a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2 - Exp.
/ Anales sobre números complejos
41 ejercicios (incluyendo 34 corregidos)
a
Álgebra
(4 ejercicios)
Geometría sin propiedades argumentales
(6 ejercicios)
Geometría con argumento
(5 ejercicios)
Secuencias complejas
(9 ejercicios)
Transformación del plan
(10 ejercicios)
1.
Á
lgebr
a
E.3190
P
arte
A.
Restitución
organi-
zada
de
cono
cimien
tos
Requisitos
previos
:
Recordemos
los
dos
resultados
sigu-
ien
tes
:
Si
z
es
un
n
úmero
complejo
distin
to
de
cero,
se
tiene
la
siguien
te
equiv
alencia
:
|
z
|
=
r
arg
z
=
„
con
una
precisión
de
2
ı
⇐
⇒
z
=
r
cos
„
+
i
sin
„
r
>
0
P
ara
to
dos
los
n
úmeros
reales
a
y
b
:
cos
a
+
b
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
sin
a
+
b
=
sin
a
cos
b
+
sin
b
cos
a
Sean
z
1
y
z
2
dos
n
úmeros
complejos
distin
tos
de
cero.
Dem
uestre
las
relaciones
:
|
z
1
z
2
|
=
|
z
1
|
·
|
z
2
|
;
arg
(
z
1
·
z
2
)
=
arg
(
z
1
)+arg
(
z
2
)
con
una
precisión
de
2
ı
.
P
arte
B
P
ara
cada
prop
osición,
indique
si
es
v
erdadera
o
falsa
y
pro-
p
onga
una
demostración
para
la
respuesta
indicada.
En
el
caso
de
una
prop
osición
falsa,
la
demostración
consistirá
en
prop
orcionar
un
con
traejemplo.
Una
respuesta
sin
de-
mostración
no
da
derec
ho
a
ningún
pun
to.
Recordemos
que
si
z
es
un
n
úmero
complejo,
z
designa
el
conjugado
de
z
y
z
designa
el
mó
dulo
de
z
:
1
Si
z
=
−
1
2
+
1
2
·
i
,
en
tonces
z
4
es
un
n
úmero
real.
2
Si
z
+
z
=
0
,
en
tonces
z
=
0
.
3
Si
z
+
1
z
=
0
,
en
tonces
z
=
i
o
z
=
−
i
.
4
Si
|
z
|
=
1
y
si
|
z
+
z
|
=
1
,
en
tonces
z
=
0
.
E.6260
Se
designa
con
(
E
)
la
ecuación
z
4
+4
z
2
+16
=
0
de
incógnita
compleja
z
.
1
Resolv
er
en
C
la
ecuación
Z
2
+4
·
Z
+16
=
0
.
Escribir
las
soluciones
de
esta
ecuación
en
forma
exp
o-
nencial.
2
Se
designa
p
or
a
el
n
úmero
complejo
cuy
o
mó
dulo
es
igual
a
2
y
cuy
o
argumen
to
es
igual
a
ı
3
.
Calcular
a
2
en
forma
algebraica.
Deduzca
las
soluciones
en
C
de
la
ecuación
:
z
2
=
−
2
+
2
·
i
·
√
3
.
Escribiremos
las
soluciones
en
forma
algebraica.
3
Restitución
organizada
de
cono
cimien
tos
Sup
ongamos
que
se
sab
e
que,
para
cualquier
n
úmero
com-
plejo
z
=
x
+i
·
y
donde
x
∈
R
y
y
∈
R
,
el
conjugado
de
z
es
el
n
úmero
complejo
z
definido
p
or
z
=
x
−
i
·
y
.
Dem
uestre
que
:
P
ara
to
dos
los
n
úmeros
complejos
z
1
y
z
2
,
z
1
·
z
2
=
z
1
·
z
2
.
P
ara
to
do
n
úmero
complejo
z
y
to
do
n
úmero
natural
distin
to
de
cero
n
:
z
n
=
z
n
.
4
Demostrar
que
si
z
es
una
solución
de
la
ecuación
(
E
)
,
en
tonces
su
conjugado
z
tam
bién
es
una
solución
de
(
E
)
.
Deduzca
las
soluciones
en
C
de
la
ecuación
(
E
)
.
Se
ad-
mitirá
que
(
E
)
admite
como
máximo
cuatro
soluciones.
E.3122
El
plano
(
P
)
está
pro
visto
de
la
ref-
erencia
ortonormal
directa
O
;
I
;
J
(unidad
gr
áfic
a
:
2
cm
)
.
A
cada
pun
to
M
del
plano
(
P
)
se
le
aso
cia
el
n
úmero
complejo
z
,
afijo
del
pun
to
M
.
1
a
Determinar
el
mó
dulo
y
un
argumen
to
de
cada
uno
de
los
n
úmeros
complejos
:
z
1
=
−
1
;
z
2
=
1
−
i
3
2
;
z
3
=
−
1
−
i
3
.
b
Determinar
el
mó
dulo
y
un
argumen
to
de
cada
uno
de
los
cub
os
z
1
3
,
z
2
3
,
z
3
3
de
los
n
úmeros
complejos
an
te-
riores,
y
luego
la
parte
real
y
la
parte
imaginaria
de
z
1
3
,
de
z
2
3
,
de
z
3
3
.
2
a
Si
z
=
x
+i
·
y
=
·
e
iθ
es
un
n
úmero
complejo
(c
on
y
y
„
r
e
al
y
r
e
al
mayor
que
c
er
o)
,
determinar
la
parte
real
y
la
parte
imaginaria
de
z
3
en
función
de
x
y
y
,
en
tonces
el
mó
dulo
y
un
argumen
to
de
z
3
en
función
de
y
„
.
b
Determinar
el
conjun
to
(
E
)
de
pun
tos
M
con
afijo
z
caracterizado
p
or
:
z
3
es
un
n
úmero
real.
c
Determina
y
grafica
el
conjun
to
(
E
)
de
pun
tos
M
con
afijo
z
,
caracterizado
p
or
:
z
3
es
un
n
úmero
real
y
1
z
3
8
.
E.5949
El
plano
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
Sea
C
el
conjun
to
de
los
n
úmeros
complejos.
P
ara
cada
una
de
las
siguien
tes
afirmaciones,
diga
si
es
v
er-
dadera
o
falsa,
justificando
la
respuesta.
1
Prop
osition
:
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
:
(1
+
i)
4
n
=
(
−
4)
n
2
Soit
(
E
)
la
ecuación
(
z
−
4)(
z
2
−
4
z
+8)=0
donde
z
denota
un
n
úmero
complejo.
Prop
osition
:
Los
pun
tos
cuy
os
afijos
son
las
soluciones,
en
C
,
de
(
E
)
son
los
v
értices
de
un
triángulo
de
área
8
.
3
Prop
osition
:
P
our
cualquier
n
úmero
real
¸
:
1+e
2i
α
=
2
·
e
i
α
·
cos
(
¸
)
.
4
Soit
A
el
pun
to
de
afijo
z
A
=
1
2
·
1+
i
y
M
n
el
pun
to
de
afijo
(
z
A
)
n
donde
n
denota
un
n
úmero
natural
ma
y
or
o
igual
que
2
.
Prop
osition
:
si
n
−
1
es
divisible
p
or
4
,
en
tonces
los
pun
tos
O
,
A
y
M
n
están
alineados.
5
So
j
es
el
n
úmero
complejo
de
mó
dulo
1
y
argumen
to
2
ı
3
.
Prop
osition
:
1+
j
+
j
2
=
0
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3190
sacados/3190
chapExoCorrec/6260
sacados/6260
chapExoCorrec/3122
sacados/3122
chapExoCorrec/5949
sacados/5949
2.
Ge
ometría
sin
pr
opie
dades
ar
gumentales
E.5430
El
plano
complejo
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
ortonormales
directas.
Sea
i
el
n
úmero
complejo
tal
que
:
i
2
=
−
1
.
Sea
A
el
pun
to
con
afijo
z
A
=
1
y
B
sea
el
pun
to
con
afijo
z
B
=
i
.
A
cualquier
pun
to
M
de
afijo
z
M
=
x
+i
y
,
siendo
x
y
y
dos
reales
tales
que
y
=
0
,
aso
ciamos
el
pun
to
M
de
afijo
:
z
M
=
−
i
·
z
M
Designamos
p
or
I
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AM
]
.
El
ob
jetiv
o
del
ejercicio
es
demostrar
que
para
cualquier
pun
to
M
no
p
ertenece
a
(
O
A
)
,
la
mediana
(
O
I
)
del
triángulo
O
AM
es
tam
bién
una
altura
del
triángulo
O
B
M
(pr
opie
dad
1
)
et
que
B
M
=
2
·
O
I
(pr
opriété
2)
.
1
Dans
esta
pregun
ta
y
sólo
en
esta
pregun
ta,
tomamos
:
z
M
=
2
·
e
−
i
π
3
.
a
Determinar
la
forma
algebraica
de
z
M
.
b
Mostrar
que
z
M
=
−
3
−
i
.
Determinar
el
mó
dulo
y
un
argumen
to
de
z
M
.
c
Placer
los
pun
tos
A
,
B
,
M
,
M
y
I
en
el
sistema
de
referencia
O
;
−
→
u
;
−
→
v
tomando
2
cm
como
unidad
grá-
fica.
Dibuja
la
recta
(
O
I
)
y
comprueba
rápidamen
te
las
propiedades
1
y
2
utilizando
la
gráfica.
2
V
olv
emos
al
caso
general
tomando
z
M
=
x
+i
y
con
y
=
0
a
Determinar
el
afijo
del
pun
to
I
en
función
de
x
y
y
.
b
Determinar
el
afijo
del
pun
to
M
en
función
de
x
y
y
.
c
Escribir
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
I
,
B
y
M
.
d
Dem
uestra
que
la
recta
(
O
I
)
es
una
altura
del
trián-
gulo
O
B
M
.
e
Dem
uestra
que
:
B
M
=
2
·
O
I
.
E.6262
Se
denota
C
el
conjun
to
de
los
n
úmeros
complejos.
El
plano
complejo
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
Se
tomará
como
unidad
2
cm
en
cada
eje.
El
gráfico
se
realizará
en
una
ho
ja
de
pap
el
milimetrado
y
se
completará
a
medida
que
se
v
a
y
an
resolviendo
las
pregun
tas.
Consideremos
la
función
f
que
aso
cia
a
cada
n
úmero
complejo
z
:
f
(
z
)
=
z
2
+
2
·
z
+
9
1
Calcular
la
imagen
de
−
1+i
·
3
.
2
Resolv
er
en
C
la
ecuación
:
f
(
z
)
=
5
.
Escribir
en
forma
exp
onencial
las
soluciones
de
esta
ecuación
A
con
tin
uación,
construy
a
en
el
gráfico,
con
regla
y
com-
pás,
los
pun
tos
A
y
B
cuy
o
afijo
es
solución
de
la
ecuación
(
A
siendo
el
punto
cuyo
afijo
tiene
una
p
arte
imaginaria
p
ositiva)
.
Dejaremos
visibles
las
líneas
de
construcción.
3
Sea
–
un
n
úmero
real.
Consideramos
la
ecuación
f
(
z
)
=
–
con
incógnita
z
.
Determinar
el
conjun
to
de
v
alores
de
–
para
los
que
la
ecuación
f
(
z
)
=
–
admite
dos
soluciones
complejas
conju-
gadas.
4
Sea
(
F
)
el
conjun
to
de
pun
tos
del
plano
complejo
cuy
o
afijo
z
v
erifica
:
|
f
(
z
)
−
8
|
=
3
Dem
uestre
que
(
F
)
es
la
circunferencia
de
cen
tro
Ω
(
−
1
;
0
)
y
radio
3
.
T
razar
(
F
)
en
el
gráfico
5
Sea
z
un
n
úmero
complejo,
tal
que
z
=
x
+i
·
y
donde
x
y
y
son
n
úmeros
reales.
a
Dem
uestre
que
la
forma
algebraica
de
f
(
z
)
es
:
x
2
−
y
2
+
2
·
x
+
9
+
i
·
2
·
x
·
y
+
2
·
y
.
b
Denotemos
p
or
(
E
)
el
conjun
to
de
pun
tos
del
plano
complejo
cuy
o
afijo
z
es
tal
que
f
(
z
)
es
un
n
úmero
real.
Dem
uestre
que
(
E
)
es
la
unión
de
dos
rectas
D
1
y
D
2
cuy
as
ecuaciones
se
esp
ecificarán.
Completa
el
gráfico
del
anexo
trazando
estas
rectas.
6
Determina
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
de
in
tersección
de
los
conjun
tos
(
E
)
y
(
F
)
.
E.6778
El
plano
complejo
está
referido
a
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
u
;
−
→
v
ortonormal
directo.
Consideremos
el
pun
to
A
del
afijo
4
,
el
pun
to
del
afijo
4
·
i
y
los
pun
tos
C
y
D
tales
que
AB
C
D
es
un
cuadrado
de
cen
tro
O
.
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
distin
to
de
cero
n
,
llamamos
M
n
al
pun
to
de
afijo
:
z
n
=
1
+
i
n
.
1
Escrib
e
el
n
úmero
1+i
en
forma
exp
onencial.
2
Dem
uestre
que
existe
un
n
úmero
natural
n
0
,
a
esp
eci-
ficar,
tal
que,
para
cualquier
n
úmero
en
tero
n
n
0
,
el
pun
to
M
n
queda
fuera
del
cuadrado
AB
C
D
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5430
sacados/5430
chapExoCorrec/6262
sacados/6262
Antilles-Guyanne Septembre 2014
chapExoCorrec/6778
sacados/6778
E.6779
Se
dota
al
plano
complejo
de
un
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
ortonormado
directo.
Se
denota
p
or
C
el
conjun
to
de
pun
tos
M
del
plano
de
co
or-
denadas
z
tales
que
:
⏐
⏐
z
−
2
⏐
⏐
=
1
1
Justificar
que
C
es
un
círculo,
cuy
o
cen
tro
y
radio
se
esp
ecificarán.
2
Sea
a
un
n
úmero
real.
Denominemos
D
a
la
recta
de
ecuación
y
=
a
·
x
.
Determinar
el
n
úmero
de
pun
tos
de
in
tersección
en
tre
C
y
D
en
función
de
los
v
alores
de
a
.
E.3131
En
el
plano
complejo
pro
visto
del
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
,
consider-
amos
los
pun
tos
M
y
M
con
afijos
resp
ectiv
os
z
y
z
.
Es-
tablecemos
:
z
=
x
+
i
·
y
z
=
x
+
i
·
y
donde
x
,
x
,
y
,
y
son
n
úmeros
reales.
Recordemos
que
z
designa
el
conjugado
de
z
y
que
|
z
|
designa
el
mó
dulo
de
z
.
1
Dem
uestre
que
los
v
ectores
−
−
→
O
M
y
−
−
−
→
O
M
son
ortogonales
si,
y
solo
si,
R
e
(
z
·
z
)=
0
.
2
Dem
uestra
que
los
pun
tos
O
,
M
y
M
están
alineados
si,
y
solo
si,
I
m
(
z
·
z
)=
0
.
Aplicaciones
3
N
es
el
pun
to
de
afijo
z
2
−
1
.
¾Cuál
es
el
conjun
to
de
pun-
tos
M
tales
que
los
v
ectores
−
−
→
O
M
y
−
−
→
O
N
son
ortogonales?
4
Sup
ongamos
que
z
no
es
n
ulo.
P
es
el
pun
to
de
afijo
1
z
2
−
1
.
Se
busca
el
conjun
to
de
pun
tos
M
de
afijo
z
tales
que
los
pun
tos
O
,
N
y
P
estén
alineados.
a
Demostrar
que
:
1
z
2
−
1
z
2
−
1
=
−
z
2
·
⏐
⏐
⏐
1
z
2
−
1
⏐
⏐
⏐
2
.
b
Utilizando
la
equiv
alencia
demostrada
al
principio
del
ejercicio,
concluy
a
sobre
el
conjun
to
buscado.
E.6777
El
plano
está
pro
visto
de
la
refer-
encia
ortonormal
directa
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
Se
da
el
n
úmero
complejo
:
j
=
−
1
2
+i
·
3
2
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
algunas
propiedades
del
n
úmero
j
y
p
oner
de
reliev
e
la
relación
de
este
n
úmero
con
los
triángulos
equiláteros.
P
arte
A
:
propiedades
del
n
úmero
j
1
a
Resolv
er
en
el
conjun
to
C
de
n
úmeros
complejos
la
ecuación
:
z
2
+
z
+
1
=
0
b
Comprueba
que
el
n
úmero
complejo
j
es
una
solución
de
esta
ecuación.
2
Determina
el
mó
dulo
y
un
argumen
to
del
n
úmero
com-
plejo
j
y
,
a
con
tin
uación,
da
su
forma
exp
onencial.
3
Dem
uestra
las
siguien
tes
igualdades
:
a
j
3
=
1
b
j
2
=
−
1
−
j
4
Se
denotan
P
,
Q
,
R
las
imágenes
resp
ectiv
as
de
los
n
úmeros
complejos
1
,
j
y
j
2
en
el
plano.
¾Cuál
es
la
naturaleza
del
triángulo
P
QR
?
Justifique
la
respuesta.
P
arte
B
Sean
a
,
b
,
c
tres
n
úmeros
complejos
que
v
erifican
la
igualdad
:
a
+
j
·
b
+
j
2
·
c
=
0
Se
denotan
A
,
B
,
C
las
imágenes
resp
ectiv
as
de
los
n
úmeros
a
,
b
,
c
en
el
plano.
1
Utilizando
la
pregun
ta
A
3
b
,
demostrar
la
igualdad
:
a
−
c
=
j
·
c
−
b
2
Deducir
que
:
AC
=
B
C
3
Dem
uestre
la
igualdad
:
a
−
b
=
j
2
·
b
−
c
4
Deduzca
que
el
triángulo
AB
C
es
equilátero.
3.
Ge
ometría
c
on
ar
gumento
E.3157
P
ara
cada
una
de
las
3
pregun
tas,
sólo
una
de
las
tres
prop
osiciones
es
correcta.
El
candidato
indicará
en
la
copia
el
n
úmero
de
la
pregun
ta
y
la
letra
corresp
ondien
te
a
la
respuesta
elegida.
No
se
requiere
justificación.
Una
respuesta
correcta
suma
1
pun
to
;
una
respuesta
incor-
recta
resta
0
;
5
pun
to
;
ninguna
respuesta
cuen
ta
0
pun
to.
Si
el
total
es
negativ
o,
la
nota
se
reduce
a
cero.
.
A
lo
largo
del
ejercicio,
el
plano
complejo
se
refiere
a
un
sis-
tema
de
referencia
ortonormal
directo
O
;
−
→
u
;
−
→
v
1
El
pun
to
M
está
situado
en
la
circunferencia
de
cen
tro
A
(
−
2
;
5
)
et
y
radio
3
.
Su
afijo
z
v
erifica
:
a
⏐
⏐
z
−
2
+
5
·
i
⏐
⏐
2
=
3
;
b
⏐
⏐
z
+
2
−
5
·
i
⏐
⏐
2
=
3
;
c
⏐
⏐
z
−
2
+
5
·
i
⏐
⏐
2
=
3
.
2
Consideremos
tres
pun
tos
A
,
B
y
C
con
afijos
resp
ec-
tiv
os
a
,
b
y
c
,
dos
a
dos
distin
tos
y
tales
que
el
triángulo
AB
C
no
sea
equilátero.
El
pun
to
M
es
un
pun
to
cuy
o
afijo
z
es
tal
que
los
n
úmeros
complejos
z
−
b
c
−
a
y
z
−
c
b
−
a
son
imaginarios
puros.
a
M
es
el
cen
tro
del
círculo
circunscrito
al
triángulo
AB
C
;
b
M
p
ertenece
a
los
círculos
de
diámetros
resp
ectiv
os
[
AC
]
y
[
AB
]
;
c
M
es
el
orto
cen
tro
del
triángulo
AB
C
.
3
Sean
A
y
B
los
pun
tos
de
afijos
resp
ectiv
os
1+i
y
5+4
·
i
,
y
C
un
pun
to
del
círculo
de
diámetro
[
AB
]
.
Se
denomina
G
isobárico
a
los
pun
tos
A
,
B
y
C
y
se
denota
z
G
su
afijo.
a
⏐
⏐
z
G
−
3
−
2
;
5
·
i
⏐
⏐
=
5
6
;
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6779
sacados/6779
Antilles-Guyane Juin 2016
chapExoCorrec/3131
sacados/3131
France Septembre 2006 5 points
chapExoCorrec/6777
sacados/6777
Asie Juin 2015
chapExoCorrec/3157
sacados/3157
b
z
G
−
1
+
i
=
1
3
·
4
+
3
·
i
;
c
z
G
−
3
+
2
;
5
·
i
=
1
3
·
4
+
3
·
i
E.3852
P
ara
cada
pregun
ta,
sólo
una
de
las
tres
respuestas
es
correcta.
El
candidato
deb
erá
indicar
en
la
copia
el
n
úmero
de
la
pregun
ta
y
la
letra
corresp
ondien
te
a
la
respuesta
elegida.
No
se
requiere
justificación.
Una
respuesta
correcta
v
ale
0
;
5
pun
tos
;
una
respuesta
incor-
recta
v
ale
0
;
25
p
oin
t
;
ninguna
respuesta
v
ale
0
p
oin
t.
Si
el
total
es
negativ
o,
la
nota
se
reduce
a
cero.
El
plano
complejo
disp
one
de
un
pun
to
de
referencia
ortonor-
mal
directo
de
origen
O
.
1
Una
solución
de
la
ecuación
2
·
z
+
z
=
9+i
est
:
a
3
b
i
c
3
+
i
2
So
z
un
n
úmero
complejo
;
|
z
+i
|
est
igual
a
:
a
|
z
|
+
1
b
|
z
−
1
|
c
|
i
·
z
+
1
|
3
So
z
un
n
úmero
complejo
distin
to
de
cero
de
argumen
to
„
.
Un
argumen
to
de
−
1+i
·
3
z
es
:
a
−
ı
3
+
„
b
2
ı
3
+
„
c
2
ı
3
−
„
4
Sea
n
un
n
úmero
natural.
El
complejo
3
+i
n
es
un
imaginario
puro
si,
y
solo
si
:
a
n
=
3
b
n
=
6
·
k
+
3
,
con
k
relativ
o
c
n
=
6
k
a
v
ec
k
relatif
5
Sea
A
y
B
dos
pun
tos
de
afijo
resp
ectiv
os
i
y
−
1
.
El
con-
jun
to
de
pun
tos
M
de
afijo
z
que
v
erifican
|
z
−
i
|
=
|
z
+1
|
es
:
a
La
recta
(
AB
)
b
El
círculo
de
diámetro
[
AB
]
c
La
recta
p
erp
endicular
a
(
AB
)
que
pasa
p
or
O
.
6
Sea
Ω
el
pun
to
de
afijo
1
−
i
.
El
conjun
to
de
pun
tos
M
de
afijo
z
=
x
+i
·
y
que
v
erifican
|
z
−
1+i
|
=
|
3
−
4
·
i
|
a
para
la
ecuación
:
a
y
=
−
x
+
1
b
(
x
−
1)
2
+
y
2
=
5
c
z
=
1
−
i
+
5
·
e
i
·
θ
7
Sean
A
y
B
los
pun
tos
de
los
afijos
resp
ectiv
os
4
y
3
·
i
.
El
afijo
del
pun
to
C
tal
que
el
triángulo
AB
C
sea
isósceles
con
−
−
→
AB
;
−
→
AC
=
ı
2
est
:
a
1
−
4
·
i
b
−
3
·
i
c
7
+
4
·
i
8
El
conjun
to
de
soluciones
en
C
de
la
ecuación
z
−
2
z
−
1
=
z
es
:
a
1
−
i
b
L’ensem
ble
vide.
c
1
−
i
;
1+i
E.5964
El
plano
se
refiere
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
A
cada
pun
to
M
de
afijo
z
del
plano
se
le
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
median
te
la
aplicación
f
que
admite
la
escritura
compleja
:
z
=
(3
+
4i)
·
z
+
5
·
z
6
1
Consideramos
los
pun
tos
A
,
B
,
C
de
afijos
resp
ectiv
os
:
z
A
=
1
+
2i
;
z
B
=
1
;
z
C
=
3i
Determinar
los
afijos
de
los
pun
tos
A
,
B
,
C
imágenes
resp
ectiv
as
de
A
,
B
,
C
p
or
f
.
Colo
car
los
pun
tos
A
,
B
,
C
,
A
,
B
,
C
.
2
Se
establece
z
=
x
+i
·
y
(c
on
x
y
y
r
e
ales)
.
Determinar
la
parte
real
y
la
parte
imaginaria
de
z
en
función
de
x
y
y
.
3
Dem
uestre
que
el
conjun
to
de
pun
tos
M
in
v
arian
tes
p
or
f
es
la
recta
(
D
)
de
ecuación
y
=
1
2
x
.
T
razar
(
D
)
.
¾Qué
observ
ación
se
puede
hacer?
4
Sea
M
un
pun
to
cualquiera
del
plano
y
M
su
imagen
p
or
f
.
Demostrar
que
M
p
ertenece
a
la
recta
(
D
)
.
5
a
Dem
uestra
que,
para
cualquier
n
úmero
complejo
z
:
z
−
z
z
A
=
z
+
z
6
+
i
·
z
−
z
3
Deduce
que
el
n
úmero
z
−
z
z
A
es
un
n
úmero
real.
b
Deduzca
que,
si
M
=
M
,
las
rectas
(
O
A
)
y
(
M
M
)
son
paralelas
6
Dado
un
pun
to
cualquiera
N
,
¾cómo
se
construy
e
su
im-
agen
N
?
(Se
estudiar
án
dos
c
asos
se
gún
si
N
p
ertene
c
e
o
no
a
(
D
)
)
.
Realizar
la
construcción
en
la
figura.
E.6085
El
plano
está
referido
al
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
.
Sean
A
(
1
;
0
)
y
B
(
−
1
;
0
)
.
A
cualquier
pun
to
M
del
afijo
z
=
0
,
aso
ciamos
el
pun
to
M
del
afijo
z
definido
p
or
:
z
×
z
=
1
1
a
Construy
e
M
cuando
:
z
=
2(1+i)
b
En
el
caso
general,
dem
uestre
que
la
recta
(
AB
)
es
la
bisectriz
del
ángulo
−
−
→
O
M
;
−
−
−
→
O
M
y
que
:
O
M
×
O
M
=
O
A
2
.
2
a
V
erifica
que
:
∀
z
∈
C
∗
,
z
+
z
2
−
1
z
+
z
2
+
1
=
z
−
z
2
2
b
Sea
I
el
cen
tro
de
[
M
M
]
.
Utilizando
a
dem
uestran
que
:
I
A
×
I
B
=
I
M
2
y
que
para
M
=
A
y
M
=
B
la
recta
(
M
M
)
es
la
bisec-
triz
del
ángulo
−
→
I
A
;
−
→
I
B
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3852
sacados/3852
Nouvelle Caledonie Novembre 2007 4 points
chapExoCorrec/5964
sacados/5964
chapExoCorrec/6085
sacados/6085
Caen Juin 1987
E.3857
El
plano
complejo
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas
de
unidad
gráfica
:
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
4
cm
.
Consideremos
el
pun
to
A
de
afijo
z
A
=
2+i
y
el
círculo
(Γ)
de
cen
tro
A
y
radio
2
.
1
Haga
una
figura
que
se
completará
a
lo
largo
del
ejercicio.
2
a
Determinar
los
afijos
de
los
pun
tos
de
in
tersección
de
(Γ)
y
del
eje
O
;
−
→
u
.
b
Se
designan
con
B
y
C
los
pun
tos
de
afijos
resp
ectiv
os
z
B
=
1
y
z
C
=
3
.
Determinar
el
afijo
z
D
del
pun
to
D
diametralmen
te
opuesto
al
pun
to
B
en
el
círculo
(Γ)
.
3
Sea
M
el
pun
to
de
afijo
3
5
+
6
5
·
i
a
Calcular
el
n
úmero
complejo
:
z
D
−
z
M
z
B
−
z
M
.
b
In
terpretar
geométricamen
te
el
argumen
to
del
n
úmero
z
D
−
z
M
z
B
−
z
M
;
deducir
que
el
pun
to
M
p
ertenece
al
círculo
(Γ)
.
4
Se
denota
(Γ
)
el
círculo
de
diámetro
[
AB
]
.
La
recta
(
B
M
)
in
terseca
el
círculo
(Γ
)
en
un
pun
to
N
.
a
Dem
uestra
que
las
rectas
(
D
M
)
y
(
AN
)
son
paralelas.
b
Determina
el
afijo
del
pun
to
N
.
5
Se
designa
p
or
M
la
imagen
del
n
úmero
complejo
z
que
v
erifica
la
relación
:
z
−
z
B
z
M
−
z
B
=
−
i
a
Determinar
la
escritura
algebraica
del
n
úmero
com-
plejo
z
.
b
¾Cuál
es
la
naturaleza
del
triángulo
M
M
B
?
c
Dem
uestre
que
el
pun
to
M
p
ertenece
al
círculo
(Γ
)
.
4.
Se
cuencias
c
omplejas
E.6045
El
plano
complejo
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
denota
p
or
A
n
el
pun
to
de
afijo
z
n
definido
p
or
:
z
0
=
1
;
z
n
+1
=
3
4
+
√
3
4
·
i
·
z
n
para
to
do
n
∈
N
Se
define
la
sucesión
r
n
p
or
:
r
n
=
|
z
n
|
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
1
Dar
la
forma
exp
onencial
del
n
úmero
complejo
:
3
4
+
√
3
4
·
i
.
2
a
Dem
uestre
que
r
n
es
geométrica
con
razón
√
3
2
.
b
Deduzca
la
expresión
de
r
n
en
función
de
n
.
c
¾Qué
se
puede
decir
de
la
longitud
O
A
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
?
3
Consideremos
la
función
f
de
un
algoritmo
siguien
te
:
Función
f(p)
r
←
1
n
←
0
Mientras
r>
p
n
←
n+
1
r
←
√
3
2
R
Fin
Mientras
Devolver
n
a
¾Cuál
es
el
v
alor
devuelto
p
or
la
llamada
a
la
función
f
con
el
v
alor
0
;
5
para
el
argumen
to
p
?
b
P
ara
p
=
0
;
01
,
se
obtiene
n
=
33
.
¾Cuál
es
la
función
de
esta
función?
4
a
Dem
uestre
que
el
triángulo
O
A
n
A
n
+1
es
rectángulo
en
A
n
+1
.
b
Se
admite
que
:
z
n
=
r
n
·
e
i
·
nπ
6
Determinar
los
v
alores
de
n
para
los
que
A
n
es
un
pun
to
del
eje
de
ordenadas.
c
Completa
la
figura
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
rep-
resen
tando
los
pun
tos
A
6
,
A
7
,
A
8
y
A
9
.
Las
líneas
de
construcción
serán
visibles.
E.6900
Consideremos
los
n
úmeros
com-
plejos
z
n
definidos
para
to
do
en
tero
n
0
p
or
el
dato
de
z
0
,
donde
z
0
es
diferen
te
de
0
y
de
1
,
y
la
relación
de
recurrencia
:
z
n
+1
=
1
−
1
z
n
1
a
En
esta
pregun
ta,
se
sup
one
que
z
0
=
2
.
Determinar
los
n
úmeros
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
,
z
5
y
z
6
.
b
En
esta
pregun
ta,
se
sup
one
que
z
0
=
i
.
Determina
la
forma
algebraica
de
los
n
úmeros
complejos
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
,
z
5
y
z
6
.
c
En
esta
pregun
ta,
v
olv
emos
al
caso
general
en
el
que
z
0
es
un
n
úmero
complejo
dado.
¾Qué
se
puede
conje-
turar
sobre
los
v
alores
que
toma
z
3
n
en
función
de
los
v
alores
del
n
úmero
natural
n
?
Dem
uestre
esta
conjetura.
2
Determinar
z
2016
en
el
caso
en
que
z
0
=
1+i
.
3
¾Existen
v
alores
de
z
0
tales
que
z
0
=
z
1
?
¾Qué
se
puede
decir
de
la
sucesión
z
n
en
este
caso?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3857
sacados/3857
Amerique du Nord Mai 2008 5 points
chapExoCorrec/6045
sacados/6045
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
0
O
chapExoCorrec/6900
sacados/6900
E.6904
Consideremos
la
sucesión
z
n
de
n
úmeros
complejos
definida
para
cualquier
n
úmero
natural
n
p
or
:
z
0
=
0
z
n
+1
=
1
2
·
i
×
z
n
+
5
En
un
plano
ortonormal,
nótese
M
n
el
pun
to
con
afijo
z
n
.
Consideremos
el
n
úmero
complejo
z
A
=
4+2
·
i
y
A
el
pun
to
en
el
plano
de
afijo
z
A
.
1
Sea
u
n
la
sucesión
definida
para
cualquier
n
úmero
nat-
ural
n
p
or
:
u
n
=
z
n
−
z
A
.
a
Dem
uestre
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
1
2
·
i
×
u
n
b
Dem
uestre
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
1
2
·
i
n
·
−
4
−
2
·
i
2
Dem
uestra
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
los
pun
tos
A
,
M
n
y
M
n
+4
están
alineados.
E.5948
Consideremos
la
sucesión
z
n
de
términos
complejos
definida
p
or
z
0
=
1+
i
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
p
or
:
z
n
+1
=
z
n
+
|
z
n
|
3
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
z
n
=
a
n
+
i
·
b
n
,
donde
a
n
es
la
parte
real
de
z
n
y
b
n
es
la
parte
imaginaria
de
z
n
.
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
la
con
v
ergencia
de
las
sucesiones
(
a
n
)
y
(
b
n
)
.
P
arte
A
1
Dar
a
0
y
b
0
.
2
Calcular
z
1
y
deducir
que
:
a
1
=
1+
2
3
;
b
1
=
1
3
.
3
Consideramos
la
función
f
a
con
tin
uación,
extraída
de
un
algoritmo,
cuy
o
argumen
to
n
es
un
en
tero
natural
dis-
tin
to
de
cero
:
Función
f(n)
A
←
1
B
←
1
Para
K
variante
1
a
n
A
←
A
+
A
2
+
B
2
3
B
←
B
3
Fin
Para
Devolver
A
a
Esta
función
se
llama
con
el
v
alor
2
para
el
argumen
to
n
.
Recopia
y
completa
la
tabla
de
aba
jo
que
con
tiene
el
estado
de
las
v
ariables
en
el
momen
to
de
la
función.
aba
jo
que
con
tiene
el
estado
de
las
v
ariables
duran
te
la
llamada
a
esta
función
(los
valor
es
c
alculados
se
r
e-
donde
ar
án
a
10
−
4
pr
ès)
.
K
A
B
1
2
b
P
our
un
n
úmero
dado
N
,
a
qué
corresp
onde
el
v
alor
devuelto
p
or
la
función
f
en
relación
con
la
situación
estudiada
en
este
ejercicio?
P
artie
B
1
P
our
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
expresa
z
n
+1
en
función
de
a
n
y
b
n
A
partir
de
aquí,
deduce
la
expresión
de
a
n
+1
en
función
de
a
n
y
b
n
,
y
la
expresión
de
b
n
+1
en
función
de
a
n
y
b
n
.
2
¾Cuál
es
la
naturaleza
de
la
secuencia
b
n
)
?
Deduzca
la
expresión
de
b
n
en
función
de
n
,
y
determine
el
límite
de
(
b
n
)
.
3
a
Recuerde
que
para
cualesquiera
n
úmeros
complejos
z
y
z
:
|
z
+
z
|
|
z
|
+
|
z
|
(iné
galité
triangulair
e)
.
Dem
uestre
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
|
z
n
+1
|
2
|
z
n
|
3
b
P
our
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
sea
u
n
=
|
z
n
|
Demostrar
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
nat-
ural
n
,
u
n
2
3
n
·
2
Deducir
que
la
sucesión
u
n
con
v
erge
hacia
un
límite
que
determinaremos.
c
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
|
a
n
|
u
n
.
Deducir
que
la
sucesión
a
n
con
v
erge
hacia
un
límite
que
determinaremos.
E.3170
El
plano
complejo
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
T
omaremos
como
unidad
gráfica
5
cm
.
Establecemos
z
0
=
2
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
z
n
+1
=
1+i
2
z
n
.
Se
denota
p
or
A
n
el
pun
to
del
plano
de
afijo
z
n
.
1
Calcular
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
y
v
erificar
que
z
4
es
un
n
úmero
real.
Colo
car
los
pun
tos
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
y
A
4
en
una
figura.
2
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
u
n
=
|
z
n
|
.
Justificar
que
la
sucesión
(
u
n
)
es
una
sucesión
geométrica
y
luego
establecer
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
2
·
1
2
n
3
¾A
partir
de
qué
rango
n
0
to
dos
los
pun
tos
A
n
p
ertenecen
al
disco
de
cen
tro
O
y
radio
0
;
1
?
4
a
Establecer
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
z
n
+1
−
z
n
z
n
+1
=
i
.
Deduzca
la
naturaleza
del
triángulo
O
A
n
A
n
+1
.
b
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
denota
‘
n
la
longitud
de
la
línea
discon
tin
ua
A
0
A
1
A
2
:
:
:
A
n
−
1
A
n
.
Así,
tenemos
:
‘
n
=
A
0
A
1
+
A
1
A
2
+
·
·
·
+
A
n
−
1
A
n
.
Expresar
‘
n
en
función
de
n
.
¾Cuál
es
el
límite
de
la
sucesión
(
‘
n
)
?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6904
sacados/6904
Liban Mai 2016 3 points
chapExoCorrec/5948
sacados/5948
chapExoCorrec/3170
sacados/3170
E.6255
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
definen
los
n
úmeros
complejos
z
median
te
:
z
0
=
16
z
n
+1
=
1
+
i
2
·
z
n
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
Se
denota
p
or
r
n
el
mó
dulo
del
n
úmero
complejo
z
n
:
r
n
=
|
z
n
|
.
En
el
plano
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
directo
con
origen
O
,
consideramos
los
pun
tos
A
n
de
afijos
z
n
.
1
a
Calcular
z
1
,
z
2
y
z
3
.
b
Colo
car
los
pun
tos
A
1
y
A
2
en
el
gráfico
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación.
c
Escribir
el
n
úmero
complejo
1+i
2
en
forma
trimétrica.
d
Demostrar
que
el
triángulo
O
A
0
A
1
es
isósceles
rectán-
gulo
en
A
1
.
2
Dem
uestra
que
la
sucesión
r
n
es
geométrica
con
razón
√
2
2
.
¾Es
con
v
ergen
te
la
sucesión
r
n
?
In
terpreta
geométricamen
te
el
resultado
an
terior.
Denotemos
p
or
I
n
la
longitud
de
la
línea
discon
tin
ua
que
une
el
pun
to
A
0
con
el
pun
to
A
n
pasando
sucesiv
amen
te
p
or
los
pun
tos
A
1
,
A
2
,
A
3
.
.
.
Así
:
L
n
=
n
−
1
i
=0
A
i
A
i
+1
=
A
0
A
1
+
A
1
A
2
+
·
·
·
+
A
n
−
1
A
n
3
a
Demostrar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
A
n
A
n
+1
=
r
n
+1
b
Dar
una
expresión
de
L
n
en
función
de
n
.
c
Determinar
el
límite
ev
en
tual
de
la
sucesión
L
n
.
E.6349
El
plano
complejo
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas.
Consideremos
la
ecuación
:
(
E
)
:
z
2
−
2
·
z
·
3
+
4
=
0
1
Resolv
er
la
ecuación
(
E
)
en
el
conjun
to
C
de
n
úmeros
complejos.
2
Consideramos
la
sucesión
M
n
de
pun
tos
de
afijos
definida
para
n
1
p
or
:
z
n
=
2
n
·
e
i
·
(
−
1)
n
·
π
6
.
a
V
erifica
que
z
1
es
una
solución
de
(
E
)
.
b
Escrib
e
z
2
y
z
3
en
forma
algebraica.
c
Colo
ca
los
pun
tos
M
1
,
M
2
,
M
3
y
M
4
en
la
figura
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
y
traza
los
segmen
tos
[
M
1
M
2
]
,
[
M
2
M
3
]
y
[
M
3
M
4
]
.
3
Dem
uestra
que,
para
cualquier
en
tero
n
1
:
z
n
=
2
n
·
3
2
+
(
−
1)
n
·
i
2
.
4
Calcula
las
longitudes
M
1
M
2
y
M
2
M
3
.
P
ara
con
tin
uar
con
el
ejercicio,
se
admite
que,
para
to
do
en-
tero
n
1
:
M
n
M
n
+1
=
2
n
·
3
.
5
Se
anota
‘
n
=
M
1
M
2
+
M
2
M
3
+
·
·
·
+
M
n
M
n
+1
.
a
Demostrar
que,
para
to
do
en
tero
natural
n
1
:
‘
n
=
2
3
·
2
n
−
1
.
b
Determinar
el
en
tero
más
p
equeño
n
tal
que
:
‘
n
1000
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6255
sacados/6255
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
2
4
6
8
A
0
A
3
A
4
A
5
A
6
chapExoCorrec/6349
sacados/6349
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
E.6937
Consideremos
los
n
úmeros
com-
plejos
z
n
definidos,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
p
or
:
z
0
=
1
;
z
n
+1
=
1
+
i
·
√
3
3
·
z
n
Denotemos
p
or
A
n
el
pun
to
de
afijo
z
n
en
el
sistema
de
co-
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
que
se
m
uestra
a
con
tin-
uación
:
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
la
construcción
de
los
pun
tos
A
n
.
1
a
V
erificar
que
:
1+i
·
3
3
=
2
3
·
e
i
π
6
b
Deducir
z
1
y
z
2
en
forma
exp
onencial.
2
a
Dem
uestre
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
z
n
=
2
3
n
·
e
i
·
n
·
π
6
b
¾P
ara
qué
v
alores
de
n
,
los
pun
tos
O
,
A
0
y
A
n
están
alineados?
3
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
d
n
=
⏐
⏐
z
n
+1
−
z
n
⏐
⏐
.
a
In
terpreta
geométricamen
te
d
n
.
b
Calcula
d
0
.
c
Dem
uestra
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero
:
z
n
+2
−
z
n
+1
=
1
+
i
·
3
3
·
z
n
+1
−
z
n
.
d
Deduzca
que
la
sucesión
d
n
es
geométrica
y
,
a
con-
tin
uación,
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
d
n
=
3
3
·
2
3
n
4
a
Dem
uestre
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
⏐
⏐
z
n
+1
⏐
⏐
2
=
⏐
⏐
z
n
⏐
⏐
2
+
d
n
2
b
Deduzca
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
el
triángulo
O
A
n
A
n
+1
es
rectángulo
en
A
n
.
c
Construir,
con
una
regla
sin
graduar
y
un
compás,
el
pun
to
A
5
en
la
figura
an
terior.
d
Justificar
esta
construcción.
E.6941
Queremos
mo
delar
en
el
plano
la
conc
ha
de
un
nautilo
utilizando
una
línea
quebrada
en
forma
de
espiral.
Nos
in
teresa
el
área
delimitada
p
or
esta
línea.
Dotamos
al
plano
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
Sea
n
un
en
tero
ma
y
or
o
igual
que
2
.
P
ara
to
do
en
tero
k
comprendido
en
tre
0
y
n
,
definimos
los
n
úmeros
complejos
:
z
k
=
1
+
k
n
·
e
i
2
k
π
n
y
se
denota
M
k
el
pun
to
de
afijo
z
k
.
En
este
mo
delo,
el
con
torno
del
nautilo
es
la
línea
discon
tin
ua
que
une
to
dos
los
pun
tos
M
k
con
0
k
n
.
P
or
ejemplo,
para
los
n
úmeros
en
teros
n
=
6
,
n
=
10
y
n
=
20
,
obtenemos
las
figuras
siguien
tes
:
P
arte
A
:
Línea
discon
tin
ua
formada
a
partir
de
siete
pun
tos
En
esta
parte,
se
sup
one
que
n
=
6
.
Así,
para
0
k
6
,
ten-
emos
:
z
k
=
1+
k
6
·
e
i
2
k
π
6
1
Determinar
la
forma
algebraica
de
z
1
.
2
Comprueba
que
z
0
y
z
6
son
n
úmeros
en
teros
que
deter-
minaremos.
3
Calcula
la
longitud
de
la
altura
resultan
te
de
M
1
en
el
triángulo
O
M
0
M
1
y
luego
establece
que
el
área
de
este
triángulo
es
igual
a
7
3
24
.
P
arte
B
:
Línea
discon
tin
ua
formada
a
partir
de
n
+1
pun
tos
En
esta
parte,
n
es
un
n
úmero
en
tero
ma
y
or
o
igual
que
2
.
1
P
ara
to
do
en
tero
k
tal
que
0
k
n
,
determinar
la
longi-
tud
O
M
k
2
P
ara
to
do
n
úmero
en
tero
k
tal
que
0
k
n
−
1
,
de-
terminar
una
medida
de
los
ángulos
−
→
u
;
−
−
−
→
O
M
k
y
−
→
u
;
−
−
−
−
−
→
O
M
k
+1
.
Deduzca
una
medida
del
ángulo
−
−
−
→
O
M
k
;
−
−
−
−
−
→
O
M
k
+1
.
3
P
ara
k
en
tero
tal
que
0
k
n
−
1
,
demostrar
que
la
lon-
gitud
de
la
altura
resultan
te
de
M
k
+1
en
el
triángulo
O
M
k
M
k
+1
es
igual
a
1+
k
+1
n
·
sin
2
ı
n
.
4
Se
admite
que
el
área
del
triángulo
O
M
k
M
k
+1
es
igual
a
:
a
k
=
1
2
·
sin
2
ı
n
·
1
+
k
n
1
+
k
+
1
n
y
que
el
área
total
delimitada
p
or
la
línea
discon
tin
ua
es
igual
a
:
A
n
=
a
0
+
a
1
+
···
+
a
n
−
1
Consideramos
la
función
f
de
un
algoritmo
dado
a
con-
tin
uación,
que
toma
como
argumen
to
un
en
tero
n
y
de-
vuelv
e
el
v
alor
de
la
v
ariable
A
corresp
ondien
te
al
área
A
n
corresp
ondien
te
al
rango
n
:
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6937
sacados/6937
−
u
−
v
O
A
0
A
1
A
2
A
3
A
4
A
6
chapExoCorrec/6941
sacados/6941
-2
-2
-1
-1
1
1
2
2
0
-2
-2
-1
-1
1
1
2
2
0
-2
-2
-1
-1
1
1
2
2
0
Función
f(n)
A
←
0
Para
k
que
va
de
0
a
n
−
1
A
←
A+
1
2
sin
2
ı
n
1+
k
n
1+
k+
1
n
Fin
Para
Devolver
A
Se
llama
a
la
función
f
con
el
v
alor
10
para
el
argumen
to
n
.
Copie
y
complete
la
tabla
siguien
te,
que
recoge
to
dos
los
v
alores
tomados
p
or
las
v
ariables
k
et
A
duran
te
la
llamada
a
la
función
f
.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
0,323
0,711
1,170
1,705
2,322
3,027
3,826
4,726
5
Se
admite
que
A
2
=
0
y
que
la
sucesión
A
n
con
v
erge
y
que
:
lim
n
↦→
+
∞
A
n
=
7
ı
3
≈
7
;
3
Copie
y
complete
la
línea
‘
.3
para
que,
al
final
de
su
eje-
cución,
el
v
alor
de
la
v
ariable
n
represen
te
el
en
tero
más
p
equeño
n
tal
que
A
n
7
;
2
.
No
se
pide
determinar
n
‘
.1
n
←
2
‘
.2
1
←
0
‘
.3
Mientras
que...
‘
.4
n
←
n+1
‘
.5
A
←
0
‘
.6
Para
k
desde
0
hasta
n
−
1
‘
.7
A
←
A+
1
2
sin
2
ı
n
1+
k
n
1+
k+1
n
‘
.8
Fin
Para
‘
.9
Fin
mientras
5.
T
r
ansformación
del
plan
E.3141
El
plano
complejo
está
relacionado
con
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
La
unidad
gráfica
será
1
cm
.
1
Pregun
ta
de
la
lección
Recordemos
que
:
ˇ
P
ara
cualquier
v
ector
distin
to
de
cero
−
→
w
,
de
afijo
z
,
tenemos
:
|
z
|
=
−
→
w
y
arg
(
z
)
=
−
→
u
;
−
→
w
ı.
Sean
M
,
N
y
P
tres
pun
tos
del
plano,
de
afijos
m
,
n
y
p
resp
ectiv
amen
te
tales
que
m
=
n
y
m
=
p
.
a
Dem
uestre
que
:
arg
p
−
m
n
−
m
=
−
−
→
M
N
;
−
−
→
M
P
.
b
In
terprete
geométricamen
te
el
n
úmero
⏐
⏐
⏐
p
−
m
n
−
m
⏐
⏐
⏐
.
2
Considera
los
pun
tos
A
,
B
,
C
y
D
con
afijos
:
z
1
=
4
+
i
;
z
B
=
1
+
i
;
z
C
=
5i
;
z
D
=
−
3
−
i
Sitúa
estos
pun
tos
en
una
figura.
3
Sea
f
la
aplicación
del
plano
en
sí
mismo
que,
a
cualquier
pun
to
M
de
afijo
z
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
tal
que
:
z
=
1
+
2i
z
−
2
−
4i
a
Esp
ecifica
las
imágenes
de
los
pun
tos
A
y
B
p
or
f
.
b
Dem
uestre
que
f
admite
un
único
pun
to
in
v
arian
te
Ω
cuy
o
afijo
!
deb
e
esp
ecificarse.
4
a
Dem
uestre
que
para
cualquier
n
úmero
complejo
z
,
tenemos
:
z
−
z
=
−
2i
2
−
i
−
z
b
Deduzca,
para
cualquier
pun
to
M
diferen
te
del
pun
to
Ω
,
el
v
alor
de
M
M
Ω
M
y
una
medida
en
radianes
del
ángulo
−
−
→
M
Ω
;
−
−
−
→
M
M
.
c
¾Cuál
es
la
naturaleza
del
triángulo
Ω
M
M
?
d
Sea
E
el
pun
to
de
afijo
z
E
=
−
1
−
i
3
.
Escriba
z
E
en
forma
exp
onencial
y
luego
colo
que
el
pun
to
E
en
la
figura.
A
con
tin
uación,
realice
la
construcción
del
pun
to
E
aso
ciado
al
pun
to
E
.
E.3166
El
complejo
está
referido
a
un
marco
de
referencia
ortonormal
directo
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
La
unidad
gráfica
será
2
cm
.
Sea
f
la
aplicación
que,
a
cualquier
pun
to
M
del
plano
de
afijo
z
no
n
ulo,
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
tal
que
z
=
4
z
,
donde
z
denota
el
n
úmero
complejo
conjugado
de
z
.
1
Determine
el
conjun
to
de
pun
tos
in
v
arian
tes
p
or
f
.
2
Determine
el
conjun
to
de
pun
tos
cuy
a
imagen
p
or
la
apli-
cación
f
es
el
pun
to
J
con
afijo
1.
3
Sea
¸
un
n
úmero
complejo
distin
to
de
cero.
Dem
uestre
que
el
pun
to
A
del
afijo
¸
tiene
un
an
teceden
te
único
p
or
f
,
cuy
o
afijo
deb
e
esp
ecificarse.
4
a
Dé
una
medida
del
ángulo
−
−
→
O
M
;
−
−
−
→
O
M
.
In
terpretar
geométricamen
te
este
resultado.
b
Expresar
⏐
⏐
z
⏐
⏐
en
función
de
⏐
⏐
z
⏐
⏐
.
Si
r
denota
un
real
estrictamen
te
p
ositiv
o,
deducir
la
imagen
p
or
f
de
la
circunferencia
de
cen
tro
O
y
radio
r
.
c
Elegir
un
pun
to
P
del
plano
complejo
que
no
esté
situ-
ado
sobre
los
ejes
de
co
ordenadas
y
sea
tal
que
O
P
=
3
,
y
construir
geométricamen
te
su
imagen
P
p
or
f
.
5
Consideremos
la
circunferencia
C
1
,
de
cen
tro
J
y
radio
1.
Demostremos
que
la
imagen
p
or
f
de
cualquier
pun
to
de
C
1
,
distin
to
de
O
,
p
ertenece
a
la
recta
D
de
ecuación
x
=
2
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/3141
chapExoCorrec/3166
sacados/3166
E.3160
El
plano
se
refiere
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
u
;
−
→
v
(unidad
gr
áfic
a
3
cm
)
.
A
cada
pun
to
M
de
afijo
z
del
plano
se
le
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
median
te
la
aplicación
f
que
admite
la
escritura
compleja
:
z
=
(3
+
4i)
z
+
5
z
6
1
Consideramos
los
pun
tos
A
,
B
,
C
de
afijos
resp
ectiv
os
:
z
A
=
1
+
2i
;
z
B
=
1
;
z
C
=
3i
.
Determinar
los
afijos
de
los
pun
tos
A
,
B
C
imágenes
resp
ectiv
as
de
A
,
B
,
C
p
or
f
.
Colo
car
los
pun
tos
A
,
B
,
C
,
A
,
B
,
C
.
2
Se
establece
z
=
x
+i
y
(c
on
x
y
y
r
e
ales)
.
Determinar
la
parte
real
y
la
parte
imaginaria
de
z
en
función
de
x
y
y
.
3
Dem
uestre
que
el
conjun
to
de
pun
tos
M
in
v
arian
tes
p
or
f
es
la
recta
(
D
)
de
ecuación
y
=
1
2
x
.
T
race
(
D
)
.
¾Qué
observ
ación
se
puede
hacer?
4
Sea
M
un
pun
to
cualquiera
del
plano
y
M
su
imagen
p
or
f
.
Dem
uestra
que
M
p
ertenece
a
la
recta
(
D
)
.
5
a
Dem
uestra
que,
para
cualquier
n
úmero
complejo
z
:
z
−
z
z
A
=
z
+
z
6
+
i
z
−
z
3
Deduce
que
el
n
úmero
z
−
z
z
A
es
real.
b
Deduzca
que,
si
M
=
M
,
las
rectas
(
O
A
)
y
(
M
M
)
son
paralelas.
6
Dado
un
pun
to
cualquiera
N
,
¾cómo
se
construy
e
su
ima-
gen
N
?
(Se
estudiar
án
dos
c
asos
se
gún
que
N
p
ertenezc
a
o
no
a
(
D
)
)
.
Realizar
la
construcción
en
la
figura.
E.3185
El
plano
complejo
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directo
O
;
−
→
u
;
−
→
v
(unidad
gr
áfic
a
2
cm
)
.
Recordemos
que
para
cualquier
v
ector
−
→
w
distin
to
de
cero,
de
afijo
z
,
tenemos
:
|
z
|
=
−
→
w
;
arg
(
z
)
=
−
→
u
;
−
→
w
con
una
precisión
de
2
ı
.
P
arte
A.
Restitución
organizada
de
cono
cimien
tos
Requisitos
previos
:
se
sab
e
que
si
z
y
z
son
dos
n
úmeros
complejos
distin
tos
de
cero,
en
tonces
:
arg
(
z
·
z
)
=
arg
(
z
)
+
ar
g
(
z
)
Sean
z
y
z
dos
n
úmeros
complejos
distin
tos
de
cero.
De-
m
uestre
que
:
arg
z
z
=
arg
(
z
)
−
arg
(
z
)
P
arte
B
Denotemos
p
or
A
y
B
los
pun
tos
de
afijos
resp
ectiv
os
−
i
y
3i
.
Denotemos
p
or
f
la
aplicación
que,
a
to
do
pun
to
M
del
plano,
de
afijo
z
,
distan
te
de
A
,
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
tal
que
:
z
=
i
z
+
3
z
+
i
1
a
Demostrar
que
f
admite
dos
pun
tos
in
v
arian
tes
J
y
K
p
ertenecien
tes
al
círculo
de
diámetro
[
AB
]
.
Colo
car
estos
pun
tos
en
el
dibujo.
b
Se
denota
C
el
pun
to
de
afijo
c
=
−
2+i
.
Demostrar
que
el
pun
to
C
,
imagen
de
C
p
or
f
,
p
ertenece
al
eje
de
abscisas.
2
P
ara
cualquier
pun
to
M
del
plano
distin
to
de
A
y
B
,
de-
m
uestre
que
:
arg
(
z
)
=
−
−
→
M
A
;
−
−
→
M
B
+
ı
2
a
2
ı
cerca.
3
Estudiar
dos
conjun
tos
de
pun
tos
a
Determinar
el
conjun
to
de
pun
tos
M
de
afijo
z
tales
que
z
sea
un
n
úmero
complejo
imaginario
puro.
b
Sea
M
de
afijo
z
un
pun
to
del
círculo
de
diámetro
[
AB
]
priv
ado
de
los
pun
tos
A
y
B
.
¾A
qué
conjun
to
p
ertenece
el
pun
to
M
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3160
sacados/3160
chapExoCorrec/3185
sacados/3185
Asie Juin 2006 4 points
E.3197
Consideremos
el
plano
complejo
P
referido
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
direc-
tas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
En
to
do
el
ejercicio,
P
\
0
designa
el
plano
P
priv
ado
del
pun
to
de
origen
O
.
1
Pregun
ta
del
curso
Se
toman
como
requisitos
previos
los
siguien
tes
resulta-
dos
:
Si
z
y
z
son
dos
n
úmeros
complejos
distin
tos
de
cero,
en
tonces
:
arg
(
z
z
)
=
arg
(
z
)
+
arg
(
z
)
a
2
k
ı
cerca,
con
k
en
tero
relativ
o.
P
ara
to
do
v
ector
−
→
w
distin
to
de
cero
de
afijo
z
,
se
tiene
:
arg
(
z
)
=
−
→
u
;
−
→
v
con
una
precisión
de
2
k
ı
,
con
k
en
tero
relativ
o.
a
Sean
z
y
z
n
úmeros
complejos
distin
tos
de
cero,
de-
m
uestre
que
:
arg
z
z
=
arg
z
−
arg
z
con
una
precisión
de
2
k
ı
,
con
k
en
tero
relativ
o.
b
Dem
uestre
que
si
A
,
B
,
C
son
tres
pun
tos
del
plano,
dos
a
dos
distin
tos,
con
afijos
resp
ectiv
os
a
,
b
,
c
,
se
tiene
:
arg
c
−
a
b
−
a
=
−
−
→
AB
;
−
→
AC
a
2
k
ı
cerca,
con
k
en
tero
relativ
o.
2
Consideramos
la
aplicación
f
de
P
\
0
que,
en
el
pun
to
M
del
plano
de
afijo
z
,
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
,
aso-
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
definido
p
or
:
z
=
1
z
a
Demostrar
que
para
z
=
0
,
se
tiene
:
arg
(
z
)
=
arg
(
z
)
a
2
k
ı
cerca,
con
k
en
tero
relativ
o.
Deduzca
que,
para
cualquier
pun
to
M
de
P
\
0
,
los
pun
tos
M
y
M
=
f
(
M
)
p
ertenecen
a
una
misma
semir-
recta
de
origen
O
.
b
Determinar
el
conjun
to
de
pun
tos
M
de
P
\
0
tales
que
:
f
(
M
)
=
M
.
c
M
es
un
pun
to
del
plano
P
distin
to
de
O
,
U
y
V
,
se
admite
que
M
tam
bién
es
distin
to
de
O
,
U
y
V
.
Establecer
la
igualdad
:
z
−
1
z
−
i
=
1
i
z
−
1
z
+
i
=
−
i
z
−
1
z
−
i
Deduzca
una
relación
en
tre
arg
z
−
1
z
−
i
y
arg
z
−
1
z
−
i
.
3
a
Sea
z
un
n
úmero
complejo
tal
que
z
=
1
y
z
=
i
y
sea
M
el
pun
to
de
afijo
z
.
Dem
uestre
que
M
está
en
la
recta
(
U
V
)
priv
ada
de
U
y
de
V
si,
y
solo
si,
z
−
1
z
−
i
es
un
n
úmero
real
distin
to
de
cero.
b
Determinar
la
imagen
p
or
f
de
la
recta
(
U
V
)
priv
ada
de
U
y
de
V
.
E.3816
El
plano
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directo
O
;
−
→
u
;
−
→
v
,
unidad
grá-
fica
2
cm
.
Se
denomina
A
al
pun
to
de
afijo
−
2i
.
A
cada
pun
to
M
del
plano
de
afijo
z
se
le
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
:
z
=
−
2
·
z
+
2
·
i
1
Consideremos
el
pun
to
B
de
afijo
b
=
3
−
2
·
i
.
Determinar
la
forma
algebraica
de
los
afijos
a
y
b
de
los
pun
tos
A
y
B
aso
ciados
resp
ectiv
amen
te
a
los
pun
tos
A
y
B
.
Colo
car
estos
pun
tos
en
el
dibujo.
2
Dem
uestre
que
si
M
p
ertenece
a
la
recta
(Δ)
de
ecuación
y
=
−
2
,
en
tonces
M
tam
bién
p
ertenece
a
(Δ)
.
3
Dem
uestre
que
para
cualquier
pun
to
M
de
afijo
z
,
se
tiene
:
|
z
+
2
·
i
|
=
2
·
|
z
+
2
·
i
|
E.3212
Sea
P
el
plano
complejo
relativ
o
a
la
O
;
−
→
u
;
−
→
v
(unidad
gr
áfic
a
4
cm
)
.
Sea
A
el
pun
to
con
afijo
1
.
Sea
f
la
aplicación
de
P
priv
ada
de
A
en
P
que,
a
cualquier
pun
to
M
del
afijo
z
,
aso
cia
el
pun
to
M
del
afijo
z
tal
que
:
z
=
1
z
−
1
1
a
Sea
B
el
pun
to
del
afijo
b
=
4+i
√
3
.
Determinar
la
forma
algebraica
y
la
forma
exp
onencial
del
afijo
b
de
B
.
b
Determinar
los
afijos
de
los
pun
tos
cuy
a
imagen
p
or
f
es
su
simetría
resp
ecto
de
O
.
2
a
Expresar
|
z
|
y
arg
(
z
)
en
términos
de
|
z
−
1
|
y
arg
(
z
−
1)
.
b
Sea
C
la
circunferencia
de
cen
tro
A
y
radio
r
.
Sup
ong-
amos
que
M
es
un
pun
to
de
C
.
Determinar
|
z
|
.
Deducir
que
M
p
ertenece
a
una
circunferencia
C
cuy
o
cen
tro
y
radio
deb
en
esp
ecificarse.
c
Situar
un
pun
to
cualquiera
M
en
la
circunferencia
de
cen
tro
A
y
radio
1
2
y
construir
su
imagen
M
.
(dejar
las
líne
as
de
c
onstruc
ción)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3197
sacados/3197
France Juin 2006 5 points
sacados/3816
Centres etrangers Juin 2004
chapExoCorrec/3212
sacados/3212
Antilles-Guyane Septembre 2005 4 points
E.3874
En
el
plano
complejo
(
P
)
pro-
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directas
O
;
−
→
u
;
−
→
v
de
unidad
gráfica
4
cm
,
se
considera
el
pun
to
A
de
afijo
A
=
−
1
y
la
aplicación
f
,
del
plano
(
P
)
en
sí
mismo,
que
en
el
pun
to
M
,
de
afijo
z
distin
to
de
A
,
aso
cia
el
pun
to
M
=
f
(
M
)
de
afijo
z
tal
que
:
z
=
i
·
z
z
+
1
1
Determinar
el
afijo
de
los
pun
tos
M
tales
que
M
=
M
.
2
Demostrar
que
para
to
do
pun
to
M
distin
to
de
A
y
de
O
,
se
tiene
:
O
M
=
O
M
AM
−
→
u
;
−
−
−
→
O
M
=
−
−
→
M
A
;
−
−
→
M
O
+
ı
2
a
2
ı
cerca
3
a
Sea
B
el
pun
to
de
afijo
b
=
−
1
2
+i
.
Colo
car
en
el
sistema
de
co
ordenadas
el
pun
to
B
y
la
mediatriz
(Δ)
del
segmen
to
[
O
A
]
.
b
Calcular
en
forma
algebraica
el
afijo
b
del
pun
to
B
imagen
del
pun
to
B
p
or
f
.
Establecer
que
B
p
ertenece
al
círculo
(
C
)
de
cen
tro
O
y
radio
1
.
Colo
car
el
pun
to
B
y
trazar
el
círculo
(
C
)
en
el
sis-
tema
de
co
ordenadas.
c
Utilizando
la
pregun
ta
2
,
dem
uestre
que,
si
un
pun
to
M
p
ertenece
a
la
mediatriz
(Δ)
,
su
imagen
M
p
or
f
p
ertenece
al
círculo
(
C
)
.
d
Sea
C
el
pun
to
tal
que
el
triángulo
AO
C
sea
equilátero
directo.
Con
a
yuda
de
los
resultados
de
la
pregun
ta
2
,
,
con-
struy
a
con
regla
y
compás
la
imagen
del
pun
to
C
p
or
f
(.
Deje
visibles
las
líne
as
de
c
onstruc
ción)
.
4
En
esta
pregun
ta,
se
prop
one
determinar,
median
te
dos
méto
dos
diferen
tes,
el
conjun
to
(Γ)
de
pun
tos
M
distin-
tos
de
A
y
de
O
cuy
a
imagen
M
p
or
f
p
ertenece
al
eje
de
abscisas
Las
pregun
tas
a
et
b
pueden
tratarse
de
forma
inde-
p
endien
te.
a
Se
plan
tea
z
=
x
+i
·
y
con
x
y
y
reales
tales
que
:
(
x
;
y
)
=
(
−
1
;
0
)
;
(
x
;
y
)
=
(
0
;
0
)
Demostrar
que
la
parte
imaginaria
de
z
es
igual
a
:
I
m
(
z
)
=
x
2
+
y
2
+
x
(
x
+
1)
2
+
y
2
Deduzca
la
naturaleza
y
los
elemen
tos
característicos
del
conjun
to
(Γ)
y
tracélo
en
el
sistema
de
co
orde-
nadas.
b
Con
a
yuda
de
la
pregun
ta
2
,
,
determine
geométri-
camen
te
la
naturaleza
del
conjun
to
(Γ)
.
E.4072
La
ho
ja
adjun
ta
incluirá
las
con-
strucciones
solicitadas
duran
te
el
ejercicio.
En
el
plano
complejo
referido
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
directo
O
;
−
→
u
;
−
→
v
,
el
pun
to
A
tiene
como
afijo
i
.
Se
denota
p
or
f
la
aplicación
que,
a
to
do
pun
to
M
de
afijo
z
con
z
=
i
,
aso
cia
el
pun
to
M
de
afijo
z
tal
que
:
z
=
−
z
2
z
−
i
El
ob
jetiv
o
del
ejercicio
es
construir
geométricamen
te
el
pun
to
M
cono
ciendo
el
pun
to
M
1
Un
ejemplo
Consideramos
el
pun
to
K
de
afijo
1+i
.
a
Colo
car
el
pun
to
K
.
b
Determinar
el
afijo
del
pun
to
K
imagen
de
K
p
or
f
.
c
Colo
car
el
pun
to
K
.
2
Pun
tos
para
los
que
no
se
plan
tea
el
problema
a
Consideramos
el
pun
to
L
de
afijo
i
2
.
Determinar
su
imagen
L
p
or
f
.
¾Qué
observ
amos?
b
Un
pun
to
se
dice
in
v
arian
te
p
or
f
si
se
confunde
con
su
imagen.
Dem
uestre
que
existen
dos
pun
tos
in
v
arian
tes
p
or
f
cuy
os
afijos
se
determinarán.
3
Un
pro
cedimien
to
de
construcción
Denominamos
G
al
isobaricen
tro
de
los
pun
tos
A
,
M
y
M
y
g
al
afijo
de
G
.
a
V
erificar
la
igualdad
:
g
=
1
3
·
(
z
−
i)
b
Deducir
que
:
Si
M
es
un
pun
to
del
círculo
de
cen
tro
A
y
radio
r
,
en
tonces
G
es
un
pun
to
del
círculo
de
cen
tro
O
y
radio
1
3
·
r
.
c
Demostrar
que
:
arg
(
g
)
=
−
−
→
u
;
−
−
→
AM
.
d
En
la
ho
ja
adjun
ta,
se
ha
marcado
un
pun
to
D
en
el
círculo
de
cen
tro
A
y
radio
1
2
.
Denominamos
D
la
imagen
de
D
p
or
f
.
Deduzca
de
las
pregun
tas
an
teriores
la
construcción
del
pun
to
D
y
realícela
en
la
figura
adjun
ta
que
deb
e
en
tregar
con
la
copia)
.
En
la
figura
siguien
te,
el
segmen
to
O
I
tal
que
:
−
→
u
=
−
→
O
I
se
divide
en
seis
segmen
tos
de
igual
longitud.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3874
sacados/3874
chapExoCorrec/4072
sacados/4072
Antilles-Guyane Juin 2008 5 points
E.4030
El
plano
complejo
P
está
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
directo
ortonormal
O
;
−
→
u
;
−
→
v
,
unidad
gráfica
2
cm
.
Llamamos
Γ
a
la
circunferencia
de
cen-
tro
O
y
radio
1
.
Haremos
una
figura
que
completaremos
a
lo
largo
del
ejerci-
cio.
Llamamos
F
a
la
aplicación
del
plano
P
priv
ado
del
pun
to
O
en
P
que,
a
cualquier
pun
to
M
distin
to
de
O
,
del
afijo
z
,
aso
cia
el
pun
to
M
=
F
(
M
)
del
afijo
z
definido
p
or
:
z
=
z
+
i
−
1
z
1
On
considera
los
pun
tos
A
y
B
con
afijos
a
=
i
y
b
=
e
i
·
π
6
resp
ectiv
amen
te
y
sus
imágenes
A
y
B
p
or
F
con
afijos
a
y
b
resp
ectiv
amen
te.
a
Calculer
a
y
b
.
b
Placer
los
pun
tos
A
,
A
,
B
y
B
.
c
Démon
trer
que
:
−
b
b
−
b
=
3
3
·
i
.
d
En
deducir
la
naturaleza
del
triángulo
O
B
B
.
2
On
hallar
el
conjun
to
(
E
)
de
pun
tos
del
plano
P
priv
ados
del
pun
to
O
que
tienen
como
imagen
p
or
F
,
el
pun
to
O
.
a
Demostrar
que,
para
cualquier
n
úmero
complejo
z
:
z
2
+
i
·
z
−
1
=
z
+
3
2
+
1
2
·
z
−
3
2
+
1
2
·
i
b
En
deducir
los
afijos
de
los
pun
tos
del
conjun
to
(
E
)
.
c
Demostrar
que
los
pun
tos
de
(
E
)
p
ertenecen
a
(Γ)
.
3
Soit
„
un
n
úmero
real.
a
Demostrar
que
si
z
=
e
i
·
θ
en
tonces
z
=
2
·
sin
„
+1
·
i
b
Deduzca
que
si
M
p
ertenece
al
círculo
(Γ)
,
en
tonces
M
p
ertenece
al
segmen
to
[
A
C
]
donde
C
tiene
como
afijo
−
i
6.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.8135
1
Exprese
las
formas
exp
onencial
y
trigonométrica
de
los
n
úmeros
complejos
1+
i
y
1
−
i
.
2
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
se
ha
establecido
:
S
n
=
1
+
i
n
+
1
−
i
n
a
Determine
la
forma
trigonométrica
de
S
n
.
b
P
ara
cada
una
de
las
dos
afirmaciones
siguien
tes,
in-
dique
si
es
v
erdadera
o
falsa
y
justifique
su
respuesta.
No
se
tendrán
en
cuen
ta
las
respuestas
sin
justificar
y
no
se
p
enalizará
la
falta
de
respuesta.
Afirmación
A
:
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
el
n
úmero
complejo
S
n
es
un
n
úmero
real.
Afirmación
B
:
Existe
una
infinidad
de
n
úmeros
naturales
n
tales
que
S
n
=
0
.
E.8145
Asia
Junio
de
2018
E.8148
An
tillas
francesas
Septiem
bre
2018
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
D
A
O
I
sacados/4030
Polynesie Septembre 2009 5 points
sacados/8135
Liban Mai 2018 3 points
sacados/8145
Asie Juin 2018 5 points
sacados/8148
E.3151
Par
a
c
ada
pr
e
gunta,
solo
una
de
las
cuatr
o
r
espuestas
pr
opuestas
es
c
orr
e
cta.
El
c
andidato
in-
dic
ar
á
en
la
c
opia
el
númer
o
de
la
pr
e
gunta
y
la
letr
a
c
orr
e-
sp
ondiente
a
la
r
espuesta
ele
gida.
Cada
r
espuesta
c
orr
e
cta
vale
1
punto,
c
ada
r
espuesta
inc
or-
r
e
cta
r
esta
0
;
5
puntos.
L
as
pr
e
guntas
sin
r
esp
onder
se
pun-
túan
c
on
0
puntos.
Si
el
total
es
ne
gativo,
la
nota
se
r
e
duc
e
a
c
er
o.
No
se
r
e
quier
e
justific
ación.
1
Sea
z
el
n
úmero
complejo
de
mó
dulo
2
y
argumen
to
ı
3
.
En
tonces
tenemos
:
a
z
14
=
−
128
·
3
−
128
·
i
b
z
14
=
64
−
64
·
i
c
z
14
=
−
64
+
64
·
i
·
3
d
z
14
=
−
128
+
128
·
i
·
3
2
Consideremos,
en
el
plano
complejo
referido
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales,
el
pun
to
S
de
afijo
3
y
el
pun
to
T
de
afijo
4i
.
Sea
(
E
)
el
conjun
to
de
pun
tos
M
de
afijo
z
tales
que
:
⏐
⏐
z
−
3
⏐
⏐
=
⏐
⏐
3
−
4i
⏐
⏐
.
a
(
E
)
es
la
mediatriz
del
segmen
to
[
S
T
]
;
b
(
E
)
es
la
recta
(
S
T
)
;
c
(
E
)
es
el
círculo
de
cen
tro
Ω
de
afijo
3
−
4i
y
radio
3
;
d
(
E
)
es
el
círculo
de
cen
tro
S
y
radio
5
3
Consideremos
un
hexágono
regular
AB
C
D
E
F
,
cuy
os
la-
dos
tienen
una
longitud
1
.
El
pro
ducto
escalar
−
→
AC
·
−
−
→
C
F
es
igual
a
:
a
3
b
−
3
c
−
3
d
3
2
4
Una
función
g
está
definida
en
el
in
terv
alo
−∞
;
0
par
g
(
x
)
=
x
2
−
2
x
x
−
3
;
sea
Γ
su
curv
a
represen
tativ
a
en
un
sis-
tema
de
co
ordenadas
del
plano.
a
Γ
admite
una
asín
tota
de
ecuación
y
=
−
1
.
b
Γ
no
admite
ninguna
asín
tota.
c
Γ
admite
una
asín
tota
de
ecuación
y
=
x
.
d
Γ
admite
una
asín
tota
de
ecuación
y
=
1
.
5
Sea
la
función
f
definida
en
R
p
or
f
(
x
)
=
x
0
e
−
t
2
dt
.
La
función
f
,
deriv
ada
segunda
de
la
función
f
sobre
R
,
se
define
como
:
a
f
(
x
)
=
x
0
−
2
t
·
e
−
t
2
d
t
b
f
(
x
)
=
x
0
−
2
x
·
e
−
x
2
d
x
c
f
(
x
)
=
−
2
x
·
e
−
x
2
d
f
(
x
)
=
e
−
x
2
E.6048
Este
ejercicio
es
un
cuestionario
de
op
ción
m
últiple.
No
se
requiere
justificación.
P
ara
cada
una
de
las
pregun
tas,
solo
una
de
las
cuatro
propuestas
es
correcta.
Cada
respuesta
correcta
v
ale
1
pun
tos.
Una
respuesta
incor-
recta
o
la
ausencia
de
respuesta
no
resta
pun
tos.
El
candidato
indicará
en
la
copia
el
n
úmero
de
la
pregun
ta
y
la
respuesta
elegida.
1
Sea
z
1
=
6
·
e
i
π
4
y
z
2
=
2
·
e
−
i
π
3
.
La
forma
exp
onencial
de
i
·
z
1
z
2
es
:
a
3
e
i
19
π
12
b
12
e
−
i
π
12
c
3
·
e
i
7
π
12
d
3
e
i
13
π
12
2
La
ecuación
−
z
=
z
,
con
incógnita
compleja
z
,
admite
:
a
una
solución
b
dos
soluciones
c
una
infinidad
de
soluciones
cuy
os
pun
tos
imagen
en
el
plano
complejo
se
encuen
tran
en
una
recta.
d
una
infinidad
de
soluciones
cuy
os
pun
tos
imagen
en
el
plano
complejo
se
encuen
tran
en
un
círculo.
3
En
un
sistema
de
co
ordenadas
espaciales,
consideramos
los
tres
pun
tos
A
1
;
2
;
3
,
B
−
1
;
5
;
4
y
C
−
1
;
0
;
4
.
La
recta
paralela
a
la
recta
(
AB
)
que
pasa
p
or
el
pun
to
C
tiene
la
siguien
te
represen
tación
paramétrica
:
a
x
=
−
2
t
−
1
y
=
3
t
z
=
t
+
4
,
t
∈
R
b
x
=
−
1
y
=
7
t
z
=
7
t
+
4
,
t
∈
R
c
x
=
−
1
−
2
t
y
=
5
+
3
t
z
=
4
+
t
,
t
∈
R
d
x
=
2
t
y
=
−
3
t
z
=
−
t
,
t
∈
R
4
En
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
del
espa-
cio,
consideramos
el
plano
P
que
pasa
p
or
el
pun
to
D
−
1
;
2
;
3
y
tiene
como
v
ector
normal
−
→
n
3
;
−
5
;
1
,
y
la
recta
Δ
de
represen
tación
paramétrica
:
x
=
t
−
7
y
=
t
+
3
z
=
2
t
+
5
,
para
to
do
t
∈
R
a
La
recta
Δ
es
p
erp
endicular
al
plano
P
b
La
recta
Δ
es
paralela
al
plano
P
y
no
tiene
ningún
pun
to
en
com
ún
con
el
plano
P
.
c
La
recta
Δ
y
el
plano
P
son
secan
tes.
d
La
recta
Δ
está
incluida
en
el
plano
P
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3151
sacados/3151
chapExoCorrec/6048
sacados/6048
E.6051
Las
cuatro
pregun
tas
de
este
ejer-
cicio
son
indep
endien
tes.
P
ara
cada
pregun
ta
se
prop
one
una
afirmación.
Indique
si
cada
una
de
ellas
es
v
erdadera
o
falsa,
justificando
la
re-
spuesta.
Una
respuesta
no
justificada
no
pun
túa.
En
las
pregun
tas
1
et
2
,
el
plano
está
referido
a
la
referen-
cia
directa
ortonormal
O
;
−
→
u
;
−
→
v
.
Consideremos
los
pun
tos
A
,
B
,
C
,
D
y
E
con
sus
resp
ectiv
os
afijos
:
a
=
2
+
2i
;
b
=
−
3
+
i
;
c
=
1
+
i
3
d
=
−
1
+
3
2
i
;
e
=
−
1
+
2
+
3
i
1
Affirmation
1
:
les
los
pun
tos
A
,
B
y
C
están
alineados.
2
Affirmation
2
:
los
pun
tos
B
,
C
y
D
p
ertenecen
al
mismo
círculo
con
cen
tro
E
.
3
Dans
esta
pregun
ta,
el
espacio
está
pro
visto
de
un
marco
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Consideremos
los
pun
tos
:
1
;
0
;
0
;
J
0
;
1
;
0
;
K
0
;
0
;
1
Affirmation
3
:
la
recta
D
de
represen
tación
paramétrica
:
x
=
2
−
t
y
=
6
−
2
t
z
=
−
2
+
t
où
t
∈
R
in
terseca
el
plano
(
I
J
K
)
en
el
pun
to
E
−
1
2
;
1
;
1
2
4
Dans
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
,
el
pun
to
T
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
H
F
]
.
Aserción
4
:
las
rectas
(
AT
)
y
(
E
C
)
son
ortogonales.
E.8138
P
ara
cada
una
de
las
cuatro
afirma-
ciones
siguien
tes,
indique
si
es
v
erdadera
o
falsa,
justificando
su
respuesta.
Se
otorga
un
pun
to
p
or
cada
respuesta
correcta
y
debidamen
te
justificada.
Una
respuesta
incorrecta
o
sin
justificar
no
suma
ni
resta
pun
tos.
1
Un
tip
o
de
osciloscopio
tiene
una
vida
útil,
expresada
en
años,
que
puede
mo
delarse
median
te
una
v
ariable
aleato-
ria
D
que
sigue
una
ley
exp
onencial
con
parámetro
–
.
Se
sab
e
que
la
vida
útil
media
de
este
tip
o
de
osciloscopio
es
de
8
años.
Afirmación
1
:
para
un
osciloscopio
de
este
tip
o
elegido
al
azar
y
que
y
a
ha
funcionado
3
años,
la
probabilidad
de
que
la
vida
útil
sea
sup
erior
o
igual
a
10
años,
redondeada
al
cen
tésimo,
es
igual
a
0
;
42
.
Recordemos
que
si
X
es
una
v
ariable
aleatoria
que
sigue
una
ley
exp
onencial
con
parámetro
–
,
para
to
do
n
úmero
real
t
p
ositiv
o
tenemos
:
P
X
t
=
1
−
e
−
λ
·
t
2
En
2016
,
en
F
rancia,
las
fuerzas
del
orden
realizaron
9
;
8
millones
de
con
troles
de
alcoholemia
a
conductores,
y
3
;
1
%
de
estos
con
troles
dieron
p
ositiv
o.
F
uen
te
OFDT
(Observatorio
F
r
anc
és
de
Dr
o
gas
y
T
oxi-
c
omanías)
En
una
región
determinada,
el
15
de
junio
2016
,
una
brigada
de
la
gendarmería
realizó
un
con
trol
a
200
con-
ductores
Afirmación
2
:
redondeando
al
cen
tésimo,
la
probabil-
idad
de
que,
de
los
200
con
troles,
ha
y
a
habido
estricta-
men
te
más
de
5
con
troles
p
ositiv
os,
es
igual
a
0
;
59
.
3
Consideramos
en
R
la
ecuación
:
ln
6
x
−
2
+
ln
2
x
−
1
=
ln
x
Afirmación
3
:
la
ecuación
admite
dos
soluciones
en
el
in
terv
alo
1
2
;
+
∞
.
4
Consideramos
en
C
la
ecuación
:
4
·
z
2
−
20
·
z
+
37
2
·
z
−
7
+
2
·
i
=
0
Afirmación
4
:
las
soluciones
de
la
ecuación
son
los
afijos
de
pun
tos
p
ertenecien
tes
a
un
mismo
círculo
con
cen
tro
en
el
pun
to
P
y
afijo
2
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6051
sacados/6051
Asie Juin 2013
T
A
B
C
D
E
F
G
H
sacados/8138
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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