Bachillerato 2 - Exp. / Aritmética y divisibilidad 56 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Descomposición en productos de factores primos E.8602 1 Nombra los enteros primos menores o iguales que 20 . 2 Determina las descomposiciones en productos de factores primos de los siguientes enteros : 126 ; 588 ; 5040 3 Deduce las descomposiciones en productos de factores primos de los siguientes enteros : 5040 126 ; 126+588 E.5218 Determina la descomposición en pro-ducto de factores primos de los siguientes números enteros : a 8232 b 1750 c 1053 E.4288 k designa un número natural distinto de cero. 1 Exprese la descomposición en factores primos de 2008 . 2 Determine, explicando el método elegido, el valor más pe-queño del número natural k para el que k 6 es un múltiplo de 2008 . E.6805 On admite que cualquier número natural distinto de cero n puede escribirse unívocamente como el producto de una potencia de 2 por un número entero impar : n =2 α × k donde ¸ es un número natural (posiblemente cero) y k un número natural impar. La escritura n =2 α × k se denomina descomposición de n . Por ejemplo, he aquí las descomposiciones de los enteros 9 y 120 : 9 = 2 0 × 9 ; 120 = 2 3 × 15 . 1 Dar la descomposición del entero 192 . 2 Sean x y z dos números naturales distintos de cero, cuyas descomposiciones son : x =2 α × k ; z =2 β × m Escribe la descomposición de los números naturales 2 · x 2 y z 2 . 3 Examinando el exponente de 2 en la descomposición 2 · x 2 y en la de z 2 , demostrar que no hay ningún par de en-teros naturales distintos de cero ( x ; y ) tal que : 2 · x 2 = z 2 E.3364 Considera los dos enteros siguientes : A =72 ; B =135 1 Determina la descomposición en producto de factores pri-mos de los enteros A y B . 2 a Utilizando un árbol de elección, determinar el con-junto de divisores de A y el conjunto de divisores de B . b Dar el conjunto de divisores comunes a A y B . E.3622 Sea n un número natural. Consideremos el número entero A definido por: A = 2 3 × 3 n × 5 n 1 a Determinar el número de divisores del número en-tero A en los siguientes casos : n = 0 ; n = 1 ; n = 2 b Determinar una expresión en función de n que dé el número de divisores del número entero A . 2 ¾Cuántos divisores tiene el número entero 6 075 000 ? 2. Paridad E.3332 1 Completa intuitivamente las dos tablas de doble entrada siguientes : + Pair Impair Pair Impair × Pair Impair Par Impair 2 Observando las dos caracterizaciones siguientes : Si n ∈ Z es par, existe k ∈ Z tal que : n = 2 · k Si n ∈ Z es impar, existe k ∈ Z tal que : n = 2 · k + 1 Responde a las siguientes preguntas : a Demuestra que la suma de dos enteros impares es par. b Demostrar que el producto de dos enteros impares es impar. E.5035 Demostrar que la suma de los cuadra- dos de dos enteros consecutivos es un entero impar E.3334 Consideremos la expresión B = n 2 − 1 para n ∈ N ∗ : 1 Demostrar que para n pares, B es impar. 2 Demostrar que para n un entero impar estrictamente mayor que 1, B es par y divisible por 8. E.6773 Demostrar que la suma de dos en-teros impares consecutivos es un múltiplo entero de 4 . E.3488 Sean p y q dos números naturales. Estudiemos la relación: p 2 − 2 · q 2 = 1 1 Halla dos enteros p y q que verifiquen la relación anterior y tales que : 1 p 4 ; 1 q 4 2 Se supone que los enteros p y q verifican la relación bus-cada : a Demostrar que el entero p es impar. b Deduce que el número entero q es par. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8602 sacados/8602 chapExoCorrec/5218 sacados/5218 chapExoCorrec/4288 sacados/4288 chapExoCorrec/6805 sacados/6805 chapExoCorrec/3364 sacados/3364 chapExoCorrec/3622 sacados/3622 chapExoCorrec/3332 sacados/3332 chapExoCorrec/5035 sacados/5035 chapExoCorrec/3334 sacados/3334 chapExoCorrec/6773 sacados/6773 chapExoCorrec/3488 sacados/3488
3. Algunos problemas aritméticos E.3333 Determinar la suma de todos los múltiplos de 11 comprendidos entre 100 y 400 . (Se puede utilizar una sucesión aritmética) E.5726 Demuestra que la suma de tres en-teros consecutivos es divisible por 3 . E.8604 1 Para k un número natural distinto de cero desarrolla la expresión : A = 2 · k +1 2 − 1 . 2 Justifica que A es múltiplo de 8 . E.6770 Recordemos que, para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos : 1 + 2 + · · · + n = n · n + 1 2 1 Demuestre que el entero 1+2+ ··· + n es el cuadrado de un entero si, y sólo si, existe un número natural p tal que n 2 + n − 2 · p 2 =0 . 2 Deduce que el entero 1+2+ ··· + n es el cuadrado de un entero si, y sólo si, existe un número natural p tal que (2 n +1) 2 − 8 p 2 =1 . 4. División euclidiana en Z E.8603 1 ¾Cuál de las igualdades propuestas representa la división euclídea de − 25 por 3 : a − 25 = ( − 9) × 3 + 2 b − 25 = ( − 8) × 3 + ( − 1) 2 Determine las divisiones euclídeas de los siguientes números por 4 : a − 31 b − 19 5. División euclidiana E.5728 De la igualdad : 456 164=65 164 × 7+ 16 , deduce la división euclídea de 456 164 por 7 . E.3327 1 Sin la calculadora, calcula la división euclídea de 372 por 15 . 2 Con la calculadora, realiza la división euclídea de 37 852 por 23 . 3 Utiliza las siguientes igualdades para responder a las sigu-ientes preguntas : 2 456 = 17 × 143 + 25 ; 32 247 143 = 225 + 72 143 ; 516 43 = 12 674 24 = 28 + 1 12 ; 5 460 63 = 85 + 5 3 ; 345 = 27 × 13 − 6 a Determina la división euclídea de 2 456 por 17 . b Determina la división euclídea de 32 247 por 143 . c Determina el resto de la división euclídea de 516 por 43 . d Determina la división euclídea de 674 por 24 . e Deduce la división euclídea de 5 460 por 63 . f Determina la división euclídea de 345 por 13 . E.5840 Consideremos la función f ex-traída de un algoritmo cuya llamada se realiza pasándole como argumento dos números naturales a et b : Función f(a,b) c ← 0 Mientras a>b c ← c+1 a ← a − b Fin Mientras Devolver ( c ; a) 1 Dar el par devuelto por la función f cuando se llama con los argumentos a =13 y b =4 . En una ejecución paso a paso de la llamada a la función f , se indicarán los valores de las variables a , b , c durante esta llamada. 2 ¾Qué representa el par devuelto durante la llamada a la función ff ? ? E.4696 El año 2012 fue bisiesto y el 1 er de enero 2012 fue domingo. 1 a ¾Cuántos días hay entre el 1 er de enero 2012 y el 20 de enero 2012 ? b Da la división euclidiana de 19 entre 7 . c ¾Qué día de la semana era el 20 de enero 2012 ? 2 Determine el día de la semana del 25 de marzo 2012 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3333 sacados/3333 chapExoCorrec/5726 sacados/5726 chapExoCorrec/8604 sacados/8604 chapExoCorrec/6770 sacados/6770 Extrait Asie Juin 2015 chapExoCorrec/8603 sacados/8603 chapExoCorrec/5728 sacados/5728 chapExoCorrec/3327 sacados/3327 chapExoCorrec/5840 sacados/5840 chapExoCorrec/4696 sacados/4696
E.6965 Un número de tarjeta ban-caria tiene el siguiente formato : a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 c donde a 1 , a 2 , . . . , a 15 y c son dígitos comprendidos entre 0 y 9 . Los quince primeros dígitos contienen información sobre el tipo de tarjeta, el banco y el número de cuenta bancaria. c es la clave de validación del número. Este dígito se calcula a partir de los otros quince. La función siguiente permite validar la conformidad de un número de tarjeta determinado. Fonction f( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a 10 , a 11 , a 12 , a 13 , a 14 , a 15 , a 16 , a 17 ,c) i ← 0 p ← 0 r ← 0 Para k que va de 0 a 7 r ← el resto de la división euclidiana de 2 · a 2k+1 por 9 i ← i+r Fin Para Para k que va de 1 a 7 p ← p+a 2k Fin Para s ← i+p+c Si s es un múltiplo de 10 , entonces: Devolver 1 Si no Devolver 0 Fin Si Consideremos el siguiente número de tarjeta : 5635 4002 9561 3411. 1 Complete la tabla siguiente para obtener el valor final de la variable I k 0 1 2 3 4 5 6 7 a 2 k +1 2 a 2 k +1 r i 2 Justifique que el número de la tarjeta 5635 4002 9561 3411 es correcto. 3 Modificamos el número de esta tarjeta cambiando los dos primeros dígitos. El primer dígito (inicialmente 5 ) se cambia a 6 . ¾Cuál debe ser el segundo dígito a para que el número de tarjeta obtenido 6 a 35 4002 9561 3411 siga siendo cor-recto? 6. Operación sobre la división euclidiana E.3330 1 Determina la división euclídea de 1 038 entre 17. 2 Estudiando el cuadrado (61 × 17+1) 2 , determina el resto de la división euclídea de 1 038 2 entre 17. 3 Deduce una conjetura sobre el resto, para cualquier número natural n , de la división euclídea de 1 038 n por 17. E.6768 Sea n un número entero rela-tivo. Consideremos las dos propiedades siguientes : P ˇ el resto de la división euclidiana de n por 5 es 1 ı P ˇ el resto de la división euclidiana de n por 4 es 3 ı 1 a Sea n un número entero natural que verifica la propiedad P . Determinar el resto de la división eu-clidiana de n − 11 por 5 . b Sea n un número natural que verifica la propiedad P . Justifique que el número entero n − 11 es un múltiplo de 4 . 2 Sin justificación, dé tres números enteros que cumplan las dos propiedades P y P . E.5979 n es un número natural. En la división euclidiana de n por 7 , n se puede escribir : n = 7 q + r donde q y r son números naturales. 1 ¾Qué representa r ? ¾Cuáles son los valores posibles para r ? 2 Se divide n 2 entre 7 . ¾Cuáles son los valores posibles para r ? 3 Deduzca que si 7 divide n 2 , entonces 7 divide a n . 4 n y m son dos números naturales. Dividimos n 2 + m 2 entre 7 . ¾Cuáles son los restos posibles? 5 Deduzca que si 7 divide a n 2 + m 2 , entonces 7 divide a n y m . 7. Divisor y múltiplo E.3339 ¸ y ˛ representan dos enteros ; con-sidere las cuatro sentencias siguientes : 1 ¸ es múltiplo de ˛ 2 ¸ tiene el múltiplo ˛ 3 ¸ es un divisor ˛ 4 ¸ tiene como divisor ˛ Las oraciones anteriores son equivalentes dos a dos ; encuentra las oraciones equivalentes. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6965 sacados/6965 Extrait Liban Juin 2017 chapExoCorrec/3330 sacados/3330 chapExoCorrec/6768 sacados/6768 chapExoCorrec/5979 sacados/5979 chapExoCorrec/3339 sacados/3339
Débutdelafrise E.5036 1 a Determina el resto de la división euclídea de 10 2 por 3 . b Utilizando razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier entero natural n , el resto de 10 n por la división euclídea por 3 es 1 . 2 Justifica que el entero 4 × 10 n − 1 es, para cualquier número natural n , divisible por 3 . E.1821 Para cualquier número natu-ral n , planteamos : A ( n )= n 2 − n +2007 . El objetivo del ejercicio es estudiar la divisibilidad de los en-teros A ( n ) por 2 y por 3 . Este ejercicio consta de dos cuestiones independientes. 1 a Dar la descomposición en producto de factores pri-mos del entero A (1) igual a 2007. b Sea n un número natural. Demuestra que : ˇ Si n es divisible por 3, entonces A ( n ) es divisible por 3 ı. c ¾Es cierto el recíproco de esta última afirmación? Jus- tifícalo. 2 a Comprueba que, sea cual sea el número natural n , tenemos : ( n + 1) 2 − ( n + 1) + 2007 = ( n 2 − n + 2007) + 2 · n b Considera cualquier número natural n . Demostrar que : ˇ Si A ( n ) es impar, entonces A ( n +1) es impair ı. c ¾Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Justi-fica. ˇ Existe al menos un número natural n tal que A ( n ) es divisible por 2 ı. E.3360 Para cualquier entero relativo n , con-sidere el entero A n definido por: A n =2 n 2 +2 n +8 Justifique que el número entero A n es divisible por 4 para cualquier número entero relativo n ∈ Z E.6783 Sea n un número entero relativo. Establezca la siguiente propiedad : 2 n +3 es múltiplo de 7 = ⇒ 3 n +1 es múltiplo de 7 . 8. Problema y resto de la división euclídea E.5701 Un friso está formado por cuadrados, triángulos, círculos y trapecios que se suceden de forma regu-lar. Estos elementos están pintados sucesivamente de blanco, con rayas o de negro. El comienzo del friso se muestra a continuación : 1 Indique las características del elemento 113 ième de este friso. 2 ¾Cuál es el elemento siguiente al elemento 113 ième y que tiene las mismas características? E.5702 Un sistema de codificación permite trans- formar cualquier letra de un texto en otra haciendo que el texto sea ilegible. Para ello, numera las letras del alfabeto empezando por 0 . A continuación, una transformación sobre el número entero cambia la letra. He aquí la tabla de correspondencias de esta codificación : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C F I L O R U X A D G ¾Qué transformación se ha utilizado sobre los números en-teros? 9. Manejo del resto de la división euclidiana E.3357 En este ejercicio, nos interesamos por la división euclidiana por 4 y, más concretamente, por el resto de la división por 4: 1 Sean x y y dos números enteros cuyo resto en la división euclidiana por 4 es respectivamente 2 y 3 . a Dar una expresión que caracterice la división euclidi-ana de x por 4 , así como la división euclidiana de y por 4 . b Establecer que el resto de la división ( x + y ) por 4 es igual a 1 . c Establecer que el resto de la división x · y por 4 es igual a 2 2 Sean x y y dos números enteros ; se denotan r x y r y los restos de la división respectivamente de x y de y por 4. Consideremos las dos tablas siguientes : r x r y anchura0pt altura12pt profundidad5pt 0 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 1 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 2 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 3 0 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 1 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 2 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 3 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt  r x + y r x r y anchura0pt altura12pt profundidad5pt 0 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 1 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 2 anchura0pt altura12pt profundidad5pt 3 0 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 1 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 2 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt 3 anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt profundidad5pt  r x · y Se anotan r x + y y r x · y los restos respectivos mediante la https://chingmath.fr chapExoCorrec/5036 sacados/5036 chapExoCorrec/1821 sacados/1821 Antilles-Guyane - juin 2007 - 6 points chapExoCorrec/3360 sacados/3360 chapExoCorrec/6783 sacados/6783 chapExoCorrec/5701 sacados/5701 Débutdelafrise chapExoCorrec/5702 sacados/5702 chapExoCorrec/3357 sacados/3357
división por 4 de los números enteros ( x + y ) et ( x · y ) . a Anote en estas dos tablas los resultados obtenidos en la pregunta 1 . b Complete de manera ˇ intuitiva ı estas dos tablas. E.3331 Damos la división euclídea de 195 695 por 3 : 195 695 = 65 231 × 3 + 2 1 Justifica que el resto de la división euclídea de 195 695 × 2 por 3 es 1 . 2 Determina el resto de la división euclídea de 195 695 × 3 por 3 . 3 Observa r n el resto de la división euclídea de 195 695 × n entre 3. Completa mentalmente la siguiente tabla : n 1 2 3 4 5 6 7 r n E.8605 La división euclídea del entero 7 17 entre 4 tiene resto 3 . Se contestará a las siguientes preguntas, justificando su respuesta. 1 Determina el resto de la división euclídea de 7 17 por 2 . 2 Determinar el resto de la división euclídea de 7 34 por 4 . E.6785 Se dan las dos siguientes divisiones euclídeas por 5 : 5474 = 1094 × 5 + 4 ; 5487 = 1097 × 5 + 2 Sin usar calculadora y sin calcular un producto, demuestra que el entero 5474 2 +5487 2 es divisible por 5 . Todo tu planteamiento debe estar presente en tu copia. E.6772 n es un número natural. En la división euclidiana de n por 7 , n se puede escribir como: n = 7 · q + r donde q y r son números naturales. 1 ¾Qué representa r ? ¾Cuáles son los valores posibles para r ? 2 Se divide n 2 entre 7 . ¾Cuáles son los restos posibles? 3 Deduzca que si 7 divide a n 2 , entonces 7 divide a n . 10. Razonamiento exhaustivo E.5727 Determina el conjunto de pares ( a ; b ) de números naturales que verifican la igualdad : a 2 − b 2 = 21 E.4999 Consideremos el número entero A definido por: A = m × 4 · n + 1 donde m; n ∈ N . Buscamos determinar los valores de m y n consiguiendo la igualdad A =45 . 1 Estudiando la relación 45= m × (4 · n +1) , da un conjunto de posibles valores de m . 2 Deducir el conjunto de parejas ( m ; n ) logrando A =45 . E.3335 1 Determina el valor de a y b dos enteros relativos tales que, para cualquier entero relativo n , tenemos : 4 n + 1 n + 1 = a + b n + 1 2 Deduce los valores de n para los que 4 n +1 n +1 es un entero. E.3358 Sean a y b dos números naturales. 1 Demuestra que : a 2 · b − a · b 2 = 9 = ⇒ a · b divide 9 y a − b divide 9. 2 Deduce los pares de soluciones ( a ; b ) tales que : a 2 · b − a · b 2 = 9 . E.3359 Determinar el conjunto de números naturales n tales que el cociente de la división euclídea de n por 5 es igual al resto por la misma división. E.8609 Considere el número entero B definido por: B = 2 · m + 3 · 2 · n donde m; n ∈ N Determinar el conjunto de pares ( m ; n ) de enteros que verifi-can la relación B =70 . E.8607 Determina, si existen, los valores de n ∈ Z para que la fracción 6 n +9 2 n +1 tenga un valor entero: E.8608 Determina, si existen, los valores de n ∈ Z para que la fracción 9 − 6 n 3 n − 4 tenga un valor entero. E.3490 Para cualquier entero relativo n dis-tinto de 1 , considere el número : A n = 2 n 2 − n − 11 n − 1 1 Determine el valor de los enteros relativos a , b , c verifi-cando la siguiente relación para cualquier número natural n distinto de 1: A n = a · n + b + c n − 1 2 Deduce los valores de n tales que el entero A n sea un número entero. E.8606 Para cualquier número entero relativo, considere el número B n definido por: B n = 2 n 2 − 3 n − 15 2 n + 3 Determina los valores de n para los que B n es un entero rela-tivo. E.5039 Determina el conjunto de parejas ( a ; b ) de enteros relativos que verifican la igualdad : a 2 − b 2 = 11 . 11. Razonamiento de disyunción de casos https://chingmath.fr chapExoCorrec/3331 sacados/3331 chapExoCorrec/8605 sacados/8605 chapExoCorrec/6785 sacados/6785 chapExoCorrec/6772 sacados/6772 chapExoCorrec/5727 sacados/5727 chapExoCorrec/4999 sacados/4999 chapExoCorrec/3335 sacados/3335 chapExoCorrec/3358 sacados/3358 chapExoCorrec/3359 sacados/3359 chapExoCorrec/8609 sacados/8609 chapExoCorrec/8607 sacados/8607 chapExoCorrec/8608 sacados/8608 chapExoCorrec/3490 sacados/3490 chapExoCorrec/8606 sacados/8606 chapExoCorrec/5039 sacados/5039
E.6774 Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 6 . Para ello, considera los tres casos siguientes : El primero de los enteros es divisible por 3 . El primo de los enteros tiene un resto de 1 por división euclídea por 3 . El primero de los enteros tiene un resto de 2 por división euclídea por 3 . E.5730 Demuestra que para cualquier número natural n , la expresión 3 n 2 + n +2 es divisible por 2 . E.3623 Sea N un número natural, impar no primo. Supongamos N = a 2 − b 2 donde a y b son dos números natu-rales tales que a>b . 1 Demuestre que a y b no tienen la misma paridad. 2 Demuestre que N puede escribirse como el producto de dos números naturales p y q . 3 ¾Cuál es la paridad de p y q ? 12. Razonar por lo absurdo E.6769 En este ejercicio nos intere-san las tripletas de enteros naturales distintos de cero ( x ; y ; z ) tales que : x 2 + y 2 = z 2 Estos tripletes se llamarán ˇ Triples pitagóricos ı en referencia a los triángulos rectángulos cuyos lados miden, y se anotarán de forma abreviada ˇ TP ı. Así 3 ; 4 ; 5 es un TP porque: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 1 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) es un TP , y p un número nat-ural distinto de cero, entonces el triplete ( p · x ; p · y ; p · z ) también lo es, a TP . 2 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) es un TP , entonces los números naturales x , y y z no pueden ser todos tríos impares. E.6775 Considere la siguiente ecuación en Z : ( E ) : a 2 + 9 = 2 40 1 Demuestre que si a existe entonces a es impar. (puede utilizarse el razonamiento por absurdo) 2 a Completa la siguiente tabla : r 1 3 5 7 r 2 Resto de r 2 par la division euclidienne par 8 b La división euclídea de a por 8 da la existencia de un único par ( q ; r ) : a = 8 · q + r ; 0 r< 8 Justifica que si el número entero a es impar, entonces la expresión a 2 +9 no es divisible por 8 . c Deduce que la ecuación ( E ) no admite solución. E.6933 En este ejercicio, nos intere-samos por los tripletos de números naturales distintos de cero ( x ; y ; z ) tales que : x 2 + y 2 = z 2 Estos tripletos se denominarán ˇ tripletos pitagóricos ı en ref-erencia a los triángulos rectángulos cuyos lados miden, y se abreviarán como ˇ TP ı. Así, 2 ; 3 ; 4 es un TP porque: 3 2 +4 2 =5 2 Parte A : generalidades 1 Demostrar que, si ( x ; y ; z ) es un TP y p un número nat-ural distinto de cero, entonces el triplete ( px ; py ; pz ) es también un TP. 2 Demostrar que, si ( x ; y ; z ) es un TP, entonces los números naturales x , y y z no pueden ser los tres im-pares. 3 Para esta pregunta, se admite que todo número natural distinto de cero n puede escribirse de forma única como el producto de una potencia de 2 por un número entero impar : n = 2 α × k donde ¸ es un número natural (que puede ser nulo) y k un número natural impar. La escritura n =2 α × k se denomina descomposición de n . A continuación se muestran, por ejemplo, las descomposi-ciones de los números enteros 9 y 120 : 9 = 2 0 × 9 ; 120 = 2 3 × 15 a Da la descomposición del entero 192 . b Sean x y z dos números naturales distintos de cero, cuyas descomposiciones son : x = 2 α × k ; z = 2 β × m Escriba la descomposición de los números naturales 2 x 2 y z 2 . c Examinando el exponente de 2 en la descomposición de 2 x 2 y en la de z 2 , demuestre que no existe ningún par de números naturales distintos de cero ( x ; y ) tal que 2 x 2 = z 2 . Se admite que la pregunta A 3 permite establecer que los tres números naturales x , y y z son distintos entre sí. Además, como los números naturales x , y desempeñan un papel simétrico, en lo sucesivo, para cualquier TP ( x ; y ; z ) , los tres números naturales x , y y z se ordenarán de la sigu-iente manera : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6774 sacados/6774 chapExoCorrec/5730 sacados/5730 chapExoCorrec/3623 sacados/3623 Centres etrangers Juin 2005 chapExoCorrec/6769 sacados/6769 chapExoCorrec/6775 sacados/6775 chapExoCorrec/6933 sacados/6933
x <y <z Parte B; búsqueda de tripletas pitagóricas que con-tengan el entero 2015 1 Descomponer en producto de factores primos el entero 2015 y, a continuación, utilizando el TP dado en el preám-bulo, determinar un TP de la forma x ; y ; 2015 . 2 Se admite que, para todo número entero natural n : 2 n + 1 2 + 2 n 2 + 2 n 2 = 2 n 2 + 2 n + 1 2 Determinar un TP de la forma (2015 ; y ; z ) 3 a Teniendo en cuenta que 403 2 =169 × 961 , determinar un par de números naturales distintos de cero ( x ; z ) tales que : z 2 − x 2 =403 2 con x< 403 b Deduzca un TP de la forma ( x ; 2015 ; z ) 13. Razonamiento contrapositivo E.6784 Sea n un número natural. Demostrar la siguiente afirmación : n 2 es impar = ⇒ n es impar. 14. Ejercicios no clasificados E.5820 Consideremos la función f ex-traída de un algoritmo: Función f(A) X ← A Mientras X 26 X ← X − 26 Fin del mientras Devolver X 1 ¾Cuál es el valor devuelto por la función f cuando se llama con el entero 3 como argumento? 2 ¾Cuál es el valor devuelto por la función f cuando se llama con el entero 55 como argumento? 3 Para cualquier número entero introducido, ¾qué repre-senta el valor devuelto por esta función? E.5835 Consideremos la función f que aparece a continuación, extraída de un algoritmo, donde Ent A N designa la parte entera de A N . Función f(A) N ← 1 Mientras N √ A Si A N − Ent A N =0 Entonces ( X ; Y) ← N ; A N Fin si N ← N+1 Fin Mientras 1 Al llamar a la función f con el valor 12 para el argumento A , ¾cuáles serán los valores asignados al par ( X ; Y) de variables al llamar a este programa? 2 ¾Qué representan los valores asignados a la variable X al ejecutar este programa? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6784 sacados/6784 chapExoCorrec/5820 sacados/5820 Extrait du Bac Antilles-Guyanes Septembre 2013 chapExoCorrec/5835 sacados/5835 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2012