Bachillerato 1 / Probabilidad y sucesos independientes 23 ejercicios (100% corregidos)

a
AB CD 0112101102011112 BBABBA 0;20;41B0;59BA0;80;41B0;59BA CBA 1. Definición E.10582 Considera el experimento aleato-rio de universo Ω que se muestra a continuación y al que se le aplica la ley de equiprobabilidad : 1 Considere los dos sucesos A y B representados a contin-uación : Determina las siguientes probabilidades : a P A B b P B 2 Considera los dos sucesos C y D que se muestran a con-tinuación : Determina las siguientes probabilidades : a P C D b P D Definición : sean A y B dos sucesos. Se dice que los suce-sos A y B son independientes P A B = P B . 3 Son los pares ( A ; B ) y ( C ; D ) pares de sucesos indepen-dientes. E.5834 Un juego consiste en hacer girar una vez la rueda opuesta y ano-tar el color del cuadrado obtenido, luego girar la rueda una segunda vez y anotar el número obtenido. Los dos lanzamientos de la rueda son evidentemente independientes el uno del otro. Consideremos los dos sucesos : A : ˇ la casilla obtenida es gris cuando el primer tirage ı ; B : ˇ la casilla obtenida se numera 0 en el segundo tirage ı. 1 a Determine las probabilidades : P B ; P A B b ¾Son independientes los sucesos A y B ? 2 Completa el árbol de probabilidad : E.3733 En una clase de 30 alumnos se han creado un club de dibujo y un club de teatro. El club de dibujo está compuesto por 10 miembros y el club de teatro por 6. Hay dos alumnos que son miembros de ambos clubes. Se pregunta a un alumno de la clase elegido al azar. Se denomina : D al evento : ˇ El alumno forma parte del club de dibujo ı ; T al evento : ˇ El alumno forma parte del club de teatro ı. Demostrar que los eventos D y T son independientes. E.8321 En un experimento aleatorio, con-sidera dos sucesos A y B permitiendo construir el árbol de probabilidad : 1 Determinar la probabilidad del suceso B . 2 Establecer que los sucesos A y B son independientes. E.10583 Consideremos el experimento aleatorio del universo Ω representado a continuación y dotado de la ley de equiprobabilidad : También se representan los eventos A , B y C . De los dos pares de sucesos ( A ; B ) y ( A ; C ) , ¾cuál (s) es un par de sucesos independientes? 2. Propiedades https://chingmath.fr chapExoCorrec/10582 sacados/10582 AB CD chapExoCorrec/5834 sacados/5834 0112101102011112 BBABBA chapExoCorrec/3733 sacados/3733 Extrait France Juin 2000 chapExoCorrec/8321 sacados/8321 0;20;41B0;59BA0;80;41B0;59BA chapExoCorrec/10583 sacados/10583 CBA
NombredebulbesdetulipejauneNombredebulbesdetuliperougeNombredebulbesdetulipenoireTotalNombredebulbesdetulipequiπeurirontNombredebulbesdetulipequineπeurirontpasTotal1000 E.10584 Definición : Sean A y B dos sucesos. Los sucesos A y B son independientes si, y solo si,: P A ∩ B = P A ×P B . En un espacio probabilístico Ω ; P , consideramos los dos sucesos A y B tales que : P A = 0 ; 2 ; P B = 0 ; 25 ; P A ∪ B = 0 ; 4 1 Determinar la probabilidad P A ∩ B . 2 Justificar que los sucesos A y B son independientes. E.136 Un jardinero tiene a su disposi-ción una bolsa llena de 1000 bulbos de tulipán. De ellos: 60 % son bulbos de tulipán amarillo; 25 % son bulbos de tulipán rojo ; el resto son bulbos de tulipán negro. Además : 28 % de todos estos bulbos no florecerán ; 80 % de los bulbos de tulipán amarillo florecerán ; 60 los bulbos de tulipán negro no florecerán. Parte A Copia y completa la siguiente tabla : Parte B El jardinero saca un bulbo al azar de su bolsa. Nota: F el suceso : ˇ El bulbo florecerá ı ; J : ˇ El bulbo es el de un tulipán jaune ı ; R : ˇ El bulbo es el de un tulipán rouge ı ; N : ˇ El bulbo es el de un tulipán negro ı. 1 Determine las probabilidades de los siguientes sucesos : J ∩ F , J , F , J ∪ F . 2 ¾Son independientes los sucesos J y F ? Justifica la re-spuesta. E.3734 Se dispone de un dado cúbico cuyas caras están numeradas del 1 al 6 . Denotamos por p k la probabilidad de obtener, al lanzarlo, la cara numerada k ( k es un número entero y 1 k 6 ) . Este dado ha sido amañado de tal manera que : las seis caras no son equiprobables ; los números p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 , en ese orden, son seis términos consecutivos de una sucesión aritmética de razón r ; los números p 1 , p 2 , p 4 , en ese orden, son tres términos consecutivos de una sucesión geométrica. 1 Demostrar que : p k = k 21 para todo entero k tal que 1 k 6 . 2 Se lanza este dado una vez y se consideran los siguientes eventos : A : ˇ el número obtenido es par ı ; B : ˇ el número obtenido es mayor o igual que 3 ı ; C : ˇ el número obtenido es 3 o 4 ı. a Calcular la probabilidad de cada uno de estos eventos. b Calcular la probabilidad de que el número obtenido sea mayor o igual que 3 sabiendo que es par. c ¾Son independientes los eventos A y B ? ¾Son indepen-dientes los eventos A y C ? E.10578 Durante la fabricación de un par de gafas, el par de lentes debe someterse a dos tratamientos denominados T 1 y T 2 . Se toma al azar un par de lentes de la producción. Se designa con A el evento : ˇ el par de lentes presenta un defecto para el tratamiento T 1 . Se designa con B el evento : ˇ el par de vasos presenta un defecto para el tratamiento T 2 ı. Se anotan respectivamente A y B los eventos contrarios a A y B . Un estudio ha demostrado que : la probabilidad de que un par de vasos presente un de-fecto para el tratamiento T 1 , indicada por P A , es igual a 0 ; 1 . la probabilidad de que un par de lentes presente un de-fecto para el tratamiento T 2 , anotado como P B , es igual a 0 ; 2 . La probabilidad de que un par de lentes no presente ninguno de los dos defectos es 0 ; 75 . 1 Copie y complete la siguiente tabla con las probabilidades correspondientes. A A Total B B Total 1 2 a Determine, justificando la respuesta, la probabilidad de que un par de vasos, seleccionados al azar de la pro-ducción, presente un defecto en al menos uno de los dos tratamientos T 1 o T 2 b Indique la probabilidad de que un par de vasos, selec-cionados al azar de la producción, presente dos defec-tos, uno para cada tratamiento T 1 y T 2 . c ¾Son independientes los eventos A y B ? Justifique la respuesta. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10584 sacados/10584 chapExoCorrec/136 sacados/136 NombredebulbesdetulipejauneNombredebulbesdetuliperougeNombredebulbesdetulipenoireTotalNombredebulbesdetulipequiπeurirontNombredebulbesdetulipequineπeurirontpasTotal1000 chapExoCorrec/3734 sacados/3734 Extrait de Polynesie Septembre 2000 chapExoCorrec/10578 sacados/10578
BBABBA 12Circuit en parallèleA12Circuit en sérieB D2D2D1D2D2D1 3. Árboles de probabilidad E.10585 Consideremos un espacio probabilís-tico (Ω ; P ) y dos sucesos independientes A y B . Tenemos la siguiente información : P A = 0 ; 6 ; P B = 0 ; 7 1 Completa el siguiente árbol de probabilidad : 2 Determina las siguientes probabilidades : P A ∩ B ; P A ∪ B E.6764 Un circuito electrónico está compuesto por dos componentes idénticos numerados 1 y 2 . Denotamos por D 1 el evento ˇ el componente 1 falla antes de un año ı y denotamos por D 2 el evento ˇ el componente 2 falla antes de un año ı. Supongamos que los dos eventos D 1 y D 2 son independientes y que : P D 1 = P D 2 =0 ; 39 Se contemplan dos montajes posibles, que se presentan a con-tinuación : 1 Complete el árbol de probabilidades siguiente : 2 a Cuando los dos componentes están montados ˇ en paralelo ı, el circuito A falla solo si los dos componentes fallan al mismo tiempo. Calcule la probabilidad de que el circuito A falle antes de un año. b Cuando los dos componentes están montados ˇ en se-rie ı, , el circuito B falla tan pronto como al menos uno de los dos componentes falla. Calcule la probabilidad de que el circuito B falle antes de un año. 4. Probabilidad de unión E.4174 Una fábrica produce bolsas. Cada bolsa fabricada puede presentar dos defectos : el defecto a y el defecto b . Una bolsa se considera defectuosa si presenta al menos uno de los dos defectos : Las probabilidades solicitadas se darán con sus valores deci-males exactos. Se toma una bolsa al azar de la producción de un día. Se denota por A el evento ˇ la bolsa presenta el defecto a ı y B el evento ˇ la bolsa presenta el defecto b ı. Las probabilidades de los eventos A y B son respectivamente : P ( A ) = 0 ; 02 ; P ( B ) = 0 ; 01 ; Se supone que estos dos eventos son independientes. 1 Calcular la probabilidad del evento : C : ˇ la bolsa seleccionada presenta el defecto a y el defecto b ı 2 Calcular la probabilidad del evento : D : ˇ la bolsa es defectuosa ı 3 Calcular la probabilidad del evento : E : ˇ la bolsa no presenta ningún defecto ı 4 Sabiendo que la bolsa presenta el defecto a , ¾cuál es la probabilidad de que también presente el defecto b ? E.3739 Una fábrica de relojería fab-rica una serie de relojes. Durante la fabricación pueden aparecer dos tipos de defectos, designados por a y b . 2 % de los relojes fabricados presentan el defecto a y 10 % el defecto b . Se extrae un reloj al azar de la producción. Se definen los siguientes eventos : A : ˇ El reloj seleccionado presenta el defecto a ı ; B : ˇ El reloj seleccionado presenta el defecto b ı ; C : ˇ El reloj seleccionado no presenta ninguno de los dos defectos ı ; D : ˇ El reloj seleccionado presenta uno y solo uno de los dos defectos ı. Se supone que los eventos A y B son independientes. 1 Demuestre que la probabilidad del evento C es igual a 0 ; 882 . 2 Calcule la probabilidad del evento D . 5. Manipulación algebraica https://chingmath.fr chapExoCorrec/10585 sacados/10585 BBABBA chapExoCorrec/6764 sacados/6764 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2015 12Circuit en parallèleA12Circuit en sérieB D2D2D1D2D2D1 chapExoCorrec/4174 sacados/4174 chapExoCorrec/3739 sacados/3739
V1V2V3 F1F1F2F3 5points0point3points0point E.4322 Sean A y B dos sucesos inde-pendientes en el mismo universo Ω tales que : P ( A ) = 0 ; 3 ; P ( A ∪ B ) = 0 ; 35 . Determina la probabilidad del suceso B . E.4169 Denotamos por A y B dos sucesos independientes en un universo con una distribución de probabilidad P . Sabemos que : P ( A ∪ B )= 4 5 ; P ( A )= 3 5 Determina la probabilidad del suceso B . E.5506 Consideremos un espacio probabilís-tico (Ω ; P ) . Sean A y B dos sucesos independientes. Demuestre que los sucesos A y B también son independientes. E.4150 Sean A , B y C tres sucesos en el mismo universo Ω proporcionados con probabilidad P . Sabemos que A y B son independientes ; P ( A ) = 2 5 ; P ( A ∪ B ) = 3 4 P ( C ) = 1 2 ; P ( A ∩ C ) = 1 10 Sin justificar, indique si cada una de las siguientes afirma-ciones es verdadera o falsa. Proposición 1: P ( B ) = 7 12 Proposición 2: P A ∪ C = 2 5 donde A ∪ C denota el suceso opuesto a A ∪ C . 6. Árbol no simétrico E.9447 Con tres válvulas idénticas V 1 , V 2 y V 3 , se fabrica el circuito hidráulico que se muestra al lado. El circuito funciona si V 1 funciona o si V 2 y V 3 funcionan simultáneamente. Se asimila a un experimento aleatorio el hecho de que cada válvula funcione o no después de 6 000 horas. Se anota : F 1 el evento : ˇ la válvula V 1 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. F 2 el evento : ˇ la válvula V 2 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. F 3 el evento : ˇ la válvula V 3 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. E del evento : ˇ el circuito está en funcionamiento después de 6 000 horas ı. Se admite que los eventos F 1 , F 2 y F 3 son independientes entre sí y tienen cada uno una probabilidad igual a 0 ; 3 . 1 El árbol probabilístico adjunto representa una parte de la situación. Reproduzca este árbol y coloque las probabilidades en las ramas. 2 Demuestre que : P ( E )=0 ; 363 . 3 Sabiendo que el circuito está en funcionamiento después de 6 000 horas, calcule la probabilidad de que la válvula V 1 esté en funcionamiento en ese momento. Redondee a milésimas. E.4256 Un juego consiste en lanzar dar-dos a una diana. La diana está dividida en cuatro sectores, como se muestra en la siguiente figura : Se supone que los lanzamientos son independientes y que el ju-gador da en el blanco en todos los lanzamientos. El jugador lanza un dardo. Se anota : p 0 la probabilidad de obtener 0 punto ; p 3 la probabilidad de obtener 3 puntos ; p 5 la probabilidad de obtener 5 puntos. Tenemos las siguientes probabilidades : p 0 = 1 2 ; p 3 = 1 3 ; p 5 = 1 6 Una parte de este juego consiste en lanzar un máximo de tres dardos. El jugador gana la partida si obtiene un total (para los tres lanzamientos) superior o igual a 8 puntos. Si después de 2 lanzamientos, tiene un total superior o igual a 8 puntos, no lanza el tercer dardo. Anotamos los eventos : G 2 : ˇ el jugador gana la partida en 2 lanzamientos ı ; G 3 : ˇ el jugador gana la partida en 3 lanzamientos ı ; P : ˇ el jugador pierde la partida ı. Se denota P ( A ) la probabilidad de un evento A . 1 Demuestre, utilizando un árbol ponderado, que : P ( G 2 ) = 5 36 Admitiremos en lo sucesivo que : P ( G 3 ) = 7 36 2 Deduzca P ( P ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4322 sacados/4322 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/4169 sacados/4169 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/5506 sacados/5506 chapExoCorrec/4150 sacados/4150 chapExoCorrec/9447 sacados/9447 V1V2V3 F1F1F2F3 chapExoCorrec/4256 sacados/4256 5points0point3points0point
0;30;40;2C0;8CB0;60;5C0;5CBA0;70;90;4C0;6CB0;10;2C0;8CBA 354535N325R3N21525N335R3R2N1252515N345R3N23545N315R3R2R1U7U6U5U4U3U2U1 7. Con un poco de álgebra E.5527 Denotamos por x un real perteneciente al intervalo 0 ; 80 . Una urna contiene 100 pequeños cubos de madera de los cuales 60 son azules y los otros rojos. De los cubos azules, 40 % tienen sus caras marcadas con un círculo, 20 % tienen sus caras marcadas con un rombo y los demás tienen sus caras marcadas con una estrella. Entre los cubos rojos, 20 % tiene la cara marcada con un cír-culo, x % tiene la cara marcada con un rombo y los demás tienen la cara marcada con una estrella. Se extrae un cubo al azar de la urna. 1 Demuestra que la probabilidad de sacar un cubo marcado con un rombo es igual a 0 ; 12+0 ; 004 x . 2 Determina x para que la probabilidad de dibujar un cubo marcado con un rombo sea igual a la de dibujar un cubo marcado con una estrella. 3 Determinar x de modo que los sucesos ˇ dibujar un cubo bleu ı y ˇ dibujar un cubo marcado con un losange ı sean independientes. 4 En esta pregunta se supone que x =50 . Calcula la prob-abilidad de que se saque un cubo azul sabiendo que está marcado con un rombo. E.10586 Una urna contiene bolas azules y bolas rojas. Algunas de estas bolas tienen una estrella. A contin-uación se muestra la tabla con el número de bolas de cada tipo que contiene la urna : tiene una estrella no tiene una estrella Bola azul 5 6 Bola roja 7 8 Consideramos el experimento aleatorio que consiste en elegir al azar una bola de esta urna y anotar su color y la presencia o ausencia de una estrella. Consideramos los dos eventos : A : ˇ la bola extraída es roja ı B : ˇ la bola extraída tiene una estrella ı 1 Establecer que los eventos A y B no son independientes. 2 Se añaden 30 bolas con una estrella roja o azul, de modo que los eventos A y B son independientes. Determinar el número de bolas rojas y el número de bolas azules que se han añadido. 8. Con varios eventos E.8325 Considera un experimento aleatorio y tres de sus sucesos A , B y C dando el árbol de probabilidad que se muestra a continuación : 1 Determina la probabilidad del suceso C . 2 ¾Establezca que los sucesos A y C son independientes? E.3738 Consideremos tres urnas, cada una de las cuales contiene bolas negras y rojas. Un experimento consiste en extraer una bola al azar de cada urna. Para cualquier i ∈ 1 ; 2 ; 3 , considere los siguientes sucesos : N i : ˇ se saca una bola negra de la urna U i ı ; R i : ˇ se saca una bola roja de la urna U i ı. Considera el siguiente árbol de probabilidad : 1 Determine la probabilidad del suceso N 3 . 2 ¾Son independientes los sucesos N 1 y N 3 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5527 sacados/5527 chapExoCorrec/10586 sacados/10586 chapExoCorrec/8325 sacados/8325 0;30;40;2C0;8CB0;60;5C0;5CBA0;70;90;4C0;6CB0;10;2C0;8CBA chapExoCorrec/3738 sacados/3738 354535N325R3N21525N335R3R2N1252515N345R3N23545N315R3R2R1U7U6U5U4U3U2U1