Bachillerato 2 - Comp. / Integración 46 ejercicios (incluyendo 45 corregidos)

a
1. En torno a las zonas E.7031 Un publicista está pensando en colocar un cartel publicitario rectangular debajo de una parte de una rampa de skateboard. El perfil de esta rampa se modela mediante la curva representativa de la función f definida en el intervalo 0 ; 10 por: f ( x ) = 4 · e − 0 , 4 x Esta curva C f se traza a continuación en un sistema de coor-denadas con origen O : El rectángulo ABCD representa el cartel publicitario y cumple las siguientes restricciones : el punto A está situado en el origen del sistema de coordenadas, el punto B está en el eje de abscisas, el punto D está en el eje de ordenadas y el punto C está en la curva C f . Se supone que el punto B tiene como abscisa x =2 . Demuestre que el área del cartel publicitario tiene un valor de 3 ; 6 m 2 , redondeado a la décima de metro cuadrado más cercana. 2. Encuadre de la zona E.7010 Consideremos la función h definida en 0 ; 7 y representada por la curva de abajo : Entre las proposiciones siguientes, sólo una es correcta. ¾Cuál? a 5 0 h ( x ) d x = h (5) − h (0) b 20 < 5 0 h ( x ) d x< 30 c 15 < 5 0 h ( x ) d x < 20 d 5 0 h ( x ) d x = 20 E.7030 Indicación : Para cada una de las cinco afirmaciones sigu-ientes, indique si es verdadera o falsa y justifique su re-spuesta. Se otorga un punto por cada respuesta correcta debidamente justificada. Las respuestas sin justificación no se tienen en cuenta. No se penaliza la falta de respuesta. Recordemos que R designa el conjunto de los números reales. A continuación se muestra la curva representativa C g de una función g definida en R . Se admite que g es derivable en R y se recuerda que g designa la función derivada de la función g . Se ha trazado con puntos la tangente T a la curva C g en el punto A de esta curva, de abscisa 1 y ordenada 2 . Esta tangente corta el eje de abscisas en el punto de abscisa 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7031 sacados/7031 ABCDx(en mètres)012345678910y(en mètres)12345 chapExoCorrec/7010 sacados/7010 Extrait Liban Mai 2016 x0123456789y1234567891011Ch chapExoCorrec/7030 sacados/7030
Afirmación 1: g (1) = − 2 Afirmación 2: 1 0 g ( x ) d x < 3 E.7038 En un sistema de coordenadas ortonormales del plano, se da la curva representativa C f de una función f definida y derivable en el intervalo − 1 ; 5 . Se denota f la función derivada de f . La curva C f pasa por el punto A (0 ; 1) y por el punto B de abscisa 1 . La tangente T 1 a la curva en el punto B es paralela al eje de abscisas. ¾Cuál de las cuatro propuestas siguientes es correcta? Un encuadre de 2 0 f ( x ) d x por números naturales sucesivos es : a 3 2 0 f ( x ) d x 4 b 2 2 0 f ( x ) d x 3 c 1 2 0 f ( x ) d x 2 d otra respuesta E.7769 De las cuatro proposiciones, sólo una es correcta. ¾Cuál de ellas? Justifica tu respuesta. Considera la función g definida sobre el intervalo − 10 ; 10 cuya tabla de variaciones se da a continuación : Observamos I = 3 − 5 g ( x ) d x . Se puede afirmar que : a − 5 I 3 b 2 I 4 c 16 I 32 d 4 I 8 3. Cálculo de integrales y búsqueda de primitivas E.7015 Sea f la función definida en el intervalo 3 ; 13 por: f ( x ) = − 2 x + 20 − e − 2 x +10 Calcula la integral 13 3 f ( x ) d x . Se da el valor exacto y luego el valor redondeado al 10 − 3 más próximo. 4. Cálculo de integrales: utilización de primitivas E.7535 La evolución de la población de una estación balnearia durante el verano 2015 se ha modelado mediante una función f , definida en el intervalo 0 ; 70 , cuya curva representativa se muestra a continuación. Cuando x es el número de días transcurridos después del 1 er de julio, f ( x ) designa la población en miles de habitantes. Así, x =30 corresponde al 31 de julio y f (30) representa la población que se prevé acoger el 31 de julio. Se estima que un habitante consumirá entre 45 y 55 litros de https://chingmath.fr -123I-2-12345678JOCgA chapExoCorrec/7038 sacados/7038 Extrait Asie Juin 2016 -10123450,511,522,53CfBT1 chapExoCorrec/7769 sacados/7769 −10−5310724−6xVariationdeg chapExoCorrec/7015 sacados/7015 Extrait Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7535 sacados/7535 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2015
agua al día. Se indica g la función definida en el intervalo 0 ; 70 por: g ( x ) = 110 + 11 · x · e − 0 , 025 · x +1 Cuando x es el número de días transcurridos después del 1 er de julio, g ( x ) representa entonces el consumo máximo de agua previsto para ese día y expresado en m 3 . Sea la función G definida en el intervalo 0 ; 70 por: G ( x ) = 110 · x − 440 · x + 17 600 · e − 0 , 025 · x +1 Se admite que la función G es una primitiva de la función g . La suma S = g (10)+ g (11)+ g (12)+ ··· + g (20) representa el con-sumo máximo de agua del día 10 e al día 20 e expresado en m 3 . 1 Ilustrándolo en la curva C g siguiente, da una inter-pretación gráfica en términos de áreas de la suma S . 2 Deduzca un valor aproximado de esta cantidad de agua consumida entre el día 10 e y el día 20 e . E.7021 Consideremos la función f definida en 0 ; 15 por: f ( x ) = 9 · x 2 · 1 − 2 · ln x + 10 Dada la función F definida en el intervalo 0 ; 1 ; 5 por: F ( x ) = 10 · x + 5 · x 3 − 6 x 3 · ln x 1 Demuestre que F es una primitiva de la función f en 0 ; 1 ; 5 . 2 Calcule 1 , 5 1 f ( x ) d x . El resultado se redondeará al centésimo. E.7727 Consideremos la función f definida y derivable en el intervalo 0 ; 7 de expresión : f ( x ) = 2 · x · e − x +3 Consideremos la función F definida en el intervalo 0 ; 7 por: F ( x ) = − 2 · x − 2 · e − x +3 1 Justifique que F es una primitiva de f en el intervalo 0 ; 7 . 2 Calcula el valor exacto del área, en unidades de área, del dominio plano limitado por las rectas de ecuación x =1 , x =3 , el eje x y la curva C . E.7731 Consideremos la función f definida en el intervalo − 20 ; 20 por: f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 Un software de cálculo formal da los siguientes resultados : 1 Derivar − 10 · x + 200 · e 0 , 2 · x − 3 − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 2 Derivar 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 4 · x + 4 · e 0 , 2 · x − 3 3 Derivar − 0 ; 4 · x + 4 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 08 · x + 0 ; 4 · e 0 , 2 · x − 3 Calcular el valor exacto de 15 10 f ( x ) d x . E.7732 La función f anterior se define en el intervalo − 4 ; 10 mediante : f ( x )= x +4 · e − 0 , 5 · x Consideremos la función F definida por: F ( x )= − 2 · x − 12 · e − 0 , 5 · x . 1 ¾Cómo se puede demostrar que F es una primitiva de f en el intervalo − 4 ; 10 ? No se pide realizar esta com-probación. 2 Calcular: S = 4 2 f ( x ) d x Se dará el valor exacto y luego el valor redondeado al centésimo. E.7728 Se admite que la función f se de-fine mediante : f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 Con ayuda de un software de cálculo formal, se obtienen los siguientes resultados, que pueden utilizarse sin necesidad de demostración : L1 f(x):=(x^2-2x+1)*e^(-2x+6) → f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 L2 f’(x):=Derivada f(x) → f ( x ) = − 2 · x 2 + 6 · x − 4 · e − 2 x +6 L3 g(x):=Derivada f’(x) → g ( x ) = − 16 · x · e − 2 x +6 + 4 · x 2 · e − 2 x +6 + 14 · e − 2 x +6 L4 Factorizar g(x) → 2 · e − 2 x +6 · 2 · x 2 − 8 · x + 7 L5 Resolver g(x)=0 → x = − 2 + 4 2 ; x = 2 + 4 2 L6 F(x):=Primitiva f(x) → F ( x ) = 1 4 · − 2 · x 2 + 2 · x − 1 · e − 2 · x +6 Se establece I = 5 3 f ( x ) d x . Calcular el valor exacto de I y luego el valor redondeado a 10 − 1 . https://chingmath.fr nombre de jours024681012141618202224consommation(m350100150200250300350400450500550Cg chapExoCorrec/7021 sacados/7021 chapExoCorrec/7727 sacados/7727 chapExoCorrec/7731 sacados/7731 chapExoCorrec/7732 sacados/7732 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017 chapExoCorrec/7728 sacados/7728
5. Área entre dos curvas E.7770 Consideremos f la función definida en R por: f ( x ) = x · e − x + 1 Denotamos C f la curva representativa de la función f en un sistema de referencia ortonormal del plano y f la función derivada de f . 1 a Demuestre que, para cualquier real x : f ( x )= e − x · 1 − x b Demuestre que la ecuación reducida de la tangente T a C f en el punto de abscisa 0 es : y = x +1 . Se supone que la tangente T queda por encima de la curva C f . 2 La curva C f y la tangente T se han trazado a contin-uación en un marco de referencia ortonormal. a Consideremos la función F definida en R por: F ( x ) = e − x · − 1 − x + x Demuestre que F es una primitiva de la función f so-bre R . b Calcular, en unidades de área, el área del dominio som-breado entre la curva C f , la tangente T y las rectas con ecuaciones x =0 y x =1 luego da el resultado re-dondeado a la unidad 10 − 3 más próxima. 6. Propiedades de las primitivas E.7018 A continuación se da la curva representativa de una función f definida y continua en el in-tervalo 0 ; 18 : Cuál de las siguientes respuestas es correcta? a Todas las primitivas de la función f en el intervalo 0 ; 18 son negativas en el intervalo 0 ; 2 . b Todos los primitivos de la función f en el intervalo 0 ; 18 son negativos en el intervalo 8 ; 12 . c Todas las primitivas de la función f en el intervalo 0 ; 18 son crecientes en el intervalo 0 ; 2 . d Todas las primitivas de la función f en el intervalo 0 ; 18 son crecientes en el intervalo 8 ; 12 . 7. Estudios funcionales E.7039 En un plano ortonormal, damos la curva representativa C f de una función f definida y derivable en el intervalo − 1 ; 5 . Sea f la función derivada de f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7770 sacados/7770 x-2-1012y12CfT chapExoCorrec/7018 sacados/7018 02468101214161820-40-30-20-101020304050Cf chapExoCorrec/7039 sacados/7039 Extrait Asie Juin 2016
1 Se acepta que la función F definida en − 1 ; 5 por: F ( x ) = − x 2 + 4 · x + 5 · e − x es una primitiva de la función f . a Deduce la expresión de f ( x ) en − 1 ; 5 . b Calcula, en unidades de área, el valor exacto del área del dominio del plano limitado por la curva C f , el eje x y las rectas con ecuaciones x =0 y x =1 . 2 Demuestra que en el intervalo 1 ; 5 , la ecuación f ( x )=1 admite al menos una solución. 8. Media E.7768 En este ejercicio, se estudia la evolución del gasto de los hogares franceses en programas au-diovisuales (canon audiovisual, entradas de cine, vídeos,. . . ) . Se indica con D n el gasto de los hogares en programas audio-visuales, expresado en miles de millones de euros, durante el año 1995+ n . año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 n 0 1 2 3 4 5 6 7 D n 4 ; 95 5 ; 15 5 ; 25 5 ; 4 5 ; 7 6 ; 3 6 ; 55 6 ; 9 año 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 n 8 9 10 11 12 13 14 15 D n 7 ; 3 7 ; 75 7 ; 65 7 ; 79 7 ; 64 7 ; 82 7 ; 89 8 ; 08 Sea f la función definida, para cualquier número real x , por: f ( x ) = − 0 ; 0032 · x 3 + 0 ; 06 · x 2 + 5 Para todo entero n que verifique 0 n 20 , se decide mod-elar el gasto de los hogares franceses en programas audiovi-suales expresado en miles de millones de euros, durante el año 1995+ n por el número f ( n ) . 1 Calcular f (5) . 2 Determinar el porcentaje p del error cometido al sustituir D 5 por f (5) . (El porcentaje de error se obtiene mediante el cálculo p = valeur réelle-valeur estimée valeur réelle y el resultado se dará con una precisión de 0 ; 1 % . ) . 3 Utilizando la función f , ¾qué estimación del gasto total se puede realizar para el año 2013 ? (El resultado se re-dondeará a la centésima de mil millones de euros) . 4 Queremos utilizar la función f para estimar el gasto medio de los hogares entre el 1 er de enero 1995 y el 1 er de enero 2015 . Para ello, calculamos : M = 1 20 · 20 0 f ( x ) d x a Determinar una primitiva de F de la función f en el intervalo 0 ; 20 . b Calcular M . E.7792 Consideremos la función f definida, para todo número real x del intervalo − 2 ; 4 por: f ( x ) = x + 2 · e − x +1 Un software de cálculo formal da los siguientes resultados : 1 factorizar derivar − ( x +1) ∗ exp( − x +1) x ∗ exp − x + 1 2 integrar x +2 ∗ exp( − x +1) − ( x + 3) ∗ exp − x + 1 Utilizando estos resultados, responda a las siguientes pregun-tas : 1 Demuestre que : 1 − 2 f ( x ) d x = − 4+e 3 2 Deduzca el valor medio redondeado a milésimas de la función f en el intervalo − 2 ; 1 . 9. Cálculo de superficies E.7243 Considera la parte del plano que se muestra en gris al lado: Determina el área de la parte sombreada. https://chingmath.fr -10123450,511,522,53Cf chapExoCorrec/7768 sacados/7768 chapExoCorrec/7792 sacados/7792 chapExoCorrec/7243 sacados/7243 -3-2-12I-2-12JOCf
E.7241 Consideremos la función f definida a trozos por la relación siguiente : f ( x ) = 3 4 · x − 3 sur l’intervalle −∞ ; 4 f ( x ) = 1 4 · x − 1 en el intervalo 4 ; + ∞ A continuación se da la curva C f representativa de la función f en el sistema de referencia O ; I ; J ortonormal: Los puntos A , B y C son puntos de la curva C f donde el punto C tiene como ordenada 1 . 1 Determina las coordenadas de los puntos A , B y C . 2 Determina el área de la superficie sombreada. E.7358 Un anunciante se plantea colocar una valla publicitaria rectangular bajo parte de una rampa de monopatín. El perfil de esta rampa se modela mediante la curva representativa de la función f definida en el intervalo 0 ; 10 por: f ( x ) = 5 x + 1 Esta curva C f se representa a continuación en un sistema de referencia con origen O : El rectángulo ABCD representa la valla publicitaria y satis- face las siguientes restricciones : el punto A está en el origen del sistema de referencia, el punto B está en el eje x, el punto D está en el eje y y el punto C está en la curva C f . Se supone que el punto B tiene abscisa x =2 . Demuestre que el área del cartel es 3 ; 3 m 2 , redondeado al metro cuadrado más próximo. E.7242 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 2 − x para todo número real x del intervalo 0 ; 1 . Se admite que : f ( x ) > 0 , para todo real x del intervalo 0 ; 1 . Se denota por C la curva repre-sentativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonor-males, y por D el dominio plano comprendido, por un lado, en-tre el eje de abscisas y la curva C y, por otro, entre las rectas de ecuaciones x =0 y x =1 . La curva C y el dominio D se rep-resentan al lado. El objetivo de este ejercicio es dividir el dominio D en dos dominios de igual área, primero mediante una recta paralela al eje de ordenadas (parte A ) , y luego mediante una recta paralela al eje de abscisas (parte B ) . Parte A Sea a un número real tal que 0 a 1 . Denotemos por A 1 el área del dominio comprendido entre la curva C , el eje Ox , las rec-tas de ecuaciones x =0 y x = a , y luego A 2 el del dominio com-prendido entre la curva C , Ox y las rectas de ecuaciones x = a y x =1 . A 1 y A 2 se expresan en unidades de área. Determinar el valor de a para que las áreas A 1 y A 2 sean iguales Parte B Sea b un número real positivo. En esta parte, se propone dividir el dominio D en dos do-minios de igual área mediante la recta de ecuación y = b . Se admite que existe un único número real positivo b como solu-ción. Determinar el valor de b . 10. Enmarcar el área con rectángulos E.7036 La curva ( C ) que aparece a con-tinuación representa, en un sistema de referencia ortonormal, una función f definida y derivable en 0 ; 5 ; 6 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7241 sacados/7241 CfIJOABC chapExoCorrec/7358 sacados/7358 ABCDx(en mètres)012345678910y(en mètres)12345 chapExoCorrec/7242 sacados/7242 DI2JOC A1A2aI2JOC chapExoCorrec/7036 sacados/7036
Determina el cuadrado del área, en unidades de área y con aproximación a la unidad, del dominio comprendido entre la curva ( C ) , el eje x y las rectas con ecuaciones x =1 y x =2 . E.7494 A continuación se representa, en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, la curva representativa C de una función f definida en el intervalo 0 ; 20 . Determinar un encuadre, de amplitud 4 , mediante dos números enteros de : I = 8 4 f ( x ) d x E.7520 Entre las cuatro proposiciones siguientes, sólo una es cor-recta. ¾Cuál? Considera la función g definida en el intervalo − 10 ; 10 cuya tabla de variaciones se da a continuación : Observamos I = 3 − 5 g ( x ) d x . Se puede afirmar que : a − 5 I 3 b 2 I 4 c 16 I 32 d 4 I 8 E.7440 En la gráfica siguiente se representa la curva C f de una función f definida y continua en el inter-valo 0 ; 7 . Los puntos A y B tienen coordenadas A (2 ; 5) y B (4 ; 6 ; 8) . La recta ( AB ) es tangente a la curva C f en el punto A . a La tangente a la curva C f en el punto A tiene la ecuación : Afirmación 1: y = − 0 ; 9 · x + 6 ; 8 Afirmación 2: y = 0 ; 9 · x + 3 ; 5 Afirmación 3: y = 0 ; 9 · x + 3 ; 2 Afirmación 4: y = 1 ; 8 · x + 1 ; 4 b Afirmación 1: f (0) 5 0 f ( x ) d x f (5) Aserción 2: 2 7 2 f ( x ) d x 7 Afirmación 3: 18 5 0 f ( x ) d x 19 Afirmación 4: 25 7 2 f ( x ) d x 31 https://chingmath.fr 0123456-2-112345(C chapExoCorrec/7494 sacados/7494 Extrait Antilles-Guyane Juin 2013 x048121620y-448C chapExoCorrec/7520 sacados/7520 −10−5310724−6xVariationdeg chapExoCorrec/7440 sacados/7440 234567I2345678JOCfAB
E.7240 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 1 por: f ( x )=4+e − 5 x La curva C representativa de la función f se ha trazado en el marco de referencia siguiente. El área sombreada D en la figura es el área delimitada por la curva C , por el eje x, el eje y y la recta de ecuación x =1 . Queremos dividir el área sombreada en dos áreas de igual área mediante una recta de ecuación y = a , paralela al eje x, según el ejemplo que se da a continuación. Justifica que el valor a =3 no es adecuado. 11. Enmarcar el área con triángulos E.7239 La curva C a continuación es la curva representativa en el plano provista de un sistema de coordenadas ortonormal de una función f definida en el inter-valo − 4 ; 10 . El área sombreada S en la figura es el área comprendida entre la curva C , el eje x, la recta de ecuación x =2 y la recta de ecuación x =4 . Determina, mediante lectura gráfica, un marco por dos en-teros consecutivos del área del dominio S sombreado en gris en la figura. E.7238 La respuesta se dará sin justificación, con la pre-cisión que permite el gráfico de al lado: La gráfica de al lado muestra en un sistema de referencia con origen O la curva representativa C de una función f definida y derivable en el intervalo 0 ; 7 . La medida de la zona sombreada pertenece sólo a uno de los sigu-ientes intervalos. Cuál es? a 9 ; 17 b 18 ; 26 c 27 ; 35 12. Introducción al cálculo integral E.7344 A continuación se representa, en un sis-tema de coordenadas O ; I ; J , la recta ( d ) cuya ecuación reducida es : ( d ) : y = − 0 ; 25 · x + 1 ; 5 1 a Coloca los puntos A (3 ; 0) , C (0 ; 1 ; 5) y el punto B https://chingmath.fr chapExoCorrec/7240 sacados/7240 Extrait Antilles Juin 2017 a01123456C chapExoCorrec/7239 sacados/7239 Extrait Antilles Juin 2017 -5-4-3-2-101234567891011-1123456C chapExoCorrec/7238 sacados/7238 2345678I2345678910111213141516JOC chapExoCorrec/7344 sacados/7344 234I2JO(d
con abscisa 3 y perteneciente a la recta ( d ) . b Determinar el área del trapecio OABC . 2 Para cualquier número real x estrictamente positivo, se admite que el área del trapecio OMNC donde los puntos M y N tienen como abscisa x y pertenecen respectiva-mente al eje de abscisas y a la recta ( d ) , viene determi-nada por la imagen de x mediante la función F definida por: F ( x ) = − 0 ; 125 · x 2 + 1 ; 5 · x a Verificar el resultado de la pregunta 1 b . b Consideramos el dominio D delimitado por: la recta ( d ) y el eje de abscisas ; las rectas de ecuaciones x =1 y x =3 . Con ayuda de la función f , determinar el área del do-minio D . E.7490 Sea f la función definida en 0 ; 1 por: f ( x ) = 2 − 2 · x A continuación se ha trazado la recta D f , representación grá-fica de la función f en un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J del plano. El punto C tiene como coordenadas (0 ; 2) . Δ es la parte del plano interior al triángulo OIC . Sea a un número real comprendido entre 0 y 1 ; denotemos por A el punto de coordenadas ( a ; 0) y por B el punto de D f de coordenadas ( a ; f ( a )) . El objetivo de este ejercicio es hallar el valor de a , de modo que el segmento AB divida Δ en dos partes de igual área. Determina el valor exacto de a y, a continuación, su valor redondeado al centésimo. 13. Hacia el uso de primitivas E.7345 Consideremos la función cuadrada deno-tada f : f ( x ) = x 2 . La integral de la función f entre 0 y a viene dada por la fórmula : a 0 f ( x ) d x = 1 3 · a 3 1 Determina el área de la parte sombreada : 2 Determina el área de la parte sombreada : E.7355 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 − x 2 1 + x 2 2 A continuación se muestra la representación gráfica C de la función f en un marco de referencia ortonormal: La zona sombreada está limitada por: la curva C y el eje x; las rectas con ecuaciones x = − 0 ; 5 y x =0 ; 5 . Para cualquier número a es un número en el intervalo − 1 ; 1 , anota I a el valor de la integral de la función f entre − 1 y a . Aquí tienes una tabla de valores redondeados a 10 − 3 : a − 1 − 0 ; 75 − 0 ; 5 − 0 ; 25 0 0 ; 25 0 ; 5 0 ; 75 1 I a 0 0 ; 02 0 ; 1 0 ; 265 0 ; 5 0 ; 735 0 ; 9 0 ; 98 1 Determina el área de la zona sombreada. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7490 sacados/7490 aABC0,51,5I0,51,522,5JODf chapExoCorrec/7345 sacados/7345 2I234JO(d 2I234JO(d chapExoCorrec/7355 sacados/7355 -2-12IJO
E.7359 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + 0 ; 375 · x 2 − 1 ; 5 · x + 1 Consideremos el dominio D delimitado por: la curva C y el eje x. las dos rectas con ecuaciones x = − 2 y x =2 . Para cualquier número a perteneciente al intervalo − 3 ; 3 , anotamos I a el valor de la integral entre − 3 y a . He aquí una tabla de valores redondeados a 10 − 3 : a − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 I a 0 3 ; 0625 6 ; 25 8 ; 0625 8 ; 5 9 ; 0625 12 ; 75 Determina el área del dominio D . 14. Calculadora y cálculo de integrales E.7360 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 · x x 2 + 1 A continuación se muestra la curva C representativa de la función f : La zona sombreada de arriba es D . 1 Describe el dominio D . 2 Utilizando una calculadora, determina el área del do-minio D , redondeada al 10 − 4 más próximo. E.7361 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − 0 ; 5 · x − 1 A continuación se da la curva C representativa de la función f : El área sombreada de arriba es D . Utilizando la calculadora, determina el área del dominio D con una aproximación de 10 − 4 . 15. Unión de dos curvas E.7362 Consideremos las dos funciones de ref-erencia: la función cuadrática denotada por f y la función inversa denotada por g . Se da la representación de las curvas C f y C g , respectiva-mente, de las funciones f y g en el sistema de coordenadas O ; I ; J siguiente : Consideramos el dominio D sombreado arriba y: delimitado por las rectas de ecuaciones x =0 y x =1 ; y entre las curvas C f y C g y el eje de ordenadas. 1 a Para cualquier número real a positivo o nulo, se ad-mite que la integral de la función f entre 0 y a tiene https://chingmath.fr chapExoCorrec/7359 sacados/7359 x-4-3-2-101234y1234C chapExoCorrec/7360 sacados/7360 x-2-1234Iy-1JOC chapExoCorrec/7361 sacados/7361 x-3-2-1234Iy-12JOC chapExoCorrec/7362 sacados/7362 -1234I2JO
la expresión : a 0 x 2 d x = 1 3 · a 3 Determine el área bajo la curva C f entre 0 y 1 . b Con ayuda de la calculadora, determine la medida del área bajo la curva C g entre 1 y 3 , redondeada al milésimo. 2 Deduzca la medida del área sombreada D , redondeada al milésimo más cercano. E.7493 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por la relación: f ( x ) = − 0 ; 24 · x 2 + 0 ; 6 · x + 1 ; 4 ; g ( x ) = 0 ; 4 · x + 0 ; 4 En un sistema de coordenadas O ; I ; J , tenemos las repre-sentaciones de las curvas representativas C f y C g respectiva-mente de las funciones f y g : Para a un número real comprendido entre − 1 ; 4 , tenemos la siguiente información adicional: Para a , un número real del intervalo 0 ; 4 , se denota I a el área del dominio bajo la curva C f comprendida entre las rectas x =0 y x = a . Aquí hay una tabla de valores de I a redondeados a 10 − 3 : a 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 2 ; 5 3 3 ; 5 4 I a 0 0 ; 765 1 ; 62 2 ; 505 3 ; 36 4 ; 125 4 ; 74 5 ; 145 5 ; 28 Para calcular el área del dominio bajo la curva C g com-prendida entre las rectas x = − 1 y x = a , se utiliza el sigu-iente cálculo integral: a 0 g ( x ) d x = 0 ; 2 · a 2 + 0 ; 4 · a Determine el área sombreada dejando los pasos de su razon-amiento. 16. Área entre dos curvas E.7363 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = − 0 ; 6 · x 2 + 0 ; 4 · x + 1 ; 9 A continuación se muestra la curva C representativa de la función f en el sistema de coordenadas O ; I ; J : Consideremos la recta ( d ) , curva representativa de la función g definida por: g ( x ) = − 0 ; 2 · x + 0 ; 7 Admitamos que la curva C se sitúa por encima de la recta ( d ) en el intervalo − 1 ; 2 . El dominio D es el dominio del plano con las siguientes car-acterísticas : delimitado por las rectas x =0 y x =2 ; situado entre la recta ( d ) y la curva C . Se utilizarán los siguientes datos : Para cualquier número a perteneciente al intervalo − 1 ; 2 , se denota por I a el área del dominio delimitado por la curva C , el eje de abscisas y las rectas de ecua-ciones x = − 1 y x = a . A continuación se muestra una tabla de valores redondeados a 10 − 3 : a − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 I a 0 0 ; 625 1 ; 5 2 ; 475 3 ; 4 4 ; 125 4 ; 5 Para cualquier número a ∈ 0 ; 2 , se admite que el valor de la integral de la función g desde 0 hasta a es : a 0 g ( x ) d x = − 0 ; 1 · a 2 + 0 ; 7 · a Determinar el área del dominio D . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7493 sacados/7493 -2-1234I2JOCfCg2;5 chapExoCorrec/7363 sacados/7363 x-3-2-1234Iy23JOC(d
E.7444 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = 0 ; 6 · x + 0 ; 2 ; g ( x ) = − 0 ; 4 · x + 1 ; 2 cuyas representaciones gráficas son respectivamente las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) que se muestran a continuación : Para cualquier número a perteneciente al intervalo 0 ; 3 , anotamos I a utilizando el dominio limitado por la recta ( d 1 ) , el eje x, las rectas de ecuaciones x =0 y x = a . Aquí tienes una tabla de valores: a 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 2 ; 5 3 I a 0 0 ; 175 0 ; 5 0 ; 975 1 ; 6 2 ; 375 3 ; 3 Para un número real a perteneciente a 1 ; 3 , admitimos que el área del dominio bajo sus respectivas curvas vienen determinadas por el cálculo integral: a 1 g ( x ) d x = − 0 ; 2 · a 2 + 1 ; 2 · a − 1 Deduce el área de la zona sombreada. 17. Área entre dos curvas y calculadoras E.7436 Una empresa desea utilizar un motivo decorativo para su comunicación. Para crear este motivo, se modela su forma utilizando dos fun-ciones f y g definidas para cualquier número real x de 0 ; 1 por: f ( x ) = 1 − x · e 3 x ; g ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 Sus curvas representativas se denominarán C f y C g . Determine el área de la parte sombreada del gráfico, com-prendida entre las dos curvas C f y C g en el intervalo 0 ; 1 , redondeada al milésimo más cercano. (Justifique los pasos de su razonamiento) 18. Ejercicios no clasificados E.8422 Parte A La curva C siguiente, asociada a una función f definida en el intervalo 0 ; 19 , representa la audiencia diaria de un canal de televisión entre el 1 er de enero 2000 (año número 0 ) y el 1 er de enero 2019 (año número 19 ) , es decir, la audiencia diaria en miles de telespectadores. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7444 sacados/7444 23I2JO(d1(d2 chapExoCorrec/7436 sacados/7436 xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf sacados/8422 024681012141618100200300400500600700800900CfAB
Así, el 1 er de enero 2000 , la cadena fue vista por aproximada-mente 460 000 espectadores. 1 Describir la evolución de la audiencia diaria de este canal de televisión entre el 1 er de enero 2000 y el 1 er de enero 2019 . 2 Dar un valor aproximado del número de telespectadores-spectael 1 er de enero 2014 . 3 La recta ( AB ) , donde los puntos A y B tienen coorde-nadas A (0 ; 460) y B (3 ; 82) , es la tangente a la curva C en el punto A . ¾Cuál es el valor de f (0) , donde f es la derivada de la función f representada por C ? Parte B Ahora queremos predecir la evolución de la audiencia de este canal de televisión durante los próximos diez años. Se considera que el número diario (expresado en miles) de telespectadores del canal se modela mediante la función f definida en el intervalo 0 ; 29 por f ( x ) = 20 x 2 − 80 x + 460 · e − 0 , 1 x donde x representa el número de años desde 2000 (por ejem-plo, x =19 para el año 2019) . 1 Dar un valor aproximado al millar del número de tele-spectadores del canal el 1 er de enero 2014 . 2 Se denota f la función derivada de f en el intervalo 0 ; 29 . a Demuestre que f se define por: f ( x ) = − 2 x 2 + 48 x − 126 · e − 0 , 1 x b Consideremos la ecuación : − 2 x 2 +48 x − 126=0 Un software de cálculo formal da : Instrucción : Resultado Solve( − 2 x 2 + 48 x − 126 = 0 ) 3 y 21 Encuentre este resultado mediante el cálculo. c Deduzca el signo de f ( x ) en el intervalo 0 ; 29 y construya la tabla de variaciones de f en el inter-valo 0 ; 29 . Redondee los elementos de la tabla a la unidad. d ¾Superará el número diario de telespectadores de este canal de televisión el millón antes del año 2029 ? Jus-tifique su respuesta. 3 Demostrar que la ecuación f ( x )=800 admite una única solución ¸ en el intervalo 3 ; 21 . Determinar un rango de amplitud 1 de ¸ . ¾En qué año superará el número diario de telespectadores del canal de televisión 800 000 ? 4 Se admite que la función F definida en el intervalo 0 ; 29 por: F ( x ) = − 200 x 2 − 3 2000 x − 36 600 · e − 0 , 1 x es una primitiva de la función f . Determinar, con una precisión de mil, la audiencia media diaria de telespectadores del canal de televisión entre el 1 er de enero 2018 y el 1 er de enero 2019 . E.7057 Una compañía aérea ofrece, a par-tir del 1 de enero del año 2000 , una nueva fórmula de compra de billetes, la fórmula Avantage , que se suma a la fórmula Privilège ya existente. Un estudio ha permitido modelar la evolución del número de pasajeros transportados desde el año 2000 y la compañía ad-mite que este modelo es válido para el periodo comprendido entre el año 2000 y el año 2016 . El número de pasajeros que eligen la fórmula Privilège se mod-ela mediante la función P definida en el intervalo 0 ; 16 y el número de pasajeros que eligen la fórmula Ventaja se mod-ela mediante la función A definida en el intervalo 0 ; 16 . El gráfico que se muestra a continuación representa las curvas representativas C p y C A de estas dos funciones. Cuando x representa el tiempo en años a partir del año 2000 , P ( x ) representa el número de pasajeros, expresado en dece-nas de miles, que eligen la fórmula Privilège y A ( x ) representa el número de pasajeros, expresado en decenas de miles, que eligen la fórmula Avantage. Las estimaciones se obtendrán mediante lectura gráfica. 1 Dar una estimación del número de pasajeros que, durante el año 2002 , habían elegido la fórmula Privilège . 2 Dar una estimación de la diferencia que la compañía puede esperar en 2015 entre el número de pasajeros que eligieron la fórmula Ventaja y los que eligieron la fórmula Privilegio . 3 ¾Cómo se pueden interpretar las coordenadas del punto de intersección de las dos curvas en relación con la situación propuesta? 4 Justifique que, según este modelo, la compañía aérea puede estimar que el número total de pasajeros que han elegido la fórmula Privilège durante el periodo compren-dido entre 2007 y 2015 estará comprendido entre 240 000 y 320 000 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7057 sacados/7057 En année, après2000012345678910111213141516En10000passagers12345678910CACP
E.5556 Denotemos por f la función definida en el intervalo 0 ; 6 por: f ( x ) = 1 − ( x + 1) · e − x 1 Demuestra que f ( x ) = x · e − x donde f denota la función derivada de la función f . 2 Demostrar que la ecuación f ( x )=0 ; 6 admite una solución única ¸ en el intervalo 0 ; 6 . Determina un valor redondeado de ¸ en 0 ; 01 . 3 Se acepta que la función F definida en 0 ; 6 por: F ( x ) = x + ( x + 2) · e − x es una primitiva de f en 0 ; 6 . Dar el valor exacto y luego un valor redondeado a 10 − 3 de : I = 6 0 f ( x ) d x E.5561 Consideremos la función f definida en R , cuya curva representativa C f se traza a contin-uación en un sistema de coordenadas ortonormales : 1 Mediante lectura gráfica, indique los valores de f (2) y f (0) . 2 A mano alzada, reproduzca el sistema de coordenadas y la curva representativa de la función f , y luego sombree un dominio del plano cuyo área tenga el valor A , donde : A = 2 0 f ( x ) d x . (No se tratará de determinar el valor de A .) 3 a Trace a mano alzada la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 2 . b Mediante lectura gráfica, dar el valor de la derivada f (2) , redondeado al décimo. E.5562 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = ( − x + 2) · e 0.5 x Observa C f la curva representativa de la función f en un sis-tema de referencia ortonormal. 1 a Consideremos la función F definida en R por la relación: F ( x ) = ( − 2 x + 8) · e 0 , 5 x Demuestre que la función F es una primitiva de la fun-ción f sobre R . b Calcula el valor exacto de 2 0 f ( x ) d x y da un valor redondeado al 10 − 2 más próximo. 2 Consideremos G otra primitiva de f en R . De las tres curvas C 1 , C 2 y C 3 que aparecen a contin-uación, sólo una es la representación gráfica de G . Determina la curva adecuada y justifica la respuesta : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5556 sacados/5556 chapExoCorrec/5561 sacados/5561 -8-7-6-5-4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/5562 sacados/5562 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-12345678910I-4-3-2-12345678JOC1C2C3
E.5554 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = e − 2 x Denotemos por C f su curva representativa en un sistema de coordenadas ortonormales. Para cada proposición, solo una respuesta es correcta. In-dique la respuesta correcta y justifique su razonamiento : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5554 sacados/5554 123456festdé∏niesur:−∞0−∞00∞RLafonctionfadmetpourdérivéelafonctionfdontl’expressionest2x·e−2x−2x·e−2x−2·e−2x2·e−2xSursonensemblededé∏nition,lafonctionfestcroissantedécroissanteconstanteNicroissante,nidécroissanteAupointd’abscisse0,lacourbeCfadmetpourtangenteladroited’équation−2x−2x1−2x−12x−1Uneprimitivedelafonctionfadmetpourexpression−2·e−2x2·e−2xe−2x2−e−2x2LedomaineDdé∏nieparl’axedesabscissesetlacourbeCf,lesdroitesd’équationsxetxapourmesured’aire12·1e−212·1−e−212·−1e−212·−1−e−2