- Un recordatorio de trigonometría (2 ejercicios)
- Representación gráfica y escritura algebraica (2 ejercicios)
- Módulo de un número complejo (2 ejercicios)
- Geometría y módulo (1 ejercicio)
- Relación $\Se\big|z\big|^2=z{\cdot}\overline{z}$ (2 ejercicios)
- Módulo: propiedades algebraicas (1 ejercicio)
- Módulos y ecuaciones cartesianas (2 ejercicios)
- Envase $\mathbb{U}$ (2 ejercicios)
- Argumento sobre el conjunto $\mathbb{U}$ (1 ejercicio)
- Argumentos y ángulos notables (2 ejercicios)
- Argumento y valor aproximado (2 ejercicios)
- Escritura trigonométrica (2 ejercicios)
- Módulos, argumentos y lugares geométricos (2 ejercicios)
- Lugares geométricos (4 ejercicios)
- Transformación del plan (2 ejercicios)
- Transformación del plano y lugar (4 ejercicios)
- Suites (3 ejercicios)
E.3843
En
el
plano
complejo
con
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
,
considera
los
puntos
A
,
B
,
C
con
afijos
:
z
A
=1+3
·
i
;
z
B
=
−
2+2
·
i
;
z
C
=
2
2
+i
·
6
2
+2
Sea
I
el
punto
del
plano
con
afijo
z
I
=2
·
i
Demuestre
que
los
puntos
A
,
B
,
C
pertenecen
a
una
misma
circunferencia
con
centro
I
.
Especifica
el
radio
de
esta
circun-ferencia.
5.
Relación
⏐
⏐
z
⏐
⏐
2
=
z
·
z
E.8569
Para
cualquier
número
complejo
z
,
definimos
el
número
complejo
z
mediante
:
z
=
(3
+
4
·
i)
·
z
+
5
·
z
6
1
Para
cualquier
número
complejo
z
,
establece
la
igualdad
:
z
−
z
1
+
2
·
i
=
z
+
z
6
+
i
·
z
−
z
3
2
Deduce
que
el
número
z
−
z
1+2
·
i
es
un
número
real.
E.8570
Establece
las
ecuaciones
siguientes
:
a
⏐
⏐
⏐
5
·
i
5
−
5
·
i
⏐
⏐
⏐
=
2
2
b
⏐
⏐
⏐
1
+
2
·
i
5
+
5
·
i
⏐
⏐
⏐
=
10
10
6.
Módulo:
propiedades
algebraicas
E.3846
Establece
la
siguiente
igualdad
para
cualquier
número
complejo
distinto
de
cero
z
:
1
z
2
−
1
z
2
−
1
=
−
z
2
·
⏐
⏐
⏐
1
z
2
−
1
⏐
⏐
⏐
2
7.
Módulos
y
ecuaciones
cartesianas
E.3844
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
:
1
Sea
z
un
número
complejo
solución
de
la
ecuación
(
E
)
:
(
E
)
:
|
z
−
2
+
i
|
=
5
Denotemos
por
M
la
imagen
del
número
complejo
z
a
Traduzcamos
la
ecuación
(
E
)
en
términos
de
distancia.
b
Justificar
que
el
conjunto
de
puntos
M
de
afijo
z
que
verifican
la
relación
(
E
)
es
un
círculo.
Especificar
su
centro
y
su
radio.
c
Sea
a
+i
·
b
la
escritura
algebraica
del
afijo
del
punto
M
;
determinar
una
relación
sobre
a
y
b
que
caracterice
la
relación
(
E
)
.
2
Sea
z
un
número
complejo
solución
de
la
ecuación
(
F
)
:
(
F
)
:
|
z
+
i
|
=
|
z
+
1
−
2
·
i
|
Se
denota
por
M
la
imagen
del
número
complejo
z
a
Traducir
la
ecuación
(
F
)
en
términos
de
distancia.
b
Justificar
que
el
conjunto
de
puntos
M
de
afijo
z
que
verifican
la
relación
(
F
)
es
una
recta.
Especificar
su
naturaleza.
c
Sea
a
+i
·
b
la
escritura
algebraica
del
afijo
del
punto
M
;
determinar
una
relación
sobre
a
y
b
que
caracterice
la
relación
(
E
)
.
E.3813
El
plano
está
referido
al
sis-tema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Con-sideremos
los
puntos
A
y
B
de
afijos
:
z
A
=
−
1
+
i
·
3
;
z
B
=
−
1
−
i
·
3
1
Establecer
que
el
conjunto
Γ
2
de
puntos
M
con
afijo
z
que
verifiquen
:
2(
z
+
z
)
+
z
·
z
=
0
es
una
circunferencia
de
centro
Ω
de
afijo
−
2
.
Especifica
su
radio.
Construye
Γ
2
.
2
Comprueba
que
los
puntos
A
y
B
son
elementos
Γ
2
.
8.
Envase
U
E.8573
Definición
:
Se
denota
por
U
el
conjunto
de
números
com-plejos
z
que
satisfacen
⏐
⏐
z
⏐
⏐
=
1
.
Se
puede
anotar
:
U
=
z
∈
C
⏐
⏐
|
z
|
=1
;
U
⊂
C
1
Justificar
que
los
números
complejos
siguientes
pertenecen
a
U
:
a
z
1
=
−
i
b
z
2
=
3
2
−
1
2
·
i
c
z
3
=
−
2
2
+
2
2
·
i
2
Sean
z
y
z
dos
números
complejos
que
pertenecen
a
U
,
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3843
sacados/3843
chapExoCorrec/8569
sacados/8569
chapExoCorrec/8570
sacados/8570
chapExoCorrec/3846
sacados/3846
chapExoCorrec/3844
sacados/3844
chapExoCorrec/3813
sacados/3813
chapExoCorrec/8573
sacados/8573
-3-2-10123-2-112uv
-2-1012-2-112uvABCDE
demostrar
que
el
producto
z
·
z
pertenece
a
U
.
3
Sea
z
un
elemento
de
U
,
demostrar
que
las
tres
expresiones
siguientes
definen
un
número
complejo
perteneciente
a
U
:
a
−
z
b
1
z
c
z
2
4
Demuestra
que,
para
cualquier
número
complejo
z
(
z
∈
C
)
,
el
número
complejo
z
⏐
⏐
z
⏐
⏐
pertenece
a
U
.
E.8574
Establecer
que
los
números
comple-jos
de
abajo
pertenecen
a
U
:
a
z
1
=
1
−
7
·
i
−
5
+
5
·
i
b
z
2
=
2
−
9
·
i
−
6
+
7
·
i
c
z
3
=
4
+
7
·
i
8
−
i
9.
Argumento
sobre
el
conjunto
U
E.8575
Definición
:
Consideremos
el
plano
complejo
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormado
di-recto.
Para
cualquier
número
complejo
z
perteneciente
a
U
,
lla-mamos
argumento
de
z
a
la
medida
del
ángulo
orientado
−→
u
;
−−→
OM
donde
M
es
la
imagen
del
punto
z
.
1
En
la
representación
siguiente
del
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
,
sitúe
los
puntos
M
1
,
M
2
,
M
3
pertenecientes
al
círculo
trigonométrico
y
cuyos
argumentos
respectivos
de
los
afijos
de
estos
puntos
tienen
los
siguientes
valores:
a
„
1
=
ı
4
b
„
2
=
5
ı
6
c
„
3
−
2
ı
3
Propuesta:
en
el
plano
complejo
provisto
de
un
sis-tema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
.
El
punto
M
perteneciente
al
círculo
trigonométrico
cuyo
afijo
z
tiene
como
argumento
„
admite
la
siguiente
escritura
al-gebraica:
z
=
cos
„
+
i
·
sin
„
2
Da
las
expresiones
algebraicas
de
los
afijos
de
los
puntos
M
1
,
M
2
,
M
3
definidos
en
la
pregunta
1
.
10.
Argumentos
y
ángulos
notables
E.5565
Definición
:
Consideremos
el
plano
complejo
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo.
Sea
z
un
número
complejo
distinto
de
cero,
llamamos
argu-mento
de
z
al
valor
del
argumento
del
número
complejo
z
⏐
⏐
z
⏐
⏐
Determina
los
argumentos
de
los
números
complejos
sigu-ientes
:
a
z
1
=
1
+
i
b
z
2
=
−
3
+
3
·
3
·
i
c
z
3
=
3
−
i
E.3795
Interpretación
geométrica:
en
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormado
directo,
para
cualquier
punto
M
distinto
de
O
.
El
argumento
del
afijo
del
punto
M
tiene
como
valor
la
medida
del
ángulo
orientado
−→
u
;
−−→
OM
.
Consideremos
el
plano
provisto
de
un
sis-tema
de
coordenadas
ortonormales
directas
O
;
−→
u
;
−→
v
represen-tado
a
continuación
:
El
círculo
C
con
centro
O
y
radio
2
se
repre-senta
con
puntos
discon-tinuos
;
los
puntos
C
y
D
pertenecen
al
círculo
C
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8574
sacados/8574
chapExoCorrec/8575
sacados/8575
-3-2-10123-2-112uv
chapExoCorrec/5565
sacados/5565
chapExoCorrec/3795
sacados/3795
-2-1012-2-112uvABCDE
uv2
uv2
uvπ6
1
Determinar
los
módulos
y
los
argumentos
de
los
afijos
de
los
puntos
A
,
B
,
C
,
D
y
E
.
2
Colocar
los
puntos
F
y
G
de
los
afijos
respectivos
z
y
z
verificando
:
|
z
|
=
2
arg
z
=
−
3
ı
4
;
|
z
|
=
2
arg
z
=
−
ı
2
11.
Argumento
y
valor
aproximado
E.8572
Para
cada
uno
de
los
números
com-plejos
siguientes,
determine
el
valor
de
su
argumento,
re-dondeado
al
centésimo
de
radian
más
cercano.
a
z
1
=
2
+
i
b
z
2
=
−
3
−
2
·
i
c
z
3
=
1
−
2
·
i
E.5346
Consideremos
los
siguientes
números
complejos
:
z
1
=
1
+
2
·
i
;
z
2
=
5
−
2
·
i
;
z
3
=
−
1
−
2
·
i
1
Determina
el
módulo
de
cada
uno
de
los
números
com-plejos
anteriores.
2
Determina,
con
una
precisión
de
dos
decimales,
el
valor
del
argumento
de
cada
uno
de
los
números
complejos
an-teriores.
12.
Escritura
trigonométrica
E.5566
Determinar
la
escritura
algebraica
de
los
números
complejos
z
5
y
z
6
no
nulos
definidos
por:
a
|
z
5
|
=
5
;
arg(
z
5
)
=
−
ı
3
b
|
z
6
|
=
2
;
arg(
z
6
)
=
−
ı
2
E.3797
Determina
la
representación
trigonométrica
de
cada
uno
de
los
números
complejos
sigu-ientes
:
a
z
1
=
−
1
2
+
i
·
3
2
b
z
2
=
3
+
i
c
z
3
=
−
1
−
i
d
z
4
=
2
2
+
i
·
2
2
13.
Módulos,
argumentos
y
lugares
geométricos
E.5380
Considera
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
y
directo.
Para
cada
una
de
las
partes
del
plano
que
se
muestran
a
continuación,
describe
este
subconjunto
de
C
utilizando
la
es-critura
algebraica,
el
módulo,
el
argumento
de
los
afijos
de
sus
puntos.
E.3796
Consideremos
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa.
De-scribir
el
conjunto
de
puntos
M
del
plano
cuyo
afijo
z
satisface
las
siguientes
condiciones
:
a
|
z
|
=
1
b
|
z
|
3
c
1
|
z
|
2
d
arg(
z
)
=
ı
2
e
⏐
⏐
arg(
z
)
⏐
⏐
=
ı
4
14.
Lugares
geométricos
E.6806
Considera
los
tres
conjuntos,
definidos
a
continuación,
de
pares
de
reales
:
E
1
=
(
x
;
y
)
|
2
·
x
+
y
−
1=0
E
2
=
(
x
;
y
)
|
x
2
+
y
2
−
2
·
x
+4
·
y
−
4=0
E
3
=
(
x
;
y
)
|
x
·
y
+2
·
y
=0
Considere
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
I
;
J
ortonormal
directa.
Dar
para
cada
uno
de
los
tres
conjuntos
anteriores
:
la
naturaleza
de
su
representación
en
el
plano,
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8572
sacados/8572
chapExoCorrec/5346
sacados/5346
chapExoCorrec/5566
sacados/5566
chapExoCorrec/3797
sacados/3797
chapExoCorrec/5380
sacados/5380
uv2
uv2
uvπ6
chapExoCorrec/3796
sacados/3796
chapExoCorrec/6806
sacados/6806
-4-3-2-101234-2-1123uvAB
elementos
que
caracterizan
su
representación.
E.6776
A
cualquier
número
complejo
z
,
le
asociamos
un
número
complejo
z
definido
por:
z
=
z
2
+
4
·
z
+
3
Determinar
el
conjunto
E
de
números
complejos
z
tales
que
z
es
un
número
real.
E.6782
El
conjunto
de
los
números
com-plejos
es
C
.
El
plano
complejo
está
provisto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo.
Consideremos
la
función
f
que
asocia:
f
(
z
)
=
z
2
+
2
·
z
+
9
con
cualquier
número
complejo
z
.
Sea
z
un
número
complejo
tal
que
z
=
x
+i
·
y
donde
x
y
y
son
números
reales.
1
Demuestra
que
la
forma
algebraica
de
f
(
z
)
es
:
f
(
z
)
=
x
2
−
y
2
+
2
·
x
+
9
+
i
·
2
·
x
·
y
+
2
·
y
2
Sea
(
E
)
el
conjunto
de
puntos
del
plano
complejo
cuyo
afijo
z
es
tal
que
f
(
z
)
es
un
número
real.
Demuestre
que
E
es
la
unión
de
dos
rectas
D
1
y
D
2
cuyas
ecuaciones
se
especificarán.
E.6353
De
las
respuestas
dadas,
sólo
una
es
correcta.
Cuál
es?
Justifica
tu
respuesta.
Considera
el
conjunto
E
de
números
complejos
z
verificando
:
1
z
2
+1
ser
un
real.
El
conjunto
E
es
:
1
el
conjunto
de
los
números
reales
;
2
el
conjunto
de
los
números
imaginarios
puros
privados
de
i
y
−
i
;
3
la
unión
del
conjunto
de
los
números
reales
y
el
conjunto
de
los
imaginarios
puros
privados
de
i
y
−
i
;
4
el
número
0
.
15.
Transformación
del
plan
E.3785
Consideremos
el
plano
complejo
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
direc-tas
O
;
−→
u
;
−→
v
,
así
como
los
puntos
A
y
B
representados
a
continuación
:
Denotemos
por
z
A
y
z
B
los
afijos
respectivos
de
los
puntos
A
y
B
.
1
Expresemos
algebraicamente
los
afijos
de
los
puntos
A
y
B
.
2
a
Coloque
el
punto
C
con
el
afijo
−
z
A
.
b
¾Qué
transformación
geométrica
permite
transformar
el
punto
A
en
C
?
3
a
Coloca
el
punto
D
con
el
afijo
z
A
.
b
¾Qué
transformación
geométrica
permite
transformar
el
punto
A
en
D
?
4
a
Coloca
el
punto
E
con
el
afijo
−
z
A
.
b
¾Qué
transformación
geométrica
permite
transformar
el
punto
A
en
E
?
5
a
Coloca
el
punto
F
con
el
afijo
1
2
·
z
A
.
b
¾Qué
se
puede
decir
de
la
posición
del
punto
F
?
6
a
Coloca
el
punto
G
con
el
afijo
z
A
+
−
2
−
2
·
i
.
b
¾Qué
transformación
geométrica
permite
transformar
el
punto
A
en
G
?
7
Consideramos
el
punto
H
de
afijo
z
H
que
verifica
la
igual-dad
:
z
H
−
z
B
=
1
2
·
z
A
−
z
B
a
Resolviendo
la
ecuación,
determine
la
expresión
alge-braica
del
afijo
z
H
del
punto
H
.
b
¾Qué
se
puede
decir
de
la
posición
del
punto
H
?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6776
sacados/6776
chapExoCorrec/6782
sacados/6782
Extrait Antilles-Guyanes
Septembre 2014
chapExoCorrec/6353
sacados/6353
fichierPlus/6353/
chapExoCorrec/3785
sacados/3785
-4-3-2-101234-2-1123uvAB
01212uv
E.6796
Consideremos
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
di-recto.
1
Consideremos
los
puntos
A
,
B
,
C
de
afijos
:
z
1
=
0
;
5
+
0
;
5
·
i
;
z
2
=
1
+
i
;
z
3
=
2
+
2
·
i
Sitúa
los
puntos
A
,
B
y
C
.
2
Consideremos
la
función
f
definida
sobre
el
conjunto
de
los
números
complejos
distintos
de
cero
por:
f
(
z
)
=
−
1
z
2
a
Determinar
los
números
complejos
z
1
,
z
2
,
z
3
imágenes
respectivas
por
la
función
f
de
z
1
,
z
2
,
z
3
.
b
Coloca
los
puntos
A
,
B
,
C
imágenes
respectivas
de
los
números
complejos
z
1
,
z
2
,
z
3
.
3
¾Podemos
decir
que
la
transformación
del
plano
obtenida
mediante
la
función
compleja
f
es
una
isometría?
Justi-fica
tu
respuesta.
16.
Transformación
del
plano
y
lugar
E.6020
A
cualquier
número
complejo
z
como
z
=2
,
asociamos
el
número
complejo
z
definido
por:
z
=
z
+
3
z
−
1
1
Observamos
x
+i
·
y
,
donde
x
∈
R
y
y
∈
R
,
la
escritura
alge-braica
del
número
complejo
z
.
Dar
la
escritura
algebraica
del
número
z
,
asociado
a
z
,
en
función
de
x
y
y
.
2
En
el
plano
complejo
con
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa
:
a
Consideremos
la
ecuación
cartesiana
:
(
E
)
:
x
2
+
y
2
+
2
x
−
3
=
0
Justifica
que,
en
el
plano,
el
conjunto
de
soluciones
de
(
E
)
es
la
circunferencia
C
de
centro
(
−
1
;
0)
y
radio
2
.
b
Determina
el
conjunto
de
números
complejos
z
tales
que
el
número
complejo
asociado
z
es
un
imaginario
puro.
E.6797
Consideremos
la
función
f
definida
en
C
por
la
relación:
f
(
z
)
=
z
+
z
2
1
Sean
a
y
b
los
números
reales
tales
que
z
admitan
como
escritura
algebraica
z
=
a
+i
·
b
.
Dar
la
escritura
algebraica
del
número
complejo
f
(
z
)
.
2
En
esta
pregunta,
buscamos
determinar
el
conjunto
E
de
números
complejos
z
tales
que
f
(
z
)
es
un
real.
C’est-à-dire
:
E
=
z
∈
C
⏐
⏐
Im
f
(
z
)
=0
a
Sea
z
un
número
complejo
perteneciente
a
E
.
Deter-mine
el
conjunto
E
.
b
En
el
plano
complejo
que
se
muestra
a
continuación
ajustado
con
un
marco
de
referencia
O
;
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directa,
representa
en
rojo
el
conjunto
E
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6796
sacados/6796
01212uv
chapExoCorrec/6020
sacados/6020
chapExoCorrec/6797
sacados/6797
-4-3-2-101234-4-3-2-11234uv
-2-1012-2-112uv
E.6383
Se
denota
C
el
conjunto
de
los
números
complejos
y
se
considera
el
plano
complejo
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormado
directo.
Se
considera
la
función
f
que
a
todo
número
complejo
z
le
asocia:
f
(
z
)
=
z
2
+
2
·
z
+
9
1
Sea
(
F
)
el
conjunto
de
puntos
del
plano
complejo
cuyo
afijo
z
verifica:
⏐
⏐
f
(
z
)
−
8
⏐
⏐
=3
Demuestre
que
F
)
es
la
circunferencia
de
centro
Ω(
−
1
;
0)
y
radio
3
.
Trazar
(
F
)
en
el
gráfico.
2
Sea
z
un
número
complejo,
tal
que
z
=
x
+i
·
y
donde
x
y
y
son
números
reales.
a
Demuestre
que
la
forma
algebraica
de
f
(
z
)
es
:
x
2
−
y
2
+
2
x
+
9
+
i
·
2
·
x
·
y
+
2
·
y
b
Denotemos
por
(
E
)
el
conjunto
de
puntos
del
plano
complejo
cuyo
afijo
z
tal
que
f
(
z
)
sea
un
número
real.
Demuestra
que
(
E
)
es
la
unión
de
dos
rectas
(
d
1
)
y
(
d
2
)
cuyas
ecuaciones
se
especificarán.
Completa
el
gráfico
trazando
estas
rectas.
3
Determina
las
coordenadas
de
los
puntos
de
intersección
de
los
conjuntos
(
E
)
y
(
F
)
.
E.6798
En
el
plano
complejo
provisto
de
un
punto
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal.
Consideremos
el
conjunto
E
definido
por:
E
=
a
+i
·
a
⏐
⏐
a
∈
R
La
imagen
de
este
conjunto
en
el
plano
es
la
primera
bisectriz
del
plano.
Consideremos
la
función
compleja
definida
en
C
por
la
relación:
f
(
z
)
=
1
z
2
+
1
El
objetivo
del
ejercicio
es
determinar
las
características
de
la
imagen
del
conjunto
E
en
el
plano
donde
:
E
=
f
(
z
)
|
z
∈E
.
Es
decir,
la
representación
en
el
plano
de
todas
las
imágenes
del
conjunto
E
por
la
función
f
.
1
Sea
z
un
elemento
de
E
;
entonces
existe
un
real
a
tal
que
:
z
=
a
+
a
·
i
Establecer
que
:
f
(
z
)=
1
1+4
·
a
4
−
2
·
a
2
1+4
·
a
4
·
i
2
a
Demostrar
que
:
⏐
⏐
f
(
z
)
−
0
;
5
⏐
⏐
=0
;
5
b
Que
¾podemos
decir
de
la
imagen
del
conjunto
E
en
el
plano?
c
Muestre
que
el
punto
A
de
afijo
0
;
5+0
;
5
·
i
no
pertenece
al
conjunto
E
.
Afina,
si
es
necesario,
la
respuesta
a
la
pregunta
b
.
.
17.
Suites
E.6381
Consideremos
la
sucesión
de
números
complejos
z
n
definida
por:
z
0
=
3
−
i
;
z
n
+1
=
1
+
i
·
z
n
Para
todo
número
natural
n
,
se
establece
:
u
n
=
⏐
⏐
z
n
⏐
⏐
.
1
Calcular
u
0
.
2
Demostrar
que
u
n
es
la
sucesión
geométrica
de
razón
2
y
primer
término
2
.
3
Para
todo
número
natural
n
,
expresar
u
n
en
función
de
n
.
4
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
https://chingmath.fr
-4-3-2-101234-4-3-2-11234uv
chapExoCorrec/6383
sacados/6383
Extrait d'Antilles-Guyane
Septembre 2014
-2-1012-2-112uv
chapExoCorrec/6798
sacados/6798
chapExoCorrec/6381
sacados/6381
Extrait de Liban
Mai 2014
-2-101234-1123uv
E.6092
El
plano
complejo
está
pro-visto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
u
;
−→
v
.
Para
todo
número
natural
n
,
se
denota
por
A
n
el
punto
de
afijo
z
n
definido
por:
z
0
=
1
;
z
n
+1
=
3
4
+
3
4
·
i
·
z
n
para
todo
n
∈
N
.
Se
define
la
sucesión
r
n
por
r
n
=
⏐
⏐
z
n
⏐
⏐
para
todo
número
natural
n
.
1
Da
la
forma
trigonométrica
del
número
complejo
:
3
4
+
3
4
·
i
.
2
Demuestre
que
la
sucesión
r
n
es
geométrica
con
razón
3
2
3
Determine,
en
función
de
n
,
la
medida
del
segmento
A
n
A
n
+1
.
E.6382
Consideremos
la
sucesión
z
n
de
números
complejos
definida
por:
z
0
=
4
;
z
n
+1
=
1
+
i
2
·
z
n
para
todo
n
∈
N
En
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonor-males
directo
con
origen
O
,
se
denota
A
n
el
punto
imagen
del
número
complejo
z
n
.
1
a
Calcular
z
1
,
z
2
y
z
3
.
b
Sitúa
los
puntos
A
1
,
A
2
y
A
3
en
el
sistema
de
coorde-nadas
siguiente.
2
Se
denota
‘
n
la
longitud
de
la
línea
discontinua
que
une
el
punto
A
0
con
el
punto
A
n
pasando
sucesivamente
por
los
puntos
A
1
,
A
2
,
A
3
.
.
.
Así
:
‘
n
=
n
k
=1
A
k
−
1
A
k
=
A
0
A
1
+
A
1
A
2
+
···
+
A
n
−
1
A
n
a
Establezca
la
relación
siguiente
para
todo
número
nat-ural
n
distinto
de
cero:
A
n
−
1
A
n
=
⏐
⏐
z
n
⏐
⏐
b
Mediante
un
razonamiento
por
recurrencia,
establezca
la
siguiente
igualdad
para
todo
número
natural
n
dis-tinto
de
cero:
A
n
−
1
A
n
=
2
2
·
2
2
n
−
1
c
Exprese
‘
n
en
función
de
n
.
d
Determine
el
límite
eventual
de
la
sucesión
‘
n
.
18.
Ejercicios
no
clasificados
E.4314
El
plano
complejo
está
referido
a
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
u
;
−→
v
ortonormal
directo.
De-notamos
por
P
,
Q
y
R
los
puntos
de
los
respectivos
afijos
:
z
P
=
3
2
·
1
+
i
;
z
Q
=
3
2
·
(1
−
i)
;
z
R
=
−
2
·
i
·
3
Sea
S
la
imagen
del
punto
R
por
simetría
de
centro
Q
.
Comprueba
que
el
afijo
z
S
del
punto
S
es
:
z
S
=3+i
·
2
·
3
−
3
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6092
sacados/6092
chapExoCorrec/6382
sacados/6382
-2-101234-1123uv
chapExoCorrec/4314
sacados/4314