Bachillerato 2 - Comp. / Leyes de densidad 48 ejercicios (incluyendo 47 corregidos)

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1. Ley exponencial E.4166 Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución exponencial de parámetro – . Recordemos que : P ( X a ) = a 0 – · e − λt d t La curva dada a continuación representa la función de densi-dad asociada: 1 Interpreta en el gráfico la probabilidad P ( X 1) . 2 Indica en la gráfica dónde se lee directamente el parámetro – . E.4171 Denotamos X una variable aleato-ria continua que sigue una distribución exponencial con parámetro – =0 ; 04 . Recordemos que para cualquier real positivo t , la probabilidad del suceso ( X t ) , denotado P ( X t ) , viene dado por: P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x Determina el valor redondeado de P ( X > 5) a la 10 − 2 más cercana por exceso. E.4159 La vida útil, expresada en horas, de un juego electrónico es una variable aleatoria X que sigue la ley exponencial con parámetro – =0 ; 000 3 . Recordemos que, para cualquier t 0 : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justifi-cando la respuesta. Afirmación : La probabilidad de que la duración de este juego sea estrictamente superior a 2 000 horas es menor que 0 ; 5 . E.4158 Una variable aleatoria X sigue la ley exponencial de parámetro – ( –> 0 ) . ½Recordemos que para cualquier real a> 0 : P ( X a )= a 0 – · e − λ · t d t Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa, y jus-tifique la respuesta elegida. Proposición: El real a tal que P ( X >a )= P ( X a ) es igual a ln 2 – . 2. Ley exponencial y expectativa E.6958 Un astrónomo toma lecturas del tiempo de espera entre dos apariciones de estrellas fugaces. A continuación, modela este tiempo de espera, expresado en minutos, mediante una variable aleatoria T que sigue una ley exponencial con el parámetro – . Aprovechando los datos obtenidos, estableció que – =0 ; 2 . El astrónomo planeó observar el cielo durante dos horas. Es-tima el número medio de avistamientos de estrellas fugaces en esta salida. 3. Ley exponencial y búsqueda del parámetro E.4190 Consideremos la variable aleato-ria X que sigue una distribución exponencial con parámetro – con –> 0 . Así, tenemos la probabilidad : PX t ( X t )= t 0 – · e − λ · x d x Determina – , redondeado al 10 − 1 más próximo, de forma que la probabilidad P ( X > 6) sea igual a 0 ; 3 . E.4148 Consideremos una variable aleato-ria X en un espacio de probabilidad Ω ; P siguiendo una distribución exponencial con parámetro – . Recordemos que, para cualquier número real positivo k : P ( X k ) = k 0 – · e − λ · x d x 1 Utilizando la fórmula anterior, demuestre que : P 500 X 1 000 = e − 500 · λ − e − 1000 · λ 2 En esta pregunta, cualquier rastro de investigación, por incompleto que sea, o de iniciativa, por fallida que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. Un estudio decide modelizar el número de kilómetros recorridos por un neumático sin pinchazo mediante una variable aleatoria X que sigue una distribución exponen-cial con parámetro – . La probabilidad de que el neumático recorra entre 500 y 1 000 kilómetros sin pinchar es igual a 1 4 , determinar el valor redondeado a 10 − 4 del parámetro – . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4166 sacados/4166 Extrait de Antilles-Guyane Juin 2006 234I2JO chapExoCorrec/4171 sacados/4171 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/4159 sacados/4159 chapExoCorrec/4158 sacados/4158 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/6958 sacados/6958 chapExoCorrec/4190 sacados/4190 Extrait de Liban Mai 2006 chapExoCorrec/4148 sacados/4148
4. Ley exponencial y probabilidad condicional E.4187 Alain fabrica aparatos electróni-cos como aficionado. Para ello, compra en una tienda compo-nentes que parecen idénticos, pero algunos de ellos presentan un defecto. Se estima que la probabilidad de que un compo-nente vendido en la tienda sea defectuoso es igual a 0 ; 02 . Se supone que la vida útil T 1 (en horas) de cada compo-nente defectuoso sigue una ley exponencial con parámetro – 1 =5 × 10 − 4 y que la vida útil T 2 (en horas) de cada compo-nente no defectuoso sigue una ley exponencial con parámetro – 2 =10 − 4 (se puede consultar el siguiente formulario) . 1 Calcular la probabilidad de que la vida útil de un com-ponente sea superior a 1 000 horas : a si este componente es defectuoso ; b si este componente no es defectuoso. Dar un valor re- dondeado de estas probabilidades con una precisión de 10 − 2 . 2 Sea T la vida útil (en horas) de un componente com-prado al azar. Demostrar que la probabilidad de que este componente siga funcionando después de t horas de funcionamiento es : P ( T t ) = 0 ; 02 · e − 5 × 10 − 4 · t + 0 ; 98 · e − 10 − 4 · t (Recordemos que la probabilidad de que un componente vendido en la tienda sea defectuoso es igual a 0 ; 02 ) 3 Sabiendo que el componente comprado sigue funcionando 1 000 horas después de su instalación, ¾cuál es la proba-bilidad de que este componente sea defectuoso? Indique el valor de esta probabilidad, redondeado a 10 − 2 . 5. Ley exponencial y esperanza de vida sin envejecimiento E.4186 El tiempo de espera T , en minu-tos, en el peaje de una autopista antes de pasar por caja es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial con parámetro – = 1 6 . Tenemos por tanto para cualquier real t> 0 : P ( X <t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – = 1 6 donde t es el tiempo expresado en minutos. Sabiendo que un automovilista ya ha esperado 2 minutos, ¾cuál es la probabilidad (redondeada al 10 − 4 más próximo) de que su tiempo total sea inferior a 5 minutos? E.4154 Una urna contiene 10 bolas blan-cas y n bolas rojas, siendo n un número natural mayor o igual que 2 . Se pide a un jugador que saque bolas de la urna. En cada extracción, todas las bolas tienen la misma probabilidad de ser extraídas. Por cada bola blanca extraída, gana 2 euros y por cada bola roja extraída, pierde 3 euros. Supongamos que n =1000 . Por lo tanto, la urna contiene 10 bolas blancas y 1000 bolas rojas. El jugador no sabe que el juego le es completamente desfa-vorable y decide realizar varias tiradas sin reposición hasta obtener una bola blanca. Dado que el número de bolas blancas es inferior al de bolas rojas, se admite que se puede modelar el número de tiradas necesarias para obtener una bola blanca mediante una vari-able aleatoria Z que sigue la ley, para todo k ∈ N : P ( Z k ) = k 0 0 ; 01 · e − 0 , 01 · x d x Por lo tanto, responderemos a las siguientes preguntas uti-lizando este modelo : 1 Calcular la probabilidad de que el jugador necesite tirar como máximo 50 bolas para conseguir una bola blanca, es decir, P ( Z 50) . 2 Calcular la probabilidad condicional del evento : ˇ el ju-gador ha tirado como máximo 60 bolas para sacar una bola blanca ı sabiendo que el evento ˇ el jugador ha tirado más de 50 bolas para tirar una bola blanca ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4187 sacados/4187 chapExoCorrec/4186 sacados/4186 chapExoCorrec/4154 sacados/4154
E.4149 La vida útil, expresada en años, de un aparato, se modela mediante una variable aleatoria X que sigue la ley exponencial del parámetro – sobre 0 ; + ∞ Recordemos que para cualquier t> 0 , la probabilidad del suceso ( X t ) viene dada por: P X t = t 0 – · e − λ · x d x (avec – =0 ; 07 ) . Sin justificar, diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Proposición 1: la probabilidad de que el dispositivo tenga una vida útil superior a 10 años es igual a 0 ; 5 den-tro de 10 − 2 . Proposición 2: sabiendo que el dispositivo ha fun-cionado 10 años, la probabilidad de que siga funcionando 10 años es igual a 0 ; 5 a dentro de 10 − 2 . E.6263 Un restaurante funciona sin reser-vas, pero el tiempo de espera para una mesa suele ser un problema para los clientes. Este tiempo de espera en minutos se modela mediante una variable aleatoria X que sigue una distribución exponencial con parámetro – donde – es un número real estrictamente positivo. Recordemos que la expectativa matemática de X es igual a 1 – . Un estudio estadístico ha demostrado que el tiempo medio de espera para una mesa es 10 minutos. 1 Determina el valor de – . 2 ¾Cuál es la probabilidad de que un cliente espere entre 10 y 20 minutos para conseguir mesa? Redondearemos a 10 − 4 . 3 Un cliente lleva esperando 10 minutos. Cuál es la proba-bilidad de que tenga que esperar al menos 5 minutos más para conseguir mesa? Redondearemos a 10 − 4 . E.4175 El responsable de una tienda com-pra componentes electrónicos. La vida útil de uno de estos componentes es una variable aleatoria denominada X que sigue una ley de vida útil sin en-vejecimiento o una ley exponencial con parámetro – , siendo – un número real estrictamente positivo. 1 Sabiendo que P ( X > 5)=0 ; 325 , determine – , redondeado al milésimo más cercano. Para las siguientes preguntas, se tomará: – =0 ; 225 2 ¾Cuál es la probabilidad de que un componente dure menos de 8 años? ¾Más de 8 años? 3 ¾Cuál es la probabilidad de que un componente dure más de 8 años sabiendo que ya ha durado más de 3 años? 6. Introducción E.4208 A continuación se muestra la curva rep-resentativa de la función f definida en el intervalo 1 ; 5 por la relación: f ( x ) = 32 (3 x + 1) 2 Consideremos un juego de lanzamiento de dardos basado en la superficie sombreada definida por: el eje x y la curva C f ; las rectas con ecuaciones x =1 y x =5 . Suponiendo que en cada lanzamiento el dardo cae en esta zona sombreada, queremos saber la probabilidad de que el dardo llegue a la zona sombreada delimitada por las dos rectas con ecuaciones x =3 y x =5 . Para ello se considera la variable aleatoria X que asocia a cada dardo lanzado la abscisa de su punto de recepción en la diana. 1 Determina la primitiva de la función f . 2 Determina los valores de las dos integrales siguientes : 5 1 f ( x ) d x ; 5 3 f ( x ) d x 3 Deduce la probabilidad : P 3 X 5 E.4056 1 Sea X la variable aleatoria que elige equiprobablemente un entero del intervalo 0 ; 10 . Determine la probabilidad : P X =5 2 Sea X la variable aleatoria que elige equiprobablemente un número entero del intervalo 0 ; 999 . Determine la probabilidad : P X =5 3 Sea X la variable aleatoria que elige equiprobablemente un real el intervalo 0 ; 10 . Determine la probabilidad : P X =5 4 Sea X la variable aleatoria que elige equiprobablemente un real del intervalo 0 ; 10 . Determine la probabilidad : P X ∈ 0 ; 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4149 sacados/4149 chapExoCorrec/6263 sacados/6263 chapExoCorrec/4175 sacados/4175 chapExoCorrec/4208 sacados/4208 01234512Cf chapExoCorrec/4056 sacados/4056
E.6407 Un estudio estadístico se centra en el tamaño de las plantas de maíz: Todos los valores aproximados que se solicitan en este ejercicio se redondearán al centésimo. 1 A partir de un histograma : Como se indica en la leyenda del histograma, se puede uti-lizar la graduación del eje de ordenadas (necesaria para la curva C f ) para determinar el número asociado a una barra : 0 ; 1 × 1 000 = 100 plantas Los registros han permitido establecer el histograma an-terior. a ¾Cuántas plantas con un tamaño comprendido entre 1 ; 9 m y 2 ; 2 m incluye este estudio? b Si se elige al azar una planta entre las plantas de este estudio, ¾cuál es la probabilidad de que dicha planta tenga un tamaño comprendido entre 1 ; 9 m y 2 ; 2 m ? Se redondeará esta probabilidad al centésimo más cer- cano. 2 A partir de la curva : Se opta por utilizar una curva que represente ˇaproxi-madamenteı el histograma. La expresión de esta función es : f ( x ) = 15 · 4 · x − 5 12 · x 2 − 30 · x + 22 a Determinar una primitiva de la función f . b Determinar el valor de 2 , 3 1 , 3 f ( x ) d x , redondeado a 10 − 2 . Consideremos la variable aleatoria continua X que, a una planta de maíz tomada al azar en el campo de estudio, le asigna su tamaño c Determinar la probabilidad P 1 ; 9 X 2 ; 2 , re-dondeada a 10 − 2 . d ¾Existe una función g tal que para cualquier par de números reales ( a ; b ) que cumpla a<b , se tenga : P a X b = b a g ( x ) d x Si es así, ¾cuál es la expresión de esta función? E.6892 En el momento del 2013 censo de población, Francia tenía 66 millones de habitantes. Para este ejercicio, hacemos la suposición (absurdo) de que los tamaños (en m ) de los franceses se distribuyen uniformemente en el intervalo 1 ; 4 ; 1 ; 9 Considere el experimento aleatorio consistente en seleccionar una persona al azar de la población francesa y anote X la variable aleatoria que devuelve la altura de la persona selec-cionada. Determine el valor de las siguientes probabilidades : a P 1 ; 4 X 1 ; 65 b P X 1 ; 6 c P 1 ; 4 X 1 ; 9 d P X =1 ; 6783453 7. Ejemplo de ley continua E.4218 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 1 40 · x + 1 5 pour x ∈ 0 ; 4 f ( x ) = 0 sinon 1 Justifique que la función f define una distribución de densidad en el intervalo 0 ; 4 . 2 Sea X la variable aleatoria definida en 0 ; 4 cuya dis-tribución de probabilidad tiene densidad f . Determina las siguientes probabilidades : a P ( X 1) b P ( X 2) c P 1 2 X < 3 E.4220 En la siguiente pregunta, sólo una de las cuatro respuestas es correcta. Indique la respuesta correcta; no es necesario justificarla. Sea f la función definida en 0 ; 1 por: f ( x )= x + m donde m es una constante real. f es una densidad de probabilidad en el intervalo 0 ; 1 cuando : a m = − 1 b m = 1 2 c m =e 1 2 d m =e − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6407 sacados/6407 1,21,41,61,822,22,4Nombre en milliers24Cf100plantsTaille enm chapExoCorrec/6892 sacados/6892 chapExoCorrec/4218 sacados/4218 chapExoCorrec/4220 sacados/4220
E.4219 Sea m un número real y f la función definida en R por: f ( x ) = m · sin x pour x ∈ 0 ; ı f ( x ) = 0 sinon 1 Determina el real m tal que f es una densidad de proba-bilidad en R . 2 Sea X una variable aleatoria de la que f es una densidad de probabilidad. Determine en función de x el valor de la probabilidad P ( X x ) . 3 Calcula la probabilidad : P ı 4 X 3 · ı 4 . 4 Calculate the probabilities : P ( X 0) ; P ( X 0) . 8. Derecho uniforme E.4216 Diga si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique la respuesta dada : Si X es una variable aleatoria que sigue la distribución uni-forme en 0 ; 1 , alors P 0 ; 1 X 0 ; 6 =0 ; 6 E.4217 De las cuatro proposiciones pre-sentadas, sólo una es correcta. Dé la respuesta correcta. Se supone que el tiempo de espera en un mostrador de servi-cio, expresado en horas, sigue una distribución uniforme en el intervalo 0 ; 1 La probabilidad de que el tiempo de espera de una persona tomada al azar esté comprendido entre 15 min y 20 min. a 1 3 b 1 5 c 1 12 d 1 4 . E.5466 Todo el personal de un hospital tiene un tiempo de viaje casa-hospital de una hora como máx-imo, y se supone que el tiempo exacto de viaje es una variable aleatoria uniformemente distribuida en 0 ; 1 . Se entrevista al azar a un miembro del personal de este hos-pital. ¾Cuál es la probabilidad de que el entrevistado tenga un tiempo de viaje entre 15 min y 20 min? 9. Introducción a las leyes continuas E.7381 Consideremos el siguiente experimento aleatorio que consiste en lanzar un dardo al azar hacia un blanco. Para fines de modelización, suponemos que en cada lanzamiento, el dardo se clava en el blanco. 1 Consideremos la diana A de plástico, en la que los dar-dos de plástico que alcanzan la diana se clavan en uno de los agujeros representados en la figura con la misma probabilidad. ¾Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en el círculo central de la diana? 2 Consideremos la diana B de corcho, en la que los dardos con punta de acero pueden clavarse en cualquier lugar de la diana con la misma probabilidad. ¾Cuál es la probabilidad de que el tirador clava el dardo en el círculo central de la diana? E.7382 A continuación se muestra la curva rep-resentativa de la función f definida en el intervalo 1 ; 5 por la relación: f ( x ) = 32 (3 x + 1) 2 Consideremos un juego de lanzamiento de dardos basado en la superficie sombreada definida por: el eje x y la curva C f ; las rectas con ecuaciones x =1 y x =5 . Suponiendo que en cada lanzamiento el dardo aleatorio cae en esta zona sombreada, queremos saber la probabilidad de que el dardo caiga en la zona sombreada delimitada por las dos rectas x =3 y x =5 . Para ello se considera la variable aleatoria X que asocia a cada dardo lanzado la abscisa de su punto de recepción en la diana. 1 Utilizando una calculadora, da los valores de las inte-grales siguientes : 5 1 f ( x ) d x ; 5 3 f ( x ) d x 2 Determine la probabilidad : P 3 X 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4219 sacados/4219 chapExoCorrec/4216 sacados/4216 Extrait d'Antilles-Guyanes Septembre 2009 chapExoCorrec/4217 sacados/4217 Extrait d'Antilles-Guyanes Juin 2010 chapExoCorrec/5466 sacados/5466 Extrait de Liban Juin 2004 chapExoCorrec/7381 sacados/7381 CibleACibleB24cm6cm chapExoCorrec/7382 sacados/7382 01234512Cf
10. Ley continua y calculadora E.7383 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 1 40 · x + 1 5 pour x ∈ 0 ; 4 f ( x ) = 0 sinon 1 Justifica que la función f define una distribución de den-sidad en el intervalo 0 ; 4 . Utilizando la calculadora, da el valor de la integral: 4 0 f ( x ) d x . 2 Observemos X la variable aleatoria definida en 0 ; 4 cuya distribución de probabilidad tiene densidad f . Uti- lizando la calculadora, determina las probabilidades : a P ( X 1) b P ( X 2) c P 1 2 X < 3 E.7384 Sea f la función definida en 0 ; 1 por: f ( x )= x + 1 2 Justifica que la función f es una densidad de probabilidad en el intervalo 0 ; 1 . 1 0 f ( x ) d x se determinará utilizando la calculadora. 11. Derecho uniforme E.7395 Diga si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique la respuesta dada : Si X es una variable aleatoria que sigue la distribución uni-forme en 0 ; 1 , alors P 0 ; 1 X 0 ; 6 =0 ; 6 E.7396 De las cuatro propuestas presen-tadas, solo una es correcta. Indique la respuesta exacta. Se supone que el tiempo de espera en una ventanilla de ser-vicio, expresado en minutos, sigue una ley uniforme en el intervalo 0 ; 60 La probabilidad de que el tiempo de espera de una persona elegida al azar esté comprendido entre 15 min y 20 min. a 1 3 b 0 ; 2 c 1 12 d 0 ; 25 E.7397 Todos los días, Guy juega a un juego en línea en una página web con tres amigos. Paul se conecta al sitio web. El tiempo D (en segundos) que se tarda en reunir a los cuatro jugadores es una variable aleatoria que sigue una ley uniforme en el intervalo 20 ; 120 . Determina la probabilidad de que los cuatro jugadores se reú-nan al cabo de 60 segundos. E.7832 De las respuestas siguientes, sólo una es correcta. ¾Cuál es? Justifica tu respuesta. Una variable aleatoria X sigue una distribución uniforme en el intervalo 1 ; 9 entonces : a P 1 < X < 9 = 1 8 b P 5 < X < 9 = 1 2 c P 1 < X < 3 = 3 8 d P 1 < X < 2 = 1 2 12. Derecho uniforme y expectativas E.7837 De las respuestas dadas, sólo una es correcta. ¾Cuál de ellas? Justifica tu respuesta. En una estación de esquí, el tiempo de espera en un telesilla determinado, expresado en minutos, puede modelizarse medi-ante una variable aleatoria X sigue una distribución uniforme en el intervalo 0 ; 5 . a L la expectativa de esta ley X es 2 5 b P X > 2 = 3 5 c P X 2 = 3 5 d P X 5 = 0 13. Curso - Probabilidad E.4267 Sea X una variable aleatoria que sigue una ley exponencial – donde – es un número real estric-tamente positivo. Recordatorios : para todo t 0 , se tiene : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x La función R definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: R ( t )= P ( X >t ) se denomina función de fiabilidad. 1 Demostrar que para todo t 0 , se tiene : R ( t )=e − λ · t https://chingmath.fr chapExoCorrec/7383 sacados/7383 chapExoCorrec/7384 sacados/7384 chapExoCorrec/7395 sacados/7395 Extrait bac S 2009 chapExoCorrec/7396 sacados/7396 Extrait bac S 2010 chapExoCorrec/7397 sacados/7397 chapExoCorrec/7832 sacados/7832 Extrait Centres Etrangers Juin 2017 chapExoCorrec/7837 sacados/7837 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017 chapExoCorrec/4267 sacados/4267
2 Demostrar que la variable X sigue una ley de vida útil sin envejecimiento, es decir, que para todo real s 0 , la probabilidad condicional P X >t ( X >t + s ) no depende del número t 0 . E.4318 Sea X una variable aleatoria que sigue una ley exponencial con parámetro – ( – estrictamente positivo) , es decir, la probabilidad se expresa por: F ( t ) = P X t = P [0 ; t ] = t 0 – · e − λ · x d x Restitución organizada de conocimientos: Requisitos previos: P B ( A )= P ( A ∩ B ) P ( B ) donde A y B son dos sucesos tales que P ( B ) =0 ; P A =1 −P ( A ) donde A es un suceso ; P [ a ; b ] = F ( a ) − F ( b ) donde a y b son números reales positivos tales que a b . Demuestre que, para cualquier número real positivo s , ten-emos : P [ t ; + ∞ [ [ t ; t + s ] = F ( t + s ) − F ( t ) 1 − F ( t ) y que P [ t ; + ∞ [ [ t ; t + s ] es independiente del número real t . E.5507 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial con parámetro – . La expecta-tiva de esta variable aleatoria tiene el valor: E ( X ) = lim x ↦→ + ∞ x − x t · – e λt d t = 1 – E.5508 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial con parámetro – . Para cualquier t real y h positivo, tenemos la igualdad : P ( X t ) X t + h = P ( X h 14. Leyes uniformes y exponenciales E.3206 La vida útil de un robot, ex-presada en años hasta que se produce la primera avería, es una variable aleatoria que sigue una ley exponencial con parámetro – , con –> 0 . Así, la probabilidad de que un robot se averíe antes del in-stante t es igual a: P ( X t ) = t 0 – e − λx dx 1 Determine – , redondeado a 10 − 1 , para que la probabili-dad P ( X > 6) sea igual a 0 ; 3 . Para continuar con el ejercicio, tomaremos – =0 ; 2 2 ¾En qué momento t , redondeado a un mes, la probabil-idad de que un robot se averíe por primera vez es de 0 ; 5 ? 3 Demuestre que la probabilidad de que un robot no haya tenido ninguna avería durante los dos primeros años es e − 0 , 4 . 4 Sabiendo que un robot no ha tenido ninguna avería du-rante los dos primeros años, ¾cuál es, con una precisión de 10 − 2 , la probabilidad de que siga funcionando al cabo de seis años? 5 Consideremos un lote de 10 robots que funcionan de forma independiente. Determine la probabilidad de que, en este lote, haya al menos un robot que no haya tenido averías durante los dos primeros años. E.3181 Parte A Sea X una variable aleatoria continua que sigue una ley ex-ponencial con parámetro – . Recordemos que : P ( X a ) = a 0 – · e − λt d t La curva que se muestra a continuación representa la función de densidad asociada: 1 Interprete en el gráfico la probabilidad P ( X 1) . 2 Indique en el gráfico dónde se lee directamente el parámetro – . Parte B Se establece – =1 ; 5 . 1 Calcular el valor exacto de P ( X 1) y, a continuación, su valor redondeado a 10 − 3 . 2 Calcular P ( X 2) . 3 Deduzca de los cálculos anteriores la siguiente igualdad : P (1 X 2) ≈ 0 ; 173 a 10 − 3 . 4 Calcular la integral: F ( x )= x 0 1 ; 5 · t · e − 1 , 5 t d t . Determinar el límite cuando x tiende a + ∞ de F ( x ) ; De este modo se obtiene la esperanza matemática de la https://chingmath.fr chapExoCorrec/4318 sacados/4318 Extrait d'Asie Juin 2011 chapExoCorrec/5507 sacados/5507 chapExoCorrec/5508 sacados/5508 chapExoCorrec/3206 sacados/3206 Liban Mai 2006 3 points chapExoCorrec/3181 sacados/3181 Antilles-Guyane Juin 2006 4 points 234I2JO
variable X . Parte C Indicación : Las probabilidades se redondearán a 10 − 3 . Una máquina herramienta fabrica cilindros. Se mide la desviación, en décimas de milímetro, entre el diámetro de los cilindros y el valor de ajuste de la máquina. Se supone que esta desviación sigue una ley exponencial con parámetro – =1 ; 5 . Si la desviación es inferior a 1, el cilindro se acepta. Si la desviación está comprendida entre 1 y 2, se procede a una rectificación que permite aceptar el cilindro en 80 % de los casos. Si la desviación es superior a 2, el cilindro se rechaza. 1 Se toma al azar un cilindro de la producción. a Demuestre que la probabilidad de que sea aceptado es igual a 0 ; 916 , redondeada a 10 − 3 . b Sabiendo que es aceptado, ¾cuál es la probabilidad de que haya sido rectificado? 2 Se seleccionan de forma independiente diez cilindros de la producción. Se supone que el número de cilindros es lo suficientemente grande como para asimilar una extrac-ción a una extracción sucesiva con reposición. a ¾Cuál es la probabilidad de que los diez cilindros sean aceptados? b ¾Cuál es la probabilidad de que al menos un cilindro sea rechazado? E.3164 Las partes A y B son inde-pendientes Alain fabrica aparatos electrónicos como aficionado. Para ello, compra en una tienda componentes que parecen idénti-cos, pero algunos de ellos tienen un defecto. Se estima que la probabilidad de que un componente vendido en la tienda sea defectuoso es igual a 0 ; 02 . Parte A Se admite que el número de componentes que se ofrecen en la tienda es lo suficientemente grande como para que la compra de 50 componentes se asimile a 50 extracciones independientes con reposición, y se denomina X al número de componentes defectuosos comprados. Alain compra 50 componentes. 1 ¾Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los componentes comprados sean defectuosos, redondeada a 10 − 1 ? 2 ¾Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los com-ponentes comprados sea defectuoso, redondeada a 10 − 2 ? 3 ¾Cuál es, por lote de 50 componentes comprados, el número medio de componentes defectuosos? Parte B Se supone que la vida útil T 1 (en horas) de cada compo-nente defectuoso sigue una ley exponencial con parámetro – 1 =5 × 10 − 4 y que la vida útil T 2 (en horas) de cada compo-nente no defectuoso sigue una ley exponencial con parámetro – 2 =10 − 4 (se puede consultar el formulario siguiente) . 1 Calcular la probabilidad de que la vida útil de un com-ponente sea superior a 1 000 horas a si este componente es defectuoso ; b si este componente no es defectuoso. Indicación : dar un valor aproximado de estas prob-abilidades con una precisión de 10 − 2 . 2 Sea T la vida útil (en horas) de un componente com-prado al azar. Demuestre que la probabilidad de que este componente siga funcionando después de t horas de funcionamiento es : P ( T t ) = 0 ; 02 · e − 5 × 10 − 4 t + 0 ; 98 · e − 10 − 4 t (recordemos que la probabilidad de que un componente vendido en la tienda sea defectuoso es igual a 0 ; 02 ) 3 Sabiendo que el componente comprado sigue funcionando 1 000 horas después de su instalación, ¾cuál es la probabil-idad de que este componente sea defectuoso, redondeada a 10 − 2 ? Formulario : Ley exponencial (o de vida útil sin envejec-imiento) del parámetro – sobre 0 ; + ∞ Para 0 a b , P [ a ; b ] = b a – · e − λx d x Para c 0 , P [ c ; + ∞ [ =1 − c 0 – · e − λx d x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3164 sacados/3164
E.3162 Este ejercicio consta de dos partes independientes. La parte I es la demostración de un resultado de clase. La parte II es un cuestionario de elección múltiple. Parte I : pregunta de clase Sean A y B dos sucesos independientes. Demuestre que A y B son independientes. Parte II Para cada una de las siguientes preguntas, solo una de las cuatro propuestas es correcta. El candidato indicará en su copia el número de la pregunta y la letra correspondiente a la respuesta elegida. No se requiere justificación. Una respuesta correcta vale 1 punto. Una re-spuesta incorrecta resta 0 ; 5 puntos. La ausencia de respuesta se cuenta como 0 puntos. Si el total de esta parte es negativo, la nota correspondiente a la parte II se reduce a cero. 1 Una urna contiene cinco bolas negras y tres bolas rojas indistinguibles al tacto. (fuera del programa 2012) Se extraen simultáneamente tres bolas de la urna. ¾Cuál es la probabilidad de obtener dos bolas negras y una bola roja? a 75 512 b 13 56 c 15 64 d 15 28 2 Durante una epidemia de gripe, se vacuna a un tercio de la población. Entre los enfermos de gripe, uno de cada diez está vacunado. La probabilidad de que una persona elegida al azar entre la población tenga gripe es 0 ; 25 . .¾Cuál es la probabilidad de que una persona vacunada de esta población contraiga la gripe? a 1 120 b 3 40 c 1 12 d 4 40 3 Un jugador lanza una vez un dado bien equilibrado. Gana 10 e si el dado marca 1. Gana 1 e si el dado marca 2 o 4 . No gana nada en los demás casos. Sea X la variable aleatoria igual a la ganancia del jugador. ¾Cuál es la varianza de X ? a 2 b 13 c 16 d 17 4 El tiempo de espera T , en minutos, en un peaje de au-topista antes de pasar por caja es una variable aleatoria que sigue una ley exponencial con parámetro – = 1 6 . Por lo tanto, para todo real t> 0 : P ( T <t ) = t 0 – · e − λx dx (con – = 1 6 ) donde t designa el tiempo expresado en minutos. Sabiendo que un automovilista ya ha esperado 2 minutos, ¾cuál es la probabilidad (redondeada a 10 − 4 ) de que su tiempo total sea inferior a 5 minutos? a 0 ; 2819 b 0 ; 3935 c 0 ; 5654 d 0 ; 6065 15. Ejercicios no clasificados E.8136 Se estudian algunas características de un supermercado de una pequeña ciudad. Parte A - Demostración preliminar Sea X una variable aleatoria que sigue la ley exponencial con parámetro 0 ; 2 . Recordemos que la esperanza de la variable aleatoria X , de-notada por E ( X ) , es igual a: lim x ↦→ + ∞ x 0 0 ; 2 · t · e − 0 , 2 · t d t El objetivo de esta parte es demostrar que E X =5 . 1 Denotemos por g la función definida en el intervalo 0;+ ∞ por: g ( t )=0 ; 2 · t · e − 0 , 2 · t . Definimos la función G en el intervalo 0 ; + ∞ por: G ( t )= − t − 5 · e − 0 , 2 · t Verifique que G es una primitiva de g en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Deduzca que el valor exacto de E X es 5 . Indicación : se puede utilizar, sin demostrarlo, el sigu-iente resultado : lim x ↦→ + ∞ x · e − 0 , 2 · x = 0 Parte C - Tiempo de espera para el pago Este supermercado ofrece al cliente la posibilidad de utilizar los terminales de pago automáticos o de pasar por una caja gestionada por un operador. 1 El tiempo de espera en un terminal automático, expre- sado en minutos, se modela mediante una variable aleato-ria que sigue la ley exponencial del parámetro 0 ; 2 min − 1 . a Indique el tiempo medio de espera de un cliente en una máquina expendedora automática b Calcule la probabilidad, redondeada a 10 − 3 , de que el tiempo de espera de un cliente en una máquina ex-pendedora automática sea superior a 10 minutos. 2 El estudio encargado por el gerente da lugar al siguiente modelo : entre los clientes que han optado por pasar por una máquina expendedora, 86 % esperan menos de 10 min-utos ; entre los clientes que pasan por caja, 63 % esperan menos de 10 minutos. Se elige al azar a un cliente de la tienda y se definen los siguientes eventos : B : ˇ el cliente paga en una terminal automática ı ; B : ˇ el cliente paga en una caja con operador ı ; S : ˇ el tiempo de espera del cliente durante el pago es inferior a 10 minutos ı Una espera superior a diez minutos en una caja con operador o en una máquina expendedora automática genera una per-cepción negativa de la tienda por parte del cliente. El gerente desea que más del 75 % de los clientes esperen menos de 10 minutos. ¾Cuál es la proporción mínima de clientes que deben elegir https://chingmath.fr chapExoCorrec/3162 sacados/3162 sacados/8136
una terminal de pago automático para que se alcance este objetivo? Parte D - Cupones de compra Al realizar el pago, se distribuyen tarjetas rasca y gana, ganadoras o perdedoras, a los clientes. El número de tar-jetas distribuidas depende del importe de las compras. Cada cliente tiene derecho a una tarjeta rasca y gana por cada tramo de 10 e de compras. Por ejemplo, si el importe de las compras es 58 ; 64 e , , el cliente obtiene 5 tarjetas ; si el importe es 124 ; 31 e , , el cliente obtiene 12 tarjetas. Las tarjetas ganadoras representan 0 ; 5 % del stock total de tarjetas. Además, este stock es lo suficientemente grande como para asimilar la distribución de una tarjeta a un sor-teo con devolución. 1 Un cliente realiza compras por un importe de 158 ; 02 e . ¾Cuál es la probabilidad, redondeada a 10 − 2 , de que obtenga al menos una tarjeta ganadora? 2 A partir de qué importe de compra, redondeado a 10 e , , la probabilidad de obtener al menos una tarjeta ganadora es superior a 50 % ? E.6247 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial con parámetro – . Demostrar que, para cualquier real positivo t , tenemos la igualdad : P ( X t ) X t + h = P X h E.6089 Parte A La vida útil, expresada en años, de un motor para automati-zar una cancela fabricado por una empresa A es una variable aleatoria X que sigue una ley exponencial de parámetro 0 ; 081 . 1 Determinar : P X 3 2 El motor lleva ya 3 años funcionando. Cuál es la proba-bilidad de que funcione durante otros 2 años? Parte B La empresa B fabrica sensores de presencia para accionar au-tomáticamente la apertura y cierre de puertas. La vida útil de estos sensores, expresada en años, es una variable aleatoria Y que sigue una ley exponencial con parámetro – , donde – es un real estrictamente positivo. 3 Sabemos que : P Y 2 =0 ; 7 Determina el valor exacto del real – . E.4261 La vida útil, expresada en años, de un aparato se modela mediante una variable aleatoria X que sigue la ley exponencial con parámetro – =0 ; 07 en 0 ; + ∞ . Recordemos que para cualquier t> 0 , la probabilidad del suceso X t viene dada por: P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – =0 ; 07 1 Determine la probabilidad de que el dispositivo tenga una vida útil superior a 10 años. 2 Sabiendo que el aparato ha funcionado 10 años, deter-mine la probabilidad de que funcione durante otros 10 años. E.4270 El tiempo de espera T , en minu-tos, en el peaje de una autopista antes de pasar por caja es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial con parámetro – = 1 6 . Así, para cualquier realt> 0 (denotando el tiempo expresado en minutos) : P ( T <t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – = 1 6 Sabiendo que un automovilista ya ha esperado 2 minutos, de-termina la probabilidad, redondeada al 10 − 4 más próximo, de que su tiempo total sea inferior a 5 minutos. E.4250 Consideremos una variable X que sigue una distribución exponencial de parámetro – con –> 0 . Así, para cualquier real positivo t , viene dada la probabilidad de que la variable X sea menor que t : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · t d t Determina – sabiendo que : P ( X > 5)=0 ; 4 E.4265 Se estudia la vida útil de los componentes electrónicos. Esta vida útil se modela mediante una variable aleatoria X que sigue una ley exponencial con parámetro – , siendo – un real estrictamente positivo. Given P ( X > 5)=0 ; 325 , determine – . E.4271 El laboratorio de física de un in-stituto dispone de un conjunto de osciloscopios idénticos. La vida útil en años de un osciloscopio es una variable aleatoria denominada X que sigue la ley ˇ ley de vida útil sin envejec-imiento ı (o ley exponencial) con parámetro 0 ; 125 . Todas las probabilidades se darán con una precisión de 10 − 3 . 1 Se considera que la vida útil de un osciloscopio es inde-pendiente de la de los demás aparatos. El responsable del laboratorio decide encargar 15 osciloscopios. ¾Cuál es la probabilidad de que al menos un osciloscopio tenga una vida útil superior a 10 años? 2 ¾Cuántos osciloscopios debería comprar el establec-imiento para que la probabilidad de que al menos uno de ellos funcione más de 10 años sea superior a 0 ; 999 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6247 sacados/6247 chapExoCorrec/6089 sacados/6089 chapExoCorrec/4261 sacados/4261 chapExoCorrec/4270 sacados/4270 chapExoCorrec/4250 sacados/4250 Extrait d'Amerique du Nord Juin 2011 chapExoCorrec/4265 sacados/4265 chapExoCorrec/4271 sacados/4271