a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2 - Exp.
/ Anales sobre la congruencia
10 ejercicios (100% corregidos)
a
1.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.3142
Recordatorio
:
P
ara
dos
n
úmeros
en
teros
relativ
os
a
y
b
,
se
dice
que
a
es
con-
gruen
te
con
b
mó
dulo
7
,
y
se
escrib
e
a
≡
b
(
mo
d.
7)
cuando
existe
un
en
tero
relativ
o
k
tal
que
a
=
b
+7
k
.
1
Esta
pregun
ta
constituy
e
una
restitución
organizada
de
cono
cimien
tos
:
a
Sean
a
,
b
,
c
y
d
n
úmeros
en
teros
relativ
os.
Dem
uestre
que
:
Si
a
≡
b
(
mo
d.
7)
y
c
≡
d
(
mo
d.
7)
en
tonces
a
·
c
≡
b
·
d
(
mo
d.
7)
.
b
De
ello
se
deduce
que
:
para
a
y
b
en
teros
relativ
os
dis-
tin
tos
de
cero.
Si
a
≡
b
(
mo
d.
7)
en
tonces
para
to
do
en
tero
natural
n
:
a
n
≡
b
n
(
mo
d.
7)
.
2
P
ara
a
=
2
y
luego
para
a
=
3
,
determinar
un
n
úmero
nat-
ural
n
distin
to
de
cero
tal
que
:
a
n
≡
1
(
mo
d.
7)
.
3
Sea
a
un
n
úmero
natural
no
divisible
p
or
7
.
a
Dem
uestre
que
:
a
6
≡
1
(
mo
d.
7)
.
b
Se
denomina
orden
de
a
(
mo
d.
7)
,
y
se
designa
p
or
k
,
el
menor
en
tero
natural
distin
to
de
cero
tal
que
a
k
≡
1
(
mo
d.
7)
.
Demostrar
que
el
resto
r
de
la
di-
visión
euclidiana
de
6
p
or
k
v
erifica
a
r
≡
1
(
mo
d.
7)
.
Deduzca
que
k
divide
6.
¾Cuáles
son
los
v
alores
p
osibles
de
k
?
c
Indique
el
orden
mó
dulo
7
de
to
dos
los
n
úmeros
en
teros
a
comprendidos
en
tre
2
y
6.
4
A
cada
n
úmero
natural
n
se
le
aso
cia
el
n
úmero
:
A
n
=
2
n
+
3
n
+
4
n
+
5
n
+
6
n
.
Dem
uestra
que
:
A
2006
≡
6
(
mo
d.
7)
E.3187
Dado
un
n
úmero
natural
n
2
,
se
prop
one
estudiar
la
existencia
de
tres
n
úmeros
naturales
x
,
y
y
z
tales
que
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≡
2
n
−
1
(
mo
d.
2
n
)
P
arte
A
:
Estudio
de
dos
casos
particulares
:
1
En
esta
pregun
ta,
se
sup
one
que
n
=
2
.
Dem
uestre
que
1
,
3
y
5
satisfacen
la
pregun
ta
an
terior.
2
En
esta
pregun
ta,
se
sup
one
que
n
=
3
.
a
Sea
m
un
n
úmero
natural.
Repro
duzca
y
complete
la
tabla
siguien
te
que
m
uestra
el
resto
r
de
la
división
euclidiana
de
m
p
or
8
y
el
resto
R
de
la
división
eu-
clidiana
de
m
2
p
or
8.
r
0
1
2
3
4
5
6
7
R
b
¾Se
pueden
encon
trar
tres
n
úmeros
naturales
x
,
y
y
z
tales
que
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≡
7
(
mo
d.
8)
?
P
arte
B
:
Estudio
del
caso
general
en
el
que
n
3
:
Sup
ongamos
que
ha
y
tres
n
úmeros
naturales
x
,
y
y
z
tales
que
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≡
2
n
−
1
(
mo
d.
2
n
)
1
Justifica
que
los
tres
n
úmeros
naturales
x
,
y
et
z
son
t
son
to
dos
impares
o
que
dos
de
ellos
son
pares.
2
Se
sup
one
que
x
y
y
son
pares
y
que
z
est
impar.
Plan
teamos
en
tonces
:
x
=
2
q
;
y
=
2
r
;
z
=
2
s
+
1
donde
q
,
r
,
s
son
t
n
úmeros
naturales.
a
Dem
uestra
que
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≡
1
(
mo
d.
4)
.
b
Deduce
una
con
tradicción.
3
Asume
x
,
y
,
z
son
t
impar.
a
Probar
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
k
non
cero,
k
2
+
k
est
divisible
p
or
2
.
b
Determina
que
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≡
3
(
mo
d.
8)
.
c
Concluy
e.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3142
sacados/3142
chapExoCorrec/3187
sacados/3187
E.3240
P
arte
A
Sea
N
un
n
úmero
natural,
impar
no
primo.
Sup
ongamos
N
=
a
2
−
b
2
donde
a
y
b
son
dos
n
úmeros
natu-
rales.
1
Dem
uestre
que
a
y
b
no
tienen
la
misma
paridad.
2
Dem
uestre
que
N
puede
escribirse
como
el
pro
ducto
de
dos
n
úmeros
naturales
p
y
q
.
3
¾Cuál
es
la
paridad
de
p
y
q
?
P
arte
B
Sup
ongamos
que
250
507
no
es
primo.
Prop
onemos
buscar
pares
de
n
úmeros
naturales
(
a
;
b
)
que
v
er-
ifiquen
la
relación
:
(
E
)
:
a
2
−
250
507
=
b
2
1
Sea
X
un
n
úmero
natural.
a
Dar
en
una
tabla,
los
p
osibles
restos
de
X
mó
dulo
9
;
luego
los
de
X
2
mó
dulo
9
.
b
Sabiendo
que
a
2
−
250
507
=
b
2
,
determinar
los
p
osibles
restos
mó
dulo
9
de
a
2
−
250
507
;
deducir
los
p
osibles
restos
mó
dulo
9
de
a
2
.
c
Dem
uestre
que
los
p
osibles
residuos
mó
dulo
9
de
a
son
1
y
8
.
2
Justifique
que
si
el
par
(
a
;
b
)
v
erifica
la
relación
(
E
)
,
en-
tonces
a
501
.
Dem
uestre
que
no
ha
y
solución
del
tip
o
(
501
;
b
)
.
3
Sup
onga
que
el
par
(
a
;
b
)
v
erifica
la
relación
(
E
)
.
a
Demostrar
que
a
es
congruen
te
con
503
o
con
505
mó-
dulo
9
.
b
Determinar
el
menor
en
tero
natural
k
tal
que
el
par
(
505+9
k
;
b
)
sea
solución
de
(
E
)
,
y
luego
dar
el
par
solución
corresp
ondien
te.
P
arte
C
1
A
partir
de
las
partes
an
teriores,
deduzca
una
escritura
de
250
507
en
un
pro
ducto
de
dos
factores.
2
¾Son
primos
en
tre
sí
los
dos
factores?
3
¾Es
única
esta
escritura?
E.3319
1
a
Determina
según
los
v
alores
del
n
úmero
natural
dis-
tin
to
de
cero
n
el
resto
en
la
división
euclídea
p
or
9
de
7
n
.
b
Dem
uestre
en
tonces
que
:
2005
2005
≡
7
(
mo
d.
9)
.
2
a
Dem
uestra
que
para
cualquier
n
úmero
natural
dis-
tin
to
de
cero
n
:
10
n
≡
1
(
mo
d.
9)
.
b
Denotamos
p
or
N
un
n
úmero
natural
escrito
en
base
diez,
llamamos
S
a
la
suma
de
sus
dígitos.
Dem
uestra
la
siguien
te
relación
:
N
≡
S
(
mo
d.
9)
.
c
Deduce
que
N
es
divisible
p
or
9
si,
y
sólo
si,
S
es
divisible
p
or
9
.
3
Sup
ongamos
que
A
=
2005
2005
;
denótese
p
or
:
B
la
suma
de
los
dígitos
de
A
;
C
la
suma
de
los
dígitos
de
B
;
D
la
suma
de
los
dígitos
de
C
.
a
Dem
uestra
la
siguien
te
relación
:
A
≡
D
(
mo
d.
9)
.
b
Sabiendo
que
2005
<
10000
,
dem
uestre
que
A
se
escrib
e
en
n
umeración
decimal
de
8020
dígitos
como
máximo.
Deduce
que
:
B
72180
.
c
Dem
uestra
que
:
C
45
.
d
Estudiando
la
lista
de
en
teros
menores
que
45,
deter-
mina
un
ma
y
oran
te
de
D
menor
que
15.
e
Dem
uestra
que
:
D
=
7
.
E.3554
A
lo
largo
del
ejercicio,
n
denota
un
n
úmero
natural
distin
to
de
cero.
1
a
P
ara
1
n
6
,
calcula
los
restos
de
la
división
eu-
clídea
de
3
n
p
or
7
.
b
Dem
uestra
que,
para
cualquier
n
,
3
n
+6
−
3
n
es
divisible
p
or
7
.
Deduce
que
3
n
y
3
n
+6
tienen
el
mismo
resto
en
la
di-
visión
p
or
7.
c
Utilizando
los
resultados
an
teriores,
calcula
el
resto
de
la
división
euclídea
de
3
1
000
en
tre
7
.
d
En
general,
¾cómo
p
o
demos
calcular
el
resto
de
la
di-
visión
euclídea
de
3
n
p
or
7
,
para
cualquier
n
?
e
Deduce
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
3
n
es
primo
con
7
.
2
Sea
U
n
=
1+3+3
2
+
···
+3
n
−
1
=
n
−
1
i
=0
3
i
,
donde
n
es
un
n
úmero
natural
ma
y
or
o
igual
que
2.
a
Dem
uestra
que
si
U
n
es
divisible
p
or
7
en
tonces
3
n
−
1
es
divisible
p
or
7.
b
A
la
in
v
ersa,
dem
uestre
que
si
3
n
−
1
es
divisible
p
or
7
en
tonces
U
n
es
divisible
p
or
7
.
Deduce
los
v
alores
de
n
tales
que
U
n
es
divisible
p
or
7
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3240
sacados/3240
chapExoCorrec/3319
sacados/3319
Antilles-Guyane Juin 2005 5 points
chapExoCorrec/3554
sacados/3554
E.3572
Prop
onemos
determinar
los
pares
(
n
;
m
)
de
n
úmeros
naturales
distin
tos
de
cero
que
v
erifican
la
relación
:
7
n
−
3
×
2
m
=
1
(
F
)
1
Sup
ongamos
m
4
.
Dem
uestre
que
ha
y
exactamen
te
dos
pares
de
soluciones.
2
Se
sup
one
ahora
que
m
5
.
a
Dem
uestre
que
si
el
par
(
n
;
m
)
v
erifica
la
relación
(
F
)
en
tonces
:
7
n
≡
1
(
mo
d.
32)
.
b
Estudiando
los
restos
de
la
división
p
or
32
de
p
otencias
de
7,
dem
uestre
que
si
el
par
(
n
;
m
)
v
erifica
la
relación
(
F
)
en
tonces
n
es
divisible
p
or
4
.
c
Deduce
que
si
el
par
(
n
;
m
)
v
erifica
la
relación
(
F
)
en-
tonces
:
7
n
≡
1
(
mo
d.
5)
d
P
ara
m
5
,
¾existen
pares
(
n
;
m
)
de
n
úmeros
naturales
que
v
erifiquen
la
relación
(
F
)
?
3
Concluy
a,
es
decir,
determine
el
conjun
to
de
pares
de
n
úmeros
en
teros
naturales
distin
tos
de
cero
que
v
erifican
la
relación
(
F
)
.
E.3629
Se
denomina
(
E
)
al
conjun
to
de
n
úmeros
naturales
que
pueden
escribirse
en
la
forma
9+
a
2
donde
a
es
un
n
úmero
natural
distin
to
de
cero
;
p
or
ejemplo
:
10
=
9
+
1
2
;
13
=
9
+
2
2
;
.
.
.
En
este
ejercicio
se
prop
one
estudiar
la
existencia
de
elemen-
tos
de
(
E
)
que
son
p
otencias
de
2
,
3
o
5
.
1
Estudio
de
la
ecuación
de
incógnita
a
:
a
2
+
9
=
2
n
donde
a
∈
N
,
n
∈
N
,
n
4
.
a
Dem
uestre
que
si
a
existe,
a
es
impar.
b
Razonando
mó
dulo
4
,
demostrar
que
la
ecuación
prop-
uesta
no
tiene
solución.
2
Estudio
de
la
ecuación
de
incógnita
a
:
a
2
+
9
=
3
n
donde
a
∈
N
,
n
∈
N
,
n
3
.
a
Demostrar
que
si
n
3
,
3
n
es
congruen
te
con
1
o
con
3
mó
dulo
4
.
b
Demostrar
que
si
a
existe,
es
par
y
deducir
que
nece-
sariamen
te
n
es
par.
c
Se
establece
n
=
2
p
donde
p
es
un
n
úmero
natural,
p
2
.
Deduzca
de
una
factorización
de
3
n
−
a
2
,
que
la
ecuación
propuesta
no
tiene
solución.
3
Estudio
de
la
ecuación
descono
cida
a
:
a
2
+
9
=
5
n
donde
a
∈
N
,
n
∈
N
,
n
2
.
a
Razonando
mó
dulo
3
,
dem
uestre
que
la
ecuación
no
tiene
solución
si
n
es
impar.
b
Se
establece
n
=
2
p
,
inspirándonos
en
2
c
de-
mostrar
que
existe
un
único
n
úmero
natural
a
tal
que
a
2
+9
es
una
p
otencia
en
tera
de
5
.
E.5863
P
arte
A
Consideremos
la
función
f
resultan
te
de
un
algoritmo
cuy
os
argumen
tos
toman
v
alores
en
teros
naturales
distin
tos
de
cero
:
Función
f(a;b)
c
←
0
Mientras
a
>
b
c
←
c+1
a
←
a
−
b
Fin
Mientras
Devolver
(c;a)
1
Indicar
los
v
alores
de
las
v
ariables
tomadas
sucesiv
a-
men
te
duran
te
la
llamada
a
la
función
f
con
los
v
alores
a
=
13
y
b
=
4
.
2
Cómo
in
terpretar,
en
función
de
los
v
alores
a
et
b
pro-
p
orcionados
como
argumen
to,
el
v
alor
del
par
devuelto
p
or
la
función
f
duran
te
una
llamada.
P
arte
B
A
cada
letra
del
alfab
eto
se
le
asigna,
según
la
tabla
siguien
te,
un
n
úmero
en
tero
comprendido
en
tre
0
y
25
.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Se
define
un
pro
ceso
de
co
dificación
de
la
siguien
te
manera
:
P
aso
1
:
A
la
letra
que
se
desea
co
dificar
se
le
asigna
el
n
úmero
en
tero
m
corresp
ondien
te
en
la
tabla.
P
aso
2
:
Se
calcula
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
9
m
+
5
p
or
26
y
se
anota
como
p
.
P
aso
3
:
Al
n
úmero
en
tero
p
,
aso
ciamos
la
letra
corresp
on-
dien
te
en
el
tableau
1
Co
der
la
letra
U
.
2
Mo
difier
la
función
f
del
algoritmo
de
la
parte
A
para
que
a
un
v
alor
de
m
in
tro
ducido
p
or
el
usuario,
devuelv
a
el
v
alor
de
p
,
calculado
median
te
el
pro
ceso
de
co
dificación
an
terior.
P
arte
C
1
Encuen
tra
un
n
úmero
en
tero
x
tal
que
:
9
x
≡
1
(
mo
d.
26)
.
2
Démon
trer
en
tonces
la
equiv
alencia
:
9
m
+5
≡
p
(
mo
d.
26)
⇐
⇒
m
≡
3
p
−
15
(
mo
d.
26)
3
Déco
der
en
tonces
la
letra
B
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3572
sacados/3572
chapExoCorrec/3629
sacados/3629
Asie Juin 2004
chapExoCorrec/5863
sacados/5863
E.5960
1
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
2
3
n
−
1
es
un
m
últiplo
de
7
(se
pue
de
utilizar
un
r
azonamiento
p
or
r
e
curr
encia)
.
Deduzca
que
2
3
n
+1
−
2
es
un
m
últiplo
de
7
y
que
2
3
n
+2
−
4
es
un
m
últiplo
de
7
.
2
Determine
los
restos
de
la
división
p
or
7
de
las
p
otencias
de
2
.
3
Siendo
el
n
úmero
p
un
n
úmero
natural,
consideramos
el
n
úmero
en
tero
:
Q
p
=
2
p
+
2
2
p
+
2
3
p
a
Si
p
=
3
n
,
¾cuál
es
el
resto
de
la
división
de
A
p
p
or
7
?
b
Dem
uestre
que
si
p
=
3
n
+1
,
en
tonces
A
p
es
divisible
p
or
7
.
c
Estudiar
el
caso
en
el
que
p
=
3
n
+2
4
Consideramos
los
n
úmeros
en
teros
a
y
b
escritos
en
el
sistema
binario
:
a
=
1
001
001
000
;
b
=
1
000
100
010
000
Comprueba
que
estos
dos
n
úmeros
son
n
úmeros
de
la
forma
A
p
.
¾Son
divisibles
p
or
7
?
E.6795
Las
partes
A
y
B
pueden
tratarse
de
forma
indep
endien
te.
P
arte
A
P
ara
cifrar
un
mensa
je,
se
utiliza
un
cifrado
afín.
Cada
letra
del
alfab
eto
se
aso
cia
a
un
n
úmero
en
tero,
tal
y
como
se
indica
en
la
tabla
siguien
te
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
Sea
x
el
n
úmero
en
tero
aso
ciado
a
la
letra
que
se
v
a
a
co
d-
ificar.
Se
determina
el
resto
y
de
la
división
euclidiana
de
7
x
+5
p
or
26
,
y
luego
se
deduce
la
letra
aso
ciada
a
y
(que
es
la
que
c
o
dific
a
la
letr
a
original)
.
Ejemplo
:
M
corresp
ondien
te
a
x
=
12
7
×
12
+
5
=
89
O
89
≡
11
(
mo
d.
26)
y
11
corresp
ondien
tes
a
la
letra
L
,
p
or
lo
que
la
letra
M
se
co
difica
con
la
letra
L
.
1
Co
dificar
la
letra
L
.
2
a
Sea
k
un
n
úmero
en
tero
relativ
o.
Demostrar
que
si
k
≡
7
x
(
mo
d.
26)
,
en
tonces
15
·
k
≡
x
(
mo
d.
26)
.
b
Demostrar
la
recípro
ca
de
la
implicación
an
terior.
c
Deduzca
que
y
≡
7
x
+5
(
mo
d.
26)
equiv
ale
a
x
≡
15
·
y
+
3
(
mo
d.
26)
.
3
Con
a
yuda
de
la
pregun
ta
an
terior,
descifre
la
letra
E
.
P
arte
B
Consideremos
las
sucesiones
a
n
y
b
n
tales
que
a
0
y
b
0
son
n
úmeros
en
teros
comprendidos
en
tre
0
y
25
inclusiv
e
y
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
a
n
+1
=
7
·
a
n
+
5
b
n
+1
=
15
·
b
n
+
3
Demostrar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
a
n
=
a
0
+
5
6
×
7
n
−
5
6
Se
admite
para
el
resto
del
problema
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
b
n
=
b
0
+
3
14
×
15
n
−
3
14
P
arte
C
Descifrar
un
mensa
je
co
dificado
con
un
cifrado
afín
no
pre-
sen
ta
ninguna
dificultad
(se
pue
den
pr
ob
ar
los
312
p
ar
es
de
c
o
eficientes
p
osibles)
.
P
ara
aumen
tar
la
dificultad
del
de-
scifrado,
se
prop
one
utilizar
una
cla
v
e
que
indique
para
cada
letra
el
n
úmero
de
v
eces
que
se
le
aplica
el
cifrado
afín
de
la
parte
A
.
P
or
ejemplo,
para
co
dificar
la
palabra
MA
TH
con
la
cla
v
e
2
−
2
−
5
−
6
,
se
aplica
ˇ2ı
v
eces
el
cifrado
afín
a
la
letra
M
(lo
que
da
E
)
,
ˇ2ı
v
eces
el
cifrado
de
la
letra
A
,
ˇ5ı
v
eces
el
cifrado
a
la
letra
T
y
,
p
or
último,
ˇ6ı
v
eces
el
cifrado
a
la
letra
H
.
En
esta
parte,
utilizaremos
la
cla
v
e
2
−
2
−
5
−
6
.
Descifrar
la
letra
Q
en
la
palabra
I
Y
Y
Q
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5960
sacados/5960
Polynesie Juin 1999
chapExoCorrec/6795
sacados/6795
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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