a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2 - Exp.
/ Anales sobre aritmética
5 ejercicios (100% corregidos)
a
1.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.3597
El
ob
jetiv
o
del
ejercicio
es
demostrar
que
existe
un
n
úmero
natural
n
cuy
a
repre-
sen
tación
decimal
del
cub
o
termina
en
2009
,
es
decir,
tal
que
n
3
≡
2009
(
mo
d.
10
000)
.
P
arte
A
1
Determinar
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
2
009
2
p
or
16
.
2
Deducir
que
:
2
009
8
001
≡
2
009
(
mo
d.
16)
P
arte
B
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
en
N
p
or
u
0
=
2
009
2
−
1
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
u
n
+1
5
−
1
.
1
a
Dem
uestre
que
u
0
es
divisible
p
or
5
.
b
Dem
uestre,
utilizando
la
fórm
ula
del
binomio
de
New-
ton,
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
u
n
·
u
4
n
+
5
·
u
3
n
+
2
·
u
2
n
+
2
·
u
n
+
1
c
Demostrar
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
nat-
ural
n
,
u
n
es
divisible
p
or
5
n
+1
.
2
a
V
erificar
que
u
3
=
2
009
250
−
1
y
deducir
que
2
009
250
≡
1
(
mo
d.
625)
.
b
Dem
uestre
en
tonces
que
:
2
009
8
001
≡
2
009
(
mo
d.
625)
P
arte
C
1
Utilizando
el
teorema
de
Gauss
y
los
resultados
estable-
cidos
en
las
pregun
tas
an
teriores,
dem
uestre
que
:
2
009
8
001
−
2
009
es
divisible
p
or
10
000
.
2
Concluir,
es
decir,
determinar
un
n
úmero
natural
cuy
a
escritura
decimal
del
cub
o
termine
en
2
009
.
E.3631
Las
tres
partes
I
,
I
I
,
I
I
I
pueden
tratarse
indep
endien
temen
te
unas
de
otras.
P
arte
I
Soit
:
E
=
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
;
10
.
Determinar
los
pares
a
;
b
de
en
teros
distin
tos
de
E
tales
que
el
resto
de
la
división
euclídea
de
ab
p
or
11
sea
1
.
P
arte
I
I
Sea
n
un
n
úmero
natural
ma
y
or
o
igual
que
3
.
1
¾Es
par
el
n
úmero
en
tero
(
n
−
1)!
?
2
¾Es
el
en
tero
(
n
−
1)!+1
divisible
p
or
un
n
úmero
natural
par?
3
Dem
uestra
que
el
en
tero
(15
−
1)!+1
no
es
divisible
p
or
15
.
4
¾Es
el
en
tero
(11
−
1)!+1
divisible
p
or
11
?
P
arte
I
I
I
Sea
p
un
n
úmero
natural
no
primo
(
p
2
)
.
1
Probar
que
p
admite
un
divisor
q
(
1
<
q
<
p
)
que
divide
(
p
−
1)!
2
¾Divide
el
en
tero
q
al
en
tero
(
p
−
1)!+1
?
3
¾Divide
el
en
tero
p
el
en
tero
(
p
−
1)!+1
?
E.3208
P
ara
cada
una
de
las
cinco
prop
osi-
ciones
siguien
tes,
indique
si
es
v
erdadera
o
falsa
y
dem
uestre
la
respuesta
elegida.
Una
respuesta
sin
demostrar
no
obtiene
ningún
pun
to
:
Prop
osición
1
:
ˇpara
to
do
n
úmero
natural
n
,
3
divide
el
n
úmero
en
tero
2
2
n
−
1
ı.
Propuesta
2
:
ˇsi
un
n
úmero
en
tero
relativ
o
x
es
solución
de
la
ecuación
x
2
+
x
≡
0
(
mo
d.
6)
,
en
tonces
x
≡
0
(
mo
d.
3)
ı.
Prop
osición
3
:
ˇEl
conjun
to
de
pares
de
n
úmeros
en
teros
relativ
os
(
x
;
y
)
que
son
soluciones
de
la
ecuación
12
x
−
5
y
=
3
es
el
conjun
to
de
pares
:
(
4+10
k
;
9+24
k
)
donde
k
∈
Z
ı.
Propuesta
4
:
ˇExiste
un
único
par
(
a
;
b
)
de
n
úmeros
en-
teros
naturales,
tal
que
:
a
<
b
;
P
P
C
M
(
a;b
)
−
P
GC
D
(
a;b
)
=
1
ˇı.
Dos
n
úmeros
naturales
M
y
N
son
tales
que
M
se
escrib
e
abc
en
base
diez
y
N
se
escrib
e
bca
en
base
diez.
Prop
osición
5
:
ˇSi
el
n
úmero
en
tero
M
es
divisible
p
or
27,
en
tonces
el
n
úmero
en
tero
M
−
N
tam
bién
es
divisible
p
or
27ı.
E.3321
1
Consideremos
el
conjun
to
:
A
7
=
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
a
P
ara
cada
elemen
to
a
de
A
7
,
escriba
en
la
tabla
sigu-
ien
te
el
único
elemen
to
y
de
A
7
tal
que
:
a
·
y
≡
1
(
mo
d.
7)
.
a
1
2
3
4
5
6
y
6
b
P
ara
x
en
tero
relativ
o,
dem
uestre
que
la
ecuación
3
·
x
≡
5
(
mo
d.
7)
es
equiv
alen
te
a
x
≡
4
(
mo
d.
7)
.
c
Si
a
es
un
elemen
to
de
A
7
,
dem
uestre
que
los
únicos
en
teros
relativ
os
x
que
son
soluciones
de
la
ecuación
a
·
x
≡
0
(
mo
d.
7)
son
los
m
últiplos
de
7
.
2
En
to
da
esta
pregun
ta,
p
es
un
en
tero
primo
ma
y
or
o
igual
que
3
.
Consideramos
el
conjun
to
A
p
=
1
;
2
;
:::
;
p
−
1
de
los
en
teros
naturales
distin
tos
de
cero
y
estricta-
men
te
menores
que
p
.
Sea
a
un
elemen
to
de
A
p
.
a
V
erifique
que
a
p
−
2
es
una
solución
de
la
ecuación
:
a
·
x
≡
1
(
mo
d.
p
)
.
b
Denotemos
p
or
r
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
a
p
−
2
p
or
p
.
Dem
uestre
que
r
es
la
única
solución
x
en
A
p
,
de
la
ecuación
a
·
x
≡
1
(
mo
d.
p
)
.
c
Sean
x
y
y
dos
n
úmeros
en
teros
relativ
os.
Dem
uestre
que
x
·
y
≡
0
(
mo
d.
p
)
si,
y
solo
si,
x
es
un
m
últiplo
de
p
o
y
es
un
m
últiplo
de
p
.
d
Aplicación
:
p
=
31
.
Resuelv
e
en
A
31
las
ecuaciones
:
2
x
≡
1
(
mo
d.
31)
;
3
x
≡
1
(
mo
d.
31)
Utilizando
los
resultados
an
teriores,
resuelv
e
en
Z
la
ecuación
:
6
x
2
−
5
x
+1
≡
0
(
mo
d.
31)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3597
sacados/3597
Liban Juin 2009
chapExoCorrec/3631
sacados/3631
chapExoCorrec/3208
sacados/3208
chapExoCorrec/3321
sacados/3321
E.3626
1
En
esta
pregun
ta,
se
prop
one
determinar
to
dos
los
n
úmeros
en
teros
relativ
os
N
tales
que
:
N
≡
5
(
mo
d.
13)
N
≡
1
(
mo
d.
17)
a
V
erificar
que
239
es
la
solución
de
este
sistema.
b
Sea
N
un
n
úmero
en
tero
relativ
o
solución
de
este
sis-
tema.
Dem
uestre
que
N
se
puede
escribir
en
la
forma
:
N
=
1
+
17
·
x
=
5
+
13
·
y
donde
x
y
y
son
dos
n
úmeros
en
teros
relativ
os
que
v
er-
ifican
la
relación
17
x
−
13
y
=
4
.
c
Resuelv
e
la
ecuación
17
·
x
−
13
·
y
=
4
donde
x
y
y
son
n
úmeros
en
teros
relativ
os.
d
Deduzca
que
existe
un
n
úmero
en
tero
relativ
o
k
tal
que
:
N
=
18
+
221
·
k
.
e
Dem
uestre
la
equiv
alencia
en
tre
:
N
≡
18
(
mo
d.
221)
et
N
≡
5
(
mo
d.
13)
N
≡
1
(
mo
d.
17)
2
En
esta
pregun
ta,
se
tendrá
en
cuen
ta
en
la
ev
aluación
cualquier
indicio
de
in
v
estigación,
aunque
sea
incompleta,
o
de
iniciativ
a,
aunque
sea
infructuosa.
a
¾Existe
un
n
úmero
natural
k
distin
to
de
cero
tal
que
:
10
k
≡
1
(
mo
d.
17)
?
b
¾Existe
un
n
úmero
natural
‘
tal
que
:
10
≡
18
(
mo
d.
221)
?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3626
sacados/3626
Asie Juin 2009
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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