Bachillerato 1 / Secuencias aritméticas, geométricas y otras 94 ejercicios (100% corregidos)

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ChingQuizz : 18 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Algunos recordatorios E.2905 Recordatorios : Consideramos un valor x que evoluciona para obtener el valor y : Reducción de a % : y = x · 1 − a 100 Aumento de a % : y = x · 1+ a 100 1 Encuentre los coeficientes multiplicadores que represen- tan cada una de las siguientes evoluciones : a +10 % b +2 ; 5 % c +115 % d − 22 % e − 10 ; 7 % f − 65 % 2 Para cada coeficiente multiplicador, encuentre la evolu-ción asociada y el porcentaje correspondiente : a 1 ; 02 b 1 ; 375 c 2 ; 1 d 0 ; 15 e 0 ; 85 f 0 ; 912 2. Introducción a las suites E.2379 1 Consideremos la sucesión lógica: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 Anotando sucesivamente u 0 , u 1 , u 2 , . . . los términos de esta sucesión, da el valor de u 6 . Indicación : es decir, el término 3 se anota como u 0 , el término 4 se anota como u 1 , el término 11 se anota como u 2 . . . 2 Consideremos la sucesión lógica: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 Anotando v 0 , v 1 , v 2 , . . . los términos de esta sucesión, da el valor de v 5 . 3 Consideremos la sucesión lógica: -1 ; 2 ; − 4 ; 8 ; − 16 ; 32 Anotando w 0 , w 1 , . . . los términos de esta sucesión, da el valor de w 6 . 4 Consideremos la sucesión lógica: 1 ; 3 ; 17 ; 5 ; 33 ; 41 Anotando s 0 , s 1 , . . . los términos de esta sucesión, da el valor de s 6 . 5 Consideremos la sucesión lógica: 2 ; 3 2 ; 4 3 ; 5 4 Anotando t 0 , t 1 , . . . los términos de esta sucesión, da el valor de t 5 E.6517 Consideremos los dos siguientes pro-cedimientos para obtener números : Procedimiento A Multiplicamos el número dado por 3 Procedimiento B Al número dado, se le resta 2 . Para cada pregunta, da los seis primeros términos obtenidos repitiendo las instrucciones tantas veces como sea necesario. 1 El número inicial es 3 y se repite el procedimiento A ; 2 El número inicial es 11 y se repite el procedimiento B . E.7308 Considere los dos algoritmos sigu-ientes : Algorithme 1 u ← 4 Para i que van de 1 a 53 u ← u + 3 Fin Para Algoritmo 2 u ← 1 Para i ir de 1 a 4 u ← 2 × u + 1 Fin Para Para cada uno de los algoritmos, indique el valor contenido en la variable u tras la ejecución del algoritmo. E.6516 Completa secuencias lógicas de números para obtener los primeros 8 términos de cada una : a 4 - 7 - 10 - 13 - . . . b 3 - 6 - 12 - 24 - . . . c 20 - 19 - 17 - 14 - . . . d 5 - 7 - 11 - 17 - . . . e 1 - 4 - 9 - 16 - . . . E.7183 Estos son algunos ejemplos de secuencias numéricas : a ( 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; : : : ) b ( 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; : : : ) c ( 6 ; − 6 ; 6 ; − 6 ; 6 ; : : : ) d ( 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; : : : ) Para cada una de estas secuencias numéricas, encuentra la relación que permite obtener un valor en función de los val-ores anteriores. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2905 sacados/2905 chapExoCorrec/2379 sacados/2379 chapExoCorrec/6517 sacados/6517 chapExoCorrec/7308 sacados/7308 chapExoCorrec/6516 sacados/6516 chapExoCorrec/7183 sacados/7183
1234567ABCDTempsPopulationdelasoucheAPopulationdelasoucheBPopulationtotale0200300 E.9483 Consideremos las siguientes sucesiones lógicas de números : a ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; : : : ) b ( 1 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; : : : ) c ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; : : : ) d ( 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 5 ; 6 ; : : : ) e ( 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; : : : ) Denominando u 0 , u 1 , u 2 , . . . los términos sucesivos de esta sucesión, calcule el valor del término u 6 de cada una de estas sucesiones. 3. Introducción al vocabulario E.7194 1 Consideremos la siguiente sucesión de números : 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 23 ; 30 a En esta sucesión, ¾cuál es el término que sigue a 12 ? b En esta sucesión, ¾cuál es el término que precede a 8 ? 2 En general, los términos de una sucesión se indican uti-lizando como índice la posición del término en la sucesión (la indexación comienza en 0 ) : u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; · · · ; u n − 1 ; u n ; u n +1 a ¾Cuál es el término sucesor de u 2 ? b ¾Cuál es el término predecesor de u 4 ? c ¾Cuál es el término sucesor de u n ? d ¾Cuál es el término sucesor de u n +2 ? e ¾Cuál es el término predecesor de u n ? f ¾Cuál es el término predecesor de u n +2 ? E.7192 1 Consideramos la sucesión cuyo primer término es 2 y cuyo ˇ sucesor tiene el valor doble que su predecesor ı Construimos los cuatro primeros términos de la sucesión. 2 Consideramos la sucesión cuyo primer término es − 3 y cuyo ˇ sucesor tiene el valor de su predecesor aumentado en 3 . ı Construye los cuatro primeros términos de la sucesión. 3 Considera la sucesión cuyos términos están indexados a partir de 0 y cuyo ˇ el valor de un término es el cuadrado de su rang ı. Construye los cuatro primeros términos de la sucesión. E.6519 Consideremos las tres sucesiones cuyo primer término es 2 y se definen de la siguiente man-era: 1 un término es el inverso de su predecesor al que se le suma 2 . 2 un término vale el doble de su predecesor al que se le añade 2 . 3 un término tiene como valor el doble de su rango al que se le añade 2 . Asociar a cada una de estas sucesiones la definición que le corresponde : a u n =2 · n +2 b u n +1 = 1 u n +2 c u n +1 =2 · u n +2 4. Introducción a la generación de secuencias aritméticas y geométricas E.2906 Los científicos estudian un cultivo de bacterias que contiene dos cepas que se llamarán A y B . Al comienzo del experimento (en el tiempo ˇ0ı) , hay 200 bac-terias de las cepas A y 300 bacterias de las cepas B . Los científicos observan las siguientes tendencias : cada min-uto, la población de A bacterias aumenta en 10 % , mientras que la de la cepa B disminuye en 20 bacterias. 1 a En el momento ˇ 0 min ı, ¾cuál es el porcentaje que representan las bacterias de la cepa A respecto a todas las bacterias? b En el momento ˇ 1 min ı, ¾cuál es el porcentaje que rep-resentan las bacterias de la cepa A respecto a todas las bacterias? c Completa la siguiente tabla : 2 n denota un número natural ( n ∈ R ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9483 sacados/9483 chapExoCorrec/7194 sacados/7194 chapExoCorrec/7192 sacados/7192 chapExoCorrec/6519 sacados/6519 chapExoCorrec/2906 sacados/2906 1234567ABCDTempsPopulationdelasoucheAPopulationdelasoucheBPopulationtotale0200300
a0×:::a1×:::a2×:::a3×:::a4×:::×:::×:::×::: b0−:::b1−:::b2−:::b3−:::b4−:::−:::−:::− Observamos a n la población de bacterias de la cepa A en el momento ˇ n min ı ; así, a 0 =200 . Observamos b n la población de bacterias de la cepa B en el momento ˇ n min ı ; así b 0 = 300 . Completa las líneas de puntos siguientes : a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 1 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 1 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 2 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 2 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 3 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 3 . . . . . . . . . . . . Generalizamos mediante : a n +1 = a n . . . . . . . . . . . . b n +1 = b n . . . . . . . . . . . . 3 Completa los dos diagramas siguientes : a b 4 Completa las líneas punteadas : a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 0 . . . . . . . . . . . . Generalizamos mediante : a n = a 0 . . . . . . . . . . . . b n = b 0 . . . . . . . . . . . . E.2372 La empresa Mandine contrata a Arthur el 1 er de enero de 2009 con un salario de 1525 e y le ofrece dos tipos de promoción : Cada 1 er de enero, su salario aumentará en 32 e . Cada 1 er de enero, su salario aumentará en 2 % . 1 Complete la siguiente tabla redondeando los valores a la décima más cercana : Año 2009 2010 2011 2012 Ascenso A Ascenso B Año 2013 2014 2015 2016 Ascenso A Ascenso B 2 ¾A partir de qué año tendrá Arthur un salario más alto si elige el ascenso B ? E.7195 A un solicitante de empleo se le ofrecen dos propuestas : Un salario inicial de 1150 euros al mes y un aumento de 5 % al mes. Se anota a n la continuación de estos ingresos mensu-ales con esta propuesta. Un salario inicial de 1200 euros al mes y un aumento de 3 % al mes. Anotamos b n la continuación de estos ingresos mensuales con esta propuesta. 1 Indique la naturaleza y los elementos característicos de cada una de las continuaciones a n y b n . 2 Complete la tabla siguiente redondeando los valores de los términos al centésimo. n 0 1 2 3 4 a n b n 3 a Al cabo de 5 ième meses, ¾cuál es la propuesta que ofrece el salario más ventajoso? b A la vista de la suma recibida al cabo de los cinco meses, ¾cuál es la propuesta más ventajosa? 5. Secuencias aritméticas: primeros términos E.8523 Definición : Se denomina secuencia aritmética a toda secuencia de números en la que el sucesor de un término se obtiene sumándole siempre el mismo número. Este número se denomina razón de esta secuencia arit-mética. Consideremos la sucesión u n aritmética, donde n ∈ N , con primer término u 0 =5 y razón 3 . Copie y complete la línea siguiente para obtener los cinco primeros términos de esta sucesión : u 0 = : : : ; u 1 = : : : ; u 2 = : : : ; . . . E.5121 Determinar los cinco primeros térmi-nos de la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , aritmética de primer término 2 y de razón 3 . E.7309 Consideremos la sucesión aritmética u n , definida para todo n ∈ N , con primer término 2 y razón − 3 . Determine los cuatro primeros términos de la sucesión u n . https://chingmath.fr a0×:::a1×:::a2×:::a3×:::a4×:::×:::×:::×::: b0−:::b1−:::b2−:::b3−:::b4−:::−:::−:::− chapExoCorrec/2372 sacados/2372 chapExoCorrec/7195 sacados/7195 chapExoCorrec/8523 sacados/8523 chapExoCorrec/5121 sacados/5121 chapExoCorrec/7309 sacados/7309
E.7717 1 a En un lenguaje de programación, introduce el sigu-iente algoritmo: a ← 2 For i ranging from 0 to 4 a ← a+3 End For b Realizando una ejecución paso a paso, observe los val-ores sucesivos que toma la variable a : . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . 2 a Modifica el algoritmo para que los valores sucesivos que tome la variable a sean : 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 b Modifica el algoritmo para que los sucesivos valores que tome la variable a sean : 5 ; 10 ; 15 E.10234 Definición : Sea u n una sucesión definida para todo n ∈ N y sea r ∈ R . Se dice que la sucesión u n es una sucesión aritmética de razón r si verifica la relación: u n +1 = u n + r para todo n ∈ N . Sea u n una sucesión aritmética de razón 3 . Simplifique las siguientes expresiones : a u 4 + 3 b u 10 − 3 c u 7 + 6 E.7193 Consideremos la sucesión u n , definida para n ∈ N ∗ , aritmética de primer término 3 y de razón 5 . Determina los cinco primeros términos de esta sucesión. E.7540 Determinar los cinco primeros térmi-nos de la sucesión v n , definida para todo n ∈ N , aritmética de primer término 3 y de razón − 2 3 . E.7186 Consideremos la sucesión aritmética v n definida por: v 0 = 6 ; v n +1 = v n − 2 para todo n ∈ N Determine el valor de los 6 primeros términos de la sucesión v n . 6. Secuencias aritméticas: introducción a la fórmula explícita E.7191 Consideremos la sucesión u n n ∈ N cuyos primeros términos son : u 0 =3 ; u 1 =7 ; u 2 =11 ; u 3 =15 De entre las cuatro proposiciones, cite las dos relaciones veri-ficadas por los cuatro primeros términos de la sucesión u n . ¾Cuáles son? a u n +1 = u n + 4 b u n +1 = 4 · u n c u n = 3 + 3 · n d u n = 3 + 4 · n E.9488 Consideremos la sucesión u n , definida para n ∈ N , aritmética y cuyos primeros términos tienen el valor: n 0 1 2 3 4 u n 3 7 11 15 19 1 Indique los elementos característicos de esta sucesión. 2 Entre las relaciones siguientes, ¾cuáles se verifican en la sucesión u n ? a u n +1 = u n + 4 b u n +1 = u n + 3 c u n = 4 · n + 3 d u n = 3 · n + 4 7. Secuencias aritméticas: fórmulas explícitas E.10253 Consideremos la sucesión arit-mética u n de primer término 5 y razón − 2 . De entre las siguientes expresiones, ¾cuál representa el término u 27 ? a u 26 + 2 b u 26 − 2 c u 26 + 5 d u 26 − 5 e − 2 + 5 × 27 f 5 − 2 × 27 E.9460 Proposition: let u n ser una sucesión aritmética de primer término u 0 y razón r . Para cualquier n ∈ N , ten-emos : u n = u 0 + r · n Esta relación se llama fórmula explícita de los términos de una sucesión aritmética. Consideremos la sucesión u n n ∈ N definida por la relación de recurrencia : u 0 = 5 ; u n +1 = u n − 2 1 Quelle ¾cuál es la naturaleza de esta sucesión? 2 Dar la fórmula explícita que da el valor de u n en función de n . 3 Déterminer el valor de u 20 . E.10228 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , aritmética de primer término 3 y de razón 2 3 . 1 Da la fórmula explícita de los términos de la sucesión u n en función de n . 2 Determinar la expresión del término de rango 112 de la sucesión u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7717 sacados/7717 chapExoCorrec/10234 sacados/10234 chapExoCorrec/7193 sacados/7193 chapExoCorrec/7540 sacados/7540 chapExoCorrec/7186 sacados/7186 chapExoCorrec/7191 sacados/7191 chapExoCorrec/9488 sacados/9488 chapExoCorrec/10253 sacados/10253 chapExoCorrec/9460 sacados/9460 chapExoCorrec/10228 sacados/10228
8. Secuencias aritméticas: fórmulas explícitas (ampliadas) E.10236 Propuesta: Sea u n una sucesión aritmética de razón r y sean k , n dos números naturales. Se tiene la relación: u n = u k + n − k · r Sea v n una sucesión aritmética definida para todo n ∈ N y de razón q . Completa las siguientes expresiones : a u 7 = u 3 + : : : × r b u 25 = u 11 + : : : × r c u 3 = u 8 + : : : × r d u 15 = u 23 + : : : × r E.5120 Sea u n una sucesión aritmética de razón r . Completa las siguientes expresiones : a u 12 = u 5 + : : : × r b u 57 = u 38 + : : : × r c u 3 = u 8 + : : : × r d u 23 = u 38 + : : : × r E.10229 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N ∗ , aritmética de primer término 15 y de razón − 3 . 1 Da la fórmula explícita de los términos de la sucesión u n en función de n . 2 Determine el valor del término de rango 17 de la sucesión u n . E.9508 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , aritmética de razón 3 y cuyo tér-mino de rango 8 tiene como valor: u 8 =25 1 Determinar el valor del término u 14 . 2 Determinar el valor del término u 3 . 9. Secuencias aritméticas: rango de un término E.6530 Consideremos la sucesión aritmética u n n ∈ N cuyo primer término es 3 y cuya razón es − 2 . 1 Determina el valor de los términos u 12 y u 43 . 2 Determinar el valor del término n que cumple las igual-dades : a u n = − 21 b u n = − 57 E.9537 Consideremos la sucesión u n definida para todo n ∈ N ∗ aritmético de primer término 2 y razón 0 ; 25 . Determinar el rango n del término de la sucesión u n tal que : u n = 15 ; 75 E.8048 Consideremos la sucesión aritmética u n n ∈ N cuyo primer término es 4 y cuya razón es 1 3 . 1 Determina el valor del término u 8 . 2 Determinar el rango n tal que : u n = 16 E.8406 Consideremos la sucesión u n definida en N aritmética de primer término 2 y razón 3 4 . Determinar el rango del término que tiene como valor 53 4 10. Secuencias aritméticas: rasgos característicos E.5135 Sea u n n ∈ N una sucesión aritmética, definida para todo n ∈ N , de la que se conocen los dos térmi-nos : u 4 = 12 ; u 22 = − 24 Indique, justificando su razonamiento, las características de esta sucesión. E.6546 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N ∗ , aritmética cuyos valores de los dos términos siguientes se conocen : u 10 = 5 ; u 16 = 14 Determinemos el primer término u 1 y la razón de esta suce-sión. E.10237 Sea w n n ∈ N la sucesión aritmética tal que : w 6 = 7 ; w 8 = 1 Determine los elementos característicos de la sucesión u n . E.10238 Sea w n n ∈ N ∗ la sucesión aritmética que verifica: w 15 = 54 ; w 99 = 180 Determine los elementos característicos de la sucesión u n . E.8524 Sea v n n ∈ N ∗ una sucesión arit-mética tal que : v 7 = 13 ; v 15 = 39 Determine el valor del primer término y la razón de la suce-sión. E.2400 Sea w n n ∈ N una sucesión aritmética tal que : w 0 = 5 ; w 9 = 25 Determine los elementos característicos de la sucesión u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10236 sacados/10236 chapExoCorrec/5120 sacados/5120 chapExoCorrec/10229 sacados/10229 chapExoCorrec/9508 sacados/9508 chapExoCorrec/6530 sacados/6530 chapExoCorrec/9537 sacados/9537 chapExoCorrec/8048 sacados/8048 chapExoCorrec/8406 sacados/8406 chapExoCorrec/5135 sacados/5135 chapExoCorrec/6546 sacados/6546 chapExoCorrec/10237 sacados/10237 chapExoCorrec/10238 sacados/10238 chapExoCorrec/8524 sacados/8524 chapExoCorrec/2400 sacados/2400
E.2452 Sea u n una sucesión aritmética definida para todo n ∈ N ∗ de la que se conocen los dos térmi-nos siguientes : u 7 = 3 ; u 19 = 11 Determine el primer término y la razón de esta sucesión. E.2428 Consideremos la sucesión aritmética u n n ∈ N , de la que conocemos el valor de dos términos : u 14 =2 ; u 20 =0 1 Determina el primer término y la razón de esta sucesión. 2 a Determinar la expresión del término u n en función del valor de n . b Determinar el rango del término que vale 10 3 E.8359 Consideremos una sucesión u n , definida para todo n ∈ N , aritmética tal que : u 2 sea el doble de u 0 ; u 6 sea el cuadrado de u 2 . Determinar los elementos característicos de las dos sucesiones aritméticas que cumplen estas condiciones. 11. Reconocer una secuencia aritmética E.7187 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , cuyos primeros términos son : u 0 = 2 ; u 1 = 5 ; u 2 = 9 ; u 3 = 12 Justifique que la sucesión u n no es una sucesión aritmética. E.6523 Consideremos las dos sucesiones u n y v n definidas para todo n ∈ N y cuyos primeros tér-minos se dan a continuación : u 0 =3 ; u 1 =5 ; u 2 =7 ; u 3 =10 ; u 4 =12 ; u 5 =14 v 0 =6 ; v 1 =3 ; 5 ; v 2 =1 ; v 3 = − 1 ; 5 ; v 4 = − 4 ; v 5 = − 6 ; 5 ¾Para qué (s) sucesión (s) , se puede conjeturar que la sucesión es una sucesión aritmética? ¾Para qué (s) sucesión (s) , se puede afirmar que la sucesión no es aritmética? E.9547 Consideremos la secuencia u n definida para cualquier entero n ∈ N por: u n = 2 + 3 × n 1 Deja que n ∈ N , simplifique la expresión u n +1 − u n . 2 Deduce la naturaleza de la secuencia u n , y sus elemen-tos característicos. 12. Secuencias geométricas: primeros términos E.7188 Definición : Se denomina secuencia geométrica a toda secuencia de números en la que el sucesor de un término se obtiene multiplicando este por el mismo número. Este número se denomina razón de la secuencia ge-ométrica. Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , ge-ométrica de primer término 2 y de razón 3 . Determine los cinco primeros términos de esta sucesión. E.7189 Consideremos la secuencia v n definida por la relación de recurrencia : v 0 = 64 ; v n +1 = 1 2 · v n para todo n ∈ N 1 ¾Cuál es la naturaleza de esta suite? 2 Indique, sin justificación, el valor de v 6 . E.9496 Consideremos la sucesión v n ge-ométrica definida por: v 0 = − 2 ; v n +1 = 1 2 · v n para todo n ∈ N Determine los valores de los 6 primeros términos de la suce-sión v n . E.5122 La sucesión v n está definida para todo n ∈ N : Determina los cuatro primeros términos de la sucesión ge-ométrica v n de primer término 3 y razona − 3 2 . E.10235 Definición : Sea u n una sucesión definida para todo n ∈ N y sea q ∈ R . Se dice que la sucesión u n es una sucesión geométrica de razón q si verifica la relación: u n +1 = u n × q para todo n ∈ N . Sea u n una sucesión geométrica de razón 3 . Simplifique las siguientes expresiones : a 3 × u 10 b u 12 3 c u 5 × 3 2 E.8525 Sea u n una sucesión geométrica definida para n ∈ N , de razón 2 y cuyo primer término tiene valor 3 8 . Determine los seis primeros términos de esta suce-sión. E.9499 Consideremos la sucesión v n , definida para todo n ∈ N ∗ , geométrica de primer término 54 y de razón 1 3 . Determinemos los cuatro primeros términos de la sucesión v n . 13. Secuencias geométricas: fórmula explícita https://chingmath.fr chapExoCorrec/2452 sacados/2452 chapExoCorrec/2428 sacados/2428 chapExoCorrec/8359 sacados/8359 chapExoCorrec/7187 sacados/7187 chapExoCorrec/6523 sacados/6523 chapExoCorrec/9547 sacados/9547 chapExoCorrec/7188 sacados/7188 chapExoCorrec/7189 sacados/7189 chapExoCorrec/9496 sacados/9496 chapExoCorrec/5122 sacados/5122 chapExoCorrec/10235 sacados/10235 chapExoCorrec/8525 sacados/8525 chapExoCorrec/9499 sacados/9499
E.7272 Propuesta: Sea u n una sucesión geométrica cuyo primer término es u 0 y cuya razón es q . Para todo n ∈ N , se tiene : u n = u 0 × q n Esta relación se denomina fórmula explícita de los térmi-nos de una sucesión geométrica. Sea u n una sucesión geométrica, definida para todo n ∈ N de razón 2 y primer término 5 Determinar el valor de u 8 . E.6531 Consideramos la sucesión geométrica u n , definida para cualquier n ∈ N , de primer término 2 4 3 y razón 3 2 . Determinamos el valor de los términos u 11 y u 28 . E.8049 Consideremos la sucesión geométrica u n , definida para todo número natural n , con primer tér-mino 4 y razón 2 3 . Determine, en forma simplificada, el valor del término u 4 . E.9538 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , geométrica de primer término 3 4 7 6 y de razón 3 × 7 2 . Expresar el término u 10 en la forma : u 10 = 3 k × 7 donde k;‘ ∈ N E.9505 Consider the sequence u n defined on N with first term 2 and common difference 3 4 . Determine the value of the term of rank 6 . 14. Secuencias geométricas: fórmula explícita (ampliada) E.10254 Consideremos la sucesión ge-ométrica, definida en N , cuyo primer término es 4 y cuya razón es 3 . ¾Cuáles de las siguientes expresiones representan el término u 27 ? a u 5 × 3 22 b u 5 × 3 27 c u 31 × 3 4 d u 31 × 3 − 4 E.5123 Définition: let u n sea una sucesión geométrica de razón q y sean k , n dos números naturales. Tenemos la relación: u n = u k · q n − k Sea v n una sucesión geométrica definida para todo n ∈ N y de razón q . Completar las siguientes expresiones : a u 7 = u 3 × q ... b u 25 = u 11 × q ... c u 3 = u 8 × q ... d u 15 = u 23 × q ... E.8407 Consideremos la sucesión u n definida en N ∗ , de término inicial 5 3 y razón 5 7 . Determinar la expresión, en forma simplificada, del término de rango 7 de la sucesión u n . E.9498 Sea v n una sucesión geométrica definida para todo n ∈ N , de razón 3 2 y tal que v 6 =12 . Deter-minar el valor de v 3 . E.9497 Sea v n una sucesión geométrica, definida para n ∈ N , de razón 1 2 y tal que v 7 =3 2 × 2 3 . Deter-minar el valor de v 20 . E.7275 Sea u n una sucesión geométrica, definida para todo n ∈ N de razón 3 y tal que : u 7 = 3 2 × 2 2 Determine el valor de u 2 . 15. Secuencias geométricas: determinar el rango de un término E.10241 Proposición 1: Sean m y n dos números enteros y un número estrictamente positivo a tal que a m = a n entonces m = n . Proposición 2: (permitido) Sean x y y dos números estrictamente positivos tales que existe un entero distinto de cero n tal que x n = y n . Si n es impar entonces x = y . Si n es par entonces x = y o x = − y . 1 Para cada igualdad, determina el valor del entero n : a 2 n = 64 b 3 n = 81 c 3 4 n = 27 64 2 Para cada igualdad, determina el valor o valores posibles del número real x tal que : a x 3 = 1 8 b x 4 = 81 625 c x 2 = 36 49 E.9504 Consideremos la sucesión u n definida en N ∗ , de término inicial 5 3 y razón 5 7 . Determinar el rango del término cuyo valor es 5 12 7 9 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7272 sacados/7272 chapExoCorrec/6531 sacados/6531 chapExoCorrec/8049 sacados/8049 chapExoCorrec/9538 sacados/9538 chapExoCorrec/9505 sacados/9505 chapExoCorrec/10254 sacados/10254 chapExoCorrec/5123 sacados/5123 chapExoCorrec/8407 sacados/8407 chapExoCorrec/9498 sacados/9498 chapExoCorrec/9497 sacados/9497 chapExoCorrec/7275 sacados/7275 chapExoCorrec/10241 sacados/10241 chapExoCorrec/9504 sacados/9504
E.9506 Consideremos la sucesión geométrica u n , definida para todo número natural n , con primer tér-mino 4 y razón 2 3 . Con ayuda de la calculadora, determine el valor del término n que cumple : u n = 8 192 177 147 E.9507 Consideremos la sucesión geométrica u n , definida para todo n ∈ N , con primer término 2 4 3 y razón 3 2 . Para cada pregunta, determine el rango n que cumple la igual-dad : a u n = 3 8 2 5 b u n = 3 19 2 16 16. Secuencias geométricas: rasgos característicos E.8526 Sea v n una sucesión geométrica, definida para todo n ∈ N , de razón q y de la que se conocen los dos términos : v 11 = 4 7 ; v 14 = 27 14 1 a Completa la relación siguiente : v 14 = v 11 × : : : b Deduzca el valor de la razón de la sucesión v n . 2 Determine el valor del primer término de la sucesión v n . E.2401 Consideremos w n una sucesión geométrica definida para todo n ∈ N y tal que : w 0 = 5 ; w 3 = 40 Determinemos la razón de la sucesión u n . E.10239 Consideremos la sucesión ge-ométrica w n , definida para todo n ∈ N y tal que : w 3 = 3 8 ; w 6 = − 3 64 Determine los elementos característicos de la sucesión w n . E.9500 Sea v n , definida para todo n ∈ N , una sucesión geométrica cuyos dos términos se conocen : v 4 = 8 ; v 7 = 64 27 Indique, justificando su razonamiento, las características de esta sucesión. E.9501 Consideremos la sucesión v n , definida para todo n ∈ N ∗ , geométrica cuyos valores de los dos términos siguientes se conocen : v 4 = 96 ; v 7 = 3 2 Determinar el primer término v 1 y la razón de esta sucesión. E.2429 Considere la sucesión geométrica u n definida para todo n ∈ N y cuyos términos son conoci-dos : u 5 = 2 ; u 8 = 27 4 1 Determine el primer término y la razón de esta sucesión. 2 a Dar la expresión explícita del término u n en función del rango n . b Determinar el rango del término que vale 16 27 E.5827 Determinar las progresiones geométricas de siete términos (con términos reales) de forma que la suma de los tres primeros términos sea igual a 2 y la suma de los tres últimos términos sea igual a 1 250 E.9502 Sea v n una sucesión geométrica definida para todo n ∈ N y cuyos términos de rangos 4 y 8 valen respectivamente 3 y 16 27 . Determine los dos valores posibles de la razón. Indique el valor del primer término de estas dos sucesiones. E.2412 Sea u n una sucesión definida para todo n ∈ N cuyo valor de los dos términos siguientes se conoce : u 6 = 36 ; u 10 = 9 4 Demuestre que existen al menos dos sucesiones geométricas que cumplen estas condiciones. E.10240 Consideremos la sucesión ge-ométrica w n definida para todo n ∈ N y tal que : w 124 = 2 × 10 − 4 ; w 128 = 1 8 Observemos que existen dos sucesiones que cumplen estas condiciones. Determinaremos los elementos característicos de cada una de estas sucesiones. 17. Reconocer una secuencia geométrica E.9482 Consideremos la sucesión v n , definida para todo n ∈ N , cuyos primeros términos se indican en la tabla siguiente : n 0 1 2 3 4 v n 96 48 24 12 6 De las cuatro relaciones propuestas, solo dos permiten hallar los cinco primeros términos de la sucesión v n . ¾Cuáles son? a v n +1 = 2 · v n b v n +1 = 1 2 · v n c v n = 96 × 1 2 n d v n = 1 2 × 96 n https://chingmath.fr chapExoCorrec/9506 sacados/9506 chapExoCorrec/9507 sacados/9507 chapExoCorrec/8526 sacados/8526 chapExoCorrec/2401 sacados/2401 chapExoCorrec/10239 sacados/10239 chapExoCorrec/9500 sacados/9500 chapExoCorrec/9501 sacados/9501 chapExoCorrec/2429 sacados/2429 chapExoCorrec/5827 sacados/5827 Bac Khmer Juin 1969 chapExoCorrec/9502 sacados/9502 chapExoCorrec/2412 sacados/2412 chapExoCorrec/10240 sacados/10240 chapExoCorrec/9482 sacados/9482
E.9503 Consideremos la sucesión v n , definida para todo n ∈ N , cuyos primeros términos son : v 0 = 8 ; v 1 = 4 ; v 2 = 2 ; v 3 = 1 2 Justifique que la sucesión v n no es una sucesión aritmética. E.6524 Consideremos las dos sucesiones numéricas siguientes, en las que se dan los seis primeros tér-minos : a 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 b 1 ; 3 ; 9 ; 18 ; 54 ; 162 Para cada una de las preguntas, ¾podemos conjeturar que la sucesión es una sucesión geométrica? Si es así, especifique el primer término y la razón. Si no es así, justifique su rechazo de la conjetura. E.9546 Consideremos la sucesión u n definida para todo entero n ∈ N por: u n = 4 × 3 n Nota: para todo entero n ∈ N , u n es distinto de cero. Lo que también se escribe : ∀ n ∈ N , u n = 0 1 Sea n ∈ N , simplifique la expresión u n +1 u n . 2 Deduzca la naturaleza de la sucesión u n , así como sus elementos característicos. E.7274 Para cada pregunta se define una sucesión u n para todo número natural n . Indique si se trata de una sucesión geométrica o no, justificando su respuesta y, en su caso, indicando sus elementos característicos : a u n = 3 · n + 1 b u n = 5 n + 5 n +1 c u n = 2 × 4 n 3 n +1 d u n = n n +1 E.7273 Consideremos las dos secuencias u n y v n definidas para cualquier número natural n ex-plícitamente por: u n = 2 n +2 + 2 n ; v n = 4 n +1 3 n Determina la naturaleza y los elementos característicos de cada una de estas dos secuencias. 18. Secuencias aritméticas y modelización E.9585 Un fabricante de automóviles de-cide reducir su producción de coches térmicos. Actualmente, su producción es de 80 000 coches al mes y decide reducirla en 3 000 coches cada mes. Se decide denotar u 0 la producción actual de coches térmicos de esta empresa y u n su producción al cabo de n meses (donde n ∈ N ) . 1 Especificar la naturaleza de la sucesión u n , así como sus elementos característicos. 2 Dar una fórmula de recurrencia y la fórmula explícita de la sucesión u n . 3 ¾Cuántos meses hay que esperar para que su producción de coches térmicos pase por debajo del número de 10 000 unidades producidas al mes? Indicación : cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto, se tendrá en cuenta en esta pregunta. 19. Secuencias geométricas y modelado E.7260 En 2012 , la población de un país se estima en 45 ; 5 millones de habitantes. Se considera que esta población disminuye en 3 % cada año. Se anota u n la población de este país en el año 2012+ n . De este modo, acabamos de crear una sucesión u n definida en N . 1 Determine la población de este país en 2013 y 2014 re-dondeada al millar más cercano. 2 a Indique la naturaleza y los elementos característicos de esta sucesión. b Indique la expresión del término u n en función de su rango n . 3 Determine la población de este país en 2020 redondeada al millar de habitantes más cercano. E.7024 Un sitio web ofrece a sus abonados películas para descargar. Cuando se abre, se ofrecen 500 películas y cada mes el número de películas ofrecidas a los abonados aumenta en 6 % . Modelamos el número de películas ofrecidas mediante una se-cuencia geométrica u n en la que n denota el número de meses transcurridos desde la apertura del sitio. Por tanto, tenemos u 0 =500 . 1 Calculer u 1 y u 2 y damos el resultado redondeado a la unidad. 2 Exprimer u n en función de n . 3 Déterminer el valor del término de rango 6 redondeado a la unidad. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9503 sacados/9503 chapExoCorrec/6524 sacados/6524 chapExoCorrec/9546 sacados/9546 chapExoCorrec/7274 sacados/7274 chapExoCorrec/7273 sacados/7273 chapExoCorrec/9585 sacados/9585 chapExoCorrec/7260 sacados/7260 chapExoCorrec/7024 sacados/7024
ABEtape no0 ABEtape no1 ABEtape no2 ABEtape no3 ABEtape no4 ABEtape no5 Etape0Etape1Etape2Etape3 E.7270 El funcionamiento de algunas centrales geotérmicas se basa en el aprovechamiento del calor del subsuelo. Para poder ex-plotar este calor natural, es necesario excavar varios pozos lo suficientemente profundos. Durante la construcción de una central de este tipo, se mod-ela la tarifa para la perforación del primer pozo mediante la siguiente fórmula u n definida para todo número natural n distinto de cero: u n = 2000 × 1 ; 008 n − 1 donde u n representa el coste en euros de la perforación de los n primeros diez metros. Así, tenemos u 1 =2000 y u 2 =2016 , es decir, que la per-foración de los primeros diez metros cuesta 2 000 euros, y la de los diez metros siguientes cuesta 2 016 euros. En todo el ejercicio, redondear los resultados obtenidos al centésimo. 1 Calcular u 3 y luego el coste total de la perforación de los primeros 30 metros. 2 Para todo número natural n distinto de cero: a Expresar u n +1 en función de u n y precisar la natu-raleza de la sucesión u n . b Deduzca el porcentaje de aumento del coste de per-foración de la decena de metros ( n +1) con respecto al de la decena de metros n . E.2928 A continuación se muestran los seis primeros ˇ copos de Helge Von Koch ı que representan uno de los fractales más simples : Para pasar de una construcción a la siguiente, se realiza la siguiente manipulación en cada segmento : Cada segmento se divide en tres partes iguales (paso 1) . Se construye un triángulo equilátero en el segmento central (paso 2) . Se borra el segmento central (paso 3) . 1 a Al pasar del paso n o 0 al paso n o 1 aparece un trián-gulo equilátero. Resalte este triángulo en rojo. b ¾Cuántos segmentos comprende la figura del paso n o 1 ? ¾Cuántos triángulos equiláteros aparecerán en el paso n o 2 ? Resalte estos triángulos en rojo. 2 Denotemos por u n la sucesión numérica cuyo término de rango n es el número de segmentos que componen la figura en el paso n ième : a Justifica con una frase que la sucesión u n verifica la relación: u n +1 = 4 · u n b Expresa el término u n en función de su rango n . c ¾Cuántos segmentos comprende la figura del paso n o 5 ? 3 Se supone que el segmento inicial [ AB ] tiene una longi-tud de 1 . Se denota por v n la sucesión numérica cuyo término de rango n es la longitud de la línea poligonal que forma la figura en el paso n ième : a Justifique con una frase que la sucesión v n verifica la relación: v n +1 = 4 3 · v n b Exprese el término v n en función de su rango n . 20. Reconocer secuencias aritméticas y geométricas E.5859 Las tres sucesiones siguientes se de-finen para todo número natural n : 1 Justifique brevemente que los primeros términos de la sucesión u n que se presentan a continuación pueden ser los términos de una sucesión aritmética, cuya razón se especificará: u 0 = 2 ; u 1 = 9 2 ; u 2 = 7 ; u 3 = 19 2 2 Justifique brevemente que los primeros términos de la sucesión v n que se presentan a continuación pueden ser los términos de una sucesión geométrica, cuya razón se especificará: v 0 = 24 ; v 1 = 6 ; v 2 = 3 2 ; v 3 = 3 8 3 Justifique brevemente que los primeros términos de la sucesión w n no representan ni los primeros términos de una sucesión aritmética ni los primeros términos de una sucesión geométrica w 0 = 1 ; w 1 = 2 ; w 2 = 4 ; w 3 = 16 E.2402 A continuación se muestran los cu-atro primeros términos de cinco sucesiones definidas para cualquier número natural : 1 u 0 = 3 ; u 1 = 7 ; u 2 = 11 ; u 3 = 15 2 v 0 = 54 ; v 1 = 6 ; v 2 = 2 3 ; v 3 = 2 27 3 w 0 = 2 ; w 1 = − 6 ; w 2 = 18 ; w 3 = − 54 4 a 0 = 3 ; 25 ; a 1 = 5 ; a 2 = 6 ; 75 ; a 3 = 8 ; 25 5 b 0 = 2 ; b 1 = 4 ; b 2 = 8 ; b 3 = 16 De entre estas sucesiones, ¾para cuáles se puede conjeturar que son aritméticas? ¾Geométricas? ¾O se puede afirmar que no son ni aritméticas ni geométricas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7270 sacados/7270 chapExoCorrec/2928 sacados/2928 ABEtape no0 ABEtape no1 ABEtape no2 ABEtape no3 ABEtape no4 ABEtape no5 Etape0Etape1Etape2Etape3 chapExoCorrec/5859 sacados/5859 chapExoCorrec/2402 sacados/2402
E.1098 Consideremos las dos sucesiones u n y v n , cuyos rangos son números naturales positivos o nulos ( n ∈ N ) , definidas por las siguientes relaciones : u n = n 2 − 2 · n + 2 v 0 = 5 ; v n +1 = v n 2 − 3 · v n 1 Determina los cuatro primeros términos de cada una de estas dos sucesiones. 2 Justifica que estas dos sucesiones no son ni sucesiones aritméticas ni sucesiones geométricas. E.7307 1 Consideremos la sucesión u n definida por: u n = n 2 + n + 2 para todo entero n ∈ N Demostrar que la sucesión u n no es una sucesión ge-ométrica. 2 Consideremos la sucesión v n definida por: v n = 1 n 2 + 2 para todo entero n ∈ N Demostrar que la sucesión v n no es una sucesión arit-mética. 21. Ejercicios no clasificados E.10343 Las dos partes son independi-entes : Parte A. Fabrice tiene un vivero y planta en una maceta un árbol joven de 54 cm, ocho meses después de que el árbol haya brotado su primera hoja. Se lo regala a su hijo Alex 4 meses después, cuando el árbol mide 76 cm. El padre de Alex le explica que, cada mes, la altura del árbol aumenta de forma constante desde que brota su primera hoja hasta que alcanza su tamaño máximo. Se indica h n la altura, en centímetros, del árbol n meses de-spués de su primera hoja. Así, h 0 es la altura del árbol cuando brota su primera hoja. 1 ¾Cuáles son los dos términos de la sucesión ( h n ) dados en el enunciado? (Se especificará su valor y su rango.) 2 ¾Cuál es la naturaleza de la sucesión ( h n ) ? Encuentre sus elementos característicos. 3 Deduzca la expresión de ( h n ) en función de n . 4 a Calcular h 24 e interpretar el resultado. b Copiar y completar el programa Python siguiente, que debe mostrar en la consola el valor del término h 24 : h=... for i in range(...): h = ... print(h) 5 Alex deberá replantar el árbol en tierra tan pronto como su altura supere 1 ; 60 m . Determinar el número de meses necesarios tras la aparición de su primera hoja Parte B. Sea la sucesión definida en N por u n = 3 n 2 + 16 n + 5 n + 5 . 1 Factorizar el numerador. 2 Simplificar la expresión del término u n . 3 Demostrar que la sucesión es aritmética. Dar su primer término y su razón. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1098 sacados/1098 chapExoCorrec/7307 sacados/7307 chapExoCorrec/10343 sacados/10343 From Maud Saveur