- Propiedades de los números primos (5 ejercicios)
- Factorización y números primos (5 ejercicios)
- Números primos y congruencia (3 ejercicios)
- PGCD y descomposición en productos de factores primos (5 ejercicios)
- Propiedad característica del PGCD (3 ejercicios)
- PGCD y divisores (4 ejercicios)
- Reducción del PGCD (7 ejercicios)
- Propiedad de homogeneidad del PGCD (2 ejercicios)
- PGCD y conjunto de divisores comunes (1 ejercicio)
- Identidad y teorema de Bézout (8 ejercicios)
- Aplicación del teorema de Bezout (5 ejercicios)
- Teorema de Gauss (10 ejercicios)
- Corolario A del teorema de Gauss (3 ejercicios)
- Corolario B del teorema de Gauss (1 ejercicio)
- Corolario C del teorema de Gauss (5 ejercicios)
- Teoremas de Bezout y Gauss (2 ejercicios)
- Ecuación diofantina (9 ejercicios)
- Cursos (3 ejercicios)
E.3624
En
este
ejercicio
nos
pro-ponemos
estudiar
el
siguiente
problema
:
ˇ
¾Pueden
ser
primos
los
números
enteros
cuya
representación
decimal
utiliza
únicamente
el
dígito
1?
ı
Para
cualquier
número
natural
p
2
,
se
establece
N
p
=1
:::
1
donde
1
aparece
p
veces.
Por
lo
tanto,
recordamos
que
:
N
p
=
10
p
−
1
+
10
p
−
2
+
·
·
·
+
10
0
.
1
Los
enteros
N
2
=11
,
N
3
=111
,
N
4
=1111
sont-ils
premiers?
2
Demostrar
que
N
p
=
10
p
−
1
9
.
¾Se
puede
estar
seguro
de
que
10
p
−
1
es
divisible
por
9
?
3
Nos
proponemos
demostrar
que
si
p
no
es
primo,
entonces
N
p
n
no
es
primo.
Recordemos
que
para
cualquier
número
real
x
y
cualquier
número
natural
n
nonzero,
x
n
−
1
=
x
−
1
x
n
−
1
+
x
n
−
2
+
·
·
·
+
x
+
1
a
Supongamos
que
p
es
par
y
planteamos
p
=2
q
,
donde
q
est
es
un
número
natural
mayor
que
1
.
Demuestra
que
N
p
es
divisible
por
N
2
=11
.
b
Supongamos
que
p
es
múltiplo
de
3
y
planteamos
p
=3
q
,
donde
q
est
es
un
número
natural
mayor
que
1
.
Demuestre
que
N
p
es
divisible
por
N
3
=111
.
c
Supongamos
que
p
no
es
primo
y
establezcamos
p
=
k
·
q
donde
k
y
q
son
números
naturales
mayores
que
1
.
Deduzca
que
N
p
es
divisible
por
N
k
.
4
Enuncia
una
condición
necesaria
para
que
N
p
sea
primo.
¾Es
suficiente
esta
condición?
4.
PGCD
y
descomposición
en
productos
de
factores
primos
E.8610
1
Determinar
la
descomposición
en
producto
de
factores
primos
de
los
números
1764
y
198
.
2
Deduce
la
PGCD
de
los
números
1764
y
198
.
E.282
Definición
:
dos
números
enteros
se
dice
que
son
primos
entre
sí
,
si
el
número
entero
1
es
el
único
divisor
común
de
estos
dos
números.
Proposición:
dos
números
enteros
son
primos
entre
sí
si,
y
sólo
si,
su
PGCD
tiene
valor
1
.
1
Determina
el
PGCD
de
diferentes
pares
de
enteros
:
a
(15
;
21)
b
(18
;
28)
c
(15
;
22)
2
Determina
si
los
dos
enteros
56
y
45
son
primos
entre
sí
E.3721
En
cada
caso,
utilizando
la
de-
scomposición
en
productos
de
factores
primos,
determina
el
PGCD
del
par
(
a
;
b
)
de
enteros
:
1
a
=
35
×
21
;
b
=
36
×
25
2
a
=
6
2
×
12
;
b
=
21
4
×
15
2
3
a
=
35
280
201
;
b
=
6
804
131
E.256
1
Dar
la
descomposición
en
producto
de
factores
primos
de
los
dos
enteros
siguientes
:
a
36
×
26
b
12
×
21
2
Deduce
el
PGCD
de
936
y
252.
3
Reduce
la
fracción
:
936
4
252
5
E.3723
Sea
n
un
número
natural
menor
que
120
.
Determinar
el
conjunto
de
valores
de
n
tales
que
:
pgcd
(
n
;
120)
=
6
5.
Propiedad
característica
del
PGCD
E.3724
Determinar
el
conjunto
de
pares
(
m
;
n
)
de
números
naturales
tales
que
:
pgcd
(
m
;
n
)
=6
;
m
+
n
=72
E.6022
Determinar
el
conjunto
de
parejas
(
m
;
n
)
de
números
naturales
que
verifican
el
sistema
:
S
:
m
2
−
n
2
=
5440
pgcd
(
m
;
n
)
=
8
E.5344
En
el
sistema
de
ecuaciones
sigu-iente,
los
enteros
x
y
y
que
aparecen
a
continuación
represen-tan
números
naturales
donde
x<y
:
x
·
y
=
135
pgcd
(
x
;
y
)
=
3
Resuelve
este
sistema
de
ecuaciones.
6.
PGCD
y
divisores
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3624
sacados/3624
chapExoCorrec/8610
sacados/8610
chapExoCorrec/282
sacados/282
chapExoCorrec/3721
sacados/3721
chapExoCorrec/256
sacados/256
chapExoCorrec/3723
sacados/3723
chapExoCorrec/3724
sacados/3724
chapExoCorrec/6022
sacados/6022
Lyon
Juin 1977
3 points
chapExoCorrec/5344
sacados/5344
E.3715
Denotamos
por
p
un
número
natural.
Consideremos
para
cualquier
número
natural
dis-tinto
de
cero
n
el
entero:
A
n
=2
n
+
p
.
Sea
d
n
el
PGCD
de
A
n
y
A
n
+1
.
1
Demuestra
que
d
n
divide
2
n
.
2
Determina
la
paridad
de
A
n
en
función
de
la
de
p
.
Jus-tifica.
E.6021
Sea
n
un
número
entero
rela-tivo.
1
Sea
d
el
PGCD
de
los
enteros
9
n
+4
y
2
n
−
1
.
Justifique
que
d
divide
a
17
.
2
Establece
la
siguiente
equivalencia:
n
≡
9
(
mod.
17)
⇐⇒
pgcd
(9
n
+4
;
2
n
−
1)=17
E.6076
Para
cualquier
número
natural
n
,
consideremos
los
dos
enteros
¸
y
˛
definidos
por:
¸
=2
n
+1
;
˛
=
n
+3
Sea
d
el
PGCD
de
los
enteros
¸
y
˛
:
d
=
pgcd
(
¸
;
˛
)
1
a
Justifique
que
el
entero
d
es
divisor
de
5
.
b
¾Cuáles
pueden
ser
los
posibles
valores
de
d
?
2
Establece
la
siguiente
equivalencia:
¸
y
˛
son
múltiplos
de
5
⇐⇒
n
−
2
es
múltiplo
de
5
.
E.4272
Para
cualquier
número
natural
n
mayor
o
igual
que
2
,
planteamos
:
A
(
n
)
=
n
4
+
1
1
Estudia
la
paridad
del
entero
A
(
n
)
.
2
Demuestra
que,
cualquiera
que
sea
el
número
entero
n
,
A
(
n
)
no
es
múltiplo
de
3
.
3
Demuestra
que
cualquier
entero
d
divisor
de
A
(
n
)
es
primo
con
n
.
4
Demuestre
que,
para
cualquier
entero
d
divisor
de
A
(
n
)
:
n
8
≡
1
(
mod.
d
)
7.
Reducción
del
PGCD
E.3722
Proposición:
(lema
para
el
algoritmo
de
Euclides)
sean
a
y
b
dos
enteros
relativos
distintos
de
cero
y
para
cualquier
entero
relativo
k
tal
que
a
+
k
·
b
sea
distinto
de
cero,
ten-emos
:
pgcd
(
a
;
b
)
=
pgcd
(
a
+
k
·
b
;
b
)
1
Determina
el
PGCD
de
dos
números
naturales
pares
con-secutivos.
2
Determina
el
PGCD
de
dos
números
naturales
impares
consecutivos.
E.3720
Para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero,
se
consideran
los
números
enteros
:
a
n
=
4
×
10
n
−
1
;
b
n
=
2
×
10
n
−
1
;
c
n
=
2
×
10
n
+1
1
Calcular
a
1
,
b
1
,
c
1
,
a
2
,
b
2
,
c
2
,
a
3
,
b
3
y
c
3
.
2
¾Cuántos
dígitos
tienen
las
representaciones
decimales
de
los
números
enteros
a
n
y
c
n
?
Demuestre
que
a
n
y
c
n
son
divisibles
por
3
.
3
Demuestre,
utilizando
la
lista
de
números
primos
menores
que
100
que
se
proporciona
a
continuación,
que
b
3
es
primo.
4
Demostrar
que,
para
cualquier
número
natural
distinto
de
cero
n
:
b
n
×
c
n
=
a
2
n
.
Deduzca
una
descomposición
en
producto
de
factores
pri-mos
de
a
6
.
5
Demuestre
que
:
pgcd
(
b
n
;
c
n
)=
pgcd
(
c
n
;
2)
.
Deducir
que
b
n
y
c
n
son
primos
entre
sí.
Lista
de
números
enteros
primos
menores
que
100
:
2
;
3
;
5
;
7
;
11
;
13
;
17
;
19
;
23
29
;
31
;
37
;
41
;
43
;
47
;
53
;
59
61
;
67
;
71
;
73
;
79
;
83
;
89
;
97
E.5300
Consideremos
dos
números
naturales
x
y
y
.
Demuestre
que
si
x
y
y
son
primos
entre
sí,
entonces
también
lo
son
los
números
naturales
2
x
+
y
y
5
x
+2
y
.
E.5729
Considera
los
dos
enteros
:
A
=10
n
+7
y
B
=2
n
+1
.
1
Determina
los
enteros
reales
a
y
b
verifica
la
igualdad
:
10
n
+
7
2
n
+
1
=
a
+
b
2
n
+
1
2
Justifica
que
los
enteros
A
y
B
son
primos
entre
sí.
E.6025
1
a
Suponiendo
que
a
=9
p
+4
q
y
b
=2
p
+
q
,
demuestre
que
los
enteros
a
y
b
por
un
lado;
p
y
q
por
otro
tienen
el
mismo
PGCD.
b
Demuestre
que
los
enteros
9
p
+4
y
2
p
+1
son
primos
entre
sí.
2
Determina
el
PGCD
de
los
enteros
relativos
9
p
+4
y
2
p
−
1
según
los
valores
de
p
.
E.5305
Sea
k
un
elemento
de
Z
.
1
Demuestra
que
los
enteros
2
k
+1
y
9
k
+4
son
primos
entre
sí.
2
a
Demostrar
que
el
PGCD
de
los
enteros
2
k
−
1
y
9
k
+4
es
necesariamente
1
o
17
.
b
Establece
la
siguiente
afirmación
:
pgcd
(2
k
−
1
;
9
k
+4)
=
17
⇐⇒
k
≡
9
(
mod.
17)
E.8823
Consideremos
la
sucesión
F
n
de
Fibonacci
definida
por:
F
0
=0
;
F
1
=1
;
F
n
+2
=
F
n
+1
+
F
n
para
todo
n
=2
Demuestre
que
para
todo
número
natural
n
mayor
o
igual
que
2
,
los
números
enteros
F
n
+1
y
F
n
son
primos
entre
sí.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3715
sacados/3715
Extrait de Metropole
Septembre 2009
chapExoCorrec/6021
sacados/6021
chapExoCorrec/6076
sacados/6076
chapExoCorrec/4272
sacados/4272
Extrait de Extrait d'Amerique du Sud
Novembre 2010
chapExoCorrec/3722
sacados/3722
chapExoCorrec/3720
sacados/3720
France
Juin 1999
chapExoCorrec/5300
sacados/5300
Extrait Bac C
Juin 1981
chapExoCorrec/5729
sacados/5729
chapExoCorrec/6025
sacados/6025
Poitier
Juin 1982
chapExoCorrec/5305
sacados/5305
Bac C - Lyon
Septembre 1979
chapExoCorrec/8823
sacados/8823
A finaliser la correction
8.
Propiedad
de
homogeneidad
del
PGCD
E.5297
Proposición:
(propiedad
de
homogeneidad)
Para
cualquier
número
relativo
a
,
b
,
k
distinto
de
cero,
ten-emos
:
pgcd
(
k
·
a
;
k
·
b
)
=
k
·
pgcd
(
a
;
b
)
Sean
a
y
b
números
naturales
distintos
de
cero
tales
que
:
pgcd
(
a
;
b
)
=
d
;
pgcd
(
a
+
b
;
ab
)
=
d
Demuestra
que
d
es
divisor
de
d
.
E.6023
Sean
a
y
b
dos
números
natu-rales
con
a>b
.
Demostrar
equivalencia:
a
b
es
irreducible
⇐⇒
a
−
b
a
·
b
es
irreducible.
9.
PGCD
y
conjunto
de
divisores
comunes
E.12
Proposición:
sean
a
y
b
dos
números
relativos
distintos
de
cero.
El
conjunto
de
divisores
comunes
a
a
y
b
es
el
conjunto
de
divisores
de
su
PGCD.
1
Realiza
la
descomposición
en
factores
primos
de
los
sigu-ientes
números
:
27
×
90
;
20
×
21
2
Determina
el
PGCD
de
los
enteros
2430
y
420.
3
Dar
el
conjunto
de
divisores
comunes
a
estos
dos
enteros.
10.
Identidad
y
teorema
de
Bézout
E.4284
Propuesta:
(Identidad
de
Bézout)
Sean
a
y
b
dos
números
enteros
relativos.
Si
d
es
el
MCD
de
a
y
b
,
entonces
existen
dos
números
enteros
relativos
u
y
v
tales
que
:
u
·
a
+
v
·
b
=
d
Teorema
de
Bézout:
Dos
números
enteros
relativos
a
y
b
son
primos
entre
sí
si,
y
solo
si,
existen
dos
números
enteros
relativos
tales
que
:
u
·
a
+
v
·
b
=
1
Utilizando
el
teorema
de
Bézout,
demuestre
que
los
pares
sigu-ientes
definen
un
par
de
números
enteros
primos
entre
sí
:
a
(10
;
3)
b
(15
;
11)
c
(5
;
17)
E.6926
Consideremos
la
ecuación
diofántica
x
2
−
8
·
y
2
=1
donde
x
y
y
denotan
dos
números
en-teros
relativos.
1
Dar
dos
pares
de
números
naturales
menores
que
10
que
sean
soluciones
de
(
E
)
.
2
Demostrar
que,
si
un
par
de
enteros
distintos
de
cero
(
x
;
y
)
es
solución
de
(
E
)
,
entonces
los
enteros
x
y
y
son
primos
entre
sí.
E.3776
Indique
si
la
siguiente
proposición
es
verdadera
o
falsa
y
justifique
la
respuesta
elegida:
.
Para
cualquier
número
natural
distinto
de
cero
n
,
n
y
2
n
+1
son
primos
entre
sí.
E.5303
Sea
n
un
número
entero
relativo.
Definimos
el
valor
de
los
enteros
a
y
b
en
función
del
de
n
mediante
:
a
=3
n
−
1
;
b
=
−
2
n
+1
Demuestra
que
los
enteros
a
y
b
son
primos
entre
sí
cualquiera
que
sea
el
valor
del
número
natural
n
.
E.3750
Sea
n
un
número
entero
relativo.
Definimos
el
valor
de
los
enteros
a
y
b
en
función
del
de
n
mediante
:
a
=6
n
+1
;
b
=
9
n
+
1
Demuestre
que
los
números
enteros
a
y
b
son
primos
entre
sí
cualquiera
que
sea
el
valor
del
número
natural
n
.
E.5308
Establece
que,
sea
cual
sea
el
valor
de
n
,
los
dos
enteros
n
+3
y
−
2
n
2
−
n
+14
son
primos
entre
sí.
E.4291
Diga
si
la
siguiente
proposi-ción
es
verdadera
o
falsa
:
ˇ
Si
hay
dos
enteros
relativos
u
y
v
tales
que
a
·
u
+
b
·
v
=2
en-tonces
el
PGCD
de
a
y
b
es
igual
a
2
.
ı
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5297
sacados/5297
chapExoCorrec/6023
sacados/6023
Extrait de Maroc
Juin 1967
chapExoCorrec/12
sacados/12
chapExoCorrec/4284
sacados/4284
chapExoCorrec/6926
sacados/6926
Extrait d'Asie
Juin 2015
chapExoCorrec/3776
sacados/3776
chapExoCorrec/5303
sacados/5303
chapExoCorrec/3750
sacados/3750
chapExoCorrec/5308
sacados/5308
chapExoCorrec/4291
sacados/4291
Extrait de Liban
Juin 2007
ABCxyx
E.9480
Consideremos
el
triángulo
rec-tángulo
ABC
en
B
,
representado
a
continuación,
tal
que
BC
=
AB
+2
y
sus
medidas
sean
enteras
:
Modelamos
la
situación
anotando
AB
=
x
y
AC
=
y
.
1
a
Expresar
y
2
en
función
de
x
en
forma
de
expresión
desarrollada
y
reducida.
b
Deduzca
que
el
entero
y
es
par.
2
a
Justificar
que
2
·
x
2
+4
·
x
+4
es
un
múltiplo
de
4
.
b
Deducir
que
el
número
entero
x
es
par.
3
Completar
el
algoritmo
siguiente
que
nos
da
los
valores
de
x
y
y
(con
y<
1000
)
realizando
las
dimensiones
de
este
triángulo:
import
math
for
x
in
range(...):
y=math.sqrt(...)
if
math.floor(...)==...:
print(x,y)
11.
Aplicación
del
teorema
de
Bezout
E.6927
A
cada
letra
del
alfabeto
se
le
asigna
un
número
entero
comprendido
entre
0
y
25
,
tal
y
como
se
muestra
en
la
tabla
siguiente
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Se
define
un
proceso
de
codificación
de
la
siguiente
manera
:
Paso
1:
a
la
letra
que
se
desea
codificar
se
le
asigna
el
número
entero
x
correspondiente
en
la
tabla
anterior.
Paso
2:
se
calcula
el
número
entero
x
definido
por
las
relaciones
:
x
≡
9
·
x
+
2
(
mod.
26)
;
0
x
25
Paso
3:
al
número
entero
x
,
se
le
asigna
la
letra
corre-spondiente
de
la
tabla.
1
Demuestre
que
la
letra
V
está
codificada
por
la
letra
J
.
2
Cite
el
teorema
que
permite
afirmar
la
existencia
de
dos
números
enteros
relativos
u
y
v
tales
que
9
·
u
+26
·
v
=1
.
Dar
sin
justificar
un
par
(
u
;
v
)
que
sea
adecuado.
3
Demostrar
que
:
x
≡
9
·
x
+2
(
mod.
26)
equivale
a
x
≡
3
·
x
+20
(
mod.
26)
.
4
Descifrar
la
letra
R
.
E.3772
Para
cualquier
número
natu-ral
n
mayor
o
igual
que
2
,
planteamos
:
A
(
n
)
=
n
4
+
1
1
Estudia
la
paridad
del
entero
A
(11)
.
2
Demuestra
que,
cualquiera
que
sea
el
número
entero
n
,
A
(
n
)
no
es
múltiplo
de
3
.
3
Demuestra
que
cualquier
entero
d
divisor
de
A
(
n
)
es
primo
con
n
.
4
Demuestre
que,
para
cualquier
entero
d
divisor
de
A
(
n
)
:
n
8
≡
1
(
mod.
d
)
E.6024
Sea
n
un
número
natural,
sea
:
a
=
2
n
+
8
;
b
=
3
n
+
15
Sea
d
el
PGCD
de
a
y
b
.
1
Demostrar
que,
para
cualquier
n
∈
N
,
d
divide
a
6
.
2
Consideremos
el
conjunto
S
de
números
naturales
n
para
el
cual
d
=6
.
Es
decir,
el
conjunto
S
queda
definido
por:
S
=
n
∈
N
⏐
⏐
⏐
pgcd
(2
n
+8
;
3
n
+15)=6
a
Demuestre
que
si
n
∈S
entonces
existe
un
número
en-tero
k
tal
que
:
n
=
−
4+3
·
k
.
b
Deduce
el
conjunto
S
.
E.5828
Planteamos
:
u
=2+
3
et
v
=2
−
3
.
1
Démontrer
por
recurrencia
que,
n
denotando
un
entero
positivo,
podemos
escribir
:
u
n
=
a
n
+
b
n
·
3
;
v
n
=
a
n
−
b
n
·
3
donde
a
n
y
b
n
son
enteros
positivos.
Expresa
a
n
+1
y
b
n
+1
en
términos
de
a
n
y
b
n
.
2
Établir
las
igualdades
:
a
n
2
−
3
·
b
n
2
=
1
;
a
n
·
b
n
+1
−
a
n
+1
·
b
n
=
1
Deduce
que
las
fracciones
a
n
b
n
,
a
n
+1
a
n
,
b
n
+1
b
n
son
irre-ducibles.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9480
sacados/9480
DE moi mais adapter l'exercice pour qu'il puisse montrer que seul 2 peut etre le pgcd de x et de y
ABCxyx
chapExoCorrec/6927
sacados/6927
Extrait d'Antilles-Guyanne
Juin 2015
chapExoCorrec/3772
sacados/3772
chapExoCorrec/6024
sacados/6024
Montpellier
Juin 1980
3 points
chapExoCorrec/5828
sacados/5828
Bac
Madagascar
Septembre 1969
E.3261
Denotamos
por
p
un
número
entero
primo
mayor
o
igual
que
7.
El
objetivo
del
ejercicio
es
demostrar
que
el
número
natural
n
=
p
4
−
1
es
divisible
por
240
,
y
luego
aplicar
este
resultado.
1
Demostrar
que
p
es
congruente
con
−
1
o
1
módulo
3
Deducir
que
n
es
divisible
por
3
.
2
Observar
que
p
es
impar,
demuestre
que
existe
un
número
natural
k
tal
que
p
2
−
1=4
·
k
·
(
k
+1)
,
entonces,
que
n
es
di-visible
por
16
.
3
Considerando
todos
los
restos
posibles
de
la
división
eu-clídea
de
p
por
5
,
demuestre
que
5
divide
a
n
.
4
a
Sean
a
,
b
y
c
tres
números
naturales.
Demuestre
que
si
a
divide
a
c
y
b
divide
a
c
,
siendo
a
y
b
primos
entre
sí,
entonces
ab
divide
a
c
.
b
Deduce
de
lo
anterior
que
240
divide
a
n
.
5
¾Existen
quince
enteros
primos
p
1
,
p
2
,.
.
.
,
p
15
mayores
o
iguales
que
7
tales
que
el
entero:
A
=
p
1
4
+
p
2
4
+
···
+
p
15
4
sea
un
entero
primo?
12.
Teorema
de
Gauss
E.8615
Teorema
de
Gauss:
Sean
a
,
b
,
n
tres
enteros
relativos
distintos
de
cero
tales
que
n
divide
a
a
·
b
.
Si
n
es
primo
con
a
entonces
divide
a
b
.
Determina
el
conjunto
de
pares
(
x
;
y
)
∈
Z
2
soluciones
de
la
ecuación
:
12
·
x
=
13
·
y
E.4285
Sean
a
y
b
dos
enteros
rela-tivos.
1
Demuestra
que
si
a
·
b
≡
0
(
mod.
47)
entonces
a
≡
0
(
mod.
47)
o
b
≡
0
(
mod.
47)
.
2
Deduzca
que
si
a
2
≡
1
(
mod.
47)
entonces
a
≡
1
(
mod.
47)
o
a
≡
−
1
(
mod.
47)
.
E.3573
Considera
el
sistema
de
con-gruencia
:
(
S
)
:
n
≡
2
(
mod.
3)
n
≡
1
(
mod.
5)
donde
n
denota
un
número
entero
relativo.
1
Demuestre
que
11
es
una
solución
de
(
S
)
.
2
Demuestre
que
si
n
es
una
solución
de
(
S
)
entonces
n
−
11
es
divisible
por
3
.
3
Demuestra
que
las
soluciones
de
(
S
)
son
todas
enteras
de
la
forma
11+15
·
k
,
donde
k
denota
un
entero
relativo.
E.5299
Consideremos
la
ecuación
(
E
)
definida
por:
(
E
)
:
17
x
−
15
y
=
3
donde
el
conjunto
de
resolución
es
el
conjunto
de
pares
(
x
;
y
)
de
enteros
relativos.
Demostrar
que,
para
cualquier
par
(
x
;
y
)
solución
de
(
E
)
,
x
es
múltiplo
de
3
.
E.3791
Sean
x
y
y
dos
enteros
que
verifican
la
igualdad
:
y
·
y
−
x
=
x
·
2
−
x
Se
supone
que
el
entero
x
es
un
entero
primo.
1
Demostrar
que
el
entero
x
divide
a
y
.
2
Planteamos
y
=
k
·
x
con
k
∈
Z
:
a
Demuestra
que
x
divide
2
,
luego,
que
x
=2
.
b
Deduce
los
posibles
valores
de
k
.
E.3718
Indique
si
la
siguiente
proposi-ción
es
verdadera
o
falsa
y
justifique
la
respuesta
elegida:
Sea
N
un
número
natural
cuya
escritura
en
base
10
es
aba
7
10
Si
N
es
divisible
por
7
entonces
a
+
b
es
divisible
7
.
E.3775
Sea
(
E
)
el
conjunto
de
enteros
naturales
escritos,
en
base
10,
de
la
forma
abba
donde
a
es
un
dígito
mayor
o
igual
que
2
y
b
es
un
dígito
cualquiera.
Ejemplos
de
elementos
de
(
E
)
:
2002
;
3773
;
9119
.
1
Demuestra
que
:
ˇ
n
es
divisible
por
3
es
equivalente
a
a
+
b
es
divisible
por
3
ı
2
Demuestre
que
:
ˇ
n
es
divisible
por
7
es
igual
a
b
es
divisible
por
7
ı
E.3716
Proponemos
estudiar
pares
(
a
;
b
)
de
enteros
estrictamente
positivos,
tales
que
:
a
2
=
b
3
.
Sea
(
a
;
b
)
un
par
de
este
tipo.
Sea
d
=
pgcd
(
a
;
b
)
y
u
,
v
los
dos
números
naturales
que
verifican
:
a
=
d
·
u
;
b
=
d
·
v
.
1
Demuestra
que
:
u
2
=
d
·
v
3
.
2
Deduce
que
v
divide
a
u
,
luego,
que
v
=1
.
3
Sea
(
a
;
b
)
un
par
de
enteros
estrictamente
positivos.
Demuestra
que
tenemos
a
2
=
b
3
si,
y
sólo
si,
a
y
b
son
re-spectivamente
el
cubo
y
el
cuadrado
del
mismo
número
entero.
E.5298
Deseamos
determinar
el
con-junto
de
parejas
(
a
;
b
)
de
números
naturales
distintos
de
cero
soluciones
de
la
ecuación
:
a
2
−
3
·
a
·
b
+
b
2
=
0
Suponemos
la
existencia
de
una
pareja
(
a
;
b
)
solución
de
esta
ecuación
:
1
Justifica
la
existencia
de
números
naturales
a
y
b
pri-mos
entre
sí
verificando
la
igualdad
:
a
2
−
3
·
a
·
b
+
b
2
=
0
2
Demuestra
que
a
divide
b
2
,
luego,
que
a
divide
b
.
3
Establece
que
b
verifica
la
relación:
1
−
3
b
+
b
2
=
0
.
4
Concluye.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3261
sacados/3261
chapExoCorrec/8615
sacados/8615
chapExoCorrec/4285
sacados/4285
chapExoCorrec/3573
sacados/3573
Extrait de Antilles-Guyane
Septembre 2008
chapExoCorrec/5299
sacados/5299
Extrait du Bac - Etranger
Juin 1981
chapExoCorrec/3791
sacados/3791
Extrait d'Antilles-Guyane
Septembre 2009
chapExoCorrec/3718
sacados/3718
chapExoCorrec/3775
sacados/3775
chapExoCorrec/3716
sacados/3716
chapExoCorrec/5298
sacados/5298
E.4273
Sea
(
x
;
y
;
z
)
un
triplete
solu-ción
de
las
dos
ecuaciones
siguientes
:
z
=
(
x
−
y
)
2
;
z
=
x
·
y
1
Demuestra
que
si
x
=0
,
entonces
la
tripleta
(
x
;
y
;
z
)
tiene
el
valor
0
;
0
;
0
.
2
Se
supone
ahora
que
el
entero
x
es
distinto
de
cero.
a
Demuestre
que
los
enteros
x
,
y
,
z
verifican
:
x
2
−
3
·
x
·
y
+
y
2
=
0
Deduce
que
existen
entonces
números
naturales
x
y
y
que
son
primos
entre
sí
tales
que
:
x
2
−
3
·
x
·
y
+
y
2
=
0
b
Demuestra
que
x
divide
a
y
2
,
luego,
que
x
divide
a
y
.
c
Establece
que
y
verifica
la
relación;
1
−
3
·
y
+
y
2
=0
d
Concluye.
13.
Corolario
A
del
teorema
de
Gauss
E.4281
Corolario
:
(del
teorema
de
Gauss)
Sean
a
,
b
,
c
tres
enteros
relativos
distintos
de
cero
tales
que
a
divide
a
c
y
b
divide
a
c
.
Si
los
enteros
a
y
b
son
primos
entre
sí
entonces
el
producto
a
·
b
divide
a
c
.
Consideremos
el
polinomio
A
=
n
3
−
6
·
n
2
−
n
+6
donde
n
∈
Z
.
1
Establecer
factorización:
A
=
n
−
6
n
−
1
n
+
1
2
a
Establece
que
para
cualquier
entero
relativo
n
,
el
entero
A
es
divisible
por
2
.
b
Establecer
que
para
cualquier
entero
relativo
n
,
el
en-tero
A
es
divisible
por
3
.
c
Deduce
que
para
cualquier
entero
relativo
n
,
el
entero
A
es
divisible
por
6
.
E.8616
Consideremos
el
polinomio
A
=
n
3
−
3
·
n
2
+
n
−
6
donde
n
∈
Z
.
1
Establecer
la
factorización:
A
=
n
−
3
n
2
+2
2
Demuestra
que
el
entero
A
es
divisible
por
6
para
cualquier
n
∈
Z
E.8618
Para
cualquier
número
natural
n
,
defin-imos
el
entero
a
por:
a
=
n
·
2
n
+
1
7
n
+
1
1
Justifica
que
el
entero
a
es
par.
2
Justifica
que
el
entero
a
es
divisible
por
6
.
14.
Corolario
B
del
teorema
de
Gauss
E.8617
Corolario
:
(del
teorema
de
Gauss)
Soit
a
,
b
,
c
tres
enteros
relativos
distintos
de
cero.
Si
a
y
b
son
primos
entre
sí
y
si
a
c
y
son
primos
entre
sí
entonces
a
es
primo
con
el
producto
b
·
c
.
Esto
se
puede
traducir
como:
pgcd
(
a
;
b
)
=
1
pgcd
(
a
;
c
)
=
1
=
⇒
pgcd
(
a
;
b
·
c
)
=
1
Consideremos
el
polinomio
6
·
n
3
−
7
·
n
2
−
5
·
x
+1
donde
n
∈
Z
.
1
Establezca
la
factorización:
A
=
6
·
n
−
1
n
2
−
n
−
1
2
Establece
que
para
cualquier
entero
relativo
n
,
el
entero
A
no
es
divisible
por
6
.
15.
Corolario
C
del
teorema
de
Gauss
E.3595
Corolario
:
(del
teorema
de
Gauss
)
Sean
a
,
b
,
c
tres
enteros
relativos
distintos
de
cero
tales
que
p
es
un
entero
primo.
Si
p
divide
el
producto
a
·
b
alors
p
divide
a
ou
p
divide
b
.
Sean
a
y
b
dos
números
enteros
relativos.
1
Demuestra
que
:
Si
a
·
b
≡
0
(
mod.
47)
entonces
a
≡
0
(
mod.
47)
ou
b
≡
0
(
mod.
47)
.
2
Deduce
que
:
Si
a
2
≡
1
(
mod.
47)
entonces
a
≡
1
(
mod.
47)
ou
a
≡
−
1
(
mod.
47)
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4273
sacados/4273
chapExoCorrec/4281
sacados/4281
chapExoCorrec/8616
sacados/8616
chapExoCorrec/8618
sacados/8618
chapExoCorrec/8617
sacados/8617
chapExoCorrec/3595
sacados/3595
E.4324
Consideremos
la
ecuación
:
(
F
)
:
11
·
x
2
−
7
·
y
2
=
5
donde
x
y
y
son
números
enteros
relativos.
1
a
Demuestra
que
si
el
par
(
x
;
y
)
es
solución
de
(
F
)
,
entonces
:
x
2
≡
2
·
y
2
(
mod.
5)
b
Sean
x
y
y
números
enteros
relativos.
Copie
y
com-plete
las
dos
tablas
siguientes
:
Módulo
5
,
x
es
congruente
con
0
1
2
3
4
Módulo
5
,
x
2
es
congruente
con
Módulo
5
,
y
es
congruente
con
0
1
2
3
4
Módulo
5
,
2
y
2
es
congruente
con
¾Cuáles
son
los
valores
posibles
del
resto
de
la
división
euclidiana
de
x
2
y
2
·
y
2
por
5
?
c
Deduzca
que
si
el
par
(
x
;
y
)
es
solución
de
(
F
)
,
en-tonces
x
y
y
son
múltiplos
de
5
.
2
Demuestra
que
si
x
y
y
son
múltiplos
de
5
,
entonces
el
par
(
x
;
y
)
no
es
solución
de
(
F
)
.
¾Qué
se
puede
deducir
de
la
ecuación
(
F
)
?
E.4306
Consideremos
la
ecuación
(
E
)
sobre
tripletes
(
x
;
y
;
z
)
definidos
por:
x
2
+
y
2
=
5
2
·
z
2
Consideremos
un
triplete
(
x
;
y
;
z
)
de
enteros
relativos
que
verifica
la
ecuación
(
E
)
:
1
Verifica
que
el
triplete
A
1
;
3
;
2
es
una
solución
de
(
E
)
.
2
Demuestra
que
z
es
divisible
por
2
y
x
2
+
y
2
es
divisible
por
10
.
3
Supongamos
y
=3
,
entonces
demuestre
la
siguiente
equiv-alencia:
x
2
≡
1
(
mod.
10)
4
Determine
un
triplete
de
valores
enteros
(
x
;
y
;
z
)
solu-ciones
de
(
E
)
donde
y
es
un
número
entero
impar.
E.6019
Sean
a
y
b
dos
números
natu-rales
cuya
suma
y
producto
tienen
como
PGCD
el
cuadrado
de
un
entero
primo
p
.
1
Demuestra
que
p
2
divide
a
a
2
.
(puede
observarse
que
a
2
=
a
·
(
a
+
b
)
−
a
·
b
)
.
Deduce
que
p
divide
a
a
.
Demuestra
que
p
divide
a
b
.
2
Demuestre
que
el
PGCD
de
a
y
b
es
p
o
p
2
.
E.5286
Sean
a
y
b
números
naturales
distintos
de
cero
tales
que
:
pgcd
(
a
+
b
;
ab
)
=
p
donde
p
es
un
entero
primo.
1
Demuestra
que
p
divide
a
2
.
(Observa
que:
a
2
=
a
(
a
+
b
)
−
ab
)
2
Deduce
que
p
divide
a
a
.
Así,
de
forma
similar,
encontramos
que
p
divide
a
b
.
3
Demuestra
que
:
pgcd
(
a
;
b
)
=
p
.
16.
Teoremas
de
Bezout
y
Gauss
E.5304
1
Determinar
el
conjunto
U
de
enteros
relativos
n
tales
que
n
+2
divide
a
2
n
−
1
.
2
Demostrar
que
para
cualquier
entero
relativo,
los
enteros
n
+2
y
2
n
2
+3
n
−
1
son
primos
entre
sí.
3
Determina
el
conjunto
V
de
enteros
n
=
−
2
tales
que
(2
n
−
1)(2
n
2
+3
n
−
1)
(
n
2
−
2)(
n
+2)
es
un
entero
relativo.
E.4058
Sea
p
un
número
natural
mayor
o
igual
que
2
y
a
un
número
natural
distinto
de
cero
tal
que
a
y
p
son
primos
entre
sí
:
1
Utilizando
el
razonamiento
de
recurrencia,
demuestre
que
para
cualquier
entero
distinto
de
cero
n
,
los
enteros
a
n
y
p
son
primos
entre
sí.
2
Establecer
la
existencia
de
un
entero
natural
distinto
de
cero
n
tal
que
:
a
n
≡
1
(
mod.
p
)
17.
Ecuación
diofantina
E.6098
1
Demostrar
que
el
par
(
−
2
;
17)
es
solución
de
la
ecuación
:
12
x
+31
y
=503
2
En
deducimos
que
:
Si
un
par
de
enteros
relativos
(
x
;
y
)
es
solución
de
la
ecuación
12
x
+31
y
=503
entonces
el
par
veri-fica
la
relación
12
·
x
+2
=31
·
17
−
y
3
Determina
el
conjunto
de
todos
los
pares
de
enteros
rel-ativos
(
x
;
y
)
soluciones
de
la
ecuación
:
12
x
+31
y
=503
E.6929
Consideremos
la
ecuación
:
51
·
x
−
26
·
y
=1
donde
x
y
y
son
dos
números
enteros
relativos.
1
Justifique,
enunciando
un
teorema
del
curso,
que
esta
ecuación
admite
al
menos
un
par
de
soluciones.
2
a
Dé
un
par
de
soluciones
x
0
;
y
0
de
esta
ecuación.
b
Determine
el
conjunto
de
pares
de
soluciones
de
esta
ecuación.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4324
sacados/4324
Extrait d'Antilles
Juin 2011
chapExoCorrec/4306
sacados/4306
chapExoCorrec/6019
sacados/6019
chapExoCorrec/5286
sacados/5286
Extrait Antilles-Guyanne
Septembre 2001
chapExoCorrec/5304
sacados/5304
Bac C - Reims
Juin 1982
4 points
chapExoCorrec/4058
sacados/4058
chapExoCorrec/6098
sacados/6098
chapExoCorrec/6929
sacados/6929
Extrait d'Antilles-Guyane
Septembre 2015
E.3752
Consideremos
la
ecuación
(
E
)
definida
por:
(
E
)
:
−
7
·
x
+
25
·
y
=
1
1
Determina
un
par
trivial
(
x
;
y
)
de
enteros
solución
de
la
ecuación
(
E
)
.
2
Deduce
el
conjunto
de
soluciones
enteras
de
esta
ecuación
(
E
)
.
E.3790
Consideremos
la
ecuación
(
E
):
7
x
−
6
y
=1
donde
x
y
y
son
números
naturales.
1
Dar
una
solución
particular
de
la
ecuación
(
E
)
.
2
Determinar
el
conjunto
de
pares
de
números
naturales
que
son
soluciones
de
la
ecuación
(
E
)
.
E.4276
Consideremos
la
ecuación
(
E
):
7
·
x
−
6
·
y
=1
donde
x
y
y
son
números
naturales.
1
Dar
una
solución
particular
de
la
ecuación
(
E
)
.
2
Determinar
el
conjunto
de
pares
de
números
naturales
que
son
soluciones
de
la
ecuación
(
E
)
.
E.8619
Consideremos
la
ecuación
(
E
)
definida
por
(
E
)
:
135
·
x
+
18
·
y
=
9
.
1
Determina
un
par
trivial
(
x
;
y
)
de
enteros
solución
de
la
ecuación
(
E
)
.
2
Deduce
el
conjunto
de
soluciones
enteras
de
la
ecuación
(
E
)
.
E.4308
Determinar
el
conjunto
de
parejas
(
x
;
y
)
,
donde
x
y
y
son
dos
enteros
relativos,
solu-ciones
de
la
ecuación
:
(
E
)
:
2
·
x
+
11
·
y
=
7
E.6931
Consideremos
la
siguiente
ecuación
con
las
incógnitas
x
y
y
enteros
relativos
:
(
E
):
7
x
−
3
y
=1
A
continuación
se
presenta
un
algoritmo
incompleto.
Su
fi-
nalidad
es,
cuando
se
ejecuta
paso
a
paso,
para
recuperar
los
valores
que
toman
las
variables
a
y
b
que
forman
los
pares
solución
de
la
ecuación
(
E
)
donde
(
a
;
b)
es
un
par
de
en-teros
solución
tal
que
:
−
5
a
10
;
−
5
b
10
.
Para
X
que
varían
de
−
5
a
10
(1)
...
(2)
...
Entonces
(
a
;
b)
←
(
X
;
Y)
Fin
Si
Fin
Pour
Fin
Pour
E.3476
Las
preguntas
1
y
2
son
inde-pendientes.
Sea
n
un
número
natural
distinto
de
cero.
1
Consideremos
la
ecuación
(
E
)
:
3
x
+
7
y
=
10
2
n
x
y
y
son
números
enteros
relativos.
a
Determinar
un
par
(
u
;
v
)
de
números
enteros
relativos
tales
que
:
3
u
+
7
v
=
1
.
Deduzca
una
solución
particular
(
u
0
;
v
0
)
de
la
ecuación
(
E
)
.
b
Determinar
el
conjunto
de
pares
de
números
enteros
relativos
(
x
;
y
)
soluciones
de
(
E
)
.
2
Consideremos
la
ecuación
(
G
)
:
3
x
2
+
7
y
2
=
10
2
n
donde
x
y
y
son
números
enteros
relativos.
a
Demuestre
que
:
100
≡
2
(
mod.
7)
.
Demostrar
que
si
(
x
;
y
)
es
solución
de
(
G
)
entonces
:
3
x
2
≡
2
n
(
mod.
7)
b
Reproduce
y
completa
la
siguiente
tabla
:
Resto
de
division
euclidienne
de
x
par
7
0
1
2
3
4
5
6
Reste
del
division
euclidienne
3
x
2
par
7
c
Muestra
que
2
n
es
congruente
con
1
,
2
ou
4
modulo
7
.
Deduce
que
la
ecuación
(
G
)
n
no
tiene
solución.
18.
Cursos
E.3384
Sean
a
,
b
y
c
tres
números
naturales.
Demuestra
que
si
a
divide
a
c
y
b
divide
a
c
,
siendo
a
y
b
primos
entre
sí,
entonces
a
·
b
divide
a
c
.
E.6248
El
objetivo
de
esta
parte
es
demostrar
que
el
conjunto
de
los
números
enteros
primos
es
infinito
razonando
por
el
absurdo.
1
Se
supone
que
existe
un
número
finito
de
enteros
primos
denotados
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
.
Considere
el
entero
E
producto
de
todos
los
enteros
pri-mos
incrementado
en
1
:
E
=
p
1
×
p
2
×
·
·
·
×
p
n
+
1
Demuestra
que
E
es
un
entero
mayor
o
igual
que
2
,
y
que
E
es
primo
con
cada
uno
de
los
enteros
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
.
2
Utilizando
el
hecho
de
que
E
admite
un
divisor
primo,
concluir.
E.6923
Denotamos
por
a
,
b
y
c
tres
números
naturales
distintos
de
cero
tales
que
:
pgcd
(
b
;
c
)=1
Demuestra,
utilizando
el
teorema
de
Gauss,
que
:
ˇSi
b
divide
a
y
c
divide
a
entonces
el
producto
b
·
c
divide
a
ı
19.
Ejercicios
no
clasificados
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3752
sacados/3752
chapExoCorrec/3790
sacados/3790
chapExoCorrec/4276
sacados/4276
chapExoCorrec/8619
sacados/8619
chapExoCorrec/4308
sacados/4308
chapExoCorrec/6931
sacados/6931
Extrait Antilles-Guyane
Juin 2016
chapExoCorrec/3476
sacados/3476
chapExoCorrec/3384
sacados/3384
chapExoCorrec/6248
sacados/6248
Extrait d'Asie
Juin 2014
chapExoCorrec/6923
sacados/6923
E.6930
Para
cada
una
de
las
cinco
propuestas
siguientes,
indique
si
es
verdadera
o
falsa
y
justifique
la
respuesta
elegida.
Se
otorga
un
punto
por
cada
respuesta
correcta
debidamente
justificada.
Las
respuestas
sin
justificación
no
se
tienen
en
cuenta.
No
se
penalizará
la
falta
de
respuesta.
Propuesta
1
Para
cualquier
número
natural
n
,
la
cifra
de
las
unidades
de
n
2
+
n
nunca
es
igual
a
4
.
Consideremos
la
sucesión
u
definida,
para
n
1
,
por:
u
n
=
1
n
·
pgcd
(20
;
n
)
Propuesta
2
:
la
sucesión
u
n
es
convergente.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6930
sacados/6930