Bachillerato 2 - Exp. / Números complejos 40 ejercicios (100% corregidos)

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1. Escritura algebraica de un número complejo E.6788 Sabiendo que i 2 = − 1 , simplifica la escritura de las siguientes expresiones : a i 2 b i 3 c i 4 d i 5 e i 14 f i 100 g i − 1 h i − 3 E.3782 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z 1 = 3 · 2 − i + i · 3 + 2 · i b z 2 = 5 + 2 · i · 1 − i E.8649 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z 3 = − 5 · i · 5 − 4 · i − 3 · i b z 4 = 5 + 2 · i · 5 − 2 · i E.6107 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z 1 = 5 + 2 · i 2 b z 5 = 2 − i 2 − 2 · 1 + 3 · i 2 E.3788 Sea x un número real. Consideremos el número complejo z definido por la igualdad : z = x + 2 · i · 1 − x · i 1 Determina la escritura algebraica del número complejo z . 2 a Para quelle (s) valeur (s) de x , ¾es z un número real? b Para quelle (s) valeur (s) de x , ¾es z un imaginario puro? 2. Cálculo con una expresión E.5310 1 Considera el polinomio P con coeficiente en R definido en C por: P =2 · z 3 + z 2 +2 · z +1 Compruebe que los tres números siguientes son raíces del polinomio P : z 1 = − i ; z 2 = i ; z 3 = − 1 2 2 Consideremos el polinomio Q con coeficiente en C definido en C por: Q =i · z 2 + 2+i · z +2 Comprueba que el número complejo z 4 =2 · i es una raíz del polinomio Q . E.5311 1 Considera el polinomio P definido en C por: P = 2 · z 3 + 3 · z 2 + 2 · z − 2 Compruebe que los dos complejos z 1 y z 2 son raíces del polinomio P donde : z 1 = − 1 + i ; z 2 = − 1 − i 2 Consideremos el polinomio Q definido en C por: Q = z 3 + z 2 + 3 · z − 5 Comprueba que los dos complejos z 3 y z 4 son raíces del polinomio Q donde : z 3 = − 1 − 2 · i ; z 4 = − 1 + 2 · i 3. Ecuaciones E.5324 1 En C , considere la ecuación ( E ) definida por: ( E ) : z + 2 − i = (1 + i) · z Demuestre que el número complejo − 1 − 2i es una solu-ción de la ecuación ( E ) . 2 En C , considere la ecuación ( F ) definida por: ( F ) : ( z − 1 + 2 · i)( z + 2 · i) = z 2 − i Demuestre que el número complejo − i es una solución de la ecuación ( F ) . E.3799 Recordatorio : un número complejo es cero si, y solo si, su parte real y su parte imaginaria son cero. Consideremos la ecuación ( E ) : i · z + 2 = i 1 Denotando por a +i · b la expresión algebraica de una solu-ción z de la ecuación ( E ) , demuestre que : 2 − b +i · a − 1 =0 2 Deduzca la expresión algebraica de la única solución de la ecuación ( E ) . E.8650 En C , resuelve las siguientes ecua-ciones : a z + 2 · i · z = i b z + 2 − i · ( z + 1) = 0 E.8560 Resuelve, en C , la siguiente ecuación : (3 + i) · z − 3 · (5 · z − 2) = 0 E.6250 Resuelve, en C , las ecuaciones : a z − 5 z − i = i b 2 − 3 · z z + i = − 2 · i + z Pista para la segunda ecuación : el conjunto C de números complejos se dice integra . Es decir, verifica la propiedad para cualquier número complejo a y b : a · b =0 = ⇒ a =0 o b =0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6788 sacados/6788 chapExoCorrec/3782 sacados/3782 chapExoCorrec/8649 sacados/8649 chapExoCorrec/6107 sacados/6107 chapExoCorrec/3788 sacados/3788 chapExoCorrec/5310 sacados/5310 chapExoCorrec/5311 sacados/5311 chapExoCorrec/5324 sacados/5324 chapExoCorrec/3799 sacados/3799 chapExoCorrec/8650 sacados/8650 chapExoCorrec/8560 sacados/8560 chapExoCorrec/6250 sacados/6250
4. Conjugado: definiciones E.5326 Definición : para cualquier número complejo z que ad-mita la escritura algebraica a +i · b , con a ∈ R y b ∈ R , lla-mamos conjugado del número complejo z , al número complejo, anotado z definido por: z = a − i · b Da la escritura algebraica del conjugado de cada uno de los siguientes números complejos : a z = 1 + i b z = 2 · i − 3 c z = i · (1 + 2 · i) E.3789 Sea z un número complejo. 1 Demuestra que los dos números siguientes son números reales : z + z ; z · z 2 Demostrar que el número complejo z − z es un imaginario puro. 5. Conjugado: simplificación del cociente E.8561 Método: Consideremos el número definido por z z , donde z y z son dos números complejos. Para obtener su expre-sión algebraica, consideramos el cociente z · z z · z cuyo denom-inador es un número real. Da la expresión algebraica de cada uno de los siguientes números complejos : a z = 1 i b z = 2 2 − i c z = 3 1 + 2 · i E.3786 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z 1 = 2 i b z 2 = 3 2 − 4 · i c z 3 = − 2 1 + i E.5133 Da la escritura algebraica de los siguientes números complejos : a z 1 = 1 + i i b z 2 = 1 1 − i c z 3 = − 2 + i 2 + i E.5309 Considere los dos números comple-jos z 1 y z 2 definidos por: z 1 = 1 + i ; z 2 = 5 − 2 · i Determina la escritura algebraica de los siguientes números : a z 1 + z 2 b z 1 − z 2 c z 1 − 2 · z 2 d z 1 · z 2 e z 1 z 2 f z 2 z 1 − z 2 E.5327 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z = 2 + 2 · i − 1 + i b z = 3 − 4 · i 1 + i c z = 3 − i 1 + 3 · i E.8562 Determina la escritura algebraica de cada uno de los números complejos siguientes : a z 4 = 3 − 2 · i 5 + 3 · i b z 5 = 2 + 3 · i 1 − i c z 6 = 2 2 + 1 1 + i E.4249 Sea z un número complejo distinto de 0 y i . Consideremos los números complejos n , p y q cuyo afijo se define por: n =i · z +1+i ; p = − z +1+i ; q = − i · z Establezca la siguiente igualdad : z − n p − n =i+ 1 z 6. Ecuaciones de la forma a · z = b E.8564 Resuelve las siguientes ecuaciones y da las escrituras algebraicas de sus soluciones : a i · z = 1 + 2 · i b 1 + i · z = 5 c 4 · z = i − 2 E.8565 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 3 · z + 2i · z = 3 − i b 5 − i z + 3 = i 7. Ecuaciones de primer grado E.8566 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 − 3 · z z + i = − 2 · i + z b (1 + 2 · i)( z − 3 · i) = z + 2 + 3 · i 8. Conjugados: propiedades algebraicas https://chingmath.fr chapExoCorrec/5326 sacados/5326 chapExoCorrec/3789 sacados/3789 chapExoCorrec/8561 sacados/8561 chapExoCorrec/3786 sacados/3786 chapExoCorrec/5133 sacados/5133 chapExoCorrec/5309 sacados/5309 chapExoCorrec/5327 sacados/5327 chapExoCorrec/8562 sacados/8562 chapExoCorrec/4249 sacados/4249 Extrait Amerique du Nord Juin 2011 chapExoCorrec/8564 sacados/8564 chapExoCorrec/8565 sacados/8565 chapExoCorrec/8566 sacados/8566
E.6789 Sin realizar ningún cálculo, justifique que los números complejos z 1 y z 2 son números complejos con-jugados. a z 1 = (1+i) · (2 − i) ; z 2 = (1 − i ) · (2 + i ) b z 1 = i − 3 2 + 2 · i ; z 2 = − i − 3 2 − 2 · i c z 1 = (1 − i) 5 ; z 2 = (1 + i) 5 E.3824 Para cada uno de los números com-plejos siguientes : sin realizar cálculos, da una expresión del número com-plejo conjugado del número z ; a continuación, da la escritura algebraica del número complejo z . a z = (2 − i)(5 + 3 · i) b z = i · (3 + 2 · i) − 3 + i E.8563 Para cada uno de los números com-plejos, determina la forma algebraica de su conjugado : a z = 5 − 2 · i i − 2 b z = (3 − 2 · i)(1 − i) 1 + i E.5333 Consideremos los dos números com-plejos z 1 y z 2 : z 1 = 3 − 2 · i 1 + i ; z 2 = 3 + 2 · i 1 − i 1 ¾Qué podemos decir de los números complejos z 1 y z 2 ? 2 a Determinar la escritura algebraica del número z 1 . b Deducir la expresión de z 1 + z 2 y z 1 − z 2 . 9. Ecuaciones con z y z E.6790 Recordatorios : un número complejo es cero si, y solo si, su parte real es cero y su parte imaginaria es cero. Así, para z ∈ C , esta propiedad se traduce en : z =0 ⇐⇒ ( z )=0 et ( z )=0 Determinar los valores de los reales a y b que satisfacen la siguiente igualdad : 2 · a + b · 2 + i − 3 · i = a · i − 2 + b · 1 − 2 · i E.3800 Resuelve las siguientes ecuaciones : a z + z = 6 b z + z = i c z + 2 · z = 8 + i d i · z + 2 · ( z − 5) = 0 E.6194 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 3 + i · z + 2 · i = z b (3 + i) · z − 3 · (5 · z − 2) = 0 E.6791 Resuelve las siguientes ecuaciones : a z z + 1 = 1 b 1 − z i · z + 2 = 2 10. Fórmula del par E.8567 Establecer igualdad : 2+i 5 = − 38+41 · i E.6108 Da la forma algebraica del número : z = 4 k =0 1 + i k 11. Suite E.3783 1 Simplifica la escritura de la siguiente expresión : A = 1 + i + i 2 + i 3 2 Determina la escritura algebraica del número complejo : B = 1 + i + i 2 + · · · + i 99 12. Lección - Números complejos E.4101 Requisitos previos Sea z un número complejo tal que z = a +i · b donde a y b son dos números reales. Denotemos por z el número complejo definido por: z = a − i · b Preguntas 1 Demuestre que, para todos los números complejos z y z : z × z = z × z 2 Demostrar que, para todo número natural n distinto de cero y todo número complejo z : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6789 sacados/6789 chapExoCorrec/3824 sacados/3824 chapExoCorrec/8563 sacados/8563 chapExoCorrec/5333 sacados/5333 chapExoCorrec/6790 sacados/6790 chapExoCorrec/3800 sacados/3800 chapExoCorrec/6194 sacados/6194 chapExoCorrec/6791 sacados/6791 chapExoCorrec/8567 sacados/8567 chapExoCorrec/6108 sacados/6108 chapExoCorrec/3783 sacados/3783 chapExoCorrec/4101 sacados/4101
z n = z n E.6812 Restitución organizada del conocimiento Requisitos previos: todo número complejo z admite una escritura : z = x +i · y donde x ∈ R y y ∈ R Le conjugado de z es el número complejo definido por: z = x − i · y Demostrar que : Para todos los números complejos z 1 y z 2 : z 1 · z 2 = z 1 · z 2 Para todo número complejo z y todo número natural dis- tinto de cero: z n = z n . E.3300 Prerrequisito: el módulo de cualquier número complejo z , denotado | z | , verifica | z | 2 = z z donde z es el conjugado de z . Demuestre que : para todos los números complejos z 1 y z 2 : ⏐ ⏐ z 1 × z 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ z 1 ⏐ ⏐ × ⏐ ⏐ z 2 ⏐ ⏐ . para cualquier número complejo distinto de cero z : ⏐ ⏐ ⏐ 1 z ⏐ ⏐ ⏐ = 1 | z | 13. Ejercicios no clasificados E.8580 Determine la forma algebraica del número complejo z definido por: z = 1 − i 1+i E.8587 Considere el número complejo : j = − 1 2 +i · 3 2 . Demuestre, mediante razonamiento por recurrencia, la sigu-iente igualdad para cualquier número natural n : (1 + j ) 2 n +1 = − j n +2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6812 sacados/6812 chapExoCorrec/3300 sacados/3300 chapExoCorrec/8580 sacados/8580 chapExoCorrec/8587 sacados/8587