Bachillerato 1 / Probabilidades condicionales 57 ejercicios corregidos

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ChingQuizz : 8 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Un recordatorio de la probabilidad E.4791 He aquí una tabla que muestra la distribución de probabilidad de un dado amañado de seis caras : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 15 0 ; 1 0 ; 08 0 ; 17 0 ; 22 0 ; 28 Determina la probabilidad de cada uno de los sucesos sigu-ientes : 1 A : ˇ El número obtenido es mayor o igual que 4 ı. 2 B : ˇ El número obtenido es pair ı. E.10199 Considere un dado amañado con 6 caras. El experimento aleatorio consiste en lanzar el dado y considerar el valor de la cara superior del dado. Para k un número entero comprendido entre 1 y 6 , consider-amos el suceso F k definido por ˇ el valor obtenido es k ı La única información del dado es : La tabla incompleta de la distribución de probabilidad de este experimento aleatorio: A F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 P A 0 ; 11 0 ; 07 0 ; 2 0 ; 15 La probabilidad de obtener un número par es 0 ; 4 . Copia y completa la tabla de la distribución de probabilidad de este experimento aleatorio, justificando tu planteamiento. E.4147 Un juego consiste en lanzar dardos a una diana. La diana está dividida en cuatro sectores, como muestra la figura siguiente : Se supone que los lanzamientos son independientes y que el jugador da siempre en la diana. El jugador lanza un dardo. Nota: p 0 la probabilidad de obtener 0 punto ; p 3 la probabilidad de obtener 3 puntos ; p 5 la probabilidad de obtener 5 puntos. Sabiendo que p 5 = 1 2 · p 3 y que p 5 = 1 3 · p 0 , determine los valores de p 0 , p 3 y p 5 . E.3701 Consideremos un dado de seis caras numeradas del 1 al 6 . Su ley de probabilidad se muestra en la tabla : Cara 1 2 3 4 5 6 Probabilidad p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 donde cada uno de los números p i es proporcional al índice i . 1 Determinar la ley de probabilidad de este experimento aleatorio. 2 Calcular las probabilidades de los eventos : A : ˇ obtener un número estrictamente inferior a 3 ı ; B : ˇ obtener un múltiplo de 2 ı ; C = A ∪ B . 2. Recordatorios: evento opuesto E.3702 Proposición: sea A un suceso y A su suceso contrario. We have : P A =1 −P A Se extrae una carta al azar de una baraja de 32 cartas. Considera los siguientes sucesos : A : ˇ la carta extraída es una pique ı ; B : ˇ la carta robada es un figure ı. 1 Describe los resultados de este exper-imento aleatorio. 2 Calcula las probabilidades de los sucesos : A ; B ; A ∩ B ; A ∪ B 3 Calcula la probabilidad del suceso : C : ˇ la carta robada no es ni una pica ni una figure ı https://chingmath.fr quizzChap/1198 chapExoCorrec/4791 sacados/4791 chapExoCorrec/10199 sacados/10199 chapExoCorrec/4147 sacados/4147 5points0point3points0point chapExoCorrec/3701 sacados/3701 Extrait du MathX - Didier chapExoCorrec/3702 sacados/3702 Extrait du MathX - Didier AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣
E.3711 Una urna contiene dos bolas azules y una roja, todas idénticas al tacto. 1 Se saca una bola y se devuelve a la urna antes de sacar una se-gunda. El árbol de resultados de este ex-perimento aleatorio se muestra al lado: Se supondrá que estamos en una situación de equiproba-bilidad. a Determine la probabilidad de los siguientes sucesos : A : ˇ La primera bola extraída es rouge ı. B : ˇ Las dos bolas extraídas son iguales couleur ı C : ˇ La primera bola extraída es roja o la segunda bola extraída es azul ı. b Determine la probabilidad de que ocurran los sigu-ientes sucesos : A ; B ∪ C ; A ∩ B ; B ∩ C 2 Las reglas de este juego cambian de la siguiente manera : no hay más lanzamientos ; la primera bola extraída se descarta del juego. a Construye el árbol de resultados asociado a este nuevo juego. b Calcula las nuevas probabilidades de los sucesos men-cionados en las preguntas a et b de la pregunta anterior. c Parmi las extracciones habiendo tenido una bola azul en la primera extracción, ¾cuál es la probabilidad de obtener una bola azul en la segunda extracción? 3. Recordatorios: fórmula sindical E.4809 Propuesta: Sean A y B dos eventos. Tenemos la igual-dad : P A ∪ B = P A + P B −P A ∩ B El comité de empresa de una sociedad parisina desea organi-zar un fin de semana en provincias. Se realiza una encuesta entre los 1 200 empleados de esta em-presa para conocer su elección en cuanto al medio de trans-porte (los únicos medios de transporte propuestos son el tren, el avión o el autocar) . Los resultados de la encuesta realizada a los empleados de la empresa se recogen en la siguiente tabla : Tren Avión Autocar Total Mujeres 468 196 56 720 Hombres 150 266 64 480 Total 618 462 120 1200 Se entrevista al azar a un empleado de esta empresa (se supone que todos los empleados tienen las mismas posibili-dades de ser entrevistados) . F el evento : ˇ el empleado es una mujer ı ; T el evento : ˇ el empleado elige el tren ı. 1 Calcular las probabilidades P ( F ) , P ( T ) y luego determi-nar la probabilidad de que el empleado no elija el tren (los resultados se darán en forma decimal) 2 a Determinar la probabilidad del evento F ∩ T . b Deducir la probabilidad del evento F ∪ T . E.7560 Sea Ω ; P un espacio de probabili-dad donde A y B son dos sucesos de Ω tales que : P ( A ) = 0 ; 42 ; P ( B ) = 0 ; 19 Dado que P A ∪ B =0 ; 43 , determine la probabilidad del suceso A ∩ B . E.3703 En un centro educativo, 60 alumnos participan en la jornada de descubrimiento deportivo: 45 se han inscrito en taekwondo y 24 en judo. Sabiendo que 6 de ellos no se han inscrito en ninguna de es-tas actividades, determine la probabilidad de que un joven encontrado al azar en el centro practique hoy: 1 taekwondo ; 2 judo ; 3 ninguno de estos dos deportes ; 4 taekwondo o judo ; 5 taekwondo y judo. 4. Introducción a las probabilidades condicionales E.4191 Hemos hecho a 1 000 personas la siguiente pregunta : ˇ ¾Cuántas veces ha llegado tarde al trabajo en los dos últimos meses? ı. Las respuestas se han agrupado en la siguiente tabla : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3711 sacados/3711 R-RRR-BBR-BBB-RRB-BBB-BBB-RRB-BBB-BBRBB chapExoCorrec/4809 sacados/4809 chapExoCorrec/7560 sacados/7560 chapExoCorrec/3703 sacados/3703 chapExoCorrec/4191 sacados/4191 012 ou plusTotal026221273547125073233462 ou plus603314107Total5723181101000Retardsle1ermoisRetardsle2emois
Elegimos un individuo de esta población al azar. Redondearemos las probabilidades a la milésima más cercana. 1 Determine la probabilidad de que el individuo llegara tarde al menos una vez el primer mes. 2 a Entre los individuos que no llegaron tarde el primer mes, ¾cuál es la probabilidad de elegir al azar un indi-viduo que llegara tarde al menos una vez el segundo mes? b De los individuos que tuvieron al menos un retraso en el segundo mes, ¾cuál es la probabilidad de elegir a un individuo que no tuvo ningún retraso en el primer mes? E.5193 Consideremos un conjunto Ω y dos de sus partes A y B representadas a continuación, cuyos ele-mentos están representados por cruces : De manera equiprobable, se elige un elemento al azar. 1 a ¾Cuál es la probabilidad de que el elemento elegido pertenezca a A ? b Sabiendo que se ha elegido un elemento de B , ¾cuál es la probabilidad de que este elemento también pertenezca a A ? 2 a Determinar las siguientes probabilidades : P ( B ) ; P ( A ∩ B ) b Dar el valor del cociente : P ( A ∩ B ) P ( B ) . ¾Qué se observa? E.3728 Un juego consiste en agitar y vol-car una botella para sacar uno de sus elementos. Este es el contenido de la botella: 1 Determina la probabilidad de los siguientes eventos : a A : ˇ El elemento que sale es un cuadrado ı ; b B : ˇ El elemento que sale es rayado ı ; c A ∩ B : ˇ El elemento que sale es un cuadrado rayado ı. 2 a Determinar el valor del cociente : P ( A ∩ B ) P ( A ) b ¾Qué probabilidad representa el valor 2 3 ? ˇ ¾La probabilidad de obtener un elemento rayado en-tre los elementos cuadrados? ı o ˇ ¾La probabilidad de obtener un cuadrado entre los elementos rayados ı. 3 a Determinar el valor del cociente : P ( A ∩ B ) P ( B ) b Completar la frase siguiente : ˇ La probabilidad de los elementos . . . . . . entre los ele-mentos . . . . . . tiene una probabilidad de 1 3 ı 5. Representación de un experimento aleatorio E.3628 Definición : Consideremos dos sucesos A y B con P ( A ) = 0 . La probabilidad del evento B sabiendo A , anotada P A ( B ) , tiene como valor: P A B = P A ∩ B P A Nota: la experiencia aleatoria puede traducirse entonces en el árbol de probabilidad : En un estudio estadístico, se considera una clase de 24 alum-nos en la que cada alumno está representado por una casilla en el siguiente gráfico: Se estudian dos características de los individuos de este estu-dio : G : ˇ el alumno es un niño ı ; D : ˇ el alumno es seminterno ı. El experimento aleatorio consiste en elegir al azar a un alumno de la clase y observar si se cumplen o no estos dos criterios: 1 Sin justificar, conteste a las siguientes preguntas : a ¾Cuál es la probabilidad de elegir un chico? b Sabiendo que se ha elegido a un chico, ¾cuál es la prob- https://chingmath.fr chapExoCorrec/5193 sacados/5193 AB chapExoCorrec/3728 sacados/3728 chapExoCorrec/3628 sacados/3628 P(ABP(A·PA(BPA(BBP(ABP(A·PA(BPA(BBP(AAP(ABP(A·PA(BPA(BBP(ABP(A·PA(BPA(BBP(AA Demi-pensionnaireGarçon ::::::D:::DG::::::D:::DG
abilidad de que sea mediopensionista? c Sabiendo que se ha elegido a una chica, ¾cuál es la probabilidad de que sea de media pensión? 2 Completa el árbol de probabilidad anterior. E.9450 En un estudio estadístico, considere una clase de clases de 24 alumnos en la que cada alumno está representado por una casilla en el gráfico siguiente : Se investigan dos rasgos en los individuos de este estudio : G : ˇ el alumno es un garçon ı ; D : ˇ el alumno es halfpensionnaire ı. El experimento aleatorio consiste en elegir un alumno al azar de la clase y observar si se cumplen o no estos dos criterios. Completa el árbol de probabilidades anterior. E.9451 Consideremos el universo Ω y se representan sus dos sucesos A y B : Se utiliza la ley de equiprobabilidad. Completa los dos árboles de probabilidad : E.9517 En un experimento aleatorio, con-sidere dos sucesos A y B que realizan la partición del universo que se muestra a continuación : Se muestran los datos estadísticos de cada uno de estos dos grupos. Puesto que el experimento consiste en extraer al azar un individuo del universo, completa los dos árboles de proba-bilidad asociados a este experimento aleatorio: 6. Utilizar la probabilidad condicional E.8291 Consideremos el siguiente árbol de probabilidad : 1 A partir de la lectura de este árbol, calcule las probabili-dades siguientes : a P A B b P A B 2 Determine las probabilidades siguientes : a P A ∩ B b P A ∩ B https://chingmath.fr chapExoCorrec/9450 sacados/9450 ClasseBDemi-pensionnaireGarçon ::::::G:::GD::::::G:::GD chapExoCorrec/9451 sacados/9451 AB BBABBA AABAAB chapExoCorrec/9517 sacados/9517 ABE∑ectifs:81ABE∑ectifs:54ABE∑ectifs:27ABE∑ectifs:18 BBABBA AABAAB chapExoCorrec/8291 sacados/8291 0;40;7B0;3BA0;60;2B0;8BA
E.130 Una empresa de juguetes se es-pecializa en la fabricación de muñecas que hablan y caminan. Cada muñeca puede presentar dos defectos y solo dos : un defecto mecánico y un defecto eléctrico. Un estudio estadístico muestra que : 8% muñecas presentan el defecto mecánico ; 5% muñecas presentan el defecto eléctrico; 2% muñecas presentan ambos defectos. La producción diaria es de 1000 muñecas. 1 Copie y complete la tabla siguiente, que describe la pro-ducción diaria: Muñecas con defecto mecánico Muñecas sin defecto mecánico Total Muñecas con defecto eléctrico Muñecas sin defecto eléctrico total 80 1 000 En el resto del ejercicio, cada resultado numérico se dará en forma decimal. 2 Se toma al azar una muñeca de la producción de un día. a Sea A el evento ˇ la muñeca tomada no tiene defectos ı. Calcular la probabilidad de A . b Sea B el evento ˇ la muñeca seleccionada tiene al menos un defecto ı. Demostrar que la probabilidad de B es 0,11. c Sea C el evento ˇ la muñeca seleccionada solo tiene un defecto ı. ¾Cuál es la probabilidad de C ? d ¾Cuál es la probabilidad de que la muñeca seleccionada presente el defecto mecánico sabiendo que presenta un defecto eléctrico? E.4255 Una urna contiene cinco bolas indistinguibles al tacto : dos verdes y tres rojas. Se extrae una bola dos veces seguidas según la regla siguiente : ˇsi la bola extraída es roja, la volvemos a meter en la urna ; si es verde, no la volvemos a meterı. Construye un árbol de probabilidad que ilustre esta situación. E.3727 La escena tiene lugar en lo alto de un acantilado junto al mar. Para encontrar una playa y darse un baño, los turistas solo pueden elegir entre dos playas, una al este y otra al oeste. Un turista se encuentra dos días consecutivos en lo alto del acantilado. El primer día, elige al azar una de las dos direc-ciones. El segundo día, se admite que la probabilidad de que elija una dirección opuesta a la del día anterior es 0 ; 8 . Para t =1 o t =2 , se anota E t el evento : ˇ El turista se dirige hacia el este el día t ı y O t el evento : ˇ El turista se dirige hacia el oeste el día t ı. 1 Elabora un árbol de probabilidades que describa la situación. 2 Determina las siguientes probabilidades : P ( E 1 ) ; P E 1 ( O 2 ) ; P ( E 1 ∩ E 2 ) . 3 Calcula la probabilidad de que este turista vaya a la misma playa dos días consecutivos. 7. Probabilidades condicionales y probabilidad del suceso contrario E.2094 Proposición: sea A un suceso y A su suceso opuesto. We have : P A =1 −P A Corolario : sean A y B dos sucesos. On a: P A B = 1 − P A B Considera el siguiente árbol de probabilidad incompleto : Entonces P ( A ∩ B ) la probabilidad del suceso A ∩ B es igual a: a 21 20 b 1 5 c 20 21 d 1 12 E.2093 En esta MCQ, copie en el ejemplar cada uno de los tres enunciados propuestos, completándolo con la respuesta elegida. Sólo una opción es correcta. No se requiere justifi-cación. Una respuesta correcta vale un punto, una respuesta incor-recta resta un cuarto de punto, ninguna respuesta se puntúa con 0. Si el total de puntos obtenidos en este ejercicio es negativo o cero, el ejercicio se puntúa con cero. . El siguiente árbol representa los datos de un ejercicio de prob-abilidad. La probabilidad de un suceso H se denota P ( H ) . Sabemos que : P ( E ) = 0 ; 3 ; P E ( A ) = 0 ; 1 ; P E ∩ A = 0 ; 14 1 La probabilidad de E ∩ A es igual a: a 0 ; 4 b 0 ; 03 c 0 ; 33 d 0 ; 1 2 La probabilidad de A conocer E es igual a: https://chingmath.fr chapExoCorrec/130 sacados/130 ?? - 2004 - 7 points - au choix chapExoCorrec/4255 sacados/4255 chapExoCorrec/3727 sacados/3727 Extrait France Septembre 2006 chapExoCorrec/2094 sacados/2094 B15BA3413B23BA chapExoCorrec/2093 sacados/2093 AAEAAE
a 0 ; 7 b 0 ; 14 c 0 ; 2 d 1 ; 1 E.4405 Considere el siguiente árbol de prob-abilidad incompleto : Justificando tus respuestas, determina las siguientes probabil-idades : a P A b P A B c P A ∩ B d P A B e P A B f P A ∩ B E.10232 Todos los días laborables, Paul tiene que ir a la estación a coger el tren para ir al tra-bajo. Para ello, coge la bicicleta dos de cada tres veces y, si no coge la bicicleta, coge el coche. Cuando va en bici a la estación, sólo pierde el tren una vez en 50 , mientras que cuando va en coche pierde el tren una vez en 10 . Consideremos un día cualquiera en el que Pablo estará en la estación para coger el tren al trabajo. Observamos : V el suceso ˇ Pablo lleva su bicicleta a gare ı ; R el evento ˇ Pablo pierde su train ı. 1 Construye el árbol de probabilidad de este experimento aleatorio. 2 Sin justificación, da las siguientes probabilidades como fracciones irreducibles : a P V R b P V R c P V ∩ R E.10329 Consideremos un experimento aleato-rio y los dos sucesos A y B tales que : P A = 0 ; 6 ; P A B = 0.2 ; P A B = 0 ; 3 Justificando cada uno de tus resultados, determina las sigu-ientes probabilidades : a P A B b P B c P B A E.10573 En un espacio probabilizado Ω ; P , con-sidere los eventos A y B logrando : P A = 0 ; 6 ; P A B = 0 ; 2 ; P A ∩ B = 0 ; 28 Omitiendo los pasos de tu razonamiento, copia y completa el siguiente árbol de probabilidad : 8. Fórmula de la probabilidad total E.4260 Definición : soit A 1 , A 2 , . . . , A n des eventos. Se dice que estos sucesos forman una partición de Ω si tenemos las dos propiedades siguientes : Para cualquier i;j ∈ 1 ; 2 ; : : : ; n et i = j , A i ∩ A j = ∅ (se dice que son disjuntos dos a dos) A 1 ∪ A 2 ∪ : : : ∪ A n = Ω . Proposición: Fórmula de probabilidad total Sea A 1 ; A 2 ; : : : ; A n une partición de Ω . Para cualquier evento B , tenemos : P = P A 1 ∩ B + P A 2 ∩ B + · · · + P A n ∩ B Corolario : Para cualquier evento A y B , se tiene : P B = P A ∩ B + P A ∩ B Consideremos el siguiente árbol de probabilidad : 1 Determine las probabilidades siguientes : a P A ∩ B b P A ∩ B 2 Deduzca la probabilidad del evento B . E.2339 En un espacio probabilístico, con-sideramos los dos eventos A y B que cumplen las siguientes condiciones : P ( A ) = 0 ; 64 ; P A ( B ) = 0 ; 3 ; P A ( B ) = 0 ; 5 1 Construya un árbol de probabilidad que represente esta situación. 2 a Determinar las probabilidades de los siguientes suce-sos : P ( A ∩ B ) ; P ( A ∩ B ) b Utilizando la fórmula de la probabilidad total, deter-minar la probabilidad del suceso B . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4405 sacados/4405 :::::::::B0;2PAB0;08BA0;6:::PAB0;24B::::::BA chapExoCorrec/10232 sacados/10232 chapExoCorrec/10329 sacados/10329 0;60;2BBAB0;3BA sacados/10573 ::::::B:::BA::::::B:::BA chapExoCorrec/4260 sacados/4260 0;30;6B0;4BA0;70;5B0;5BA chapExoCorrec/2339 sacados/2339
E.137 En todo el ejercicio, los resul-tados se redondearán a 10 − 4 . Los resultados de una encuestaêsobre los vehículos que circu-lan en Francia muestran que: 88 % de los vehículos controlados tienen los frenos en buen estado ; entre los vehículos controlados que tienen los frenos en buen estado, 92 % tienen la iluminación en buen estado ; entre los vehículos controlados que tienen los frenos de-fectuosos, 80 % tienen la iluminación en buen estado. Se elige al azar uno de los vehículos incluidos en la encues-taê.Las opciones tienen la misma probabilidad. Se anota F el evento ˇ el vehículo controlado tiene los frenos en buen estado ı. Anotamos E el evento ˇ el vehículo controlado tiene las luces en buen estado ı. E y F designan los eventos contrarios a E y F . 1 Describa esta situación mediante un árbol. 2 a Determine la probabilidad P ( F ) del evento F . b ¾Cuál es la probabilidad P F ( E ) , probabilidad de que la iluminación no esté en buen estado, sabiendo que los frenos no están en buen estado? c Demuestre que la probabilidad P ( E ∩ F ) del evento E ∩ F es igual a 0,8096. d ¾Cuál es la probabilidad de que el vehículo tenga el alumbrado en buen estado? e Cualquier conductor de un vehículo afectado por la en-quête que tenga los frenos o el alumbrado defectuosos, debe hacer reparar su vehículo. Calcule la probabili-dad de que un conductor tenga que hacer reparar sus frenos o su alumbrado. E.138 En la granja ˇ La granja de la gallina ponedora ı, Cada día se producen huevos de dos tamaños diferentes : 60% huevos medianos y 40% huevos grandes. Los huevos se clasifican en dos categorías: los de calidad nor-mal y los de calidad superior. Se ha observado que : 50 % los huevos medianos son de calidad normal, 20% de los huevos grandes son de calidad normal Se elige un huevo al azar. La elección aleatoria de un huevo de la producción del día significa que nos situamos en un modelo con equiprobabilidad. Se definen los siguientes eventos : M : ˇ el huevo es mediano ı G : ˇ el huevo es grande ı O : ˇ el huevo es de calidad normal ı S : ˇ El huevo es de calidad superior ı 1 Indique las siguientes probabilidades : P ( G ) : probabilidad de que el huevo sea grande, P G ( S ) : probabilidad de que el huevo sea de calidad superior sabiendo que es grande. 2 Demuestre que la probabilidad de coger un huevo grande y de calidad superior es igual a 0,32. 3 Calcule la probabilidad P ( M ∩ S ) de que el huevo sea me-diano y de calidad superior, y luego la probabilidad P ( S ) del evento S . E.134 Una cadena de producción fab-rica maquinillas de afeitar desechables en grandes cantidades. Al final de la línea, cada maquinilla de afeitar es sometida a una prueba de control por una máquina automática. La máquina rechaza las maquinillas defectuosas. A veces, sin embargo, la prueba no detecta ningún defecto y se deja pasar la maquinilla o, por el contrario, se rechaza una maquinilla sin defecto. En efecto, un estudio estadístico realizado sobre un número muy elevado de maquinillas de afeitar ha demostrado que : cuando la maquinilla está correctamente fabricada, la prueba lo confirma y acepta el artículo en 998 casos de cada 1000. si la maquinilla tiene un defecto de fabricación, la prueba lo detecta y rechaza la maquinilla en 985 de cada 1000 casos. de 1000 afeitadoras fabricadas, 980 no tienen ningún de-fecto. Se elige una maquinilla de afeitar al azar. En lo que sigue observamos : D : el suceso ˇ la maquinilla de afeitar no tiene ningún defecto fabrication ı, D : el suceso contrario de D , A : el suceso ˇ la prueba acepta rasoir ı A : el suceso contrario de A . 1 Describe cada uno de los siguientes acontecimientos en una frase : D ∩ A ; D ∩ A ; D ∩ A , D ∩ A 2 Utilizando el enunciado, dar las siguientes probabili-dades : P D ( A ) (probabilidad de que A sepa que D se ha cumplido) P overlineD A 3 a Copie y complete el siguiente árbol de probabilidad con los resultados correctos b ¾Cuál es la probabilidad de que una navaja sea acep-tada tras la prueba de control? Dar el redondeo a una precisión de 10 − 4 . E.8558 Consideremos un experimento aleatorio y dos de sus sucesos A y B que dan lugar al árbol de probabilidad siguiente : Establecer que : P B = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/137 sacados/137 chapExoCorrec/138 sacados/138 chapExoCorrec/134 sacados/134 AADAAD chapExoCorrec/8558 sacados/8558 5835B25BA3813B23BA
9. Reversión de la condición E.5555 Consideremos un experimento aleatorio y dos de sus eventos A y B . Tenemos la siguiente información sobre estos dos eventos : P ( A ) = 0 ; 55 ; P A ( B ) = 0 ; 95 ; P A ( B ) = 0 ; 1 1 Utilizando la información del enunciado, complete el ár-bol de probabilidad siguiente : 2 Calcule P A ∩ B la probabilidad del evento A ∩ B . 3 Demuestre que : P ( B )=0 ; 5675 4 Calcule P B ( A ) , la probabilidad del evento A sabiendo que el evento B se ha producido. Dé un valor redondeado a 10 − 4 . E.4160 A y B son dos sucesos rela-cionados con el mismo suceso que se verifican : P ( A ) = 0 ; 4 ; P A ( B ) = 0 ; 7 ; P A ( B ) = 0 ; 1 Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justifi-cando su respuesta. Afirmación : La probabilidad del suceso A , sabiendo que ha ocurrido el suceso B , es 14 41 . E.6090 En un espacio de probabilidad, considere dos sucesos A y B cuyas probabilidades siguientes son conocidas : P A = 1 4 ; P A B = 1 3 ; P A B = 1 2 1 Traduce esta situación a un árbol de probabilidad. 2 Determina la probabilidad del suceso A ∩ B . 3 Demuestre que la probabilidad del suceso B es 11 24 . 4 ¾Cuál es la probabilidad del suceso B sabiendo que ha ocurrido el suceso A ? E.6760 Un horticultor se especializa en la producción de fresas. El horticultor produce sus fresas en dos invernaderos denom-inados A y B : 55 % flores de fresa se encuentran en el inver-nadero A y 45 % en el invernadero B . En el invernadero A , la probabilidad de que cada flor dé un fruto es igual a 0 ; 88 ; en el invernadero B , es igual a 0 ; 84 . Para cada una de las siguientes proposiciones, indique si es verdadera o falsa y justifique su respuesta. No se tendrán en cuenta las respuestas sin justificar. Propuesta 1: La probabilidad de que una flor de fresa, elegida al azar en esta explotación, dé fruto es igual a 0 ; 862 . Propuesta 2: Se observa que una flor, elegida al azar en esta explotación, da fruto. La probabilidad de que se encuentre en el invernadero A , redondeada al milésimo, es igual a 0 ; 439 . E.123 En un país europeo, 12 % ove-jas están afectadas por una enfermedad. Acaba de salir al mercado una prueba para detectar esta en-fermedad, pero no es totalmente fiable. Un estudio ha demostrado que cuando la oveja está enferma, la prueba da positivo en 93 % de los casos ; cuando la oveja está sana, la prueba da negativo en 97 % de los casos. Se elige una oveja al azar y se le realiza la prueba de detección de la enfermedad. Se anota M el evento ˇ la oveja está enferma ı. Se anota Po el evento ˇ la prueba es positiva ı. 1 Copie y complete el siguiente árbol de probabilidad : 2 Calcule las probabilidades de los siguientes eventos A , B , C : A : ˇLa oveja está enferma y la prueba es positivaı B : ˇLa oveja está sana y la prueba es positivaı C : ˇLa oveja está enferma y la prueba es negativaı. 3 Deduzca que la probabilidad del evento Po es igual a 0 ; 138 . ¾Cuál es la probabilidad de que la prueba sea negativa? 4 En esta pregunta, los resultados se redondearán al milésimo. a Sabiendo que una oveja ha dado positivo en la prueba, ¾cuál es la probabilidad de que no esté enferma? b Sabiendo que una oveja ha dado negativo en la prueba, ¾cuál es la probabilidad de que esté enferma? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5555 sacados/5555 BBABBA chapExoCorrec/4160 sacados/4160 chapExoCorrec/6090 sacados/6090 chapExoCorrec/6760 sacados/6760 Extrait Asie Juin 2016 chapExoCorrec/123 sacados/123 ::::::Po::::::Po:::M::::::Po::::::Po:::M
E.139 Recordatorios : observamos : P ( A ) la probabilidad de un suceso A , ˇ A ∩ B ı la intersección de dos sucesos A y B . P B ( A ) la probabilidad de que ocurra un suceso A , sabi-endo que ya ha ocurrido un suceso B (de probabilidad no nulle) . Tenemos : P B ( A ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) . Hay dos urnas numeradas 1 y 2. La urna 1 contiene una bola blanca y otra negra. La urna 2 contiene dos bolas negras y una blanca. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: se extrae una bola al azar de la urna 1 y se deposita en la urna 2, luego se extrae una bola al azar de la urna 2. Se supone que todas las extracciones son equiprobables. Observamos : N 1 el suceso : ˇ La bola extraída de la urna 1 es negra ı ; B 1 el suceso : ˇ La bola extraída de la urna 1 es blanche ı ; N 2 el suceso : ˇ La bola extraída de la urna 2 es negra ı ; B 2 el suceso : ˇ La bola extraída de la urna 2 es blanca ı 1 Dar los valores de P ( B 1 ) y P ( N 1 ) . 2 Demuestre que : P B 1 ( B 2 )= 1 2 . De la mê Dame los valores de : P B 1 ( N 2 ) ; P N 1 ( B 2 ) ; P N 1 ( N 2 ) . 3 Completa el árbol de probabilidad : 4 Calcula P ( B 1 ∩ B 2 ) . 5 Demuestra que P ( B 2 )= 3 8 y luego calcula P ( N 2 ) . 6 Dado que se acaba de sacar una bola blanca de la urna 2, ¾cuál es la probabilidad de que previamente se haya sacado una bola blanca de la urna 1? . E.4145 Un internauta quiere hacer una compra por Internet. Cuatro sitios de venta, uno francés, uno alemán, uno canadiense y uno indio, le presentan el ma-terial que desea adquirir. El experimento ha demostrado que la probabilidad de que utilice cada uno de estos sitios verifica las siguientes condiciones (las iniciales de los países designan los sucesos ‘ la compra se realiza en el pays ı) : P ( F ) = P ( A ) ; P ( F ) = 1 2 ·P ( C ) ; P ( C ) = P ( I ) 1 Calculer las cuatro probabilidades P ( F ) , P ( A ) , P ( C ) y P ( I ) . 2 En cada uno de los cuatro sitios, los internautas pueden comprar un suplemento para su equipo. Sus experi-mentos anteriores le llevan a formular las probabilidades condicionales de este suceso del siguiente modo : S : P F ( S ) = 0 ; 2 ; P A ( S ) = 0 ; 5 ; P C ( S ) = 0 ; 1 ; P I ( S ) = 0 ; 4 a Déterminer : P ( S ∩ A ) . b Muestre que : P ( S )= 17 60 . c El internauta compró finalmente un suplemento. De-termina la probabilidad de que lo comprara en el sitio canadiense. E.4170 En mi calle, llueve una tarde de cada cuatro. Si llueve, saco a mi perro con una probabilidad igual a 1 10 ; si no llueve, saco a mi perro con una probabilidad igual a 9 10 . Sabiendo que he sacado a mi perro, ¾cuál es la probabilidad de que llueva? https://chingmath.fr chapExoCorrec/139 sacados/139 B2N2B1B2N2N1 chapExoCorrec/4145 sacados/4145 chapExoCorrec/4170 sacados/4170 Extrait de Liban Juin 2009
E.7166 Un maratón es una prueba de-portiva de carrera a pie. En este ejercicio, todos los resultados se redondearán a 10 − 3 . Un estudio sobre el maratón de Tartonville muestra que : 34 % de los corredores terminan la carrera en menos de 234 minutos ; entre los corredores que terminan la carrera en menos de 234 minutos, 5 % tienen más de 60 años ; entre los corredores que terminan la carrera en más de 234 minutos, 84 % tienen menos de 60 años. Se selecciona al azar a un corredor y se consideran los sigu-ientes eventos : A : ˇ el corredor ha terminado la maratón en menos de 234 minutos ı ; B : ˇ el corredor tiene menos de 60 años ı. Recordemos que si E y F son dos eventos, la probabilidad del evento E se denota P E y la de E sabiendo que F se denota P F E . Además, E designa el evento contrario a E . 1 Copie y complete el árbol de probabilidad siguiente aso-ciado a la situación del ejercicio: 2 a Calcule la probabilidad de que la persona elegida haya terminado la maratón en menos de 234 minutos y tenga âmás de 60 años. b Compruebe que : P B ≈ 0 ; 123 c Calcule P B A e interprete el resultado en el contexto del ejercicio. E.10342 La documentalista de un insti-tuto desea comprar las novelas de la saga Harry Potter. Investiga para saber si el tema interesa a los alumnos : 10 % de los alumnos han leído el 7 e tomo ; 90 % de los alumnos que han leído el 7 e tomo han visto la 7 e película; 55 % de los alumnos que no han leído el 7 e tomo han visto la 7 e película. 1 Representar la situación con la ayuda de un árbol de probabilidades ponderado. 2 Si elegimos a un alumno al azar, ¾cuál es la probabilidad de que’solo haya leído el 7 e tomo? 3 ¾Cuál es la probabilidad de que’un alumno elegido al azar haya visto la 7 e película? 4 L’alumno ha visto la película 7 e , ¾cuál es la probabilidad de que’haya leído el tomo 7 e ? (el valor se redondeará al milésimo más cercano) 10. Construcción del árbol con inversión de la condición E.9448 Consideremos los dos sucesos A y B que cumplen las siguientes condiciones : P A ∩ B = 0 ; 05 ; P A ∩ B = 0 ; 15 P A ∩ B = 0 ; 35 ; P A ∩ B = 0 ; 45 Completa los dos árboles de probabilidad siguientes : E.3601 En un espacio probabilístico, con-sideramos dos sucesos A y B . A continuación se muestra un árbol de probabilidad realizado con es-tos dos sucesos : 1 Completa el árbol de prob-abilidad que representa este experimento aleatorio. 2 Justifique cada uno de los siguientes valores (redondeados al milésimo) : a P ( A ∩ B ) = 0 ; 378 b P ( A ∩ B ) = 0 ; 092 c P ( B ) = 0 ; 47 d P B ( A ) ≈ 0 ; 804 3 Determine las siguientes probabilidades : a P ( A ∩ B ) d P ( B ) f P B ( A ) 4 Construya el árbol de prob-abilidad adjunto completán-dolo con los valores de las probabilidades redondeados al milésimo: https://chingmath.fr chapExoCorrec/7166 sacados/7166 0;34...B...BA......B...BA chapExoCorrec/10342 sacados/10342 From Maud Sauver chapExoCorrec/9448 sacados/9448 BBABBA AABAAB chapExoCorrec/3601 sacados/3601 0;540;7B...BA......B0,8BA ::::::A...AB......A:::AB
E.5832 En un espacio probabilístico, consid-eramos dos eventos A y B . Se conocen las siguientes proba-bilidades : P ( A ) = 0 ; 3 ; P A ( B ) = 0 ; 8 ; P A ( B ) = 0 ; 6 Complete los dos árboles de probabilidad anteriores, redonde-ando los valores a dos decimales si es necesario. 11. Árboles no simétricos E.9446 Una empresa encarga a una empresa de sondeos telefónicos una encuesta sobre la calidad de sus productos. Cada encuestador tiene una lista de per-sonas a las que contactar. En la primera llamada telefónica, la probabilidad de que la persona contactada esté ausente es 0 ; 4 . Sabiendo que la persona está presente, la probabilidad de que acepte responder al cuestionario es 0 ; 2 . Cuando una persona no está presente en la primera lla-mada, se le vuelve a llamar una segunda vez, a una hora diferente, y entonces la probabilidad de que no esté pre-sente es 0 ; 3 . Y, sabiendo que está presente en la segunda llamada, la probabilidad de que acepte responder al cues-tionario es de nuevo 0 ; 2 . Si una persona está ausente en la segunda llamada, no se vuelve a intentar contactar con ella. Para i ∈ 1 ; 2 , se anota : A i el evento ˇ la persona está ausente en la i ième llamada ı ; R i el evento ˇ la persona acepta responder al cuestionario en la i ième llamada ı ; 1 Completar el árbol de probabilidad : 2 Mostrar que la probabilidad de que se produzca el evento ˇ la persona ha respondido al cuestionario ı es 0 ; 176 . E.4264 En este ejercicio, todos los resultados se darán como frac-ciones irreducibles. Hay un dado cúbico A perfectamente equilibrado con una cara verde, dos negras y tres rojas y un segundo dado cúbico B equilibrado con cuatro caras verdes y dos negras. El juego procede como sigue : se lanza el dado B : si la cara obtenida es verde, se vuelve a tirar el dado B y se anota el color de la cara obtenida ; si la cara obtenida es negra, tiramos el dado A y anota-mos el color de la cara obtenida. 1 a Completa el siguiente árbol de probabilidad : b ¾Cuál es la probabilidad de obtener una cara verde en el segundo lanzamiento, sabiendo que obtuvo una cara verde en el primer lanzamiento? 2 Demuestra que la probabilidad de obtener dos caras verdes es igual a 4 9 . 3 ¾Cuál es la probabilidad de obtener una cara verde en el segundo lanzamiento? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5832 sacados/5832 BBABBA AABAAB chapExoCorrec/9446 sacados/9446 A2R2R2A2A1R1R1A1 chapExoCorrec/4264 sacados/4264 V2N2V1V2N2R2N1
E.10577 En esta maternidad, entre los par-tos gemelares, se estima que’hay 30 % gemelos monocigóticos (denominados ˇgemelos verdaderosı, que son necesariamente del mismo sexo: dos niños o dos niñas) y, por lo tanto, 70 % de gemelos dicigóticos (denominados ˇgemelos falsosı, que pueden ser de distinto sexo: dos niños, dos niñas o un niño y una niña) . En el caso de los partos gemelares, se admite que, al igual que en los partos normales, la probabilidad de ’êser niña al nacer es igual a 0 ; 49 y la de ’êser niño al nacer es igual a 0 ; 51 . En el caso de’un parto doble de gemelos dicigóticos, también se admite que el sexo del segundo recién nacido de los geme-los es independiente del sexo del primer recién nacido. Se elige al azar un parto doble realizado en esta maternidad y se consideran los siguientes eventos : M : ˇ los gemelos son monocigóticos ı ; F 1 : ˇ el primer recién nacido es una niña ı ; F 2 : ˇ el segundo recién nacido es una niña ı. Se anotará P ( A ) la probabilidad del ’evento A y A el’evento con- trario de A . 1 Copie y complete el árbol de ponderación anterior 2 Demuestre que la probabilidad de que los dos recién naci-dos sean niñas es de 0 ; 315 07 . 3 Los dos recién nacidos son gemelas. Calcule la probabil-idad de que sean monocigóticas. 12. Con un poco de álgebra E.9535 Una empresa chocolatera tiene dos líneas de producción. En la línea C 1 , 2 % de las tabletas de chocolate tienen un defecto en su embalaje mientras que en la línea C 2 , 5 % de las barritas de chocolate tienen un de-fecto en su envase. Al final del día, el controlador extrae al azar una tableta de chocolate de las existencias producidas durante el día. Los eventos son : A : ˇ la barra de chocolate se produjo en la línea 1 ı E : ˇ la tableta de chocolate tiene un defecto emballage ı y anotamos x la probabilidad de sacar una oblea de chocolate de la cadena C 1 . 1 Copia y completa el siguiente árbol de probabilidad. 2 Sabiendo que el controlador tiene una probabilidad de 0 ; 97 de extraer una oblea de chocolate sin defectos de embalaje, determine la probabilidad del suceso A . E.9449 Un feriante quiere crear un juego en el que los participantes tengan 5 % posibilidades de ganar. Para ello, dispone de una urna que contiene 40 bolas, de las cuales n son azules (, donde n es un número entero) . El participante gana si saca una bola azul. Si en el primer intento la bola sacada no es azul, no vuelve a meterla en la urna y saca una segunda bola. Denotemos por B el evento ˇ la bola sacada es azul ı. 1 Completar el árbol de probabilidad : 2 Se denota G el evento ˇ el participante ha ganado ı. a Demostrar que : P G = 79 · n − n 2 1560 b Determinar el número n de bolas azules que contiene la urna. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10577 sacados/10577 Annales 2023 F2F2F2F2F2F2F1F1F1F1MM chapExoCorrec/9535 sacados/9535 EEAEEA chapExoCorrec/9449 sacados/9449 B1B2B2B1
E.6741 En un experimento aleatorio, consideremos dos sucesos A y B que nos permiten construir el árbol de probabilidad siguiente y tal que existe un número real x que verifica: P A = x ; P A B = 2 x ; P A B = 3 x 1 En esta pregunta, suponga que P B = 29 100 . Determine el valor de x . 2 En esta pregunta, suponga P B A = 1 5 . Determine el valor de x . E.10233 Una urna contiene bolas azules y rojas. El experimento aleatorio asociado consiste en : se extrae una primera bola de la urna y se aparta luego se extrae una segunda bola de la urna. Observamos : B 1 : la primera bola extraída es azul ; B 2 : la segunda bola extraída es azul. Sabemos que : al principio, la urna contiene 21 bolas azules ; la probabilidad, de que la primera bola sea azul sabiendo que la segunda bola es azul, tiene el valor 5 6 . Determina el número de bolas que contiene inicialmente la urna. E.9516 En un espacio probabilístico, consideramos dos sucesos A y B cuyo árbol de probabili-dad, que se muestra a continuación, tiene probabilidades que dependen de un parámetro x real perteneciente al intervalo 0 ; 0 ; 3 : Determinar el valor del parámetro x para que : P B =0 ; 1 . 13. Avanzado: una serie de pruebas E.8322 Consideramos un experimento aleatorio y tres sucesos de este tipo A , B y C que nos per-miten construir el siguiente árbol de probabilidad : 1 Anotando los valores en el árbol de probabilidad, dar las probabilidades : a P A B b P A ∩ B C c P A ∩ B C 2 Determinar las probabilidades : a P A ∩ B b P A ∩ B ∩ C c P A ∩ B ∩ C E.7249 Consideramos una población para la que estudiamos tres criterios: la edad, si son o no propietarios de su vivienda y si tienen o no coche. Para organizar esta población, consideramos las tres clases de individuos siguientes : A : ˇ el individuo tiene 50 años o plus ı P : ˇ el individuo es propietario de su logement ı. V : ˇ el individuo posee un voiture ı. Esta es la tabla de cifras obtenidas del estudio : Considere el experimento aleatorio que implica la selección aleatoria de un individuo de la población de estudio. Te-niendo en cuenta los sucesos asociados a las clases del estudio estadístico, complete el árbol de probabilidades siguiente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6741 sacados/6741 x2xB1−2xBA1−x3xB1−3xBA chapExoCorrec/10233 sacados/10233 chapExoCorrec/9516 sacados/9516 0;xxB1−xBA0;3−x0;3−xB0;xBA chapExoCorrec/8322 sacados/8322 0;30;10;5C0;5CB0;90;6C0;4CBA0;70;80;24C0;76CB0;20;53C0;47CBA chapExoCorrec/7249 sacados/7249 AA491332122686934250611058VVVVPP :::::::::V:::VP::::::V:::VPA:::::::::V:::VP::::::V:::VPA
14. Más a fondo: con secuelas E.6066 Un jugador inicia un video-juego y juega varias partidas sucesivas. Se supone que : la probabilidad de que gane la primera partida es 0 ; 1 ; si gana una partida, la probabilidad de que gane la sigu-iente es 0 ; 8 ; si pierde una partida, la probabilidad de ganar la sigu-iente es igual a 0 ; 6 . Observamos, para cualquier número natural distinto de cero n : G n el evento ˇ el jugador gana el n -th partie ı ; p n la probabilidad del suceso G n . Por tanto, tenemos : p 1 =0 ; 1 Utilizando la fórmula de la probabilidad total, demuestre que para cualquier número natural distinto de cero n : p n +1 = 1 5 · p n + 3 5 . E.6742 En un espacio probabilizado Ω ; P . Consideramos una secuencia de sucesos A n que verifica las siguientes relaciones : P A 0 ) = 0 ; 4 ; P A n A n +1 = 0 ; 6 P A n A n +1 = 0 ; 4 para cualquier n ∈ N Observamos : p n = P A n . 1 Completar el árbol de probabilidad opuesto. 2 a Establece que : p n +1 = 0 ; 2 · p n + 0 ; 4 b On define la sucesión q n mediante : q n = p n − 0 ; 5 ∀ n ∈ N Establece que la sucesión q n es una sucesión ge-ométrica de razón 0 ; 2 . c Determinar la expresión de la sucesión p n en fun-ción de n . 2 Determinar el límite: lim n ↦→ + ∞ P A n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6066 sacados/6066 chapExoCorrec/6742 sacados/6742 AnAnAnAnAnAn