Bachillerato 2 - Exp. / Otros informes anuales 2 ejercicios corregidos

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1. Ejercicios no clasificados E.3152 Para cada pregunta, solo una de las cuatro respuestas propuestas es correcta. El candidato indicará en la copia el número de la pregunta y la letra corre-spondiente a la respuesta elegida. Cada respuesta correcta vale 1 puntos. Cada respuesta incor-recta resta 0 ; 5 puntos. Las preguntas sin responder se puntúan con 0 puntos. Si el total es negativo, la nota se reduce a cero. No se requiere justificación alguna. 1 Consideremos en el conjunto de los números enteros rel-ativos la ecuación : x 2 − x + 4 ≡ 0 ( mod. 6) a todas las soluciones son números enteros pares b no hay ninguna solución c las soluciones verifican x ≡ 2 ( mod. 6) d las soluciones verifican : x ≡ 2 ( mod. 6) o x ≡ 5 ( mod. 6) 2 Se propone resolver la ecuación ( E ) : 24 x + 34 y = 2 , donde x y y son números enteros relativos. a Las soluciones de ( E ) tienen todas la forma : ( x ; y ) = (34 k − 7 ; 5 − 24 k ) , k ∈ Z b La ecuación ( E ) no tiene ninguna solución c Las soluciones de ( E ) son todas de la forma : ( x ; y ) = (17 k − 7 ; 5 − 12 k ) , k ∈ Z d Las soluciones de ( E ) son todas de la forma ( x ; y ) = ( − 7 k ; 5 k ) , k ∈ Z 3 Consideramos los dos números enteros n =1789 y p = 1789 2005 . Entonces tenemos : a n ≡ 4 ( mod. 17) y p ≡ 0 ( mod. 17) b p es un número entero primo c p ≡ 4 ( mod. 17) d p ≡ 1 ( mod. 17) 4 Consideremos, en el plano complejo referido a un sistema de coordenadas ortonormales, los puntos A y B con afijos respectivos a y b . El triángulo MAB es rectángulo isósce-les directo con hipotenusa [ AB ] si, y solo si, el punto M de afijo z es tal que : a z = b − i a 1 − i b z − a = e i π 4 · ( b − a ) c a − z = i · ( b − z ) d b − z = ı 2 · ( a − z ) 5 Se consideran dos puntos distintos A y B en el plano ori- entado ; sea I le el punto medio del segmento [ AB ] . Sea f la semejanza directa de centro A , razón 2 y ángulo 2 ı 3 ; sea g la la semejanza directa de centro A , razón 1 2 et y ángulo 2 ı 3 ; o g la semejanza directa de centro A , razón 1 2 y ángulo ı 3 ; o h la simetría central de centro I . a h ◦ g ◦ f transforma A en b y es una rotación. b h ◦ g ◦ f est la reflexión teniendo como axe la mediatriz del segmento [ AB ] c h ◦ g ◦ f n no es una semejanza. d h ◦ g ◦ f es la traslación del vector −−→ AB E.3165 El plano complejo P se refiere a un sistema de coordenadas ortonormales directas O ; −→ u ; −→ v . Se tomará como unidad gráfica 4 cm . Se consideran los pun-tos A , B , C y D con afijos respectivos a , b , c y d tales que : a = 1 ; b = 1 + 2i ; c = 2e i π 4 ; d = 3 + 2i Consideramos la similitud directa s que transforma A en b y C en D . Sea M un punto de afijo z y M , de afijo z , su imagen por s . 1 Expresar z en función de z . Determinar los elementos característicos de s . Sea U n la sucesión numérica definida por: U 0 = 0 U n +1 = 2 U n + 1 para todo n ∈ N . 2 Demuestre que, para todo número natural n , U n +1 y U n son primos entre sí. 3 Interpretar geométricamente, utilizando la semejanza s , los términos de la sucesión U n . 4 Demostrar que, para todo número natural n : U n = 2 n − 1 . 5 Demostrar que, para todos los números naturales n y p distintos de cero tales que n p : U n = U p · U n − p + 1 + U n − p La notación pgcd ( a ; b ) se utiliza, en lo sucesivo, para des-ignar el máximo común divisor de dos números naturales a y b . Demuestre para n p la igualdad : pgcd ( U n ; U p ) = pgcd ( U p ; U n − p ) 6 Sean n y p dos números naturales distintos de cero, de-muestre que : pgcd ( U n ; U p ) = U pgcd ( n ; p ) Determine el número entero: pgcd ( U 2005 ; U 15 ) https://chingmath.fr sacados/3152 sacados/3165