Bachillerato 2 - Exp. / Números complejos y trigonometría 45 ejercicios (100% corregidos)

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˛o¸oOIJMN 1. Recordatorios E.2304 Aquí está la tabla trigonométrica de los ángulos notables : α 0 ı 6 ı 4 ı 3 ı 2 cos α 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 sin α 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 tan α 0 √ 3 3 1 √ 3 × Determine los valores exactos de las siguientes expresiones : a sin 7 ı 3 b cos − 5 ı 4 c cos 5 ı 6 E.7605 Propuesta: fórmula de los ángulos asociados cos( − x ) = cos x sin( − x ) = − sin x cos( ı + x ) = − cos x sin( ı + x ) = − sin x cos( ı − x ) = − cos x sin( ı − x ) = sin x cos ı 2 + x = − sin x sin ı 2 + x = cos x cos ı 2 − x = sin x sin ı 2 − x = cos x Sea ¸ un número real. Simplifique las siguientes expresiones : a cos ı 2 + ¸ b sin ¸ +3 · ı c cos ¸ − ı 2 d sin ı 2 − ¸ E.2575 Utilizando la relación: tan x = sin x cos x donde x = ı 2 + k · ı simplifica las siguientes expresiones : a tan x + ı b tan ı 2 − x E.8577 Expresa la siguiente expresión uti-lizando las relaciones trigonométricas de ı 5 : A = 2 · cos 4 ı 5 + 3 · sin 6 ı 5 − 4 · sin 3 ı 10 E.2230 1 Establecer la igualdad : cos ı 6 + cos 5 ı 6 = 0 2 Determina el valor de los coeficientes ¸ y ˛ logrando la siguiente igualdad : 2 · cos − ı 7 +3 · cos 8 ı 7 − 2 · sin 6 ı 7 +sin − ı 7 = ¸ · cos ı 7 + ˛ · sin ı 7 2. Fórmulas de adición E.6808 En el plano dotado de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J , consideremos los puntos M y N tales que : −−→ OM = a ; −−→ ON = b −→ OI ; −−→ OM = ¸ ; −→ OI ; −−→ ON = ˛ 1 a Determina las coordenadas de los puntos M y N . b Dar una expresión para el producto escalar −−→ OM · −−→ ON 2 a Dar la medida del ángulo orientado : −−→ OM ; −−→ ON b Da otra expresión para −−→ OM · −−→ ON . 3 Deduce la igualdad : cos ˛ − ¸ = cos ˛ · cos ¸ + sin ˛ · sin ¸ E.2616 Fórmulas de suma y resta cos( a + b ) = cos a · cos b − sin a · sin b cos( a − b ) = cos a · cos b + sin a · sin b sin( a + b ) = sin a · cos b + cos a · sin b sin( a − b ) = sin a · cos b − cos a · sin b Determinar una simplificación de las siguientes expresiones : 1 cos 2 x · cos x − sin 2 x · sin x 2 sin 3 x · cos 2 x − sin 2 x · cos 3 x E.2614 1 Observando la igualdad ı 12 = ı 3 − ı 4 , determina los val-ores de cos ı 12 y sin ı 12 . 2 Determina los valores de : cos 7 ı 12 ; sin 7 ı 12 E.3794 1 a Expande la expresión : sin x + ı 4 . b Resuelve la ecuación : sin x +cos x =1 2 a Expande la expresión : cos x + ı 3 . b Resuelve la ecuación : cos x − 3 · sin x =1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2304 sacados/2304 chapExoCorrec/7605 sacados/7605 chapExoCorrec/2575 sacados/2575 chapExoCorrec/8577 sacados/8577 chapExoCorrec/2230 sacados/2230 chapExoCorrec/6808 sacados/6808 ˛o¸oOIJMN chapExoCorrec/2616 sacados/2616 chapExoCorrec/2614 sacados/2614 chapExoCorrec/3794 sacados/3794
ABCDMNPQ E.2615 Demuestra la siguiente relación: sin( a + b ) · cos( a − b ) = sin a · cos a + cos b · sin b E.3089 1 Simplifica la siguiente expresión : cos x + ı 4 − cos x − ı 4 2 Establece la siguiente igualdad : sin 5 x sin 2 x + sin 2 x sin x = sin 3 x 2 sin(2 x ) · sin( x ) 3 Resuelve la siguiente ecuación : 3 2 · cos(2 x ) + 1 2 · sin(2 x ) = cos ı 7 E.4722 Consideremos el cuadrado ABCD . Sea M un punto perteneciente al semicírculo C de diámetro [ AB ] situado fuera del cuadrado ABCD . Consideremos los puntos N , P y Q tales que el cuadrilátero MNPQ sea un cuadrado cuyos puntos A , B , C , D pertenecen respectivamente a las rectas ( MQ ) , ( MN ) , ( NP ) y ( PQ ) . 1 Demuestra que los triángulos AMB , ADQ , CDP y BCN son isométricos. 2 Denotemos por A el área del cuadrado ABCD , por A el área del cuadrado MNPQ y por ¸ la medida geométrica del ángulo BAM . Demuestra que la igualdad : A A =1+sin(2 ¸ ) 3 Para qué valor de ¸ , el área A es el doble del área A . 3. Fórmulas de duplicación E.2613 Fórmulas de duplicación cos(2 a ) = cos a 2 − sin a 2 cos(2 a ) = 2 · cos a 2 − 1 cos(2 a ) = 1 − 2 · sin a 2 sin(2 a ) = 2 · sin a · cos a 1 Establecer la siguiente relación: cos ı 8 2 = 1 4 · 2 + 2 2 Deducir el valor de cos ı 8 . 3 Establecer la relación: sin ı 8 = 1 2 2 − 2 4. Operación sobre entradas trigonométricas E.8578 Consideremos los dos números com-plejos : z 1 = 1 + i ; z 2 = 3 + 3 · i 1 Determinar la representación trigonométrica de los números complejos z 1 y z 2 . 2 Realizar el producto z 1 · z 2 . Deducir la expresión trigonométrica de este producto. 3 a Expresar el módulo del producto z 1 · z 2 en función de los módulos de z 1 y z 2 . b Expresar el argumento del producto z 1 · z 2 en función de los argumentos de z 1 y z 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2615 sacados/2615 chapExoCorrec/3089 sacados/3089 chapExoCorrec/4722 sacados/4722 de moi verifier si correct ABCDMNPQ chapExoCorrec/2613 sacados/2613 chapExoCorrec/8578 sacados/8578
E.8579 Consideremos los dos números com-plejos : z 1 = 2 − 2 · i ; z 2 = − 1 + 3 · i 1 Determina la representación trigonométrica de los números complejos z 1 y z 2 . 2 Da la representación trigonométrica del cociente z 1 z 2 . 3 a Expresar el módulo del producto z 1 z 2 en función de los módulos de z 1 y z 2 . b Expresar el argumento del producto z 1 z 2 en función de los argumentos de z 1 y z 2 . E.5952 Expresar los números complejos en forma trigonométrica: a z 1 = 2 · cos ı 4 − i · sin ı 4 b z 2 = − 3 · cos 2 ı 3 + i · sin 2 ı 3 c z 3 = cos ı 6 + i · sin − ı 6 d z 4 = 2 · cos ı 4 + i · sin 3 ı 4 E.3828 Buscar todas las parejas ( z 1 ; z 2 ) de números complejos que satisfagan las condiciones : z 1 · z 2 = 1 2 z 1 + 2 · z 2 = 3 Determinar la representación trigonométrica de cada uno de los números así obtenidos. E.3826 Consideremos los dos números complejos : z 1 = 6 − i · 2 2 ; z 2 = 1 − i 1 Expresar en forma trigonométrica los números complejos z 1 y z 2 . 2 a Establezca la siguiente igualdad : cos − ı 6 + i · sin − ı 6 cos − ı 4 + i · sin − ı 4 = cos ı 12 + i · sin ı 12 b Definimos el número Z mediante la relación: Z = z 1 z 2 Determine la representación trigonométrica del número complejo Z . 3 Deduzca que : cos ı 12 = 6 + 2 4 ; sin ı 12 = 6 − 2 4 4 Consideremos la ecuación de incógnita real x : 6 + 2 · cos x + 6 − 2 · sin x = 2 Resuelva esta ecuación en R . 5. Escritura exponencial E.5365 Da la escritura algebraica de los siguientes números complejos : a z 1 = 3 · e i · π b z 2 = 2 · e i · π 4 c z 3 = 2 3 · e − i · π 6 E.3848 Determina la escritura exponencial de los siguientes números complejos : a z 1 = 5 b z 2 = − 3 c z 3 = − 3 · i d z 4 = − 3 + 3 · i e z 5 = − 2 3 − 2 · i f z 6 = 3 − 3 · i E.3831 1 Sea z un número complejo que admite la forma exponen-cial: z = r · e i · θ donde r ∈ R ∗ + , „ ∈ R Determine la forma exponencial de los siguientes números complejos : a z b − z 2 a Justifica la siguiente igualdad : 2 · e − i · π 3 = − 2 · e i · 2 π 3 b Deduce la escritura exponencial de : 2 · e − i · π 3 + 3 · e i · 2 π 3 6. Producto, cociente exponencial E.3798 1 Dar la escritura exponencial de los dos números comple-jos siguientes : z 1 =1 − i ; z 2 =1+i 2 Deduce la forma exponencial del número complejo : z = 1 − i 1 + i E.8581 Determinar la forma exponencial del número complejo z 3 definido por: z 3 = 1+i 1 −√ 3 · i https://chingmath.fr chapExoCorrec/8579 sacados/8579 chapExoCorrec/5952 sacados/5952 chapExoCorrec/3828 sacados/3828 Extrait Bordeaux 1976 chapExoCorrec/3826 sacados/3826 chapExoCorrec/5365 sacados/5365 chapExoCorrec/3848 sacados/3848 chapExoCorrec/3831 sacados/3831 chapExoCorrec/3798 sacados/3798 chapExoCorrec/8581 sacados/8581
E.6104 Consideremos los dos números com-plejos : z 1 = 1 + i ; z 2 = 3 + i 1 Determina las escrituras exponenciales de los números z 1 y z 2 . 2 Sean z 3 y z 4 los dos números complejos definidos por: z 3 = z 1 · z 2 ; z 4 = z 1 z 2 Determinar las escrituras exponenciales de los números z 3 y z 4 . E.5366 Considera los dos números complejos dados a continuación : z 1 = 3 · e i · π 3 ; z 2 = 6 · e − i · π 6 Determina una expresión simplificada para los siguientes cál-culos : a z 1 · z 2 b z 1 z 2 c z 1 + z 2 E.4253 En C , considere los dos números complejos siguientes : z A = 1 − i ; z B = 2 + 3 + i 1 Determina el módulo y un argumento de z A . 2 Escribir z B z A en escritura algebraica. 3 Montrer que : z B z A =(1+ 3) · e i · π 3 4 Deduce la escritura exponencial de z B . E.3827 Consideremos en C los números complejos z 1 y z 2 de módulo 1 y argumentos ¸ y ˛ respectivamente. Demostrar que : z 1 + z 2 2 z 1 · z 2 es un real positivo o cero. E.6380 Consideremos la sucesión de números complejos z n definida por: z 0 = 3 − i ; z n +1 = 1 + i · z n para todo n ∈ N 1 Determina la forma algebraica de z 1 . 2 Determina la forma exponencial de z 0 y 1+i . Deduce la forma exponencial de z 1 . 3 Deduce de las preguntas anteriores el valor exacto de cos ı 12 . E.8582 Consideremos el número complejo z definido por: z = 1 + i 3 + 3 · i 1 Determina la escritura algebraica del número complejo z . 2 Deduce la medida principal del ángulo „ logrando : cos „ = 2 + 6 4 ; sin „ = 6 − 2 4 7. Escritura exponencial y medida principal del argumento E.5381 Considera los siguientes dos números complejos dados en su forma exponencial : z 1 = 2 · e i · 2 π 3 ; z 2 = 3 · e i · 3 π 4 Da la forma exponencial de las siguientes expresiones : a z 1 · z 2 b z 1 2 · z 2 c z 2 z 1 3 Sugerencia : Se darán las principales medidas de los argu-mentos . E.3829 1 a Sea z 1 el número complejo cuya forma algebraica es : z 1 = − 2 · 3+2 · i Determinar la forma exponencial de este número. b Sea z 2 el número complejo que verifica: | z 2 | = 2 ; arg( z 2 ) = 3 4 · ı Determinar la forma algebraica del complejo z 2 2 Determina, a tu conveniencia, la escritura algebraica o exponencial de los siguientes números complejos : a z 1 · z 2 b z 1 + z 2 Pista: Se darán las principales medidas de los argumentos . E.3830 1 Los dos números complejos z y z están definidos por: z = 3 − 4 · i ; z = − 2 + i Determina la escritura algebraica de los siguientes números : a z + z b z · z c z · z + i 2 Consideremos los dos números complejos z y z admi-tiendo como escritura algebraica: z = 2 · e i · π 4 ; z = e i · 5 π 6 Determina la escritura exponencial de los siguientes números complejos : a − z b z c z · z d z z Pista: Se darán las principales medidas de los argumentos . E.6081 El plano complejo está referido a un sistema de referencia O ; −→ u ; −→ v ortonormal directo. Consid-eremos la aplicación z de C a C definida por: f : z ↦−→ z 2 . Consideremos el complejo : a = 2 − i · 2 1 Expresa a en forma exponencial. 2 Deduce los números complejos antecedentes del número a por f . 8. Poder de escritura exponencial https://chingmath.fr chapExoCorrec/6104 sacados/6104 chapExoCorrec/5366 sacados/5366 chapExoCorrec/4253 sacados/4253 Extrait de Liban Juin 2011 chapExoCorrec/3827 sacados/3827 Extrait Montpellier 1982 chapExoCorrec/6380 sacados/6380 Extrait de Liban Mai 2014 chapExoCorrec/8582 sacados/8582 chapExoCorrec/5381 sacados/5381 chapExoCorrec/3829 sacados/3829 chapExoCorrec/3830 sacados/3830 chapExoCorrec/6081 sacados/6081
E.8583 Considere el número complejo z definido por: z =1+i Establece que el número z 100 es un número real. E.4325 Para cada una de las sigu-ientes proposiciones, indica si es verdadera o falsa y haz una demostración de la respuesta elegida. 1 Sea z =3+i · 3 . Proposición 1: Para cualquier número natural distinto de cero n , z 3 · n es imaginario puro. 2 Sea z un número complejo distinto de cero. Proposición 2: Si ı 2 es un argumento de z entonces : ⏐ ⏐ i + z ⏐ ⏐ = 1 + ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ 3 Sea z un número complejo distinto de cero. Proposición 3: Si el módulo de z es igual a 1 entonces z 2 + 1 z 2 es un número real. E.5325 Considera el número complejo : a = − 3+ i 2011 . Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justifi-cando la respuesta : ˇ El número complejo a es un número imaginario puro. ı 9. Fórmula de Euler E.8584 Definición : on linealiza una expresión de la forma cos p ( x ) · sin q ( x ) , donde p;q ∈ N cuando se transforma en una combinación lineal de expresiones de la forma cos( n · x ) y sin( m · x ) , donde n;m ∈ N Establecer la siguiente linealización: cos( x ) 2 · sin( x ) 2 = 1 8 − 1 8 · cos(4 x ) E.5947 Queremos linealizar la expresión cos 3 ( x ) : 1 Utilizando la fórmula de Euler y la fórmula binómica, es-tablece : cos 3 ( x ) = e − 3i · x + 3 · e − i · x + 3 · e i · x + e 3i · x 8 2 Deduce la identidad : cos 3 ( x ) = cos(3 x ) + 3 · cos( x ) 4 E.599 Para cualquier número real x y para cualquier entero distinto de cero k , establece la relación: cos( x ) 2 k = 1 4 k · 2 k k + 1 2 2 k − 1 · k − 1 =0 2 k ‘ · cos (2 k − 2 ‘ ) x 10. Fórmula Moivre E.8585 Requisitos previos: para todo número natural n y todo número real „ , se tiene : cos „ + i · sin „ n = cos n · „ + i · sin n · „ 1 Utilizando la fórmula del binomio, establezca la identi- dad : cos „ +i · sin „ 3 = 4 · cos( „ ) 3 − 3 · cos „ +i 3 · sin „ − 4 · sin( „ ) 3 2 Utilizando la fórmula de Moivre, establezca las identi-dades : cos(3 „ )=4 · cos( „ ) 3 − 3 · cos „ ; sin(3 „ )=3 · sin „ − 4 · sin( „ ) 3 11. Cursos E.3299 Recordatorios : Si z es un número complejo distinto de cero, se tiene la siguiente equivalencia: | z | = r arg z = „ con una precisión de 2 ı ⇐⇒ z = r cos „ + i sin „ r > 0 Para todos los números reales a y b : cos a + b = cos a · cos b − sin a · sin b sin a + b = sin a · cos b + sin b · cos a https://chingmath.fr chapExoCorrec/8583 sacados/8583 chapExoCorrec/4325 sacados/4325 Extrait de Polynesie Juin 2011 chapExoCorrec/5325 sacados/5325 chapExoCorrec/8584 sacados/8584 chapExoCorrec/5947 sacados/5947 chapExoCorrec/599 sacados/599 chapExoCorrec/8585 sacados/8585 chapExoCorrec/3299 sacados/3299
Sean z 1 y z 2 dos números complejos distintos de cero. Demuestre las relaciones : | z 1 z 2 | = | z 1 | · | z 2 | arg( z 1 z 2 ) = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) con una precisión de 2 ı . E.3301 Recordemos que para cualquier vector distinto de cero −→ w , de afijo z , tenemos : | z | = −→ w ; arg( z ) = −→ u ; −→ w to within 2 ı . Requisito: sabemos que si z y z son dos números com-plejos distintos de cero, entonces : arg( z · z ) = arg( z ) + arg ( z ) Sean z y z dos números complejos distintos de cero. Show that : arg z z = arg( z ) − arg( z ) E.5951 Consideremos dos números complejos z y z distintos de cero, con módulos respectivos r y r y argumentos respectivos „ y „ . 1 Expresar en forma trigonométrica los números complejos z y z . 2 Demostrar que el número complejo z · z es un número complejo de módulo ( r · r ) y argumento ( „ + „ ) . 3 Demuestre que el número complejo z z es un número com-plejo de módulo r r y argumento ( „ − „ ) . 12. Ejercicios no clasificados E.5280 Sean los números complejos : z 1 = 2 + i · 6 ; z 2 = 2 + 2 · i ; Z = z 1 z 2 1 Escribe Z en forma algebraica. 2 Da los módulos y argumentos de z 1 , z 2 y Z . 3 Deduce cos ı 12 y sin ı 12 . E.5281 Considera la siguiente ecuación ( E ) : z 2 +2cos ı 5 · z +1=0 Di si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando tu afirmación : ˇ La ecuación ( E ) tiene dos soluciones complejas de módulo igual a 1 . ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/3301 sacados/3301 Extrait d'Asie - Juin 2006 chapExoCorrec/5951 sacados/5951 chapExoCorrec/5280 sacados/5280 chapExoCorrec/5281 sacados/5281 Extrait du Liban Juin 2008