Bachillerato 1 / Suma de los términos de una secuencia 68 ejercicios corregidos

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ChingQuizz : 7 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Recordatorios sobre el poder E.7585 Expresa cada uno de los cálculos de la forma a n donde a es un número real distinto de cero. cero ( x ∈ R ∗ ) y n un número entero relativo ( n ∈ Z ) : a 2 5 × 2 7 b 2 8 2 − 3 c 5 5 5 12 d 3 5 × 3 2 3 4 e 3 2 5 f 3 2 5 3 4 × 5 20 E.7586 1 Establece cada una de las siguientes igualdades : a 3 9 + 2 × 3 9 = 3 10 b 5 6 + 2 2 × 5 6 = 5 7 2 Establece cada una de las siguientes igualdades : a 2 5 + 2 6 = 3 × 2 5 b 3 9 − 3 7 = 8 × 3 7 2. Actividad introductoria con Python E.7581 Desde el día en que nació su hija Aline, los padres han depositado la suma de 100 e al año en una libreta A a nombre de su hija. Se supone que durante el período de estudio, la tasa de remu-neración de la libreta se mantuvo constante en 1 % . Como se ha indicado anteriormente, construya los términos u 0 , u 1 , . . . , u 18 asociados al valor, el día en que Aline cumplió 18 años, de cada suma depositada por los padres. 1 a Indique los valores de los términos u 0 , u 1 y u 2 . b Indique el valor de u 18 , redondeado al centésimo, que representa la suma adquirida por los 100 e depositados el día de su nacimiento. 2 Para determinar la suma disponible en la libreta A el día de su 18 cumpleaños, utilizaremos un programa in-formático. a En el programa elegido, introduzca el siguiente algo-ritmo: S ← 0 Para i que va de 0 a 5 u ← 3+2 × i S ← S+u Fin Para b Justificar que al final de su ejecución, la variable S con-tiene la suma de los 6 primeros términos de la sucesión aritmética de primer término 3 y razón 2 . c Modificar este algoritmo para que la variable S con-tenga, al final de la ejecución del algoritmo, la suma presente en la libreta A el día en que Aline cumpla 18 años 3 Se denota S 18 la suma de los 19 primeros términos de la sucesión u n : S 18 = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 18 De las cuatro propuestas siguientes, solo una es correcta. a S 18 = 100 × 1 ; 01 18 b S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 17 1 − 1 ; 01 c S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 18 1 − 1 ; 01 d S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 19 1 − 1 ; 01 Utilizando los valores redondeados al centésimo obtenidos con el software, conjetura la expresión correcta de S 18 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7585 sacados/7585 chapExoCorrec/7586 sacados/7586 chapExoCorrec/7581 sacados/7581 Naissance100u181ans100u172ans100u1617ans100u118ansu0
E.7583 El problema del tablero de ajedrez de Sissa [. . . ] es un problema matemático que se puede expresar así : ˇSe coloca un grano de trigo en la primera casilla de un tablero de ajedrez. Si hacemos que el número de granos se duplique en cada casilla con respecto a la casilla anterior (un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, etc.. . . ) , ¾cuántos granos de arroz obtenemos en total? Fuente : Wikipedia Como recordatorio, un tablero de ajedrez se com-pone de 64 casillas blancas o negras. Así, tras completar las tres primeras casillas, hay 7 gra-nos de trigo en el tablero. ¾Cuántos granos de trigo se necesitan para completar el tablero? 1 ¾Cuántos granos de trigo se colocarán en la casilla 10 ème ? Queremos acercarnos a la respuesta de este ejercicio uti-lizando un lenguaje de programación. 2 a En el lenguaje elegido, introduzca el siguiente algo-ritmo: S ← 0 Para i que va de 0 a 5 u ← 3+2 × i S ← S+u Fin Para b Justificar que, al final de su ejecución, la variable S con-tiene la suma de los 6 primeros términos de la sucesión aritmética de primer término 3 y razón 2 3 Adaptar este algoritmo para que la variable S tenga, al final de la ejecución, como valor el número de granos de trigo presentes en el tablero al final del juego. Dar el valor aproximado de la variable S al final del al-goritmo. 4 De las cuatro propuestas siguientes, solo una : a S = 1 × 2 63 b S = 1 − 2 63 1 − 2 c S = 1 − 2 64 1 − 2 d S = 1 − 2 65 1 − 2 Con ayuda del software, dar la escritura científica de es-tos valores, redondeados a dos cifras en la parte decimal de la mantisa. Conjeturar la expresión exacta de S . 3. Actividad introductoria E.7582 La alfombra de Sierpinski (1916) , llamada así por su creador polaco, se construye mediante una sucesión de pasos definidos por: Cada cuadrado blanco se subdivide en 9 cuadrados idénticos, dividiendo sus lados en tres segmentos de igual longitud, y se colorea de negro el cuadrado central. Estas son las seis primeras etapas de esta construcción : 1 Para las figuras obtenidas en la etapa 5 y siguientes : ¾Cuántos cuadrados negros de lado 1 3 contiene la figura? ¾Cuántos cuadrados negros de lado 1 9 contiene la figura? ¾Cuántos cuadrados negros de lado 1 27 contiene la figura? 2 Con ayuda del software de programación, determina el número exacto S 4 de cuadrados negros presentes en el paso 4 . 3 Con ayuda de la calculadora, determina los valores de q y n para que : S 4 = 1 − q n 1 − q https://chingmath.fr chapExoCorrec/7583 sacados/7583 chapExoCorrec/7582 sacados/7582 Figure initiale Étape 0 Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4
E.7584 Un trotamundos se ha propuesto recorrer 5 000 km a pie. Cuando está fresco y descansado, puede recorrer 50 km en un día, pero cada día se acumula el cansancio y, por lo tanto, su rendimiento disminuye 1 % cada día. Se anota u 0 la distancia recorrida el primer día de carrera y, en general, u n el n ème día de carrera. 1 a Indique el valor de los términos u 0 , u 1 , u 2 . b Determine la distancia recorrida el 30 ème día de carrera redondeada al metro más cercano. 2 Para determinar la distancia recorrida después de 45 días de carrera, utilizaremos una hoja de cálculo automati-zada : a Copie y complete la hoja de cálculo siguiente hasta la columna AY . b ¾Qué fórmula hay que introducir en la celda B2 para que se copie hacia la derecha y el rango de celdas B2:AT2 representen las distancias de los 45 primeros días de carrera? c Indique la distancia recorrida por el corredor durante los 45 primeros días de carrera, redondeada al metro más cercano. 3 Se anota S 45 la suma de los 45 primeros términos de la sucesión u n : S 45 = u 0 + u 1 + · · · + u 44 De las cuatro propuestas siguientes, solo una es correcta. a S 45 = 50 × 0 ; 99 45 b S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 44 1 − 0 ; 99 c S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 45 1 − 0 ; 99 d S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 46 1 − 0 ; 99 Con ayuda de la calculadora, da el valor decimal de estas expresiones, redondeado al metro más cercano. Conjetura la expresión correcta de S 45 . 4. Una primera aproximación a la recidiva E.7554 Consideremos la sucesión geométrica u n cuyo primer término es 5 y cuya razón es 3 . Denotemos por S n la suma de los n +1 términos de la sucesión u n : S n = u 0 + u 1 + · · · + u n 1 Determinar el valor de S 3 . 2 a Admitimos la igualdad S 6 = 5 2 · 3 7 − 1 . Establecer : S 6 + u 7 = 5 2 · 3 8 − 1 b Utilizando el resultado y el procedimiento anterior, es-tablezca una forma simplificada de la suma S 8 3 De las fórmulas siguientes, que expresan la suma S n en función de n , solo una es correcta. ¾Cuál? a u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 3 n +1 − 1 1 − 3 b u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 1 − 3 n 1 − 3 c u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 1 − 3 n +1 1 − 3 d u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 3 n +1 − 1 1 − 3 E.7555 Consideremos la sucesión u n de primer término 3 y razón r . Denotemos por S n la suma de los n +1 términos de la sucesión u n : S n = u 0 + u 1 + · · · + u n 1 Establecer que la suma S 3 admite como expresión : S 3 = 12 + 6 · r 2 a Admitimos la fórmula : S 10 = 11 × 6 + 10 · r 2 Deduzca la relación: S 11 = 6 × 6 + 11 · r b Establezca la siguiente implicación: S 11 = 6 × 6 + 11 · r = ⇒ S 12 = 13 × 6 + 12 · r 2 3 Entre las fórmulas siguientes, solo una es correcta: a S n = n · 2 · u 0 + n · r 2 a S n = ( n + 1) · 2 · u 0 + n · r 2 a S n = n · 2 · u 0 + ( n + 1) · r 2 a S n = ( n + 1) · 2 · u 0 + ( n + 1) · r 2 ¾Qué fórmula se puede conjeturar que es correcta? 5. Número de términos en una secuencia de términos E.6528 Consideramos una sucesión u n n ∈ N . Determina el número de términos de cada una de las sumas siguientes : a u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 + u 8 b u 5 + u 6 + u 7 + u 8 + u 9 + u 10 + u 11 + u 12 c u 11 + u 12 + u 13 + : : : + u 25 + u 26 d u 8 + u 9 + u 10 + · · · + u 31 + u 32 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7584 sacados/7584 123ABCDEFGHJourdecourse1234567Distanceparcourue(enkm) chapExoCorrec/7554 sacados/7554 chapExoCorrec/7555 sacados/7555 chapExoCorrec/6528 sacados/6528
E.5124 Sea u n n ∈ N una sucesión numérica. Para cada una de las preguntas, indique el número de térmi-nos que componen la suma : a u 0 + u 1 + · · · + u 32 b u 5 + u 6 + · · · + u 15 c u 0 + u 1 + · · · + u n d u 5 + u 6 + · · · + u n E.10502 Sea u n n ∈ N una sucesión numérica. Para cada una de las preguntas, indique el número de térmi-nos que componen la suma : a u k + u k +1 + · · · + u 100 b u k + u k +1 + · · · + u n c u 0 + u 2 + · · · + u 88 d u 3 k + u 3 k +3 + · · · + u 99 e 64 k =0 u k f 16 k =5 u 2 k E.6529 A continuación se presentan secuen-cias ˇ lógicas ı de números. Determina el número de términos de cada una de estas sumas : a 1 + 4 + 9 + 16 + : : : + 144 + 169 b 3 + 7 + 11 + 15 + : : : + 79 + 83 c 1 4 + 1 2 + 1 + 2 + : : : + 256 + 512 d 16 + 32 + 64 + : : : + 2 15 + 2 16 6. Introducción a la suma de los términos de una sucesión aritmética E.9653 1 Queremos determinar el valor de la suma : S = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 9 a Completa las operaciones operando primero columna a columna : b De la operación planteada anteriormente, deduce el valor de 2 × S . c Deduce el valor de S . 2 Deseamos determinar el valor de la suma : S = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100 a Completa las operaciones operando primero columna a columna : b De la operación planteada anteriormente, deduce el valor de 2 × S . c Deduce el valor de S . 3 Utiliza un planteamiento similar al de las preguntas an-teriores para determinar el valor de la suma S  definida por: S  = 1 + 5 + 9 + 13 + · · · + 81 E.6532 Consideremos una sucesión arit-mética u n cuyo primer término es u 0 y cuya razón es r . 1 Expresar u 1 , u 2 y u 3 en función de u 0 y r . 2 Expresar los términos u n , u n − 1 y u n − 2 en función de n , u 0 y r . 3 Justificar la siguiente igualdad : u 2 + u n − 2 = u 1 + u n − 1 = u 0 + u n 7. Secuencia aritmética: suma de los primeros términos E.8171 Propuesta: Sea u n la sucesión aritmética de primer tér-mino u 0 y razón r . Denotemos por S la suma de los n +1 primeros términos de la sucesión u n . Tenemos : S = u 0 + u 1 + · · · + u n = n + 1 u 0 + u n 2 Consideremos la sucesión u n aritmética de primer término 2 y razón 2 . Determinemos la suma S de los 100 primeros términos de la sucesión u n . E.9694 Consideremos la sucesión aritmética u n cuyo primer término es 3 y cuya razón es 5 . Deter-minemos la suma de sus 33 primeros términos. E.9715 Consideremos la sucesión u n , definida para todo n ∈ N , aritmética de primer término − 10 y de razón 3 . Determinar el valor de la suma S definida por: S = u 0 + u 1 + · · · + u 84 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5124 sacados/5124 chapExoCorrec/10502 sacados/10502 chapExoCorrec/6529 sacados/6529 chapExoCorrec/9653 sacados/9653 1928374655647391c1c2c3c4c5c6c7 11002993984975966957948931001c1c2c3c4c5c6c7c8c9 chapExoCorrec/6532 sacados/6532 chapExoCorrec/8171 sacados/8171 chapExoCorrec/9694 sacados/9694 chapExoCorrec/9715 sacados/9715
E. 10361 Consideremos la sucesión v n definida para todo número natural n por: v n = 4 + 3 · n Determine la suma S de los 20 primeros términos de la suce-sión v n . E.5860 Consideremos la sucesión aritmética u n n ∈ N cuyo primer término es − 3 y cuya razón es 4 . 1 Expresemos el término u n en función de su rango n . 2 ¾Cuál es el rango del término de la sucesión u n que tiene el valor 605 ? 3 Determine el valor de la suma S definida por: S = u 0 + u 1 + · + u 100 E.7799 Se desea determinar la forma sim-plificada del cociente A definido por: A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + 31 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + · · · + 151 1 Se considera la sucesión aritmética u n de primer tér-mino 1 y razón 1 . Determinar el valor de la suma S definida por: S = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 30 2 Observando la descomposición 496=2 4 × 31 , determinar la forma simplificada del cociente A . 8. Secuencia aritmética: suma y reconocimiento de la secuencia E.8464 Consideremos la suma S definida por: S = 1 + 3 + 5 + · · · + 101 Supongamos que los términos de la suma S son los primeros términos sucesivos de una progresión aritmética u n definida en N . 1 a Indique los elementos característicos de la sucesión u n . b Determine el rango del término de la sucesión que tiene 101 como valor. 2 Deduzca el valor de la suma S . E.8499 Consideremos la suma S definida por: S = 2 3 + 1 + 4 3 + 5 3 + · · · + 10 Supongamos que los términos de la suma S son los primeros términos sucesivos de una progresión aritmética u n definida en N . 1 Indique los elementos característicos de la sucesión u n y determine el rango del término cuyo valor es 10 . 2 Deduzca el valor de la suma S E.8500 Consideremos la suma S definida por: S = 3 3 + 2 3 3 + 3 + · · · + 16 3 3 Supongamos que los términos de la suma S son los primeros términos sucesivos de una sucesión u n aritmética definida en N . 1 a Indique los elementos característicos de u n . b Determine el rango del término de la sucesión que tiene 16 3 3 como valor. 2 Deduzca el valor de la suma S . E.9695 La suma S , definida a continuación, es la suma de términos consecutivos de una sucesión arit-mética: S = 7 + 10 + 13 + · · · + 340 Dejando constancia de su razonamiento, determine el valor de la suma S . E.8501 Considera la suma S definida por: S = 1+2+101+102+201+202+301+302+ · · · +1501+1502 Determina el valor de S . E.6548 El príncipe pide a Sissou que em-piece colocando un grano de ar-roz en el primer cuadrado, luego tres granos en la segunda casilla, luego cinco granos en la tercera casilla y así sucesivamente hasta llenar el tablero de ajedrez que se muestra al lado. Determina el número de granos de arroz que necesitará Sissou para completar el tablero de aje-drez. 9. Secuencias aritméticas: sumas y ecuaciones E.2419 Sea u n n ∈ N la sucesión aritmética del primer término 2 y razone r Nos interesa la suma S de los 13 primeros términos de u n : S = u 0 + u 1 + · · · + u 11 + u 12 Determine el valor de r para que : S =65 E.2426 Sea u n n ∈ N la sucesión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 . Para todo número natural k distinto de cero ( k ∈ N ∗ ) , se tiene : S k = u 0 + u 1 + · · · + u k 1 En función del entero k , ¾cuántos términos comprende la suma S k ? 2 Determinar el valor del entero k para que : S k =10 605 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10361 sacados/10361 chapExoCorrec/5860 sacados/5860 chapExoCorrec/7799 sacados/7799 chapExoCorrec/8464 sacados/8464 chapExoCorrec/8499 sacados/8499 chapExoCorrec/8500 sacados/8500 chapExoCorrec/9695 sacados/9695 chapExoCorrec/8501 sacados/8501 chapExoCorrec/6548 sacados/6548 chapExoCorrec/2419 sacados/2419 chapExoCorrec/2426 sacados/2426
E.10398 Consideremos la sucesión aritmética u n cuyo primer término es 5 y cuya razón es r . La suma de los 72 primeros términos tiene como valor: u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 71 = 76 Determinar el valor de la razón r . (Se omitirán los pasos del razonamiento) E.10403 Consideremos la sucesión u n , definida para n ∈ N , aritmética de primer término 2 y de razón r . La suma de los 71 primeros términos tiene como valor: u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 70 = 497 Determinar el valor de la razón r . (Se omitirán los pasos de su razonamiento) 10. Secuencias aritméticas: fórmula general E.7644 Propuesta: Sea u n una sucesión aritmética cuyo primer término es u 0 y cuya razón es r . Se tiene la propiedad : Consideremos la sucesión aritmética u n cuyo primer tér-mino es 3 y cuya razón es 2 . Determinemos el valor de la suma : S = u 12 + u 13 + · · · + u 34 E.10362 Consideremos la sucesión v n definida para todo número natural n ( n ∈ N ) por: v n = 2 − 3 · n Determinar el valor de la suma : S = v 4 + v 5 + · · · + v 15 E.2430 1 Sea u n n ∈ N la sucesión aritmética cuyo primer término es 2 y cuya razón es 1 4 . Determina la suma S definida por: S = u 11 + u 12 + · · · + u 25 2 Sea v n n ∈ N la sucesión aritmética cuyo primer término es 12 y cuya razón es − 3 . Determinar la suma S definida por: S = v 5 + v 6 + · · · + v 13 11. Secuencias aritméticas: fórmula general y ecuaciones E.8465 Sea u n n ∈ N una sucesión aritmética cuyo primer término es 2 y cuya razón es r Consideremos la suma S de las sumas de los términos de u n que van de u 5 a u 20 : S = u 5 + u 6 + · · · + u 19 + u 20 Determinemos el valor de la razón r para realizar: S =132 E.8466 Sea u n n ∈ N la sucesión aritmética de primer término 5 y razón 2 . Consideremos la suma S de los términos sucesivos de rango 14 al término de rango k , donde k es un número natural estrictamente superior a 14 . Es decir : S = u 14 + u 15 + ··· + u k Determinar el valor de k para que : S =320 12. Secuencia geométrica: suma de los primeros términos E.8172 Propuesta: Sea u n la sucesión geométrica de primer término u 0 y razón q . Denotemos por S la suma de los n +1 primeros términos de la sucesión u n . Tenemos : S = u 0 + u 1 + · · · + u n = u 0 · 1 − q n +1 1 − q Consideremos la sucesión u n geométrica de primer término 2 y razón 2 . Determinemos la suma S de los 100 primeros términos de la sucesión u n . E.10399 Consideremos la sucesión geométrica cuyo primer término es 12 y cuya razón es 4 . Determinemos la suma de los 100 primeros términos de esta sucesión. Indicación : daremos la expresión simplificada de esta suma. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10398 sacados/10398 chapExoCorrec/10403 sacados/10403 chapExoCorrec/7644 sacados/7644 ukuk···unn−k·ukun2Nombresde termesPremier termeDernier terme chapExoCorrec/10362 sacados/10362 chapExoCorrec/2430 sacados/2430 chapExoCorrec/8465 sacados/8465 chapExoCorrec/8466 sacados/8466 chapExoCorrec/8172 sacados/8172 chapExoCorrec/10399 sacados/10399
E.7645 Consideremos la sucesión geométrica v n n ∈ N cuyo primer término es 12 y cuya razón es 1 4 . 1 Expresemos el término v n en función de su rango n . 2 ¾Cuál es el rango del término de la sucesión v n que tiene el valor 3 64 ? 3 Determinar una expresión simplificada de la suma S definida por: S = v 0 + v 1 + · · · + v 30 E.10363 Consideremos la sucesión v n definida para todo número natural n por: v n = 5 2 n Determine la suma S de los 20 primeros términos de la suce-sión v n . E.7806 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 5 ; u n +1 = u n + 2 n para todo n ∈ N 1 Da los valores de los 4 primeros términos de la sucesión. 2 Se denota S n la suma de los n +1 primeros términos de la sucesión u n : S n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n a Establezca la siguiente identidad para todo número natural n : S n +1 = S n + 1 − 2 n +1 1 − 2 + 5 b Deduzca que los términos de la sucesión u n admiten como expresión en función de n : u n = 2 n + 4 13. Secuencia geométrica: suma de los primeros términos y ecuación E.2420 Sea u n n ∈ N la sucesión geométrica cuyo primer término es 2 y cuya razón es 1 2 . Sea k un número natural distinto de cero ( k ∈ N ) , Denotemos por S la suma de los k +1 primeros términos de la sucesión u n . Es decir : S = u 0 + u 1 + ··· + u k Determinar el valor de k para que : S =4 − 1 2 8 E.2427 Resuelve la ecuación : 1 − q 3 1 − q = 39 25 E.10402 Sea u n n ∈ N la sucesión geométrica de primer término 1 484 y razón 3 . Para un entero k estricta-mente superior a 0 , sea S la suma de los términos sucesivos de la sucesión u n desde el término de rango 0 hasta el de rango k : S = u 0 + u 1 + · · · + u k Determinar el valor del entero k que verifica: S =61 Indicación : Se utilizará la tabla de potencias de 3 : 3 0 =1 ; 3 3 =27 ; 3 6 =729 ; 3 9 =19683 ; 3 12 =531441 3 1 =3 ; 3 4 =81 ; 3 7 =12187 ; 3 10 =59049 ; 3 13 =1594323 3 2 =9 ; 3 5 =243 ; 3 8 =6561 ; 3 11 =177147 ; 3 14 =4782969 14. Secuencia geométrica: reconocer el término general E.8468 Consideremos la suma S definida por: S = 27 + 9 + 3 + · · · + 1 81 Supongamos que los términos de esta suma son los términos consecutivos de una sucesión u n geométrica. 1 Indique los elementos característicos de la sucesión u n . 2 Determinar el rango del término de la sucesión u n cuyo valor es 1 81 , y luego dar el número de términos de la suma S . 3 Determinar el valor de S . E.8473 Consideremos la suma S siguiente : S = 1 + 2 + 2 + 2 2 + · · · + 8 2 Supongamos que los términos de esta suma son los términos consecutivos de una sucesión u n geométrica. 1 Indique las características de la sucesión geométrica u n . 2 Determinar el rango del término de la sucesión u n cuyo valor es 8 2 . Indique el número de términos de la suma S . 3 Deduzca el valor de S . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7645 sacados/7645 chapExoCorrec/10363 sacados/10363 chapExoCorrec/7806 sacados/7806 chapExoCorrec/2420 sacados/2420 chapExoCorrec/2427 sacados/2427 chapExoCorrec/10402 sacados/10402 chapExoCorrec/8468 sacados/8468 chapExoCorrec/8473 sacados/8473
E.8469 Consideremos la siguiente suma numérica : S n = 4 + 2 + 1 + 1 2 + · · · + 1 2 n donde n ∈ N Supongamos que los términos de esta suma son los primeros términos de una sucesión u n geométrica. 1 Indique los elementos característicos de la sucesión u n . 2 Determinar el rango del término de la sucesión u n que vale 1 2 n . Indique el número de términos de la suma S n . 3 a Determine el valor de S n en función de n . b Justificar que, sea cual sea el valor de n , la suma S n es mayor que 8 . E.8509 Establecer que el entero 7 20 − 1 es múltiplo del entero 6 . E.2432 Sea x un número real distinto de 1 . 1 Expresa la siguiente suma en función de x : S = 1 + x + x 2 + x 3 + : : : + x n 2 Deduce una factorización del polinomio 1 − x n +1 . E.8173 El príncipe le pide a Sissou que empiece colocando un grano de arroz en el primer cuadrado, luego dos granos en la segunda casilla, luego cuatro granos en la tercera y así sucesivamente, mul-tiplicando por 2 el número de gra-nos depositados en la casilla sigu-iente hasta completar el tablero. Determina el número de granos de arroz que necesitará Sissou para completar el tablero de ajedrez. E.7246 A continuación se muestran los seis primeros ˇ copos de Helge Von Koch ı ı, que representan uno de los fractales más simples : Este es el procedimiento asignado a cada segmento de la línea discontinua para construir la figura en el siguiente paso : Cada segmento se divide en tres partes iguales. En el segmento situado en el centro del segmento, se con-struye un triángulo equilátero. Se elimina el segmento situado en el centro del segmento 1 Para todo número natural n , sea u n el número de seg-mentos que componen el copo de Helge Von Koch en el paso n . Conjeture una relación de recurrencia entre los términos de la sucesión u n . 2 Para todo número natural n , anotemos v n la longitud de la línea discontinua que forma el copo de Von Koch en la etapa n . Conjeture una relación de recurrencia entre los términos de la sucesión v n . 15. Secuencia geométrica: fórmula general E.7608 Propuesta: Sea u n n ∈ N una sucesión geométrica cuyo primer término es u 0 y cuya razón es q . Se tiene la propiedad : Consideremos la sucesión u n geométrica de primer término 4 y razón 3 . Determinemos el valor de la suma : S = u 10 + u 11 + · · · + u 19 E.10364 Consideremos la sucesión v n cuyo término de rango n , un número natural ( n ∈ N ) , , se define como: v n = 3 4 n Determine el valor de la suma S : S = v 5 + v 6 + · · · + v 12 E.2431 Sea u n n ∈ N la sucesión geométrica cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 3 . Determina el valor de la suma : S = u 10 + u 11 + · · · + u 21 E.9696 Consideremos la sucesión u n definida para todo n ∈ N geométrico de primer término 2 4 × 3 5 y razón 1 3 . Determinemos la suma de los 100 primeros térmi-nos de la sucesión u n . E.8472 Consideremos la sucesión geométrica u n n ∈ N cuyo primer término es 1 y cuya razón es 2 . Denotemos por S el valor de la suma : S = u 2 + u 3 + u 12 + u 13 + u 22 + u 23 + u 32 + u 33 + · · · + u 82 + u 83 + u 92 + u 93 Determinar el valor de S . E.10605 Sea v n n ∈ N la sucesión geométrica cuyo primer término es 12 y cuya razón es − 1 2 . Determina el valor de la suma : S = v 7 + v 8 + · · · + v 12 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8469 sacados/8469 chapExoCorrec/8509 sacados/8509 chapExoCorrec/2432 sacados/2432 chapExoCorrec/8173 sacados/8173 chapExoCorrec/7246 sacados/7246 ABFigure no0 ABFigure no1 ABFigure no2 ABFigure no3 ABFigure no4 ABFigure no5 Etape0Etape1Etape2Etape3 chapExoCorrec/7608 sacados/7608 ukuk···unuk·1−qn−k1−qPremier termeNombre de termes chapExoCorrec/10364 sacados/10364 chapExoCorrec/2431 sacados/2431 chapExoCorrec/9696 sacados/9696 chapExoCorrec/8472 sacados/8472 chapExoCorrec/10605 sacados/10605
16. Secuencia geométrica: fórmula general y ecuaciones E.8470 Sea u n n ∈ N la sucesión geométrica de primer término 2 y razón 1 2 . Para un entero k estricta-mente superior a 4 , sea S la suma de los términos sucesivos de la sucesión u n desde el término de rango 4 hasta el de rango k : S = u 4 + u 5 + · · · + u k Determinar el valor del entero k que verifica: S = 127 512 Indicación : se utilizará la tabla de potencias de 2 : 2 0 =1 ; 2 3 =8 ; 2 6 =64 ; 2 9 =512 ; 2 12 =4096 2 1 =2 ; 2 4 =16 ; 2 7 =128 ; 2 10 =1024 ; 2 13 =8192 2 2 =4 ; 2 5 =32 ; 2 8 =256 ; 2 11 =2048 ; 2 14 =16384 E.10400 Sea u n n ∈ N la sucesión geométrica de primer término 1 4356 y razón 3 . Para un entero k estricta-mente superior a 2 , sea S la suma de los términos sucesivos de la sucesión u n desde el término de rango 2 hasta el de rango k : S = u 2 + u 3 + · · · + u k Determinar el valor del entero k que verifica: S =61 Indicación : se utilizará la tabla de potencias de 3 : 3 0 =1 ; 3 3 =27 ; 3 6 =729 ; 3 9 =19683 ; 3 12 =531441 3 1 =3 ; 3 4 =81 ; 3 7 =12187 ; 3 10 =59049 ; 3 13 =1594323 3 2 =9 ; 3 5 =243 ; 3 8 =6561 ; 3 11 =177147 ; 3 14 =4782969 17. Un poco más adelante E.5818 Sea w n n ∈ N una sucesión aritmética cuyo primer término es 1 y cuya razón es 1 8 . Consideremos la siguiente suma : S 1 = w 0 + w 1 + · · · + w n Determinar el valor de n para que la suma S 1 tenga como valor 31 . (Habrá que hallar las raíces del polinomio de segundo grado 2+ x 8 x +1 − 62 ) E.8423 A continuación se representa un rectángulo ABCD que cumple lo siguiente : AB = 2 cm ; AD = 1 cm Dentro del rectángulo hay rectángulos cuyos lados son parale-los a los lados del rectángulo ABCD . Se denota A i , donde i ∈ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 1 Demuestre que la suma A de las áreas de los dominios sombreados es igual a la suma de los términos de una sucesión geométrica. 2 Justifique que la suma A tiene el valor 2 − 1 16 . E.6549 Se desea determinar el valor de la siguiente suma S : S = 9 + 15 + 27 + 51 + 99 + · · · + 3075 . Obsérvese que esta suma se puede escribir como: S = 3 × 2 1 +3 + 3 × 2 2 +3 + 3 × 2 3 +3 + ··· + 3 × 2 10 +3 Determinar el valor de S Se tendrán en cuenta en la evaluación todos los pasos de la investigación, incluso los incompletos . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8470 sacados/8470 chapExoCorrec/10400 sacados/10400 chapExoCorrec/5818 sacados/5818 chapExoCorrec/8423 sacados/8423 ABCDA1A2A3A4A5 chapExoCorrec/6549 sacados/6549
E.7660 Consideremos una función definida en R + cuya curva representativa se muestra a continuación en un sistema de coordenadas O ; I ; J : Además, el conjunto de puntos A n del plano definidos para todo número natural n por sus coordenadas A n ( n ; 3 × 0 ; 8 n ) pertenecen a la curva C f . Se tendrá en cuenta y valorará cualquier rastro de in-vestigación o razonamiento, aunque sea incompleto. 1 Se define un dominio del plano considerando los trece rectángulos representados a continuación : donde los puntos A 0 , A 1 , . . . , A 12 forman los vértices ˇsuperiores izquierdosı de cada uno de estos rectángulos. Determinar el área de este dominio. 2 Se define un dominio del plano considerando los trece rectángulos representados a continuación : donde los puntos A 1 , A 2 , . . . , A 13 forman los vértices ˇsuperiores derechosı de cada uno de sus rectángulos. Determine el área de este dominio. E.7661 Un caracol ˇ exponentiel ı de parámetro ¸ es una línea quebrada cuyos extremos A i de los segmentos forman una secuencia de puntos que verifican las relaciones : Para cualquier número natural i : A i A i +1 = ¸ i Para cualquier número natural i , el triángulo A 0 A i A i +1 es rectángulo en A i . ángulo −−−→ A 0 A i ; −−−−−→ A 0 A i +1 es de medida positiva. A continuación se muestra el caracol exponencial de parámetro 1 ; 1 : En el resto del ejercicio, el caracol exponencial tiene parámetro 2 . Cualquier rastro de investigación o razonamiento, por incompleto que sea, será tenido en cuenta y valorado. 1 Determina la longitud de la línea discontinua A 0 A 1 A 2 : : : A 10 A 11 . 2 Determinar la longitud del segmento [ A 0 A 11 ] . E.10628 Sea a n n ∈ N una sucesión geométrica cuyo primer término es 2, tal que : a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 63 16 Determinar la razón de esta sucesión. (Se admitirá que el polinomio − 32 x 6 +63 x − 31 tiene como raíces los números 1 2 y 1 ) 18. Ejercicios no clasificados E.6036 Hay 800 cubos pequeños. ¾Cuál es la altura de la pirámide más grande que se puede construir según el modelo de al lado? E.6648 Consideremos las dos suce-siones a n y b n definidas conjuntamente por las dos rela-ciones : a 0 = 0 a n +1 = 2 3 · a n + 1 3 · b n b 0 = 12 b n +1 = 1 4 · a n + 3 4 · b n ∀ n ∈ N 1 Definimos la sucesión u n mediante la relación: u n = b n − a n a Establezcamos que la sucesión u n verifica la relación recurrente : u n +1 = 5 12 · u n b Indique la naturaleza de la sucesión u n y sus elemen-tos característicos. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7660 sacados/7660 234567891011121314I23JO0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15ACf 234567891011121314I23JO 234567891011121314I23JO chapExoCorrec/7661 sacados/7661 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A0 chapExoCorrec/10628 sacados/10628 chapExoCorrec/6036 sacados/6036 chapExoCorrec/6648 sacados/6648
c Indique la suma S de los 10 primeros términos de la sucesión u n . 2 Se define la sucesión v n mediante la relación: v n = 3 · a n + 4 · b n a Demuestre que la sucesión v n es constante. b Determinar la suma S  de los 10 primeros términos de la sucesión v n . 3 Deduzca la suma S definida por: S = b 0 + b 1 + · · · + b 9 E.9847 Un trotamundos se ha propuesto recor-rer 5 000 km a pie. Cuando está fresco y descansado, puede recorrer 50 km en un día, pero cada día se acumula el cansancio y, por lo tanto, su rendimiento disminuye 1 % cada día. Se anota u 1 la distancia recorrida el primer día de carrera y, en general, u n el n ème día de carrera. 1 a Indique el valor de los términos u 1 , u 2 , u 3 . b Especifique la naturaleza de la sucesión u n , así como sus elementos característicos. c Indique la distancia recorrida el 30 ème día de carrera redondeada al metro más cercano. 2 Se anota v n la sucesión cuyo término de rango n tiene como valor la distancia total recorrida por el trotamun-dos los n primeros días. a En función de n , determine la expresión del término de rango n de la sucesión v n . b Indique la distancia total recorrida por el trotamundos durante los 30 primeros días de la carrera, redondeada al metro más cercano. E.11576 Consideremos una sucesión u n definida en N y denotemos por S n la suma de sus n primeros términos. Tenemos la tabla de valores: n 0 1 2 3 4 5 S n 5 13 24 38 55 75 Determinar la naturaleza de la sucesión u n y sus elementos característicos. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9847 sacados/9847 sacados/11576