ( x ) < 0 para todo x ∈ I entonces f es estrictamente decreciente en I . Si f ( x )=0 para todo x ∈ I entonces f es constante en I . Ejemplo : consideremos la función f definida en R por: f ( x )= x 2 − 2 x +3 La función derivada de la función f tiene la expresión : f ( x ) = 2 x − 2 La función f tiene el signo : x −∞ 1 + ∞ 2 x − 2 − 0 + Derivamos la tabla de variación de la función f : Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = − 2 · x 3 + 3 · x 2 + 12 · x − 2 1 Déterminer la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Establece el signo de la función f en R . 3 Dresser la tabla de variaciones de la función f . E.11400 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 1 Denotemos por f la función derivada de la función f . 1 Establecer que f se expresa mediante : f ( x ) = 3 x − 9 x + 1 2 a Establecer la tabla de signos de la función f . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . E.4850 Consideremos la función f definida en el intervalo R cuya imagen de un número real x viene dada por la fórmula : f ( x ) = x 3 − 6 · x 2 + 9 · x + 3 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Establecer la tabla de signos de la función f . 3 Elabora la tabla de variaciones de la función f . E.1756 Cada una de las funciones siguientes está definida en R . Estudia las variaciones de cada una de estas funciones : 1 f ( x ) = x 3 − 9 · x 2 + 15 · x − 7 2 g ( x ) = − x 3 − 3 · x 2 − 3 · x + 3 3 h ( x ) = − 1 3 · x 3 + 1 2 · x 2 − 1 2 · x − 1 (indicar los valores de los extremos locales en la tabla de varia-ciones) E.10449 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = − 2 · x 3 − 4 · x 2 + 8 · x + 1 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f . Indicación : no indicaremos los valores en la tabla de varia-ciones . E.10632 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 8 · x 3 + x 2 − x + 5 1 Determina la expresión de la función f en R . 2 a Elabora la tabla de signos de la función f en R . b Elabora la tabla de variaciones de la función f en R . E.11398 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 x 4 + 4 x 3 − x Denotemos por f la función derivada de la función f . 1 Establecer que f se expresa mediante : f ( x ) = 2 x + 1 2 4 x − 1 2 a Establecer la tabla de signos de la función f . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . E.11399 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 3 x Denotemos por f la función derivada de la función f . 1 Establecer que f se expresa mediante : f ( x ) = 2 x − 1 2 x + 1 4 x + 3 2 a Establecer la tabla de signos de la función f . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4851 sacados/4851 −∞1∞∞2∞Variationdefx chapExoCorrec/11400 sacados/11400 chapExoCorrec/4850 sacados/4850 chapExoCorrec/1756 sacados/1756 chapExoCorrec/10449 sacados/10449 chapExoCorrec/10632 sacados/10632 chapExoCorrec/11398 sacados/11398 chapExoCorrec/11399 sacados/11399
E.4843 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 1 a Determina el valor de los reales a , b y c alcanzando la igualdad : f ( x )=( x +5)( a · x 2 + b · x + c ) b Elabora la tabla de signos de la función f . 2 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Elabora la tabla de signos de la función f . c Elabora la tabla de variaciones de la función f . 10. Polinomios: tangentes y variaciones E.10404 Consideremos la función f definida y derivable en R por: f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 . Observamos C f la curva que representa la función f en el plano dotado de un marco de referencia ortonormal. 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determina la ecuación que reduce la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . 3 Determina las variaciones de la función f sobre R . E.10405 Consideremos la función f definida y derivable en R por: f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 9 . Observamos C f la curva que representa la función f en el plano dotado de un marco de referencia ortonormal. 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar la ecuación que reduce la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . 3 Determina las variaciones de la función f en R . E.10406 Consideremos la función f definida y derivable en R por: f ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 . Observamos C f la curva que representa la función f en el plano dotado de un marco de referencia ortonormal. 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar la ecuación que reduce la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . 3 Determina las variaciones de la función f en R . E.10407 Consideremos la función f definida y derivable en R por: f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 − 2 x + 4 . Observamos C f la curva que representa la función f en el plano dotado de un marco de referencia ortonormal. 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar la ecuación que reduce la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa − 1 . 3 Determina las variaciones de la función f en R . 11. Polinomios: tablas de signos y variaciones E.4844 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x 3 + 3 · x 2 − 2 1 a Establece la igualdad : f ( x )= x +1 x 2 +2 · x − 2 b Elabora la tabla de signos de la función f . 2 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Elabora la tabla de signos de la función f . c Elabora la tabla de variaciones de la función f (deben darse los valores exactos de los extremos locales) . E.4842 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = − x 3 + 3 · x 2 + 9 · x − 2 1 a Establece la igualdad : f ( x )=( x +2)( − x 2 +5 · x − 1) b Elabora la tabla de signos de la función f . 2 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Elabora la tabla de signos de la función f . c Elabora la tabla de variaciones de la función f . 12. Polinomios: extremo E.7783 Una empresa fabrica cada día piezas metálicas para la industria automovilística. La produc-ción diaria varía entre 0 y 25 piezas. El importe de los gastos correspondientes a la fabricación de x piezas, expresado en euros, se modela mediante la función C definida en el intervalo 0 ; 25 por: C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4843 sacados/4843 chapExoCorrec/10404 sacados/10404 chapExoCorrec/10405 sacados/10405 chapExoCorrec/10406 sacados/10406 chapExoCorrec/10407 sacados/10407 chapExoCorrec/4844 sacados/4844 chapExoCorrec/4842 sacados/4842 chapExoCorrec/7783 sacados/7783
Se supone que la empresa vende cada día su producción diaria. Cada pieza se vende al precio de 247 euros. 1 Se denota B la función beneficio, expresada en euros. Justifique que la expresión de B ( x ) en el intervalo 0 ; 25 es : B ( x ) = − x 3 + 30 · x 2 − 153 · x − 100 2 Se anota B la función derivada de la función B . Calcular B ( x ) , para cualquier número real x perteneciente al intervalo 0 ; 25 . 3 Justificar la siguiente tabla : x 0 3 17 + ∞ Signo de B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduzca la tabla completa de variaciones de la función B en el intervalo 0 ; 25 . 5 Determine el número de piezas que la empresa debe pro-ducir cada día para que el beneficio obtenido sea máximo. ¾Cuál es entonces ese beneficio máximo? E.7784 Una empresa produce y vende una tela de algodón rectangular de 1 metros de ancho ; se indica x su longitud expresada en kilómetros, siendo x un número comprendido entre 0 y 10 . El coste total de producción en euros de esta tela viene dado, en función de x , por: C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 El precio de mercado es de 530 e por kilómetro de tela fabri-cada por la empresa. Para todo x ∈ 0 ; 10 , se denota R ( x ) los ingresos y B ( x ) los beneficios generados por la producción y venta de x kilómet-ros de tejido por parte de la empresa. 1 Expresar R ( x ) en función de x . 2 Demuestre que para todo x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Determine B ( x ) para x ∈ 0 ; 10 , donde B designa la función derivada de B . 4 Estudiar el signo de B ( x ) y deducir las variaciones de la función B en 0 ; 10 . 5 a ¾Para qué longitud de tejido producido y vendido obtiene la empresa el máximo beneficio? b Indique entonces el valor de este beneficio máximo. 13. Polinomios - modelización: maximización del área de una caja E.112 Con el siguiente patrón se hace una caja rectangular sin tapa. Las longitudes se expresan en cm . 1 ¾Cuáles son los posibles valores de x ? 2 Comprueba que el volumen V de esta caja se expresa, en función de x , mediante : V ( x ) = 4 · x 3 − 52 · x 2 + 160 · x . 3 a Comprueba que : V ( x )=12 · x 2 − 104 · x +160 Estudia su signo en el intervalo [0 ; 5] . b Construye la tabla de variaciones de la función V en el intervalo [0 ; 5] . c Deduce las dimensiones de la caja final de forma que el volumen máximo. E.73 Un fabricante de cajas de cartón dispone, para su fabricación, de rollos que producen una banda de cartón de 32 cm de ancho en la que traza y recorta los patrones de las cajas antes de pegarlos. Dispone los pa-trones de la manera indicada en el dibujo siguiente : Las cajas, con forma de paralelepípedos rectos, tienen dos caras cuadradas de x cm de lado, provistas de dos lengüetas de 1 cm de ancho para el pegado, y otras cuatro caras cuyas dimensiones en cm son x y y , así como una solapa para el cierre. 1 El fabricante utiliza todo el ancho de la banda de cartón, por lo que tenemos : y =30 − 2 · x . a Explique por qué necesariamente tenemos : 0 <x< 15 . b Demuestre que el volumen V , en cm 3 y en función de x , de la caja admite como expresión : V ( x ) = 30 · x 2 − 2 · x 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7784 sacados/7784 chapExoCorrec/112 sacados/112 16cmxx10cm chapExoCorrec/73 sacados/73 1xyx132
2 Sea f la función definida en el intervalo [0 ; 15] por: f ( x ) = 30 · x 2 − 2 · x 3 a Determinar la función derivada f de la función f y estudiar el signo de f ( x ) en el intervalo [0 ; 15] . b Deducir la tabla de variaciones de la función f . (No se indicarán los valores) 3 ¾Para qué valor de x , el volumen V es máximo? ¾Cuál es entonces el valor de este volumen? ¾Qué particularidad presenta la caja en este caso? E.9703 Consideremos el cubo mostrado al lado cuyas aristas miden 5 cm . En este cubo, recorta-mos un adoquín derecho mostrado en gris y algu-nas de cuyas medidas se muestran en la figura. Observamos V el vol-umen de este adoquín derecho en cm 3 . 1 a ¾Cuáles son los posibles valores de x ? b Establece la expresión para el volumen V en función de x : V = x 3 − 10 · x 2 + 25 · x 2 a Determina la expresión de la función V derivada de la función V . b Elaborar la tabla de signos de la función V . c Elabora la tabla de variación de la función V . Pista: no es necesario completar los valores de la tabla de variaciones. 3 Deduce el valor de x para el que el volumen V del bloque derecho es máximo. E.10450 Consideremos el adoquín recto sigu-iente con las siguientes dimensiones : 8 cm × 5 cm × 5 cm . En esta figura, con ayuda del número x , se indican las dimen-siones de otro bloque recto representado en gris y el volumen se indica como V . 1 a ¾Cuáles son los valores posibles para x ? b Establecer la expresión del volumen V en función de x : V = x 3 − 13 · x 2 + 40 · x 2 a Determinar la expresión de la función V derivada de la función V . b Elaborar la tabla de variaciones de la función V . Indicación : no es necesario completar los valores de la tabla de variaciones. 3 Deducir el valor máximo del volumen V del bloque gris. E.5245 Queremos realizar, en el patrón sigu-iente, una caja rectangular sin tapa. Las longitudes se expre-san en cm . 1 a ¾Qué valores puede tomar la variable x en este prob-lema? b Exprese el volumen V en función del valor de x . 2 a Determine la expresión de la función V derivada de la función V . b Elabore la tabla de variaciones de la función V . c Justificar que la función V admite un valor máximo en el intervalo 0 ; 11 2 . 3 ¾Cuál es el volumen máximo que se puede obtener con este tipo de caja? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9703 sacados/9703 xxx5cm chapExoCorrec/10450 sacados/10450 xxx5cm5cm8cm chapExoCorrec/5245 sacados/5245 35cmxx11cm
E.4864 Consideremos el paralelepípedo rect-angular representado a continuación : El número x permite definir las medidas de este sólido tal y como se indica en la figura. 1 ¾Qué valores puede tomar la variable x ? 2 Denotemos por V ( x ) el volumen de este sólido en función de x . Da la forma desarrollada y reducida de V . 3 a Establece la tabla de variaciones de la función V . b Determina el valor de x para el que el volumen del paralelepípedo es máximo. E.4632 Se desea construir una caja en forma de paralelepípedo a partir de un cartón de dimensiones 12 cm por 24 cm . Para ello, se cortan cuatro cuadrados de las esquinas de esta hoja cuyos lados midan x cm . Se supone que el valor de x debe estar comprendido en el intervalo 0 ; 6 . Determina el valor de x para el que el volumen de la caja es máximo. 14. Polinomios - modelización: mediante una curva E.4863 Bajo un hangar, cuyo techo tiene forma ˇ parabólica ı, se desea instalar una vivienda de forma paralelepípeda. El siguiente dibujo ilustra el problema : Supongamos que la vivienda se extiende a lo largo de todo el hangar. El objetivo de este ejercicio es determinar las di-mensiones de la fachada de esta vivienda para maximizar su volumen. Modelamos este problema mediante la siguiente figura : El rectángulo DEFG admite la recta ( CO ) como eje de simetría. Se indica x la medida de la longitud AG . En el sistema de coordenadas A ; I ; J , la curva C f es la curva representativa de la función f definida en 0 ; 6 por la relación: f ( x ) = − 1 4 · x 2 + 3 2 · x Se denota A ( x ) el área del rectángulo DEFG en función de x . 1 El punto G pertenece al segmento [ AO ] , ¾cuáles son los valores posibles para la variable x ? 2 Demostrar que para x ∈ 0 ; 3 : A ( x ) = 1 2 · x 3 − 9 2 · x 2 + 9 · x 3 a Determinar la tabla de variaciones de la función A en el intervalo 0 ; 3 . b Deduzca el valor de x para el que el área del rectángulo DEFG es máxima. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4864 sacados/4864 5−xx1x1 chapExoCorrec/4632 sacados/4632 12cm24cmx chapExoCorrec/4863 sacados/4863 Cfx6mABCODEFGIJ
E.6618 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 1 20 · x 2 + 1 10 · x + 7 16 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas O ; I ; J Queremos delimitar el área del dominio del plano compren-dido entre la curva C f y el eje de abscisas, así como entre las dos rectas de ecuaciones x = 1 2 y x = 5 2 . Para ello, mediremos dos superficies construidas en forma de trapecio: La primera superficie está formada a partir de la cuerda [ MN ] de la curva C f : su área aumenta el área buscada ; La segunda superficie se construirá considerando la tan-gente (Δ) a la curva C f en el punto de abscisa 3 2 : su área es menor que la área buscada. Se anotan : A y B los puntos del eje de abscisas que tienen como abscisas respectivas 1 2 y 5 2 . M y N son los puntos de la curva C f que admiten re-spectivamente como abscisas 1 2 y 5 2 . P y Q los puntos de la recta (Δ) con abscisas respectivas 1 2 y 5 2 . La siguiente figura ilustra, en un sistema de coordenadas or-togonales para acentuar la diferencia entre estas dos superfi-cies, las dos áreas que se deben calcular: Recordemos la fórmula para cal-cular el área de un trapecio: B + b × h 2 1 a Determinar las coordenadas de los puntos M y N b Deduzca el área del trapecio ABNM . 2 a Determine la ecuación reducida de la tangente (Δ) . b Determine las coordenadas de los puntos P y Q . c Deduzca el área del trapecio ABQP 3 a Deduzca un intervalo del área A . b ¾Cuál es la amplitud de este intervalo? E.5279 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 4 − x 2 A continuación se da la curva C f representativa de la función f en el plano pro-visto de un sistema de ref-erencia O ; I J : El punto M es un punto del eje x de coordenadas ( x ; 0) donde x ∈ 0 ; 2 . A partir del punto M , construye el rectángulo MNPQ cuyos lados sean paralelos a los ejes. Determina la posición del punto M para que el área del rec-tángulo MNPQ sea máxima. En este ejercicio, todo rastro de investigación o iniciativa, por incompleto que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. . E.5246 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x 2 + x La representación gráfica se muestra a continuación : Consideremos el punto J de coordenadas (0 ; 1) y M un punto de la curva C f . Determinar la posición del punto M para la que la longitud JM es mínima. Indicación : se puede utilizar la factorización: 4 x 3 + 6 x 2 − 2 = 2( x + 1)(2 x 2 + x − 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6618 sacados/6618 fichierPlus/6618/ Cf1252IJOMN CfBA32IJOMNPQ bBh chapExoCorrec/5279 sacados/5279 MNPQ2−24Cf chapExoCorrec/5246 sacados/5246 -2-12I-1234JOMCf
E.7573 Joe, el especialista, y su ˇ 2CV ı deben realizar el salto que se muestra a continuación para una filmación. Puede elegir la velocidad y el ángulo de inclinación del tram-polín de salida, pero para optimizar su recepción, desea ater-rizar en el trampolín de llegada con la misma inclinación que este. Para preparar su salto, realiza un reconocimiento del lugar de rodaje (con una referencia O ; −→ i ; −→ j ortonormada rep-resentada en la representación) y obtiene los siguientes datos : El punto A se encuentra a una altura de 1 m del suelo. Las dos rampas están separadas por 9 m . El punto B se encuentra a una altura de 4 m . La pendiente del trampolín de recepción tiene una longi-tud de 5 m . Utilizando sus conocimientos de 1 o S , modela su trayectoria mediante la curva C f de una función f de segundo grado. An-otemos esta función : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c donde a; b; c ∈ R Determina los coeficientes de este polinomio. Cualquier rastro de investigación o iniciativa, aunque sea in-completo, se tendrá en cuenta en la evaluación. 15. Funciones de referencia E.5215 Proposición: por debajo de las derivadas de la función inversa y de la función raíz cuadrada. Determina la expresión de las derivadas de las siguientes fun-ciones : 1 f ( x ) = 3 x 2 2 g ( x ) = 1 12 · x 6 3 h ( x ) = 4 x 4 j ( x ) = x 2 5 k ( x ) = 1 2 x 6 l ( x ) = − 2 x E.7679 Para cada pregunta, se propone una función f y la expresión de la función f derivada de la función f . Establecer la expresión de la función propuesta f : f ( x ) f ( x ) 1 1 x − x 2 − 2 · x 3 − 1 x 2 2 x + x 2 + 1 x 2 · x 3 + x 2 − 1 x 2 3 x 2 + x 4 · x · x + 1 2 · x E.4685 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas de cada una de las funciones siguientes : 1 f : x ↦−→ x + 1 x 2 g : x ↦−→ 2 3 · x 3 − x 3 h : x ↦−→ 3 · x − 2 x 4 4 j : x ↦−→ 3 x − 1 x E.93 Determina las funciones derivadas aso-ciadas a las siguientes funciones : 1 f : x ↦−→ x − 2 x 2 g : x ↦−→ 2 × 1 x 3 h : x ↦−→ − 5 x + x 4 k : x ↦−→ x 2 − 1 x E.1945 Determina la expresión de la derivada de cada una de las funciones siguientes : 1 f : x ↦−→ x − 1 x 2 g : x ↦−→ 2 · x 3 h : x ↦−→ 3 x − 2 x 4 j : x ↦−→ 2 · x 3 + 2 x La expresión de las derivadas se presentará en forma de co-ciente. E.4829 Determina la expresión de las fun-ciones derivadas asociadas a cada una de las siguientes fun-ciones : 1 f : x ↦−→ 5 + x + 1 x 2 g : x ↦−→ 3 x + 2 √ x 3 h : x ↦−→ 5 · x 3 − 3 x Las derivadas de las funciones g y h se presentarán en forma de cociente. 16. Función inversa y tangentes https://chingmath.fr chapExoCorrec/7573 sacados/7573 ¸OABCD−i−j chapExoCorrec/5215 sacados/5215 Formule générale:f(x1xf(x−1x2g(x5xg(x−5x2h(x−73xh(x73x2 Formule générale:f(xxf(x12xg(x3xg(x32xh(x2x3h(x13x chapExoCorrec/7679 sacados/7679 chapExoCorrec/4685 sacados/4685 chapExoCorrec/93 sacados/93 chapExoCorrec/1945 sacados/1945 chapExoCorrec/4829 sacados/4829
E.2310 1 Dar la ecuación reducida de la tangente a la curva de la función cuadrada en el punto de abscisa − 2 . 2 Dar la ecuación reducida de la tangente a la curva rep-resentativa de la función inversa en el punto de abscisa 3. E.10451 Consideremos la función f definida en R ∗ por: f ( x ) = 1 x − x + 2 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J , considere la curva C representativa de la función f dada a continuación : Sea ( d ) la tangente a la curva C en el punto de abscisa 1 . 1 Determina la ecuación reducida de la tangente ( d ) . 2 Dibuja en el sistema de referencia inferior la tangente ( d ) . Indicación : indicaremos las coordenadas de los puntos uti-lizados para trazar la tangente. E.5216 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ mediante la relación: f ( x ) = x + 2 x − 2 A continuación se da la curva C f representativa de la función f en un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal: 1 Demuestre que la función f tiene como derivada la fun-ción f cuya expresión viene dada por: f ( x ) = x 2 − 2 x 2 2 Deseamos determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . a Da el coeficiente director de la tangente ( T ) . Justifica tu planteamiento. b Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) . c Dibuja la recta ( T ) en el sistema de referencia anterior. 3 Consideremos la recta ( d ) de ecuación reducida : ( d ) : y = 1 2 · x a Sur 0 ; + ∞ , estudia el signo de la expresión : f ( x ) − 1 2 · x b Deduce la posición relativa de la curva C f y la recta ( d ) . 17. Función inversa, variaciones E.10533 Consideremos la función f definida en R ∗ por: f ( x ) = 4 x + 1 x − 5 1 Establecer que la función f admite como fun-ción derivada la función f definida por: f ( x ) = 2 · x + 1 2 · x − 1 x 2 2 En un sistema de coordenadas O ; I ; J , se considera la curva C de la función f . Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa 1 . 3 a Elabora la tabla de signos de la función f en R ∗ . b Deduzca las variaciones de la función f en 0 ; + ∞ . E.10631 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 3 x + 4 x − 7 Dotemos al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J y representemos la curva C f representativa de la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2310 sacados/2310 chapExoCorrec/10451 sacados/10451 2I2345JOAB chapExoCorrec/5216 sacados/5216 2345I23JOCf chapExoCorrec/10533 sacados/10533 chapExoCorrec/10631 sacados/10631
1 Establecer que la función f , derivada de la función f , admite como expresión : f ( x ) = 3 · x 2 − 4 x 2 2 Determinar la ecuación re-ducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 2 . 3 a Elaborar la tabla de signos de la función f . b Elaborar la tabla de varia-ciones de la función f en 0 ; + ∞ . E.10647 f ( x ) = 3 x + 4 + 3 x + 4 signos + variaciones E.10648 f ( x ) = 3 x + 2 + x + 1 signos + variaciones 18. Función inversa, modelización E.1990 Parte A Consideremos la función f definida en el intervalo I =[20 ; 150] por: f ( x ) = 2 · x + 13 122 x 1 Demuestre que en el intervalo I : f ( x )= 2 x 2 · ( x − 81)( x +81) Deduzca que en el intervalo I : f ( x ) es del signo de ( x − 81) . 2 Elabore la tabla de variaciones de la función f sobre el intervalo I . 3 A continuación se da la representación gráfica de la fun-ción f : Determine con la precisión que permite la gráfica, un valor aproximado de las soluciones de la ecuación : f ( x )= 350 (la gráfica no debe devolverse con la copia) Parte B El gerente de un club necesita organizar un viaje. El viaje total es 600 km y el club dispone de un autobús cuyo consumo de combustible, expresado en litros por hora, viene dado por 5+ v 2 300 donde v representa la velocidad media del vehículo en kilómetros por hora. El precio de un litro de combustible es 1 e et el conductor cobra 16 ; 87 e par hora. 1 Denotamos por t la duración total del viaje, expresada en horas. a Exprese t en función de v . b Demuestre que el coste del combustible, expresado en euros, para el trayecto total es igual a: 3 000 v + 2 · v c Demuestre que el coste del transporte, expresado en euros, es igual a f ( v ) . 2 Utilización de la parte A: a Indique la velocidad media a la que debe circular el autobús para que el coste del transporte sea mínimo. ¾Cuál es este coste? b El responsable del club tiene como máximo 350 e pour el transporte. Por razones de seguridad, la velocidad media del autobús no puede superar los 90 kilómetros por hora. Determine el intervalo en el que debe situ-arse la velocidad media del autobús para que el coste del transporte no supere 350 e . https://chingmath.fr 23I-12345JOCf sacados/10647 sacados/10648 chapExoCorrec/1990 sacados/1990 France - Septembre 2005 - 7 points 010203040506070809010011012013014015050100150200250300350400450500550600650700
E.96 Se va a construir junto a un edificio una zona de juegos rectangular de 450 m 2 . Además, se desea que las dimensiones de este rectángulo sean mayores o iguales a 10 m . Esta zona de juego está rodeada en tres de sus lados por una pasarela de anchura 3 m como se muestra en el siguiente croquis. El conjunto está vallado por tres lados [ AB ] , [ BC ] y [ CD ] . Nos interesa la longitud L de la valla: L = AB + BC + CD . Anotamos x y y las dimensiones en metros del área de juego. 1 a Demuestra que y = 450 x , luego justifica que x pertenece al intervalo 10 ; 45 . b Expresa la longitud L en función de x . 2 Sea f la función definida en el intervalo 10 ; 45 por: f ( x ) = 2 · x + 12 + 450 x a Determina la función derivada f de la función f . b Demuestre que, para cualquier x perteneciente a 10 ; 45 , f ( x ) tiene el mismo signo que ( x 2 − 225) . De-duce el signo de f ( x ) en función de los valores de x . c Elabora la tabla de variaciones de f . 3 Deduce del estudio anterior las dimensiones que hay que dar a la zona de juegos para que la longitud de la valla sea lo más corta posible. ¾Cuál es esta longitud? 19. Función raíz cuadrada E.5220 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = − x + 2 x En el sistema de referencia O ; I ; J siguiente, viene dada la curva C f representativa de la función f . 1 a Demuestra que la función f tiene como derivada, en R ∗ + , la función f cuya expresión viene dada por: f ( x ) = 1 − x x b Determina el valor de los números derivados de la fun-ción f en 1 4 y 4 . 2 Sean ( d ) y (Δ) las tangentes a la curva C f en los puntos de abscisa 1 4 y 4 respectivamente. a Determinar las ecuaciones reducidas de las tangentes ( d ) y (Δ) . b Demuestre que las dos rectas ( d ) y (Δ) se interceptan en el punto de coordenadas 1 ; 3 2 . c Traza en la gráfica las rectas ( d ) y (Δ) . 20. Cociente: descomposición de fracciones racionales E.10633 REPASAR SIN DEMASIADO SENTIDO Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 6 · x 2 − 13 · x + 8 2 · x − 1 1 Establecer : f ( x ) = 3 · x − 5 + 3 2 · x − 1 2 Deduce la expresión de la función f : f ( x ) = 12 x 2 − 12 x − 3 2 · x − 1 2 21. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/96 sacados/96 3yxABCD chapExoCorrec/5220 sacados/5220 -12345678I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/10633 sacados/10633
E.7051 La curva representativa de una función g definida y derivable sobre 0 ; 5 y su tangente hori-zontal en el punto A con abscisa 3 se muestran a continuación. ¾Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es cierta? El signo de la función derivada de g es : a négatif en 0 ; 1 b positif en 3 ; 4 c négatif en 1 ; 4 d change en x =4 E.7008 A continuación se representa grá-ficamente una función f definida y derivable en R . abajo, así como las respectivas tangentes en los puntos de abscisa − 3 y 0 . Cuál de las cuatro respuestas siguientes es correcta: a f (0) = − 1 b f ( − 1) = 0 c f ( − 3) = − 1 d f ( − 3) = 3 E.7037 Indicación : En este cuestionario de opción múltiple no se pide justificación alguna. Para cada una de las preguntas, solo una de las respuestas propuestas es correcta. Una respuesta correcta vale 0 ; 75 puntos. Una respuesta incorrecta o la ausencia de respuesta no resta ni suma puntos. Anote en la copia el número de la pregunta y la respuesta elegida. En un sistema de coordenadas ortonormales del plano, se da la curva representativa C f de una función f definida y deriv-able en el intervalo − 1 ; 5 . Se denota f la función derivada de f . La curva C f pasa por el punto A (0 ; 1) y por el punto B de abscisa 1 . La tangente T 0 a la curva en el punto A pasa por el punto C (2 ; 3) y la tangente T 1 en el punto B es paralela al eje de abscisas. 1 El valor exacto de f (1) es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta 2 El valor exacto de f (0) es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta 3 El valor exacto de f (1) es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta https://chingmath.fr chapExoCorrec/7051 sacados/7051 01234-112A chapExoCorrec/7008 sacados/7008 Extrait Liban Mai 2016 -7-6-5-4-3-2-12345I-4-3-2-12345JOCf chapExoCorrec/7037 sacados/7037 Extrait Asie Juin 2016 -10123450,511,522,53CfACBT0T1
E.7048 Consideremos una función f definida y derivable en el intervalo − 2 ; 5 , creciente en − 2 ; 2 y decreciente en 2 ; 5 . Sea f la función derivada de la función f . La curva ( C ) trazada a continuación representa la función f en el plano dotado de un marco de referencia ortonormal; pasa por los puntos A ( − 2 ; 0) , B 2 ; 4 3 y C (4 ; 0) . Admite en cada uno de los puntos A y B una tangente par-alela al eje x y su tangente ( T ) en el punto C pasa por el punto D (2 ; 3) . Para cada una de las cuatro proposiciones siguientes, indique si es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida. La justificación puede basarse en la gráfica o en un cálculo. Proposición 1: f (4)= − 2 3 Proposición 2: f (2) = 0 E.7035 La curva ( C ) siguiente representa, en un sistema de coordenadas ortonormales, una función f definida y derivable en 0 ; 5 ; 6 . Los puntos A (1 ; 3) y B de abscisa 1 ; 5 están en la curva ( C ) . Las tangentes a la curva ( C ) en los puntos A y B también se representan con puntos en este gráfico, la tangente en el punto B es horizontal. Se denota f la función derivada de f . 1 Determinar f (1 ; 5) . 2 La tangente a la curva ( C ) que pasa por A pasa por el punto de coordenadas (0 ; 2) . Determinar una ecuación de esta tangente. E.7022 Sea la función f definida para cualquier real estrictamente positivo x por: f ( x ) = 5 − x + 2 · ln x A continuación se muestra la curva representativa C de la función f , y T , la tangente a la curva C en el punto A con abscisa 4 . Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es cierta? En el intervalo 0 ; 10 , la ecuación f ( x )=0 admite : a Aucune solución b Une sólo solution c Deux solutions d Plus de dos solutions https://chingmath.fr chapExoCorrec/7048 sacados/7048 Extrait Asie Juin 2014 -2-1012345-2-1123(C(TABCD chapExoCorrec/7035 sacados/7035 0123456-2-112345(CAB chapExoCorrec/7022 sacados/7022 012345678910-1123456Cf
E.7062 La función f se define para cualquier elemento real x del intervalo 1 ; 7 por: f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 Sea f la función derivada de la función f y f  su derivada segunda en 1 ; 7 1 Calcula f ( x ) 2 Calcular f  ( x ) E.7533 Consideremos la función f definida en el intervalo − 3 ; 5 ; 0 ; 5 por la relación: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas siguiente : 1 Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determinar los valores de f (0) y f (0) mediante la fun-ción f . 3 a Determina la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0 . b Traza la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. E.7090 Consideremos la función definida por la relación: f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 . En el plano dotado de un marco de referencia ortonormal, notamos C f la curva representativa de la función f . Denotamos ( d ) y (Δ) las dos tangentes a la curva C f respec-tivamente en los puntos de abscisas 2 y 5 . 1 Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Determina la ecuación de la tangente ( d ) . 3 Determina la ecuación de la tangente (Δ) . E.7251 Una empresa fabrica croquetas para perros. Cada día fabrica entre 0 y 80 toneladas. El coste de fabricación de x toneladas, en euros, se modela me-diante la función C definida por: C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Una tonelada de croquetas se vende a 1 900 e . Los ingresos por la venta de x toneladas vienen dados por una función R definida en el intervalo 0 ; 80 . 1 a Para x perteneciente al intervalo 0 ; 80 , dar la ex-presión de R ( x ) . b Deduzca que el beneficio obtenido por la venta de x toneladas de croquetas viene dado por la función B definida en el intervalo 0 ; 80 por: B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Calcular B ( x ) , donde B designa la derivada de la fun-ción B . 3 Justificar que el signo de B ( x ) viene dado por la sigu-iente tabla : x 0 10 60 80 Signo de B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduzca la tabla de variaciones de la función B en el intervalo 0 ; 80 . 5 ¾Cuál debe ser la cantidad de croquetas que debe vender la empresa para obtener el máximo beneficio? ¾Cuál es el valor de este beneficio? E.7295 En el sistema de referencia O ; I ; J dada a continuación, se da la curva C f representativa de una función f definida en 0 ; 5 ; 7 : Elabora sin justificar la tabla de signos de la función f derivada de la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7062 sacados/7062 chapExoCorrec/7533 sacados/7533 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/7090 sacados/7090 chapExoCorrec/7251 sacados/7251 chapExoCorrec/7295 sacados/7295 2345678I234JOCf