Bachillerato 2 - Exp. / Gcd, números primos, teoremas de Bezout y Gauss 80 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Propiedades de los números primos E.3363 Especifica si los siguientes números enteros son primos o no : a 37 b 127 c 541 d 2 × 3 × 5 × 7 + 1 E.4279 Establecer que para cualquier número natural k ( 2 k n ) , el entero n !+ k no es primo. E.6771 Para cualquier número natural dis-tinto de cero n , llamamos S ( n ) al número igual a la suma de los divisores positivos de n . 1 Comprueba que : S (6)=12 y calcula S (7) . 2 a Demuestre que, para cualquier número natural n mayor o igual que 2 : S ( n ) 1+ n b ¾Cuáles son los números naturales n tales que S ( n )= 1+ n ? E.6924 A continuación se muestra una función de un algoritmo en el que MOD(N,k) representa el resto de la división euclidiana de N por k . Función f(a) k 2 Mientras MOD(a;k) = 0 y k a k k+1 Fin Mientras que Si k> a Entonces Devolver 0 Si no Entonces devuelve 1 Fin Si 1 ¾Cuál es el valor de k cuando se llama a esta función con el parámetro a=127 ? Y si se introduce a=119 ? 2 ¾Qué se puede decir del entero a pasado como parámetro cuando el valor devuelto por la función f es 0 ? Justifique su respuesta. 2. Factorización y números primos E.3620 Sea a N , considere la expresión : ( E ): a 4 3 a 2 +1 1 Establece la siguiente igualdad : a 4 3 a 2 + 1 = a 2 a 1 · a 2 + a 1 2 a Resuelve las siguientes ecuaciones : a 2 a 1 = 1 ; a 2 + a 1 = 1 b Determina para quelle (s) valeur (s) de a , la expresión ( E ) define un entero primo. E.3621 Para a un número natural, considera la expresión : ( F ) : a 3 5 a Justifica que el entero ( F ) no puede ser un entero primo. E.8614 Para a un número natural, considere la expresión : ( E ) : a 3 5 · a 2 + 7 a 1 Expresa ( E ) como producto de un polinomio de grado uno y un polinomio de grado dos. 2 Determina los valores de a para los que la expresión ( E ) define un entero primo. E.3633 1 Sea x un número real. a Demuestra que : x 4 +4= x 2 +2 2 4 · x 2 b Deduzca que x 4 +4 se puede escribir como el producto de dos trinomios con coeficientes enteros. 2 Sea n un número natural mayor o igual a 2. Considere-mos los dos números enteros siguientes : A = n 2 2 n + 2 ; B = n 2 + 2 n + 2 a Demuestra que n 4 +4 no es primo. b Demuestra que todo divisor de A que también divide n es un divisor del número 2 . c Demuestra que todo divisor común de A y B divide a 4 n . E.3668 1 Sean x y p dos números naturales, calcula la suma : 1 x + x 2 + ··· +( 1) p · x p 2 a Demuestra que, cualesquiera que sean los números naturales x y n , el entero x 2 n +1 +1 es múltiplo de x +1 . b Observa que si k es impar entonces (2 q ) k +1 es divisible por 2 q +1 . 3 Sea m un número natural. Probar la hipótesis ˇ m es una potencia de 2 ı es condición necesaria para que 2 m +1 sea un entero primo. 3. Números primos y congruencia E.3619 Sea p un entero primo mayor o igual que 5 . 1 Justifique que el entero p satisface una de las dos condi-ciones siguientes : p 1 ( mod. 6) ; p 5 ( mod. 6) 2 Justifica que el entero p 2 1 es divisible por 24 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3363 sacados/3363 chapExoCorrec/4279 sacados/4279 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/6771 sacados/6771 chapExoCorrec/6924 sacados/6924 chapExoCorrec/3620 sacados/3620 chapExoCorrec/3621 sacados/3621 chapExoCorrec/8614 sacados/8614 chapExoCorrec/3633 sacados/3633 chapExoCorrec/3668 sacados/3668 chapExoCorrec/3619 sacados/3619
E.3624 En este ejercicio nos pro-ponemos estudiar el siguiente problema : ˇ ¾Pueden ser primos los números enteros cuya representación decimal utiliza únicamente el dígito 1? ı Para cualquier número natural p 2 , se establece N p =1 ::: 1 donde 1 aparece p veces. Por lo tanto, recordamos que : N p = 10 p 1 + 10 p 2 + · · · + 10 0 . 1 Los enteros N 2 =11 , N 3 =111 , N 4 =1111 sont-ils premiers? 2 Demostrar que N p = 10 p 1 9 . ¾Se puede estar seguro de que 10 p 1 es divisible por 9 ? 3 Nos proponemos demostrar que si p no es primo, entonces N p n no es primo. Recordemos que para cualquier número real x y cualquier número natural n nonzero, x n 1 = x 1 x n 1 + x n 2 + · · · + x + 1 a Supongamos que p es par y planteamos p =2 q , donde q est es un número natural mayor que 1 . Demuestra que N p es divisible por N 2 =11 . b Supongamos que p es múltiplo de 3 y planteamos p =3 q , donde q est es un número natural mayor que 1 . Demuestre que N p es divisible por N 3 =111 . c Supongamos que p no es primo y establezcamos p = k · q donde k y q son números naturales mayores que 1 . Deduzca que N p es divisible por N k . 4 Enuncia una condición necesaria para que N p sea primo. ¾Es suficiente esta condición? 4. PGCD y descomposición en productos de factores primos E.8610 1 Determinar la descomposición en producto de factores primos de los números 1764 y 198 . 2 Deduce la PGCD de los números 1764 y 198 . E.282 Definición : dos números enteros se dice que son primos entre , si el número entero 1 es el único divisor común de estos dos números. Proposición: dos números enteros son primos entre si, y sólo si, su PGCD tiene valor 1 . 1 Determina el PGCD de diferentes pares de enteros : a (15 ; 21) b (18 ; 28) c (15 ; 22) 2 Determina si los dos enteros 56 y 45 son primos entre E.3721 En cada caso, utilizando la de- scomposición en productos de factores primos, determina el PGCD del par ( a ; b ) de enteros : 1 a = 35 × 21 ; b = 36 × 25 2 a = 6 2 × 12 ; b = 21 4 × 15 2 3 a = 35 280 201 ; b = 6 804 131 E.256 1 Dar la descomposición en producto de factores primos de los dos enteros siguientes : a 36 × 26 b 12 × 21 2 Deduce el PGCD de 936 y 252. 3 Reduce la fracción : 936 4 252 5 E.3723 Sea n un número natural menor que 120 . Determinar el conjunto de valores de n tales que : pgcd ( n ; 120) = 6 5. Propiedad característica del PGCD E.3724 Determinar el conjunto de pares ( m ; n ) de números naturales tales que : pgcd ( m ; n ) =6 ; m + n =72 E.6022 Determinar el conjunto de parejas ( m ; n ) de números naturales que verifican el sistema : S : m 2 n 2 = 5440 pgcd ( m ; n ) = 8 E.5344 En el sistema de ecuaciones sigu-iente, los enteros x y y que aparecen a continuación represen-tan números naturales donde x<y : x · y = 135 pgcd ( x ; y ) = 3 Resuelve este sistema de ecuaciones. 6. PGCD y divisores https://chingmath.fr chapExoCorrec/3624 sacados/3624 chapExoCorrec/8610 sacados/8610 chapExoCorrec/282 sacados/282 chapExoCorrec/3721 sacados/3721 chapExoCorrec/256 sacados/256 chapExoCorrec/3723 sacados/3723 chapExoCorrec/3724 sacados/3724 chapExoCorrec/6022 sacados/6022 Lyon Juin 1977 3 points chapExoCorrec/5344 sacados/5344
E.3715 Denotamos por p un número natural. Consideremos para cualquier número natural dis-tinto de cero n el entero: A n =2 n + p . Sea d n el PGCD de A n y A n +1 . 1 Demuestra que d n divide 2 n . 2 Determina la paridad de A n en función de la de p . Jus-tifica. E.6021 Sea n un número entero rela-tivo. 1 Sea d el PGCD de los enteros 9 n +4 y 2 n 1 . Justifique que d divide a 17 . 2 Establece la siguiente equivalencia: n 9 ( mod. 17) pgcd (9 n +4 ; 2 n 1)=17 E.6076 Para cualquier número natural n , consideremos los dos enteros ¸ y ˛ definidos por: ¸ =2 n +1 ; ˛ = n +3 Sea d el PGCD de los enteros ¸ y ˛ : d = pgcd ( ¸ ; ˛ ) 1 a Justifique que el entero d es divisor de 5 . b ¾Cuáles pueden ser los posibles valores de d ? 2 Establece la siguiente equivalencia: ¸ y ˛ son múltiplos de 5 n 2 es múltiplo de 5 . E.4272 Para cualquier número natural n mayor o igual que 2 , planteamos : A ( n ) = n 4 + 1 1 Estudia la paridad del entero A ( n ) . 2 Demuestra que, cualquiera que sea el número entero n , A ( n ) no es múltiplo de 3 . 3 Demuestra que cualquier entero d divisor de A ( n ) es primo con n . 4 Demuestre que, para cualquier entero d divisor de A ( n ) : n 8 1 ( mod. d ) 7. Reducción del PGCD E.3722 Proposición: (lema para el algoritmo de Euclides) sean a y b dos enteros relativos distintos de cero y para cualquier entero relativo k tal que a + k · b sea distinto de cero, ten-emos : pgcd ( a ; b ) = pgcd ( a + k · b ; b ) 1 Determina el PGCD de dos números naturales pares con-secutivos. 2 Determina el PGCD de dos números naturales impares consecutivos. E.3720 Para todo número natural n distinto de cero, se consideran los números enteros : a n = 4 × 10 n 1 ; b n = 2 × 10 n 1 ; c n = 2 × 10 n +1 1 Calcular a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 y c 3 . 2 ¾Cuántos dígitos tienen las representaciones decimales de los números enteros a n y c n ? Demuestre que a n y c n son divisibles por 3 . 3 Demuestre, utilizando la lista de números primos menores que 100 que se proporciona a continuación, que b 3 es primo. 4 Demostrar que, para cualquier número natural distinto de cero n : b n × c n = a 2 n . Deduzca una descomposición en producto de factores pri-mos de a 6 . 5 Demuestre que : pgcd ( b n ; c n )= pgcd ( c n ; 2) . Deducir que b n y c n son primos entre sí. Lista de números enteros primos menores que 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 E.5300 Consideremos dos números naturales x y y . Demuestre que si x y y son primos entre sí, entonces también lo son los números naturales 2 x + y y 5 x +2 y . E.5729 Considera los dos enteros : A =10 n +7 y B =2 n +1 . 1 Determina los enteros reales a y b verifica la igualdad : 10 n + 7 2 n + 1 = a + b 2 n + 1 2 Justifica que los enteros A y B son primos entre sí. E.6025 1 a Suponiendo que a =9 p +4 q y b =2 p + q , demuestre que los enteros a y b por un lado; p y q por otro tienen el mismo PGCD. b Demuestre que los enteros 9 p +4 y 2 p +1 son primos entre sí. 2 Determina el PGCD de los enteros relativos 9 p +4 y 2 p 1 según los valores de p . E.5305 Sea k un elemento de Z . 1 Demuestra que los enteros 2 k +1 y 9 k +4 son primos entre sí. 2 a Demostrar que el PGCD de los enteros 2 k 1 y 9 k +4 es necesariamente 1 o 17 . b Establece la siguiente afirmación : pgcd (2 k 1 ; 9 k +4) = 17 k 9 ( mod. 17) E.8823 Consideremos la sucesión F n de Fibonacci definida por: F 0 =0 ; F 1 =1 ; F n +2 = F n +1 + F n para todo n =2 Demuestre que para todo número natural n mayor o igual que 2 , los números enteros F n +1 y F n son primos entre sí. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3715 sacados/3715 Extrait de Metropole Septembre 2009 chapExoCorrec/6021 sacados/6021 chapExoCorrec/6076 sacados/6076 chapExoCorrec/4272 sacados/4272 Extrait de Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2010 chapExoCorrec/3722 sacados/3722 chapExoCorrec/3720 sacados/3720 France Juin 1999 chapExoCorrec/5300 sacados/5300 Extrait Bac C Juin 1981 chapExoCorrec/5729 sacados/5729 chapExoCorrec/6025 sacados/6025 Poitier Juin 1982 chapExoCorrec/5305 sacados/5305 Bac C - Lyon Septembre 1979 chapExoCorrec/8823 sacados/8823 A finaliser la correction
8. Propiedad de homogeneidad del PGCD E.5297 Proposición: (propiedad de homogeneidad) Para cualquier número relativo a , b , k distinto de cero, ten-emos : pgcd ( k · a ; k · b ) = k · pgcd ( a ; b ) Sean a y b números naturales distintos de cero tales que : pgcd ( a ; b ) = d ; pgcd ( a + b ; ab ) = d Demuestra que d es divisor de d . E.6023 Sean a y b dos números natu-rales con a>b . Demostrar equivalencia: a b es irreducible a b a · b es irreducible. 9. PGCD y conjunto de divisores comunes E.12 Proposición: sean a y b dos números relativos distintos de cero. El conjunto de divisores comunes a a y b es el conjunto de divisores de su PGCD. 1 Realiza la descomposición en factores primos de los sigu-ientes números : 27 × 90 ; 20 × 21 2 Determina el PGCD de los enteros 2430 y 420. 3 Dar el conjunto de divisores comunes a estos dos enteros. 10. Identidad y teorema de Bézout E.4284 Propuesta: (Identidad de Bézout) Sean a y b dos números enteros relativos. Si d es el MCD de a y b , entonces existen dos números enteros relativos u y v tales que : u · a + v · b = d Teorema de Bézout: Dos números enteros relativos a y b son primos entre si, y solo si, existen dos números enteros relativos tales que : u · a + v · b = 1 Utilizando el teorema de Bézout, demuestre que los pares sigu-ientes definen un par de números enteros primos entre : a (10 ; 3) b (15 ; 11) c (5 ; 17) E.6926 Consideremos la ecuación diofántica x 2 8 · y 2 =1 donde x y y denotan dos números en-teros relativos. 1 Dar dos pares de números naturales menores que 10 que sean soluciones de ( E ) . 2 Demostrar que, si un par de enteros distintos de cero ( x ; y ) es solución de ( E ) , entonces los enteros x y y son primos entre sí. E.3776 Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida: . Para cualquier número natural distinto de cero n , n y 2 n +1 son primos entre sí. E.5303 Sea n un número entero relativo. Definimos el valor de los enteros a y b en función del de n mediante : a =3 n 1 ; b = 2 n +1 Demuestra que los enteros a y b son primos entre cualquiera que sea el valor del número natural n . E.3750 Sea n un número entero relativo. Definimos el valor de los enteros a y b en función del de n mediante : a =6 n +1 ; b = 9 n + 1 Demuestre que los números enteros a y b son primos entre cualquiera que sea el valor del número natural n . E.5308 Establece que, sea cual sea el valor de n , los dos enteros n +3 y 2 n 2 n +14 son primos entre sí. E.4291 Diga si la siguiente proposi-ción es verdadera o falsa : ˇ Si hay dos enteros relativos u y v tales que a · u + b · v =2 en-tonces el PGCD de a y b es igual a 2 . ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5297 sacados/5297 chapExoCorrec/6023 sacados/6023 Extrait de Maroc Juin 1967 chapExoCorrec/12 sacados/12 chapExoCorrec/4284 sacados/4284 chapExoCorrec/6926 sacados/6926 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/3776 sacados/3776 chapExoCorrec/5303 sacados/5303 chapExoCorrec/3750 sacados/3750 chapExoCorrec/5308 sacados/5308 chapExoCorrec/4291 sacados/4291 Extrait de Liban Juin 2007
ABCxyx E.9480 Consideremos el triángulo rec-tángulo ABC en B , representado a continuación, tal que BC = AB +2 y sus medidas sean enteras : Modelamos la situación anotando AB = x y AC = y . 1 a Expresar y 2 en función de x en forma de expresión desarrollada y reducida. b Deduzca que el entero y es par. 2 a Justificar que 2 · x 2 +4 · x +4 es un múltiplo de 4 . b Deducir que el número entero x es par. 3 Completar el algoritmo siguiente que nos da los valores de x y y (con y< 1000 ) realizando las dimensiones de este triángulo: import math for x in range(...): y=math.sqrt(...) if math.floor(...)==...: print(x,y) 11. Aplicación del teorema de Bezout E.6927 A cada letra del alfabeto se le asigna un número entero comprendido entre 0 y 25 , tal y como se muestra en la tabla siguiente : A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Se define un proceso de codificación de la siguiente manera : Paso 1: a la letra que se desea codificar se le asigna el número entero x correspondiente en la tabla anterior. Paso 2: se calcula el número entero x definido por las relaciones : x 9 · x + 2 ( mod. 26) ; 0 x 25 Paso 3: al número entero x , se le asigna la letra corre-spondiente de la tabla. 1 Demuestre que la letra V está codificada por la letra J . 2 Cite el teorema que permite afirmar la existencia de dos números enteros relativos u y v tales que 9 · u +26 · v =1 . Dar sin justificar un par ( u ; v ) que sea adecuado. 3 Demostrar que : x 9 · x +2 ( mod. 26) equivale a x 3 · x +20 ( mod. 26) . 4 Descifrar la letra R . E.3772 Para cualquier número natu-ral n mayor o igual que 2 , planteamos : A ( n ) = n 4 + 1 1 Estudia la paridad del entero A (11) . 2 Demuestra que, cualquiera que sea el número entero n , A ( n ) no es múltiplo de 3 . 3 Demuestra que cualquier entero d divisor de A ( n ) es primo con n . 4 Demuestre que, para cualquier entero d divisor de A ( n ) : n 8 1 ( mod. d ) E.6024 Sea n un número natural, sea : a = 2 n + 8 ; b = 3 n + 15 Sea d el PGCD de a y b . 1 Demostrar que, para cualquier n N , d divide a 6 . 2 Consideremos el conjunto S de números naturales n para el cual d =6 . Es decir, el conjunto S queda definido por: S = n N pgcd (2 n +8 ; 3 n +15)=6 a Demuestre que si n S entonces existe un número en-tero k tal que : n = 4+3 · k . b Deduce el conjunto S . E.5828 Planteamos : u =2+ 3 et v =2 3 . 1 Démontrer por recurrencia que, n denotando un entero positivo, podemos escribir : u n = a n + b n · 3 ; v n = a n b n · 3 donde a n y b n son enteros positivos. Expresa a n +1 y b n +1 en términos de a n y b n . 2 Établir las igualdades : a n 2 3 · b n 2 = 1 ; a n · b n +1 a n +1 · b n = 1 Deduce que las fracciones a n b n , a n +1 a n , b n +1 b n son irre-ducibles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9480 sacados/9480 DE moi mais adapter l'exercice pour qu'il puisse montrer que seul 2 peut etre le pgcd de x et de y ABCxyx chapExoCorrec/6927 sacados/6927 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2015 chapExoCorrec/3772 sacados/3772 chapExoCorrec/6024 sacados/6024 Montpellier Juin 1980 3 points chapExoCorrec/5828 sacados/5828 Bac Madagascar Septembre 1969
E.3261 Denotamos por p un número entero primo mayor o igual que 7. El objetivo del ejercicio es demostrar que el número natural n = p 4 1 es divisible por 240 , y luego aplicar este resultado. 1 Demostrar que p es congruente con 1 o 1 dulo 3 Deducir que n es divisible por 3 . 2 Observar que p es impar, demuestre que existe un número natural k tal que p 2 1=4 · k · ( k +1) , entonces, que n es di-visible por 16 . 3 Considerando todos los restos posibles de la división eu-clídea de p por 5 , demuestre que 5 divide a n . 4 a Sean a , b y c tres números naturales. Demuestre que si a divide a c y b divide a c , siendo a y b primos entre sí, entonces ab divide a c . b Deduce de lo anterior que 240 divide a n . 5 ¾Existen quince enteros primos p 1 , p 2 ,. . . , p 15 mayores o iguales que 7 tales que el entero: A = p 1 4 + p 2 4 + ··· + p 15 4 sea un entero primo? 12. Teorema de Gauss E.8615 Teorema de Gauss: Sean a , b , n tres enteros relativos distintos de cero tales que n divide a a · b . Si n es primo con a entonces divide a b . Determina el conjunto de pares ( x ; y ) Z 2 soluciones de la ecuación : 12 · x = 13 · y E.4285 Sean a y b dos enteros rela-tivos. 1 Demuestra que si a · b 0 ( mod. 47) entonces a 0 ( mod. 47) o b 0 ( mod. 47) . 2 Deduzca que si a 2 1 ( mod. 47) entonces a 1 ( mod. 47) o a 1 ( mod. 47) . E.3573 Considera el sistema de con-gruencia : ( S ) : n 2 ( mod. 3) n 1 ( mod. 5) donde n denota un número entero relativo. 1 Demuestre que 11 es una solución de ( S ) . 2 Demuestre que si n es una solución de ( S ) entonces n 11 es divisible por 3 . 3 Demuestra que las soluciones de ( S ) son todas enteras de la forma 11+15 · k , donde k denota un entero relativo. E.5299 Consideremos la ecuación ( E ) definida por: ( E ) : 17 x 15 y = 3 donde el conjunto de resolución es el conjunto de pares ( x ; y ) de enteros relativos. Demostrar que, para cualquier par ( x ; y ) solución de ( E ) , x es múltiplo de 3 . E.3791 Sean x y y dos enteros que verifican la igualdad : y · y x = x · 2 x Se supone que el entero x es un entero primo. 1 Demostrar que el entero x divide a y . 2 Planteamos y = k · x con k Z : a Demuestra que x divide 2 , luego, que x =2 . b Deduce los posibles valores de k . E.3718 Indique si la siguiente proposi-ción es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida: Sea N un número natural cuya escritura en base 10 es aba 7 10 Si N es divisible por 7 entonces a + b es divisible 7 . E.3775 Sea ( E ) el conjunto de enteros naturales escritos, en base 10, de la forma abba donde a es un dígito mayor o igual que 2 y b es un dígito cualquiera. Ejemplos de elementos de ( E ) : 2002 ; 3773 ; 9119 . 1 Demuestra que : ˇ n es divisible por 3 es equivalente a a + b es divisible por 3 ı 2 Demuestre que : ˇ n es divisible por 7 es igual a b es divisible por 7 ı E.3716 Proponemos estudiar pares ( a ; b ) de enteros estrictamente positivos, tales que : a 2 = b 3 . Sea ( a ; b ) un par de este tipo. Sea d = pgcd ( a ; b ) y u , v los dos números naturales que verifican : a = d · u ; b = d · v . 1 Demuestra que : u 2 = d · v 3 . 2 Deduce que v divide a u , luego, que v =1 . 3 Sea ( a ; b ) un par de enteros estrictamente positivos. Demuestra que tenemos a 2 = b 3 si, y sólo si, a y b son re-spectivamente el cubo y el cuadrado del mismo número entero. E.5298 Deseamos determinar el con-junto de parejas ( a ; b ) de números naturales distintos de cero soluciones de la ecuación : a 2 3 · a · b + b 2 = 0 Suponemos la existencia de una pareja ( a ; b ) solución de esta ecuación : 1 Justifica la existencia de números naturales a y b pri-mos entre verificando la igualdad : a 2 3 · a · b + b 2 = 0 2 Demuestra que a divide b 2 , luego, que a divide b . 3 Establece que b verifica la relación: 1 3 b + b 2 = 0 . 4 Concluye. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3261 sacados/3261 chapExoCorrec/8615 sacados/8615 chapExoCorrec/4285 sacados/4285 chapExoCorrec/3573 sacados/3573 Extrait de Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/5299 sacados/5299 Extrait du Bac - Etranger Juin 1981 chapExoCorrec/3791 sacados/3791 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/3718 sacados/3718 chapExoCorrec/3775 sacados/3775 chapExoCorrec/3716 sacados/3716 chapExoCorrec/5298 sacados/5298
E.4273 Sea ( x ; y ; z ) un triplete solu-ción de las dos ecuaciones siguientes : z = ( x y ) 2 ; z = x · y 1 Demuestra que si x =0 , entonces la tripleta ( x ; y ; z ) tiene el valor 0 ; 0 ; 0 . 2 Se supone ahora que el entero x es distinto de cero. a Demuestre que los enteros x , y , z verifican : x 2 3 · x · y + y 2 = 0 Deduce que existen entonces números naturales x y y que son primos entre tales que : x 2 3 · x · y + y 2 = 0 b Demuestra que x divide a y 2 , luego, que x divide a y . c Establece que y verifica la relación; 1 3 · y + y 2 =0 d Concluye. 13. Corolario A del teorema de Gauss E.4281 Corolario : (del teorema de Gauss) Sean a , b , c tres enteros relativos distintos de cero tales que a divide a c y b divide a c . Si los enteros a y b son primos entre entonces el producto a · b divide a c . Consideremos el polinomio A = n 3 6 · n 2 n +6 donde n Z . 1 Establecer factorización: A = n 6 n 1 n + 1 2 a Establece que para cualquier entero relativo n , el entero A es divisible por 2 . b Establecer que para cualquier entero relativo n , el en-tero A es divisible por 3 . c Deduce que para cualquier entero relativo n , el entero A es divisible por 6 . E.8616 Consideremos el polinomio A = n 3 3 · n 2 + n 6 donde n Z . 1 Establecer la factorización: A = n 3 n 2 +2 2 Demuestra que el entero A es divisible por 6 para cualquier n Z E.8618 Para cualquier número natural n , defin-imos el entero a por: a = n · 2 n + 1 7 n + 1 1 Justifica que el entero a es par. 2 Justifica que el entero a es divisible por 6 . 14. Corolario B del teorema de Gauss E.8617 Corolario : (del teorema de Gauss) Soit a , b , c tres enteros relativos distintos de cero. Si a y b son primos entre y si a c y son primos entre entonces a es primo con el producto b · c . Esto se puede traducir como: pgcd ( a ; b ) = 1 pgcd ( a ; c ) = 1 = pgcd ( a ; b · c ) = 1 Consideremos el polinomio 6 · n 3 7 · n 2 5 · x +1 donde n Z . 1 Establezca la factorización: A = 6 · n 1 n 2 n 1 2 Establece que para cualquier entero relativo n , el entero A no es divisible por 6 . 15. Corolario C del teorema de Gauss E.3595 Corolario : (del teorema de Gauss ) Sean a , b , c tres enteros relativos distintos de cero tales que p es un entero primo. Si p divide el producto a · b alors p divide a ou p divide b . Sean a y b dos números enteros relativos. 1 Demuestra que : Si a · b 0 ( mod. 47) entonces a 0 ( mod. 47) ou b 0 ( mod. 47) . 2 Deduce que : Si a 2 1 ( mod. 47) entonces a 1 ( mod. 47) ou a 1 ( mod. 47) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4273 sacados/4273 chapExoCorrec/4281 sacados/4281 chapExoCorrec/8616 sacados/8616 chapExoCorrec/8618 sacados/8618 chapExoCorrec/8617 sacados/8617 chapExoCorrec/3595 sacados/3595
E.4324 Consideremos la ecuación : ( F ) : 11 · x 2 7 · y 2 = 5 donde x y y son números enteros relativos. 1 a Demuestra que si el par ( x ; y ) es solución de ( F ) , entonces : x 2 2 · y 2 ( mod. 5) b Sean x y y números enteros relativos. Copie y com-plete las dos tablas siguientes : dulo 5 , x es congruente con 0 1 2 3 4 dulo 5 , x 2 es congruente con dulo 5 , y es congruente con 0 1 2 3 4 dulo 5 , 2 y 2 es congruente con ¾Cuáles son los valores posibles del resto de la división euclidiana de x 2 y 2 · y 2 por 5 ? c Deduzca que si el par ( x ; y ) es solución de ( F ) , en-tonces x y y son múltiplos de 5 . 2 Demuestra que si x y y son múltiplos de 5 , entonces el par ( x ; y ) no es solución de ( F ) . ¾Qué se puede deducir de la ecuación ( F ) ? E.4306 Consideremos la ecuación ( E ) sobre tripletes ( x ; y ; z ) definidos por: x 2 + y 2 = 5 2 · z 2 Consideremos un triplete ( x ; y ; z ) de enteros relativos que verifica la ecuación ( E ) : 1 Verifica que el triplete A 1 ; 3 ; 2 es una solución de ( E ) . 2 Demuestra que z es divisible por 2 y x 2 + y 2 es divisible por 10 . 3 Supongamos y =3 , entonces demuestre la siguiente equiv-alencia: x 2 1 ( mod. 10) 4 Determine un triplete de valores enteros ( x ; y ; z ) solu-ciones de ( E ) donde y es un número entero impar. E.6019 Sean a y b dos números natu-rales cuya suma y producto tienen como PGCD el cuadrado de un entero primo p . 1 Demuestra que p 2 divide a a 2 . (puede observarse que a 2 = a · ( a + b ) a · b ) . Deduce que p divide a a . Demuestra que p divide a b . 2 Demuestre que el PGCD de a y b es p o p 2 . E.5286 Sean a y b números naturales distintos de cero tales que : pgcd ( a + b ; ab ) = p donde p es un entero primo. 1 Demuestra que p divide a 2 . (Observa que: a 2 = a ( a + b ) ab ) 2 Deduce que p divide a a . Así, de forma similar, encontramos que p divide a b . 3 Demuestra que : pgcd ( a ; b ) = p . 16. Teoremas de Bezout y Gauss E.5304 1 Determinar el conjunto U de enteros relativos n tales que n +2 divide a 2 n 1 . 2 Demostrar que para cualquier entero relativo, los enteros n +2 y 2 n 2 +3 n 1 son primos entre sí. 3 Determina el conjunto V de enteros n = 2 tales que (2 n 1)(2 n 2 +3 n 1) ( n 2 2)( n +2) es un entero relativo. E.4058 Sea p un número natural mayor o igual que 2 y a un número natural distinto de cero tal que a y p son primos entre : 1 Utilizando el razonamiento de recurrencia, demuestre que para cualquier entero distinto de cero n , los enteros a n y p son primos entre sí. 2 Establecer la existencia de un entero natural distinto de cero n tal que : a n 1 ( mod. p ) 17. Ecuación diofantina E.6098 1 Demostrar que el par ( 2 ; 17) es solución de la ecuación : 12 x +31 y =503 2 En deducimos que : Si un par de enteros relativos ( x ; y ) es solución de la ecuación 12 x +31 y =503 entonces el par veri-fica la relación 12 · x +2 =31 · 17 y 3 Determina el conjunto de todos los pares de enteros rel-ativos ( x ; y ) soluciones de la ecuación : 12 x +31 y =503 E.6929 Consideremos la ecuación : 51 · x 26 · y =1 donde x y y son dos números enteros relativos. 1 Justifique, enunciando un teorema del curso, que esta ecuación admite al menos un par de soluciones. 2 a un par de soluciones x 0 ; y 0 de esta ecuación. b Determine el conjunto de pares de soluciones de esta ecuación. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4324 sacados/4324 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/4306 sacados/4306 chapExoCorrec/6019 sacados/6019 chapExoCorrec/5286 sacados/5286 Extrait Antilles-Guyanne Septembre 2001 chapExoCorrec/5304 sacados/5304 Bac C - Reims Juin 1982 4 points chapExoCorrec/4058 sacados/4058 chapExoCorrec/6098 sacados/6098 chapExoCorrec/6929 sacados/6929 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2015
E.3752 Consideremos la ecuación ( E ) definida por: ( E ) : 7 · x + 25 · y = 1 1 Determina un par trivial ( x ; y ) de enteros solución de la ecuación ( E ) . 2 Deduce el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación ( E ) . E.3790 Consideremos la ecuación ( E ): 7 x 6 y =1 donde x y y son números naturales. 1 Dar una solución particular de la ecuación ( E ) . 2 Determinar el conjunto de pares de números naturales que son soluciones de la ecuación ( E ) . E.4276 Consideremos la ecuación ( E ): 7 · x 6 · y =1 donde x y y son números naturales. 1 Dar una solución particular de la ecuación ( E ) . 2 Determinar el conjunto de pares de números naturales que son soluciones de la ecuación ( E ) . E.8619 Consideremos la ecuación ( E ) definida por ( E ) : 135 · x + 18 · y = 9 . 1 Determina un par trivial ( x ; y ) de enteros solución de la ecuación ( E ) . 2 Deduce el conjunto de soluciones enteras de la ecuación ( E ) . E.4308 Determinar el conjunto de parejas ( x ; y ) , donde x y y son dos enteros relativos, solu-ciones de la ecuación : ( E ) : 2 · x + 11 · y = 7 E.6931 Consideremos la siguiente ecuación con las incógnitas x y y enteros relativos : ( E ): 7 x 3 y =1 A continuación se presenta un algoritmo incompleto. Su fi- nalidad es, cuando se ejecuta paso a paso, para recuperar los valores que toman las variables a y b que forman los pares solución de la ecuación ( E ) donde ( a ; b) es un par de en-teros solución tal que : 5 a 10 ; 5 b 10 . Para X que varían de 5 a 10 (1) ... (2) ... Entonces ( a ; b) ( X ; Y) Fin Si Fin Pour Fin Pour E.3476 Las preguntas 1 y 2 son inde-pendientes. Sea n un número natural distinto de cero. 1 Consideremos la ecuación ( E ) : 3 x + 7 y = 10 2 n x y y son números enteros relativos. a Determinar un par ( u ; v ) de números enteros relativos tales que : 3 u + 7 v = 1 . Deduzca una solución particular ( u 0 ; v 0 ) de la ecuación ( E ) . b Determinar el conjunto de pares de números enteros relativos ( x ; y ) soluciones de ( E ) . 2 Consideremos la ecuación ( G ) : 3 x 2 + 7 y 2 = 10 2 n donde x y y son números enteros relativos. a Demuestre que : 100 2 ( mod. 7) . Demostrar que si ( x ; y ) es solución de ( G ) entonces : 3 x 2 2 n ( mod. 7) b Reproduce y completa la siguiente tabla : Resto de division euclidienne de x par 7 0 1 2 3 4 5 6 Reste del division euclidienne 3 x 2 par 7 c Muestra que 2 n es congruente con 1 , 2 ou 4 modulo 7 . Deduce que la ecuación ( G ) n no tiene solución. 18. Cursos E.3384 Sean a , b y c tres números naturales. Demuestra que si a divide a c y b divide a c , siendo a y b primos entre sí, entonces a · b divide a c . E.6248 El objetivo de esta parte es demostrar que el conjunto de los números enteros primos es infinito razonando por el absurdo. 1 Se supone que existe un número finito de enteros primos denotados p 1 , p 2 , . . . , p n . Considere el entero E producto de todos los enteros pri-mos incrementado en 1 : E = p 1 × p 2 × · · · × p n + 1 Demuestra que E es un entero mayor o igual que 2 , y que E es primo con cada uno de los enteros p 1 , p 2 , . . . , p n . 2 Utilizando el hecho de que E admite un divisor primo, concluir. E.6923 Denotamos por a , b y c tres números naturales distintos de cero tales que : pgcd ( b ; c )=1 Demuestra, utilizando el teorema de Gauss, que : ˇSi b divide a y c divide a entonces el producto b · c divide a ı 19. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/3752 sacados/3752 chapExoCorrec/3790 sacados/3790 chapExoCorrec/4276 sacados/4276 chapExoCorrec/8619 sacados/8619 chapExoCorrec/4308 sacados/4308 chapExoCorrec/6931 sacados/6931 Extrait Antilles-Guyane Juin 2016 chapExoCorrec/3476 sacados/3476 chapExoCorrec/3384 sacados/3384 chapExoCorrec/6248 sacados/6248 Extrait d'Asie Juin 2014 chapExoCorrec/6923 sacados/6923
E.6930 Para cada una de las cinco propuestas siguientes, indique si es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida. Se otorga un punto por cada respuesta correcta debidamente justificada. Las respuestas sin justificación no se tienen en cuenta. No se penalizará la falta de respuesta. Propuesta 1 Para cualquier número natural n , la cifra de las unidades de n 2 + n nunca es igual a 4 . Consideremos la sucesión u definida, para n 1 , por: u n = 1 n · pgcd (20 ; n ) Propuesta 2 : la sucesión u n es convergente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6930 sacados/6930