- Módulo (2 ejercicios)
- Argumentar y medir ángulos (4 ejercicios)
- Argumento y ortogonalidad (3 ejercicios)
- Argumentación y paralelismo (2 ejercicios)
- Naturaleza de un triángulo (6 ejercicios)
- Naturaleza de un cuadrilátero (3 ejercicios)
- Utilizar ecuaciones cartesianas (2 ejercicios)
- Transformación del plan (5 ejercicios)
- Transformación del plano e imagen de un conjunto (2 ejercicios)
- Transformación del plano e imagen recíproca de un conjunto (3 ejercicios)
- Raíz $n$-ésima de la unidad (3 ejercicios)
- Cursos (4 ejercicios)
- Suite (1 ejercicio)
E.4320
El
plano
complejo
está
pro-visto
de
un
marco
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto.
Tomaremos
2
cm
como
unidad
gráfica.
Llamamos
J
al
punto
con
afijo
i
.
1
Consideremos
los
puntos
A
,
B
,
C
,
H
de
afijos
:
a
=
−
3
−
i
;
b
=
−
2
+
4
·
i
;
c
=
3
−
i
;
h
=
−
2
.
Coloca
estos
puntos
en
una
figura,
que
se
irá
comple-tando
a
medida
que
avance
el
ejercicio.
2
Demuestra
que
J
es
el
centro
de
la
circunferencia
C
cir-cunscrita
por
el
triángulo
ABC
.
Especifica
el
radio
del
círculo
C
.
3
Dar
la
escritura
algebraica
del
número
complejo
b
−
c
h
−
a
.
Deduce
que
las
rectas
(
AH
)
y
(
BC
)
son
perpendiculares.
E.3875
Consideremos
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo.
Sean
A
y
B
los
puntos
con
afijos
respectivos
:
z
A
=
i
;
z
B
=
2
+
2
·
i
1
Sea
I
un
punto
del
plano
cuyo
afijo
z
I
es
:
z
I
=
−
4
+
23
2
·
i
Demuestre
que
el
punto
I
pertenece
a
la
mediatriz
del
segmento
[
AB
]
.
2
Sea
M
un
punto
del
plano
con
afijo
(2+i)
.
Demuestra
que
el
punto
M
pertenece
a
la
circunferencia
de
diámetro
[
AB
]
.
4.
Argumentación
y
paralelismo
E.3862
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto.
Consideremos
los
puntos
A
,
B
,
C
y
D
de
afijos
:
z
A
=
4
−
3
·
i
;
z
B
=
4
−
3
+
i
·
1
−
3
z
C
=
−
1
+
2
·
i
;
z
D
=
2
3
−
1
1
Establecer
igualdad
:
z
B
−
z
A
z
D
−
z
C
=
−
1
2
2
Deduce
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
CD
)
son
paralelas.
E.3847
El
plano
complejo
se
refiere
a
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Se
establece
:
a
=3
;
b
=5
−
2
·
i
;
c
=5+2
·
i
Se
designan
con
A
,
B
y
C
los
puntos
de
afijos
respectivos
a
,
b
y
c
.
Sea
M
un
punto
de
afijo
z
del
plano,
distinto
de
los
puntos
A
y
B
.
1
Demuestre
que
ABC
es
un
triángulo
rectángulo
isósceles.
2
Dar
una
interpretación
geométrica
del
argumento
del
número
complejo
:
z
−
3
z
−
5
+
2
·
i
3
Determinar
entonces
el
conjunto
de
puntos
M
de
afijo
z
tales
que
z
−
3
z
−
5+2
·
i
sea
un
número
real
estrictamente
negativo.
5.
Naturaleza
de
un
triángulo
E.5965
Se
dota
al
plano
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Consideramos
los
dos
puntos
A
y
B
con
afijos
respectivos
:
z
A
=
2
+
2
·
i
;
z
B
=
1
−
i
1
Expresar
en
forma
trigonométrica
el
número
complejo
z
A
z
B
.
2
Deduzca
la
naturaleza
del
triángulo
OAB
.
E.3809
El
plano
complejo
está
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto
(unidad
gráfica
4
cm
)
.
Sea
I
el
punto
con
afijo
1
.
Deno-tamos
C
a
la
circunferencia
de
diámetro
[
OI
]
y
nombramos
su
centro
Ω
.
Planteamos
a
0
=
1
2
+
1
2
·
i
y
anotamos
A
0
su
imagen.
1
Demuestra
que
el
punto
A
0
pertenece
a
la
circunferencia
C
.
2
Sea
B
el
punto
del
afijo
b
,
con
b
=
−
1+2
·
i
,
y
B
el
punto
del
afijo
b
tal
que
b
=
a
0
·
b
.
a
Calcula
b
.
b
Demuestra
que
el
triángulo
OBB
es
acutángulo
en
B
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4320
sacados/4320
Extrait d'Antilles
Juin 2011
chapExoCorrec/3875
sacados/3875
chapExoCorrec/3862
sacados/3862
chapExoCorrec/3847
sacados/3847
Extrait Polynesie
Septembre 2006
chapExoCorrec/5965
sacados/5965
chapExoCorrec/3809
sacados/3809
Extrait Amerique du Sud
Novembre 2003
E.8597
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto.
Consideremos
los
puntos
A
,
B
,
C
de
los
respectivos
afijos
:
z
A
=
1
+
i
;
z
B
=
2
+
i
·
(
3
+
1)
;
z
C
=
(1
−
3)
+
i
·
2
1
Determine
la
escritura
algebraica
del
cociente
:
z
C
−
z
A
z
B
−
z
A
2
Determina
el
módulo
y
un
argumento
del
cociente
ante-rior.
3
Establecer
que
el
triángulo
ABC
es
isósceles
acutángulo.
E.3823
El
plano
complejo
está
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto
de
la
unidad
gráfica
2
cm
.
Consideremos
los
puntos
A
,
B
y
C
de
afijos
:
z
A
=
−
2
·
i
;
z
B
=
−
3
+
i
;
z
C
=
3
+
i
1
a
Da
la
escritura
exponencial
de
los
números
z
A
,
z
B
y
z
C
.
b
Deduce
el
centro
y
el
radio
de
la
circunferencia
Γ
que
pasa
por
los
puntos
A
,
B
y
C
.
c
Haz
una
figura
y
coloca
el
punto
A
,
dibuja
el
círculo
Γ
,
luego
coloca
los
puntos
B
y
C
.
2
a
Dar
la
escritura
algebraica
del
complejo
z
B
−
z
A
z
C
−
z
A
,
y
luego
su
escritura
exponencial.
b
Deduce
la
naturaleza
del
triángulo
ABC
.
E.3861
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto.
Consideremos
los
puntos
D
,
E
,
F
de
los
respectivos
afijos
:
z
D
=
4
−
3
·
i
;
z
E
=
4
+
3
+
i
·
−
1
−
3
z
F
=
−
3
+
2
·
i
+
4
1
Determine
la
escritura
algebraica
del
cociente
:
z
E
−
z
D
z
F
−
z
D
2
Determina
el
módulo
y
un
argumento
del
cociente
ante-rior.
3
Establecer
que
el
triángulo
DEF
es
equilátero.
E.4237
Se
dota
al
plano
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Se
consideran
los
puntos
C
,
D
,
E
con
afijos
respectivos
:
z
C
=
3
+
1
+
3
·
i
;
z
D
=
2
−
i
;
z
E
=
i
1
Determinar
la
expresión
algebraica
del
número
z
C
−
z
E
z
D
−
z
E
y,
a
continuación,
su
expresión
trigonométrica.
2
Deducir
la
naturaleza
del
triángulo
CDE
.
6.
Naturaleza
de
un
cuadrilátero
E.3854
En
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo,
consideremos
los
puntos
A
,
B
,
C
,
D
de
afijos
:
z
A
=
−
3
−
i
;
z
B
=
1
−
i
·
3
z
C
=
3
+
i
;
z
D
=
−
1
+
i
·
3
1
Dar
el
módulo
y
un
argumento
de
cada
uno
de
los
cuatro
números
complejos
z
A
,
z
B
,
z
C
y
z
D
.
2
Construye
con
regla
y
compás
los
puntos
A
,
B
,
C
y
D
(la
unidad
gráfica
será
2
cm
)
.
3
Determina
el
punto
medio
del
segmento
[
AC
]
,
el
del
seg-mento
[
BD
]
.
Calcular
el
cociente
z
A
z
B
.
Deduce
la
natu-raleza
del
cuadrilátero
ABCD
.
E.5359
Consideramos
el
plano
provisto
del
sis-tema
de
referencia
directo
ortonormal
(
O
;
−→
u
;
−→
v
y
los
cua-tro
puntos
A
,
B
,
C
y
D
de
afijos
:
z
A
=
−
2+i
;
z
B
=
−
3
·
i
;
z
C
=3
−
2
·
i
;
z
D
=3+2
·
i
1
a
Dar
la
escritura
algebraica
del
número
complejo
Z
definido
por
el
cociente
:
Z
=
z
C
−
z
A
z
D
−
z
B
b
En
deducir
la
escritura
trigonométrica
del
complejo
Z
.
2
a
Justifica
que
el
cuadrilátero
ABCD
tiene
sus
diago-nales
perpendiculares
y
de
la
misma
longitud.
b
¾Es
el
cuadrilátero
ABCD
un
rombo?
E.8595
En
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo,
consideremos
los
cuatro
puntos
A
,
B
,
C
,
D
de
los
respectivos
afijos
a
,
b
,
c
,
d
definidos
por:
a
=
6
;
b
=
2
+
2
·
i
;
c
=
1
;
d
=
5
−
2
·
i
Demuestra
que
el
cuadrilátero
ABCD
es
un
rectángulo,
pero
no
es
un
cuadrado.
7.
Utilizar
ecuaciones
cartesianas
E.8596
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
i
;
−→
j
y
los
dos
puntos
C
y
D
con
afijos
respectivos
c
y
d
definidos
por:
c
=
1
+
i
;
d
=
3
−
2
·
i
Para
cualquier
número
complejo
z
distinto
de
d
,
denotamos
por
z
0
el
número
complejo
definido
por:
z
0
=
z
−
c
z
−
d
1
Denotando
a
+i
·
b
,
donde
a;
b
∈
R
,
la
escritura
algebraica
del
número
z
,
determinar
la
escritura
algebraica
del
co-ciente
z
0
.
2
Se
desea
caracterizar
el
conjunto
E
de
puntos
del
plano
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8597
sacados/8597
chapExoCorrec/3823
sacados/3823
chapExoCorrec/3861
sacados/3861
chapExoCorrec/4237
sacados/4237
chapExoCorrec/3854
sacados/3854
Pondichery
Avril 2008
chapExoCorrec/5359
sacados/5359
chapExoCorrec/8595
sacados/8595
chapExoCorrec/8596
sacados/8596
-2-101-11uv
de
afijo
z
,
tales
que
el
número
z
0
sea
un
número
real.
a
Determinar
una
relación
entre
los
números
reales
a
y
b
para
que
el
número
z
0
sea
un
número
real.
b
Justificar
que
el
conjunto
E
es
el
conjunto
de
puntos
M
del
plano
distinto
de
D
tal
que
los
puntos
C
,
D
,
M
están
alineados
E.8598
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
i
;
−→
j
y
los
dos
puntos
C
y
D
con
afijos
respectivos
c
y
d
definidos
por:
c
=
2
−
i
;
d
=
1
+
2
·
i
Para
cualquier
número
complejo
z
distinto
de
d
,
denotamos
por
z
0
el
número
complejo
definido
por:
z
0
=
z
−
c
z
−
d
1
Denotando
a
+i
·
b
,
donde
a;
b
∈
R
,
la
escritura
algebraica
del
número
z
,
determinar
la
escritura
algebraica
del
co-ciente
z
0
.
2
Se
desea
caracterizar
el
conjunto
E
de
puntos
del
plano
de
afijo
z
,
tales
que
el
número
z
0
sea
un
imaginario
puro.
a
Determinar
una
relación
entre
los
números
reales
a
y
b
para
que
el
número
z
0
sea
un
imaginario
puro.
b
Justificar
que
el
conjunto
E
es
el
círculo
de
diámetro
[
CD
]
privado
del
punto
D
.
8.
Transformación
del
plan
E.3841
El
plano
complejo
P
está
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto,
unidad
gráfica
2
cm
.
Llamamos
(Γ)
a
la
circunferencia
de
centro
O
y
radio
1
.
A
lo
largo
del
ejercicio
se
realizará
y
completará
una
figura.
.
Llamamos
F
a
la
aplicación
del
plano
P
privado
del
punto
O
en
P
que,
en
cualquier
punto
M
distinto
de
O
,
del
afijo
z
,
asocia
el
punto
M
=
F
(
M
)
del
afijo
z
definido
por:
z
=
z
+
i
−
1
z
Consideremos
los
puntos
A
y
B
con
sus
respectivos
afijos
a
=i
y
b
=e
i
·
π
6
y
sus
imágenes
A
y
B
por
F
con
los
respectivos
afijos
a
y
b
.
1
Calcula
a
y
b
.
2
Sitúa
los
puntos
A
,
A
,
B
y
B
.
3
Demonstrate
that
:
−
b
b
−
b
=
√
3
3
·
i
4
Deduce
la
naturaleza
del
triángulo
OBB
.
E.5532
En
el
plano
complejo
referido
al
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa,
deno-tamos
por
A
y
B
los
puntos
de
los
afijos
1
y
−
1
respectiva-mente.
Sea
f
la
transformación
del
plano
que,
a
cualquier
punto
M
del
afijo
z
=1
,
asocia
el
punto
M
del
afijo
z
tal
que
:
z
=
1
−
z
z
−
1
Sea
C
el
punto
con
afijo
:
z
C
=
−
2+i
.
1
Calcula
el
afijo
z
C
del
punto
C
imagen
de
C
por
la
trans-formación
f
,
y
colocar
los
puntos
C
y
C
en
el
sistema
de
referencia
dado
a
continuación
:
2
Demuestra
que
el
punto
C
pertenece
a
la
circunferencia
C
con
centro
O
y
radio
1
.
3
Demuestra
que
los
puntos
A
,
C
y
C
están
alineados.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8598
sacados/8598
chapExoCorrec/3841
sacados/3841
chapExoCorrec/5532
sacados/5532
-2-101-11uv
E.3814
El
plano
complejo
P
está
referido
al
sistema
de
referencia
O
;
−→
e
1
;
−→
e
2
ortonormal
di-recto
de
la
unidad
gráfica
1
cm
.
Sea
A
el
punto
con
afijo
3
·
i
.
Llamamos
f
a
la
aplicación
que,
a
cualquier
punto
M
de
afijo
z
,
distinto
de
A
,
asocia
el
punto
M
de
afijo
z
definido
por:
z
=
3
·
i
·
z
−
7
z
−
3
·
i
Búsqueda
de
puntos
invariantes
por
f
.
1
Expandir
(
z
−
7
·
i)(
z
+i)
.
2
Demuestra
que
f
admite
dos
números
invariantes
que
son
los
afijos
de
dos
puntos
que
denotaremos
B
y
C
.
Definición
:
sea
f
una
función
compleja
(de
C
en
C
)
.
Se
dice
que
el
número
z
es
un
invariante
de
la
función
f
si
f
(
z
)=
z
..
E.5533
En
el
plano
complejo
referido
al
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
,
se
designa
con
A
el
punto
de
afijos
1
.
Sea
f
la
transformación
del
plano
que,
a
todo
punto
M
de
afijo
z
=1
,
asocia
el
punto
M
de
afijo
z
tal
que
:
z
=
1
−
z
z
−
1
1
Demuestre
que,
para
todo
número
complejo
z
=1
,
z
−
z
z
−
1
es
real.
2
¾Qué
se
puede
deducir
para
los
puntos
A
,
M
y
M
?
E.4239
En
el
plano
provisto
de
un
sis-tema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa,
consider-amos
los
puntos
A
y
B
de
los
afijos
2
y
(
−
2)
respectivamente.
Definimos
la
aplicación
f
que,
a
cualquier
punto
M
del
afijo
z
y
distinto
de
A
,
asocia
el
punto
M
del
afijo
:
z
=
z
·
(
z
−
2)
z
−
2
1
Demuestre
que
para
cualquier
número
complejo
z
,
el
número
(
z
−
2)(
z
−
2)
es
real.
2
Deduce
que
para
cualquier
número
complejo
distinto
de
2
:
z
+2
z
−
2
es
real.
3
Demuestra
que
las
rectas
(
AM
)
y
(
BM
)
son
paralelas.
9.
Transformación
del
plano
e
imagen
de
un
conjunto
E.3873
El
plano
complejo
P
está
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo.
Llamamos
(Γ)
a
la
circunferencia
de
centro
O
y
radio
1
.
Llamamos
F
a
la
aplicación
del
plano
P
privado
del
punto
O
en
P
que,
en
cualquier
punto
M
distinto
de
O
,
del
afijo
z
,
asocia
el
punto
M
=
F
(
M
)
del
afijo
z
definido
por:
z
=
z
+i
−
1
z
Sea
A
el
punto
con
afijo
i
y
„
un
número
real.
1
Sea
A
la
imagen
del
punto
A
por
la
transformación
F
.
Determina
el
afijo
del
punto
A
.
2
Demuestre
que
si
z
=e
i
·
θ
alors
z
=
2
·
sin
„
+1
·
i
3
Deduce
que
si
M
pertenece
al
círculo
(Γ)
entonces
M
pertenece
al
segmento
[
A
C
]
donde
C
tiene
afijo
−
1
.
E.4078
En
el
plano
complejo
referido
al
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa.
Sea
A
el
punto
con
afijo
i
.
Para
cualquier
punto
M
de
afijo
z
tal
que
z
=i
,
definimos
el
punto
M
cuyo
afijo
z
se
define
por:
z
=
1
3
·
(
z
−
i)
1
Establece
la
siguiente
proposición
:
Si
M
es
un
punto
de
la
circunferencia
de
centro
A
de
radio
r
,
entonces
M
es
un
punto
de
la
circunferencia
de
centro
O
de
radio
1
3
·
r
.
2
Demuestre
que
:
arg(
z
)
=
−
−→
u
;
−−→
AM
10.
Transformación
del
plano
e
imagen
recíproca
de
un
conjunto
E.3825
En
el
plano
complejo
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa,
consider-emos
la
transformación
f
del
plano
complejo
que,
a
cualquier
punto
M
de
afijo
z
,
asocia
el
punto
M
de
afijo
z
definido
por:
z
=
z
2
+
i
·
z
+
1
−
i
1
Considera
los
puntos
A
y
B
de
afijos
:
3
+
2
·
i
;
−
3
·
i
Determina
la
imagen
de
estos
dos
puntos
por
la
transfor-mación
f
.
2
a
Sea
M
un
punto
del
plano.
Sea
a
+i
·
b
el
afijo
del
punto
M
.
Expresa
en
función
de
a
y
b
la
parte
real
y
la
parte
imaginaria
del
punto
M
.
b
Determina
una
condición
sobre
a
y
b
para
que
el
punto
M
pertenezca
al
eje
de
los
reales.
c
Determina
una
condición
sobre
a
y
b
para
que
el
punto
M
pertenezca
al
eje
de
los
imaginarios.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3814
sacados/3814
Extrait Asie
Juin 2004
chapExoCorrec/5533
sacados/5533
chapExoCorrec/4239
sacados/4239
chapExoCorrec/3873
sacados/3873
chapExoCorrec/4078
sacados/4078
chapExoCorrec/3825
sacados/3825
E.6086
Consideremos
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Consideremos
los
puntos
:
A
(0
;
1)
;
B
(2
;
−
1)
A
todo
punto
del
plano
M
,
distinto
de
A
y
de
B
,
de
afijo
z
,
se
le
asocia
un
punto
M
de
afijo
z
definido
por
la
relación:
z
=
z
−
2
+
i
z
−
i
1
Interpreta
geométricamente
la
longitud
OM
y
el
ángulo
−→
u
;
−−−→
OM
utilizando
los
puntos
A
,
B
y
M
.
2
Consideramos
el
punto
M
(4
;
1)
.
Determinar
la
escritura
algebraica
y
exponencial
del
número
complejo
z
asociado
a
z
.
3
En
esta
pregunta,
queremos
caracterizar
el
conjunto
de
puntos
M
del
plano
tal
que
el
punto
M
pertenece
al
eje
de
ordenadas
:
a
Notemos
z
=
x
+i
·
y
.
Establezca
la
siguiente
propiedad
:
ˇ
z
es
un
imaginario
puro
si
x
2
+
y
2
−
2
x
−
1=0
ı
b
Justifique
que
el
conjunto
buscado
es
la
circunferencia
de
diámetro
[
AB
]
.
E.3801
El
plano
P
se
refiere
a
un
sis-tema
de
coordenadas
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormado
directo.
Sea
f
la
aplicación
que,
a
todo
punto
M
de
P
de
afijo
distinto
de
cero
z
,
asocia
el
punto
M
de
afijo
:
z
=
1
2
·
z
+
1
z
Haremos
una
figura
que
se
completará
sobre
la
marcha
.
1
Sea
E
el
punto
de
afijo
z
E
=
−
i
.
Determinar
el
afijo
del
punto
E
,
imagen
de
E
por
f
.
2
Determinar
el
conjunto
de
puntos
M
tales
que
M
=
M
.
3
Se
denotan
A
y
B
los
puntos
de
afijos
respectivos
1
y
−
1
.
Sea
M
un
punto
distinto
de
los
puntos
O
,
A
y
B
.
a
Demuestre
que,
para
cualquier
número
complejo
z
dis-tinto
de
0
,
1
y
−
1
,
se
tiene
:
z
+
1
z
−
1
=
z
+
1
z
−
1
2
b
Deduzca
una
expresión
de
M
B
M
A
en
función
de
MB
MA
,
y
luego
una
expresión
del
ángulo
−−→
M
A
;
−−−→
M
B
en
fun-ción
del
ángulo
−−→
MA
;
−−→
MB
.
4
Sea
Δ
la
mediatriz
del
segmento
[
AB
]
.
Demuestre
que
si
M
es
un
punto
de
Δ
distinto
del
punto
O
,
entonces
M
es
un
punto
de
Δ
.
5
Sea
Γ
el
círculo
de
diámetro
[
AB
]
.
a
Demuestre
que
si
el
punto
M
pertenece
a
Γ
,
entonces
el
punto
M
pertenece
a
la
recta
(
AB
)
.
b
¾Todo
punto
de
la
recta
(
AB
)
tiene
un
antecedente
en
f
?
11.
Raíz
n
-ésima
de
la
unidad
E.6106
Nos
interesa
el
conjunto
U
4
definido
por
el
conjunto
de
soluciones
de
la
ecuación
:
z
4
=
1
1
a
Factoriza
la
expresión
z
4
−
1
en
un
producto
de
fac-tores
primos.
b
Dar
la
escritura
algebraica
y
luego
la
escritura
expo-nencial
del
conjunto
U
4
.
2
Consideremos
el
plano
con
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo
y,
para
j
∈
0
;
1
;
2
;
3
,
los
puntos
M
j
de
afijos
:
z
j
=
e
i
·
π
2
×
j
a
Demuestra
que
los
puntos
M
j
,
para
j
∈
0
;
1
;
2
;
3
,
pertenecen
a
la
circunferencia
de
centro
O
y
radio
1
.
b
Establecer,
para
cualquier
j
∈
0
;
1
;
2
,
la
igualdad
:
M
j
OM
j
+1
=
ı
2
c
Especifique
la
naturaleza
del
cuadrilátero:
M
0
M
1
M
2
M
3
E.8599
Definición
:
el
conjunto
U
7
es
el
conjunto
de
raíces
7
-ésimas
de
la
unidad.
Es
decir,
son
las
raíces
de
la
ecuación
z
7
−
1
.
1
Expresar
en
forma
exponencial
los
elementos
de
U
7
.
2
En
el
plano
complejo
provisto
de
un
sistema
de
coorde-nadas
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormado
directo,
demostrar
que
las
imágenes
de
los
números
de
U
7
son
los
vértices
de
un
heptágono
regular.
3
a
Establecer
la
factorización:
z
7
−
1
=
z
−
1
1
+
z
+
z
2
+
z
3
+
z
4
+
z
5
+
z
6
b
Establecer
la
igualdad
:
ω
∈
U
7
w
=0
E.8600
Resuelve
en
C
las
ecuaciones
que
apare-cen
a
continuación
:
a
z
+
i
4
=
1
b
z
3
=
8
Indicación
:
daremos
las
escrituras
algebraicas
de
las
solu-ciones.
12.
Cursos
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6086
sacados/6086
chapExoCorrec/3801
sacados/3801
chapExoCorrec/6106
sacados/6106
chapExoCorrec/8599
sacados/8599
chapExoCorrec/8600
sacados/8600
011uv
E.3853
Se
supone
que
se
conocen
los
sigu-ientes
resultados
:
1
En
el
plano
complejo,
damos
por
sus
afijos
z
A
,
z
B
y
z
C
tres
puntos
A
,
B
y
C
entonces
:
⏐
⏐
⏐
z
B
−
z
C
z
A
−
z
C
⏐
⏐
⏐
=
CB
CA
arg
z
B
−
z
C
z
A
−
z
C
=
−→
CA
;
−−→
CB
(2
ı
)
2
Sea
z
un
número
complejo
y
sea
„
un
real:
z
=e
i
·
θ
si,
y
sólo
si,
|
z
|
=1
y
arg(
z
)=
„
+2
·
k
·
ı
donde
k
es
un
número
entero
relativo.
Demostración
de
conferencia
:
Demuestra
que
el
giro
r
de
ángulo
¸
y
centro
Ω
de
afijo
!
es
la
transformación
del
plano
que,
a
cualquier
punto
m
del
afijo
z
,
asocia
el
punto
M
del
afijo
z
tal
que
:
z
−
!
=
e
i
·
ω
·
(
z
−
w
)
E.3849
El
plano
complejo
se
refiere
al
punto
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Recordatorios
:
ˇ
Para
cualquier
vector
~
w
distinto
de
cero,
de
afijo
z
,
se
tiene
:
|
z
|
=
−→
w
;
arg(
z
)
=
−→
u
;
−→
w
ı.
Sean
M
,
N
y
P
tres
puntos
del
plano,
con
afijos
respectivos
m
,
n
y
p
tales
que
m
=
n
y
m
=
p
.
1
Demostrar
que
:
arg
p
−
m
n
−
m
=
−−→
MN
;
−−→
MP
2
Interpretar
geométricamente
el
número
:
⏐
⏐
⏐
p
−
m
n
−
m
⏐
⏐
⏐
.
E.4105
En
el
plano
complejo
provisto
del
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo,
consid-eramos
los
puntos
M
y
M
distintos
de
O
de
los
afijos
z
y
z
respectivamente.
Planteamos
:
z
=
x
+
i
·
y
;
z
=
x
+
i
·
y
x
donde
x;
,
y
,
y
son
números
reales.
Recordemos
que
z
denota
el
conjugado
de
z
y
|
z
|
denota
el
módulo
de
z
.
1
Expresa
el
complejo
z
·
z
en
función
de
x
,
x
,
y
,
y
.
2
a
Demuestre
que
los
vectores
−−→
OM
y
−−−→
OM
son
ortogo-nales
si,
et
seulement
si,
Re
z
·
z
=0
.
b
Demuestre
que
los
puntos
O
,
M
y
M
están
alineados
si,
y
sólo
si,
Im
(
z
·
z
)=0
E.8601
Definición
:
Para
n
un
número
natural
distinto
de
cero,
se
considera
el
conjunto
U
n
de
raíces
n
-ésimas
de
la
unidad.
Se
dice
que
una
raíz
!
es
una
raíz
n
-ésima
primitiva
de
la
unidad
si
las
potencias
sucesivas
de
!
(es
decir,
!
,
!
2
,
!
3
,.
.
.
,
!
n
)
permiten
generar
todos
los
elementos
de
U
n
.
Demostrar
que
si
n
es
un
número
primo,
entonces
cualquier
elemento
de
U
n
distinto
de
1
es
una
raíz
primitiva
n
-ésima
de
U
n
.
13.
Suite
E.6384
El
plano
complejo
está
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Para
cualquier
número
natural
n
,
se
denota
por
A
n
el
punto
de
afijo
z
n
definido
por:
z
0
=
1
;
z
n
+1
=
3
4
+
√
3
4
·
i
·
z
n
1
Determinar
los
afijos
de
los
puntos
A
1
y
A
2
.
2
Demostrar
que
el
triángulo
OA
n
A
n
+1
es
rectángulo
en
A
n
+1
.
3
Se
admite
que,
para
todo
número
natural
n
:
z
n
=
⏐
⏐
z
n
⏐
⏐
·
e
i
·
n
·
π
6
Sitúe
los
puntos
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
y
A
4
en
el
sistema
de
coordenadas
siguiente
:
14.
Ejercicios
no
clasificados
E.3815
En
el
plano
provisto
de
una
refer-encia
O
;
−→
u
;
−→
v
,
consideramos
los
puntos
B
y
C
con
afijos
respectivos
−
i
y
7
·
i
.
Demostrar
que
todo
punto
M
con
afijo
z
que
cumple
:
z
=
3
·
i
+
4
·
e
i
·
θ
donde
„
∈
R
pertenece
al
círculo
C
de
diámetro
[
BC
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3853
sacados/3853
Pondichery
Avril 2008
chapExoCorrec/3849
sacados/3849
Extrait Amerique du Nord
Novembre 2006
chapExoCorrec/4105
sacados/4105
chapExoCorrec/8601
sacados/8601
chapExoCorrec/6384
sacados/6384
011uv
chapExoCorrec/3815
sacados/3815
Inspire Asie
Juin 2004