Bachillerato 1 / Producto escalar 94 ejercicios (incluyendo 87 corregidos)

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-8-7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-12345JOA1B1A2B2A3B3A4B4 IJO ChingQuizz : 5 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios E.6486 Definición : en el plano provisto de un sistema de coorde-nadas ortonormales O ; I ; J , sea A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) : Las coordenadas de −−→ AB son : −−→ AB ( x B − x A ; y B − y A ) En el sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) que se muestra a continuación, se representan cuatro vectores : Determina gráficamente las coordenadas de estos cuatro vec-tores. E.6481 Propuesta: en el plano provisto de un sistema de coorde-nadas ortonormales O ; I ; J , sean A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) dos puntos. La distancia AB se define como: AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 Sea K el punto medio del segmento [ AB ] . El punto K tiene como coordenadas : K x A + x B 2 ; y A + y B 2 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J , consideramos los tres puntos siguientes : A ( − 4 ; − 2) ; B ( − 1 ; 2) ; C ( − 2 ; 5 ; − 2 ; 5) 1 Colocar los puntos A , B y C . El gráfico se completará a medida que se vayan resolviendo las preguntas del ejercicio. 2 a Determinar las longitudes AC y BC . b Se admite que el segmento [ AB ] tiene una longitud 5 . Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo en C . 3 Se denota K el punto medio del segmento [ AB ] . a Demostrar que el punto K tiene como coordenadas : K ( − 2 ; 5 ; 0) . b Determinar la longitud KC . c Trazar la circunferencia C con centro K y que pasa por el punto A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6486 sacados/6486 -8-7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-12345JOA1B1A2B2A3B3A4B4 chapExoCorrec/6481 sacados/6481 IJO
ABu A(d123456789123456789(‹ E.9596 Definición : llamamos norma de un vector −→ u a la longitud de cada uno de sus representantes.. Ejemplo : consideremos el vector −→ u admitiendo como rep-resentante el vector −−→ AB : La norma del vector −→ u tiene el valor: −→ u = AB Proposición: en el plano con un sistema de referencia ortonormal, consideremos el vector −→ u ( x ; y ) . La norma del vector −→ u tiene el valor: −→ u = x 2 + y 2 Considera el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal. 1 El vector −→ u tiene coordenadas −→ u (5 ; 2) . Determina la norma del vector −→ u . 2 Consideremos los dos puntos A (4 ; 1) y B (0 ; 5 ; 3) . Deter-mina el valor de −−→ AB . E.7146 Propiedades características del paralelogramo : Sea ABCD un cuadrilátero. Si las diagonales de ABCD se cruzan en sus puntos medios, entonces ABCD es un paralelogramo. Si los lados opuestos de ABCD son paralelos dos a dos entonces ABCD es un paralelogramo. Si los lados opuestos de ABCD tienen la misma longi-tud entonces ABCD es un paralelogramo. Si dos de los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud entonces ABCD es un paralelogramo. Considera los cuatro puntos siguientes caracterizados por sus coordenadas en una ortonormal ( O ; I ; J ) : A (2 ; 3) ; B ( − 2 ; 1) ; C ( − 4 ; − 3) ; D (0 ; − 1) Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. E.6482 Propiedad que caracteriza al rectángulo : . Sea ABCD un cuadrilátero: Si ABCD tiene tres ángulos rectos entonces ABCD es un rectángulo. Sea ABCD un paralelogramo: Si ABCD tiene sus diagonales de la misma longitud entonces ABCD es un rectángulo. Si ABCD tiene un ángulo recto entonces ABCD es un rectángulo. Considera los cuatro puntos siguientes caracterizados por sus coordenadas en una ortonormal ( O ; I ; J ) : A ( − 4 ; − 1) ; B ( − 3 ; − 4) ; C (3 ; − 2) ; D (2 ; 1) Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. E.10625 Definición : sea −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; y ) , se denomina determinante de los vectores −→ u y −→ v , notado det( −→ u ; −→ v ) , definido por: det( −→ u ; −→ v ) = x × y − x × y dos vectores −→ u y −→ v se denominan colineales si ambos vectores tienen la misma dirección. Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coor-denadas, consideramos los dos vectores −→ u y −→ v . Los dos vectores −→ u y −→ v son colineales entre sí si, y solo si, su determinante es nulo. En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males, se consideran los cuatro puntos : A ( − 6 ; 3) ; B (2 ; − 1) ; C (4 ; − 1) ; D (10 ; − 4) 1 Determinar las coordenadas de los vectores −−→ AB y −−→ CD . 2 Justificar que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. 2. Introducción E.9589 En el plano, considera el punto A y las rectas ( d ) , (Δ) , ( ‹ ) : 1 a De los puntos propuestos, observa M la ortogonal proyectada del punto A sobre la recta ( d ) . b Entre los puntos propuestos, anota N la ortogonal proyectada del punto A sobre la recta (Δ) . 2 Sitúa el punto P proyectado desde el punto A sobre la recta ( ‹ ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9596 sacados/9596 ABu chapExoCorrec/7146 sacados/7146 chapExoCorrec/6482 sacados/6482 sacados/10625 chapExoCorrec/9589 sacados/9589 A(d123456789123456789(‹
ABCDEF1u ¸ABCGH ABCHDEFH−−AB·−ACAB×AH−−DE·−−DF−DE×DH E.7432 En el plano, se consideran los seis puntos y los cuatro vectores representados a continuación : Nota: la cuadrícula, los puntos y la unidad se han elegido de manera que : AB = 8 u ; AC = 6 u ; DE = 6 u ; DF = 8 u Parte A 1 a Representar el punto M proyectado ortogonalmente desde el punto C sobre la recta ( AB ) . b Determinar el valor del producto : AB × AM 2 a Representar el punto N proyectado ortogonalmente desde el punto B sobre la recta ( AC ) . b Determinar el valor del producto : AN × AC Definición : en el plano, consideramos tres puntos A , B , C (suponemos que B es distinto de A ) . Denotamos por H la proyección del punto C sobre la recta ( AB ) . Definimos el producto escalar de los vectores −→ AB y −→ AC como el número definido por: AB × AH si los vectores −−→ AB y −−→ AH son colineales y tienen el mismo sentido − AB × AH si los vectores −−→ AB y −−→ AH son colineales y de sentido opuesto. Anotamos este número −−→ AB · −→ AC 3 ¾Qué podemos decir de −−→ AB · −→ AC y −→ AC · −−→ AB ? Parte B 4 Demuestre que : −−→ DE · −−→ DF = − 24 5 Justifique que : −−→ DE · −−→ DF = −−→ DF · −−→ DE E.8439 Consideramos tres puntos A , B , C distintos dos a dos representados a continuación : Sea G (resp. H ) la proyección ortogonal del punto C (resp. B ) sobre la recta ( AB ) (resp. ( AC ) ) : 1 a En el triángulo AGC rectángulo en G , dar la expre-sión para cos ¸ . b En el triángulo ABH acutángulo a H , dar la expresión para cos ¸ . 2 Deduce la igualdad : −−→ AB · −→ AC = −→ AC · −−→ AB 3. Producto escalar y proyección E.9588 Definición : En el plano, consideramos tres puntos A , B , C (suponemos que B es distinto de A ) . Denotamos por H la proyección del punto C sobre la recta ( AB ) . Definimos el producto es-calar de los vectores −→ AB y −→ AC como el número definido por: AB × AH si los vectores −−→ AB y −−→ AH son colineales y tienen el mismo sentido − AB × AH si los vectores −−→ AB y −−→ AH son colineales y de sentido opuesto. Anotamos este número −−→ AB · −→ AC Ilustración : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7432 sacados/7432 ABCDEF1u chapExoCorrec/8439 sacados/8439 ¸ABCGH chapExoCorrec/9588 sacados/9588 ABCHDEFH−−AB·−ACAB×AH−−DE·−−DF−DE×DH
ABCDEF1u ABCI3cm DEFGH5cm2;5cm ABCDIJKLO6cm2;5cm ABCDEFGH ABCDO En una cuadrícula, consideramos los seis puntos siguientes : Determinar el valor de los productos escalares : a −−→ AB · −→ AC b −−→ DE · −−→ DF E.8440 En el plano, considerar el triángulo equilátero ABC que se muestra a continuación y el punto I punto medio del segmento [ BC ] . Deter-minar los siguientes productos es-calares: a −−→ AB · −→ AC b −−→ BA · −→ BI E.9587 En el plano, consideramos el rectángulo DEFG donde el punto H es el punto medio de la diagonal [ DF ] , determi-namos los productos escalares : a −−→ DF · −−→ DE b −−→ DG · −−→ DE c −−→ DF · −−→ HD E.9604 Consideremos el rectángulo ABCD tal que : AB =6 cm y CB =2 ; 5 cm : Los puntos I , J , K , L son los puntos medios respectivos de los lados [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] . El punto O es el centro del rectángulo ABCD . Determina el valor de los siguientes productos escalares : a −→ AI · −→ AC b −→ IA · −→ IB c −→ IA · −→ BI d −→ DL · −−→ DO e −−→ KO · −−→ DB f −−→ AB · −−→ OC 4. Ortogonalidad y colinealidad E.9590 En el plano, consideramos los tres cuadrados de lado 2 representados a continuación : Establezca las siguientes igualdades : a −−→ AH · −−→ AB = 0 b −−→ BC · −−→ BC = 4 c −−→ FE · −−→ FH = − 8 E.9591 Propuesta: Sean −→ u y −→ v dos vectores del plano. Si −→ u y −→ v son colineales: si −→ u y −→ v son del mismo sentido : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v si −→ u y −→ v son de sentido opuesto : −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v Si −→ u y −→ v son ortogonales, entonces : −→ u · −→ v = 0 Consideremos el cuadrado ABCD de lado 1 y admitiendo el punto O como centro, representado a continuación : Determinar los productos escalares : a −−→ BA · −−→ BC b −→ AO · −−→ OC c −−→ DO · −−→ CO d −−→ DC · −−→ BC 5. Producto escalar y coseno E.2574 Propuesta: para cualquier triplete de puntos A , B , C dis-tintos entre sí, se tiene : −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC https://chingmath.fr ABCDEF1u chapExoCorrec/8440 sacados/8440 ABCI3cm chapExoCorrec/9587 sacados/9587 DEFGH5cm2;5cm chapExoCorrec/9604 sacados/9604 ABCDIJKLO6cm2;5cm chapExoCorrec/9590 sacados/9590 ABCDEFGH chapExoCorrec/9591 sacados/9591 ABCDO chapExoCorrec/2574 sacados/2574
45o30oABCDE OIJ30o60o45oABCDEFGHK −F1¸−F2˛‚−F 1u−u−v¸−u−v¸−u−v¸abc Consideremos la siguiente figura, donde : AE =4 cm y AC =2 cm y se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormales, orientado en sentido directo, cuya unidad mide 1 cm y cuyo eje de abscisas es la recta ( AD ) . Determinar el valor de los productos escalares siguientes : a −−→ AB · −→ AE b −→ AC · −−→ AD c −−→ DA · −−→ DE Propuesta: tabla trigonométrica de ángulos notables : ¸ 0 π = 6 π = 4 π = 3 π = 2 cos ¸ 1 √ 3 = 2 √ 2 = 2 1 = 2 0 sin ¸ 0 1 = 2 √ 2 = 2 √ 3 = 2 1 tan ¸ 0 √ 3 = 3 1 √ 3 × E.2573 Consideremos el sistema de coorde-nadas ortonormales ( O ; I ; J ) siguiente : donde los ángulos se indican en radianes y los dos semicírculos verifican : OA =2 cm y OB =3 cm . 1 Justificar que : −→ OI · −→ OJ = 0 2 Determinar los valores exactos de los productos es-calares: a −→ OA · −−→ OC b −−→ OE · −−→ OB 3 Determinar los productos escalares, redondeados al décimo : a −−→ OD · −−→ OE b −−→ OE · −−→ OH Propuesta: tabla trigonométrica de los ángulos notables : ¸ 0 π = 6 π = 4 π = 3 π = 2 cos ¸ 1 √ 3 = 2 √ 2 = 2 1 = 2 0 sin ¸ 0 1 = 2 √ 2 = 2 √ 3 = 2 1 tan ¸ 0 √ 3 = 3 1 √ 3 × E.3034 El siguiente esquema representa un sistema de poleas en equilibrio. Cada uno de los pesos ejerce sobre el nudo una fuerza proporcional a su peso. Se da la siguiente información : −→ F 1 = 8 N ; −→ F 2 = 6 N ; −→ F = 12 N Se denota R la resultante de todas estas fuerzas : −→ R = −→ F + −→ F 1 + −→ F 2 1 Determinar, en función de alpha , ˛ y ‚ , los tres produc-tos escalares siguientes : −→ R · −→ F 1 ; −→ R · −→ F 2 ; −→ R · −→ F 2 Supongamos ahora que este sistema está en posición de equilibrio, por lo que tenemos −→ R = −→ 0 . a Demuestre que las medidas de los ángulos verifican el siguiente sistema : 4 · cos ¸ + 3 · cos ˛ + 6 = 0 6 · cos ¸ + 3 · cos ‚ + 4 = 0 6 · cos ˛ + 4 · cos ‚ + 3 = 0 b Deduzca los valores de ¸ , ˛ , ‚ para la posición de equi-librio, redondeados a décimas de grado. 6. Medir un ángulo y un producto escalar E.8441 Consideremos las tres configuraciones que presentan cada vez dos vectores −→ u y −→ v : 1 Para cada pregunta, determine los siguientes valores: −→ u ; −→ v ; −→ u · −→ v 2 Determine la medida del ángulo ¸ redondeada al décimo de grado más cercano. https://chingmath.fr 45o30oABCDE chapExoCorrec/2573 sacados/2573 OIJ30o60o45oABCDEFGHK chapExoCorrec/3034 sacados/3034 −F1¸−F2˛‚−F chapExoCorrec/8441 sacados/8441 1u−u−v¸−u−v¸−u−v¸abc
A−u−v1u ABCDABFig.1Fig.2 ABCDABFig.1Fig.2 8cm10cm17cm6cm15cmABCD 7. Descubrir propiedades algebraicas E.8442 Consideremos los dos vectores −→ u y −→ v representados a continuación : 1 a Colocar los puntos B y C de tal manera que : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC b Determinar el valor de : −→ u · −→ v . 2 a Colocar el punto D de tal manera que : 2 · −→ v = −−→ AD . b Determinar el valor de : −→ u · 2 · −→ v . 3 ¾Qué relación se puede establecer? E.8445 En este ejercicio, vamos a veri-ficar la validez de la identidad siguiente en casos particulares : −→ u · −→ v + −→ w Para ello, consideramos 4 puntos A , B , C y D tales que : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC ; −→ w = −−→ AD Para estudiar la diversidad de configuraciones posibles, de-beríamos estudiar 4 disyunciones de casos : aquí solo se pro-ponen dos. Parte A Las proyecciones de los vectores −→ v y −→ w sobre la dirección del vector −→ u están en la misma dirección que el vector −→ u . 1 a Colocar el punto H (resp. I ) proyección ortogonal del punto C (resp. D ) sobre la recta ( AB ) . b Determinar el valor de : −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 2 a Colocar el punto J que verifica la relación: −→ AJ = −→ v + −→ w Colocar el punto K proyectado ortogonalmente desde el punto J sobre la recta ( AB ) . b Determinar el valor de : −→ u · −→ v + −→ w Parte B La proyección del vector −→ v (resp. −→ w ) sobre la dirección del vector −→ u es en la misma dirección (resp. en la dirección op-uesta) que el vector −→ u . 3 a Colocar el punto H (resp. I ) proyección ortogonal del punto C (resp D ) sobre la recta ( AB ) . b Determinar el valor de : −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 4 a Colocar el punto J que verifica la relación: −→ AJ = −→ v + −→ w Colocar el punto K proyectado ortogonalmente desde el punto J sobre la recta ( AB ) . b Determinar el valor de : −→ u · −→ v + −→ w Parte C 5 ¾Qué conjetura se puede hacer sobre los dos números : −→ u · −→ u + −→ v ; −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 8. Utilización de propiedades algebraicas, ortogonalidad y colinealidad E.10629 Propiedades: sean −→ u y −→ v dos vectores : −→ u · −→ v = −→ v · −→ u − −→ u · −→ v = − −→ v · −→ u −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w Considera los dos triángulos ABC y ABD rectángulos B que se muestran a continuación con sus medidas : 1 Comprueba la igualdad : −−→ AD ·−−→ DB = − 225 2 Determina los productos escalares : a −−→ BA · −−→ DA b −−→ BC · −→ CA c −→ CA · −−→ DB https://chingmath.fr chapExoCorrec/8442 sacados/8442 A−u−v1u chapExoCorrec/8445 sacados/8445 ABCDABFig.1Fig.2 ABCDABFig.1Fig.2 sacados/10629 8cm10cm17cm6cm15cmABCD
12cm15cm37cm9cm35cmABCD −u−vABCDE ABCD8m9m15m 6;5cm6cm2;5cm5;6cm3;3cmABCD E.10640 Considera los dos triángulos ABC y ABD rectángulos en B que se muestran a continuación con sus medidas : 1 Determina los productos escalares : a −→ AC · −−→ AB b −→ AC · −−→ BD 2 Determina el valor del producto escalar −→ AC · −−→ AD . E.10630 Propuesta: Sean −→ u y −→ v dos vectores del plano y – ∈ R . Tenemos : – ×−→ u · −→ v = – · −→ u · −→ v Consideremos el plano provisto de un mosaico, representado a continuación, formado por triángulos equiláteros de lado 3 y cinco puntos A , B , C , D , E : Se anota : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC . 1 Determinar el producto escalar de los vectores −→ u y −→ v . 2 Determinar los productos escalares : a −−→ AD · −→ AC b −→ AE · −−→ AD E.9598 Propuesta: Sean −→ u y −→ v dos vectores del plano y para – ∈ R . −→ u · −→ v = −→ v · −→ u – ×−→ u · −→ v = – × −→ u · −→ v Si −→ u y −→ v son ortogonales : −→ u · −→ v = 0 Si −→ u y −→ v son colineales en la misma dirección : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v Si −→ u y −→ v son colineales en direcciones opuestas : −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v Consideramos los dos triángulos ABC y ABD rectángulos respectivamente en A y D representados a continuación : 1 Establecer que : BC =17 m ; BD =12 m 2 Determinar los valores de los siguientes productos es-calares: a −−→ BC · −−→ BA b −−→ AB · −−→ BD c −−→ AD · −−→ DB d −−→ DB · −−→ AB e −−→ DA · −−→ AB f −−→ BC · −→ CA E.10641 Consideremos los dos triángulos ABC y ACD rectángulos respectivamente en C y D : 1 Determinar los valores de los productos escalares : −−→ AD · −−→ AB ; −−→ AB · −→ AC 2 Deducir el valor del producto escalar: −−→ AB ·−−→ CD 9. Descomposición y doble distribución E.9597 Recordatorios : −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w −→ u + −→ v · −→ w + −→ t = −→ u · −→ w + −→ u · −→ t + −→ v · −→ w + −→ v · −→ t https://chingmath.fr sacados/10640 12cm15cm37cm9cm35cmABCD sacados/10630 −u−vABCDE chapExoCorrec/9598 sacados/9598 ABCD8m9m15m chapExoCorrec/10641 sacados/10641 6;5cm6cm2;5cm5;6cm3;3cmABCD chapExoCorrec/9597 sacados/9597
ABCD8cm4cmOIJ 45o30oABCDE ABCD3cm2cmx ABCDI ABCDIM¸5cm ABCDMIJ El rectángulo ABCD es tal que AB =8 cm y AD =4 cm . O es el centro del rectángulo. Los puntos I y J son los medios respectivos de los lados [ AD ] y [ BC ] . 1 Establecer que : −−→ OC · −−→ OD = − 12 2 Utilizando el teorema de Pitágoras, demostrar que : OC = 2 5 3 Determinar el ángulo orientado COD redondeado al grado más cercano. E.8443 Considera la siguiente figura donde : AE =4 cm y AC = 2 cm y en el plano se da el sistema de coordenadas ortonormales, ori-entado en la dirección directa, cuyas medidas unitarias 1 cm , y cuyo eje x es la recta ( AD ) . 1 Determina los valores exactos de las longitudes de los lados de los triángulos ABC y ADE . 1 Establece la igualdad : −−→ AD + −−→ DE · −−→ AB + −−→ BC = AD × AB − DE × BC 2 Determina el valor del producto escalar: −→ AE · −→ AC E.8214 Considera el trapecio ABCD que se muestra a continuación : donde : AC =2 cm ; CD =3 cm Determina la longitud x del segmento [ AB ] para que las diago-nales, [ AD ] y [ BC ] , del trapecio ABCD sean perpendiculares. E.2665 Sea a un número real posi-tivo. Consideremos el rectángulo ABCD tal que : AB = a ; AD = 2 2 · a . Observamos I el medio de [ CD ] . Utilizando sólo propiedades algebraicas, demuestra que las rectas ( AC ) y ( BI ) son perpendiculares. E.9796 Establece la siguiente propiedad : ˇ En todo paralelogramo, la suma de los cuadrados de las lon-gitudes de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. ı. E.3014 En el plano, consideremos el rectán-gulo ABCD tal que : AB = 5 cm ; BC = 2 3 · AB I es el punto medio del segmento [ AB ] ; las rectas ( AC ) y ( ID ) interceptan en el punto M . 1 Expresando los vectores mediante −−→ AD y −−→ AB , determina el valor del producto escalar −→ ID · −→ AC 2 a Determina las longitudes de los segmentos [ DI ] y [ AC ] . b Deduce la medida del ángulo IMC a la décima de grado más próxima. E.2673 Consideremos el cuadrado ABCD siguiente. M es un punto perteneciente a la diagonal [ BD ] . Observamos I la proyección ortogonal de M sobre ( DC ) y J la proyección ortogonal de M sobre [ BC ] . 1 Establece la siguiente relación: −→ DI · −−→ DC = −−→ BC · −→ JC 2 Deduce que las rectas ( AI ) y ( DJ ) son perpendiculares. https://chingmath.fr ABCD8cm4cmOIJ chapExoCorrec/8443 sacados/8443 45o30oABCDE chapExoCorrec/8214 sacados/8214 ABCD3cm2cmx chapExoCorrec/2665 sacados/2665 ABCDI chapExoCorrec/9796 sacados/9796 chapExoCorrec/3014 sacados/3014 ABCDIM¸5cm chapExoCorrec/2673 sacados/2673 ABCDMIJ
ABCD4cm1;5cm6cm ABCH15cm12cm9cm13cm ABCD12cm9cm16cm ABCDKM¸ M6cm5cmxABCD E.10645 Considera el trapecio ABCD que se muestra a continuación : donde : AC =1 ; 5 cm ; CD =4 cm ; AB =6 cm Determina el valor del producto escalar de las diagonales de este trapecio. E.9619 Consideremos el triángulo ABC y H , el pie de la altura que sale del vértice B y cuyas medidas se representan a continuación : 1 Establecer que : −−→ BA · −−→ BC = 99 2 Deducir la medida del ángulo ABC , redondeada a la décima de grado más cercana. E.10671 Considera el triángulo ACD y anota B el pie de la altura desde A . Tenemos las medidas : AB = 12 cm ; BC = 9 cm ; BD = 16 cm Establece que el triángulo ACD es un triángulo rectángulo en A . 10. Doble distribución y condición en un ángulo E.9620 Considera un rectángulo ABCD tal que : AB = 5 cm ; AD = 3 cm Consideremos el punto K perteneciente al segmento [ AB ] y tal que AK = 2 cm . Sea M un punto del segmento [ DC ] , sea x la longitud MC . 1 Establece que : −−→ KM · −−→ KB = 9 − 3 x 2 Determinar la longitud KM en función de x . 3 Deseamos determinar la posición o posiciones del punto M de forma que BKM =60 o . a Sabiendo que cos 60= 1 2 , demuestre que la longitud x es solución de la ecuación : x 2 − 6 x + 6 = 0 b Deduce la posición o posiciones del punto M que sat-isface BKM = 60 o . E.9618 En el plano, consideramos el rec-tángulo ABCD y un punto E del segmento [ DC ] tales que : BC =5 cm ; AB =6 cm Denotamos por M un punto del segmento [ AD ] y por x la longi-tud del segmento [ AM ] . 1 Determinar una expresión del producto escalar −−→ MB · −−→ MC en función de x . 2 Determinar el valor o valores de x , de modo que el ángulo BMC tenga como medida : EMB =45 o Indicación : se utilizará la factorización: x 4 − 10 x 3 +107 x 2 − 30 x +756 = x 2 − 5 x +6 x 2 − 5 · x +66 11. Ortogonalidad, colinealidad, cálculo de ángulos E.8444 Considera el rectángulo ABCD que se muestra a continuación donde I es el punto de intersección de sus diagonales y se dan las siguientes dimensiones : AB = 6 cm ; BC = 2 cm https://chingmath.fr chapExoCorrec/10645 sacados/10645 ABCD4cm1;5cm6cm chapExoCorrec/9619 sacados/9619 ABCH15cm12cm9cm13cm chapExoCorrec/10671 sacados/10671 ABCD12cm9cm16cm chapExoCorrec/9620 sacados/9620 ABCDKM¸ chapExoCorrec/9618 sacados/9618 M6cm5cmxABCD chapExoCorrec/8444 sacados/8444
ABCDIH ABC6cm2cm7cm ABCD5cm4cm3cm 1 Establece la siguiente igualdad : −→ ID · −→ IC = 1 4 · AD 2 − 1 4 · AB 2 = − 8 2 a Determina la longitud del segmento [ IC ] . b Deduce la medida del ángulo DIC , redondeada al grado más próximo. 12. Producto escalar y paralelogramo E.5059 Propuesta - Definición : sean −→ u y −→ v dos vectores en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales. Se tienen las identidades : −→ u · −→ v = 1 2 −→ u 2 + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 2 −→ u + −→ v 2 − −→ u 2 − −→ v 2 −→ u + −→ v 2 + −→ u − −→ v 2 = 2 · −→ u 2 + 2 · −→ v 2 Estas identidades se denominan identidades del paralel-ogramo . Consideremos el triángulo ABC tal que : AB = 2 cm ; AC = 6 cm ; BC = 7 cm 1 Utilizando la fórmula : −→ u − −→ v 2 = −→ u 2 + −→ v 2 − 2 ×−→ u · −→ v Determinar el valor del producto escalar: −−→ AB · −→ AC 2 a Colocar el punto D de manera que el cuadrilátero ABDC sea un paralelogramo. b Utilizando la fórmula : −→ u + −→ v 2 = u 2 + v 2 + 2 ×−→ u · −→ v Determinar la medida de la diagonal [ AD ] redondeada al milímetro más cercano. E.3011 1 Para cualquier vector −→ u y −→ v , establezca la siguiente igualdad : −→ u + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 = 4 ×−→ u · −→ v 2 Consideremos el paralelogramo ABCD en el plano. An-otemos : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −−→ BC a ¾Qué representan los vectores −→ u + −→ v y −→ u − −→ v para el paralelogramo ABCD ? b Con ayuda de las preguntas anteriores, establece la siguiente proposición : ˇEn un paralelogramo, las diagonales son de la misma longitud si, y solo si, los lados adyacentes son perpen-dicularesı. E.3015 En el plano, considera el paralelo-gramo ABCD que tiene las siguientes medidas : AB = 5 cm ; AC = 4 cm ; AD = 3 cm 1 Recordemos la fórmula del paralelogramo: a Expande la expresión : −→ u + −→ v 2 . b Deduce el valor de −−→ AB · −−→ AD en función de las normas vectoriales. 2 a Expande la expresión : −−→ AB − −−→ AD 2 . b Deduce la medida de la diagonal [ BD ] . 13. Coordenadas y producto escalar E.7781 Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coorde-nadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j , consideramos los dos vec-tores −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; y ) . El producto escalar de los vectores −→ u y −→ v es un número denominado −→ u · −→ v definido por: −→ u · −→ v = x · x + y · y Los vectores −→ u y −→ v son ortogonales si, y solo si, su producto escalar es nulo. Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J y los tres puntos : A ( − 5 ; 1) ; B ( − 3 ; − 5) ; C ( − 2 ; 2) . Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A . E.9593 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y los tres puntos : A (2 ; 1) ; B (1 ; − 2) ; C ( − 1 ; 2) . Justifica que el triángulo ABC es acutángulo en A . https://chingmath.fr ABCDIH chapExoCorrec/5059 sacados/5059 ABC6cm2cm7cm chapExoCorrec/3011 sacados/3011 chapExoCorrec/3015 sacados/3015 ABCD5cm4cm3cm chapExoCorrec/7781 sacados/7781 chapExoCorrec/9593 sacados/9593
−i−jABCDI E.9615 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal, considere los tres puntos : A (4 ; 7) ; B (2 ; 3) ; C (7 ; 6 ; 0 ; 2) Justifica que el triángulo ABC es rectángulo en B . E.3018 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los cuatro puntos siguientes : A ( − 3 ; 2) ; B ( − 2 ; − 2) ; C (2 ; − 1) ; D (1 ; 3) . 1 Determina el valor de −−→ AB · −−→ AD . 2 Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. E.9592 Consideremos el plano con el punto de referencia O ; I ; J y los tres puntos : D ( − 3 ; − 2) ; E (1 ; 1) ; F 2 ; − 26 3 . Demuestre que el triángulo DEF es rectángulo. Se especifi-cará el vértice del ángulo recto. E.8212 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y los tres puntos : D ( − 1 ; 3) ; E 3 ; 14 3 ; F − 1 6 ; 1 . Justifica que el triángulo DEF es acutángulo. E.7787 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los tres puntos : A ( − 2 ; 1) ; B ( − 8 ; − 3) ; D − 3 ; 5 2 1 Determina las coordenadas del punto C tal que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. 2 Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. E.3013 Sea a un número real pos-itivo. Consideremos el rec-tángulo ABCD tal que : AB = a ; AD = 2 2 a Observamos I el centro de [ CD ] . A continuación se ofrece una representación : Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal D ; −→ i ; −→ j ) en la dirección directa donde −→ i = −−→ DC : 1 Determina las coordenadas de los distintos puntos de esta figura. 2 Deduce que las rectas ( AC ) y ( IB ) son perpendiculares. Pregunta subsidiaria : repite la pregunta 2 sin utilizar las coordenadas de los puntos. 14. Coordenadas y hallar las coordenadas de un punto E.8432 En un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos los dos puntos A ( − 2 ; 3) y B (4 ; − 1) y un punto C tal que : el punto C tiene abscisa 3 . El triángulo ABC es acutángulo en B . Determina las coordenadas del punto C . E.9654 En un sistema de referencia O ; I ; J , considera los dos puntos : B (2 ; 2 ; − 0 ; 5) ; C (3 ; 7 ; − 0 ; 9) . El punto A es tal que : el triángulo ABC es rectangular en B ; la ordenada del punto A tiene el valor 1 . Determina las coordenadas del punto A . E.9617 En un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos los dos puntos A ( − 2 ; 3) y B (4 ; − 1) y un punto C tal que : el punto C tiene abscisa 3 . El triángulo ABC tiene ángulo recto en B . Determina las coordenadas del punto C . E.5154 En un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos los dos puntos A ( − 2 ; 3) y B (4 ; − 1) y un punto C tal que : el punto C tiene abscisa 3 . El triángulo ABC tiene ángulo recto en C . Determina el conjunto de puntos C que realizan estas condi-ciones. E.5155 En un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos los dos puntos A (2 ; 2) y B (4 ; − 4) y un punto C tal que : el punto C tiene abscisa 3 . El triángulo ABC tiene ángulo recto en C . Determina las coordenadas del punto C . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9615 sacados/9615 A reouvrir apres interro chapExoCorrec/3018 sacados/3018 chapExoCorrec/9592 sacados/9592 chapExoCorrec/8212 sacados/8212 chapExoCorrec/7787 sacados/7787 chapExoCorrec/3013 sacados/3013 −i−jABCDI chapExoCorrec/8432 sacados/8432 chapExoCorrec/9654 sacados/9654 chapExoCorrec/9617 sacados/9617 chapExoCorrec/5154 sacados/5154 chapExoCorrec/5155 sacados/5155
IJOCABMN IJOABCH E.9595 En el plano dotado de un sis-tema de referencia ortonormal, considera la circunferencia C de diámetro [ AB ] y cuyas coordenadas son conocidas : A ( − 3 ; 0) ; B (2 ; 2) Determina las coordenadas de los dos puntos M y N intersec-ción de la circunferencia C con el eje y. On utilizaremos la siguiente proposición aceptada : Proposición: sea C una circunferencia de diámetro [ AB ] . para cualquier punto M de C distinto de A y B , el triángulo ABM es un triángulo rectángulo en M . E.9599 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal, considera los puntos : A ( − 1 ; 1) ; B (3 ; 0) ; C (2 ; 2) Determina las coordenadas del punto proyectado C sobre la recta ( AB ) . 15. Norma de un vector E.8433 Definición : sea −→ u un vector, llamamos norma del vec-tor −→ u a su longitud y la anotamos −→ u . Proposición: en el plano con un sistema de referencia ortonormal, el vector −→ u ( x ; y ) tiene norma : −→ u = x 2 + y 2 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, el vector −→ u (3 ; 2) y los dos puntos A (2 ; − 1) y B (4 ; 2) . 1 Determina la norma del vector −→ u . 2 Determina la norma del vector −−→ AB . E.8434 1 Considera el vector −→ u − 5 2 ; 4 3 . Montrer que : −→ u = 17 6 2 Considera los dos puntos A − 2 3 ; 1 2 y B 8 3 ; − 2 . Demuestre que : −−→ AB = 25 6 E.8435 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera los dos puntos A , de orde-nadas 2 5 y B 5 20 ; − 4 5 tales que : −−→ AB = 5 4 . Determina la abscisa del punto A . 16. Cálculo de ángulos en un sistema de referencia E.8527 Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coorde-nadas O ; I ; J , consideramos tres puntos ABC . Tenemos la igualdad : −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC Consideramos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) : Sean A , B , C tres puntos del plano con coordenadas respec-tivas : ( − 2 ; 3) ; (1 ; − 4) ; (0 ; − 2) . 1 Determinar los valores de −−→ BA · −−→ BC , −−→ BA y −−→ BC . 2 Deducir la medida del ángulo geométrico ABC con una precisión de dos decimales. E.2596 Considera el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) y los tres puntos siguientes y sus coordenadas en este sistema de referencia : A (3 ; 2) ; B (5 ; − 1) ; C ( − 2 ; 3) 1 Dar las coordenadas de los vectores −−→ AB , −→ AC y −−→ BC . 2 Dar los valores de los siguientes productos escalares : −−→ AB · −→ AC ; −−→ BA · −−→ BC ; −−→ CB · −→ CA 3 Determina las distancias AB , AC y BC . 4 Determina la medida de los 3 ángulos del triángulo ABC redondeada al grado más próximo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9595 sacados/9595 IJOCABMN chapExoCorrec/9599 sacados/9599 IJOABCH chapExoCorrec/8433 sacados/8433 chapExoCorrec/8434 sacados/8434 chapExoCorrec/8435 sacados/8435 chapExoCorrec/8527 sacados/8527 chapExoCorrec/2596 sacados/2596
abABCDIJ AMPR E.2593 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) . .Determinemos una medida del ángulo orientado EDF donde D (3 ; 5) , E ( − 1 ; 0) , F (2 ; 4) con una precisión de centésimas de grado. E.7849 Consideremos el plano con el sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ u ; −→ v y los puntos A , B , C con coordenadas : A (1 ; 1) ; B (4 ; 2) ; C (3 ; − 1) Determinar la medida del ángulo ABC con una precisión de una décima de grado. E.9616 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, se consideran los tres puntos : A (6 ; 3) ; B (1 ; 1) ; C (3 ; − 1) Determine, con una precisión de una décima de grado, la me-dida del ángulo ACB . 17. Producto escalar y manipulaciones algebraicas E.3016 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal y los tres pun-tos siguientes : A (2 ; 3) ; B (6 ; 5) ; C (0 ; 6) Observamos : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC 1 a Determinar las normas −→ u y −→ v . b Determinar el valor de : −→ u · −→ v 2 a Expande la expresión : 3 ×−→ u − 2 ×−→ v 2 . b Deduce the norm : 3 ×−→ u − 2 ×−→ v . E.3081 Consideremos, en el plano, el rec-tángulo ABCD de longitud a y anchura b ; sean J y I las proyecciones ortogonales sobre la recta ( AC ) de los puntos D y B respectivamente : 1 a Justifique la siguiente igualdad : −→ AC · −−→ BD = − AC × IJ b Justifica la siguiente igualdad : −→ AC · −−→ BD = b 2 − a 2 2 Deduce la expresión de la longitud IJ en función de a y b . 18. Fórmula Al-Kashi: determinar una longitud E.8528 Consideremos el triángulo ABC cuyas medidas son : AC = 3 ; 7 cm ; BC = 7 cm ; ACB = 48 o Determine la medida, con una precisión de milímetros, del segmento [ AB ] . E.6687 Proposal: Al-Kashi’s formulas applied to triangle ABC : AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 × AC × BC × cos ACB AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 × AB × BC × cos ABC BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC Consider the configuration below : 1 Write Al-Kashi’s three formulas in triangle ARP . 2 Copy and complete the dotted lines below : RP 2 = : : : 2 + : : : 2 − 2 × : : : × : : : × cos RMP E.8529 Considera un triángulo ABC que verifica las medidas : AB = 5 cm ; AC = 3 cm ; ABC = 30 o Determinar las posibles medidas del segmento [ BC ] alcan-zando estas condiciones. (estas medidas se darán al milímetro más próximo) E.9655 Considera un triángulo ABC que verifica las medidas : BC = 17 cm ; AC = 23 cm ; BAC = 45 o Determinar las posibles medidas del segmento [ AB ] alcan-zando estas condiciones. (estas medidas se darán al milímetro más próximo) 19. Fórmula Al-Kashi: determinación de un ángulo https://chingmath.fr chapExoCorrec/2593 sacados/2593 chapExoCorrec/7849 sacados/7849 chapExoCorrec/9616 sacados/9616 chapExoCorrec/3016 sacados/3016 chapExoCorrec/3081 sacados/3081 abABCDIJ chapExoCorrec/8528 sacados/8528 chapExoCorrec/6687 sacados/6687 AMPR chapExoCorrec/8529 sacados/8529 chapExoCorrec/9655 sacados/9655
ABCDO35o70o E.2590 Propuesta: Las fórmulas de Al-Kashi aplicadas al trián-gulo ABC dan como resultado : AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 × AC × BC × cos ACB AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 × AB × BC × cos ABC BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC Consideremos el triángulo ABC cuyas medidas son : AB = 5 ; 3 cm ; AC = 3 ; 7 cm ; BC = 7 cm Determine la medida, con una precisión de una décima de grado, de los ángulos del triángulo ABC . E.6706 Consideremos el triángulo ABC con las medidas : AB = 6 ; 4 cm ; AC = 4 ; 8 cm ; BC = 8 cm Determine la medida de los tres ángulos del triángulo ABC , redondeada a la décima de grado más cercana. E.7850 Consideremos el triángulo ABC cuyas medidas son : AB = 5 ; 5 cm ; AC = 6 ; 2 cm ; BC = 4 ; 7 cm Determine la medida del ángulo BAC con una precisión de una décima de grado. E.7916 Un artesano quiere industri-alizar la fabricación de pendientes (véase más abajo) . Para ello, hay que ayudar al técnico de la empresa selec-cionada a determinar los tres ángulos del triángulo utilizado como forma geométrica de la joya, ya que así lo exige la fab-ricación de la herramienta de corte. Las medidas de los ángulos se darán en grados, con una pre-cisión de 10 − 1 . E.10168 Consideremos la figura siguiente, en la que où ABCD es un paralelogramo. Determina la medida del ángulo OAB . A TERMINAR 20. Caracterización de los puntos del círculo E.8437 Sean A y B dos puntos distintos del plano. Denotemos por I el punto medio del segmento [ AB ] . 1 Establezcamos, para todo punto M del plano, la relación: −−→ MA · −−→ MB = −−→ MI 2 − −→ AI 2 2 Consideremos un punto C tal que el triángulo ABC sea rectángulo en C . a Establecer que : IC = IB = IA b ¾Qué se puede decir del punto C en relación con la circunferencia C de diámetro [ AB ] ? 3 Recíprocamente, ¾qué se puede decir del triángulo ABM si el punto M pertenece al círculo C de diámetro [ AB ] ? Establecer esta propiedad. E.8436 En un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los puntos A y B de coor-denadas : A ( − 2 ; 3) ; B (3 ; 0) y la circunferencia C de diámetro AB . Determina las coordenadas de los dos puntos de la circunfer-encia C con abscisa 1 . On puede utilizar la siguiente proposición : Proposición: si un triángulo está inscrito en una circun-ferencia y uno de sus lados forma un diámetro entonces ese triángulo es rectángulo y ese lado es su hipotenusa. 21. Más: Fórmula de los senos https://chingmath.fr chapExoCorrec/2590 sacados/2590 chapExoCorrec/6706 sacados/6706 chapExoCorrec/7850 sacados/7850 chapExoCorrec/7916 sacados/7916 From Gilles Lab sacados/10168 ABCDO35o70o chapExoCorrec/8437 sacados/8437 chapExoCorrec/8436 sacados/8436
AMPR ABCD48o35o85o6cm 5km3;5kmPMCB25o45o 4km2;5kmPMCB30o50o E.9594 Considere la siguiente configuración : 1 Escribe la fórmula de la igualdad de los senos del trián-gulo RPM . 2 Completa la igualdad : sin ARP = : : : × sin RAP : : : E.2674 Considera el cuadrilátero ABCD que se muestra a continuación : 1 Las fórmulas de AL-Kashi dan la fórmula : DC 2 = BD 2 + BC 2 − 2 × BD × BC × cos DBC Deduce la medida de la longitud DC redondeada al milímetro más próximo. 2 La fórmula de los senos expresada en el triángulo ABD se expresa como: sin DBA AD = sin ADB AB = sin DAB DB Deduce las medidas de las longitudes AB y AD re-dondeadas al milímetro más próximo. E.2664 Un barco B llega al puerto P en línea recta; .En la orilla, Marc y Cléa observan cómo el barco entra en el puerto. 1 a Determina las medidas de los ángulos del triángulo BCM . b La fórmula del seno se expresa en el triángulo MBC mediante : sin BCM BM = sin CMB CB = sin MBC MC Deduzca la longitud BC redondeada al hectómetro más cercano. 2 En el triángulo CBP , las fórmulas de Al-Kashi se expre-san mediante : PC 2 = PB 2 + BC 2 − 2 × PB × BC × cos PBC PB 2 = PC 2 + BC 2 − 2 × PC × BC × cos PCB CB 2 = CP 2 + PB 2 − 2 × CP × PB × cos CPB Deduzca la distancia que separa el barco del puerto re-dondeada al hectómetro más cercano. E.6710 Un barco B llega al puerto P en línea recta; en la orilla, Marc y Cléa observan cómo el barco entra en el puerto. Las longitudes se redondearán al centenar de metros más cer-cano. 1 En el triángulo MCB , determine la longitud BC . 2 Deduzca la distancia que separa el barco del puerto. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9594 sacados/9594 AMPR chapExoCorrec/2674 sacados/2674 ABCD48o35o85o6cm chapExoCorrec/2664 sacados/2664 5km3;5kmPMCB25o45o chapExoCorrec/6710 sacados/6710 4km2;5kmPMCB30o50o
3kmABM30o70oN95o35o ABCD52o47o85o6cm 3cmABCI20o60o75oDJ40o85oK115o BAC E.3084 Dos observadores quieren medir la distancia entre dos faros cercanos a su costa. Para ello, se separan por 3 km y toman las siguientes medidas angulares : MAB = 30 o ; MBA = 70 o ; NAB = 95 o ; ABN = 35 o El diagrama siguiente muestra esta situación : 1 a Determine la longitud del segmento [ AN ] (al metro más cercano) . b Determina la longitud del segmento [ AM ] (al metro más cercano) . 2 Determina la longitud del segmento [ MN ] (al hectómetro más próximo) . E.6707 Determina las medidas de los cuatro lados del cuadrilátero ABCD con aproximación al milímetro. E.3041 Consideremos la siguiente configu-ración, en la que la recta ( AK ) interseca los segmentos [ BC ] y [ DC ] respectivamente en I y J : Determine, con una precisión de milímetros, la longitud AK . (Los resultados intermedios deben tener una precisión de 10 − 3 cm ) . Nota: Este método, denominado ˇ por triangularización ı de distanciası, ha sido muy útil a lo largo de la historiaâpara determinar distancias terrestres y marítimas. 22. Estudio complementario: Líneas notables y coincidencia E.2661 Sea ABC un triángulo cualquiera. 1 Demostrar que para cualquier punto M del plano, ten-emos la relación: −−→ AM · −−→ BC + −−→ BM · −→ CA + −−→ CM · −−→ AB = 0 2 Deduce que las alturas del triángulo ABC son concur-rentes en un punto H . E.8438 Consideremos el triángulo ABC representado a continuación : Denotemos por I el punto medio del segmento [ AB ] y defi-namos el punto G mediante la relación vectorial: −→ IG = 1 3 · −→ IC 1 a Sitúa el punto G en la figura anterior. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3084 sacados/3084 3kmABM30o70oN95o35o chapExoCorrec/6707 sacados/6707 ABCD52o47o85o6cm chapExoCorrec/3041 sacados/3041 3cmABCI20o60o75oDJ40o85oK115o chapExoCorrec/2661 sacados/2661 Concourances des hauteurs chapExoCorrec/8438 sacados/8438 BAC
b Justifica que el punto G pertenece a la mediana del triángulo ABC que sale del vértice C . 2 a Establecer que el punto G verifica la relación vecto-rial: −→ GA + −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 b Recíprocamente, demostrar que el punto G es el único punto M del plano que verifica la relación vectorial: −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC = −→ 0 3 Se denota J el punto medio del segmento [ AC ] y H el punto del plano definido por la relación: −−→ JH = 1 3 · −→ JB a Demuestra que el punto H cumple la relación vecto-rial: −−→ HA + −−→ HB + −−→ HC = −→ 0 b ¾Qué se puede decir del punto H ? Justifica tus re-spuestas. 4 Del mismo modo, demuestre que el punto G pertenece a la mediana del triángulo ABC que sale del vértice A . 23. Producto escalar y secuencias E.11044 Consideremos las dos sucesiones u n y v n definidas en N por: la sucesión u n es aritmética de primer término − 6 y de razón 3 . la sucesión v n es geométrica con primer término 27 y razón 1 3 . En el plano ortogonal, consideramos la sucesión de puntos M n definida en N por: M n ( u n ; v n ) Demuestra que los vectores −−−→ OM 2 y −−−→ OM 4 son ortogonales. E.11045 L’exercice n’existe pas. 24. Producto escalar y número derivado E.11046 Considera las dos funciones : f ( x ) = x 2 − 5 x + 2 ; g ( x ) = − x 2 + 5 x − 1 Observa C f y C g respectivamente, las curvas representativas de las funciones f y g en un marco de referencia ortonormal. Establecer que las respectivas tangentes a las curvas C f y C g en el punto de abscisa 3 son ortogonales. 25. Producto escalar y función exponencial E.11047 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = e 2 x +2 ; g ( x ) = − 4 · e − 2 x +7 Denotemos por C f y C g las curvas representativas respectivas de las funciones f y g en un sistema de coordenadas ortonor-males. Para x un número real, denotamos por M x y N x los dos pun-tos de abscisa x y pertenecen respectivamente a las curvas C f y C g . Determinar el conjunto de valores de x tales que los dos vec-tores −−−→ OM x y −−→ ON x sean ortogonales. E.11048 L’exercice n’existe pas. 26. Ejercicios no clasificados E.2662 Sea ABC un triángulo rectángulo en A . Sea H el pie de la altura desde A . I , J , K son los re-spectivos puntos medios de los segmentos [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] . 1 Establece la siguiente relación: HA 2 = HB × HC 2 a Establezca la siguiente relación vectorial: −→ AI + −→ AJ = −−→ AK b Demuestra que las rectas ( HI ) y ( HJ ) son perpendic- ulares. E.7786 En el plano dotado de un sistema de referencia, considera las dos rectas ( d ) y (Δ) que admiten la ecuación : ( d ) : y = 3 · x − 1 ; (Δ) : 2 · x + 6 · y + 4 = 0 1 Demuestra que las rectas ( d ) y (Δ) son perpendiculares. 2 Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas ( d ) y (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11044 sacados/11044 sacados/11045 chapExoCorrec/11046 sacados/11046 chapExoCorrec/11047 sacados/11047 sacados/11048 chapExoCorrec/2662 sacados/2662 chapExoCorrec/7786 sacados/7786