Bachillerato 2 - Comp. / Continuidad, derivabilidad, límites 23 ejercicios (100% corregidos)

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1. Estudio de funciones E.7006 Consideremos la función g definida en el intervalo 1 ; 15 por: g ( x ) = − 0 ; 6 · x + 4 + e − x +5 Admitimos que la función g es derivable en el intervalo 1 ; 15 y observamos g su función derivada : 1 a Calcula g ( x ) para cualquier x real en el intervalo 1 ; 15 . b Deduce que la función g es decreciente en el intervalo 1 ; 15 . 2 a Elabora la tabla de variaciones de la función g so-bre el intervalo 1 ; 15 , especificando los valores g (1) y g (15) redondeados a la unidad. b A partir de la tabla de variaciones se puede afirmar que la ecuación g ( x )=0 admite una única solución ¸ en el intervalo 1 ; 15 . Dar un valor aproximado de ¸ al 0 ; 1 más cercano. c Deduce de las preguntas anteriores la tabla de signos de g ( x ) en el intervalo 1 ; 15 . 2. Teorema del valor intermedio E.7521 Consideremos la función f definida en el intervalo − 20 ; 20 por: f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 1 a Demuestra que f ( x )= − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 para todo número real x del intervalo − 20 ; 20 . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f en el intervalo − 20 ; 20 . Se precisará el valor exacto del máximo de f . 2 a Demostrar que, en el intervalo − 20 ; 20 , la ecuación f ( x )= − 2 admite una única solución ¸ . b Dar un encuadre de ¸ de amplitud 0 ; 1 . E.7430 Se admite que la función f está definida para todo número real x de − 3 ; 2 por: f ( x ) = − x 2 + 2 ; 5 · x − 2 · e x + 5 1 Comprueba que para todo número real x del intervalo − 3 ; 2 : f ( x ) = − x 2 + 0 ; 5 · x + 0 ; 5 · e x 2 Estudiar el signo de f y luego elaborar la tabla de varia-ciones de f en − 3 ; 2 . 3 a Justificar que la ecuación f ( x )=0 admite una única solución ¸ en 1 ; 2 . b Dar el valor de ¸ redondeado al centésimo. 3. Teorema del valor intermedio y cociente E.7435 Consideremos la función f definida y derivable en el intervalo 1 ; 25 por: f ( x ) = 10 − e 0 , 2 x +1 x Un software de cálculo formal proporciona los siguientes re-sultados que podemos utilizar: f(x) :10 - e^(0,2 x+1)/x x ↦−→ 10 − exp(0 ; 2 x + 1) x factorizar(derivar(f(x))) exp 0 ; 2 · x + 1 · 1 − 0 ; 2 · x x 2 factorizar(derivar(derivar(f(x)))) exp 0 ; 2 · x + 1 · − x 2 + 10 · x − 50 25 · x 3 1 Hallar mediante cálculo la expresión factorizada de f ( x ) , donde f es la función derivada de f . 2 Estudiar el signo de f en el intervalo 1 ; 25 y elaborar la tabla de variaciones de f en el intervalo 1 ; 25 . Se redondearán los valores al milésimo. 3 Nos interesa la ecuación f ( x )=0 . a Demuestra que la ecuación f ( x )=0 no tiene solución en el intervalo 1 ; 5 . b Demostrar que la ecuación f ( x )=0 admite una única solución ¸ en el intervalo 5 ; 25 . c Determinar un rango de amplitud 10 − 2 de la solución ¸ 4. Introducción a los valores intermedios E.7286 Consideremos una función f que admite la siguiente tabla de variaciones: https://chingmath.fr chapExoCorrec/7006 sacados/7006 chapExoCorrec/7521 sacados/7521 Extrait Centres Etrangers Juin 2017 chapExoCorrec/7430 sacados/7430 Extrait Asie Juin 2017 chapExoCorrec/7435 sacados/7435 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2017 chapExoCorrec/7286 sacados/7286
−515104-6-1-13xVariationdef −4243−92-1xVariationdef −534107-5-112xVariationdef 01∞−121xf(xa 01∞−32−2xf(xb −∞01∞0-231xf(xc 025∞025−2xf(xd 025∞0-21xf(xe 025∞0-5−2xf(xf -4-3-2-1234I-2-123JO 1 Justifica que la ecuación f ( x )=7 no admite solución. 2 Sin justificar, dar el número de soluciones de la ecuación f ( x )=0 en el intervalo − 5 ; 10 . E.7287 Consideremos una función f definida en el intervalo − 4 ; 4 que admite la siguiente tabla de varia-ciones : No se espera justificación de las respuestas. 1 ¾Cuántas soluciones tiene la ecuación f ( x )=0 ? 2 Discute el número de soluciones de la ecuación f ( x )= m dados los siguientes valores de m : a f ( x ) = − 6 b f ( x ) = − 4 c f ( x ) = 2 E.7863 Consideremos una función f definida en − 5 ; 3 ∪ 3 ; 10 y cuya tabla de variaciones se da a contin-uación : Sin justificar, dar el número de soluciones de la ecuación : f ( x )=0 . E.7288 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x 3 − 3 · x 2 − 12 · x + 1 1 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo − 2 ; 3 . 2 Sin justificar, da el número de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones en el intervalo − 2 ; 3 : a f ( x )= − 10 b f ( x )=15 c f ( x )= − 6 E.7367 Consideremos una función f definida en R + , de la que tenemos resultados parciales de su estudio mediante un software de cálculo formal : L1 f(x) :=. . . . . . f ( x ) = : : : : : : L2 g(x):=Derivada f(x) g ( x ) = − 5 · x 2 − 3 · x + 2 2 · x L3 Resolver f(x)=0 x =0 ; x =1 L4 Resolver g(x)=0 x = 2 5 Entre las tablas de variaciones que se muestran a continuación, solo una es la tabla de variaciones de la función f . ¾Cuál es? 5. Introducción a la continuidad E.7316 A continuación se muestra la curva rep-resentativa C f de la función f https://chingmath.fr −515104-6-1-13xVariationdef chapExoCorrec/7287 sacados/7287 −4243−92-1xVariationdef chapExoCorrec/7863 sacados/7863 −534107-5-112xVariationdef chapExoCorrec/7288 sacados/7288 chapExoCorrec/7367 sacados/7367 01∞−121xf(xa 01∞−32−2xf(xb −∞01∞0-231xf(xc 025∞025−2xf(xd 025∞0-21xf(xe 025∞0-5−2xf(xf chapExoCorrec/7316 sacados/7316 -4-3-2-1234I-2-123JO
−3−101−6−1−24xVariationdef −1123−22−1−0;5xVariationdef 1 Da los intervalos en los que la función f es continua. 2 Dar los intervalos en los que la función f es monótona. E.7311 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x − 1 2 x 2 − 4 · x + 3 1 a Determina las imágenes de 0 y 2 mediante la función f . b Para la ecuación f ( x )=0 , conjetura si existe o no una solución para esta ecuación en el intervalo 0 ; 2 . 2 a Dibuja con la calculadora la curva representativa de la función f . b ¾Admite la función f antecedentes de 0 en el intervalo 0 ; 2 . 6. Teorema del valor intermedio E.7056 A continuación se da la tabla de variaciones de una función f definida en el intervalo − 3 ; 1 : Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, jus-tificando la respuesta : Proposición: la ecuación f ( x )=0 admite una única solución en el intervalo − 3 ; 1 . E.7041 Se da la tabla de variaciones de una función f definida sobre el intervalo − 1 ; 3 : Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es correcta? En el intervalo − 1 ; 3 , la ecuación f ( x ) = 0 admite : a exactement 3 solutions b exactement 2 solutions c exactement 1 solución d pas de solution E.7328 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 2 · x 3 + 3 · x 2 − 12 · x + 4 1 Elaborar la tabla de variaciones de la función f . 2 a Justifique que la ecuación f ( x )=0 admite una única solución, denotada ¸ , en el intervalo − 2 ; 1 . b Con ayuda de la calculadora, dé un valor aproximado al centésimo de la solución ¸ . E.7343 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 3 · x + 4 x 2 + 1 1 Elaborar la tabla de variaciones de la función f en R . 2 a Justificar que la ecuación f ( x )=1 admite una única solución en el intervalo − 3 ; 1 3 . b Con ayuda de la calculadora, determinar el valor aprox-imado, con dos decimales, de esta solución. E.7366 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 4 · x + 3 x 2 + 1 1 a Establezca que la función f , derivada de la función f , admite como expresión : f ( x ) = − 4 · x 2 − 6 · x + 4 x 2 + 1 2 b Elaborar la tabla de variaciones de la función f en − 5 ; 5 2 a Justificar que la ecuación f ( x )=3 admite dos solu-ciones, denominadas ¸ y ˛ , en el intervalo − 5 ; 5 . b Dar los valores aproximados de ¸ y ˛ con una precisión de milésimas. E.7289 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x + 1 x 2 + 2 1 a Justifique que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f ( x ) = − 2 · x 2 − 2 · x + 4 x 2 + 2 2 b Elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo − 3 ; 3 . 2 Deduce el número de soluciones de la ecuación f ( x )=0 en el intervalo − 3 ; 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7311 sacados/7311 chapExoCorrec/7056 sacados/7056 Extrait Liban Juin 2015 −3−101−6−1−24xVariationdef chapExoCorrec/7041 sacados/7041 Extrait Antilles-Guyane Juin 2016 −1123−22−1−0;5xVariationdef chapExoCorrec/7328 sacados/7328 chapExoCorrec/7343 sacados/7343 chapExoCorrec/7366 sacados/7366 chapExoCorrec/7289 sacados/7289
x-3-2-1012y-3-2-112345Cf E.7327 Consideremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = x − 1 · x Con ayuda de un software de cálculo formal, obtenemos los siguientes resultados, que pueden utilizarse sin necesidad de demostración : L1 f(x) :=(x-1)* √ (x) f ( x ) = ( x − 1) · x L2 g(x):= Derivada f(x) g ( x ) = 3 · x − 1 2 · x L3 Resolver f(x)=0 x =1 L4 Resolver g(x)=0 x = 1 3 1 Elaborar la tabla de variaciones de la función f . 2 a Determinar las imágenes de 1 3 y 9 mediante la fun-ción f . b Deduzca que la ecuación f ( x )=6 admite una única solución en 1 3 ; 9 . A continuación, justifica que esta ecuación también admite una única solución en R + . c Con ayuda de la calculadora, determina el valor exacto de la única solución de la ecuación f ( x )=6 . E.7365 A continuación se muestra la curva representativa C f de una función definida y derivable en el in-tervalo − 3 ; 2 . Se denota por f la función derivada de la función f . El punto A de coordenadas (0 ; 3) pertenece a la curva C f . B es el punto de abscisa 1 que pertenece a la curva C f . Se dispone de la siguiente información : la función f es estrictamente decreciente en los interva-los − 3 ; − 0 ; 5 y 1 ; 2 y es estrictamente creciente en − 0 ; 5 ; 1 ; la función f es estrictamente decreciente en los intervalos − 3 ; − 2 y 1 2 ; 2 y estrictamente creciente en − 2 ; 1 2 ; la recta Δ de ecuación y =0 ; 5 · x +3 es tangente a la curva C f en el punto A ; La tangente Δ a la curva C f en el punto B es paralela al eje de abscisas. Cada respuesta deberá estar justificada. Una respuesta no justificada no da puntos. 1 Dar el valor de f (1) . 2 ¾Cuál es el signo de f (2) ? 3 Indique el valor de f (0) . 4 Indique el número de soluciones de la ecuación f ( x )= 0 ; 5 . 7. Funciones derivadas y teorema del valor intermedio E.7326 Consideremos la función f definida y derivable en R y cuya función derivada admite la siguiente tabla de signos : x −∞ 1 5 + ∞ f ( x ) − 0 + 0 − Además, la ecuación f ( x )=0 tiene el siguiente conjunto de soluciones : S = 3 Elabora la tabla de signos, justificando tu planteamiento. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7327 sacados/7327 chapExoCorrec/7365 sacados/7365 Extrait Asie Juin 2017 x-3-2-1012y-3-2-112345Cf chapExoCorrec/7326 sacados/7326
−4−1140;5−1;510;5xVariationdef -4-3-2-1234I-2-12JOC1 -4-3-2-1234I-2-12JOC2 -4-3-2-1234I-2-12JOC3 00,20,40,60,810,20,40,60,81DyxCCE E.7294 Consideremos la función f definida en el intervalo − 4 ; 4 cuya función derivada f admite la siguiente tabla de variaciones: En un sistema de referencia O ; I ; J ortogonales, se mues-tran las curvas representativas C 1 , C 2 y C 3 de tres funciones. De estas curvas sólo una es la representación de la función f . ¾Cuál es? Justifica tu respuesta. 8. Ejercicios no clasificados E.7058 Se encargó a una empresa de au-ditoría que estudiara la distribución salarial en dos filiales de una empresa, denominadas A y B . Para el estudio, los salarios se clasificaron por orden ascendente. La empresa auditora ha modelado la distribución de los salarios mediante la función u para la filial A y mediante la función v para la filial B . Las funciones u y v se definen en el intervalo 0 ; 1 mediante : u ( x ) = 0 ; 6 · x 2 + 0 ; 4 · x ; v ( x ) = 0 ; 7 · x 3 + 0 ; 1 · x 2 + 0 ; 2 · x A continuación se han trazado las curvas representativas C y C de las funciones u y v . 1 Determine la curva representativa de la función u y jus-tifique la respuesta. 2 Cuando x representa un porcentaje de empleados, u ( x ) y v ( x ) representan el porcentaje de la masa salarial que se reparten estos empleados en sus respectivas filiales. Ejemplo : para la curva C , el punto E (0 ; 60 ; 0 ; 3072) significa que 60 % de los empleados con los salarios más bajos se reparten 30 ; 72 % de la masa salarial. a Calcular el porcentaje de la masa salarial que se reparten los 50 % empleados de la filial A con los salarios más bajos. b De los 50 % empleados con los salarios más bajos, ¾cuál de las filiales, A o B , distribuye la mayor parte de la masa salarial? c ¾Qué filial parece tener una distribución salarial más desigual? E.5558 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x · e x − e x − 1 1 Demuestre que la función f es estrictamente creciente en 0 ; + ∞ 2 a Demuestre que la ecuación f ( x )=0 tiene una solu-ción única, denotada ¸ , en 0 ; 2 . b Utilizando la calculadora, da un marco unitario para ¸ . 3 Deduce la tabla de signos de f ( x ) en 0 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7294 sacados/7294 −4−1140;5−1;510;5xVariationdef -4-3-2-1234I-2-12JOC1 -4-3-2-1234I-2-12JOC2 -4-3-2-1234I-2-12JOC3 chapExoCorrec/7058 sacados/7058 00,20,40,60,810,20,40,60,81DyxCCE chapExoCorrec/5558 sacados/5558 Extrait de Liban Mai 2013