Bachillerato 1 / Probabilidad y variables aleatorias 49 ejercicios (100% corregidos)

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AB AAB AAB BAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ ChingQuizz : 3 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios E.3115 En un torneo de ajedrez participan dos equipos, cada uno con un hombre y una mujer. Se juega una partida entre una persona de cada equipo. Se elige al azar a una persona de cada equipo para competir en una partida. Considere los tres sucesos que ˇ componen ı el universo de posibilidades : A : ˇ Dos hombres compiten en este partie ı B : ˇ Dos mujeres compiten en este juego ı C : ˇ Un hombre y una mujer compiten en este juego ı 1 Conjetura la probabilidad de cada uno de estos sucesos. 2 Se utiliza la siguiente notación para denotar la composi-ción de cada grupo: G 1 = H 1 ; F 1 ; G 2 = H 2 ; F 2 a Describa todos los juegos que pueden organizarse en este torneo. b Diga la probabilidad de los sucesos A , B y C . E.5866 1 A continuación se representan el universo Ω de un exper-imento aleatorio y dos sucesos A y B de Ω . Para cada una de las representaciones que aparecen a continuación, traza una cruz en el conjunto requerido. 2 Dar, sin justificar, una expresión simplificada de los con-juntos : a A ∩ B b A ∪ B E.5179 Considera una baraja de cartas 32 cartas y los tres sucesos siguientes : A : ˇ La carta robada es una coeur ı B : ˇ La carta robada es un figure ı C : ˇ La carta extraída es un número cuyo valor está estrictamente compren-dido entre 7 y 10 ı 1 Se extrae una carta al azar de la baraja. Determina la probabilidad de los sigu-ientes sucesos : a A b B c C d A ∩ B e A ∪ B f A ∪ C 2 Se ha retirado del mazo la carta ˇ Rey de Corazones ı y, a continuación, se extrae una carta al azar. Determine la probabilidad de los siguientes sucesos : a A b B c C E.7578 Consideremos un experimento aleatorio que comprende n sucesos elementales. A este ex-perimento aleatorio se le aplica la ley de equiprobabilidad. Dos sucesos A y B están compuestos por sucesos elemen-tales 432 y 72 respectivamente y verifican las siguientes propiedades : P A ∩ B = 0 ; 25 ; P A ∪ B = 0 ; 5 Cuál es el número de sucesos elementales que componen el universo Ω : a 496 b 540 c 643 d 672 E.2929 Tras estudiar un dado amañado cuyas caras están numeradas del 1 al 6, obtenemos la sigu-iente distribución de probabilidad : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 2 0 ; 15 0 ; 12 0 ; 17 0 ; 08 0 ; 28 Determine las probabilidades de cada una de las siguientes : 1 A: ˇ El resultado es mayor o igual que 4ı . 2 B : ˇ El resultado es un número impar ı. 3 C : ˇ El resultado es un número par ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3115 sacados/3115 chapExoCorrec/5866 sacados/5866 AB AAB AAB BAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB chapExoCorrec/5179 sacados/5179 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/7578 sacados/7578 chapExoCorrec/2929 sacados/2929
5points0point3points0point ABC ABC ABCCB ABCACB ABC ABC ABCBA ABCCBA 133421243221124331 E.7802 Un juego consiste en lanzar dardos a una diana. La diana está dividida en cuatro sectores, como muestra la figura siguiente : Se supone que los lanzamientos son independientes y que el jugador da siempre en la diana. El jugador lanza un dardo. Nota: p 0 la probabilidad de obtener 0 punto ; p 3 la probabilidad de obtener 3 puntos ; p 5 la probabilidad de obtener 5 puntos. Sabiendo que p 5 = 1 2 · p 3 y que p 5 = 1 3 · p 0 , determine los valores de p 0 , p 3 y p 5 . E.8183 1 Expresa cada una de las partes sombreadas a contin-uación utilizando los conjuntos A , B y C : a b 2 Incuba el conjunto que se muestra en cada una de las figuras siguientes : a b E.8184 1 Expresa cada una de las partes sombreadas a contin-uación utilizando los conjuntos A , B y C : a b 2 Incuba el conjunto que se muestra en cada una de las figuras siguientes : a b E.6630 Una urna contiene 18 piezas de madera de diferentes formas, colores y números. De esta urna se extrae un objeto al azar. Se supone que el sorteo es equiprobable. Considera los siguientes sucesos : A : ˇ la moneda es un triangle ı B : ˇ la moneda es de color blanche ı C : ˇ la pieza está numerada 2 ı D : ˇ la pieza no es un cercle ı E : ˇ la moneda tiene un número pair ı Sin justificar, da la probabilidad de los siguientes sucesos : a A b A ∩ C c C ∩ B ∪ A d A ∩ C e A ∩ D f A ∩ E ∪ C ∩ D g C ∩ E h C ∪ D i A ∪ C 2. Ley de probabilidad de una variable aleatoria E.5170 Una urna contiene cuatro bolas azules numeradas del 1 al 4 , tres bolas rojas numeradas del 1 al 3 y dos bolas verdes numeradas del 1 al 2 . 1 Anotamos X la variable aleatoria que asocia cada una de las bolas con el número escrito en ella. Determina la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X . 2 Para sacar una bola de esta urna se aplican las siguientes reglas: Si la bola extraída es azul y lleva un número entero https://chingmath.fr chapExoCorrec/7802 sacados/7802 5points0point3points0point chapExoCorrec/8183 sacados/8183 ABC ABC ABCCB ABCACB chapExoCorrec/8184 sacados/8184 ABC ABC ABCBA ABCCBA chapExoCorrec/6630 sacados/6630 133421243221124331 chapExoCorrec/5170 sacados/5170
par, el jugador gana 2 e . Si la bola extraída no es azul y tiene un número entero par, el jugador gana 3 e . De lo contrario, el jugador no gana nada. Anotamos Y la variable aleatoria que asocia la extracción de una bola con la ganancia obtenida. Determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y . E.5188 El juego consiste en lanzar un do-decaedro perfectamente equilibrado cuyas caras están numer-adas de 1 a 12 . El juego consiste en lanzar el dado una vez. Considere la variable aleatoria X que asocia a cada valor de una cara el número de divisores de dicho valor. Determinar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X . E.7336 Considera una urna que contiene 11 bolas. Algunas son redondas, otras cuadradas. Algunas son blancas, otras a rayas. Se muestran a continuación : Se supone que pulsando un botón, las bolas salen de la urna al azar. Acabamos de montar un experimento aleatorio según la ley de equiprobabilidad. A cada bola se le asocia un pago : Una bola se paga 1 e mientras que un cuadrado se paga 2 e . Además, si el elemento se raya, el pago se incrementa en 1 e . Esta asociación de un valor a cada suceso elemental constituye una variable aleatoria. Notons-la X . 1 Determine la distribución de probabilidad de la variable X cuando el contenido de la urna se muestra a contin-uación : 2 Determine la distribución de probabilidad de la variable X cuando el contenido de la urna se muestra a contin-uación : 3. Variables aleatorias y función de distribución E.4801 Definición : Se define el conjunto X 2 como el con-junto de sucesos elementales que toman un valor inferior o igual a 2 : X 2 = ! ∈ Ω ⏐ ⏐ X ( ! ) 2 En el caso de que X sea una variable aleatoria que toma sus valores en N , tenemos : X 2 = X =0 ∪ X =1 ∪ X =2 Sea X una variable aleatoria que toma los valores enteros de 1 a 6 y cuya ley de probabilidad se da en la tabla siguiente : x i 1 2 3 4 5 6 P X = x i 0 ; 05 0 ; 12 0 ; 15 0 ; 23 0 ; 17 1 Completa la tabla de la ley de probabilidad de X . 2 Determina las siguientes probabilidades : a P X 3 b P X > 3 E.8461 En un juego basado en un ex-perimento aleatorio, la variable aleatoria X mide el premio ganado por el participante. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de la variable X : x 0 1 2 3 6 P ( X = x ) 0 ; 34 0 ; 3 0 ; 19 0 ; 15 0 ; 02 Determina las siguientes probabilidades : a P ( X < 3) b P ( X 3) c P (2 X < 5) E.8462 Tenemos un dado equilibrado con 6 caras y asociamos a cada cara un pago de la siguiente manera : la cara ˇ 6 ı paga 5 e . la cara ˇ 1 ı informa 2 e . otras caras pares informan 1 e . las otras caras no dan nada. Denotamos X a la variable aleatoria que, para cada lanza-miento del dado, asocia la ganancia obtenida. 1 Determina el valor de la probabilidad P X =1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 2 Determina el valor de la probabilidad P X > 1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5188 sacados/5188 chapExoCorrec/7336 sacados/7336 chapExoCorrec/4801 sacados/4801 chapExoCorrec/8461 sacados/8461 chapExoCorrec/8462 sacados/8462
E.8463 Tenemos un dado equilibrado con 6 caras y asociamos a cada cara una ganancia de la siguiente manera : cara ˇ 6 ı produce 5 e . las caras ˇ 1 ı y ˇ 3 ı informan 2 e . otras caras pares informan 1 e . la cara ˇ 5 ı no paga nada. Denotamos X a la variable aleatoria que, en cada lanzamiento del dado, asocia la ganancia obtenida. 1 Determina el valor de la probabilidad P X =1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 2 Determina el valor de la probabilidad P X > 1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 E.8211 Consideremos el experimento aleato-rio que consiste en lanzar un dado trucado de 6 caras. Con-sideremos la variable aleatoria X que, en cada lanzamiento, devuelve el número de la cara obtenida. A continuación se da la ley de distribución acumulativa de la variable aleatoria X : k 1 2 3 4 5 6 P X k 0 ; 275 0 ; 34 0 ; 51 0 ; 6 0 ; 84 1 1 Determine las siguientes probabilidades : a P X > 3 b P X 4 2 a Justifique que : P X =2 =0 ; 065 b Determine las siguientes probabilidades : P X =3 ; P X =6 3 Determine las siguientes probabilidades : a P 2 X 5 b P 3 < X 5 E.4799 Sea n un número natural distinto de cero ( n ∈ N ∗ ) . Una urna contiene : 8 bolas rojas numeradas de 1 a 8 . 1 bola verde numerada 1 . n bolas azules numeradas de 1 a n . Supongamos que las bolas son indistinguibles al tacto y con-sideremos el experimento aleatorio de extraer al azar una bola de esta urna. Observamos X que asocia a cada bola extraída un número de puntos según las siguientes reglas: Una bola roja aporta 1 punto, la bola verde aporta 2 puntos, una bola azul aporta 3 punto. Una bola con número impar aporta 1 punto extra. Además, sabemos que : P X 3 = 3 4 Determina el valor o valores de n que cumplen todas estas condiciones. Pista: realizaremos una disyunción de casos sobre la pari-dad del entero n . . E.4800 Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad se da a continuación : x i 0 1 2 3 P X = x i 0 ; 15 0 ; 24 0 ; 35 0 ; 26 1 Justifica que la tabla siguiente sí representa una distribu-ción de probabilidad. 2 Determina las siguientes probabilidades : a P X 2 b P X < 2 c P {X =1 } ∪{X =3 } 4. Expectativas E.4805 Consideremos la variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad se da en la siguiente tabla : k 0 1 2 5 10 P X = k 0 ; 4 0 ; 38 0 ; 15 0 ; 05 0 ; 02 Determina la esperanza de la variable aleatoria X . E.4804 Consideremos la variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad se da en la siguiente tabla : k 0 1 2 3 P X = k 0 ; 51 0 ; 08 0 ; 17 0 ; 24 Determina la esperanza de la variable aleatoria X . E.3735 Para mantener el sistema de calefacción en buen estado de funcionamiento, una inmobil-iaria hace revisar las calderas de su parque de viviendas du-rante el verano. Sabemos que 20 % de las calderas están en garantía. Consideremos los siguientes sucesos : A : ˇ La caldera se garantie ı ; B : ˇ La caldera está averiada ı. Así de probables son algunas cosas : E A A ∩ B A ∩ B P ( E ) 0 ; 2 0 ; 08 0 ; 72 La revisión es gratuita si la caldera está en garantía. Cuesta 80 euros si la caldera ya no está en garantía y no es defectu-osa. Cuesta 280 euros si la caldera ya no está en garantía y es defectuosa. Denotamos X la variable aleatoria que representa https://chingmath.fr chapExoCorrec/8463 sacados/8463 chapExoCorrec/8211 sacados/8211 chapExoCorrec/4799 sacados/4799 chapExoCorrec/4800 sacados/4800 chapExoCorrec/4805 sacados/4805 chapExoCorrec/4804 sacados/4804 chapExoCorrec/3735 sacados/3735 Inspiree d'Antilles-Guyane Juin 2002
AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ ABBCCCDDDDEEEEE el coste de revisar una caldera. Determine la distribución de probabilidad de X y su expecta-tiva matemática. E.5351 El juego consiste en sacar una bola al azar de una urna. La ganancia del juego está asociada al color de la bola sacada : Una bola roja da 10 e . Una bola azul da 1 e . Una bola verde no da ninguna ganancia. 1 La urna A contiene 1 bolas rojas, 10 bolas azules y 5 bolas verdes. Se denota X la variable aleatoria asociada a la ganancia de una bola extraída de la urna A . a Dé la ley de probabilidad de la variable aleatoria X . b Determine la esperanza de la variable aleatoria X . 2 La urna B contiene 3 bolas rojas, 3 bolas azules y 20 bolas verdes. Se denota por Y la variable aleatoria asociada a la ganan-cia de una bola extraída de la urna B . a Determinar la ley de probabilidad de la variable aleato-ria Y . b Determine la esperanza de la variable aleatoria Y . (Redondearemos el valor al centésimo) . 3 Paul quiere participar en el juego. ¾Cuál es la urna más ventajosa para él? E.5911 Tenemos un dado equilibrado con 6 caras y asociamos a cada cara un pago de la siguiente manera : la cara ˇ 6 ı paga 5 e . la cara ˇ 1 ı informa 2 e . otras caras pares informan 1 e . las otras caras no dan nada. Sea X la variable aleatoria que, para cada lanzamiento del dado, asocia la ganancia obtenida. Determina la expectativa de la variable aleatoria X . 9 6 10 6 11 6 12 6 E.5912 Tenemos un dado equilibrado con 6 caras y asociamos a cada cara una ganancia de la siguiente manera : cara ˇ 6 ı produce 5 e . las caras ˇ 1 ı y ˇ 3 ı informan 2 e . otras caras pares informan 1 e . la cara ˇ 5 ı no paga nada. Denotamos X a la variable aleatoria que, para cada lanza-miento del dado, asocia la ganancia obtenida. Determine la expectativa de la variable aleatoria X . 9 6 10 6 11 6 12 6 E.4806 Consideremos una baraja de 32 car-tas. Un juego consiste en sacar una carta al azar de entre estas cartas. Consideramos los tres sucesos siguientes : A : la carta robada es un corazón ; B : la carta robada es una figura ; C : la carta robada es 7 , 8 o 9 . Se asocia una ganancia a la carta robada de la siguiente manera : cartas de A ∩ C rinden 1 punto ; mapas de A ∩ B reporta 2 puntos ; mapas de A ∩ B reporta 4 puntos. otras tarjetas no ganan puntos. La variable aleatoria que asocia el número de puntos ganados con una carta es X . Determine la esperanza matemática de la variable aleatoria X . E.7800 Un juego utiliza una bolsa llena de fichas, cada una con una letra en una cara. He aquí el con-tenido de la bolsa: El jugador saca una ficha antes de volver a meterla en la bolsa y cada ficha se asocia a un número de puntos de la siguiente manera : Cada vocal gana el mismo número de puntos. Cada consonante puntúa el doble que una vocal. Denotamos X a la variable aleatoria que asocia el número de puntos asociados a cada una de las fichas. Sabiendo que la expectativa de la variable aleatoria X es 8 5 , determine el número de puntos asignados a cada vocal. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5351 sacados/5351 chapExoCorrec/5911 sacados/5911 chapExoCorrec/5912 sacados/5912 chapExoCorrec/4806 sacados/4806 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/7800 sacados/7800 ABBCCCDDDDEEEEE
AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ E.5198 Definición : Sea X una variable aleatoria que toma n +1 valores deno-tados por x 0 , x 1 , . . . , x n . Se denomina esperanza de la variable aleatoria X , al número indicado E X definido por: E X = x 0 ×P X = x 0 + x 1 ×P X = x 1 + ··· + x n ×P X = x n Esta suma también se indica como: n k =0 x k ·P X = x k En un juego basado en un experimento aleatorio, la variable aleatoria X mide la ganancia obtenida por el participante. La siguiente tabla presenta la ley de probabilidad de la variable X : k 0 1 2 3 6 P ( X = k ) 0 ; 34 0 ; 3 0 ; 19 0 ; 15 0 ; 02 Determine la esperanza de esta variable aleatoria. Nota: la esperanza aleatoria corresponde al valor medio que toma la variable aleatoria X cuando se repite un gran número de veces el experimento aleatorio. 5. Variaciones E.3117 A final de curso, la asociación de alumnos de un instituto organiza una tómbola: 100 se ponen a la venta boletos a 10 euros cada uno. Estos son los distintos boletos premiados : 2 boletos ganan 50 e ; 10 boletos ganan 20 e ; 20 boletos ganan 10 e . 1 ¾Cuál es la suma de lo ganado en esta tómbola? Considere el experimento aleatorio de elegir un boleto al azar y la variable aleatoria X que asocia a cada boleto su valor. 2 Determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X . 3 a Determinar la esperanza E ( X ) de la variable aleato-ria X . b Determinar la varianza V ( X ) y la desviación típica ff ( X ) de la variable aleatoria X . (los valores deben redondearse a la décima más cercana) . Nota: la tabla siguiente puede completarse para determi-nar la varianza de la variable aleatoria X . k 0 10 20 50 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k E.3118 A finales de año, la asociación de alumnos de un instituto organiza una tómbola; 100 .Se po-nen a la venta boletos a 10 euros cada uno. Estos son los diferentes boletos ganadores : 2 .Los boletos ganan 100 e ; 15 .Los boletos ganan 10 e ; 1 a .¾Cuál es la suma de las ganancias en esta rifa? b Si se venden todos los boletos, ¾cuál será el beneficio obtenido por los organizadores? Consideramos el experimento aleatorio que consiste en elegir al azar un boleto y la variable aleatoria X que, a cada boleto, le asigna su valor. 2 Determinar la ley de probabilidad de la variable aleatoria X . 3 a Determinar la esperanza E ( X ) de la variable aleato-ria X . b Determinar la varianza V ( X ) y ff ( X ) de la variable aleatoria X . (Se redondearán los valores al centésimo más cercano.) . E.5189 Un juego consiste en robar una carta al azar de una baraja de 32 cartas. Cada carta ll-eva asociada una ganancia : un as gana x puntos Una baza gana 4 puntos A 10 gana 3 puntos Las demás tarjetas no dan puntos. donde x es un número estrictamente posi-tivo. El número de puntos ganados se modela mediante la variable aleatoria X . Determine el valor de x para que la desviación típica de la variable aleatoria X sea igual a 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5198 sacados/5198 chapExoCorrec/3117 sacados/3117 chapExoCorrec/3118 sacados/3118 chapExoCorrec/5189 sacados/5189 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣
E.10453 En un espacio probabilístico (Ω ; P ) , consideramos la variable aleatoria X que toma sus valores en el conjunto 0 ; 3 ; 4 . Tenemos la siguiente información : P X =0 = x ; P X =3 = 2 x ; V X = 2 donde x es un número que pertenece al intervalo 0 ; 1 . Determinar los valores posibles de x que cumplen estas condi-ciones. E.10626 Considere un experimento aleatorio aso-ciado a una variable aleatoria X cuya distribución de proba-bilidad se da a continuación : k 0 3 6 P X = k 0 ; 2 0 ; 5 0 ; 3 1 Demuestra que : E X =3.3 . 2 a Completa la siguiente tabla : k 0 3 6 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k b Deduce el valor de la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X . E.7801 Definición : Se considera Ω; P un experimento aleatorio y X una variable aleatoria sobre Ω que toma los valores k 1 , k 2 , . . . , k n . Se denomina varianza de X el número, anotado V ( X ) definido por: V ( X ) = n i =1 k i − E ( X ) 2 ×P X = k i Se denomina desviación típica de X al número, an-otado ff X , definido por: ff X = V ( X ) Consideremos un experimento aleatorio al que se asocia una variable aleatoria X cuya ley de probabilidad se da a contin-uación : k − 2 1 3 5 8 P X = k 0 ; 3 0 ; 1 0 ; 2 0 ; 1 0 ; 3 1 Demuestre que : E X =3 . 2 a Complete la tabla siguiente : k − 2 1 3 5 8 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k b Deduzca el valor de la varianza. 6. Desviaciones y calculadoras E.4185 Un jugador lanza una vez un dado bien equilibrado de 6 caras. Gana 10 e si el dado marca 1 . Gana 1 e si el dado marca 2 o 4 . No gana nada en los demás casos. Sea X la variable aleatoria igual a la ganancia del jugador. 1 Sin utilizar la calculadora, da el valor exacto de la vari-anza de la variable aleatoria X . 2 Con la ayuda de la calculadora, da el valor de la desviación estándar de la variable aleatoria X re-dondeado al centésimo. E.5156 Sea X una variable aleatoria cuya ley de probabilidad se indica arriba: x i 0 1 2 3 P X = x i 0 ; 15 0 ; 24 0 ; 35 0 ; 26 1 Justifique que la tabla siguiente representa correctamente una ley de probabilidad. 2 Determine las siguientes probabilidades : a P X 2 b P X < 2 c P {X =1 } ∪{X =3 } 3 Calcule, con ayuda de la calculadora y redondeando al milésimo, la esperanza y la desviación típica de la vari-able X . 7. Sucesiones independientes de experimentos aleatorios E.4796 Un juego consiste en lanzar cuatro veces seguidas una moneda equilibrada. En cada lanzamiento, se anota la cara obtenida. 1 Construir un árbol de opciones que represente este exper-imento aleatorio. Se admite que los resultados de este experimento son equiprobables. A cada uno de los resultados se le asigna una ganancia de la siguiente manera : la ganancia es de 0 e si no aparece la cara; la ganancia es de 1 e si aparece la cara 1 veces ; la ganancia es de 2 e si aparece la cara 2 veces ; la ganancia es de 4 e si aparece la cara 3 veces ; la ganancia es de 10 e si aparece la cara 4 veces ; 2 Establecer que : P X =4 = 1 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10453 sacados/10453 chapExoCorrec/10626 sacados/10626 chapExoCorrec/7801 sacados/7801 chapExoCorrec/4185 sacados/4185 chapExoCorrec/5156 sacados/5156 chapExoCorrec/4796 sacados/4796
RRSpRRSnRRSr FGMCFGMC 3 Complete la tabla siguiente indicando la ley de probabil-idad de la variable aleatoria X : k 0 1 2 4 10 P X = k 4 Completa la siguiente tabla dando la ley de distribución acumulativa de la variable aleatoria X : k 0 1 2 4 10 P X k 1 E.5197 Una tienda de deportes ofrece alquiler de esquís de pista, tablas de snowboard y esquís de travesía. Su material de alquiler se compone de 60 % esquís de pista, y el resto se distribuye a partes iguales entre tablas de snow-board y esquís de travesía. Después del día de alquiler, el material se revisa y, en caso necesario, se repara. Independientemente del tipo de material alquilado, 30 % del material necesita reparación. Cada par de esquís y cada tabla de snowboard se registran en una ficha que especifica su seguimiento. Se extrae una ficha al azar. Se consideran los siguientes casos : S p : ˇ La ficha corresponde a un par de esquís de pista ı ; S n : ˇ La ficha corresponde a una tabla de snowboard ı ; S r : ˇ La ficha corresponde a un par de esquís de trav-esía ı ; R : ˇ El material necesita una reparación ı ; R es su evento contrario. Todos los resultados de las cuatro primeras preguntas se re-dondearán a 10 − 3 . 1 Copie y complete el árbol ponderado que aparece al lado: 2 a Calcule la probabilidad de que la ficha extraída corresponda a un par de esquís de pista que no necesitan reparación. b Calcular P S p ∪ R : la probabilidad de que la ficha extraída se refiera a un par de esquís de pista o a un ma-terial que no requiera reparación 3 El coste del alquiler de esquís de pista o de una tabla de snowboard es de 20 e , , mientras que el de un par de esquís de travesía es de 15 e . En caso de reparación, se factura un recargo de 15 e . Consideramos la variable aleatoria X que asocia a una ficha el importe de la factura correspondiente. a Elabore una tabla que represente la ley de probabili-dad de la variable aleatoria X . b Determine la esperanza de la variable aleatoria X . E.4810 Cinco chicos y tres chicas escriben sus nombres en un trozo de papel y lo introducen en una urna. Se extraen sucesivamente dos papeletas de la urna. Se con-sidera que las dos extracciones son independientes. 1 En cada extracción, se mira si el papel extraído designa a un chico o a una chica. Construye el árbol de probabil-idades relacionado con este experimento. 2 Sea X la variable aleatoria que asocia a un resultado de este sorteo el número de niñas seleccionadas. a Determine la distribución de probabilidad de X . b Calcula su esperanza matemática de E ( X ) . E.5157 Un productor de frutos rojos ofrece frambuesas, grosellas y arándanos en venta directa. El cliente puede comprar bandejas de fruta para consumir o bandejas de fruta para mermelada. El productor ha observado que, entre sus clientes, 9 de cada 10 compran una bandeja de fruta para mermelada. Independientemente del tipo de bandeja que compren, los clientes eligen en 50 % casos los arándanos como fruta, 30 % en los demás casos, eligen las frambuesas y, en otros casos, las grosellas. Cabe destacar : C el evento ˇ el cliente compra una bandeja de fruta para mermelada ı ; F el evento ˇ el cliente pide frambuesas ı ; G el evento ˇ el cliente pide grosellas ı ; M el evento ˇ el cliente pide arándanos ı ; Se supone que la fruta elegida no depende del tipo de bandeja comprada y que cada cliente solo compra una bandeja. 1 Complete el árbol ponderado que aparece a continuación : 2 Determine la probabilidad de C ∩ F . 3 El productor fija los precios de sus bandejas de la siguiente man-era: El precio base de una bandeja de fruta para merme-lada es de 5 euros y el de una bandeja de fruta para degustar es de 3 euros ; Si la bandeja elegida contiene frambuesas, se añade 1 euro al precio de la bandeja ; Si la bandeja elegida contiene arándanos, se añade 2 euro al precio de la bandeja ; Si la bandeja elegida contiene grosellas, el precio base no varía. Se anota X la variable aleatoria que asocia a cada cliente el precio de la bandeja comprada. a ¾Cuáles son los valores que toma la variable aleatoria X ? b Elaborar la tabla que representa la ley de probabilidad de X . c Determinar la esperanza de la variable aleatoria X . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5197 sacados/5197 RRSpRRSnRRSr chapExoCorrec/4810 sacados/4810 chapExoCorrec/5157 sacados/5157 FGMCFGMC
DDADDB 8. Probabilidad condicional E.5572 Una fábrica produce sus televisores en dos líneas de producción A y B . Consideremos los sigu-ientes eventos : A : ˇ el televisor se produce en la línea A ı B : ˇ el televisor se fabrica en la cadena B ı D : ˇ el televisor fabricado es defectuoso ı A la salida de la cadena de producción, se elige al azar un televisor. Tenemos las siguientes probabilidades : P ( A ) = 0 ; 8 ; P A ( D ) = 0 ; 1 ; P B ( D ) = 0 ; 2 1 Completa el árbol de probabilidad siguiente : 2 a Justifica que : P B ∩ D = 0 ; 16 b Justifica que : P D = 0 ; 88 . c Justifique que, redondeando al milésimo, tenemos : P D A ) ≈ 0 ; 667 3 Tenemos la siguiente información : Un televisor producido en la cadena A tiene un coste de producción de 250 $ . Un televisor producido en la cadena B tiene un coste de producción de 300 $ . El coste de reparación de un televisor defectuoso es de 50 $ . Consideremos la variable aleatoria X , que tiene un tele-visor fabricado en la fábrica, asociado a su coste total de producción. a Determinar la ley de probabilidad de la variable aleato-ria X b Determinar, con una precisión de dos decimales, la es-peranza de X E.3806 Durante una epidemia en el ganado bovino, se descubrió que si la enfermedad se diagnostica a tiempo en un animal, se puede curar ; de lo contrario, la en-fermedad es mortal. Se desarrolla una prueba y se prueba en una muestra de ani-males, de los cuales 1 % son portadores de la enfermedad. Se obtienen los siguientes resultados : si un animal es portador de la enfermedad, la prueba da positivo en 85 % de los casos ; si un animal está sano, la prueba da negativo en 95 % de los casos. Se decide tomar estas frecuencias observadas como probabil-idades para toda la población y utilizar la prueba para la detección preventiva de la enfermedad. Observamos los acontecimientos : M : ˇ el animal es portador de la maladie ı ; T : ˇ la prueba es positiva ı. 1 Construimos un árbol ponderado que modela la situación propuesta. 2 Se elige un animal al azar. a ¾Cuál es la probabilidad de que sea portador de la en-fermedad y de que su prueba sea positiva? b Muestre que la probabilidad de que su prueba sea pos-itiva es 0 ; 058 . 3 Un Se elige un animal al azar entre los que dan positivo. Cuál es la probabilidad de que sea portador de la en-fermedad? Redondea la probabilidad a la milésima más cercana. 4 El coste de cuidar a un animal que ha dado positivo es de 100 euros y el coste de sacrificar a un animal que no ha sido detectado por la prueba y ha desarrollado la en-fermedad es de 1 000 euros. Se supone que la prueba es gratuita. A partir de los datos anteriores, la distribución de proba-bilidad del coste en que se incurrirá por animal sometido a la prueba viene dada por la siguiente tabla : Coste 0 100 1 000 Probabilidad 0 ; 940 5 0 ; 058 0 0 ; 001 5 a Calcular la esperanza matemática de la variable aleato-ria que asocia a un animal el coste que se debe asumir. b Un ganadero tiene un rebaño de 200 animales. Si todo el rebaño se somete a la prueba, ¾qué suma debe prever asumir? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5572 sacados/5572 DDADDB chapExoCorrec/3806 sacados/3806
0;74OOM0;26OOK U1 U2 U3 :::N:::B:::U1:::N:::B:::U2:::N:::B:::U3 E.9714 Según un estudio reciente, hay 216 762 médicos en Francia metropolitana, de los cuales 0 ; 6 % practican la osteopatía, y hay 75 164 fisioterapeutas, de los cuales 8 ; 6 % practican la osteopatía. Se elige al azar a una persona entre los médicos y los fisioter-apeutas. Se anotan los siguientes eventos : M : ˇ la persona elegida es médico ı ; K : ˇ la persona elegida es fisioterapeuta ı ; O : ˇ la persona elegida practica la osteopatía ı. 1 Representamos la situación mediante el siguiente árbol ponderado : a Reproduzca el árbol de probabilidad y complételo. b Demuestre que la probabilidad P O es igual a 0 ; 0268 . c Un paciente acaba de asistir a una sesión de osteopatía con un profesional de una de las dos categorías. Determina la probabilidad de que el profesional sea fi-sioterapeuta. Da el resultado redondeado al centésimo. 2 El precio de una consulta con un fisioterapeuta es de 30 e y el de un médico es de 35 e . Además, si este profesional practica la osteopatía, aumenta el precio de la consulta en 5 e . Consideremos la variable aleatoria X que, a la persona elegida al azar, le asigna el precio de una de sus consultas a Elaborar la tabla que representa la ley de probabilidad de la variable aleatoria X . b Determinar la esperanza de la variable aleatoria X . E.3712 Un juego consta de un dado equili-brado y las tres urnas siguientes, cada una de ellas compuesta por bolas negras y bolas blancas : El jugador saca una bola de una de las urnas ; la urna se elige en función de la cara del dado obtenida en una tirada: Si la cara obtenida es 1, saca la bola de la urna U 1 ; Si la cara obtenida es par, saca la bola de la urna U 2 ; Si la cara obtenida es 3 o 5 , utilizará la urna U 3 . 1 Determinar la probabilidad de sacar la bola de la urna U 1 ; en la urna U 2 ; en la urna U 3 . 2 a Al sacar la bola de la urna U 1 , ¾cuál es la probabili-dad de sacar una bola negra? b Al sacar la bola de la urna U 2 , ¾cuál es la probabilidad de sacar una bola negra? c Al sacar la bola de la urna U 3 , ¾cuál es la probabilidad de sacar una bola negra? 3 Copie y complete el árbol ponder-ado que aparece al lado: 4 Determine la probabilidad del siguiente evento : A : ˇ La bola extraída es negra. ı 5 El jugador gana 5 e cuando la última bola sacada es una bola negra y pierde en caso contrario; ¾cuál es la esper-anza matemática de este juego? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9714 sacados/9714 0;74OOM0;26OOK chapExoCorrec/3712 sacados/3712 U1 U2 U3 :::N:::B:::U1:::N:::B:::U2:::N:::B:::U3
vert.........rougeouorange...rougeouorange...vert......... ::::::B2:::N2B1::::::B2:::N2N1 E.7156 Amélie tiene que cruzar la calle principal de un pueblo que está marcada por dos semá-foros. Para n ∈ 1 ; 2 , sea E n el suceso ˇ Amélie es detenida por la n e luz roja o orange ı et E n el suceso contrario. La luz naranja se considera luz roja. Sea p n la probabilidad de E n y q n la probabilidad de E n . La probabilidad de que el primer semáforo esté en rojo o en ámbar es 1 8 Se supone que se cumplen las dos condiciones siguientes : La probabilidad de que el segundo semáforo esté en rojo o en ámbar si el primero está en rojo es 1 20 . La probabilidad, de que el segundo semáforo esté en rojo o ámbar, si el primer semáforo está en verde, es igual a 9 20 . Nos interesan, en primer lugar, los primeros semáforos. 1 Recopia y completa el árbol ponderado siguiente. 2 Nota X la variable aleatoria igual al número de luces verdes entre estos dos semáforos. Determine la distribu-ción de probabilidad de X . E.3731 Hay dos urnas U 1 y U 2 que contienen bolas indistinguibles al tacto. U 1 contiene k bolas blancas ( k número natural mayor o igual a 1 ) y 3 bolas negras. U 2 contiene 2 bolas blancas y una bola negra. Se saca una bola al azar de U 1 y se coloca en U 2 . A contin-uación, se extrae al azar una bola de U 2 . El conjunto de estas operaciones constituye una prueba. Se anota B 1 (respectivamente N 1 ) el evento ˇ se ha sacado una bola blanca (resp. negra) de la urna U 1 ı. Se anota B 2 (respectivamente N 2 ) el evento ˇ se sacó una bola blanca (resp. negra) de la urna U 2 ı. 1 a Copie y complete con las probabilidades que faltan el siguiente árbol: b Demuestre que la probabilidad del evento B 2 es igual a: 3 k + 6 4 k + 12 2 A continuación, se considera que k =12 . Un jugador apuesta 8 euros y realiza una prueba. Si, al final de la prueba, el jugador saca una bola blanca de la segunda urna, recibe 12 euros. De lo contrario, no recibe nada y pierde su apuesta. Sea X la variable aleatoria igual a la ganancia del jugador, es decir, la diferencia entre la suma recibida y la apuesta. a Demuestre que los valores posibles de X son 4 y − 8 . b Determinar la ley de probabilidad de la variable X . c Calcular la esperanza matemática de X . d ¾Es el juego favorable para el jugador? E.3714 Una urna contiene 10 bolas blancas y n bolas rojas, siendo n un número natural mayor o igual que 2. Se pide a un jugador que saque bolas de la urna. En cada extracción, todas las bolas tienen la misma probabilidad de salir. Por cada bola blanca extraída, gana 2 euros y por cada bola roja extraída, pierde 3 euros. La variable aleatoria correspondiente a las ganancias alge-braicas del jugador es X . El jugador extrae una bola de la urna dos veces seguidas sin reemplazamiento. 1 Show that : P ( X = − 1)= 20 · n ( n +10)( n +9) 2 Calcula, en función de n la probabilidad correspondiente a los otros dos valores que toma la variable X . 3 Comprueba que la esperanza matemática de la variable aleatoria X es : E ( X ) = − 6 n 2 − 14 n + 360 ( n + 10)( n + 9) 4 Determina los valores de n para los que la esperanza matemática es estrictamente positiva. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7156 sacados/7156 vert.........rougeouorange...rougeouorange...vert......... chapExoCorrec/3731 sacados/3731 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2008 ::::::B2:::N2B1::::::B2:::N2N1 chapExoCorrec/3714 sacados/3714
E.10452 El parque de atracciones ˇSix dra-peauxı, cerca de la ciudad de Los Humanos, cuenta con dos aparcamientos : uno cerca de la entrada principal a 15 e por día y el segundo a 10 e . Los habitantes de Los Humanos dis-frutan de un descuento de 5 e en el precio del aparcamiento. Esta empresa estudia los ingresos generados por estos aparcamientos y, eligiendo al azar a un cliente de este par-que de atracciones, se observan los eventos L y P definidos por: L : el cliente es un habitante de Los Humanos. P : el cliente ha elegido el aparcamiento cercano a la puerta de entrada. Esta empresa nos transmite la siguiente información : 30 % de los clientes son habitantes de Los Humanos 60 % de los habitantes de Los Humanos eligen el aparcamiento cercano a la puerta de entrada. 60 % de los clientes que no viven en Los Humanos eligen el aparcamiento alejado. Parte A 1 Construir el árbol de probabilidades que modela este es-tudio. 2 Determinar la probabilidad del evento P . 3 Sabiendo que un cliente ha elegido utilizar el aparcamiento cercano a la puerta de entrada, ¾cuál es la probabilidad de que ese cliente viva en Los Humanos? Parte B Consideremos la variable aleatoria X que asocia a cada cliente el precio pagado por el aparcamiento. 4 Indique la ley de probabilidad de la variable aleatoria X . 5 Con ayuda de la calculadora, indique la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria X . 9. Problemas E.3730 Una urna A contiene cuatro bolas rojas y seis bolas negras. Una urna B contiene una bola roja y nueve bolas negras. Las bolas son indistinguibles al tacto. Parte A Un jugador tiene un dado de seis caras, perfectamente equili-brado, numerado del 1 al 6 . Lo lanza una vez : Si obtiene un 1 , saca al azar una bola de la urna A ; Si no, saca al azar una bola de la urna B . 1 Sea R el evento ˇ el jugador obtiene una bola roja ı. Demostrar que P ( R )=0 ; 15 . 2 Si el jugador obtiene una bola roja, ¾la probabilidad de que provenga de A es mayor o igual que la probabilidad de que provenga de B ? Parte B El jugador repite dos veces la prueba descrita en la parte A , en condiciones idénticas e independientes (es decir, que al fi-nal de la primera prueba las urnas recuperan su composición inicial) . Sea x un número natural distinto de cero. En cada una de las dos pruebas, el jugador gana x euros si obtiene una bola roja y pierde dos euros si obtiene una bola negra. Se designa con G la variable aleatoria correspondiente a la ganancia algebraica del jugador en euros al término de las dos pruebas. La variable aleatoria G toma, por lo tanto, los valores 2 x , x − 2 y − 4 . 3 Determinar la ley de probabilidad de G . 4 Expresar la esperanza E ( G ) de la variable aleatoria G en función de x . 5 ¾Para qué valores de x se tiene E ( G ) 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10452 sacados/10452 chapExoCorrec/3730 sacados/3730 Liban Juin 2008 4 points