Bachillerato 2 - Comp. / Función logaritmo neperiano 32 ejercicios (100% corregidos)

a
012345678910-1123456Cf 01e∞−∞01∞xVariationdef 1. Derivados E.7003 Sea f la función definida sobre el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 3 · x − x · ln x Supongamos que f es derivable en el intervalo 0 ; + ∞ y de-notamos su función derivada por f . ¾Cuál de las tres respuestas siguientes es correcta? a f ( x ) = 3 − 1 x b f ( x ) = 3 − ln x c f ( x ) = 2 − ln x E.7009 Sea g la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x + 1 · ln( x ) ¾Cuál de las siguientes respuestas es correcta? a g ( x ) = 1 x b g ( x ) = 1 + ln( x ) c g ( x ) = − 1 x 2 d g ( x ) = 1 + 1 x + ln( x ) E.7392 De las cuatro respuestas dadas, sólo una es correcta. Especi-fica cuál, justificando tu respuesta. Sea f la función definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x · ln( x ) − x Observamos f su función derivada. Entonces tenemos : a f ( x ) = 0 b f ( x ) = ln( x ) c f ( x ) = 1 x − 1 d f ( x ) = 1 x − x E.7745 De las cuatro proposiciones, sólo una es correcta. Hay que justificar la respuesta : Sea la función f definida en 0 ; + ∞ por f ( x )= ln x x y f su función derivada. Tenemos : a f ( x ) = ln x − 1 x 2 b f ( x ) = 1 − ln x x 2 c f ( x ) = 1 x 2 d f ( x ) = 1 + ln x x 2 E.7023 Este ejercicio es un cuestionario de opción múltiple. Para cada una de las siguientes preguntas, sólo una de las cua-tro respuestas propuestas es correcta. No se requiere jus-tificación. Una respuesta correcta suma un punto. Una respuesta incorrecta o la ausencia de respuesta no gana ni pierde puntos . Sea la función f definida para cualquier real estrictamente positivo x por: f ( x ) = 5 − x + 2 · ln x A continuación se muestra la curva representativa C de la función f , y T , la tangente a la curva C en el punto A con abscisa 4 . 1 Sea f la función derivada de f , tenemos : a f ( x ) = − 1 + 2 x b f ( x )= − 2 · ln x +(5 − x ) · 2 x c f ( x ) = − x + 2 x d f ( x ) = 4 + 2 x 2 Una ecuación de T es : a y = 1 2 · x + 5 ; 7 b y =5 ; 7 · x − 1 2 c y = − 1 2 · x + 1 + 2 · ln 4 d y = − 1 2 · x +3+2 · ln4 2. Estudio de funciones E.7646 Definición - proposición : la función logaritmo nepe-rian , denotada ln está definida en el intervalo 0 ; + ∞ y admite la tabla de variaciones: Además, su función derivada tiene la expresión : ln x = 1 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/7003 sacados/7003 chapExoCorrec/7009 sacados/7009 Extrait Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7392 sacados/7392 chapExoCorrec/7745 sacados/7745 chapExoCorrec/7023 sacados/7023 012345678910-1123456Cf chapExoCorrec/7646 sacados/7646 01e∞−∞01∞xVariationdef
00,511,525101520 12307ln2−ln30xVariationdeB(x 1 Elabora la tabla de signos de la función logaritmo natu-ral. 2 Considera la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x − ln( x ) a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Establecer la tabla de signos de la función f . c Especifica las direcciones de variación de la función f en 0 ; + ∞ . E.7029 Indicación : Para cada una de las cinco afirmaciones sigu-ientes, indique si es verdadera o falsa y justifique su re-spuesta. Se otorga un punto por cada respuesta correcta debidamente justificada. Las respuestas sin justificación no se tienen en cuenta. No se penalizará la falta de respuesta. Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x · ln x − x + 1 Afirmación 1: La función f es creciente en el intervalo 0 ; 1 . Afirmación 2: La función f es convexa en el intervalo 0 ; + ∞ . Afirmación 3: Para todo x perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ : f ( x ) 50 E.7433 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 mediante : f ( x ) = − x · ln x + 2 · x + 1 1 Calcula f ( x ) . 2 Demuestre que la función f admite un máximo en el in-tervalo 0 ; 10 . 3 Calcula el valor exacto del máximo de la función f en este mismo intervalo. E.7019 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 1 ; 5 por: f ( x ) = 9 x 2 · 1 − 2 · ln x + 10 La curva representativa de f se muestra a continuación : 1 Demuestra que f ( x )= − 36 · x · ln x , donde f designa la función derivada de la función f en el intervalo 0 ; 1 ; 5 . 2 Estudiar el signo de f ( x ) en el intervalo 0 ; 1 ; 5 . 3 Deduzca de la pregunta anterior las variaciones de la fun-ción f en el intervalo 0 ; 1 ; 5 . 3. Teorema del valor intermedio E.7441 Una empresa produce y vende componentes electrónicos. Su capacidad de producción mensual oscila entre 1 000 y 30 000 unidades. Se supone que toda la producción se comer-cializa. El beneficio en miles de euros, obtenido por la producción y venta de x miles de piezas, se da en el intervalo 1 ; 30 por: B ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 6 · x − 20 + 2 x · ln x 1 Demuestre que : B ( x ) = − x + 8 + 2 · ln x donde B es la derivada de B en el intervalo 1 ; 30 . 2 Se admite que B  ( x )= − 1+ 2 x , donde B  es la derivada segunda de B en el intervalo 1 ; 30 . Justifique la tabla de variaciones siguiente de la función derivada B en el intervalo 1 ; 30 . 3 a Demuestre que la ecuación B ( x )=0 admite una única solución ¸ en el intervalo 1 ; 30 . b Da un valor aproximado, con una precisión de milési-mas, del valor de ¸ . 4 Deduzca el signo de B ( x ) en el intervalo 1 ; 30 y da la tabla de variaciones de la función beneficio B en ese mismo intervalo. 5 ¾Cuál es el número de piezas que hay que producir, re-dondeado a la unidad, para que la empresa obtenga el máximo beneficio? ¾Cuál es ese beneficio máximo (redondeado a miles de euros) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7029 sacados/7029 chapExoCorrec/7433 sacados/7433 chapExoCorrec/7019 sacados/7019 00,511,525101520 chapExoCorrec/7441 sacados/7441 12307ln2−ln30xVariationdeB(x
E.7434 Consideremos la función f definida en el intervalo 1 ; 10 por: f ( x ) = 4 · e − 0 , 5 · x +1 + x − 1 Admitimos que la función f es derivable en el intervalo 1 ; 10 y observamos f su función derivada. 1 Demostrar que para cualquier número real x en el inter-valo 1 ; 10 , tenemos : f ( x ) = − 2 · e − 0 , 5 · x +1 + 1 2 a Demuestre que en el intervalo 1 ; 10 , la ecuación f ( x )=0 tiene como única solución el número : ¸ =2+2 · ln2 b Admitimos que el conjunto de soluciones en el intervalo 1 ; 10 de la inecuación f ( x ) 0 es 2+2 · ln2 ; 10 . Deduce las variaciones de la función f en el intervalo 1 ; 10 . 4. Propiedades algebraicas E.7701 Sólo una de las respuestas prop-uestas es correcta. No se requiere justificación. El valor exacto de ln 10 · e 2 es : a 2 · ln 10 + 2 b 4 ; 302 585 093 c ln 10 + 2 d 2 · ln 10 · e E.7697 Determina si la proposición es verdadera o falsa y justifica la respuesta : Proposición: tenemos igualdad : e 5 · ln2 × e 7 · ln4 =2 19 E.7744 De las cuatro proposiciones, sólo una es correcta. Copia el enunciado correcto sin justificar : Para cualquier real x< 0 , el número real ln − 1 x es igual a: a ln x b − ln − x c − ln x d 1 ln x E.7846 Diga si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifique la respuesta dada. Para cualquier real estrictamente positivo a : ln a 3 − ln a 2 = ln a 25 − ln a 24 5. Resolver ecuaciones E.7519 Entre las cuatro proposiciones siguientes, sólo una es cor-recta. ¾Cuál? La solución de la ecuación x 23 =92 es igual a: a 4 b 1 ; 2 c e ln(92) 23 d e ln(23) 92 E.7693 Consideremos la función f definida en el intervalo 1 ; 10 por: f ( x ) = 4 · e − 0 , 5 · x +1 + x − 1 Admitimos que la función f es derivable en el intervalo 1 ; 10 y observamos f su función derivada. 1 Demuestra que para cualquier número real x en el inter-valo 1 ; 10 , tenemos : f ( x )= − 2 · e − 0 , 5 · x +1 +1 . 2 Demuestre que en el intervalo 1 ; 10 , la ecuación f ( x )= 0 tiene como única solución el número ¸ =2+2 · ln2 . E.7847 Diga si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifica la respuesta dada. La ecuación x · ln( x )=2 · ln( x ) admite exactamente dos solu-ciones 2 y 1 en 0 ; + ∞ . 6. Resolución de ecuaciones y propiedades algebraicas E.7692 Entre las cuatro proposiciones siguientes, sólo una es cor-recta. ¾Cuál? La solución exacta de la ecuación 1 2 x = 3 10 es : a 1 ; 74 b ln(10) − ln(3) ln(2) c − ln(3) ln(5) d 0 ; 5 7. Resolución de inecuaciones: gráficamente E.7053 La curva ( C ) que se muestra a continuación es la representación gráfica de una función f definida y derivable en el intervalo − 1 ; 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7434 sacados/7434 chapExoCorrec/7701 sacados/7701 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2014 chapExoCorrec/7697 sacados/7697 chapExoCorrec/7744 sacados/7744 chapExoCorrec/7846 sacados/7846 chapExoCorrec/7519 sacados/7519 chapExoCorrec/7693 sacados/7693 chapExoCorrec/7847 sacados/7847 chapExoCorrec/7692 sacados/7692 chapExoCorrec/7053 sacados/7053
-1-0,500,511,520,511,522,533,5CfGHS Sea f la función derivada de la función f . El punto G tiene coordenadas (0 ; 2) . El punto H tiene coordenadas (1 ; 3) . La recta ( GH ) es la tangente a la curva ( C ) en el punto G . La curva ( C ) admite una tangente horizontal en el punto S de la abscisa ln2 . No requiere justificación. Por lectura gráfica: 1 Dar los valores de f (0) y f (0) . 2 Resuelve en − 1 ; 2 la inecuación f ( x ) 0 . 8. Resolver inecuaciones E.7698 Justifica que la inecuación 1 − e x 2 − 1 0 tiene como conjunto solución el intervalo − 1 ; 1 . E.7691 Resuelve en 0 ; 10 la inecuación : 100 · e − x − 0 ; 5 0 E.7045 Cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es cierta? Los enteros n soluciones de la inecuación 1 2 n < 0 ; 003 son todos enteros n tales que : a n 8 b n 9 c n 8 d n 9 E.7210 En una explotación forestal, los árboles talados en este bosque se utilizan para calefacción. El precio de un metro cúbico de madera (unidad de volumen que mide la madera) aumenta cada año un 3 % , ¾En cuántos años se duplicará el precio de un metro cúbico de madera? E.7034 Recordatorio : N es el conjunto de los números naturales. Resuelve en N la desigualdad : 12 000 − 2 000 × 0 ; 75 n 11 950 E.7424 De las cuatro respuestas dadas, sólo una es correcta. Especi-fica cuál, justificando tu respuesta. Los números naturales n que verifican la inecuación : 6 × 0 ; 95 n − 1 2 pertenecen al intervalo: a −∞ ; ln3 ln 5 ; 7 b −∞ ; ln 0 ; 5 0 ; 95 c −∞ ; ln(0 ; 5) ln 0 ; 95 d ln(0 ; 5) ln 0 ; 95 ; + ∞ E.7746 Consideremos la sucesión u n cuyos términos se definen para todo número natural n medi-ante : u n = 700 − 100 × 0 ; 7 n 1 Sea n un número natural. Demuestre que u n 697 es equivalente a 0 ; 7 n 0 ; 03 . 2 Para resolver esta desigualdad, utilizamos el siguiente al-goritmo: N ← 0 U ← 1 Mientras U>0;03 N ← N+1 U ← 0;7 × U Fint Mientras Dar el valor de la variable N al final de la ejecución de este algoritmo. 3 Encontrar este resultado resolviendo la desigualdad : 0 ; 7 n 0 ; 03 . 9. Resolución de inecuaciones y estudio de funciones https://chingmath.fr -1-0,500,511,520,511,522,533,5CfGHS chapExoCorrec/7698 sacados/7698 chapExoCorrec/7691 sacados/7691 chapExoCorrec/7045 sacados/7045 Extrait Antilles-Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7210 sacados/7210 chapExoCorrec/7034 sacados/7034 chapExoCorrec/7424 sacados/7424 chapExoCorrec/7746 sacados/7746 Extrait Asie Juin 2013
E.7014 Sea f la función definida en el intervalo 3 ; 13 por: f ( x ) = − 2 x + 20 − e − 2 x +10 1 Demuestre que la función derivada f , de la función f , definida para cualquier x del intervalo 3 ; 13 , tiene la expresión f ( x ) = 2 · − 1 + e − 2 x +10 2 a Resuelve en el intervalo 3 ; 13 la inecuación : f ( x ) 0 b Deduce el signo de f ( x ) en el intervalo 3 ; 13 y elab-ora la tabla de variaciones de f en dicho intervalo. Los valores de la tabla se redondearán, si es necesario, a 10 − 3 . E.7694 Consideremos la función g definida en el intervalo 1 ; 45 por: g ( x ) = − 20 · x + 5 · x · ln( x ) + 30 1 a Denotemos por g la función derivada de la función g . Demuestra que, para todo x perteneciente a 1 ; 45 , se tiene : g ( x ) = − 15 + 5 · ln( x ) b Demuestra que la desigualdad − 15+5 · ln( x ) 0 es equivalente a x e 3 . c Elaborar la tabla de variaciones de la función g (los valores se redondearán al centésimo si es necesario) . 2 a Demostrar que la ecuación g ( x )=0 admite una única solución ¸ en el intervalo 1 ; 45 . b Dar un encuadre de ¸ de amplitud 0 ; 01 . c Deduzca el signo de g ( x ) según los valores de x en el intervalo 1 ; 45 . 10. Resolución de inecuaciones y secuencias E.7700 Consideremos la sucesión u n definida para todo número natural n por la relación: u n = − 17 ; 5 × 0 ; 92 n + 37 ; 5 1 Determina los dos primeros términos de esta sucesión. 2 Determinar el límite de la sucesión u n . 3 ¾Los términos de la sucesión u n superarán el valor 30 ? En caso afirmativo, ¾en qué rango se superará este valor por primera vez? E.7699 Consideremos la sucesión u n definida para cualquier número natural n por: u n = 2 + 3 · 1 2 n . Admitimos que la sucesión u n es decreciente. 1 Determina el límite de la sucesión u n . 2 Considera el siguiente algoritmo: n ← 0 u ← 5 Mientras u − 2 10 − 6 n ← n+1 u ← 2+3 · 1 2 n Fin mientras Determinar el valor de la variable n al final de la ejecu-ción de este algoritmo. 11. Problemas E.7747 Una empresa que produce papel reciclado se creó en el año 2000 y la tabla siguiente muestra la evolución de su producción. Año 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Clasificación del año 0 2 4 6 8 10 12 Production en toneladas 7 000 18 811 36 620 49 000 58 012 63 098 68 500 1 a Determine el porcentaje de aumento de la produc-ción entre los años 2000 y 2012 . Se dará el resultado redondeado en forma de a % , donde a es un número entero. b Determinar un número real positivo que sea solución de la ecuación : x 12 =9 ; 79 . Interpretar este número en términos de tasa de evolución de la producción de esta empresa entre los años 2000 y 2012 . Se dará el resultado redondeado en forma de b % , donde b es un número entero. 2 La empresa recurre a una consultoría para modelar la evolución de la producción de la empresa con el fin de hacer una proyección hasta 2020 . La consultora propone la función f definida en el intervalo 2 ; 20 por: f ( x ) = 27 131 · ln x + 0 ; 626 · x 3 donde x representa el rango del año y f ( x ) el número de toneladas producidas. a Se denota f la función derivada de la función f en el intervalo 2 ; 20 . Determinar f ( x ) y luego las varia-ciones de la función f en 2 ; 20 . b Con ayuda de este modelo, ¾puede la empresa superar una producción de 90 000 toneladas de papel reciclado antes del año 2020 ? Justifique su respuesta. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7014 sacados/7014 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7694 sacados/7694 chapExoCorrec/7700 sacados/7700 Extrait Antilles Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7699 sacados/7699 chapExoCorrec/7747 sacados/7747