- Un poco más lejos: secuencias aritmético-geométricas (3 ejercicios)
- Recordatorios (4 ejercicios)
- Modelizar un problema (3 ejercicios)
- Fórmula explícita (3 ejercicios)
- Límite (3 ejercicios)
- Estudio de un umbral (3 ejercicios)
- Resolución de inecuaciones (logaritmo) (2 ejercicios)
- Recordatorios Suma de los términos de una secuencia (5 ejercicios)
- Estudio de un umbral (3 ejercicios)
- Suma de los términos de una sucesión geométrica (4 ejercicios)
- Secuencias geométricas, umbral y suma (2 ejercicios)
- Secuencias geométricas: límites (4 ejercicios)
- Secuencias geométricas: límites y umbrales (2 ejercicios)
E.7040
En
1
er
septiembre
2015
,
un
com-plejo
escolar
tiene
3
000
alumnos.
Un
estudio
estadístico
interno
ha
demostrado
que
cada
1
er
septiembre
:
10
%
alumnos
se
van
;
250
nuevos
alumnos
se
matriculan.
Buscamos
modelizar
esta
situación
mediante
una
secuencia
u
n
donde,
para
cualquier
número
natural
n
,
u
n
representa
el
número
de
alumnos
en
1
er
septiembre
del
año
2015+
n
.
Justifica
que
podemos
modelizar
la
situación
con
la
secuencia
u
n
tal
que
u
0
=3
000
y,
para
cualquier
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
9
·
u
n
+
250
E.7028
Una
empresa
está
interesada
en
el
número
de
pantallas
3
D
que
ha
vendido
desde
2010
:
Año
2010
2011
2012
Número
de
pantallas
3
D
vendidas
0
5
000
11
000
El
número
de
pantallas
3
D
vendidas
por
la
empresa
en
el
año
(2010+
n
)
se
modela
mediante
una
sucesión
u
n
aritmético-geométrica,
cuyo
primer
término
es
u
0
=0
.
Recordemos
que
una
sucesión
aritmético-geométrica
verifica,
para
todo
número
natural
n
,
una
relación
de
recurrencia
de
la
forma
u
n
+1
=
a
×
u
n
+
b
donde
a
y
b
son
dos
números
reales.
1
a
Suponiendo
que
u
1
=5
000
,
determine
el
valor
de
b
.
b
Suponiendo
además
que
u
2
=11
000
,
demuestre
que
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
+1
=
1
;
2
×
u
n
+
5
000
2
a
Calcule
u
3
y
u
4
.
b
En
2013
y
2014
,
la
empresa
vendió
respectivamente
18
000
y
27
000
pantallas
3
D
.
¾Parece
pertinente
el
modelo?
E.7012
La
empresa
PiscinePlus
,
con
sede
en
el
sur
de
Francia,
ofrece
contratos
anuales
de
manten-imiento
a
propietarios
de
piscinas
privadas.
El
jefe
de
esta
empresa
señala
que,
cada
año,
se
suscriben
12
%
contratos
adicionales
y
6
contratos
cancelados.
Utiliza
esta
observación
para
estimar
el
número
de
contratos
anuales
venideros.
En
2015
,
la
empresa
PiscinePlus
contabilizó
75
contratos
suscritos.
Modelizamos
la
situación
mediante
una
secuencia
u
n
donde
u
n
representa
el
número
de
contratos
suscritos
con
la
empresa
PiscinePlus
en
el
año
2015+
n
.
Así,
tenemos
u
0
=75
.
1
Estime
el
número
de
contratos
de
mantenimiento
en
2016
.
2
Demuestre
que,
para
cualquier
número
natural
n
,
ten-emos
:
u
n
+1
=
1
;
12
·
u
n
−
6
4.
Fórmula
explícita
E.7527
Sea
la
sucesión
u
n
definida
por
u
0
=150
y
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
8
·
u
n
+
45
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida
para
todo
número
nat-ural
n
por:
v
n
=
u
n
−
225
1
Demuestra
que
v
n
es
una
sucesión
geométrica
y
deter-mina
su
primer
término
y
su
razón.
2
Deduzca
que
para
todo
número
natural
n
:
u
n
=
225
−
75
×
0
;
8
n
E.7529
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
para
u
0
=27
500
y
para
todo
número
natural
n
,
ten-emos
:
u
n
+1
=
1
;
04
·
u
n
−
156
Se
busca
calcular
explícitamente
el
término
general
u
n
en
fun-ción
de
n
.
Para
ello,
se
denota
v
n
la
sucesión
definida,
para
todo
número
natural
n
,
por:
v
n
=
u
n
−
3
900
1
Demuestre
que
v
n
es
una
sucesión
geométrica
cuya
razón
y
primer
término
se
precisarán.
2
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
=
23
600
×
1
;
04
n
+
3
900
E.7530
Se
ha
puesto
en
marcha
un
plan
de
reducción
de
emisiones
de
gases
de
efecto
invernadero
(GES)
en
una
zona
industrial.
Se
estima
que,
para
las
empresas
ya
instaladas
en
el
emplazamiento,
las
medidas
de
este
plan
con-ducen
a
una
reducción
de
las
emisiones
de
2
%
de
un
año
a
otro
y
que,
cada
año,
la
implantación
de
nuevas
empresas
en
el
emplazamiento
genera
200
toneladas
de
GEI
en
equivalente
de
CO
2
.
En
2005
,
esta
zona
industrial
emitió
un
total
de
41
miles
de
toneladas
de
CO
2
.
Para
todo
número
natural
n
,
se
indica
u
n
el
número
de
miles
de
toneladas
de
CO
2
emitidas
en
esta
zona
industrial
durante
el
año
2005+
n
.
1
Determinar
u
0
y
u
1
.
2
Demuestre
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
+1
=
0
;
98
×
u
n
+
0
;
2
3
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida,
para
todo
número
natural
n
,
por:
v
n
=
u
n
−
10
a
Demostrar
que
la
sucesión
v
n
es
geométrica
con
razón
0
;
98
.
Especificar
su
primer
término.
b
Expresar
v
n
en
función
de
n
,
para
todo
número
natural
n
.
c
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
=
31
×
0
;
98
n
+
10
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7040
sacados/7040
Extrait d'Asie
Juin 2016
chapExoCorrec/7028
sacados/7028
chapExoCorrec/7012
sacados/7012
Extrait de Liban
Mai 2016
chapExoCorrec/7527
sacados/7527
chapExoCorrec/7529
sacados/7529
chapExoCorrec/7530
sacados/7530
Extrait Liban
Juin 2017
5.
Límite
E.7033
Una
empresa
de
alquiler
de
coches
dispone
a
fecha
de
1
er
de
marzo
2015
de
un
total
de
10
000
coches
para
Europa.
Con
el
fin
de
mantener
su
flota,
decide
revender,
el
1
er
de
marzo
de
cada
año,
25
%
de
su
flota
de
automóviles
y
com-prar
3
000
coches
nuevos.
Modelamos
el
número
de
coches
de
la
agencia
mediante
una
sucesión
:
Para
todo
número
natural
n
,
anotamos
u
n
el
número
de
coches
presentes
en
la
flota
el
1
er
de
marzo
del
año
2015+
n
.
Por
lo
tanto,
tenemos
:
u
0
=10
000
1
Explique
por
qué
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
75
·
u
n
+
3000
2
Para
todo
número
natural
n
,
consideramos
la
sucesión
v
n
definida
por:
v
n
=
u
n
−
12
000
a
Demuestra
que
la
sucesión
v
n
es
una
sucesión
ge-ométrica
de
razón
0
;
75
.
Especifica
su
primer
término.
b
Expresar
v
n
en
función
de
n
.
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
v
n
.
c
Justificar
que,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
=
12
000
−
2
000
×
0
;
75
n
d
Basándose
en
las
respuestas
dadas
a
las
dos
preguntas
anteriores,
¾qué
puede
conjeturar
sobre
el
número
de
coches
que
tendrá
la
flota
de
este
arrendador
al
cabo
de
muchos
años?
E.7025
Un
sitio
web
ofrece
a
sus
suscrip-tores
películas
para
descargar.
Debido
a
una
oferta
de
bienvenida,
el
número
de
suscriptores
en
el
momento
del
lanzamiento
es
15
000
.
Basándonos
en
los
primeros
meses,
se
estima
que
el
número
de
clientes
suscritos
al
sitio
evoluciona
según
la
siguiente
regla:
cada
mes,
10
%
de
los
clientes
se
dan
de
baja
y
se
registran
2
500
nuevos
suscriptores.
Se
anota
v
n
la
estimación
del
número
de
suscriptores
n
meses
después
de
la
apertura,
por
lo
que
se
tiene
v
0
=15
000
.
1
Justificar
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
v
n
+1
=
0
;
9
×
v
n
+
2
500
2
Consideremos
la
sucesión
w
n
definida
para
todo
número
natural
n
por:
w
n
=
v
n
−
25
000
a
Demuestre
que
la
sucesión
w
n
es
geométrica
de
razón
0
;
9
y
especifique
su
primer
término.
b
Deduzca
que,
para
todo
entero
n
:
v
n
=25
000
−
10
000
×
0
;
9
n
c
¾Se
puede
prever,
con
ayuda
de
este
modelo,
una
esta-bilización
del
número
de
abonados
a
largo
plazo?
Jus-tifique
la
respuesta.
E.7604
En
2015
,
los
bosques
cubrían
aproxi-madamente
4
000
millones
de
hectáreas
de
tierra.
Se
estima
que
cada
año
esta
superficie
disminuye
en
0
;
4
%
.
Esta
pér-dida
se
compensa
en
parte
con
la
reforestación,
natural
o
voluntaria,
que
se
estima
en
7
;
2
millones
de
hectáreas
al
año.
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por
u
0
=4
000
y,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
996
×
u
n
+
7
;
2
1
Justifique
que,
para
todo
número
natural
n
,
u
n
permite
obtener
una
estimación
de
la
superficie
forestal
mundial,
en
millones
de
hectáreas,
en
el
año
2015+
n
.
2
Copiar
y
completar
el
algoritmo
siguiente
para
que,
al
final
de
su
ejecución,
la
variable
N
tenga
como
valor
el
primer
año
en
el
que
la
superficie
total
de
bosque
cubra
menos
de
3
500
millones
de
hectáreas
en
la
Tierra.
N
←
2015
U
←
4
000
...
...
...
3
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida
para
todo
número
natural
n
por:
v
n
=
u
n
−
1
800
a
Demuestra
que
la
sucesión
v
n
es
geométrica
y,
a
con-tinuación,
determina
su
primer
término
y
su
razón.
b
Deduzca
que
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
=
2200
×
0
;
996
n
+
1800
c
Según
este
modelo
y
si
el
fenómeno
persiste,
¾acabará
desapareciendo
la
superficie
forestal
de
la
Tierra?
Jus-tifique
su
respuesta.
6.
Estudio
de
un
umbral
E.7211
Una
asociación
prepara
y
entrega
a
domicilio
comidas
a
personas
dependientes
todos
los
días.
En
2015
,
600
personas
estaban
suscritas
a
este
servicio.
Para
estudiar
su
desarrollo,
esta
asociación
realizó
una
en-cuesta
según
la
cual
la
evaluación
puede
modelizarse
de
la
siguiente
manera
:
Cada
año,
5
%
de
las
suscripciones
no
se
renuevan.
Cada
año,
se
registran
80
nuevas
suscripciones
a
este
ser-vicio.
Esta
evolución
puede
estudiarse
mediante
una
sucesión
u
n
donde
u
n
es
el
número
de
suscriptores
durante
el
año
2015+
n
.
Así,
tenemos
u
0
=600
y
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=0
;
95
·
u
n
+80
Se
admite
que
los
términos
de
la
sucesión
u
n
admiten,
en
función
del
rango
n
,
la
expresión
:
u
n
=
1
600
−
1
000
×
0
;
95
n
El
tamaño
de
las
instalaciones
no
permite
servir
más
de
1
000
comidas.
Si
esta
evolución
continúa
al
mismo
ritmo,
¾deberá
la
aso-ciación
plantearse
algún
día
realizar
obras
de
ampliación?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7033
sacados/7033
chapExoCorrec/7025
sacados/7025
chapExoCorrec/7604
sacados/7604
chapExoCorrec/7211
sacados/7211
Extrait Antilles-Guyanes
Septembre 2016
E.7526
Sea
la
sucesión
u
n
definida
por
u
0
=150
y
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
8
·
u
n
+
45
1
Calcular
u
1
y
u
2
.
2
Aquí
hay
dos
propuestas
de
algoritmos:
U
←
150
N
←
0
Mientras
U
220
U
←
0;8
×
U+45
N
←
N+1
Fin
Mientras
que
Algoritmo
1
U
←
150
N
←
0
Mientras
U<220
U
←
0;8
×
U+45
N
←
N+1
Fin
Mientras
Algoritmo
2
Al
final
de
su
ejecución,
nos
interesa
el
valor
de
la
vari-able
N
del
algoritmo.
a
Solo
uno
de
estos
algoritmos
permite
asignar
a
la
vari-able
N
,
al
final
de
la
ejecución,
el
menor
entero
natural
n
tal
que
u
n
220
.
Especifique
cuál
y
justifique
por
qué
el
otro
algoritmo
no
lo
permite.
b
¾Cuál
es
el
valor
de
la
variable
N
al
final
de
la
ejecución
de
este
algoritmo?
E.7528
Una
gran
universidad,
en
pleno
crecimiento
en
cuanto
a
número
de
alumnos,
acogió
a
27
500
estudiantes
en
septiembre
2016
.
El
rector
de
la
universidad
está
preocupado,
porque
sabe
que,
a
pesar
de
una
gestión
óptima
de
las
instalaciones
y
de
la
distribución
de
los
estudiantes
entre
los
distintos
centros
de
su
universidad,
no
podrá
acoger
a
más
de
33
000
estudiantes.
Un
estudio
estadístico
le
permite
elaborar
un
modelo
de
pre-visiones
según
el
cual,
cada
año
:
150
estudiantes
abandonan
durante
el
año
académico
(en-tre
el
1
er
de
septiembre
y
el
30
de
junio)
;
el
número
de
estudiantes
matriculados
al
inicio
del
curso
en
septiembre
aumenta
en
4
%
con
respecto
al
mes
de
junio
anterior.
Para
cualquier
número
natural
n
,
se
anota
u
n
el
número
de
estudiantes
estimado
según
este
modelo
al
inicio
del
curso
en
septiembre
2016+
n
,
por
lo
que
tenemos
u
0
=27
500
.
1
a
Estimar
el
número
de
estudiantes
en
junio
2017
.
b
Estimar
el
número
de
estudiantes
al
inicio
del
curso
en
septiembre
2017
.
2
Justificar
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
+1
=
1
;
04
·
u
n
−
156
3
Copiar
y
completar
las
líneas
3
,
4
,
5
y
7
del
siguiente
algoritmo
para
que,
al
final
de
su
ejecución,
la
variable
n
tenga
como
valor
el
año
a
partir
del
cual
el
número
de
estudiantes
que
se
admitirán
superará
la
capacidad
máxima
del
centro
‘
.1
n
←
0
‘
.2
U
←
27
500
‘
.3
Mientras
U
...
‘
.4
n
←
...
‘
.5
U
←
...
‘
.6
Fin
Mientras
‘
.7
U
←
U+
...
4
a
Este
algoritmo
se
ejecuta
paso
a
paso.
Copie
la
siguiente
tabla
y
complétela
añadiendo
el
número
necesario
de
columnas
;
redondearemos
los
val-ores
de
U
a
la
unidad.
Inicialización
Paso
1
.
.
.
Valeur
de
n
0
.
.
.
.
.
.
Valeur
de
U
27
500
.
.
.
.
.
.
b
Indique
el
valor
de
la
variable
n
al
final
de
la
ejecución
de
este
algoritmo.
7.
Resolución
de
inecuaciones
(logaritmo)
E.7013
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
75
;
u
n
+1
=
1
;
12
·
u
n
−
6
para
todo
n
∈
N
Establecemos
para
todo
número
natural
n
:
v
n
=
u
n
−
50
1
Demuestra
que
la
sucesión
v
n
es
una
sucesión
ge-ométrica.
Especificar
la
razón
y
el
primer
término.
2
Deduzca
la
expresión
de
v
n
en
función
de
n
y,
a
contin-uación,
demuestre
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
=25
×
1
;
12
n
+50
3
Resolver
en
el
conjunto
de
los
números
naturales
la
de-sigualdad
:
u
n
>
100
.
E.7016
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=4
;
u
n
+1
=
0
;
92
·
u
n
+
8
para
todo
n
∈
N
Para
todo
número
natural,
se
establece
:
v
n
=
u
n
−
100
1
Demuestre
que
la
sucesión
v
n
es
geométrica
con
razón
0
;
92
y
calcule
su
primer
término
v
0
.
2
Exprese
v
n
en
función
de
n
.
3
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
=
100
−
96
×
0
;
92
n
.
4
Resuelva
la
desigualdad
:
u
n
70
8.
Recordatorios
Suma
de
los
términos
de
una
secuencia
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7526
sacados/7526
chapExoCorrec/7528
sacados/7528
chapExoCorrec/7013
sacados/7013
Extrait de Liban
Mai 2016
chapExoCorrec/7016
sacados/7016
E.7261
Determine,
para
cada
pregunta,
el
valor
exacto
de
la
suma
y,
si
procede,
su
valor
redondeado
al
cen-tésimo
:
a
1+4+4
2
+
···
+4
6
b
1+0
;
2+0
;
2
2
+
···
+0
;
2
7
c
1+
1
6
+
1
6
2
+
···
+
1
6
10
d
1+1
1
+1
2
+
···
+1
10
E.7262
Determina,
para
cada
pregunta,
el
valor
exacto
de
la
suma
y,
a
continuación,
su
valor
redondeado
al
centésimo
:
a
3
+
3
×
2
+
3
×
2
2
+
·
·
·
+
3
×
2
6
b
4
+
4
×
0
;
2
+
4
×
0
;
2
2
+
·
·
·
+
4
×
0
;
2
7
E.7004
Consideremos
la
sucesión
ge-ométrica
cuyo
primer
término
es
1
y
cuya
razón
es
2
.
La
suma
de
los
13
primeros
términos
de
esta
sucesión
es
:
¾Cuál
de
las
3
respuestas
siguientes
es
la
correcta?
a
4095
b
8191
c
1
−
2
14
1
−
2
E.7046
Cuál
de
las
cuatro
afirmaciones
siguientes
es
cierta?
La
suma
S
=1+2+2
2
+2
3
+
···
+2
30
es
igual
a:
a
−
1
+
2
31
b
1
−
2
31
c
−
1
+
2
30
d
1
−
2
30
E.7267
De
las
cuatro
afirmaciones
siguientes,
solo
una
es
correcta.
¾Cuál?
Justifique
su
respuesta.
La
sucesión
u
n
es
la
sucesión
geométrica
de
primer
término
u
0
=
400
y
razón
1
2
.
La
suma
S
=
u
0
+
u
1
+
···
+
u
10
es
igual
a:
a
2
×
1
−
0
;
5
10
b
2
×
1
−
0
;
5
11
c
800
×
1
−
0
;
5
10
d
800
×
1
−
0
;
5
11
9.
Estudio
de
un
umbral
E.7313
Un
municipio
abre
una
mediateca
el
1
er
de
enero
2013
.
La
mediateca
cuenta
con
un
fondo
de
35
000
obras
de
la
antigua
biblioteca,
al
que
se
suman
7
000
obras
nuevas
donadas
por
el
municipio.
Cada
año,
la
bibliotecaria
se
encarga
de
retirar
5
%
obras
de-masiado
antiguas
o
deterioradas.
Se
supone
que
la
biblioteca
no
compra
ninguna
obra
nueva.
Denominemos
u
n
al
número,
en
miles,
de
obras
disponibles
el
1
er
de
enero
del
año
(2013+
n
)
.
Se
da
u
0
=42
.
1
a
Justifique
que,
para
todo
número
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
+1
=0
;
95
×
u
n
b
Indique
el
número
de
obras
de
esta
biblioteca
a
1
er
de
enero
de
2018
.
2
A
continuación
se
propone
un
algoritmo
en
lenguaje
nat-ural.
u
←
42
n
←
0
Mientras
u>10
u
←
u
×
0;95
n
←
n+1
Fin
Mientras
a
Después
de
ejecutar
el
algoritmo,
¾qué
representa
el
valor
de
la
variable
n
.
b
?
Con
ayuda
de
tu
calculadora,
determina
el
valor
de
la
variable
n
después
de
ejecutar
el
algoritmo.
E.7268
De
las
cuatro
afirmaciones
siguientes,
solo
una
es
correcta.
¾Cuál?
Justifique
su
respuesta.
Consideremos
el
siguiente
algoritmo:
n
←
0
U
←
50
Mientras
U<120
U
←
1;2
×
U
n
←
n+1
Fin
Mientras
Al
final
de
la
ejecución,
¾cuál
es
el
valor
de
la
variable
n
:
a
4
b
124
;
416
c
5
d
96
?
E.7206
Un
comerciante
que
acaba
de
abrir
una
tienda
observa
que
su
facturación
comenzó
en
25
000
euros
al
mes
y
ha
aumentado
cada
mes
en
2
%
.
Decide
modelizar
la
progresión
de
su
facturación
como
u
n
donde
u
0
representa
la
facturación
del
primer
mes
de
aper-tura.
1
Indique
la
naturaleza
y
las
características
de
la
secuencia
u
n
.
2
a
Utilizando
la
calculadora,
determina
a
partir
de
cuántos
meses
su
facturación
superará
los
30
000
eu-ros.
b
Completa
el
algoritmo
para
que
el
valor
de
la
variable
n
tenga
el
valor,
al
final
de
su
ejecución,
del
número
de
meses
tras
la
apertura
en
que
su
facturación
superará
30
000
euros.
‘
.1
n
←
0
‘
.
2
U
←
25
000
‘
.3
Siempre
que
.
..
hacen
‘
.4
n
←
...
‘
.5
U
←
...
‘
.6
Fin
Mientras
10.
Suma
de
los
términos
de
una
sucesión
geométrica
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7261
sacados/7261
chapExoCorrec/7262
sacados/7262
chapExoCorrec/7004
sacados/7004
chapExoCorrec/7046
sacados/7046
Extrait Antilles-Guyane
Juin 2014
chapExoCorrec/7267
sacados/7267
Extrait Antilles-Guyannes
Juin 2016
chapExoCorrec/7313
sacados/7313
chapExoCorrec/7268
sacados/7268
Extrait Antilles-Guyannes
Juin 2016
chapExoCorrec/7206
sacados/7206
E.7263
A
fecha
de
1
er
de
enero
2017
,
una
asociación
deportiva
cuenta
con
900
socios.
Se
observa
que
cada
mes
8
%
de
los
miembros
de
la
asociación
no
renuevan
su
afiliación.
1
Determinar
el
número
de
miembros
a
1
er
de
marzo
2017
.
2
Modelamos
el
número
de
miembros
n
meses
después
del
1
er
de
enero
2017
en
adelante
u
n
.
a
Indique
la
naturaleza
y
los
elementos
característicos
de
la
sucesión
u
n
.
b
Expresar
el
término
u
n
en
función
de
su
rango
n
.
c
Determinar
el
número
de
afiliados,
redondeado
a
la
unidad,
a
1
er
de
enero
2018
.
3
Cada
miembro
paga
una
cuota
de
10
euros
al
mes.
El
tesorero
de
la
asociación
desea
calcular
el
importe
total
de
las
cuotas
para
el
año
2017
.
El
tesorero
desea
utilizar
el
siguiente
algoritmo,
en
el
que
la
cuarta
línea
está
incompleta
(puntos
suspensivos)
.
a
Copie
y
complete
el
algoritmo
para
que,
al
final
de
su
ejecución,
la
variable
S
tenga
como
valor
el
importe
total
de
las
cuotas
del
año
2017
.
S
←
0
U
←
900
Para
N
entre
1
y
12
S
←
...
U
←
0;92
·
U
Fin
Para
b
¾Cuál
es
la
suma
total
de
las
cuotas
recaudadas
por
la
asociación
durante
el
año
2017
?
Se
redondea
la
suma
al
euro
más
cercano.
E.7271
Considera
el
algoritmo
siguiente
:
Función
f(n)
u
←
2
000
S
←
2
000
Para
i
entre
2
y
n
u
←
u
×
1;
008
S
←
S+u
Fin
para
Ejecutamos
la
función,
dándole
para
el
argumento
n
el
valor
5
.
Resume
en
la
siguiente
tabla
los
valores
asignados
a
las
vari-ables
de
la
función
f
durante
su
llamada:
Valor
de
i
2
Valor
de
u
2
000
Valor
de
S
2
000
E.7315
Sin
justificar,
dar
el
valor
contenido
en
la
variable
S
tras
la
ejecución
de
este
algoritmo:
1
u
←
2
2
S
←
2
3
Para
i
ir
de
1
a
20
4
u
←
u
×
1;
05
5
S
←
S+u
.
6
Fin
para
E.7532
Consideremos
la
sucesión
u
n
,
definida
para
todo
número
natural
n
,
geométrica
de
primer
término
3
y
de
razón
2
.
Denotemos
por
S
n
la
suma
de
los
(
n
+1)
primeros
términos
de
la
sucesión
u
n
.
Establezca
la
identidad
siguiente
para
todo
número
natural
n
:
S
n
=
3
·
2
n
+1
−
1
11.
Secuencias
geométricas,
umbral
y
suma
E.7314
Una
pequeña
ciudad
cuenta
con
un
servicio
municipal
de
alquiler
de
bicicletas.
El
ayuntamiento
desea
obtener
información
sobre
el
número
de
bicicletas
en
circulación
y
el
coste
que
ello
supone.
El
responsable
del
servicio
de
alquiler
de
bicicletas
constata
que,
entre
las
bicicletas
inutilizables
por
pérdida,
robo
o
dete-rioro
y
las
bicicletas
nuevas
adquiridas,
el
número
de
bicicletas
utilizables
aumenta
en
5
%
cada
año.
El
1
er
de
enero
2017
,
el
parque
cuenta
con
200
bicicletas
uti-lizables.
Modelamos
la
evolución
del
número
de
bicicletas
utilizables
mediante
una
sucesión
u
n
en
la
que,
para
todo
número
nat-ural
n
,
u
n
es
el
número
de
bicicletas
el
1
er
de
enero
del
año
2017+
n
.
Así,
u
0
=200
y,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
+1
=
1
;
05
×
u
n
.
1
a
Justifique
el
coeficiente
1
;
05
en
la
expresión
de
u
n
+1
en
función
de
u
n
.
b
¾Cuántas
bicicletas
habrá
en
este
parque
el
1
er
de
enero
2018
?
2
El
ayuntamiento
ha
decidido
dejar
de
comprar
bicicletas
nuevas
en
cuanto
su
stock
supere
las
500
unidades.
¾En
qué
año
superará
por
primera
vez
el
stock
del
servi-cio
municipal
las
500
bicicletas?
3
Para
ayudarle
a
mantener
el
servicio
de
alquiler,
el
ayun-tamiento
ha
obtenido
una
subvención
de
la
región
que
se
abonará
desde
2017
hasta
2032
inclusive
Esta
subvención
asciende
a
10
euros
por
bicicleta
disponible
para
alquilar.
Suponiendo
que
el
aumento
del
stock
de
bicicletas
se
man-tenga
constante
en
5
%
cada
año
durante
este
periodo,
determine
la
suma
total
percibida
gracias
a
esta
subven-ción
desde
el
1
er
de
enero
2017
hasta
el
1
er
de
enero
2032
.
Se
da
el
valor
exacto
y
el
valor
redondeado
al
centésimo.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7263
sacados/7263
chapExoCorrec/7271
sacados/7271
chapExoCorrec/7315
sacados/7315
chapExoCorrec/7532
sacados/7532
chapExoCorrec/7314
sacados/7314
S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3
E.7264
Consideremos
la
sucesión
ge-ométrica
u
n
,
de
razón
0
;
9
y
primer
término
u
0
=50
.
1
a
Copie
y
complete
el
algoritmo
para
que,
al
final
de
su
ejecución,
la
variable
U
tenga
como
valor
25
e
,
término
de
esta
sucesión,
es
decir,
u
24
:
U
←
...
Para
N
que
va
de
1
a
24
U
←
...
Fin
Para
b
Para
todo
número
natural
n
,
expresar
u
n
en
función
de
n
.
c
Calcular
u
24
y
dar
un
valor
aproximado
del
resultado
con
una
precisión
de
10
−
3
.
2
Con
ayuda
de
la
calculadora,
dar
el
entero
natural
más
pequeño
n
tal
que
:
u
n
<
0
;
01
.
3
Se
desea
calcular
la
suma
:
S
24
=
u
0
+
u
1
+
···
+
u
24
.
Aquí
hay
tres
propuestas
de
algoritmos:
a
Al
final
de
su
ejecución,
solo
uno
de
estos
algoritmos
tendrá
su
variable
S
afectada
por
el
valor
de
la
suma
u
24
.
Especifique
cuál
y
justifique
la
respuesta.
b
Calcular
la
suma
S
24
.
Se
dará
un
valor
aproximado
del
resultado
con
una
precisión
de
una
unidad.
12.
Secuencias
geométricas:
límites
E.7293
1
Consideremos
la
sucesión
u
n
geométrica
de
primer
tér-mino
1
y
razón
2
.
a
Consideremos
el
código:
Función
f(n)
u
←
1
Para
i
que
va
de
1
a
n
u
←
2
×
u
Fin
Para
Devolver
u
La
llamada
a
la
función
f(n)
devuelve
al
programa
el
valor
del
término
de
la
sucesión
u
n
de
rango
n
.
Completa
la
tabla
de
valores
siguiente
:
n
0
1
2
10
20
u
n
b
Completa
los
puntos
suspensivos
:
lim
n
↦→
+
∞
u
n
=
:
:
:
2
a
Modificar
la
función
f
muestra
los
términos
de
la
sucesión
v
n
definida
por:
v
0
=
2
;
v
n
+1
=
0
;
8
×
v
n
b
Completa
la
tabla
de
valores
redondeados
al
milésimo:
n
0
1
2
10
20
v
n
c
Completa
los
puntos
suspensivos
:
lim
n
↦→
+
∞
v
n
=
:
:
:
3
Consideremos
la
sucesión
w
n
geométrica
de
primer
tér-mino
50
y
razón
0
;
8
.
Denotemos
por
S
n
la
suma
de
los
n
+1
primeros
términos
de
la
sucesión
w
n
:
S
n
=
w
0
+
w
1
+
·
·
·
+
w
n
a
Completa
los
puntos
para
que
la
función
f(n)
devuelva
el
término
de
rango
n
de
la
sucesión
S
n
:
Función
f(n)
u
←
50
S
←
50
Para
i
entre
1
y
n
u
←
...
S
←
S+...
Fin
para
Devolver
S
b
Realizando
varias
llamadas
a
la
función
f
,
conjeturar
el
límite
de
la
sucesión
S
n
c
Establecer
que
:
S
n
=250
·
1
−
0
;
8
n
+1
d
Justificar
la
conjetura
de
la
pregunta
b
.
E.7205
Un
sitio
web
ofrece
a
sus
suscrip-tores
películas
para
descargar.
En
el
momento
de
su
apertura,
se
ofrecen
500
películas
y
cada
mes,
el
número
de
películas
ofrecidas
a
los
suscriptores
aumenta
en
6
%
.
Modelamos
el
número
de
películas
ofrecidas
mediante
una
sucesión
geométrica
u
n
,
donde
n
designa
el
número
de
meses
desde
la
apertura
del
sitio
web.
Por
lo
tanto,
tenemos
:
u
0
=500
.
1
Calcule
u
1
y
u
2
y
dé
el
resultado
redondeado
a
la
unidad.
2
Exprese
u
n
en
función
de
n
.
3
Determine
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
E.7265
Consideremos
la
sucesión
ge-ométrica
u
n
,
de
razón
0
;
9
y
primer
término
u
0
=50
.
Para
todo
número
natural
n
,
anotamos
S
n
=
u
0
+
u
1
+
···
+
u
n
.
Se
admite
que
la
sucesión
S
n
es
creciente
y
que
para
todo
número
natural
n
:
S
n
=500
−
450
×
0
;
9
n
.
1
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
S
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
2
Alex
afirma
que
S
n
puede
superar
a
500
para
un
valor
del
entero
n
suficientemente
grande.
¾Qué
opinas
de
su
afirmación?
Justifica
tu
respuesta.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7264
sacados/7264
S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3
chapExoCorrec/7293
sacados/7293
chapExoCorrec/7205
sacados/7205
chapExoCorrec/7265
sacados/7265
E.7531
Consideremos
la
sucesión
ge-ométrica
u
n
con
primer
término
u
0
=50
y
razón
0
;
9
.
1
Determina
el
valor
exacto
del
término
u
24
y
da
un
valor
aproximado
del
resultado
con
una
precisión
de
10
−
3
.
2
Para
todo
número
natural
n
,
se
anota
:
S
n
=
u
0
+
u
1
+
···
+
u
n
a
Determinar
el
valor
exacto
de
la
suma
S
24
.
Se
dará
un
valor
aproximado
del
resultado
con
una
precisión
de
una
unidad.
Se
admite
que
la
sucesión
S
n
es
creciente
y
que
para
todo
número
natural
n
:
S
n
=
500
−
450
×
0
;
9
n
b
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
S
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
c
Alex
afirma
que
S
n
puede
superar
500
para
un
valor
del
entero
n
suficientemente
grande.
¾Qué
opinas
de
su
afirmación?
Justifica
tu
respuesta.
13.
Secuencias
geométricas:
límites
y
umbrales
E.7292
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
0
;
u
n
+1
=
0
;
8
·
u
n
+
0
;
1
para
todo
n
∈
N
∗
1
a
Introduzca
el
algoritmo
siguiente
:
u
←
0
Para
i
que
va
de
1
a
n
u
←
0;8
×
u+0;1
Fin
para
b
La
variable
n
que
tiene
el
valor
10
,
¾qué
representan
los
diferentes
valores
de
la
variable
u
durante
la
ejecución
del
algoritmo?
c
Al
ejecutar
paso
a
paso
el
algoritmo,
¾qué
conjetura
se
puede
hacer
sobre
los
valores
de
los
términos
de
la
sucesión
u
n
?
2
a
Introduzca
el
algoritmo
siguiente
:
u
←
0
n
←
0
Mientras
u<0;499
u
←
0;8
×
u+0;1
n
←
n+1
Fin
mientras
que
b
Al
final
de
la
ejecución
del
algoritmo,
que
representa
el
valor
de
la
variable
n
?
E.7269
Se
denota
por
S
n
=
u
1
+
u
2
+
···
+
u
n
la
suma
de
los
n
primeros
términos
de
una
sucesión
u
n
,
siendo
n
un
número
natural
distinto
de
cero.
Se
admite
que
:
S
n
=
−
250
000
+
250
000
×
1
;
008
n
y
que
la
sucesión
S
n
es
creciente.
1
Determinar
el
límite
de
los
términos
de
la
sucesión
S
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
2
Determinar,
con
ayuda
de
la
calculadora,
a
partir
de
qué
rango
la
sucesión
S
n
tiene
un
valor
superior
a
125
000
.
14.
Ejercicios
no
clasificados
E.6109
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
115
;
u
n
+1
=
0
;
4
·
u
n
+
120
para
todo
n
∈
N
1
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida
para
todo
número
natural
n
por:
v
n
=
u
n
−
200
.
a
Demuestre
que
v
n
es
una
sucesión
geométrica
de
razón
0
;
4
.
Especifique
v
0
.
b
Exprese,
para
todo
número
natural
n
,
v
n
en
función
de
n
.
2
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
:
u
n
=
200
−
85
×
0
;
4
n
3
¾La
sucesión
u
n
es
convergente?
Justifique
su
re-spuesta.
E.5557
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
10
;
u
n
+1
=
0
;
9
u
n
+
1
;
2
para
todo
n
∈
N
.
1
Da
el
valor
exacto
de
los
tres
primeros
términos
de
la
sucesión
u
n
.
2
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida
por:
v
n
=
u
n
−
12
para
todo
n
∈
N
.
Demuestre
que
la
sucesión
v
n
es
una
sucesión
ge-ométrica
de
razón
0
;
9
y
primer
término
−
2
.
3
a
Exprese,
para
todo
número
natural
n
,
v
n
en
función
de
n
.
b
Expresar,
para
todo
número
natural
n
,
u
n
en
función
de
n
.
c
Deducir
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7531
sacados/7531
chapExoCorrec/7292
sacados/7292
chapExoCorrec/7269
sacados/7269
chapExoCorrec/6109
sacados/6109
chapExoCorrec/5557
sacados/5557
E.5563
La
producción
de
perlas
culti-vadas
de
Tahití
es
una
actividad
económica
importante
para
la
Polinesia
Francesa.
Para
prever
los
importes
realizados
con
la
exportación
de
per-las
de
Tahití,
modelizamos
la
situación
mediante
una
secuen-cia
u
n
.
Anotamos
u
0
el
importe
en
2011
,
en
millones
de
euros,
y
u
n
el
importe
en
2011+
n
,
en
millones
de
euros.
Se
dan
los
siguientes
datos
:
En
2011
,
el
valor
bruto
de
los
productos
perleros
fue
de
63
millones
de
euros.
On
supone
que
el
importe
de
las
exportaciones
realizadas
ha
disminuido
cada
año
en
8
%
.
1
Montrer
que
la
secuencia
u
n
es
una
secuencia
ge-ométrica
cuya
razón
debe
especificarse.
2
Exprimer,
para
cualquier
número
natural
n
,
u
n
en
fun-ción
de
n
.
3
Con
este
modelo,
¾qué
cantidad
puede
preverse
para
la
exportación
de
productos
perleros
de
la
Polinesia
Francesa
en
2016
?
Redondea
el
resultado
al
millón
de
euros
más
próximo.
E.5560
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=
42
;
u
n
+1
=
0
;
95
·
u
n
+
4
para
todo
n
∈
N
1
Determinemos
el
valor
exacto
de
los
tres
primeros
térmi-nos
de
la
sucesión
u
n
2
Consideremos
la
sucesión
w
n
definida
por:
v
n
=
u
n
−
80
para
todo
n
∈
N
.
Demuestre
que
v
n
es
una
sucesión
geométrica
de
razón
q
=0
;
95
y
primer
término
−
38
.
3
a
Exprese,
para
todo
número
natural
n
,
v
n
en
función
de
n
.
b
Expresar,
para
todo
número
natural
n
,
u
n
en
función
de
n
.
c
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
E.6095
Consideremos
la
sucesión
a
n
definida
por:
a
0
=
8
;
a
n
+1
=
3
4
·
a
n
+
4
para
todo
n
∈
N
1
Para
todo
número
natural
n
,
anotamos
:
u
n
=
a
n
−
16
.
a
Demuestra
que
la
sucesión
u
n
es
una
sucesión
ge-ométrica
de
razón
3
4
.
b
Expresa
u
n
en
función
de
n
.
2
Expresar
a
n
en
función
de
n
.
¾Qué
se
puede
decir
sobre
la
convergencia
de
la
sucesión
a
n
?
E.3578
Dos
empresas,
Ultra-eau
(
U
)
y
Vital-eau
(
V
)
,
se
reparten
el
mercado
de
las
fuentes
de
agua
con
botellas
en
las
empresas
de
una
gran
ciudad.
En
2013
,
la
empresa
U
tenía
45
%
del
mercado
y
la
empresa
V
el
resto.
Cada
año,
la
empresa
U
conserva
90
%
de
sus
clientes,
los
demás
eligen
la
empresa
V
.
En
cuanto
a
la
empresa
V
,
conserva
85
%
de
sus
clientes,
los
demás
eligen
la
empresa
U
.
Se
elige
un
cliente
al
azar
cada
año
y
se
anota
para
todo
número
natural
n
:
u
n
la
probabilidad
de
que
sea
cliente
de
la
empresa
U
el
año
2013+
n
,
así
u
0
=0
;
45
;
v
n
la
probabilidad
de
que
sea
cliente
de
la
empresa
V
en
el
año
2013+
n
.
1
Representar
la
situación
mediante
un
grafo
probabilístico
de
vértices
U
y
V
.
2
Dar
v
0
,
calcular
u
1
y
v
1
.
3
Consideremos
la
función
f
(incompleta)
,
extraída
de
un
algoritmo,
que
se
muestra
a
continuación.
Cuando
se
in-voca
con
un
argumento
entero
natural
n
distinto
de
cero,
devuelve
el
par
de
valores
(
u
n
;
v
n
)
.
Complete
las
líneas
(
‘
.3
)
et
(
‘
.6
)
de
la
función
para
obtener
el
resultado
esperado.
‘
.1
Fonction
f(N)
‘
.2
U
←
0;45
‘
.3
V
←
...
‘
.4
Para
i
desde
1
hasta
N
‘
.5
U
←
0;9
×
U+0;15
×
V
‘
.6
V
←
...
‘
.7
Fin
Para
‘
.8
Volver
(
U
;
V)
4
Se
admite
que,
para
cualquier
número
natural
n
:
u
n
+1
=
0
;
75
·
u
n
+
0
;
15
.
Se
anota,
para
todo
número
natural
n
:
w
n
=
u
n
−
0
;
6
a
Demostrar
que
la
sucesión
w
n
es
una
sucesión
ge-ométrica
de
razón
0
;
75
.
b
¾Cuál
es
el
límite
de
la
sucesión
w
n
?
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
Interprete
el
resultado
en
el
contexto
de
este
ejercicio.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5563
sacados/5563
chapExoCorrec/5560
sacados/5560
chapExoCorrec/6095
sacados/6095
chapExoCorrec/3578
sacados/3578