Bachillerato 1 / Números derivados 79 ejercicios (100% corregidos)

a
ChingQuizz : 10 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios: manipulación de expresiones regulares E.8366 Establece las identidades que apare-cen a continuación : a 2 x + 5 x + 1 = 7 · x + 2 x · x + 1 b 3 x + 3 − 2 5 · x − 1 = 13 x − 9 x + 3 5 x − 1 E.6002 Establece las siguientes igualdades : a x x + 1 − 2 x − 3 x − 1 = 3 − x 2 x − 1 · x + 1 b x + 1 3 x − 2 − x + 2 3 x + 1 = 5 3 x − 2 3 x + 1 E.10592 Simplifica las expresiones siguientes en forma de cociente donde : el numerador se expande y se reduce el denominador se escribe como un producto. a x 2 · x − 1 + 4 x + 1 b x + 3 x 2 + 1 − 4 x + 3 E.10588 Establece la siguiente igualdad : 1 x + 1 + 2 2 x − 1 x = 4 x + 1 x · ( x + 1) · (2 x − 1) E.10593 Establece las siguientes igualdades : a 1 x + 4 − 1 x + 4 x 2 = 16 x 2 · x + 4 b 1 x + 1 x + 1 + 1 ( x + 1) 2 = 2 x 2 + 4 x + 1 x · x + 1 2 E.6003 Expresa cada una de las expresiones algebraicas siguientes como un cociente en el que el numer-ador y el denominador son productos de factores de primer grado : a 3 x x + 2 + x + 2 1 − x b x 2 + x + 3 x + 1 − x 2 + 4 x x + 2 2. Trabajo preliminar sobre la obtención de números derivados E.8368 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 2 + x + 1 Establezca las siguientes igualdades : a f (1+ ı ) = ı 2 + 3 · ı + 3 b f (2+ h ) = h 2 + 5 · h + 7 donde h ∈ R E.6060 Sea f la función definida por la relación: f ( x ) = x 2 − 3 · x + 2 a Establece, para cualquier h ∈ R , la identidad : f (2+ h ) = h 2 + h b Para h ∈ R , determine una expresión simplificada de f (1+ h ) . E.9552 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = x + 1 x 2 + 1 Para h ∈ R , establezca la siguiente igualdad : g (1+ h ) − g (1) = − h · h + 1 h 2 + 2 · h + 2 E.10587 Sea f la función definida en 2 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = x − 2 + 3 1 Consideremos la expresión A definida por: A = f (4+ h ) − f (4) a Justifica que, para h = − 3 , la expresión A no está definida. b Justifique que, para cualquier h ∈ − 3 2 ; 3 2 , la expre-sión A está definida. 2 Para cualquier h ∈ − 3 2 ; 3 2 , establece la igualdad : A = h h + 2 + 2 E.8367 Sea f la función definida en 1 2 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = 2 x − 1 − 3 Establecer , para cualquier h ∈ − 3 2 ; + ∞ , la igualdad : f ( h +2) − f (2) = 2 · h 2 h + 3 + 3 3. Aproximación a las tangentes y a la directriz de funciones afines https://chingmath.fr chapExoCorrec/8366 sacados/8366 chapExoCorrec/6002 sacados/6002 chapExoCorrec/10592 sacados/10592 chapExoCorrec/10588 sacados/10588 chapExoCorrec/10593 sacados/10593 chapExoCorrec/6003 sacados/6003 chapExoCorrec/8368 sacados/8368 chapExoCorrec/6060 sacados/6060 chapExoCorrec/9552 sacados/9552 chapExoCorrec/10587 sacados/10587 chapExoCorrec/8367 sacados/8367
E.2291 Proposición: Sea f una función afín cuya curva repre-sentativa pasa por los dos puntos A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) . El coeficiente director m de la función f tiene el valor: m = y B − y A x B − x A Determine los coeficientes directores de las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) que se muestran a continuación : E.9560 Determina los coeficientes directores de las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) que se muestran a continuación : E.4713 Consideremos la función f definida por la relación es : f ( x ) = 1 4 · x 2 − 1 2 · x − 2 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J , se denota por C f la curva representativa de la función f : 1 a Trace la recta ( d ) cuya ecuación es : y = 1 2 · x − 3 b Trace la recta (Δ) cuya ecuación es : y = − 3 2 · x − 3 2 ¾Qué particularidad tienen las rectas ( d ) y (Δ) con re-specto a la curva C f ? E.5937 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 2 − 2 · x − 1 Al plano se le da un sistema de coordenadas ortonormal O ; I ; J . A continuación se muestra la curva C f representa-tiva de f . Denotamos ( d ) y (Δ) respectivamente, las tangentes a la curva C f en el punto de abscisa 1 2 y 2 . 1 Determinar las coordenadas de los puntos de la curva C f con abscisas 1 2 y 2 respectivamente. 2 a Gráficamente, da la ecuación reducida de la recta ( d ) . b Determina la ecuación reducida de la recta (Δ) . E.6878 A continuación se muestra la curva C representativa de una función en un sistema de referencia 0 ; I ; J : 1 a Traza la tangente ( d ) a la curva C en la abscisa 4 . b Dar el coeficiente director de la recta ( d ) . 2 a Traza la tangente (Δ) a la curva C en el punto de abscisa 1 . b Dar el coeficiente director de la recta (Δ) . 4. Campos tangentes E.4654 A continuación se representa, en el sistema de referencia ( O ; I ; J ) , la curva C f y cuatro de sus tangentes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2291 sacados/2291 -4-3-2-1234I-12JO(d1(d2 chapExoCorrec/9560 sacados/9560 -4-3-2-1234I-12JO(d2(d1 chapExoCorrec/4713 sacados/4713 -5-4-3-2-12345I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/5937 sacados/5937 -4-3-2-1234I-3-2-1JOCf(d chapExoCorrec/6878 sacados/6878 -3-2-123456I-123JO chapExoCorrec/4654 sacados/4654
1 La recta ( T 1 ) se llama: ˇ La tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 1 ; 5 ı Análogamente nombra las otras tres rectas. 2 a La tangente ( T 1 ) pasa por los puntos A (0 ; 2 ; 5) y B ( − 3 ; 1) . Determina el coeficiente director de la recta ( T 1 ) . b Determina los coeficientes directores de las tangentes ( T 2 ) , ( T 3 ) y ( T 4 ) . E.2313 Dibuja la curva representativa de una función que pase por todos los puntos indicados y respete la tangente representada en cada uno de ellos: E.2311 Consideremos una función f definida en el intervalo − 4 ; 4 cuya información y curva representa-tiva se muestran en la siguiente tabla : x − 4 − 2 0 2 4 f ( x ) 2 ; 5 − 2 2 0 − 1 ; 5 Coeficiente director de la tangente al punto de abscisa x − 2 0 0 − 1 5 4 En el plano con la referencia que se muestra a continuación, traza una curva que respete la información dada sobre la fun-ción f y su curva C f : 5. Tasa de crecimiento E.2292 Definición : Sea f una función definida en un intervalo I y a , b dos números reales pertenecientes a I . La tasa de incremento de la función f entre a y b es el número t definido por: t = f ( b ) − f ( a ) b − a Nota: En un sistema de referencia y considerando la curva C representativa de la función f en I , la tasa de in-cremento de la función f entre a y b corresponde al coeficiente director de la curva entre los puntos A y B de abscisas a y b respectivamente : https://chingmath.fr -4-3-2-12345I-3-2-123JOCfAB(T1(T2(T3(T4 chapExoCorrec/2313 sacados/2313 -4-224I-22JO chapExoCorrec/2311 sacados/2311 IJO chapExoCorrec/2292 sacados/2292 IJOAB|xB−xA||yB−yA|tyB−yAxB−xA
En la referencia ( O ; I ; J ) op-uesta ortonormal está dada la curva C f representativa de la función f . Consideremos los puntos A , B , C de la curva C f de abscisas 0 , 1 y 2 respectivamente. 1 Sitúa los puntos A , B y C y mediante lectura gráfica, da su coordenada. 2 Calcula la tasa de incre-mento de la función f : a entre 0 y 2 ; b entre 1 y 2 . E.5945 Consideremos el plano provisto de una referencia O ; I ; J en el que se representan : La curva C f representativa de la función f ; Las cuerdas ( d 1 ) , ( d 2 ) , ( d 3 ) y ( d 4 ) de la curva C f respec-tivamente en los puntos de abscisas ( 0 ; 5 y 5 ), ( 1 y 5 ), ( 2 y 5 ), ( 3 y 5 ). 1 a Determinar la tasa de crecimiento de la función f entre 0 ; 5 y 5 . b Determinar los coeficientes directores de las cuerdas ( d 2 ) , ( d 3 ) , ( d 4 ) a la curva C f (si es necesario, redondea-dos al milésimo) . 2 a Trace, con ayuda de una regla, la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de coordenadas (5 ; − 1) . b Indique el valor del coeficiente director de la tangente ( T ) , redondeado a dos decimales. E.8385 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 1 + x 2 En el sistema de coordenadas O ; I ; J que figura a contin-uación, se muestra la curva representativa de la función C f : 1 Determine las tasas de crecimiento de f : a entre 1 y 3 b entre 1 y 2 c entre 1 y 4 3 2 Trace la tangente ( d ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 y, a continuación, conjeture el valor del coeficiente di-rector de la tangente ( d ) . 3 ¾Qué se puede decir de la sucesión de números : − 1 5 ; − 3 10 ; − 21 50 ; − 1 2 6. Primera noción de límites E.2295 Primer acercamiento al concepto de límite y conver-gencia: Para un valor (término de una sucesión o imagen por una función) sujeto a la variación de un parámetro (rango del término o variación de la variable) cuando esta se ˇ estabi-liza ı hacia un valor, se habla entonces de convergencia . En caso de convergencia, se hablará de valor límite 1 a Introduzca el siguiente código en su editor Python : x=1; for i in range(1,10): x=x/10 y=(x*x+x)/(2*x*x+3*x) print(x,"\t",y) b Después de ejecutar este código y analizar la visual-ización de la consola, responda a las siguientes pregun-tas : ¾Hacia qué valores parecen estabilizarse los valores sucesivos tomados por la variable x . La misma pregunta, para los valores sucesivos de la variable y ? https://chingmath.fr -123I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/5945 sacados/5945 23456I-1234JO(d1(d2(d3(d4Cf chapExoCorrec/8385 sacados/8385 -1234IJOCf chapExoCorrec/2295 sacados/2295
Síntesis: consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = x 2 + x 2 · x 2 + 3 · x La tabla de valores, adjunta, de la función f presenta valores de x que se estabilizan hacia 0 , se observa que sus imágenes convergen hacia 1 3 . Se puede conjeturar que ˇ el límite de f ( x ) , cuando x tiende hacia 0 , tiene como valor 1 3 ı y se observa: lim x ↦→ 0 f ( x ) = 1 3 . 2 Con ayuda del programa anterior, conjeturar el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 0 x + 1 x + 2 b lim x ↦→ 0 x> 0 1 + x x c lim x ↦→ 0 3 x 2 + x x 2 E.10327 A continuación se muestra la curva representativa C f de la función f definida en el intervalo R \{− 2 ; 1 : 1 En el intervalo −∞ ; − 2 , conjetura los siguientes límites: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→− 2 f ( x ) 2 En el intervalo − 2 ; 1 , conjetura los siguientes límites: lim x ↦→− 2 f ( x ) ; lim x ↦→ 1 f ( x ) 3 En el intervalo 1 ; + ∞ , conjetura los siguientes límites: lim x ↦→ 1 f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.2803 Consideremos tres funciones f , g y h definidas en R ∗ + por las relaciones : f ( x ) = x + 2 x 2 + 3 ; g ( x ) = 2 · x − 1 √ x ; h ( x ) = 2 · x 2 + x 5 · x 1 Verifique la exactitud de las siguientes igualdades : f (0 ; 01)= 2 ; 01 3 ; 00101 menos0,2cm; menos0,2cm g (0 ; 0001)= − 0 ; 9998 0 ; 01 menos0,2cm; menos0,2cm h (0 ; 01)= 0 ; 0102 0 ; 05 2 A continuación se muestran las tablas de valores de las funciones f , g y h : x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 0001 f ( x ) 3 4 2 ; 1 3 ; 01 2 ; 01 3 ; 000 1 2 ; 00 1 3 ; 000 001 2 ; 000 1 3 ; 000 000 01 x 1 0 ; 01 0 ; 000 1 0 ; 000 001 g ( x ) 1 − 0 ; 98 0 ; 1 − 0 ; 999 8 0 ; 01 − 0 ; 999 998 0 ; 00 1 x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 000 1 h ( x ) 3 5 0 ; 12 0 ; 5 0 ; 010 2 0 ; 05 0 ; 001 002 0 ; 005 0 ; 000 100 02 0 ; 000 5 Con ayuda de la calculadora, completa la tabla siguiente con los valores redondeados al milésimo: 3 Conjetura el valor de los tres límites siguientes : lim x ↦→ 0 f ( x ) ; lim x ↦→ 0 g ( x ) ; lim x ↦→ 0 h ( x ) E.2288 Consideremos la función f definida en R \ − 3 2 ; 0 por: f ( x ) = x 2 + x 2 · x 2 + 3 · x 1 a Demuestre que : f (10 − 2 )= 101 302 b Demuestre que : f (10 − 2 )= 1 3 + 1 906 2 Para cualquier número natural n ( n ∈ N ) : a Demuestre que : f 10 − n = 10 n + 1 3 × 10 n + 3 b Demostrar que : f 10 − n = 1 3 + 1 9 × 10 n + 6 3 a Con ayuda de la pregunta 2 b , complete la sigu-iente tabla : x 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 0001 0 ; 00001 f ( x ) 1 3 + 1 96 1 3 + 1 906 b Deducir el valor del límite: lim n ↦→ + ∞ f 10 − n 7. Introducción a los números derivados https://chingmath.fr xf(x10,40,10,343750,010,33343708...0,0010,33334444...0,00010,33333444...0,000010,33333334... chapExoCorrec/10327 sacados/10327 -4-3-2-1234I-2-123JOCf chapExoCorrec/2803 sacados/2803 xf(xg(xh(x10;10;010;0010;00010;000010;000001 chapExoCorrec/2288 sacados/2288
E.6059 En un sistema de referen-cia O ; I ; J , consideremos la curva representativa de la fun-ción f definida en R por la relación: f ( x ) = x 2 − 4 x + 2 En este ejercicio, determinare-mos la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto A (1 ; − 1) . 1 a Encuentra la siguiente igualdad : f ( x ) − f (1) x − 1 = x − 3 pour todo x ∈ R \{ 1 } b En deduce el coeficiente director de la cuerda a la curva C f que pasa por los puntos A y B (2 ; − 2) . Comprueba gráficamente tu respuesta. 2 On Considera las dos funciones u y v definidas en R \{ 1 } por las relaciones : u ( x ) = f ( x ) − f (1) x − 1 ; v ( x ) = x − 3 a Voici dos tablas de valores de u y v : x 1 ; 1 1 ; 01 1 ; 001 1 ; 000 1 u ( x ) − 0 ; 19 0 ; 1 − 0 ; 0199 0 ; 01 − 0 ; 001999 0 ; 001 − 0 ; 00019999 0 ; 0001 x 1 ; 1 1 ; 01 1 ; 001 1 ; 000 1 v ( x ) − 1 ; 9 − 1 ; 99 − 1 ; 999 − 1 ; 9999 ¾Qué se puede decir del valor de u ( x ) a medida que el número x se aproxima al valor 1 ? b Dibuja la recta ( d ) de ecuación : ( d ) : y = − 2 x + 1 E.5946 Consideremos la curva C de la fun-ción raíz cuadrada que se muestra a continuación en el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . 1 Trace la cuerda ( D ) de la curva C que pasa por los puntos de abscisa 2 y 4 . 2 Consideremos la función u definida por: u ( x ) = x − 2 x − 4 Justifique que el coeficiente director de la cuerda ( D ) es u (2) . 3 Consideremos la función v definida por: v ( x )= 1 x +2 a Establezca la igualdad u ( x )= v ( x ) para todo x ∈ R \{ 4 } . b ¾Están definidas las funciones u y v para x =4 ? 4 a Aquí hay una tabla ˇ casi ı de valores para cada una de las funciones u y v : x 4 ; 41 4 ; 0401 4 ; 004001 4 ; 00040001 u ( x ) 0 ; 1 0 ; 41 0 ; 01 0 ; 0401 0 ; 001 0 ; 004001 0 ; 0001 0 ; 00040001 u ( x ) x 4 ; 41 4 ; 0401 4 ; 004001 4 ; 00040001 v ( x ) 1 4 ; 1 1 4 ; 01 1 4 ; 001 1 4 ; 0001 v ( x ) Complete estas dos tablas con los valores decimales redondeados a 10 − 5 . b ¾Qué valor se puede conjeturar para el límite: lim x ↦→ 4 x − 4 x − 4 ? 8. Cálculo del número derivado (versión 1): funciones polinómicas E.727 Definición : Sea f una función definida en un intervalo I y a un número perteneciente a I . Se dice que la función f es derivable en a si existe el siguiente límite: lim x ↦→ a x = a f ( x ) − f ( a ) x − a Entonces, este límite se denomina número derivado en a de la función f y se denota f ( a ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6059 sacados/6059 -12345I-3-2-123JOCf chapExoCorrec/5946 sacados/5946 2345I2JO chapExoCorrec/727 sacados/727
El número derivado de la función cuadrática en 3 : 1 Para x =3 , establezca la siguiente igualdad : x 2 − 3 2 x − 3 = x +3 2 Consideremos f la función cuadrática : a Con ayuda de la pregunta 1 , determinar el valor del límite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Dar el valor del número derivado en 3 de la función cuadrática. E.10325 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 · x 2 − x + 1 1 Establece la identidad a continuación, para cualquier x ∈ R \{ 1 : f ( x ) − f (1) x − 1 = 2 · x + 1 2 Deduce el valor del número derivado en 1 de la función f . E.10598 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 4 · x 2 − 7 · x + 3 1 Establezca la siguiente identidad para cualquier x ∈ R \{ 2 } : f ( x ) − f (2) x − 2 = 4 x + 1 2 Deduce el valor del número derivado en 2 de la función f . E.10347 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = − 3 · x 2 + 4 · x + 1 1 Demuestra que para todo x ∈ R \{− 2 , se tiene : f ( x ) − f (2) x − 2 = − 3 x − 2 2 a Deduzca el valor del límite: lim x ↦→ 2 f ( x ) − f (2) x − 2 b Dé el número derivado de la función f en 2 . E.10606 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 · x 2 − 5 · x + 3 1 Determinar los números reales a y b que cumplen la iden-tidad en R \{ 1 } : f ( x ) − f (1) x − 1 = a · x + b 2 Deduzca el valor del número derivado f (1) de la función f en 1 . 9. Cálculo del número derivado (versión 1): funciones racionales E.9553 1 Para x =3 , establece la siguiente igualdad : 1 x − 1 3 x − 3 = − 1 3 x 2 Observamos f la función inversa. a Determina el límite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Dar el valor de f (3) . E.10599 Consideremos la función f definida en R \ − 1 3 : f ( x ) = 4 3 · x + 1 1 Para cualquier x ∈ R \ − 1 3 ; 1 , establece la identidad : f ( x ) − f (1) x − 1 = − 3 3 · x + 1 2 a Deduce el límite: lim x ↦→ 1 f ( x ) − f (1) x − 1 b Dar el valor del número de la derivada f (1) de la fun-ción f en 1 . E.10589 Consideremos la función f definida en R \{ 2 } por: f ( x ) = 1 3 x − 6 1 Establecer igualdad : f ( x ) − f (3) x − 3 = − 1 3 x − 6 2 a Determina el valor del límite: b Deduce el valor del número de la derivada de la función f en 3 . E.10326 Consideremos la función f definida en R \ − 1 2 por: f ( x ) = x + 1 2 · x − 1 1 Establezca la identidad siguiente para todo x ∈ R \ − 2 ; − 1 2 : f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) = 3 5 · 2 · x − 1 2 Deduzca el valor del número derivado en − 2 de la función f . E.10600 Consideremos la función f definida en R \ − 1 por: f ( x ) = 2 · x − 1 x + 1 1 Establece la identidad para cualquier x ∈ R \ − 2 ; − 1 : f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) = − 3 x + 1 2 a Deduce el valor del límite: lim x ↦→− 2 f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) b Dar el valor del número de la derivada de la función f en − 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10325 sacados/10325 chapExoCorrec/10598 sacados/10598 chapExoCorrec/10347 sacados/10347 chapExoCorrec/10606 sacados/10606 chapExoCorrec/9553 sacados/9553 chapExoCorrec/10599 sacados/10599 chapExoCorrec/10589 sacados/10589 chapExoCorrec/10326 sacados/10326 chapExoCorrec/10600 sacados/10600
10. Cálculo del número derivado (versión 1): con radicales E.9554 1 Para x =3 , establecer identidad : x − 3 x − 3 = 1 x + 3 2 Sea f la función raíz cuadrada. a Deducimos el valor del límite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Dar el valor de f (3) . E.10601 Consideremos la función f definida en − 1 2 ; + ∞ mediante : f ( x ) = 2 · x + 1 1 Establece la identidad para cualquier x ∈ − 1 2 ; + ∞ \ 4 : f ( x ) − f (4) x − 4 = 2 2 · x + 1 + 3 2 a Determina el límite: lim x ↦→ 4 f ( x ) − f (4) x − 4 b Determina el valor de la derivada f (4) de la función f en 4 . 11. Cálculo del número derivado (versión 2): funciones polinómicas E.2822 Definición : Sea f una función definida en un intervalo I y a un número perteneciente a I . Se dice que la función f es derivable en a si existe el siguiente límite: lim h ↦→ 0 h =0 f ( a + h ) − f ( a ) h Entonces este límite se llama el número de la derivada en a de la función f y se denota f ( a ) . Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ 3 · x 2 − 2 x 1 Para cualquier h ∈ R , establecer la identidad : f (2+ h ) = 3 · h 2 + 10 · h + 8 2 a Establece que : lim h ↦→ 0 f (2+ h ) − f (2) h = 10 b Dar el valor de f (2) . E.9605 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 2 − 3 · x + 1 1 Sea h un número real distinto de cero. Demuestre que : f (2+ h ) − f (2) h = h + 1 . 2 Deduzca el valor de f (2) E.10608 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = − 3 · x 2 + 4 · x − 2 1 a Establezca la identidad siguiente : f (1+ h ) − f (1) h = − 3 h − 2 b Indique el valor de la derivada de la función f en 1 . 2 Se denota por C f la curva representativa de la función f en el plano provisto de un sistema de coordenadas. Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . E.10602 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 3 · x 2 − 4 · x + 1 1 Para cualquier h ∈ R ∗ , simplifique la expresión : f (1+ h ) − f (1) h 2 Deduce el número de la derivada f (1) de la función f en 1 . E.9555 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 2 + 3 · x + 1 Determina el número de la derivada de la función f en − 1 . 12. Cálculo del número derivado (versión 2): funciones racionales E.10591 Consideremos la función f definida en R \{− 2 por: f ( x ) = 6 x + 2 1 Establecer que, para todo h tal que 1+ h ∈ R \{− 2 , se tiene : f (1+ h ) − f (1) = − 2 h h + 3 2 Determinar la derivada de la función f en 1 . E.10590 Consideremos la función f definida en R \ − 1 por: f ( x ) = − 3 x + 1 Determina el número de la derivada de la función f en 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9554 sacados/9554 chapExoCorrec/10601 sacados/10601 chapExoCorrec/2822 sacados/2822 chapExoCorrec/9605 sacados/9605 chapExoCorrec/10608 sacados/10608 chapExoCorrec/10602 sacados/10602 chapExoCorrec/9555 sacados/9555 chapExoCorrec/10591 sacados/10591 chapExoCorrec/10590 sacados/10590
E.8488 Consideremos la función f definida en R \{− 2 } por: f ( x ) = 2 · x + 1 x + 2 Determina el número de la derivada de la función f para x =1 . E.10603 Consideremos la función f definida en R \ 5 2 por: f ( x ) = 2 · x + 1 2 · x − 5 1 Para cualquier h ∈ R ∗ \ − 1 2 , da la forma simplificada de la expresión : f (3+ h ) − f (3) h 2 Deduce el número de la derivada f (3) de la función f en 3 . 13. Cálculo del número derivado (versión 2): con radicales E.9556 Consideremos la función f definida en R + por: f ( x ) = x · x Determina el número de la derivada de la función f en 4 . 14. Cálculo de números derivados y directriz de tangentes E.2810 Proposición: (admitida) Sea f una función definida en un intervalo I y derivable en a ∈ I . Anotamos C f la curva representativa de la función f en el plano provisto de una marca de referencia. La curva C f admite una tangente en el punto de abscisa a y esta tangente tiene como coeficiente director el número f ( a ) . Consideremos la función f definida en R por la relación: f : x ↦−→ 1 2 · x 2 − 2 · x + 1 1 a Demuestre que, para cualquier h ∈ R , tenemos : f (4+ h ) − f (4) = 1 2 · h 2 + 2 · h b Determine el valor del límite: lim h ↦→ 0 f (4+ h ) − f (4) h 2 En el plano provisto de un sistema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal, se dibujan la curva C f representativa de la función f y la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 4 : Dar el coeficiente director de la tangente ( T ) . E.9557 Consideremos la función f definida en − 1 ; + ∞ por: f ( x ) = 3 · x − 1 x + 1 En el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J ortonormales, se representan la curva C f representativa de la función f y la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . 1 Para cualquier h ∈ − 1 ; 1 , establecer la identidad : f (2+ h ) − f (2) h = 4 3 · h + 3 2 Determina el coeficiente director de la tangente ( T ) . E.9606 Consideremos la función f definida en R \{− 1 } por: f ( x ) = x + 3 x + 1 1 Establecer que para todo entero h tal que h +1 =0 , se tiene : f (1+ h ) − f (1) h = − 1 h + 2 2 De ello se deduce el número derivado de la función f en 1 . Se denota C f la curva representativa de la función f en el plano provisto de un sistema de coordenadas. 3 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8488 sacados/8488 chapExoCorrec/10603 sacados/10603 chapExoCorrec/9556 sacados/9556 chapExoCorrec/2810 sacados/2810 IJOCf(T4 chapExoCorrec/9557 sacados/9557 IJO(TCf2 chapExoCorrec/9606 sacados/9606
E.2350 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 6 x + 1 x 2 − x + 2 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 a Establecer la siguiente igualdad : f (1+ h ) − f (1) h = − 7 h + 5 2( h 2 + h + 2) b Deduce el valor del número derivado de la función f en 1 . 3 En el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J , viene dada la curva representativa C f de la función f : Justificando tu planteamiento, traza la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 15. Ecuación reducida de la tangente E.9558 Propuesta: sea f una función definida en un intervalo I y derivable en a ∈ I . La tangente a la curva C f en el punto de abscisa a tiene como ecuación reducida : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 0 ; 1 · x 2 + 0 ; 2 · x − 0 ; 8 Se da la curva C f representativa de la función f en el sistema de coordenadas O ; I ; J ortonormado a continuación : 1 a Para todo h ∈ R , establecer la identidad : f (2+ h ) − f (2) h =0 ; 1 · h +0 ; 6 b Deducir el número derivado de la función f en 2 . 2 a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . b Traza la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas anterior. E.9607 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas O ; I ; J siguiente 1 Establecer que : f (1) = 1 2 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . E.9559 Consideremos la función f definida en el intervalo − 1 ; + ∞ por: f ( x ) = 3 · x + 1 2 · x + 2 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J ortonormado, se da la curva C f representativa de la función f . 1 Demuestre que : f (1) = 1 4 2 a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . b Trazar la tangente ( T ) en el sistema de coordenadas siguiente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2350 sacados/2350 -6-5-4-3-2-123456I-2-1234JOCf chapExoCorrec/9558 sacados/9558 -6-5-4-3-2-1234I-2-1JOCf chapExoCorrec/9607 sacados/9607 -3-2-1234I2JOCf chapExoCorrec/9559 sacados/9559 -2-123456I-12JOCf
E.10604 Consideremos la función f definida en R \{− 2 por: f ( x ) = 3 x + 2 1 a Para cualquier valor de h ∈ R \{ 0 ; − 3 , determine la simplificación de la expresión : f (1+ h ) − f (1) h b Deduce el valor del número de la derivada f (1) de la función f en 1 . 2 En el plano con sistema de referencia O ; I ; J , observa C f la curva representativa de la función f . Determinar la ecuación reducida ( T ) de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 . E.2843 Sea f la función cuya im-agen de un número real x viene definida por la relación: f ( x ) = 3 · x 2 − 2 x 2 + 1 1 a Para cualquier número real distinto de cero h , es-tablece la igualdad : f (1+ h ) − f (1) h = 5 · h + 10 2 · h 2 + 4 · h + 4 b Deduce el valor del número de la derivada f (1) de la función f en 1 . 2 Considera el plano con un sistema de referencia O ; I ; J y denota C f la curva representativa de la función f . a Determina la ecuación de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . b Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia. 3 Determina las coordenadas de los distintos puntos de in-tersección de ( T ) y C f . E.9612 Nota: al elegir una recta en el plano, siempre es posible ajustar los coeficientes de un polinomio de segundo grado para que dicha recta sea una tangente en − 1 a la curva de la función : Consideremos la función f de segundo grado definida por: f ( x ) = a · x 2 + 2 · x + b donde a;b ∈ R En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males, se denota por C f la curva representativa de la función f . La recta ( T ) de ecuación reducida y = x +2 es la tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 1 . 1 Para todo h ∈ R ∗ , establezca la identidad : f ( − 1+ h ) − f ( − 1) h = a · h − 2 · a +2 2 Deduzca la expresión de la función f . E.10607 Consideremos la función f definida en R \{− 1 por: f ( x ) = 2 · x + 3 x + 1 1 a Determinemos los números reales a y b que satis-facen la identidad : f (1+ h ) − f (1) h = − 1 a · h + b b Establezcamos que : f (1) = − 1 4 2 Se denota por C f la curva representativa de la función f en el plano provisto de un sistema de coordenadas. De-terminar la ecuación reducida de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . E.10609 Se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J y consideramos : la función f definida por: f ( x ) = a x + b donde a;b ∈ R y se observa C f su curva representativa. la recta ( T ) representativa de la función g definida por: g ( x ) = − 4 x + 4 Determinar los valores de a y b para que la recta ( T ) sea tangente a la curva C f en el punto de abscisa 2 . 16. Tangente y posición relativa E.2961 Consideremos la función f cuya im-agen de un número x está definida por la relación: f ( x ) = 2 · x 3 − 3 · x 2 − x + 1 En el plano provisto de un sistema de referencia ( O ; I ; J ) , denotamos C f la curva representativa de la función f . Deno-tamos ( T ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 1 a Para cualquier número real distinto de cero h , es- https://chingmath.fr chapExoCorrec/10604 sacados/10604 chapExoCorrec/2843 sacados/2843 fichierPlus/2843/diapoCorrection.pdf -6-5-4-3-2-123456I-2-123JO chapExoCorrec/9612 sacados/9612 IJOAjustement de la valeura IJOAjustement de la valeurb chapExoCorrec/10607 sacados/10607 chapExoCorrec/10609 sacados/10609 chapExoCorrec/2961 sacados/2961
tablecer la identidad : f (1+ h ) − f (1) h = 2 · h 2 + 3 · h − 1 b ¾Cuál es el coeficiente director de la tangente ( T ) ? Jus-tifica tu planteamiento. 2 Determina la ecuación de la tangente ( T ) a la curva C f . 3 a Determina el valor de los reales a , b y c realizando la identidad : f ( x ) + x = x − 1 · a · x 2 + b · x + c b Deduce las coordenadas de los puntos de intersección de la curva C f con la tangente ( T ) . 17. Número derivativo: lectura gráfica E.7714 A continuación se representa gráficamente una función f definida y derivable en R . abajo, así como las respectivas tangentes en los puntos de abscisa − 3 y 0 . Cuál de las cuatro respuestas siguientes es correcta: a El número derivado de f en 0 es − 1 ; b El número derivado de f en − 1 es 0 ; c El número derivado de f en − 3 es − 1 ; d El número derivado de f en − 3 es 3 . E.7713 Consideremos una función f definida para cualquier real estrictamente positivo x y cuya curva representativa C de la función f , así como T , la tan-gente a la curva C en el punto A de abscisa 4 se representan a continuación : Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es correcta? En el intervalo 0 ; 10 , el número derivado de la función f toma el valor 0 : a Aucune veces b Une fois c Deux fois d Plus de dos fois E.7715 Indicación : En este cuestionario de opción múltiple no se pide justificación alguna. Para cada una de las preguntas, solo una de las respuestas propuestas es correcta. Una respuesta correcta vale 0 ; 75 puntos. Una respuesta incorrecta o la ausencia de respuesta no resta ni suma puntos. Anote en la copia el número de la pregunta y la respuesta elegida. En un sistema de coordenadas ortonormales del plano, se da la curva representativa C f de una función f definida y deriv-able en el intervalo − 1 ; 5 . Se denota f la función derivada de f . La curva C f pasa por el punto A (0 ; 1) y por el punto B de abscisa 1 . La tangente T 0 a la curva en el punto A pasa por el punto C (2 ; 3) y la tangente T 1 en el punto B es paralela al eje de abscisas. 1 El valor exacto del número derivado de la función f en 1 es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta 2 El valor exacto del número derivado de la función f en 0 es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta 3 El valor exacto de f (1) es : a 0 b 1 c 1 ; 6 d otra respuesta https://chingmath.fr chapExoCorrec/7714 sacados/7714 -7-6-5-4-3-2-12345I-2-12345JOCf chapExoCorrec/7713 sacados/7713 012345678910-1123456CfA(T chapExoCorrec/7715 sacados/7715 -10123450,511,522,53CfACBT0T1
E.4772 Consideramos una función f definida y derivable en el intervalo − 4 ; 3 , y denotamos f la función derivada de f . La curva representativa de f es la curva Γ dada a contin-uación. Se supone que la curva Γ tiene las siguientes propiedades : La curva Γ pasa por el punto A (0 ; 5) ; La tangente en A a la curva Γ pasa por el punto B ( − 2 ; 4) ; La curva Γ admite una tangente paralela al eje x en el punto de abscisa 0 ; 5 . Además, la función f es estrictamente creciente en el intervalo − 4 ; 0 ; 5 y estrictamente decreciente en el intervalo 0 ; 5 ; 3 . 1 Placer los puntos A y B y trazar la tangente en A a la curva Γ . 2 Determina gráficamente el número de soluciones de la ecuación f ( x )=3 , y da para cada solución un marco por dos enteros consecutivos. 3 a Donner el número derivado de la función f en 0 (no se justifica demandée) . b Sur su conjunto de definición, cuántas veces es 0 el número derivado de la función f . Justifica tu re-spuesta. c En qué intervalo mayor es estrictamente negativo el número derivado de la función f . . 18. Números derivados y raíces cuadradas E.8386 Consideremos la función g definida por la relación: g : x ↦−→ 3 · x + 1 Demostrar que : g (1) = 3 4 Recordatorio : g (1) = lim h ↦→ 0 g (1+ h ) − g (1) h E.2309 Consideremos la función f definida en − 1 2 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = 2 · x + 1 1 a Establezca la siguiente igualdad : f (4+ h ) − f (4) h = 2 2 · h + 9 + 3 b Deduzca el valor del número derivado de la función f en 4 . Recordatorio : f (4) = lim h ↦→ 0 f (4+ h ) − f (4) h 2 a Dar las coordenadas del punto A de la curva C f que tiene como abscisa 4 . b Determinar la ecuación reducida de la tangente ( d ) a la curva C f en el punto de abscisa 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4772 sacados/4772 -4-3-2-123I-12345JO chapExoCorrec/8386 sacados/8386 chapExoCorrec/2309 sacados/2309
E.2836 Consideremos la función f cuya im-agen de x se define por: f ( x ) = 5 − 2 · x 1 Determinar el conjunto de definición de la función f . 2 a Para cualquier número real h que cumpla : h =0 ; − 2+ h ∈D f Establecer la igualdad : f ( − 2+ h ) − f ( − 2) h = − 2 9 − 2 · h + 3 b Deduzca el valor del número derivado de la función f en − 2 . 3 Se denota por C f la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales. Determinar la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa − 2 . E.6044 Consideremos la función f definida en − 5 2 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = 2 · x + 5 Denotamos C f la curva representativa de la función f en un O ; I ; J sistema de referencia ortonormal. Determinar la ecuación de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 2 . E.2837 1 Sea f la función definida por la relación: f : x ↦−→ − 2 x 2 + x + 1 a Determina el conjunto de definición de la función f . b Determinar el valor del siguiente límite: lim h ↦→ 0 f 1 2 + h − f 1 2 h c Deduce la ecuación de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 2 . 2 Sea g la función definida por la relación: g : x ↦−→ − 2 x 3 + 3 x 2 + x − 1 a Determina el valor del siguiente límite: lim x ↦→ 0 g (1+ h ) − g (1) h b Deduce la ecuación de la tangente a la curva C g en el punto de abscisa 1 . 3 A continuación se da la representación de las curvas rep-resentativas de estas dos funciones : Dibuja las dos tangentes obtenidas anteriormente en el marco de referencia anterior. E.2669 Consideremos la función f cuya im-agen de x viene dada por la relación: f ( x ) = x 2 − 3 · x + 1 1 Establece la siguiente igualdad : f (3+ h ) − f (3) h = h + 3 h 2 + 3 · h + 1 + 1 2 a Deduce el valor del siguiente límite: f (3) = lim h ↦→ 0 f (3+ h ) − f (3) h b Determina la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 3. E.5177 Consideremos la función f cuya im-agen de x , para x ∈ [1 ; + ∞ [ , se define mediante la relación: f ( x ) = ( x 2 − 4 · x + 3) 2 · x − 2 1 Da una forma simplificada de : f (1+ h ) h para h> 0 . 2 Deduzca el número derivado de la función f en 1. 19. Ejercicios no clasificados E.10612 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = − 3 · x 2 + 10 x − 1 1 a Determina el valor de a y b alcanzando la siguiente identidad para cualquier h ∈ R ∗ : f (2+ h ) − f (2) h = a · x + b b Deduce el valor del número de la derivada de la función f en 2 . 2 Consideremos el plano provisto de un marco de referen-cia ortonormal. Denotamos C f la curva representativa de la función f y ( T ) la tangente a C f en el punto de abscisa 2 . Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2836 sacados/2836 chapExoCorrec/6044 sacados/6044 chapExoCorrec/2837 sacados/2837 -2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/2669 sacados/2669 chapExoCorrec/5177 sacados/5177 chapExoCorrec/10612 sacados/10612
E.10613 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 3 · x − 1 1 a Determina el valor de a y b alcanzando la siguiente identidad para cualquier h ∈ R ∗ : f (1+ h ) − f (1) h = − 1 a · x + b b Deduce el valor del número de la derivada de la función f en 1 . 2 Consideremos el plano con un sistema de referencia ortonormal. Denotamos C f la curva representativa de la función f y ( T ) la tangente a C f en el punto de ab-scisa 1 . Determinar la ecuación reducida de la tangente ( T ) . E.10614 Consideremos la función f definida en R \{ 2 } por: f ( x ) = 1 2 − x 1 Sean a y h tales que : a ∈ R \{ 2 } ; h ∈ R ∗ ; a + h ∈ R \{ 2 } Establish identity: f ( a + h ) − f ( a ) = h 2 − a 2 − h − a 2 Dotamos al plano de un marco de referencia y anotamos C f la curva representativa de la función f . Determinar las ecuaciones reducidas de las dos tangentes ( T ) y ( T ) a la curva C f que tiene la intersección y − 4 . E.10615 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 3 1 Sea a y h tal que h ∈ R ∗ , establece la identidad : f ( a + h ) − f ( a ) = h · h 2 + 3 · a · h + 3 · a 2 2 Dotamos al plano de un marco de referencia y anotamos C f la curva representativa de la función f . Determinar la ecuación reducida de la tangente simple ( T ) a la curva C f que tiene como intersección y 2 . E.2925 Consideremos la función f , definida en − 1 5 ; + ∞ , cuya imagen de un número real x viene dada por la relación f ( x ) = 5 · x + 1 1 Para x ∈D f y h ∈ R tales que h =0 y ( x + h ) ∈D f , estable-cen la siguiente igualdad : f ( x + h ) − f ( x ) h = 5 5 · x + 5 · h + 1 + 5 · x + 1 2 Deduce la expresión de la función derivada de la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10613 sacados/10613 chapExoCorrec/10614 sacados/10614 chapExoCorrec/10615 sacados/10615 chapExoCorrec/2925 sacados/2925