Bachillerato 2 - Exp. / Números complejos, módulos y argumentos 37 ejercicios (100% corregidos)

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-4-3-2-101234-2-1123uvABCDE -0,6-0,4-0,20,20,40,60,81,2I-0,20,20,40,60,8JO 1. Un recordatorio de trigonometría E.3792 Sea ¸ un número real. Simplifica las siguientes entradas : a cos ı 2 + ¸ b sin ¸ +3 · ı c cos ¸ ı 2 d sin ı 2 ¸ E.3793 Resuelve las siguientes ecuaciones : a sin x + ı 4 = 3 2 b cos 2 x + ı 3 = 2 2 2. Representación gráfica y escritura algebraica E.3784 Consideremos el plano complejo con un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directo y los cinco puntos que se muestran a continuación : 1 Determinar las escrituras algebraicas de los afijos de los puntos A , B , C , D , E . 2 Situar en el plano los puntos F , G , H y I de los respec-tivos afijos z 1 , z 2 , z 3 y z 4 definidos por: z 1 = 3 i ; z 2 = 3 2 · i z 3 = 7 4 + 2 · i ; z 4 = 3 2 + 9 4 · i 3 Determina el afijo del medio del segmento [ EF ] . E.6792 Se dota al plano complejo de un sis-tema de coordenadas O ; u ; v ortonormado directo. Se de- fine la sucesión z n de números complejos mediante : z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + 3 4 · i · z n 1 Determinar la expresión algebraica de los cuatro primeros términos de la sucesión z n . 2 Con ayuda de la calculadora, da la expresión algebraica de los términos z 4 y z 5 redondeando las partes reales e imaginarias a 10 2 . 3 Para cualquier número natural n , se denota M n las imá-genes del número complejo z n . a Sitúa los puntos M 0 ,. . . , M 5 en el sistema de coorde-nadas siguiente : b ¾Qué conjetura se puede hacer sobre la naturaleza de los triángulos OM 0 M 1 , OM 1 M 2 y OM 2 M 3 ? 3. dulo de un número complejo E.5345 Determina el dulo de los sigu-ientes números complejos : a 1 2 · i b 5 · i c (3 2 · i)(2 + i) E.8568 Determina el dulo de los sigu-ientes números complejos : a i · (1 2 · i) b 1 + i · 3 3 · i c 3 i · 3 3 + i 4. Geometría y dulo https://chingmath.fr chapExoCorrec/3792 sacados/3792 chapExoCorrec/3793 sacados/3793 chapExoCorrec/3784 sacados/3784 -4-3-2-101234-2-1123uvABCDE chapExoCorrec/6792 sacados/6792 -0,6-0,4-0,20,20,40,60,81,2I-0,20,20,40,60,8JO chapExoCorrec/5345 sacados/5345 chapExoCorrec/8568 sacados/8568
E.3843 En el plano complejo con un sistema de referencia O ; u ; v , considera los puntos A , B , C con afijos : z A =1+3 · i ; z B = 2+2 · i ; z C = 2 2 +i · 6 2 +2 Sea I el punto del plano con afijo z I =2 · i Demuestre que los puntos A , B , C pertenecen a una misma circunferencia con centro I . Especifica el radio de esta circun-ferencia. 5. Relación z 2 = z · z E.8569 Para cualquier número complejo z , definimos el número complejo z mediante : z = (3 + 4 · i) · z + 5 · z 6 1 Para cualquier número complejo z , establece la igualdad : z z 1 + 2 · i = z + z 6 + i · z z 3 2 Deduce que el número z z 1+2 · i es un número real. E.8570 Establece las ecuaciones siguientes : a 5 · i 5 5 · i = 2 2 b 1 + 2 · i 5 + 5 · i = 10 10 6. dulo: propiedades algebraicas E.3846 Establece la siguiente igualdad para cualquier número complejo distinto de cero z : 1 z 2 1 z 2 1 = z 2 · 1 z 2 1 2 7. dulos y ecuaciones cartesianas E.3844 Consideremos el plano complejo pro-visto de un sistema de coordenadas ortonormales directas O ; u ; v : 1 Sea z un número complejo solución de la ecuación ( E ) : ( E ) : | z 2 + i | = 5 Denotemos por M la imagen del número complejo z a Traduzcamos la ecuación ( E ) en términos de distancia. b Justificar que el conjunto de puntos M de afijo z que verifican la relación ( E ) es un círculo. Especificar su centro y su radio. c Sea a +i · b la escritura algebraica del afijo del punto M ; determinar una relación sobre a y b que caracterice la relación ( E ) . 2 Sea z un número complejo solución de la ecuación ( F ) : ( F ) : | z + i | = | z + 1 2 · i | Se denota por M la imagen del número complejo z a Traducir la ecuación ( F ) en términos de distancia. b Justificar que el conjunto de puntos M de afijo z que verifican la relación ( F ) es una recta. Especificar su naturaleza. c Sea a +i · b la escritura algebraica del afijo del punto M ; determinar una relación sobre a y b que caracterice la relación ( E ) . E.3813 El plano está referido al sis-tema de coordenadas ortonormales directas O ; u ; v . Con-sideremos los puntos A y B de afijos : z A = 1 + i · 3 ; z B = 1 i · 3 1 Establecer que el conjunto Γ 2 de puntos M con afijo z que verifiquen : 2( z + z ) + z · z = 0 es una circunferencia de centro Ω de afijo 2 . Especifica su radio. Construye Γ 2 . 2 Comprueba que los puntos A y B son elementos Γ 2 . 8. Envase U E.8573 Definición : Se denota por U el conjunto de números com-plejos z que satisfacen z = 1 . Se puede anotar : U = z C | z | =1 ; U C 1 Justificar que los números complejos siguientes pertenecen a U : a z 1 = i b z 2 = 3 2 1 2 · i c z 3 = 2 2 + 2 2 · i 2 Sean z y z dos números complejos que pertenecen a U , https://chingmath.fr chapExoCorrec/3843 sacados/3843 chapExoCorrec/8569 sacados/8569 chapExoCorrec/8570 sacados/8570 chapExoCorrec/3846 sacados/3846 chapExoCorrec/3844 sacados/3844 chapExoCorrec/3813 sacados/3813 chapExoCorrec/8573 sacados/8573
-3-2-10123-2-112uv -2-1012-2-112uvABCDE demostrar que el producto z · z pertenece a U . 3 Sea z un elemento de U , demostrar que las tres expresiones siguientes definen un número complejo perteneciente a U : a z b 1 z c z 2 4 Demuestra que, para cualquier número complejo z ( z C ) , el número complejo z z pertenece a U . E.8574 Establecer que los números comple-jos de abajo pertenecen a U : a z 1 = 1 7 · i 5 + 5 · i b z 2 = 2 9 · i 6 + 7 · i c z 3 = 4 + 7 · i 8 i 9. Argumento sobre el conjunto U E.8575 Definición : Consideremos el plano complejo provisto de un sistema de coordenadas O ; u ; v ortonormado di-recto. Para cualquier número complejo z perteneciente a U , lla-mamos argumento de z a la medida del ángulo orientado u ; OM donde M es la imagen del punto z . 1 En la representación siguiente del plano complejo pro-visto de un sistema de coordenadas ortonormales directas O ; u ; v , sitúe los puntos M 1 , M 2 , M 3 pertenecientes al círculo trigonométrico y cuyos argumentos respectivos de los afijos de estos puntos tienen los siguientes valores: a 1 = ı 4 b 2 = 5 ı 6 c 3 2 ı 3 Propuesta: en el plano complejo provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales directas O ; u ; v . El punto M perteneciente al círculo trigonométrico cuyo afijo z tiene como argumento admite la siguiente escritura al-gebraica: z = cos + i · sin 2 Da las expresiones algebraicas de los afijos de los puntos M 1 , M 2 , M 3 definidos en la pregunta 1 . 10. Argumentos y ángulos notables E.5565 Definición : Consideremos el plano complejo provisto de un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directo. Sea z un número complejo distinto de cero, llamamos argu-mento de z al valor del argumento del número complejo z z Determina los argumentos de los números complejos sigu-ientes : a z 1 = 1 + i b z 2 = 3 + 3 · 3 · i c z 3 = 3 i E.3795 Interpretación geométrica: en el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; u ; v ortonormado directo, para cualquier punto M distinto de O . El argumento del afijo del punto M tiene como valor la medida del ángulo orientado u ; OM . Consideremos el plano provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales directas O ; u ; v represen-tado a continuación : El círculo C con centro O y radio 2 se repre-senta con puntos discon-tinuos ; los puntos C y D pertenecen al círculo C . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8574 sacados/8574 chapExoCorrec/8575 sacados/8575 -3-2-10123-2-112uv chapExoCorrec/5565 sacados/5565 chapExoCorrec/3795 sacados/3795 -2-1012-2-112uvABCDE
uv2 uv2 uvπ6 1 Determinar los dulos y los argumentos de los afijos de los puntos A , B , C , D y E . 2 Colocar los puntos F y G de los afijos respectivos z y z verificando : | z | = 2 arg z = 3 ı 4 ; | z | = 2 arg z = ı 2 11. Argumento y valor aproximado E.8572 Para cada uno de los números com-plejos siguientes, determine el valor de su argumento, re-dondeado al centésimo de radian más cercano. a z 1 = 2 + i b z 2 = 3 2 · i c z 3 = 1 2 · i E.5346 Consideremos los siguientes números complejos : z 1 = 1 + 2 · i ; z 2 = 5 2 · i ; z 3 = 1 2 · i 1 Determina el dulo de cada uno de los números com-plejos anteriores. 2 Determina, con una precisión de dos decimales, el valor del argumento de cada uno de los números complejos an-teriores. 12. Escritura trigonométrica E.5566 Determinar la escritura algebraica de los números complejos z 5 y z 6 no nulos definidos por: a | z 5 | = 5 ; arg( z 5 ) = ı 3 b | z 6 | = 2 ; arg( z 6 ) = ı 2 E.3797 Determina la representación trigonométrica de cada uno de los números complejos sigu-ientes : a z 1 = 1 2 + i · 3 2 b z 2 = 3 + i c z 3 = 1 i d z 4 = 2 2 + i · 2 2 13. dulos, argumentos y lugares geométricos E.5380 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal y directo. Para cada una de las partes del plano que se muestran a continuación, describe este subconjunto de C utilizando la es-critura algebraica, el dulo, el argumento de los afijos de sus puntos. E.3796 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directa. De-scribir el conjunto de puntos M del plano cuyo afijo z satisface las siguientes condiciones : a | z | = 1 b | z | 3 c 1 | z | 2 d arg( z ) = ı 2 e arg( z ) = ı 4 14. Lugares geométricos E.6806 Considera los tres conjuntos, definidos a continuación, de pares de reales : E 1 = ( x ; y ) | 2 · x + y 1=0 E 2 = ( x ; y ) | x 2 + y 2 2 · x +4 · y 4=0 E 3 = ( x ; y ) | x · y +2 · y =0 Considere el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal directa. Dar para cada uno de los tres conjuntos anteriores : la naturaleza de su representación en el plano, https://chingmath.fr chapExoCorrec/8572 sacados/8572 chapExoCorrec/5346 sacados/5346 chapExoCorrec/5566 sacados/5566 chapExoCorrec/3797 sacados/3797 chapExoCorrec/5380 sacados/5380 uv2 uv2 uvπ6 chapExoCorrec/3796 sacados/3796 chapExoCorrec/6806 sacados/6806
-4-3-2-101234-2-1123uvAB elementos que caracterizan su representación. E.6776 A cualquier número complejo z , le asociamos un número complejo z definido por: z = z 2 + 4 · z + 3 Determinar el conjunto E de números complejos z tales que z es un número real. E.6782 El conjunto de los números com-plejos es C . El plano complejo está provisto de un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directo. Consideremos la función f que asocia: f ( z ) = z 2 + 2 · z + 9 con cualquier número complejo z . Sea z un número complejo tal que z = x +i · y donde x y y son números reales. 1 Demuestra que la forma algebraica de f ( z ) es : f ( z ) = x 2 y 2 + 2 · x + 9 + i · 2 · x · y + 2 · y 2 Sea ( E ) el conjunto de puntos del plano complejo cuyo afijo z es tal que f ( z ) es un número real. Demuestre que E es la unión de dos rectas D 1 y D 2 cuyas ecuaciones se especificarán. E.6353 De las respuestas dadas, sólo una es correcta. Cuál es? Justifica tu respuesta. Considera el conjunto E de números complejos z verificando : 1 z 2 +1 ser un real. El conjunto E es : 1 el conjunto de los números reales ; 2 el conjunto de los números imaginarios puros privados de i y i ; 3 la unión del conjunto de los números reales y el conjunto de los imaginarios puros privados de i y i ; 4 el número 0 . 15. Transformación del plan E.3785 Consideremos el plano complejo provisto de un sistema de coordenadas ortonormales direc-tas O ; u ; v , así como los puntos A y B representados a continuación : Denotemos por z A y z B los afijos respectivos de los puntos A y B . 1 Expresemos algebraicamente los afijos de los puntos A y B . 2 a Coloque el punto C con el afijo z A . b ¾Qué transformación geométrica permite transformar el punto A en C ? 3 a Coloca el punto D con el afijo z A . b ¾Qué transformación geométrica permite transformar el punto A en D ? 4 a Coloca el punto E con el afijo z A . b ¾Qué transformación geométrica permite transformar el punto A en E ? 5 a Coloca el punto F con el afijo 1 2 · z A . b ¾Qué se puede decir de la posición del punto F ? 6 a Coloca el punto G con el afijo z A + 2 2 · i . b ¾Qué transformación geométrica permite transformar el punto A en G ? 7 Consideramos el punto H de afijo z H que verifica la igual-dad : z H z B = 1 2 · z A z B a Resolviendo la ecuación, determine la expresión alge-braica del afijo z H del punto H . b ¾Qué se puede decir de la posición del punto H ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6776 sacados/6776 chapExoCorrec/6782 sacados/6782 Extrait Antilles-Guyanes Septembre 2014 chapExoCorrec/6353 sacados/6353 fichierPlus/6353/ chapExoCorrec/3785 sacados/3785 -4-3-2-101234-2-1123uvAB
01212uv E.6796 Consideremos el plano complejo pro-visto de un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal di-recto. 1 Consideremos los puntos A , B , C de afijos : z 1 = 0 ; 5 + 0 ; 5 · i ; z 2 = 1 + i ; z 3 = 2 + 2 · i Sitúa los puntos A , B y C . 2 Consideremos la función f definida sobre el conjunto de los números complejos distintos de cero por: f ( z ) = 1 z 2 a Determinar los números complejos z 1 , z 2 , z 3 imágenes respectivas por la función f de z 1 , z 2 , z 3 . b Coloca los puntos A , B , C imágenes respectivas de los números complejos z 1 , z 2 , z 3 . 3 ¾Podemos decir que la transformación del plano obtenida mediante la función compleja f es una isometría? Justi-fica tu respuesta. 16. Transformación del plano y lugar E.6020 A cualquier número complejo z como z =2 , asociamos el número complejo z definido por: z = z + 3 z 1 1 Observamos x +i · y , donde x R y y R , la escritura alge-braica del número complejo z . Dar la escritura algebraica del número z , asociado a z , en función de x y y . 2 En el plano complejo con un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directa : a Consideremos la ecuación cartesiana : ( E ) : x 2 + y 2 + 2 x 3 = 0 Justifica que, en el plano, el conjunto de soluciones de ( E ) es la circunferencia C de centro ( 1 ; 0) y radio 2 . b Determina el conjunto de números complejos z tales que el número complejo asociado z es un imaginario puro. E.6797 Consideremos la función f definida en C por la relación: f ( z ) = z + z 2 1 Sean a y b los números reales tales que z admitan como escritura algebraica z = a +i · b . Dar la escritura algebraica del número complejo f ( z ) . 2 En esta pregunta, buscamos determinar el conjunto E de números complejos z tales que f ( z ) es un real. C’est-à-dire : E = z C Im f ( z ) =0 a Sea z un número complejo perteneciente a E . Deter-mine el conjunto E . b En el plano complejo que se muestra a continuación ajustado con un marco de referencia O ; ; u ; v ortonormal directa, representa en rojo el conjunto E . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6796 sacados/6796 01212uv chapExoCorrec/6020 sacados/6020 chapExoCorrec/6797 sacados/6797
-4-3-2-101234-4-3-2-11234uv -2-1012-2-112uv E.6383 Se denota C el conjunto de los números complejos y se considera el plano complejo pro-visto de un sistema de coordenadas O ; u ; v ortonormado directo. Se considera la función f que a todo número complejo z le asocia: f ( z ) = z 2 + 2 · z + 9 1 Sea ( F ) el conjunto de puntos del plano complejo cuyo afijo z verifica: f ( z ) 8 =3 Demuestre que F ) es la circunferencia de centro Ω( 1 ; 0) y radio 3 . Trazar ( F ) en el gráfico. 2 Sea z un número complejo, tal que z = x +i · y donde x y y son números reales. a Demuestre que la forma algebraica de f ( z ) es : x 2 y 2 + 2 x + 9 + i · 2 · x · y + 2 · y b Denotemos por ( E ) el conjunto de puntos del plano complejo cuyo afijo z tal que f ( z ) sea un número real. Demuestra que ( E ) es la unión de dos rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) cuyas ecuaciones se especificarán. Completa el gráfico trazando estas rectas. 3 Determina las coordenadas de los puntos de intersección de los conjuntos ( E ) y ( F ) . E.6798 En el plano complejo provisto de un punto de referencia O ; u ; v ortonormal. Consideremos el conjunto E definido por: E = a +i · a a R La imagen de este conjunto en el plano es la primera bisectriz del plano. Consideremos la función compleja definida en C por la relación: f ( z ) = 1 z 2 + 1 El objetivo del ejercicio es determinar las características de la imagen del conjunto E en el plano donde : E = f ( z ) | z E . Es decir, la representación en el plano de todas las imágenes del conjunto E por la función f . 1 Sea z un elemento de E ; entonces existe un real a tal que : z = a + a · i Establecer que : f ( z )= 1 1+4 · a 4 2 · a 2 1+4 · a 4 · i 2 a Demostrar que : f ( z ) 0 ; 5 =0 ; 5 b Que ¾podemos decir de la imagen del conjunto E en el plano? c Muestre que el punto A de afijo 0 ; 5+0 ; 5 · i no pertenece al conjunto E . Afina, si es necesario, la respuesta a la pregunta b . . 17. Suites E.6381 Consideremos la sucesión de números complejos z n definida por: z 0 = 3 i ; z n +1 = 1 + i · z n Para todo número natural n , se establece : u n = z n . 1 Calcular u 0 . 2 Demostrar que u n es la sucesión geométrica de razón 2 y primer término 2 . 3 Para todo número natural n , expresar u n en función de n . 4 Determinar el límite de la sucesión u n . https://chingmath.fr -4-3-2-101234-4-3-2-11234uv chapExoCorrec/6383 sacados/6383 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2014 -2-1012-2-112uv chapExoCorrec/6798 sacados/6798 chapExoCorrec/6381 sacados/6381 Extrait de Liban Mai 2014
-2-101234-1123uv E.6092 El plano complejo está pro-visto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; u ; v . Para todo número natural n , se denota por A n el punto de afijo z n definido por: z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + 3 4 · i · z n para todo n N . Se define la sucesión r n por r n = z n para todo número natural n . 1 Da la forma trigonométrica del número complejo : 3 4 + 3 4 · i . 2 Demuestre que la sucesión r n es geométrica con razón 3 2 3 Determine, en función de n , la medida del segmento A n A n +1 . E.6382 Consideremos la sucesión z n de números complejos definida por: z 0 = 4 ; z n +1 = 1 + i 2 · z n para todo n N En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males directo con origen O , se denota A n el punto imagen del número complejo z n . 1 a Calcular z 1 , z 2 y z 3 . b Sitúa los puntos A 1 , A 2 y A 3 en el sistema de coorde-nadas siguiente. 2 Se denota n la longitud de la línea discontinua que une el punto A 0 con el punto A n pasando sucesivamente por los puntos A 1 , A 2 , A 3 . . . Así : n = n k =1 A k 1 A k = A 0 A 1 + A 1 A 2 + ··· + A n 1 A n a Establezca la relación siguiente para todo número nat-ural n distinto de cero: A n 1 A n = z n b Mediante un razonamiento por recurrencia, establezca la siguiente igualdad para todo número natural n dis-tinto de cero: A n 1 A n = 2 2 · 2 2 n 1 c Exprese n en función de n . d Determine el límite eventual de la sucesión n . 18. Ejercicios no clasificados E.4314 El plano complejo está referido a un sistema de referencia O ; u ; v ortonormal directo. De-notamos por P , Q y R los puntos de los respectivos afijos : z P = 3 2 · 1 + i ; z Q = 3 2 · (1 i) ; z R = 2 · i · 3 Sea S la imagen del punto R por simetría de centro Q . Comprueba que el afijo z S del punto S es : z S =3+i · 2 · 3 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6092 sacados/6092 chapExoCorrec/6382 sacados/6382 -2-101234-1123uv chapExoCorrec/4314 sacados/4314