Bachillerato 2 - Exp. / Números complejos y ecuaciones polinómicas 29 ejercicios (100% corregidos)

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1. Introducción a las ecuaciones de segundo grado en C E.8588 1 En C , consideramos la ecuación z 2 +1=0 . a Comprueba que el número complejo z 1 = i es una solu-ción de esta ecuación. b Propone otra solución de esta ecuación. c ¾Qué se puede decir de estas dos raíces? 2 En C , consideramos la ecuación 2 · z 2 − 2 · z +1=0 . a Verifica que los dos números complejos : z 3 = 1 2 + 1 2 · i ; z 4 = 1 2 − 1 2 · i b ¾Qué se puede decir de estas dos raíces de la ecuación? E.3787 1 Resolver en R la siguiente ecuación : x 2 + x + 1 = 0 2 Considerar el número complejo j = − 1 2 +i · 3 2 . a Determine la escritura algebraica de los dos números complejos : j 2 ; j 3 b Déterminer la escritura algebraica de los siguientes números complejos : 1+ j + j 2 ; 1+ j + j 2 c Dans C , ¾de qué ecuación de segundo grado son solu-ciones los números j y j ? E.8589 En C , consideramos la ecuación : z 2 + z +1=0 1 Sea z una solución de esta ecuación que admite la escrit-ura algebraica a +i · b donde a;b ∈ R . Demuestre que los dos números reales a y b verifican el sistema de ecuaciones : a 2 + a + 1 − b 2 = 0 2 · a · b + b = 0 2 a Deduzca que esta ecuación admite dos soluciones cuyas expresiones algebraicas se darán a conocer. b ¾Qué se puede decir de las dos soluciones de esta ecuación? 2. Ecuaciones de segundo grado en C E.3802 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado en C : a z 2 − 3 · z + 4 = 0 b z 2 − 4 · z + 4 = 0 c 3 · z 2 + 3 · z + 2 = 0 d z 2 − 4 · z − 1 = 0 E.5332 Resuelve en C las siguientes ecua-ciones : a 2 z 2 + 2 z + 1 = 0 b − z 2 + 2 z − 3 = 0 c z 2 + 3 z + 3 = 0 d − z 2 − 3 z − 2 = 0 E.8586 Resuelve en C la ecuación : 2 · z 2 − 6 · z +9=0 E.6101 Resuelve en C la ecuación : Z 2 +4 · Z +16=0 . Escribe las soluciones de esta ecuación en forma exponencial. E.3810 1 Resuelve en el conjunto de los números complejos la ecuación : z 2 − 2 z + 4 = 0 Las soluciones se denotarán z y z , z denotando la solu-ción cuya parte imaginaria es positiva. Dar la escritura algebraica y luego exponencial de las soluciones de esta ecuación. 2 Dar la escritura exponencial exacta del número complejo z 2 004 , y luego su escritura algebraica. E.6781 En C , consideramos la ecuación E λ dependiente del parámetro – ∈ R ; x 2 − 3 · x + 4 = – ¾Para qué valores de – la ecuación E λ admite dos soluciones distintas conjugadas? E.6811 Sea C el conjunto de los números complejos y ( E ) la ecuación de la incógnita com-pleja z : ( E ) : z 2 + 2 · a · z + a 2 + 1 = 0 donde a denota cualquier número real. Sólo una de las siguientes afirmaciones es correcta. Copia la respuesta elegida y justifica esta proposición a Para cualquier valor de a , ( E ) no tiene solución en C . b Para cualquier valor de a , las soluciones de ( E ) en C no son reales y son conjugadas. c Para cualquier valor de a , las soluciones de ( E ) en C no son reales y no son conjugadas. d Existe un valor de a para el que ( E ) admite al menos una solución real. E.3803 Consideremos la función compleja definida en C \{ 2 } por la relación: f : z ↦−→ z − 4 z − 2 Determinar el conjunto de números complejos invariantes por esta función. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8588 sacados/8588 chapExoCorrec/3787 sacados/3787 chapExoCorrec/8589 sacados/8589 chapExoCorrec/3802 sacados/3802 chapExoCorrec/5332 sacados/5332 chapExoCorrec/8586 sacados/8586 chapExoCorrec/6101 sacados/6101 chapExoCorrec/3810 sacados/3810 Extrait Pondichery Avril 2004 chapExoCorrec/6781 sacados/6781 chapExoCorrec/6811 sacados/6811 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2016 chapExoCorrec/3803 sacados/3803
E.6794 Damos el número complejo : j = − 1 2 +i · 3 2 1 Resolvemos en el conjunto C de los números complejos la ecuación : z 2 + z + 1 = 0 2 Demuestra las siguientes igualdades : a j 3 = 1 b j 2 = − 1 − j 3 Suponemos la existencia de tres números complejos a , b y c verificando la igualdad : a + j · b + j 2 · c = 0 a Demostrar la igualdad : a − c = j · c − b b Demostrar igualdad : a − b = j 2 · b − c 3. Ecuación de segundo grado y factorización E.3818 Resuelve en C la ecuación : z − 2 · i z 2 − 2 · z +2 =0 Da la escritura algebraica y exponencial de las soluciones de esta ecuación (justifica las respuestas) . E.6780 En C , consideramos la ecuación : ( E ) : z 3 + z 2 − 2 = 0 1 Demuestra que el número complejo z 1 , definido por z 1 = − 1 − i , es solución de la ecuación E . 2 Justificar que el número complejo z 2 , definido por z 2 = z 1 , es también solución de la ecuación ( E ) . 3 Observando que 1 también es solución de ( E ) , proponer una forma factorizada en C del polinomio z 3 + z 2 − 2 . Desarrollaremos esta forma para establecer la factor-ización. E.8590 Queremos resolver en C la ecuación : ( E ) : z 3 + 4 · z 2 + 2 · z − 28 = 0 1 Determine dos reales a y b tales que la ecuación ( E ) se escriba como: z − 2 z 2 + a · z + b = 0 2 Resuelve ( E ) . E.5331 Consideremos en C la ecuación : ( E ) : z 3 + 4 · z 2 + 2 · z − 28 = 0 1 Determine dos a reales y b tales que la ecuación ( E ) se escriba : ( E ) : z − 2 z 2 + a · z + b = 0 2 Resuelve la ecuación ( E ) . E.3850 Consideremos la ecuación ( E ) : z 3 − (4 + i) · z 2 + (7 + i) · z − 4 = 0 donde z denota un número complejo. 1 Demuestra que ( E ) admite una solución real, denotada z 1 . 2 Determinar los dos números complejos a y b tales que, para cualquier número complejo z tenemos : z 3 − (4+i) · z 2 +(7+i) · z − 4 = ( z − z 1 )( z − 2 − 2 · i)( a · z + b ) 3 Resuelve ( E ) . E.5958 Para cualquier número z , planteamos : P ( z )= z 4 − 1 . 1 Factoriza P ( z ) en un producto de factores de primer grado. 2 Deduce las soluciones en el conjunto C de números com-plejos de la ecuación P ( z )=0 , de incógnita z . 3 Deduce de la pregunta anterior las soluciones en C de la ecuación de la incógnita z : 2 · z + 1 z − 1 4 = 1 4. Raíz de un número complejo E.8591 Denotamos por a el número complejo cuyo módulo es igual a 2 y cuyo un argumento es igual a ı 3 . 1 Calcula a 2 en forma algebraica. 2 Deduce las dos soluciones en C de la ecuación : z 2 = − 2 + 2 · i 3 . Escribiremos las soluciones en forma algebraica. E.5534 El plano complejo está referido a un sistema de referencia O ; −→ u ; −→ v ortonormal directo. Consideremos la aplicación f del plano en sí mismo que, a cualquier punto M del afijo z , asocia el punto M del afijo z tal que : z = z 2 . 1 Determina el conjunto Γ 1 de puntos M en el plano tales que : f ( M )= M . 2 Sea A el punto con afijo : a = 2 − i 2 a Expresa a en forma exponencial. b Deduce los afijos de los dos antecedentes de A por f . 3 Determina el conjunto Γ 2 de puntos M del afijo z tales que el afijo z del punto M es un número imaginario puro. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6794 sacados/6794 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/3818 sacados/3818 Extrait de Liban Juin 2004 chapExoCorrec/6780 sacados/6780 chapExoCorrec/8590 sacados/8590 chapExoCorrec/5331 sacados/5331 chapExoCorrec/3850 sacados/3850 Extrait Nouvelle-Caledonie Novembre 2006 chapExoCorrec/5958 sacados/5958 Extrait d'Asie Juin 1999 chapExoCorrec/8591 sacados/8591 chapExoCorrec/5534 sacados/5534
5. Ecuaciones con cambio de variables E.3817 En el conjunto C de los números complejos : 1 Montrer que : (1 + i) 6 = − 8 · i . 2 On considera la équation ( E ) : z 2 = − 8 · i a Déduire de 1 una solución de la ecuación ( E ) . b La ecuación ( E ) tiene otra solución ; escriba esta solu-ción en forma algebraica. 3 También reduzca de 1 a solución de la ecuación : ( E ) : z 3 = − 8 · i E.6204 1 En C , considera el polinomio: z 2 +6 z +25 . Determina sus raíces. 2 a Dar la escritura algebraica del número complejo a y b definidos por: a = (1 + 2 · i) 2 ; b = (1 − 2 · i) 2 b Deduce las soluciones de la ecuación : z 4 + 6 z 2 + 25 = 0 E.6205 1 En C , considera el polinomio: 4 z 2 − 16 z +25 . Determina sus raíces. 2 a Dar la escritura algebraica del número complejo a y b definidos por: a = 3 2 + 1 2 · i 2 ; b = 3 2 − 1 2 · i 2 b Deduce las soluciones de la ecuación : 4 z 4 − 16 z 2 + 25 = 0 6. Ecuaciones no polinómicas o con coeficientes no reales E.3835 1 Determinar el conjunto de raíces del polinomio: P = i · z 2 − 2 · i · z + 3 · i 2 Consideremos el polinomio: Q =i · z 2 +2 · z − 10 · i a Verificar que el número complejo z 1 es una raíz del polinomio Q donde : z 1 = − 3 + i b Determinar la forma factorizada del polinomio Q . Indicación : Se pueden buscar los dos números complejos a y b que realizan la factorización: Q = z +3 − i a · z + b E.4238 El plano complejo P está pro-visto de un marco de referencia O ; −→ u ; −→ v ortonormal di-recto. Llamamos (Γ) a la circunferencia de centro O y radio 1 . Llamamos F a la aplicación del plano P privado del punto O en P que, en cualquier punto M distinto de O , del afijo z , asocia el punto M = f ( M ) del afijo z definido por: z = z + i − 1 z Buscamos el conjunto ( E ) de puntos del plano P privados del punto O que tienen como imagen por F , el punto O . 1 Demuestre que, para cualquier número complejo z : z 2 + i · z − 1 = z + 3 2 + 1 2 · i z − √ 3 2 + 1 2 · i 2 Deduce los afijos de los puntos del conjunto ( E ) . 3 Demuestre que los puntos ( E ) pertenecen a (Γ) . E.3812 En el plano complejo pro-visto de un sistema de referencia O ; −→ u ; −→ v ortonormal di-recta, sea ( H ) el conjunto de puntos M de afijo z verificando : z 2 − 4 = 4 − z 2 1 Sean x y y las partes real e imaginaria del afijo z de un punto M . Demuestre que : M pertenece a ( H ) si, y sólo si, x 2 − y 2 =4 2 Sean A , B y C los puntos de afijos : 2 ; − 3 − i · 5 ; − 3 + i · 5 Comprueba que A , B y C pertenecen a ( H ) . E.3851 1 Determina el número complejo ¸ tal que : ¸ · (1 + i) = 1 + 3 · i i · ¸ 2 = − 4 + 3 · i 2 Para cualquier número complejo z , planteamos : f ( z ) = z 2 − (1 + 3 · i) · z + ( − 4 + 3 · i) Demuestre que f ( z ) admite la expresión z − ¸ z − i · ¸ . Deduce las escrituras algebraicas de las soluciones de la ecuación f ( z )=0 . 7. Factorización de z n − a n por z − a E.6105 Sea a un número complejo distinto de 1 y z un número complejo cualquiera. 1 Consideremos la sucesión geométrica u n de primer tér-mino 1 y razón z a . Sea n un número natural distinto de cero. Establezca la igualdad : u 0 + u 1 + u 2 + ··· + u n − 1 = 1 − z n a n 1 − z a 2 Deduzca la factorización: https://chingmath.fr chapExoCorrec/3817 sacados/3817 Extrait France Juin 2004 chapExoCorrec/6204 sacados/6204 chapExoCorrec/6205 sacados/6205 chapExoCorrec/3835 sacados/3835 chapExoCorrec/4238 sacados/4238 chapExoCorrec/3812 sacados/3812 Extrait Amerique du Nord Mai 2004 chapExoCorrec/3851 sacados/3851 Antilles Guyane Septembre 2007 chapExoCorrec/6105 sacados/6105
z n − a n = z − a z n − 1 + z n − 2 a + z n − 3 a 2 + ··· + z 2 a n − 3 + za n − 2 + a n − 1 Observación : esta factorización también se puede escribir como: z n − a n = z − a · n − 1 k =0 a k · z n − k − 1 8. Ejercicios no clasificados E.6251 Para cada una de las cuatro afirmaciones siguientes, indique si es verdadera o falsa y justifique su re-spuesta. No se tendrán en cuenta las respuestas sin justificar. No se penalizará la falta de respuesta. 1 La ecuación z − 4 z 2 − 4 · z +8 =0 admite 3 soluciones en C , una de las cuales es real y las 2 restantes son conju-gadas entre sí. 2 En el conjunto de los números complejos, la ecuación : ( E ) : z − z + 2 − 4 · i = 0 admite una única solución. 3 Consideremos la sucesión z n de números complejos definida por: z 0 = 2 ; z n +1 = 1 + i · z n El quinto término de la sucesión es un número real. 4 A todo número complejo z se le asocia un número com-plejo z definido por: z = z 2 + 2 z + 9 El conjunto de números complejos z tales que z es un real es el conjunto de números complejos z = x +i · y donde y =0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6251 sacados/6251