Bachillerato 2 - Exp. / Operaciones con matrices 61 ejercicios (100% corregidos)

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r641-0 1. Adición E.6809 Definición : sean m , n dos números naturales distintos de cero ( m;n ∈ N ∗ ) . Considerar dos matrices A y B de dimen-siones m × n y denotar a ij y b ij sus coeficientes respectiva-mente. La suma de las matrices A y B es la matriz de dimen-siones m × n anotada A + B cuyos coeficientes c ij , están definidos por: c ij = a ij + b ij ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ j ∈ [[1 ; n ]] Realiza las siguientes sumas de matrices : a 1 2 − 1 0 + 2 − 3 − 1 − 2 b − 4 0 1 1 2 0 + 1 1 − 3 0 1 4 E.6155 Realiza las siguientes operaciones : a 1 0 2 4 1 − 1 + 0 2 1 − 1 − 1 0 b 2 3 4 1 + 5 − 2 − 1 − 1 + − 2 1 0 − 1 2. Multiplicación por un número real y suma E.6154 Definición : sea – un número real ( – ∈ R ) y A una matriz de dimensión m × n ( m;n ∈ N ∗ ) cuyos coeficientes se deno-tan a ij Llamamos a al producto de la matriz A por el escalar λ , la matriz de dimensiones m × n anotada λ · A y cuyos co-eficientes b ij se definen por: b ij = – · a ij ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ i ∈ [[1 ; m ]] Realiza las siguientes operaciones : a 2 · 1 0 2 1 0 − 1 b 4 · − 1 1 0 1 2 − 3 4 1 − 2 0 0 3. Multiplicación E.6165 Definición : Sean m , n , p tres números naturales distintos de cero ( m;n;p ∈ N ∗ ) . Consideremos las dos matrices A y B de dimensiones re-spectivas m × n y n × p . El producto de la matriz A por la matriz B es una matriz de dimensiones m × p cuyos co-eficientes c ij se definen por: c ij = n k =0 a ik × b kj ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ j ∈ [[1 ; p ]] Verifique las siguientes igualdades : a 1 2 0 1 3 1 · 1 2 = 5 2 5 b 3 1 1 1 2 1 · 1 1 2 1 = 5 4 3 2 4 3 c 1 2 4 1 · 3 1 1 2 = 5 5 13 6 E.5355 Realiza los siguientes productos de matrices : a 2 1 − 1 3 · 4 − 1 0 2 b 2 − 1 1 0 − 2 1 1 0 1 · 2 − 1 1 1 3 − 1 0 1 1 E.3107 Realiza los siguientes productos ma-triciales: a 2 1 − 1 − 3 1 0 · 0 4 1 − 1 2 1 b []5 2 − 1 2 · 2 − 1 − 3 1 E.5072 Realiza los siguientes productos ma-triciales: a − 1 1 0 2 − 1 1 · 4 1 2 b − 1 2 1 0 2 2 − 2 3 1 · 1 − 2 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6809 sacados/6809 chapExoCorrec/6155 sacados/6155 chapExoCorrec/6154 sacados/6154 chapExoCorrec/6165 sacados/6165 r641-0 chapExoCorrec/5355 sacados/5355 chapExoCorrec/3107 sacados/3107 chapExoCorrec/5072 sacados/5072
E.6157 Realiza los siguientes productos ma-triciales: a 2 1 1 3 1 0 · 0 4 1 − 1 2 1 b 5 2 1 2 · 2 1 3 1 E.6158 Realiza los siguientes productos ma-triciales: a − 1 1 0 2 1 1 · 4 1 2 b 1 2 1 0 2 2 2 3 1 · 1 2 1 E.6172 Realiza los siguientes productos ma-triciales: a 1 2 0 1 · 1 0 3 2 1 1 b 1 1 0 1 2 2 · 1 1 − 1 1 E.6197 Una empresa necesita cada año mate-rial de oficina para el funcionamiento de sus departamentos ˇ administrativos ı ı y ˇ de producción ı. ı. La siguiente tabla recoge sus necesidades para un año en miles de unidades : Resmas de hojas ( M 1 ) Bolígrafos ( M 2 ) Tubos de pegamento ( M 3 ) Administración ( D 1 ) 3 4 1 Producción ( D 2 ) 1 2 3 Se lanza una licitación a la que responden dos empresas. La siguiente tabla muestra el precio unitario en euros de cada uno de los suministros necesarios para esta empresa : Resmas de hojas ( M 1 ) Bolígrafos ( M 2 ) Tubos de pegamento ( M 3 ) Fournisseur PasTropCher ( F 1 ) 2 3 1 Fournisseur BonPrix ( F 2 ) 3 1 2 1 a Escribir la matriz A = a ij donde el coeficiente a ij es la cantidad de material M j necesario para el depar-tamento D i . b Escribir la matriz B = b ij donde el coeficiente b ij es el precio ofrecido por el proveedor F j para el material M i . 2 Realizar el siguiente producto matricial: A · B . 3 a Para ahorrar dinero, ¾qué proveedor debe elegir la empresa? b Para este proveedor, indicar el importe de la compra de material de oficina. 4. Multiplicación y matriz identidad E.6166 Definición : Se denomina matriz identidad de orden n ( n ∈ N ∗ ) a la matriz cuadrada de orden n cuyos coeficientes tienen valor 1 en la diagonal principal y 0 en el resto. Se denota I n . Para I n = a ij , tenemos : a ii = 1 ∀ i ∈ [[1; n ]] a ij = 0 ∀ ( i;j ) ∈ [[1; n ]] 2 et i = j 1 Realizar los siguientes productos matriciales: a 1 2 3 4 · 1 0 0 1 b 1 0 0 0 1 0 0 0 1 · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 ¾Qué característica se le puede dar a una matriz que solo contiene 1 en su diagonal principal y ceros en el resto? E.5144 Se desea determinar el conjunto de matrices cuadradas de dimensiones 2 que satisfacen : A 2 = I 2 Para ello, consideramos la matriz A = a b c d donde a , b , c y d son cuatro números reales cualesquiera. 1 a Expresar la matriz A 2 en función de los números reales a , b , c y d . b Determinar un sistema de ecuaciones verificado por los números reales a , b , c y d . 2 Para estudiar este problema, vamos a realizar una disyun-ción de casos : a Si b =0 , expresar la matriz A en función del real c . b Si b =0 , expresar la matriz A en función de los reales a y b . 5. Conmutatividad de la multiplicación E.6167 Definición : sean A y B dos matrices cuadradas de orden n ( n ∈ N ∗ ) , se dice que el producto de las matrices A y B es conmutativo si : A · B = B · A https://chingmath.fr chapExoCorrec/6157 sacados/6157 chapExoCorrec/6158 sacados/6158 chapExoCorrec/6172 sacados/6172 chapExoCorrec/6197 sacados/6197 chapExoCorrec/6166 sacados/6166 chapExoCorrec/5144 sacados/5144 chapExoCorrec/6167 sacados/6167
1 Realiza los dos productos matriciales siguientes : a 1 3 2 1 · 3 3 2 3 b 3 3 2 3 · 1 3 2 1 2 Realiza los dos productos matriciales siguientes : a 2 1 1 2 · 0 3 2 3 b 0 3 2 3 · 2 1 1 2 3 ¾Podemos obtener una regla sobre los productos A · B y B · A de dos matrices? E.5076 Considera las dos matrices sigu-ientes : A = 1 − 2 2 − 4 ; B = 2 6 1 3 1 Demostrar que : A · B = 0 2 Determina la matriz producto B · A . E.5093 Para cada pregunta, demuestra que el producto de las matrices A y B es conmutativo. a A = − 4 − 2 − 1 0 ; B = − 3 − 2 − 1 1 b A = − 4 − 2 2 4 ; B = − 2 − 1 1 2 E.8620 Para cada pregunta, comprueba si el producto de las matrices A y B es conmutativo o no. a A = − 2 − 1 1 3 ; B = − 3 1 1 2 b A = 2 2 3 4 ; B = 1 2 3 3 6. Multiplicación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales E.5073 Sean a y b dos números reales que verifiquen la igualdad siguiente : 5 2 − 1 3 · a b = 4 - 11 Determina los valores de los reales a y b . E.8629 Sean a y b dos números reales que verifiquen la igualdad siguiente : − 1 3 2 1 · a b = − 2 11 Determina los valores de los reales a y b . E.5074 Sean a , b y c tres números reales que alcanzan la siguiente igualdad : 3 1 4 2 − 1 0 1 − 1 1 · a b c = 5 0 − 1 Determinar los valores de los reales a , b c . E.8630 Sean a , b y c tres números reales que verifiquen la igualdad : 2 − 1 1 3 1 − 1 1 1 1 · a b c = 2 8 2 Determina el valor de estos reales. E.5075 Sean a , b y c soluciones de la ecuación : 4 − 2 1 1 2 3 2 − 6 − 5 · a b c = 7 7 − 7 Determina el conjunto de tripletes ( a ; b ; c ) soluciones de esta ecuación. E.8631 Sean a , b y c tres números reales que son soluciones de la ecuación : − 1 3 1 1 0 2 − 1 6 4 · a b c = 5 7 6 Determina el conjunto de tripletes ( a ; b ; c ) soluciones de esta ecuación. 7. Distributividad E.5078 Considera las dos matrices sigu-ientes : A = 2 1 5 3 ; B = 1 6 − 1 2 1 Calcular: A + B . 2 a Calcula: A + B 2 b Calcular: A 2 +2 · A · B + B 2 3 Teniendo en cuenta las propiedades algebraicas del pro-ducto de matrices, dar la expansión de la expresión A + B 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5076 sacados/5076 chapExoCorrec/5093 sacados/5093 chapExoCorrec/8620 sacados/8620 chapExoCorrec/5073 sacados/5073 chapExoCorrec/8629 sacados/8629 chapExoCorrec/5074 sacados/5074 chapExoCorrec/8630 sacados/8630 chapExoCorrec/5075 sacados/5075 chapExoCorrec/8631 sacados/8631 chapExoCorrec/5078 sacados/5078
E.5098 Sea A una matriz cuadrada de orden n y la matriz unitaria I n de orden n . 1 Expande las siguientes expresiones : a 2 · A + I n · I n − A b A + 2 · I n 2 2 Evalúe cada una de estas dos expresiones en el caso en que : n =2 ; A = 4 − 1 2 − 2 E.5099 Sean A y B dos matrices de orden n cuyo producto es conmutativo. 1 Expande las siguientes expresiones : a A + 2 · B · B − A b 2 · A − B 2 2 En el caso de orden 2 , evalúa las dos expresiones ante-riores con las dos matrices siguientes cuyo producto es conmutativo: A = 1 − 3 − 1 − 1 ; B = − 2 3 1 0 E.6824 Definimos las matrices A , B y M por: A = 0 ; 8 0 ; 8 0 ; 2 0 ; 2 ; B = 0 ; 2 − 0 ; 8 − 0 ; 2 0 ; 8 ; M = 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 1 0 ; 6 1 Demostrar que : M = A +0 ; 5 · B 2 Compruebe que A 2 = A , y que : A · B = B · A = 0 0 0 0 3 Demostrar mediante razonamiento por recurrencia que, para cualquier número natural estrictamente positivo n : A n = A Admitimos que, para cualquier número natural estrictamente positivo n : B n = B . 4 Demostrar que, para cualquier número natural n : M n = A + 0 ; 5 n · B . 8. n -ésimas potencias de matrices E.8625 Consideremos la matriz: A = − 3 − 3 1 2 2 − 1 − 2 − 3 0 1 Determina la matriz A 2 . 2 Deduce la expresión de A 101 . E.8624 Considera la matriz: A = − 2 1 − 3 1 1 Determina las matrices A 2 y A 3 . 2 Deduce la expresión para A 50 . E.3745 Consideremos las dos matrices A y B definidas por: A = 2 − 2 4 − 2 2 − 4 − 2 2 − 4 ; B = 1 − 3 − 4 − 1 3 4 1 − 3 − 4 1 Determina el cuadrado de cada una de estas matrices. 2 Para cualquier número natural n , determinar una expre-sión para A n y una expresión para B n . E.5100 Consideremos la matriz: A = 1 3 − 1 1 1 Establecer igualdad : A 3 = − 8 · I 2 . 2 Deduce la expresión para A 11 . E.6069 Consideremos las dos matri-ces A y B definidas por: A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; B = k · A donde k ∈ R . ¾Para qué valores de k la matriz B verifica la igualdad : B 2 = B 9. Puissances n -ième de matrices, ciclicidad y congruencia E.5129 Consideremos la matriz A definida por: A = 3 − 2 4 − 3 Determine la expresión de la potencia n -ésima de la matriz A . E.5126 Consideremos la matriz A definida por: A = 1 − 4 − 4 − 1 1 2 1 − 2 − 3 Determina la expresión de A n para cualquier número natural distinto de cero n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5098 sacados/5098 chapExoCorrec/5099 sacados/5099 chapExoCorrec/6824 sacados/6824 Extrait Liban Mai 2015 chapExoCorrec/8625 sacados/8625 chapExoCorrec/8624 sacados/8624 chapExoCorrec/3745 sacados/3745 chapExoCorrec/5100 sacados/5100 chapExoCorrec/6069 sacados/6069 chapExoCorrec/5129 sacados/5129 chapExoCorrec/5126 sacados/5126
E.8621 Consideremos las matrices A y B definidas por: A = 1 − 3 − 3 − 2 2 3 2 − 3 − 4 ; B = − 2 − 1 1 1 0 − 1 − 2 − 2 1 1 Determina los cuadrados de las matrices A y B . 2 Para cualquier entero natural n , determinar una expre-sión para A n y una expresión para B n . E.8622 Consideremos la matriz A definida por: A = 1 − 1 3 − 2 Determine la expresión de la potencia n -ésima de la matriz A . E.5127 Considera la matriz A definida por: A = 1 − 3 − 2 − 1 − 4 − 3 2 4 3 Determina la expresión de A n para cualquier número natural distinto de cero n . E.8623 Consideremos la matriz A definida por: A = − 3 − 1 3 3 Determine la expresión de la potencia n -ésima de la matriz A . E.5145 Consideremos la matriz cuadrada A de dimensión 3 definida por: A = 1 − 3 − 2 − 1 1 − 4 − 1 2 − 2 1 Establece que : A 3 =2 · I 3 . 2 Dar una expresión para A n para cualquier número natu-ral n . E.5128 Consideremos la matriz A definida por: A = 1 − 3 − 2 − 3 1 2 3 − 3 − 4 Determina la expresión de A n para cualquier número natural distinto de cero n . 10. Puissances n -ième de matrices y razonamiento por recurrencia E.5082 Considera la matriz A = 1 1 0 1 Establece, que para cualquier n ∈ N , tenemos : A n = 1 n 0 1 E.8626 Demuestre que para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos : 4 − 4 3 − 3 n = 4 − 4 3 − 3 E.5115 Consideremos la secuencia A definida por: A = 1 0 1 0 1 0 0 0 2 y la secuencia u n definida por: u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 n para cualquier n ∈ N Establecer que para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos la igualdad : A n = 1 0 u n 0 1 0 0 0 2 n Sugerencia : utilice: A n +1 = A · A n E.7364 Consideremos la matriz cuadrada B de orden 3 definida por: B = 5 12 1 4 1 3 5 12 1 4 1 3 1 6 1 2 1 3 Establecer, mediante razonamiento por recurrencia, que para cualquier número entero n mayor o igual que 2 , la relación: B n = B 2 E.5083 Consideremos la matriz A = 2 0 1 1 Establecer que para cualquier número natural n : A n = 2 n 0 2 n − 1 1 E.6100 Demuestra que para cualquier número natural n , tenemos : 5 − 4 3 − 2 n = 2 n +2 − 3 4 − 2 n +2 3 × 2 n − 3 4 − 3 × 2 n E.8627 Demostrar que para todo número natural distinto de cero n , se tiene : 2 4 1 2 n = 2 2 n − 1 2 2 n 2 2 n − 2 2 2 n − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8621 sacados/8621 chapExoCorrec/8622 sacados/8622 chapExoCorrec/5127 sacados/5127 chapExoCorrec/8623 sacados/8623 chapExoCorrec/5145 sacados/5145 chapExoCorrec/5128 sacados/5128 chapExoCorrec/5082 sacados/5082 chapExoCorrec/8626 sacados/8626 chapExoCorrec/5115 sacados/5115 chapExoCorrec/7364 sacados/7364 chapExoCorrec/5083 sacados/5083 chapExoCorrec/6100 sacados/6100 chapExoCorrec/8627 sacados/8627
E.8628 Demuestre que para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos : 2 3 − 2 − 3 n = − 2 × ( − 1) n − 3 × ( − 1) n 2 × ( − 1) n 3 × ( − 1) n E.6826 Consideremos la matriz: A = − 4 6 − 3 5 1 Llamamos I a la matriz identidad de orden 2 . Comprueba que : A 2 = A +2 · I 2 Deduce una expresión para A 3 y una expresión para A 4 de la forma ¸ · A + ˛ · I donde ¸ y ˛ son números reales. 3 Consideremos las sucesiones r n y s n definidas por r 0 =0 y s 0 =1 y, para cualquier número natural n : r n +1 = r n + s n s n +1 = 2 · r n Demuestre que, para cualquier número natural n : A n = r n · A + s n · I 11. Matriz inversa E.5094 Definición : Sea n un número natural distinto de cero y A y B dos matrices cuadradas de orden n . Se dice que la matriz B es la matriz inversa de la matriz A si : A · B = I n ; B · A = I n Consideremos las dos matrices A y B siguientes : A = − 1 1 3 1 − 2 − 5 − 1 2 4 ; B = − 2 − 2 − 1 − 1 1 2 0 − 1 − 1 1 Determinar las matrices de los productos A · B y B · A . 2 ¾Qué se puede decir de las matrices A y B ? E.5095 Consideremos las dos matrices A y B siguientes : A = 1 − 2 − 2 − 2 1 2 − 1 1 1 ; B = − 1 0 − 2 0 − 1 2 − 1 1 − 3 1 Determine los productos A · B y B · A . 2 ¾Qué podemos decir de las matrices A y B ? E.5096 Considera las siguientes dos matrices A y B : A = 1 − 2 − 2 − 2 1 0 − 2 2 2 ; B = − 2 0 − 2 − 4 2 − 4 2 − 2 3 1 Determine los productos A · B y B · A . 2 Deduce la matriz inversa de la matriz A . 12. Matriz inversa y expresiones algebraicas E.5116 Consideremos la matriz cuadrada A de orden 3 definida por: A = 1 − 2 − 2 − 1 0 − 2 − 1 − 2 0 1 a Determina la matriz A 2 + A . b Expresar la matriz inversa de A en función de A y I 3 . 2 Deduce la matriz inversa de la matriz A . E.5117 Consideremos la matriz cuadrada A de orden 3 definida por: A = 1 − 2 − 1 − 2 1 1 − 2 2 0 1 a Determina la matriz A 2 − 3 × A . b Expresar la matriz inversa de A en función de A y I 3 . 2 Deduce la matriz inversa de la matriz A . E.6871 Consideremos la matriz cuadrada A de orden 3 definida por: A = 1 − 4 − 2 − 2 3 − 1 − 4 − 4 3 1 a Determina la matriz A 2 . b Determina la matriz A 2 − 2 · A . c Deduce una expresión para la matriz inversa de la ma-triz A en función de A y I 3 . 2 Deduce la matriz inversa de la matriz A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8628 sacados/8628 chapExoCorrec/6826 sacados/6826 chapExoCorrec/5094 sacados/5094 chapExoCorrec/5095 sacados/5095 chapExoCorrec/5096 sacados/5096 chapExoCorrec/5116 sacados/5116 chapExoCorrec/5117 sacados/5117 chapExoCorrec/6871 sacados/6871
E.6825 Damos las matrices : M = 1 1 1 1 − 1 1 4 2 1 ; I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Determina la matriz M 2 . On donne : M 3 = 20 10 11 12 2 9 42 20 21 2 Comprueba que : M 3 = M 2 +8 · M +6 · I 3 3 Deduce que M es invertible y que : M − 1 = 1 6 · M 2 − M − 8 · I 3 4 Deduce la matriz inversa de la matriz M . 13. Matrices inversas de orden 2 E.8634 Definición : Consideremos A la matriz definida por: A = a b c d Llamamos determinante de la matriz A , denotado det( A ) , el número : det( A ) = a · d − b · c Determina el determinante de las siguientes matrices : A = 1 3 3 − 1 ; B = 2 4 − 3 2 ; C = 6 3 4 2 E.5097 Proposición: Consideremos la matriz A = a b c d . La matriz A es in-vertible si, y sólo si, det( A ) =0 . On a alors: A − 1 = 1 det( A ) · d − b − c a Determina las inversas de las siguientes matrices : A − 3 2 − 2 2 b − 2 − 1 − 1 − 1 c 3 4 4 4 E.6828 Establece que cada una de las matri-ces que aparecen a continuación son invertibles y determina la expresión de sus matrices inversas : a 1 − 1 − 3 2 b 2 1 − 1 − 1 c 3 − 1 − 1 0 E.8633 Determina las inversas de las sigu-ientes matrices : a 1 2 1 3 b 1 0 − 4 − 4 c 2 0 3 − 4 E.5112 1 Sea n un número natural distinto de cero. Consideremos A y B dos matrices cuadradas de orden n invertibles y – un número real distinto de cero. a Demuestre que el producto A · B es una matriz invert-ible cuya inversa debe especificarse. b Demuestra que la matriz – · A es una matriz invertible cuya inversa especificaremos. 2 Consideremos las dos matrices siguientes A y B : A = 4 3 1 0 ; B = 3 − 4 − 2 3 Demuestre que la siguiente relación es falsa : A + B − 1 = A − 1 + B − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6825 sacados/6825 chapExoCorrec/8634 sacados/8634 chapExoCorrec/5097 sacados/5097 chapExoCorrec/6828 sacados/6828 chapExoCorrec/8633 sacados/8633 chapExoCorrec/5112 sacados/5112