Bachillerato 2 - Comp. / Secuencias numéricas 47 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Un poco más lejos: secuencias aritmético-geométricas E.2408 Consideremos la sucesión u n n N definida por la relación: u 0 = 8 ; u n +1 = 1 2 u n 5 para todo número natural n . 1 Sea v n n N la sucesión definida por: v n = u n + 10 para todo n N a Demuestre que la sucesión v n verifica la siguiente relación para todo número natural n : v n +1 = 1 2 · v n b Indique la naturaleza de la sucesión ( v n ) , así como sus elementos característicos. c Indique la fórmula explícita que da la expresión del término v n en función de su rango n . 2 Deduzca de las preguntas anteriores la fórmula explícita de la sucesión u n . E.6426 So u n definido por su primer término u 0 y, para cualquier número natural n , por la relación: u n +1 = a · u n + b ( a y b números reales distintos de cero tales que a =1 ) Planteamos, para cualquier número natural n : v n = u n b 1 a Demostramos que, la sucesión v n es geométrica de razón a . E.2409 Consideremos la sucesión ( u n ) definida por: u 0 = 5 ; u n +1 = 1 3 u n + 4 para todo n N . 1 Sea v n la sucesión definida por la relación: v n = u n 6 para n N . a Establezca que la sucesión v n es una sucesión ge-ométrica, precisando el primer término y la razón de dicha sucesión. b Exprese el término v n en función de su rango n . 2 Deduzca la expresión de u n en función de n . 2. Recordatorios E.7544 1 Los técnicos de un acuario desean ajustar el dispensador automático de un producto destinado a mejorar la cali-dad del agua en un estanque. Al inicio de la prueba, la concentración del producto en este estanque es de 160 mg · 1 . Se estima que la concentración del producto disminuye aproximadamente 10 % por semana. Indique la concentración de este producto al cabo de 8 semanas. 2 Los técnicos instalan un dispensador automático de tal manera que cada semana vierte una determinada canti-dad de producto. Tras estudiarlo, observan que con el uso de esta máquina, la concentración de este producto aumenta 5 % por semana. Comenzando las mediciones con una concentración de 120 mg · 1 , ¾cuál será la concentración de este producto al cabo de 8 semanas? Las concentraciones obtenidas se redondearán al décimo más cercano. E.7543 1 Consideremos la sucesión u n , definida en N , geométrica de primer término 3 y de razón 2 ; 5 . a Determinar, redondeando al milésimo, el valor de los términos u 5 y u 7 . b Dar el límite de los términos de la sucesión u n cuando n tiende a + . 2 Consideremos la sucesión v n , definida en N , geométrica de primer término 7 y de razón 0 ; 5 . a Determine, redondeando a 10 5 , el valor de los térmi-nos v 5 y v 7 . b Dar el límite de los términos de la sucesión v n cuando n tiende a + . E.7542 Cada una de las expresiones siguientes permite definir los términos de una sucesión u n geométrica, definida en N : a u 0 = 3 ; u n +1 = 2 · u n b u n = 2 n c u 0 = 2 ; u n +1 = u n 2 d u n = 3 × 0 ; 2 n En cada pregunta, indique los elementos característicos de la sucesión u n . E.7541 De las cuatro propuestas que se ofrecen a continuación, solo una es correcta. ¾Cuál? Justifique su respuesta. Consideremos la sucesión u n , definida para todo número natural n , geométrica de primer término 4 y razón 3 : La suma S de los 10 primeros términos de la sucesión definida por: S = u 0 + u 1 + · · · + u 9 tiene como valor: a S = 2 · 3 9 1 b S = 2 · 3 10 1 c S = 4 · 3 9 1 d S = 4 · 3 10 1 3. Modelizar un problema https://chingmath.fr chapExoCorrec/2408 sacados/2408 chapExoCorrec/6426 sacados/6426 chapExoCorrec/2409 sacados/2409 chapExoCorrec/7544 sacados/7544 chapExoCorrec/7543 sacados/7543 chapExoCorrec/7542 sacados/7542 chapExoCorrec/7541 sacados/7541
E.7040 En 1 er septiembre 2015 , un com-plejo escolar tiene 3 000 alumnos. Un estudio estadístico interno ha demostrado que cada 1 er septiembre : 10 % alumnos se van ; 250 nuevos alumnos se matriculan. Buscamos modelizar esta situación mediante una secuencia u n donde, para cualquier número natural n , u n representa el número de alumnos en 1 er septiembre del año 2015+ n . Justifica que podemos modelizar la situación con la secuencia u n tal que u 0 =3 000 y, para cualquier número natural n : u n +1 = 0 ; 9 · u n + 250 E.7028 Una empresa está interesada en el número de pantallas 3 D que ha vendido desde 2010 : Año 2010 2011 2012 Número de pantallas 3 D vendidas 0 5 000 11 000 El número de pantallas 3 D vendidas por la empresa en el año (2010+ n ) se modela mediante una sucesión u n aritmético-geométrica, cuyo primer término es u 0 =0 . Recordemos que una sucesión aritmético-geométrica verifica, para todo número natural n , una relación de recurrencia de la forma u n +1 = a × u n + b donde a y b son dos números reales. 1 a Suponiendo que u 1 =5 000 , determine el valor de b . b Suponiendo además que u 2 =11 000 , demuestre que para todo número natural n , se tiene : u n +1 = 1 ; 2 × u n + 5 000 2 a Calcule u 3 y u 4 . b En 2013 y 2014 , la empresa vendió respectivamente 18 000 y 27 000 pantallas 3 D . ¾Parece pertinente el modelo? E.7012 La empresa PiscinePlus , con sede en el sur de Francia, ofrece contratos anuales de manten-imiento a propietarios de piscinas privadas. El jefe de esta empresa señala que, cada año, se suscriben 12 % contratos adicionales y 6 contratos cancelados. Utiliza esta observación para estimar el número de contratos anuales venideros. En 2015 , la empresa PiscinePlus contabilizó 75 contratos suscritos. Modelizamos la situación mediante una secuencia u n donde u n representa el número de contratos suscritos con la empresa PiscinePlus en el año 2015+ n . Así, tenemos u 0 =75 . 1 Estime el número de contratos de mantenimiento en 2016 . 2 Demuestre que, para cualquier número natural n , ten-emos : u n +1 = 1 ; 12 · u n 6 4. Fórmula explícita E.7527 Sea la sucesión u n definida por u 0 =150 y para todo número natural n : u n +1 = 0 ; 8 · u n + 45 Consideremos la sucesión v n definida para todo número nat-ural n por: v n = u n 225 1 Demuestra que v n es una sucesión geométrica y deter-mina su primer término y su razón. 2 Deduzca que para todo número natural n : u n = 225 75 × 0 ; 8 n E.7529 Consideremos la sucesión u n definida para u 0 =27 500 y para todo número natural n , ten-emos : u n +1 = 1 ; 04 · u n 156 Se busca calcular explícitamente el término general u n en fun-ción de n . Para ello, se denota v n la sucesión definida, para todo número natural n , por: v n = u n 3 900 1 Demuestre que v n es una sucesión geométrica cuya razón y primer término se precisarán. 2 Deduzca que, para todo número natural n : u n = 23 600 × 1 ; 04 n + 3 900 E.7530 Se ha puesto en marcha un plan de reducción de emisiones de gases de efecto invernadero (GES) en una zona industrial. Se estima que, para las empresas ya instaladas en el emplazamiento, las medidas de este plan con-ducen a una reducción de las emisiones de 2 % de un año a otro y que, cada año, la implantación de nuevas empresas en el emplazamiento genera 200 toneladas de GEI en equivalente de CO 2 . En 2005 , esta zona industrial emitió un total de 41 miles de toneladas de CO 2 . Para todo número natural n , se indica u n el número de miles de toneladas de CO 2 emitidas en esta zona industrial durante el año 2005+ n . 1 Determinar u 0 y u 1 . 2 Demuestre que, para todo número natural n , se tiene : u n +1 = 0 ; 98 × u n + 0 ; 2 3 Consideremos la sucesión v n definida, para todo número natural n , por: v n = u n 10 a Demostrar que la sucesión v n es geométrica con razón 0 ; 98 . Especificar su primer término. b Expresar v n en función de n , para todo número natural n . c Deduzca que, para todo número natural n : u n = 31 × 0 ; 98 n + 10 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7040 sacados/7040 Extrait d'Asie Juin 2016 chapExoCorrec/7028 sacados/7028 chapExoCorrec/7012 sacados/7012 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7527 sacados/7527 chapExoCorrec/7529 sacados/7529 chapExoCorrec/7530 sacados/7530 Extrait Liban Juin 2017
5. Límite E.7033 Una empresa de alquiler de coches dispone a fecha de 1 er de marzo 2015 de un total de 10 000 coches para Europa. Con el fin de mantener su flota, decide revender, el 1 er de marzo de cada año, 25 % de su flota de automóviles y com-prar 3 000 coches nuevos. Modelamos el número de coches de la agencia mediante una sucesión : Para todo número natural n , anotamos u n el número de coches presentes en la flota el 1 er de marzo del año 2015+ n . Por lo tanto, tenemos : u 0 =10 000 1 Explique por qué para todo número natural n : u n +1 = 0 ; 75 · u n + 3000 2 Para todo número natural n , consideramos la sucesión v n definida por: v n = u n 12 000 a Demuestra que la sucesión v n es una sucesión ge-ométrica de razón 0 ; 75 . Especifica su primer término. b Expresar v n en función de n . Determinar el límite de la sucesión v n . c Justificar que, para todo número natural n : u n = 12 000 2 000 × 0 ; 75 n d Basándose en las respuestas dadas a las dos preguntas anteriores, ¾qué puede conjeturar sobre el número de coches que tendrá la flota de este arrendador al cabo de muchos años? E.7025 Un sitio web ofrece a sus suscrip-tores películas para descargar. Debido a una oferta de bienvenida, el número de suscriptores en el momento del lanzamiento es 15 000 . Basándonos en los primeros meses, se estima que el número de clientes suscritos al sitio evoluciona según la siguiente regla: cada mes, 10 % de los clientes se dan de baja y se registran 2 500 nuevos suscriptores. Se anota v n la estimación del número de suscriptores n meses después de la apertura, por lo que se tiene v 0 =15 000 . 1 Justificar que, para todo número natural n , se tiene : v n +1 = 0 ; 9 × v n + 2 500 2 Consideremos la sucesión w n definida para todo número natural n por: w n = v n 25 000 a Demuestre que la sucesión w n es geométrica de razón 0 ; 9 y especifique su primer término. b Deduzca que, para todo entero n : v n =25 000 10 000 × 0 ; 9 n c ¾Se puede prever, con ayuda de este modelo, una esta-bilización del número de abonados a largo plazo? Jus-tifique la respuesta. E.7604 En 2015 , los bosques cubrían aproxi-madamente 4 000 millones de hectáreas de tierra. Se estima que cada año esta superficie disminuye en 0 ; 4 % . Esta pér-dida se compensa en parte con la reforestación, natural o voluntaria, que se estima en 7 ; 2 millones de hectáreas al año. Consideremos la sucesión u n definida por u 0 =4 000 y, para todo número natural n : u n +1 = 0 ; 996 × u n + 7 ; 2 1 Justifique que, para todo número natural n , u n permite obtener una estimación de la superficie forestal mundial, en millones de hectáreas, en el año 2015+ n . 2 Copiar y completar el algoritmo siguiente para que, al final de su ejecución, la variable N tenga como valor el primer año en el que la superficie total de bosque cubra menos de 3 500 millones de hectáreas en la Tierra. N 2015 U 4 000 ... ... ... 3 Consideremos la sucesión v n definida para todo número natural n por: v n = u n 1 800 a Demuestra que la sucesión v n es geométrica y, a con-tinuación, determina su primer término y su razón. b Deduzca que para todo número natural n , se tiene : u n = 2200 × 0 ; 996 n + 1800 c Según este modelo y si el fenómeno persiste, ¾acabará desapareciendo la superficie forestal de la Tierra? Jus-tifique su respuesta. 6. Estudio de un umbral E.7211 Una asociación prepara y entrega a domicilio comidas a personas dependientes todos los días. En 2015 , 600 personas estaban suscritas a este servicio. Para estudiar su desarrollo, esta asociación realizó una en-cuesta según la cual la evaluación puede modelizarse de la siguiente manera : Cada año, 5 % de las suscripciones no se renuevan. Cada año, se registran 80 nuevas suscripciones a este ser-vicio. Esta evolución puede estudiarse mediante una sucesión u n donde u n es el número de suscriptores durante el año 2015+ n . Así, tenemos u 0 =600 y para todo número natural n : u n +1 =0 ; 95 · u n +80 Se admite que los términos de la sucesión u n admiten, en función del rango n , la expresión : u n = 1 600 1 000 × 0 ; 95 n El tamaño de las instalaciones no permite servir más de 1 000 comidas. Si esta evolución continúa al mismo ritmo, ¾deberá la aso-ciación plantearse algún día realizar obras de ampliación? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7033 sacados/7033 chapExoCorrec/7025 sacados/7025 chapExoCorrec/7604 sacados/7604 chapExoCorrec/7211 sacados/7211 Extrait Antilles-Guyanes Septembre 2016
E.7526 Sea la sucesión u n definida por u 0 =150 y para todo número natural n : u n +1 = 0 ; 8 · u n + 45 1 Calcular u 1 y u 2 . 2 Aquí hay dos propuestas de algoritmos: U 150 N 0 Mientras U 220 U 0;8 × U+45 N N+1 Fin Mientras que Algoritmo 1 U 150 N 0 Mientras U<220 U 0;8 × U+45 N N+1 Fin Mientras Algoritmo 2 Al final de su ejecución, nos interesa el valor de la vari-able N del algoritmo. a Solo uno de estos algoritmos permite asignar a la vari-able N , al final de la ejecución, el menor entero natural n tal que u n 220 . Especifique cuál y justifique por qué el otro algoritmo no lo permite. b ¾Cuál es el valor de la variable N al final de la ejecución de este algoritmo? E.7528 Una gran universidad, en pleno crecimiento en cuanto a número de alumnos, acogió a 27 500 estudiantes en septiembre 2016 . El rector de la universidad está preocupado, porque sabe que, a pesar de una gestión óptima de las instalaciones y de la distribución de los estudiantes entre los distintos centros de su universidad, no podrá acoger a más de 33 000 estudiantes. Un estudio estadístico le permite elaborar un modelo de pre-visiones según el cual, cada año : 150 estudiantes abandonan durante el año académico (en-tre el 1 er de septiembre y el 30 de junio) ; el número de estudiantes matriculados al inicio del curso en septiembre aumenta en 4 % con respecto al mes de junio anterior. Para cualquier número natural n , se anota u n el número de estudiantes estimado según este modelo al inicio del curso en septiembre 2016+ n , por lo que tenemos u 0 =27 500 . 1 a Estimar el número de estudiantes en junio 2017 . b Estimar el número de estudiantes al inicio del curso en septiembre 2017 . 2 Justificar que, para todo número natural n , se tiene : u n +1 = 1 ; 04 · u n 156 3 Copiar y completar las líneas 3 , 4 , 5 y 7 del siguiente algoritmo para que, al final de su ejecución, la variable n tenga como valor el año a partir del cual el número de estudiantes que se admitirán superará la capacidad máxima del centro .1 n 0 .2 U 27 500 .3 Mientras U ... .4 n ... .5 U ... .6 Fin Mientras .7 U U+ ... 4 a Este algoritmo se ejecuta paso a paso. Copie la siguiente tabla y complétela añadiendo el número necesario de columnas ; redondearemos los val-ores de U a la unidad. Inicialización Paso 1 . . . Valeur de n 0 . . . . . . Valeur de U 27 500 . . . . . . b Indique el valor de la variable n al final de la ejecución de este algoritmo. 7. Resolución de inecuaciones (logaritmo) E.7013 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 75 ; u n +1 = 1 ; 12 · u n 6 para todo n N Establecemos para todo número natural n : v n = u n 50 1 Demuestra que la sucesión v n es una sucesión ge-ométrica. Especificar la razón y el primer término. 2 Deduzca la expresión de v n en función de n y, a contin-uación, demuestre que, para todo número natural n , se tiene : u n =25 × 1 ; 12 n +50 3 Resolver en el conjunto de los números naturales la de-sigualdad : u n > 100 . E.7016 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 =4 ; u n +1 = 0 ; 92 · u n + 8 para todo n N Para todo número natural, se establece : v n = u n 100 1 Demuestre que la sucesión v n es geométrica con razón 0 ; 92 y calcule su primer término v 0 . 2 Exprese v n en función de n . 3 Deduzca que, para todo número natural n , se tiene : u n = 100 96 × 0 ; 92 n . 4 Resuelva la desigualdad : u n 70 8. Recordatorios Suma de los términos de una secuencia https://chingmath.fr chapExoCorrec/7526 sacados/7526 chapExoCorrec/7528 sacados/7528 chapExoCorrec/7013 sacados/7013 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7016 sacados/7016
E.7261 Determine, para cada pregunta, el valor exacto de la suma y, si procede, su valor redondeado al cen-tésimo : a 1+4+4 2 + ··· +4 6 b 1+0 ; 2+0 ; 2 2 + ··· +0 ; 2 7 c 1+ 1 6 + 1 6 2 + ··· + 1 6 10 d 1+1 1 +1 2 + ··· +1 10 E.7262 Determina, para cada pregunta, el valor exacto de la suma y, a continuación, su valor redondeado al centésimo : a 3 + 3 × 2 + 3 × 2 2 + · · · + 3 × 2 6 b 4 + 4 × 0 ; 2 + 4 × 0 ; 2 2 + · · · + 4 × 0 ; 2 7 E.7004 Consideremos la sucesión ge-ométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 2 . La suma de los 13 primeros términos de esta sucesión es : ¾Cuál de las 3 respuestas siguientes es la correcta? a 4095 b 8191 c 1 2 14 1 2 E.7046 Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es cierta? La suma S =1+2+2 2 +2 3 + ··· +2 30 es igual a: a 1 + 2 31 b 1 2 31 c 1 + 2 30 d 1 2 30 E.7267 De las cuatro afirmaciones siguientes, solo una es correcta. ¾Cuál? Justifique su respuesta. La sucesión u n es la sucesión geométrica de primer término u 0 = 400 y razón 1 2 . La suma S = u 0 + u 1 + ··· + u 10 es igual a: a 2 × 1 0 ; 5 10 b 2 × 1 0 ; 5 11 c 800 × 1 0 ; 5 10 d 800 × 1 0 ; 5 11 9. Estudio de un umbral E.7313 Un municipio abre una mediateca el 1 er de enero 2013 . La mediateca cuenta con un fondo de 35 000 obras de la antigua biblioteca, al que se suman 7 000 obras nuevas donadas por el municipio. Cada año, la bibliotecaria se encarga de retirar 5 % obras de-masiado antiguas o deterioradas. Se supone que la biblioteca no compra ninguna obra nueva. Denominemos u n al número, en miles, de obras disponibles el 1 er de enero del año (2013+ n ) . Se da u 0 =42 . 1 a Justifique que, para todo número natural n , se tiene : u n +1 =0 ; 95 × u n b Indique el número de obras de esta biblioteca a 1 er de enero de 2018 . 2 A continuación se propone un algoritmo en lenguaje nat-ural. u 42 n 0 Mientras u>10 u u × 0;95 n n+1 Fin Mientras a Después de ejecutar el algoritmo, ¾qué representa el valor de la variable n . b ? Con ayuda de tu calculadora, determina el valor de la variable n después de ejecutar el algoritmo. E.7268 De las cuatro afirmaciones siguientes, solo una es correcta. ¾Cuál? Justifique su respuesta. Consideremos el siguiente algoritmo: n 0 U 50 Mientras U<120 U 1;2 × U n n+1 Fin Mientras Al final de la ejecución, ¾cuál es el valor de la variable n : a 4 b 124 ; 416 c 5 d 96 ? E.7206 Un comerciante que acaba de abrir una tienda observa que su facturación comenzó en 25 000 euros al mes y ha aumentado cada mes en 2 % . Decide modelizar la progresión de su facturación como u n donde u 0 representa la facturación del primer mes de aper-tura. 1 Indique la naturaleza y las características de la secuencia u n . 2 a Utilizando la calculadora, determina a partir de cuántos meses su facturación superará los 30 000 eu-ros. b Completa el algoritmo para que el valor de la variable n tenga el valor, al final de su ejecución, del número de meses tras la apertura en que su facturación superará 30 000 euros. .1 n 0 . 2 U 25 000 .3 Siempre que . .. hacen .4 n ... .5 U ... .6 Fin Mientras 10. Suma de los términos de una sucesión geométrica https://chingmath.fr chapExoCorrec/7261 sacados/7261 chapExoCorrec/7262 sacados/7262 chapExoCorrec/7004 sacados/7004 chapExoCorrec/7046 sacados/7046 Extrait Antilles-Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7267 sacados/7267 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2016 chapExoCorrec/7313 sacados/7313 chapExoCorrec/7268 sacados/7268 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2016 chapExoCorrec/7206 sacados/7206
E.7263 A fecha de 1 er de enero 2017 , una asociación deportiva cuenta con 900 socios. Se observa que cada mes 8 % de los miembros de la asociación no renuevan su afiliación. 1 Determinar el número de miembros a 1 er de marzo 2017 . 2 Modelamos el número de miembros n meses después del 1 er de enero 2017 en adelante u n . a Indique la naturaleza y los elementos característicos de la sucesión u n . b Expresar el término u n en función de su rango n . c Determinar el número de afiliados, redondeado a la unidad, a 1 er de enero 2018 . 3 Cada miembro paga una cuota de 10 euros al mes. El tesorero de la asociación desea calcular el importe total de las cuotas para el año 2017 . El tesorero desea utilizar el siguiente algoritmo, en el que la cuarta línea está incompleta (puntos suspensivos) . a Copie y complete el algoritmo para que, al final de su ejecución, la variable S tenga como valor el importe total de las cuotas del año 2017 . S 0 U 900 Para N entre 1 y 12 S ... U 0;92 · U Fin Para b ¾Cuál es la suma total de las cuotas recaudadas por la asociación durante el año 2017 ? Se redondea la suma al euro más cercano. E.7271 Considera el algoritmo siguiente : Función f(n) u 2 000 S 2 000 Para i entre 2 y n u u × 1; 008 S S+u Fin para Ejecutamos la función, dándole para el argumento n el valor 5 . Resume en la siguiente tabla los valores asignados a las vari-ables de la función f durante su llamada: Valor de i 2 Valor de u 2 000 Valor de S 2 000 E.7315 Sin justificar, dar el valor contenido en la variable S tras la ejecución de este algoritmo: 1 u 2 2 S 2 3 Para i ir de 1 a 20 4 u u × 1; 05 5 S S+u . 6 Fin para E.7532 Consideremos la sucesión u n , definida para todo número natural n , geométrica de primer término 3 y de razón 2 . Denotemos por S n la suma de los ( n +1) primeros términos de la sucesión u n . Establezca la identidad siguiente para todo número natural n : S n = 3 · 2 n +1 1 11. Secuencias geométricas, umbral y suma E.7314 Una pequeña ciudad cuenta con un servicio municipal de alquiler de bicicletas. El ayuntamiento desea obtener información sobre el número de bicicletas en circulación y el coste que ello supone. El responsable del servicio de alquiler de bicicletas constata que, entre las bicicletas inutilizables por pérdida, robo o dete-rioro y las bicicletas nuevas adquiridas, el número de bicicletas utilizables aumenta en 5 % cada año. El 1 er de enero 2017 , el parque cuenta con 200 bicicletas uti-lizables. Modelamos la evolución del número de bicicletas utilizables mediante una sucesión u n en la que, para todo número nat-ural n , u n es el número de bicicletas el 1 er de enero del año 2017+ n . Así, u 0 =200 y, para todo número natural n : u n +1 = 1 ; 05 × u n . 1 a Justifique el coeficiente 1 ; 05 en la expresión de u n +1 en función de u n . b ¾Cuántas bicicletas habrá en este parque el 1 er de enero 2018 ? 2 El ayuntamiento ha decidido dejar de comprar bicicletas nuevas en cuanto su stock supere las 500 unidades. ¾En qué año superará por primera vez el stock del servi-cio municipal las 500 bicicletas? 3 Para ayudarle a mantener el servicio de alquiler, el ayun-tamiento ha obtenido una subvención de la región que se abonará desde 2017 hasta 2032 inclusive Esta subvención asciende a 10 euros por bicicleta disponible para alquilar. Suponiendo que el aumento del stock de bicicletas se man-tenga constante en 5 % cada año durante este periodo, determine la suma total percibida gracias a esta subven-ción desde el 1 er de enero 2017 hasta el 1 er de enero 2032 . Se da el valor exacto y el valor redondeado al centésimo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7263 sacados/7263 chapExoCorrec/7271 sacados/7271 chapExoCorrec/7315 sacados/7315 chapExoCorrec/7532 sacados/7532 chapExoCorrec/7314 sacados/7314
S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3 E.7264 Consideremos la sucesión ge-ométrica u n , de razón 0 ; 9 y primer término u 0 =50 . 1 a Copie y complete el algoritmo para que, al final de su ejecución, la variable U tenga como valor 25 e , término de esta sucesión, es decir, u 24 : U ... Para N que va de 1 a 24 U ... Fin Para b Para todo número natural n , expresar u n en función de n . c Calcular u 24 y dar un valor aproximado del resultado con una precisión de 10 3 . 2 Con ayuda de la calculadora, dar el entero natural más pequeño n tal que : u n < 0 ; 01 . 3 Se desea calcular la suma : S 24 = u 0 + u 1 + ··· + u 24 . Aquí hay tres propuestas de algoritmos: a Al final de su ejecución, solo uno de estos algoritmos tendrá su variable S afectada por el valor de la suma u 24 . Especifique cuál y justifique la respuesta. b Calcular la suma S 24 . Se dará un valor aproximado del resultado con una precisión de una unidad. 12. Secuencias geométricas: límites E.7293 1 Consideremos la sucesión u n geométrica de primer tér-mino 1 y razón 2 . a Consideremos el digo: Función f(n) u 1 Para i que va de 1 a n u 2 × u Fin Para Devolver u La llamada a la función f(n) devuelve al programa el valor del término de la sucesión u n de rango n . Completa la tabla de valores siguiente : n 0 1 2 10 20 u n b Completa los puntos suspensivos : lim n ↦→ + u n = : : : 2 a Modificar la función f muestra los términos de la sucesión v n definida por: v 0 = 2 ; v n +1 = 0 ; 8 × v n b Completa la tabla de valores redondeados al milésimo: n 0 1 2 10 20 v n c Completa los puntos suspensivos : lim n ↦→ + v n = : : : 3 Consideremos la sucesión w n geométrica de primer tér-mino 50 y razón 0 ; 8 . Denotemos por S n la suma de los n +1 primeros términos de la sucesión w n : S n = w 0 + w 1 + · · · + w n a Completa los puntos para que la función f(n) devuelva el término de rango n de la sucesión S n : Función f(n) u 50 S 50 Para i entre 1 y n u ... S S+... Fin para Devolver S b Realizando varias llamadas a la función f , conjeturar el límite de la sucesión S n c Establecer que : S n =250 · 1 0 ; 8 n +1 d Justificar la conjetura de la pregunta b . E.7205 Un sitio web ofrece a sus suscrip-tores películas para descargar. En el momento de su apertura, se ofrecen 500 películas y cada mes, el número de películas ofrecidas a los suscriptores aumenta en 6 % . Modelamos el número de películas ofrecidas mediante una sucesión geométrica u n , donde n designa el número de meses desde la apertura del sitio web. Por lo tanto, tenemos : u 0 =500 . 1 Calcule u 1 y u 2 y el resultado redondeado a la unidad. 2 Exprese u n en función de n . 3 Determine el límite de la sucesión u n . E.7265 Consideremos la sucesión ge-ométrica u n , de razón 0 ; 9 y primer término u 0 =50 . Para todo número natural n , anotamos S n = u 0 + u 1 + ··· + u n . Se admite que la sucesión S n es creciente y que para todo número natural n : S n =500 450 × 0 ; 9 n . 1 Determinar el límite de la sucesión S n cuando n tiende a + . 2 Alex afirma que S n puede superar a 500 para un valor del entero n suficientemente grande. ¾Qué opinas de su afirmación? Justifica tu respuesta. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7264 sacados/7264 S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3 chapExoCorrec/7293 sacados/7293 chapExoCorrec/7205 sacados/7205 chapExoCorrec/7265 sacados/7265
E.7531 Consideremos la sucesión ge-ométrica u n con primer término u 0 =50 y razón 0 ; 9 . 1 Determina el valor exacto del término u 24 y da un valor aproximado del resultado con una precisión de 10 3 . 2 Para todo número natural n , se anota : S n = u 0 + u 1 + ··· + u n a Determinar el valor exacto de la suma S 24 . Se dará un valor aproximado del resultado con una precisión de una unidad. Se admite que la sucesión S n es creciente y que para todo número natural n : S n = 500 450 × 0 ; 9 n b Determinar el límite de la sucesión S n cuando n tiende a + . c Alex afirma que S n puede superar 500 para un valor del entero n suficientemente grande. ¾Qué opinas de su afirmación? Justifica tu respuesta. 13. Secuencias geométricas: límites y umbrales E.7292 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 0 ; u n +1 = 0 ; 8 · u n + 0 ; 1 para todo n N 1 a Introduzca el algoritmo siguiente : u 0 Para i que va de 1 a n u 0;8 × u+0;1 Fin para b La variable n que tiene el valor 10 , ¾qué representan los diferentes valores de la variable u durante la ejecución del algoritmo? c Al ejecutar paso a paso el algoritmo, ¾qué conjetura se puede hacer sobre los valores de los términos de la sucesión u n ? 2 a Introduzca el algoritmo siguiente : u 0 n 0 Mientras u<0;499 u 0;8 × u+0;1 n n+1 Fin mientras que b Al final de la ejecución del algoritmo, que representa el valor de la variable n ? E.7269 Se denota por S n = u 1 + u 2 + ··· + u n la suma de los n primeros términos de una sucesión u n , siendo n un número natural distinto de cero. Se admite que : S n = 250 000 + 250 000 × 1 ; 008 n y que la sucesión S n es creciente. 1 Determinar el límite de los términos de la sucesión S n cuando n tiende a + . 2 Determinar, con ayuda de la calculadora, a partir de qué rango la sucesión S n tiene un valor superior a 125 000 . 14. Ejercicios no clasificados E.6109 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 115 ; u n +1 = 0 ; 4 · u n + 120 para todo n N 1 Consideremos la sucesión v n definida para todo número natural n por: v n = u n 200 . a Demuestre que v n es una sucesión geométrica de razón 0 ; 4 . Especifique v 0 . b Exprese, para todo número natural n , v n en función de n . 2 Deduzca que, para todo número natural n : u n = 200 85 × 0 ; 4 n 3 ¾La sucesión u n es convergente? Justifique su re-spuesta. E.5557 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 10 ; u n +1 = 0 ; 9 u n + 1 ; 2 para todo n N . 1 Da el valor exacto de los tres primeros términos de la sucesión u n . 2 Consideremos la sucesión v n definida por: v n = u n 12 para todo n N . Demuestre que la sucesión v n es una sucesión ge-ométrica de razón 0 ; 9 y primer término 2 . 3 a Exprese, para todo número natural n , v n en función de n . b Expresar, para todo número natural n , u n en función de n . c Deducir el límite de la sucesión u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7531 sacados/7531 chapExoCorrec/7292 sacados/7292 chapExoCorrec/7269 sacados/7269 chapExoCorrec/6109 sacados/6109 chapExoCorrec/5557 sacados/5557
E.5563 La producción de perlas culti-vadas de Tahití es una actividad económica importante para la Polinesia Francesa. Para prever los importes realizados con la exportación de per-las de Tahití, modelizamos la situación mediante una secuen-cia u n . Anotamos u 0 el importe en 2011 , en millones de euros, y u n el importe en 2011+ n , en millones de euros. Se dan los siguientes datos : En 2011 , el valor bruto de los productos perleros fue de 63 millones de euros. On supone que el importe de las exportaciones realizadas ha disminuido cada año en 8 % . 1 Montrer que la secuencia u n es una secuencia ge-ométrica cuya razón debe especificarse. 2 Exprimer, para cualquier número natural n , u n en fun-ción de n . 3 Con este modelo, ¾qué cantidad puede preverse para la exportación de productos perleros de la Polinesia Francesa en 2016 ? Redondea el resultado al millón de euros más próximo. E.5560 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 42 ; u n +1 = 0 ; 95 · u n + 4 para todo n N 1 Determinemos el valor exacto de los tres primeros térmi-nos de la sucesión u n 2 Consideremos la sucesión w n definida por: v n = u n 80 para todo n N . Demuestre que v n es una sucesión geométrica de razón q =0 ; 95 y primer término 38 . 3 a Exprese, para todo número natural n , v n en función de n . b Expresar, para todo número natural n , u n en función de n . c Determinar el límite de la sucesión u n . E.6095 Consideremos la sucesión a n definida por: a 0 = 8 ; a n +1 = 3 4 · a n + 4 para todo n N 1 Para todo número natural n , anotamos : u n = a n 16 . a Demuestra que la sucesión u n es una sucesión ge-ométrica de razón 3 4 . b Expresa u n en función de n . 2 Expresar a n en función de n . ¾Qué se puede decir sobre la convergencia de la sucesión a n ? E.3578 Dos empresas, Ultra-eau ( U ) y Vital-eau ( V ) , se reparten el mercado de las fuentes de agua con botellas en las empresas de una gran ciudad. En 2013 , la empresa U tenía 45 % del mercado y la empresa V el resto. Cada año, la empresa U conserva 90 % de sus clientes, los demás eligen la empresa V . En cuanto a la empresa V , conserva 85 % de sus clientes, los demás eligen la empresa U . Se elige un cliente al azar cada año y se anota para todo número natural n : u n la probabilidad de que sea cliente de la empresa U el año 2013+ n , así u 0 =0 ; 45 ; v n la probabilidad de que sea cliente de la empresa V en el año 2013+ n . 1 Representar la situación mediante un grafo probabilístico de vértices U y V . 2 Dar v 0 , calcular u 1 y v 1 . 3 Consideremos la función f (incompleta) , extraída de un algoritmo, que se muestra a continuación. Cuando se in-voca con un argumento entero natural n distinto de cero, devuelve el par de valores ( u n ; v n ) . Complete las líneas ( .3 ) et ( .6 ) de la función para obtener el resultado esperado. .1 Fonction f(N) .2 U 0;45 .3 V ... .4 Para i desde 1 hasta N .5 U 0;9 × U+0;15 × V .6 V ... .7 Fin Para .8 Volver ( U ; V) 4 Se admite que, para cualquier número natural n : u n +1 = 0 ; 75 · u n + 0 ; 15 . Se anota, para todo número natural n : w n = u n 0 ; 6 a Demostrar que la sucesión w n es una sucesión ge-ométrica de razón 0 ; 75 . b ¾Cuál es el límite de la sucesión w n ? Deduzca el límite de la sucesión u n . Interprete el resultado en el contexto de este ejercicio. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5563 sacados/5563 chapExoCorrec/5560 sacados/5560 chapExoCorrec/6095 sacados/6095 chapExoCorrec/3578 sacados/3578