Bachillerato 2 - Exp. / Cadenas de Markov 29 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Secuencias recursivas lineales de matrices de orden 1 E.6870 Consideremos las matrices M y R definidas por: M = 0 ; 9 0 ; 15 0 ; 1 0 ; 85 ; R = − 5 5 Definimos la secuencia matricial X n definida por: X 0 = 1100 1100 ; X n +1 = M · X n + R para todo n ∈ N Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier número natural n , tenemos : X n = 1300 − 200 × 0 ; 75 n 900 + 200 × 0 ; 75 n E.108 Consideremos las matrices A , B definidas por: A = 3 3 0 2 ; B = 1 1 ; C = 1 − 1 Consideremos la secuencia U n de matrices columna definidas por: U 0 = 1 2 ; U n +1 = A · U n + B para todos n ∈ N 1 Justifique que la matriz C verifica la igualdad : C = A · C + B 2 Definimos la secuencia V n de matrices de filas medi-ante la relación: V n = U n − C para todo n ∈ N a Justifique la igualdad : V n +1 = A · V n para todos n ∈ N b Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier número natural n , tenemos : U n = 33 n +2 − 9 × 2 n +1 3 × 2 n − 1 2. Secuencias recursivas lineales de matrices de orden 1: estado estable y se-cuencia conjunta E.6395 Definición : Para todo k ∈ N ∗ , se considera una sucesión U n de ma-trices columnas con k filas que verifican una relación de la forma : U n +1 = A · U n + B para todo n ∈ N donde A es una matriz cuadrada de orden k y B es una matriz columna con k filas. Se denomina estado estable de la sucesión U n , la matriz columna S (que tiene k líneas) y verifica: S = A · S + B Consideramos una sucesión U n que cumple la relación: U n +1 = 2 1 − 1 1 · U n + − 2 − 1 Comprueba que la matriz S = − 1 3 es un estado estable de la sucesión U n de matrices. E.8647 Consideremos la secuencia X n de ma-trices de columnas, verificando : X 0 = 1 1 ; X n +1 = − 2 1 − 20 7 · X n + 1 2 ∀ n ∈ N 1 Verifica que la matriz S = − 2 − 7 representa el estado es-table de esta relación de recurrencia. 2 Consideremos la secuencia V n de matrices columna definidas, para cualquier número natural n , por: V n = X n − S a Establecer, para cualquier n ∈ N : V n +1 = A · V n b Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier número natural n , tenemos : V n = 7 × 2 n − 4 × 3 n 7 × 2 n +2 − 20 × 3 n c Deduce la expresión de la matriz X n en función de n . 3. Secuencias lineales recurrentes de matrices de orden 1: estudio del estado estable E.5514 Consideremos las dos sucesiones reales x n y y n cuyos términos verifican el siguiente sis-tema : x n +1 = x n + y n + 1 y n +1 = − 2 x n + 4 y n + 3 1 Consideremos la matriz columna B y, para todo entero n , la matriz columna X n definida por: B = 1 3 ; X n = x n y n Determinar la matriz cuadrada A de dimensión 2 que cumple la relación: X n +1 = A · X n + B 2 a Justificar que la matriz I 2 − A es invertible. Se dará la expresión de la matriz I 2 − A − 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6870 sacados/6870 chapExoCorrec/108 sacados/108 chapExoCorrec/6395 sacados/6395 chapExoCorrec/8647 sacados/8647 chapExoCorrec/5514 sacados/5514
AB0,350,70,650,3 b Determinar la matriz X que cumple la igualdad : X = A · X + B c Si las sucesiones x n y y n son convergentes, dar los valores de su límite. 3 Consideremos la sucesión V n de matriz columna definida por: V n = X n − X Deduzca que, para todo número natural n , la relación: V n = A n · V 0 4 Consideremos la matriz cuadrada P definida por: P = 1 − 1 1 − 2 a Justificar que la matriz P es invertible. b Se denota D la matriz definida por: D = P − 1 · A · P . Dar una expresión de la matriz D n para todo número natural n . c Deducir una expresión de la matriz A n para todo número natural n . 5 Tomamos como valor inicial de las sucesiones : x 0 = 1 ; y 0 = 2 ¾Qué se puede decir sobre la convergencia de las suce-siones x n y y n ? E.5515 Consideremos las dos sucesiones reales x n y y n cuyos términos verifican el siguiente sis-tema : x n +1 = 1 ; 4 x n − 0 ; 6 y n + 0 ; 2 y n +1 = 0 ; 9 x n − 0 ; 1 y n + 0 ; 3 1 Consideremos la matriz columna B y, para todo entero n , la matriz columna X n definidas por: B = 0 ; 2 0 ; 3 ; X n = x n y n Determinar la matriz cuadrada A de dimensión 2 que verifica la relación: X n +1 = A · X n + B 2 a Justificar que la matriz I 2 − A es invertible y, a con-tinuación, dar la expresión de la matriz ( I 2 − A ) − 1 . b Determinar la matriz X que cumple la igualdad : X = A · X + B c Si las sucesiones x n y y n son convergentes, dar los valores de su límite. 3 Consideremos la sucesión V n de matrices columnas definida por: V n = X n − X para todo n ∈ N Deduzca que, para todo entero natural n , la relación: V n = A n · V 0 4 Consideremos la matriz cuadrada P definida por: P = 1 2 1 3 a Justificar que la matriz P es invertible. b Se denota D la matriz definida por: D = P − 1 · A · P . Dar una expresión de la matriz D n para todo número natural n . c Deducir una expresión de la matriz A n para todo número natural n . 5 Teniendo en cuenta los valores iniciales: x 0 = 0 ; 5 ; y 0 = 0 ; 5 ¾Qué se puede decir de la convergencia de las sucesiones x n y y n ? 4. Cadena de Markov: grafo dirigido ponderado asociado E.8216 Consideremos la cadena de Markov X n en el espacio de estados Ω= e 1 ; e 2 cuya evolución de distribuciones viene dada, para cualquier n ∈ N , por: P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 8 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 7 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 3 Indique el grafo dirigido ponderado asociado a esta cadena de Markov. E.8217 Consideremos la cadena de Markov X n en el espacio de estados Ω= e 1 ; e 2 ; e 3 cuya evolución de distribuciones viene dada, para todo n ∈ N , por: P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 1 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 7 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 6 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 2 P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 5 ; P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 1 P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 4 Demos el grafo orientado ponderado asociado a esta cadena de Markov. 5. Cadena de Markov: del grafo a la matriz de transición E.5390 Consideramos un fenómeno evolu-tivo entre dos estados A y B . Observamos respectivamente a n y b n el recuento asociado a estos dos estados en el rango n . A continuación se muestra el grafo dirigido ponderado asoci-ado a esta evolución : Determinar la matriz de transición T que verifica la relación: https://chingmath.fr chapExoCorrec/5515 sacados/5515 chapExoCorrec/8216 sacados/8216 chapExoCorrec/8217 sacados/8217 chapExoCorrec/5390 sacados/5390 AB0,350,70,650,3
AB0,20,60,80,4 ABC0,30,50,60,30,40,30,20,10,3 ABC0,40,50,40,30,50,30,10,30,2 ABC0,350,150,20,60,580,290,50,20,13 A1A20,20,60,80,4 a n +1 b n +1 = a n b n · T E.8640 Consideramos un fenómeno evolu-tivo entre dos estados A y B . Observamos respectivamente a n y b n el recuento asociado a estos dos estados en el rango n . El gráfico siguiente representa el grafo ponderado dirigido aso-ciado. Determine la matriz de transición T que verifica la relación: a n +1 b n +1 = T · a n b n E.6393 Nos interesa la repetición de un ex-perimento aleatorio con tres resul-tados A , B , C . En cada repeti-ción, la evolución de las probabili-dades de sus resultados está sujeta a las probabilidades condicionales resumidas en los gráficos proba-bilísticos siguientes. Sean a n , b n , c n las probabilidades respectivas de los sucesos A , B , C en la repetición n ième . Determine la matriz de transición M que satisfaga : a n +1 b n +1 c n +1 = M · a n b n c n E.5487 El gráfico siguiente representa un paseo aleatorio entre tres estados A , B y C : Denotamos a n , b n , c n las probabilidades asociadas a cada uno de los estados en el paso n . 1 Determinar una expresión para cada uno de a n +1 , b n +1 , c n +1 en función de a n , b n y c n . 2 Modelización de estados mediante una matriz ligne Observamos U n = a n b n c n la matriz-línea que repre-senta el estado en el paso n . Determinar la matriz de transición A logrando la igual-dad : U n +1 = U n · A 3 Modelización de estados mediante una matriz colonne Observamos V n = a n b n c n la matriz-columna que repre- senta el estado en el paso n . Determinar la matriz de transición B logrando la igual-dad : V n +1 = B · V n E.8638 Nos interesa la repetición de un ex-perimento aleatorio con tres resul-tados posibles : A , B , C . En cada repetición, la evolución de las prob-abilidades de sus resultados está sujeta a las probabilidades condi-cionales resumidas en los gráficos probabilísticos que se muestran a continuación. Denotamos por a n , b n , c n las probabilidades respectivas de los eventos A , B , C en la n ième repetición. Determinar la matriz M de transición que verifica: a n +1 b n +1 c n +1 = a n b n c n · M E.6128 Se consideran dos ciudades A 1 y A 2 de la misma región y se estudian los movimientos migratorios entre estas dos ciudades : 1 El estudio muestra que : Cada año 20 % de la población de la ciudad A 1 se traslada a la ciudad A 2 Chaque cada año 60 % de la población de la ciudad A 2 se traslada a la ciudad A 1 Esta situación se ilustra en el gráfico siguiente. gráfico siguiente : Queremos reunir estos datos en la matriz M formada por dos filas y dos columnas. El coeficiente m ij , situado en la fila i e y en la columna j e , representa la frecuencia de personas que viven el primer año en la ciudad A i y que viven el año siguiente en la ciudad A j . a ¾Qué interpretación puede darse a los coeficientes m 21 y m 22 ? b Escriba la matriz que representa esta situación. 2 Une nuevo estudio arroja las siguientes cifras : Chaque año 65 % de la población de la ciudad A 1 no se desplaza. Chaque año 30 % de la población de la ciudad A 2 no se desplaza. a Produzca la gráfica que representa esta situación. b Preservando las convenciones de la pregunta 1 b , escriba la matriz correspondiente a esta matriz. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8640 sacados/8640 AB0,20,60,80,4 chapExoCorrec/6393 sacados/6393 ABC0,30,50,60,30,40,30,20,10,3 chapExoCorrec/5487 sacados/5487 ABC0,40,50,40,30,50,30,10,30,2 chapExoCorrec/8638 sacados/8638 ABC0,350,150,20,60,580,290,50,20,13 chapExoCorrec/6128 sacados/6128 A1A20,20,60,80,4
:::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e1:::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e2 AB0,20,60,80,4 6. Cadena de Markov: uso de la matriz de transición E.8641 Consideremos una cadena de Markov en el espacio de estados Ω= e 1 ; e 2 ; e 3 Para n ∈ N , la distribución de estados en el paso n está repre-sentada por la matriz ı n definida por: ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 P X n = e 3 La matriz de transición A asociada a esta evolución que veri-fica la relación ı n +1 = ı n · A se da a continuación : A = 0 ; 1 0 ; 4 0 ; 5 0 ; 2 0 ; 1 0 ; 7 0 ; 3 0 ; 6 0 ; 1 ; Determina las siguientes probabilidades : a P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 b P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 2 E.8639 Consideremos una cadena de Markov en el espacio de estados Ω= e 1 ; e 2 Para n ∈ N , la distribución de estados en el paso n se repre-senta mediante la matriz ı n definida por: ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 La matriz de transición A asociada a esta evolución que veri-fica la relación ı n +1 = ı n · A se da a continuación : A = 0 ; 1 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 6 1 Determinar la probabilidad : P ( X n = e 2 ) X n +2 = e 1 2 a Dar la matriz A 2 . b ¾Qué observación se puede hacer? ¾Qué conjetura se puede formular? 7. Cadena de Markov: encontrar el valor de los estados E.8643 Consideremos la cadena X n de Markov en el espacio de estados e 1 ; e 2 definida, para todo número natural n , por: P X = e 1 = 0 ; 3 ; P X = e 2 = 0 ; 7 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 8 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 2 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 4 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 6 1 a Completa el árbol de probabilidad siguiente : b Determine las siguientes probabilidades : P X 2 = e 1 ; P X 2 = e 2 2 Para todo número natural n , denotemos por M n la ma-triz de distribuciones en la etapa n definida por: M n = P X n = e 1 P X n = e 2 Denotamos por A la matriz de transición asociada a la cadena de Markov que realiza la relación: M n +1 = M n · A a Da la matriz A . b Con ayuda de la calculadora, dé la matriz: M 0 · A 2 c ¾Qué se observa? E.6391 Consideremos dos gases A y B que, al entrar en contacto, se transforman el uno en el otro. Al principio, la mezcla está compuesta por 20 ‘ de gas A y 50 ‘ de gas B . Un estudio muestra que cada hora : 20 % del gas A se transforma en gas B ; 60 % del gas B se transforma en gas A . Este fenómeno se esquematiza en el siguiente gráfico ponder-ado : 1 Determine la composición de la mezcla al cabo de 3 h . 2 Con ayuda de la calculadora, realice el cálculo: 20 50 · 0 ; 8 0 ; 2 0 ; 6 0 ; 4 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8641 sacados/8641 chapExoCorrec/8639 sacados/8639 chapExoCorrec/8643 sacados/8643 :::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e1:::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e2 chapExoCorrec/6391 sacados/6391 AB0,20,60,80,4
ABC0,30,60,40,40,50,30,10,20,2 ABC0,10,30,20,60,10,10,60,20,8 ABC0,50,10,20,70,50,20,40,10,3 AB e1e2e30,10,60,30,10,10,70,30,60,2 E.6392 El gráfico siguiente representa un paseo aleatorio entre tres estados A , B y C : Sean a n , b n , c n las probabilidades asociadas a cada uno de los estados en el paso n . Los valores iniciales son : a 0 =5 ; b 0 =2 ; c 0 =7 1 Dar la matriz de transición M asociada a este gráfico probabilístico verificando : a n +1 b n +1 c n +1 = a n b n c n · M 2 À Utilizando la calculadora, determinar los valores asoci-ados a cada uno de sus estados en el paso 3 . Redondea los resultados a la milésima más cercana. E.6394 El siguiente gráfico representa un paseo aleatorio entre tres estados A , B y C : Considera la matriz-línea: U 0 = 0 ; 3 0 ; 4 0 ; 3 que representa el valor de las prob-abilidades de situarse en cada uno de los vértices en el paso 0 . Utilizando una calculadora y observando los distintos térmi-nos U 1 , U 2 , U 3 ,. . . , U 20 , ¾qué conjetura se puede hacer? E.5488 El siguiente gráfico representa un recorrido aleatorio entre tres estados A , B y C : Consideramos la matriz columna U 2 = 0 ; 4 0 ; 3 0 ; 3 que representa el valor de las probabilidades de estar situado en cada uno de los vértices en la etapa 2 . 1 Dar la matriz de transición A que realiza la relación de recurrencia : U n +1 = U n · A para todo entero n ∈ N 2 Determinar con ayuda de la calculadora el valor inicial de las probabilidades. E.5374 Una ciudad se compone principal-mente de dos barrios, que denominaremos A y B . El barrio A está compuesto por 251 habitantes y el barrio B está compuesto por 386 habitantes. 1 Si elegimos al azar a un habitante de la ciudad, ¾cuál es la probabilidad de que este sea del barrio A ? Las proba-bilidades se redondearán a milésimas. Denotemos por a 0 la probabilidad de elegir a un habitante del barrio A y por b 0 la probabilidad de elegir a un habitante del barrio B . La matriz de línea U 0 definida por a 0 b 0 representa el es-tado de estas probabilidades durante el primer año de estudio de esta ciudad. Cada año, se estima que : 5 % de los habitantes del barrio A se mudan al barrio B ; 12 % de los habitantes del barrio B se mudan al barrio A ; Se anota a n (resp. b n ) la probabilidad de elegir respectiva-mente a un habitante del barrio A (resp. del barrio B ) du-rante el enésimo año de estudio. Consideremos la matriz de línea U n definida por: U n = a n b n 2 a Copie y complete el siguiente diagrama para repre-sentar los flujos de población entre estos dos barrios b Escriba los términos a n +1 y b n +1 en función de los valores de a n y b n . c Determine la matriz cuadrada T de dimensiones 2 que cumpla la igualdad para todo número natural n : U n +1 = U n · T 3 Mediante un razonamiento por recurrencia, establezca la siguiente relación para todo número natural n : U n = U 0 · T n 4 Con ayuda de la calculadora o de un programa de cálculo matricial, determine las matrices lineales U 5 , U 10 y U 20 cuyos coeficientes se redondearán a 10 − 5 . 8. Cadena de Markov: distribución invariante E.8646 Consideremos una cadena de Markov X n en el espacio de estados e 1 ; e 2 ; e 3 cuyo grafo asociado se da al lado. Comprueba que la matriz ı que repre-senta la distribución invariante es : ı = 0.25 0.5 0.25 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6392 sacados/6392 ABC0,30,60,40,40,50,30,10,20,2 chapExoCorrec/6394 sacados/6394 ABC0,10,30,20,60,10,10,60,20,8 chapExoCorrec/5488 sacados/5488 ABC0,50,10,20,70,50,20,40,10,3 chapExoCorrec/5374 sacados/5374 AB chapExoCorrec/8646 sacados/8646 e1e2e30,10,60,30,10,10,70,30,60,2
e1e2e30,10,60,20,40,60,20,30,40,2 e1e20,90,60,10,4 E.6117 Una empresa E realiza cada semana sus pedidos a dos proveedores A y H . Las observaciones realizadas durante las primeras semanas permiten modelar la evolución de la elección del proveedor para los pedidos de una semana a otra mediante un gráfico probabilístico de vértices A y H , donde : A designa el estado : ˇ el pedido se realiza al proveedor A ı ; H designa el estado : ˇ el pedido se realiza al proveedor H ı. La matriz de transición M de este grafo, considerando los vér-tices en el orden A y H , es : M = 0 ; 95 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 9 1 Dibuje el grafo probabilístico asociado a la matriz M . 2 Indique el significado del número 0 ; 95 en la matriz M . 3 Compruebe que la matriz de línea P = 2 3 1 3 corre-sponde al estado estable del sistema. Dé una inter-pretación. 9. Cadena de Markov: encontrar la distribución invariante E.8645 Consideremos una cadena X n de Markov en el espacio de estados e 1 ; e 2 ; e 3 cuyas evolu-ciones, paso a paso, de las distribuciones están representadas por el gráfico: 1 Demos la matriz A de transición asociada a este gráfico. Denotemos por ı = x y z la matriz que representa la dis-tribución invariante de la cadena X n . Esta verifica la igual-dad : ı · A = ı 2 Consideremos la matriz B : B = − 0 ; 7 0 ; 1 0 ; 6 0 ; 2 − 0 ; 6 0 ; 4 0 ; 6 0 ; 2 − 0 ; 8 a Justifique la igualdad : ı · B = 0 0 0 b Con ayuda de la calculadora, dé el determinante de la matriz B . c Justifique la equivalencia de los dos sistemas de ecua-ciones lineales: − 0 ; 7 · x + 0 ; 2 · y + 0 ; 6 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 0 ; 6 · x + 0 ; 4 · y − 0 ; 8 · z = 0 ⇐⇒ − 0 ; 7 · x + 0 ; 2 · y + 0 ; 6 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 d ¾Qué se puede deducir sobre el conjunto de soluciones de este sistema? 3 Consideremos la matriz C : C = − 0 ; 7 0 ; 1 1 0 ; 2 − 0 ; 6 1 0 ; 6 0 ; 2 1 a Justifique que la matriz ı verifica: ı · C = 0 0 1 b Justificar : C · − 0 ; 8 0 ; 1 0 ; 7 0 ; 4 − 1 ; 3 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 2 0 ; 4 = I 3 c Deduzca los coeficientes de la matriz ı . E.8644 Consideremos una cadena de Markov X n cuyo espacio de estados es e 1 ; e 2 y cuya distribución inicial es : P X 0 = e 1 = 0 ; 3 ; P X 0 = e 2 = 0 ; 7 El siguiente gráfico muestra la evolución de las distribuciones, paso a paso :: Determine la matriz que representa la distribución invariante de esta cadena de Markov. 10. Cadena de Markov: comportamiento asintótico E.5391 Consideremos el universo compuesto por los dos estados Ω= e 1 ; e 2 . La distribución inicial X 0 tiene la distribución de probabilidad : P X 0 = e 1 = 1 3 ; P X 0 = e 2 = 2 3 Denotamos X n la cadena de Markov definida por las sigu-ientes relaciones : P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 3 5 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 2 5 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 2 5 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 3 5 1 a Completa el grafo orientado ponderado asociado a esta cadena de Markov: https://chingmath.fr chapExoCorrec/6117 sacados/6117 chapExoCorrec/8645 sacados/8645 e1e2e30,10,60,20,40,60,20,30,40,2 chapExoCorrec/8644 sacados/8644 e1e20,90,60,10,4 chapExoCorrec/5391 sacados/5391
e1e2 b Indique la matriz A de transición asociada a este grafo. 2 Consideremos la matriz M definida por: M = 1 1 − 1 1 a Justificar que M es una matriz inversa y, a contin-uación, dar M − 1 . b Determinar la matriz D = x 0 0 y que verifica: A = M · D · M − 1 c Establecer, mediante un razonamiento por recurrencia, la siguiente identidad para todo número natural n : A n = M · D n · M − 1 d De ello se deduce que, para cualquier número natural n , la distribución en la etapa n se define por: P X n = e 1 P X n = e 2 = − 1 6 × 5 n + 1 2 1 6 × 5 n + 1 2 e Deducir la distribución invariante ı E.8642 Consideremos una cadena X n de Markov en el espacio de estados e 1 ; e 2 . Para todo número natural n , denotemos por ı n la distribución en el paso n en forma de matriz lineal: ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 Consideramos la identidad ı n +1 = ı n · A , para todo número natural n , donde la matriz de transición A se define por: A = 7 15 8 15 4 15 11 15 La distribución inicial es : ı 0 = 1 2 1 2 1 Mediante un razonamiento por recurrencia, establezca para todo número natural n : ı n = 1 3 + 1 6 × 5 n 2 3 − 1 6 × 5 n 2 Deduzca la distribución invariante de esta cadena de Markov. 11. Estudio de un grafo probabilístico E.6400 Una empresa E realiza cada sem-ana sus pedidos a dos proveedores A y H . Las observaciones realizadas durante las primeras semanas permiten modelar la evolución de la elección del proveedor para los pedidos de una semana a otra mediante un gráfico probabilístico de vértices A y H , donde : A designa el estado : ˇ el pedido se realiza al proveedor A ı ; H designa el estado : ˇ El pedido se realiza al proveedor H ı. Para cualquier número natural n , se anota : a n la probabilidad del evento : ˇ La semana n , la empresa E realiza el pedido de suministros al proveedor A ı ; h n la probabilidad del evento : ˇ La semana n , la empresa E encarga sus suministros al proveedor H ı ; P n la matriz a n h n correspondiente al estado proba- bilístico para la semana n . La matriz de transición M de este gráfico, considerando los vértices en el orden A y H , se define por: M = 0 ; 95 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 9 ; P n +1 = P n · M 1 Dibujar el grafo probabilístico asociado a la matriz M . 2 Indique el significado del número 0 ; 95 en la matriz M 3 Compruebe que la matriz P = 2 3 1 3 corresponde al estado estable del sistema. Dé una interpretación. 4 Se da P 0 = 0 ; 4 0 ; 6 y se recuerda que : P k = P 0 × M k para k número natural. Determine la semana en la que, por primera vez, la prob-abilidad de que la empresa E encargue sus suministros al proveedor A supera la probabilidad de que los encargue al proveedor H . https://chingmath.fr e1e2 chapExoCorrec/8642 sacados/8642 chapExoCorrec/6400 sacados/6400 Extrait d'Asie Juin 2014