Bachillerato 2 - Exp. / Congruencias 56 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Congruencia E.3402 Definición : sean a y b dos números enteros relativos ( a; b ∈ Z ) y c un número natural distinto de cero ( c ∈ N ∗ ) : a ≡ b ( mod. c ) ⇐⇒ ( a − b ) múltiplo de c . Verifique la veracidad de cada una de las siguientes igual-dades : a 15 ≡ 27 ( mod. 3) b 17 ≡ 11 ( mod. 4) c 153 ≡ 237 ( mod. 12) d − 5 ≡ 8 ( mod. 13) e − 81 ≡ 224 ( mod. 6) f 37 4 ≡ 1 ( mod. 4) E.3365 1 Determina un valor del entero a ∈ 10 ; 20 para el que la igualdad sea cierta: a 25 ≡ a ( mod. 4) b 37 ≡ a ( mod. 10) c 52 ≡ a ( mod. 7) d 5 ≡ a ( mod. 14) e 1 ≡ a ( mod. 9) f 13 ≡ a ( mod. 5) 2 Determina un valor de n para el que se cumpla la igual-dad : a 21 ≡ 1 ( mod. n ) b 14 ≡ 4 ( mod. n ) c 9 ≡ 14 ( mod. n ) d 10 ≡ 25 ( mod. n ) E.4283 1 Determina el resto en la división euclídea de 2 009 por 11 . 2 Determina el resto en la división euclídea de 2 10 por 11 . 3 Determina el resto en la división euclídea de 2 2009 +2009 por 11 . 2. Operaciones sobre congruencias E.5826 Utiliza las congruencias para calcular los restos de la división euclídea por 7 de los sigu-ientes números enteros : a 5 6 b 5 6 p ; pour p ∈ N ∗ c 33 38 E.4286 1 Determina el resto de la división euclídea de 2 009 2 por 16 . 2 Deduce que : 2009 8001 ≡ 2009 ( mod. 16) . E.3417 Para cada una de las siguientes afirmaciones, indique si es verdadera o falsa y demuestre la respuesta elegida. Una respuesta no demostrada no puntúa. Para cualquier número natural distinto de cero n : ˇ 5 6 n +1 + 2 3 n +1 ¾es divisible por 5 ı? ˇ 5 6 n +1 + 2 3 n +1 ¾es divisible por 7 ı? E.4290 Para cualquier número natu-ral a , demuestre que : si a 17 ≡ b ( mod. 55) y si a 40 ≡ 1 ( mod. 55) entonces b 33 ≡ a ( mod. 55) 3. Operaciones y problemas de congruencia E.3406 En este ejercicio estudiamos la divisibilidad por 11 explotando la congruencia módulo 11 de potencias de 10 . 1 a Comprueba que : 100 ≡ 1 ( mod. 11) . Deduzca que : 10 4 ≡ 1 ( mod. 11) . b Compruebe que : 10 ≡ − 1 ( mod. 11) . Deduzca que : 10 3 ≡ − 1 ( mod. 11) 10 5 ≡ − 1 ( mod. 11) 2 a Utilizando la igualdad 3 729=37 × 100+29 y los re-sultados anteriores, demuestre que 3 729 es divisible por 11 . b Utilizando el método anterior, investigue la divisibili-dad de 9 240 por 11 . 3 a Utilizando la igualdad : 3 729 = 3 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 9 y los resultados anteriores, demuestre que 3729 es di-visible por 11 . b Utilizando este método, estudie la divisibilidad de 9 240 por 11 . 4 Estudie la divisibilidad de 197 277 por 11 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3402 sacados/3402 chapExoCorrec/3365 sacados/3365 chapExoCorrec/4283 sacados/4283 Extrait de Metropole Septembre 2009 chapExoCorrec/5826 sacados/5826 Bac Montpellier Juin 1970 chapExoCorrec/4286 sacados/4286 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/3417 sacados/3417 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/4290 sacados/4290 chapExoCorrec/3406 sacados/3406 Term L Japon Juin 2003
E.3468 Considere los números en-teros : A = 8 387 592 115 ; B = 9 276 312 516 . 1 a Demuestra que 1 000 es divisible por 8 . b Demuestre que A es congruente con 3 módulo 8 . c Dar el número natural b estrictamente menor que 8 tal que B es congruente con b módulo 8 . 2 Determina los números naturales estrictamente menores que 8 que son congruentes a A + B y A · B respectiva-mente. 3 a Demuestra que B 2 es divisible por 8 . b Demuestre que A 2 no es divisible por 8 . c Demuestra que A 100 no es divisible por 8 . E.6804 Considera el entero de Mersenne 2 33 − 1 . Un alumno utiliza su calculadora y obtiene los resultados que se muestran a continuación. 2 33 − .1 ÷ 3 2863311530 2 33 − 1 ÷ 4 2147483648 2 33 − 1 ÷ 12 715827882 ; 6 Afirma que 3 divide 2 33 − 1 y 4 divide 2 33 − 1 y 12 no divide 2 33 − 1 . 1 Justifique que, en realidad, 4 no divide 2 33 − 1 . 2 Observando que 2 ≡− 1 ( mod. 3) , demuestre que, en re-alidad, 3 , no divide 2 33 − 1 . 3 Calcula la suma : S =1+2 3 + 2 3 2 + 2 3 3 + ··· + 2 3 10 4 Deduce que 7 divide 2 33 − 1 . 4. Congruencia y expresión E.3388 Demuestre que, para cualquier número natural n , 4 n es congruente con 1 módulo 3 . E.4274 Consideremos la sucesión u n definida para todo número natural n distinto de cero por: u n =2 n +3 n +6 n − 1 1 Calcular los seis primeros términos de la sucesión. 2 Demuestra que, para todo número natural n distinto de cero, u n es par. 3 Demuestra que, para todo número natural n par distinto de cero, u n es divisible por 4 . E.3632 1 Demuestra que para cualquier número natural n , 3 divide al entero 2 2 n − 1 . 2 Sea p un entero natural. Demostrar que de los enteros p , p +10 , p +20 , uno y sólo uno de ellos es divisible por 3. E.3598 Sea n un número entero rel-ativo. Diga si la siguiente proposición es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida: n 2 + n +3 ≡ 0 ( mod. 5) si, y sólo si, n ≡ 1 ( mod. 5) . E.3405 1 a Demuestre que 1999 es congruente con 4 módulo 7 . b Determina el menor número natural congruente a 2007 módulo 7 . 2 Sea n un número natural congruente con 5 módulo 7 . a Determinar un número natural congruente a n 3 mó-dulo 7 . b Deduce que ( n 3 +1) es divisible por 7 . 3 Demuestra que si n es un número natural congruente con 4 módulo 7 entonces ( n 3 − 1) es divisible por 7 . 4 Considera el entero: A =1999 3 +2007 3 . Sin calcular A , demuestra usando los resultados anteri-ores que A es divisible por 7 . E.4287 Sean a y b dos números natu-rales menores o iguales que 9 con a =0 . Consideremos el número N = a × 10 3 + b . Recordemos que en base 10 este número se escribe de la forma : N = a 00 b Nos proponemos determinar cuáles de estos números natu-rales N son divisibles por 7 . 1 Comprueba que : 10 3 ≡− 1 ( mod. 7) 2 Deduce todos los enteros N buscados. E.6925 Sean p , q , r tres enteros rela-tivos que verifican : − 3 p + q + 2 r ≡ 0 ( mod. 6) 3 p − 3 q ≡ 0 ( mod. 6) 6 p + 2 q − 2 r ≡ 0 ( mod. 6) Deduce que estos enteros verifican el sistema : q − r ≡ 0 ( mod. 3) p − q ≡ 0 ( mod. 2) 5. Estudio de los restos de una expresión E.3493 Sea n un número natural. 1 Expande ( n +3) 4 . 2 Demuestra que : ( n + 3) 4 ≡ n 4 + 2 n 2 + 1 ( mod. 4) 3 Investiga en función del resto de la división euclídea de n entre 4, la divisibilidad de ( n +3) 4 entre 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3468 sacados/3468 chapExoCorrec/6804 sacados/6804 chapExoCorrec/3388 sacados/3388 chapExoCorrec/4274 sacados/4274 chapExoCorrec/3632 sacados/3632 chapExoCorrec/3598 sacados/3598 chapExoCorrec/3405 sacados/3405 Term L Antille-guyane Juin 2002 chapExoCorrec/4287 sacados/4287 Extrait de Metropole Juin 2009 chapExoCorrec/6925 sacados/6925 chapExoCorrec/3493 sacados/3493
E.5830 1 Estudia, según los valores del número natural n , el resto de la división por 7 del número entero: A = n 2 − n +1 2 Deduce los enteros n tales que el entero A sea divisible por 7 . 3 Determina el resto de la división por 7 del entero: B = 2 753 2 − 2 753 + 1 E.4278 Considere la ecuación ( E ) : x 2 + y 2 ≡ 0 ( mod. 3) donde ( x ; y ) es un par de enteros rela- tivos. Establece que si un par es solución de la ecuación ( E ) entonces es un par de múltiplos de 3 . E.3278 En esta pregunta, x y y denotan números naturales. 1 ¾Cuáles son los posibles residuos de la división euclídea de x 2 por 7 ? 2 Demuestra que 7 divide a x 2 + y 2 si, y sólo si, 7 divide a x y 7 divide a y . 6. Ecuaciones E.3404 1 a Para cualquier n ∈ N , sea a el resto de la división euclídea de 8 n entre 5; completa la siguiente tabla : n 0 1 2 3 4 a b Demuestre que, en Z , la ecuación 8 n ≡ 4 ( mod. 5) ad-mite como conjunto solución todos los enteros relativos cuyo resto por división euclídea entre 5 es 3 . Observaremos este conjunto : S = 3+5 · k ⏐ ⏐ k ∈ Z 2 Establecer que la ecuación 5 n ≡ 2 ( mod. 6) admite en Z para conjunto solución : S = 4+6 · k ⏐ ⏐ k ∈ Z 3 En Z , justifica que la ecuación 6 n ≡ 5 ( mod. 4) no admite solución. E.5455 Sea x un número entero relativo. Estudiando los posibles residuos de la división euclídea de x por 6 , resuelve en Z las siguientes ecuaciones : a 5 · x ≡ 2 ( mod. 6) b 2 · x ≡ 3 ( mod. 6) E.8611 Sea x un número entero relativo. Estudiando los posibles residuos de la división euclídea de un entero x por 7 , resuelve en Z las siguientes ecuaciones : a 4 · x ≡ 1 ( mod. 7) b 6 · x ≡ 3 ( mod. 7) E.3599 Consider the set : A 7 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 1 Para cualquier elemento a de A 7 , escribe en la tabla sigu-iente el único elemento y de A 7 tal que : a · y ≡ 1 ( mod. 7) . a 1 2 3 4 5 6 y 6 2 Para x entero relativo, demuestre que la ecuación : 3 x ≡ 5 ( mod. 7) es igual a à x ≡ 4 ( mod. 7) . 3 Sea a un elemento de A 7 , demuestre que los únicos en-teros relativos x soluciones de la ecuación a · x ≡ 0 ( mod. 7) son múltiplos de 7 . 7. Potencias congruentes a 0 E.5454 1 Determina el menor valor del número natural n logrando la congruencia : 6 n ≡ 0 ( mod. 8) 2 Para cualquier número natural n , determine el valor del resto del número natural A definido a continuación por la división euclídea por 8 : A =6 n +9 n E.5453 1 Determina el menor número entero k que alcanza la equivalencia: 6 k ≡ 0 ( mod. 4) 2 Para cualquier número natural a , utilizando razon-amiento por recurrencia, establezca la congruencia sigu- iente para cualquier número natural distinto de cero n : ( a + 6) n ≡ a n + 6 · n · a n − 1 ( mod. 4) E.3492 En el ejercicio, n representa un número natural. 1 a Estudia el resto de la división euclídea de 2 n por la división euclídea por 4 en función de los valores de n . b Estudia el resto de la división euclídea de 3 n por la división euclídea por 4 en función de los valores de n . Pista : realizaremos una disyunción de casos en la pari-dad de n . 2 Deduce, en función de n , el resto, por división euclídea por 4, de la suma : 1 n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n 8. Potencia cíclica https://chingmath.fr chapExoCorrec/5830 sacados/5830 Bac Cambodge et Laos Juin 1968 chapExoCorrec/4278 sacados/4278 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/3278 sacados/3278 chapExoCorrec/3404 sacados/3404 chapExoCorrec/5455 sacados/5455 chapExoCorrec/8611 sacados/8611 chapExoCorrec/3599 sacados/3599 chapExoCorrec/5454 sacados/5454 chapExoCorrec/5453 sacados/5453 chapExoCorrec/3492 sacados/3492
E.3403 1 Completa la siguiente tabla donde r n representa el resto de la división euclídea de 7 n entre 4: n 0 1 2 3 4 5 r n 2 Deduce el resto de la división euclídea de 7 235 entre 4. E.8612 1 Completa la siguiente tabla donde r n representa el resto de la división euclídea de 12 n entre 5: n 0 1 2 3 4 5 r n 2 Establece que el entero 12 39 − 3 es divisible por 5 . E.5037 1 Completa la siguiente tabla de valores: n 0 1 2 3 4 3 n Resto de 3 n par 5 2 Justifique que para cualquier número natural n , ten-emos : 2008 4 · n ≡ 1 ( mod. 5) 3 Deducimos que 2008 2008 − 31 es divisible por 5 . E.3571 1 Determina el resto en la división euclídea de 2 009 entre 11. 2 Determina el resto en la división euclídea de 2 10 entre 11. 3 Determina el resto en la división euclídea de 2 2 009 +2 009 entre 11. E.3408 1 a Determina los residuos de la división euclídea por 7 de los enteros 3 n para n ∈ N n 6 . Completaremos la siguiente tabla : Puissance de 3 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 Resto módulo 7 b Deduce que, para cualquier k ∈ N , 3 6 k es congruente con 1 módulo 7 . 2 a Determina el menor número natural congruente con 1515 módulo 7 . b Tras observar que 2004=6 × 334 , deduzca de la pre-gunta 1 el resto de la división euclídea de 1515 2004 por 7 . c Demuestra que en la división euclídea de 1515 2006 por 7 , el resto es 2 . E.8613 Determinar el resto de la división euclidiana de 17 159 541 por 7. Indicación : se utilizará la congruencia : 2 3 ≡ 1 ( mod. 7) E.3491 1 Nos interesa, para todo número natural n , el resto de la división euclidiana de 2 n por 7. a Completa la siguiente tabla : n 0 1 2 3 4 Resto de la división de 2 n por 7 b Denotemos por r el resto de la división euclidiana de n por 3 ; Justifique la siguiente igualdad : 2 n ≡ 2 r ( mod. 7) 2 a Deduzca que, para todo número natural k , el número entero 2 3 · k − 1 es un múltiplo de 7. b Demuestre que, para todo número natural k , el número entero 2 3 · k +1 − 2 es un múltiplo de 7. E.3489 1 a Determina el resto de la división euclídea de 10 3 por 27 . b Deduce el resto de la división euclídea por 27 de los siguientes enteros : A =345 948 546 421 2 Determina el resto de la división euclídea por 16 del sigu-iente número : B =15 × 33 51 − 9 × 18 152 +15 37 E.3553 Sea n un número natural. 1 Halla según los valores de n , los restos de la división de 5 n por 13 . 2 Deduce que 1981 1981 − 5 es divisible por 13 . 3 Demostrar que, para cualquier número natural n mayor o igual que 1 , el entero N =31 4 n +1 +18 4 n − 1 es divisible por 13. E.4309 Considere el número entero N =11 2011 . Demuestre que el número entero N es congruente con 4 módulo 7 . E.4282 Para n un número natu-ral distinto de cero, considere la ecuación denotada ( G ) : 3 · x 2 +7 · y 2 =10 2 · n donde x y y son enteros relativos. 1 Demuestra que : 100 ≡ 2 ( mod. 7) Demuestra que si ( x ; y ) es una solución de ( G ) entonces : 3 · x 2 ≡ 2 n ( mod. 7) . 2 Reproduce y completa la siguiente tabla : Reste de la division euclídea de x por 7 0 1 2 3 4 5 6 Reste de la division euclídea de 3 · x 2 par 7 3 Demuestra que 2 n es congruente con 1 , 2 , o 4 módulo 7 . Deduce que la ecuación ( G ) no tiene solución. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3403 sacados/3403 chapExoCorrec/8612 sacados/8612 chapExoCorrec/5037 sacados/5037 chapExoCorrec/3571 sacados/3571 Extrait de Metropole et Reunion Septembre 2009 chapExoCorrec/3408 sacados/3408 chapExoCorrec/8613 sacados/8613 chapExoCorrec/3491 sacados/3491 chapExoCorrec/3489 sacados/3489 chapExoCorrec/3553 sacados/3553 chapExoCorrec/4309 sacados/4309 chapExoCorrec/4282 sacados/4282 Extrait de Nouvelle-Caledonie Novembre 2009
E.4277 Consideremos la relación: ( F ): 7 n − 3 × 2 m =1 1 Supongamos m 4 . Demuestre que hay exactamente dos pares de soluciones. 2 Supongamos ahora que m 5 . a Demuestre que si el par ( n ; m ) verifica la relación ( F ) entonces : 7 n ≡ 1 ( mod. 32) . b Estudiando los restos de la división por 32 de las po-tencias de 7 , demuestre que ( n ; m ) verifica la relación ( F ) luego n es divisible por 4 . c Deducir que si el par ( n ; m ) verifica la relación ( F ) entonces 7 n ≡ 1 ( mod. 5) 9. Razonamiento por recurrencia E.3457 Demuestra razonando por recurren-cia que para cualquier número natural n , el entero 5 n − 1 es múltiplo de 4. E.3296 Demuestra, usando razonamiento por recurrencia, que para cualquier número natural n , ten-emos : 5 n +2 ≡ 25 ( mod. 100) E.3294 Consideremos la sucesión u n de números naturales definida por: u 0 = 14 ; u n +1 = 5 u n − 6 para cualquier n ∈ N Demostrar que, para cualquier número natural n , u n +2 ≡ u n ( mod. 4) . E.3458 Consideremos la sucesión u n de números naturales definida por: u 0 = 14 ; u n +1 = 5 · u n − 6 para todo n ∈ N 1 Demuestre por recurrencia que, para cualquier número natural : 2 · u n = 5 n +2 + 3 2 a Justifica que para cualquier número natural n , 2 · u n es múltiplo de 4. b Demuestre que para cualquier número natural n , ten-emos : 2 · u n ≡ 28 ( mod. 100) E.3596 Parte A 1 Determina el resto de la división euclídea de 2 009 2 por 16 . 2 Deduce que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 16) Parte B Consideremos la secuencia u n definida en N por u 0 = 2 009 2 − 1 y, para cualquier número natural n : u n +1 = u n +1 5 − 1 . 1 a Demuestra que u 0 es divisible por 5 . b Demuestre, mediante la fórmula binómica de Newton, que para cualquier número natural n : u n +1 = u n · u 4 n + 5 · u 3 n + 2 · u 2 n + 2 · u n + 1 c Demuestra por recurrencia que, para cualquier número natural n , u n es divisible por 5 n +1 . 2 a Comprueba que u 3 =2 009 250 − 1 luego deduce que 2 009 250 ≡ 1 ( mod. 625) . b Entonces demuestre que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 625) 10. Escritura de números enteros en una base E.3407 Un número natural N se escribe cabc en el sistema de numeración de base cinco donde a , b , c son distintos de cero, es decir : N = c × 5 3 + a × 5 2 + b × 5 + c donde a , b , c son enteros tales que : 0 <a < 5 ; 0 <b < 5 ; 0 <c < 5 Este mismo número entero N se escribe aba en el sistema de numeración base-ocho. 1 Demuestra que N =65 a +8 b y deduce que : 40 a = 126 c − 3 b . 2 a Justifica que : 40 a ≡ 0 ( mod. 3) . Deduce el valor de a . b Demuestre que : b ≡ 0 ( mod. 2) . Determine los valores de b y c . c Dar la escritura del entero N en bases cinco, ocho y diez. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4277 sacados/4277 chapExoCorrec/3457 sacados/3457 chapExoCorrec/3296 sacados/3296 chapExoCorrec/3294 sacados/3294 chapExoCorrec/3458 sacados/3458 chapExoCorrec/3596 sacados/3596 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/3407 sacados/3407
E.3323 Parte A : Pregunta del curso ¾Cuáles son las propiedades de compatibilidad de la relación de congruencia con la suma, la multiplicación y las poten-cias? Demuestre la propiedad de compatibilidad con la multipli-cación. Parte B Se anotan 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , ¸ , ˛ los dígitos de la escritura de un número entero en base 12. Por ejemplo : ˛¸ 12 = ˛ × 12 2 + ¸ × 12 + 7 = 11 × 12 2 + 10 × 12 + 7 = 1711 en base 10 1 a Sea N 1 el entero escrito en base 12: N 1 = ˛ 1 ¸ 12 Determinar la escritura de N 1 en base 10. b Sea N 2 el entero escrito en base 10: N 2 = 1131 = 1 × 10 3 + 1 × 10 2 + 3 × 10 + 1 Determinar la escritura de N 2 en base 12. En toda la suite , un número natural N se escribirá de man-era general en base 12 : N = a n · · · a 1 a 0 12 2 a Demostrar que N ≡ a 0 ( mod. 3) . Deduzca un crite-rio de divisibilidad por 3 de un número entero escrito en base 12. b Utilizando su escritura en base 12, determine si N 2 es divisible por 3 . Confirme con su escritura en base 10. 3 a Demuestre que N ≡ a n + ··· + a 1 + a 0 ( mod. 11) . De-duce un criterio de divisibilidad por 11 de un número entero escrito en base 12. b Utilizando su escritura en base 12, determinar si N 1 es divisible por 11. Confirmar con su escritura en base 10. 4 Un número entero N se escribe x 4 y 12 . Determinar los valores de x y y para los que N es divisible por 33. 11. Cursos E.3373 Recordatorio : Para dos enteros relativos a y b , se dice que a es congruente con b módulo 7 , y se escribe a ≡ b ( mod. 7) cuando existe un entero relativo k tal que a = b +7 k . Esta pregunta constituye una restitución organizada de conocimientos : 1 Sean a , b , c y d números enteros relativos. Demostrar que : Si a ≡ b ( mod. 7) et c ≡ d ( mod. 7) entonces a · c ≡ b · d ( mod. 7) . 2 Deduzca que : para a y b enteros relativos distintos de cero. Si a ≡ b ( mod. 7) , entonces para todo entero natural n , a n ≡ b n ( mod. 7) . E.738 Sea p un número natural mayor o igual que 2 y a un número natural distinto de cero. Demostrar que si existe un número natural n tal que a n ≡ 0 ( mod. p ) entonces para cualquier número natural k , ten-emos la implicación: k n = ⇒ a k ≡ 0 ( mod. p ) 12. Ejercicios no clasificados E.1716 1 Determina la división euclídea de 1038 por 17. 2 Estudiando el cuadrado (61 × 17+1) 2 , determina el resto de la división euclídea de 1038 2 por 17. 3 Para cualquier número natural n , deduce una conjetura sobre la división euclídea de 1038 n por 17. E.3627 En esta pregunta, cualquier prueba de investigación, por incompleta que sea, o de ini-ciativa, por infructuosa que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación . Sean a y b dos números naturales menores o iguales que 9 con a =0 . Consideremos el entero N = a × 10 3 + b . Recordemos que en base 10 este entero se escribe de la forma : N = a 00 b Proponemos determinar cuáles de estos números naturales N son divisibles por 7 . 1 Comprueba que : 10 3 ≡− 1 ( mod. 7) 2 Deduce todos los enteros N buscados. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3323 sacados/3323 chapExoCorrec/3373 sacados/3373 chapExoCorrec/738 sacados/738 chapExoCorrec/1716 sacados/1716 chapExoCorrec/3627 sacados/3627
E.5301 Consideremos el número natural A que se escribe 1 x 416 en el sistema de numeración de base siete. 1 Determine x de modo que : a A sea divisible por seis ; b A ser divisible por cinco. Deduce que existe x tal que A es divisible por treinta. 2 x recibe el valor cero. Determina la escritura decimal de A . Cuál es el número de divisores positivos de A ? Cuál es el conjunto de divisores positivos de A que son primos de tres? E.4289 1 ¾Cuál es el resto de la división euclídea de 6 10 por 11 ? Justifica. 2 ¾Cuál es el resto de la división euclídea de 6 4 por 5 ? Jus-tifica. 3 Deduce que : 6 40 ≡ 1 ( mod. 11) et 6 40 ≡ 1 ( mod. 5) . 4 Demuestra que 6 40 − 1 es divisible por 55 . E.5038 1 Sea n un número natural. Expresar el resto de la división euclídea de n 2 por 8 en función del resto de la división euclídea de n por 4 . 2 Sean a y b dos números enteros. Establece la siguiente propiedad : ˇSi a 2 + b 2 es un entero divisible por 8 entonces a y b son enteros pairsı E.3717 Para cada una de las dos proposi-ciones siguientes, indica si es verdadera o falsa y haz una demostración de la respuesta elegida. Para cualquier número natural distinto de cero n : 1 ˇ 5 6 n +1 +2 3 n +1 es divisible por 5 ı. 2 ˇ 5 6 n +1 +2 3 n +1 es divisible por 7 ı. E.6078 Para cada pregunta, indique si la proposi-ción formulada es verdadera o falsa : 1 Para cualquier número natural n , tenemos : 2 3 n − 1 ≡ 0 ( mod. 7) 2 Sea x un número natural. Si x 2 + x ≡ 0 ( mod. 12) entonces x ≡ 0 ( mod. 4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/5301 sacados/5301 Bac C - Lyon Juin 1980 4 points chapExoCorrec/4289 sacados/4289 chapExoCorrec/5038 sacados/5038 chapExoCorrec/3717 sacados/3717 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/6078 sacados/6078