a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2 - Exp.
/ Anales sobre matrices
15 ejercicios (incluyendo 13 corregidos)
a
Matrices y secuencias
(1 ejercicio)
Matriz de transición
(3 ejercicios)
Matriz de transición del tipo: X=AX+B
(1 ejercicio)
Matrices y aritmética
(1 ejercicio)
O
E
F
G
E
F
G
O
E
F
G
1.
Matric
es
y
se
cuencias
E.5954
Un
programa
informático
p
ermite
transformar
un
el-
emen
to
rectangular
de
una
fotografía.
Así,
el
rectángulo
inicial
O
E
F
G
se
transforma
en
un
rectángulo
O
E
F
G
,
denominado
imagen
de
O
E
F
G
.
El
ob
jetiv
o
de
este
ejerci-
cio
es
estudiar
el
rectán-
gulo
ob-
obtenido
tras
v
arias
transformaciones
sucesiv
as.
P
arte
A
El
plano
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
.
Los
pun
tos
E
,
F
y
G
tienen
como
co
ordenadas
resp
ectiv
as
(
2
;
2
)
,
(
−
1
;
5
)
y
(
−
3
;
3
)
.
La
transformación
del
soft
w
are
aso-
cia
a
cada
pun
to
M
(
x
;
y
)
del
plano
el
pun
to
M
(
x
;
y
)
,
imagen
del
pun
to
M
,
de
tal
manera
que
:
x
=
5
4
x
+
3
4
y
y
=
3
4
x
+
5
4
y
1
a
Calcular
las
co
ordenadas
E
,
F
y
G
,
imágenes
de
los
pun
tos
E
,
F
y
G
median
te
esta
transformación.
b
Comparar
las
longitudes
O
E
y
O
E
p
or
un
lado,
y
O
G
y
O
G
p
or
otro.
Dar
la
matriz
cuadrada
de
orden
2
,
denotada
A
,
tal
que
:
x
y
=
A
·
x
y
P
arte
B
En
esta
parte,
se
estudian
las
co
ordenadas
de
las
imágenes
sucesiv
as
del
v
értice
F
del
rectángulo
O
E
F
G
cuando
se
aplica
v
arias
v
eces
la
transformación
del
soft
w
are.
1
Consideremos
el
siguien
te
algoritmo,
que
deb
e
mostrar
las
co
ordenadas
de
estas
imágenes
sucesiv
as
Se
ha
pro
ducido
un
error.
Mo
difique
este
algoritmo
para
que
p
ermita
mostrar
estas
co
ordenadas
:
En
trada
In
tro
duzca
un
n
úmero
natural
distin
to
de
cero
N
Inicialización
Asignar
a
x
el
v
alor
−
1
Asignar
a
y
el
v
alor
5
Pro
cesamien
to
P
ARA
i
DESDE
1
HAST
A
N
Asignar
a
a
el
v
alor
5
4
x
+
3
4
y
Asignar
a
b
el
v
alor
3
4
x
+
5
4
y
Asignar
a
x
el
v
alor
a
Asignar
a
y
el
v
alor
b
FIN
P
ARA
Salida
Mostrar
x
,
mostrar
y
2
Se
ha
obtenido
la
siguien
te
tabla
:
i
1
2
3
4
5
10
15
x
2
;
5
7
;
25
15
;
625
31
;
8125
63
;
9063
2047
;
9971
65535
;
9999
y
5
;
5
8
;
75
16
;
375
32
;
1875
64
;
0938
2048
;
0029
65536
;
0001
Conjeturar
el
comp
ortamien
to
de
la
sucesión
de
imágenes
sucesiv
as
del
pun
to
F
.
P
arte
C
En
esta
parte,
estudiamos
las
co
ordenadas
de
las
imágenes
sucesiv
as
del
v
értice
E
del
rectángulo
O
E
F
G
.
Definimos
la
sucesión
de
pun
tos
E
n
(
x
n
;
y
n
)
del
plano
median
te
E
0
=
E
y
la
relación
de
recurrencia
:
x
n
+1
y
n
+1
=
A
·
x
n
y
n
donde
(
x
n
+
;
y
n
+1
)
designa
las
co
ordenadas
del
pun
to
E
n
+1
.
Así,
x
0
=
2
y
y
0
=
2
1
Se
admite
que,
para
to
do
en
tero
n
1
,
la
matriz
A
n
puede
escribirse
en
la
forma
:
A
n
=
¸
n
˛
n
˛
n
¸
n
Dem
uestre
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
en
tero
natural
n
1
,
se
tiene
:
¸
n
=
2
n
−
1
+
1
2
n
+1
;
˛
=
2
n
−
1
−
1
2
n
+1
2
a
Dem
uestre
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
el
pun
to
E
n
se
encuen
tra
en
la
recta
de
ecuación
y
=
x
.
Se
puede
utilizar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
las
co
ordenadas
(
x
n
;
y
n
)
del
pun
to
E
n
v
erifican
:
x
n
y
n
=
A
n
·
2
2
b
Demostrar
que
la
longitud
O
E
n
tiende
a
+
∞
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
2.
Matriz
de
tr
ansición
E.5439
Se
estudia
la
ev
olución
a
lo
largo
del
tiemp
o
del
n
úmero
de
jó
v
enes
y
adultos
de
una
p
oblación
animal.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
anota
j
n
el
n
úmero
de
animales
jó
v
enes
tras
n
años
de
observ
ación
y
a
n
el
n
úmero
de
animales
adultos
tras
n
años
de
observ
ación.
Al
comienzo
del
primer
año
del
estudio,
ha
y
200
animales
jó
v
enes
y
500
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5954
sacados/5954
Asie Juin 2013
O
E
F
G
E
F
G
O
E
F
G
chapExoCorrec/5439
sacados/5439
animales
adultos.
P
or
lo
tan
to
:
j
0
=
200
y
a
0
=
500
.
Se
admite
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
j
n
+1
=
0
;
125
·
j
n
+
0
;
525
·
a
n
a
n
+1
=
0
;
625
·
j
n
+
0
;
625
·
a
n
In
tro
ducimos
las
siguien
tes
matrices
:
A
=
0
;
125
0
;
525
0
;
625
0
;
625
;
U
n
=
j
n
a
n
1
a
Dem
uestra
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
U
n
+1
=
A
×
U
n
.
b
Calcular
el
n
úmero
de
animales
jó
v
enes
y
adultos
tras
un
año
de
observ
ación
y
,
a
con
tin
uación,
tras
dos
años
de
observ
ación
(r
esultados
r
e
donde
ados
a
la
unidad
más
c
er
c
ana)
.
c
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
expresar
U
n
en
función
de
A
n
y
de
U
0
.
2
In
tro
ducimos
las
siguien
tes
matrices
:
Q
=
7
3
−
5
5
;
D
=
−
0
;
25
0
0
1
a
Se
admite
que
la
matriz
Q
es
in
v
ertible
y
que
:
Q
−
1
=
0
;
1
−
0
;
06
0
;
1
0
;
14
Demostrar
que
:
Q
×
D
×
Q
−
1
=
A
b
Demostrar,
p
or
recurrencia
sobre
n
,
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero
:
A
n
=
Q
×
D
n
×
Q
−
1
c
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
determi-
nar
D
n
en
función
de
n
3
Se
admite
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
A
n
=
0
;
3
+
0
;
7
×
(
−
0
;
25)
n
0
;
42
−
0
;
42
×
(
−
0
;
25)
n
0
;
5
−
0
;
5
×
(
−
0
;
25)
n
0
;
7
+
0
;
3
×
(
−
0
;
25)
n
a
Deduzca
las
expresiones
de
j
n
y
a
n
en
función
de
n
.
Determine
los
límites
de
estas
dos
sucesiones.
b
¾Qué
se
puede
concluir
sobre
la
p
oblación
de
animales
estudiada?
E.5955
Una
esp
ecie
de
a
v
e
viv
e
sólo
en
dos
islas
A
y
B
de
un
arc
hipiélago.
A
principios
de
año
2013
,
20
millones
de
a
v
es
de
esta
esp
ecie
están
presen
tes
en
la
isla
y
10
millones
en
la
isla
B
.
Las
observ
aciones
realizadas
duran
te
v
arios
años
han
p
ermi-
tido
a
los
ornitólogos
estimar
que,
teniendo
en
cuen
ta
los
nacimien
tos,
las
m
uertes
y
las
migraciones
en
tre
las
dos
islas,
a
principios
de
cada
año
se
encuen
tran
las
siguien
tes
propues-
tas
:
En
la
isla
A
:
80
%
del
n
úmero
de
a
v
es
presen
tes
en
la
isla
A
a
principios
del
año
an
terior
y
30
%
del
n
úmero
de
a
v
es
presen
tes
en
la
isla
B
a
principios
del
año
an
terior
;
sur
la
isla
B
:
20
%
del
n
úmero
de
a
v
es
presen
tes
en
la
isla
A
a
principios
del
año
an
terior
y
70
%
del
n
úmero
de
a
v
es
presen
tes
en
la
isla
B
a
principios
del
año
an
terior.
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
sea
a
n
(r
esp
e
ctivamente
b
n
)
le
el
n
úmero
de
a
v
es
(en
mil
lones)
presen
tes
en
la
isla
A
(r
e-
sp
e
ctivement
B
)
au
principio
del
año
(2013+
n
)
.
P
arte
A
-
Algoritmos
y
conjeturas
A
con
tin
uación
se
m
uestra
una
función
f
,
deriv
ada
de
un
algo-
ritmo,
que
toma
como
argumen
to
un
n
úmero
en
tero
n
ma
y
or
o
igual
a
2013
que
represen
ta
el
año
de
estudio
y
devuelv
e
el
n
úmero
de
a
v
es
que
viv
en
en
cada
una
de
las
dos
islas
para
ese
año
Función
f(n)
a
←
20
b
←
10
i
←
2013
Mientras
i<
n
c
←
(0;8a+
0;3b)
b
←
(0;2a+
0;7b)
a
←
c
Fin
Mientras
Devolver
(
a
;
b
)
1
El
có
digo
de
la
función
f
con
tiene
omisiones
en
el
pro
ce-
samien
to.
Lo
calice
estas
omisiones
y
corríjalas.
2
A
con
tin
uación
se
m
uestra
una
tabla
que
represen
ta
los
v
alores
sucesiv
os
que
toman
las
v
ariables
de
la
función
f
duran
te
su
ejecución
paso
a
paso
cuando
se
llama
con
el
v
alor
2020
.
n
a
b
2013
20
10
2014
19
11
2015
18,5
11,5
2016
18,25
11,75
2017
18,125
11,875
2018
18,0425
11,9375
2019
18,03125
11,96875
2020
18,015625
11,984375
A
la
vista
de
estos
resultados,
form
ule
conjeturas
sobre
el
sen
tido
de
v
ariación
y
la
con
v
ergencia
de
las
sucesiones
a
n
y
b
n
.
P
arte
B
-
Estudio
matemático
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5955
sacados/5955
Centres etrangers Juin 2013
I
M
S
1
2
1
3
1
3
1
2
1
1
3
Se
denota
U
n
la
matriz
columna
a
n
b
n
1
Dem
uestre
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
U
n
+1
=
M
·
U
n
donde
M
es
una
matriz
cuadrada
de
orden
2
que
se
de-
terminará
Se
admite
en
tonces
que
U
n
=
M
n
·
U
0
para
to
do
n
úmero
natural
n
1
.
2
Median
te
un
razonamien
to
p
or
recurrencia,
justifique
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
1
:
M
n
=
0
;
6
+
0
;
4
×
0
;
5
n
0
;
6
−
0
;
6
×
0
;
5
n
0
;
4
−
0
;
4
×
0
;
5
n
0
;
4
+
0
;
6
×
0
;
5
n
Solo
se
detallará
el
cálculo
para
el
primer
co
eficien
te
de
la
matriz
M
n
.
3
Expresar
a
n
en
función
de
n
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
1
.
4
Con
este
mo
delo,
¾se
puede
decir
que,
tras
un
gran
n
úmero
de
años,
el
n
úmero
de
a
v
es
en
la
isla
A
se
estabi-
lizará?
En
caso
afirmativ
o,
esp
ecifique
hacia
qué
v
alor.
E.5957
Las
partes
A
y
B
pueden
tratarse
indep
endien
temen
te
una
de
otra
En
un
pueblo
imaginario
aislado,
ha
aparecido
una
n
uev
a
en-
fermedad
con
tagiosa,
p
ero
no
mortal.
Rápidamen
te,
los
cien
tíficos
descubrieron
que
un
individuo
p
o
día
encon
trarse
en
uno
de
los
tres
estados
siguien
tes
:
S
:
ˇ
el
individuo
está
sano,
es
decir,
no
está
enfermo
ni
infectado
ı,
I
:
ˇ
el
individuo
es
p
ortador
sano,
es
decir,
no
está
en-
fermo,
p
ero
está
infectado
ı,
M
:
ˇ
el
individuo
está
enfermo
e
infectado
ı.
P
arte
A
Los
cien
tíficos
estiman
que
una
sola
p
ersona
es
la
causan
te
de
la
enfermedad
en
tre
las
100
p
ersonas
que
comp
onen
la
p
oblación
y
que,
de
una
semana
a
otra,
una
p
ersona
cam
bia
de
estado
siguiendo
el
siguien
te
pro
ceso
:
en
tre
los
individuos
sanos,
la
prop
orción
de
los
que
se
con-
vierten
en
p
ortadores
sanos
es
igual
a
1
3
y
la
prop
orción
de
los
que
enferman
es
igual
a
1
3
.
en
tre
los
individuos
p
ortadores
sanos,
la
prop
orción
de
los
que
enferman
es
igual
a
1
2
.
La
situación
puede
represen
tarse
median
te
un
gráfico
proba-
bilístico
como
el
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación.
Se
indica
con
P
n
=
s
n
i
n
m
n
la
matriz
de
líneas
que
da
el
estado
probabilístico
al
cab
o
de
n
sem-
anas,
donde
s
n
,
i
n
y
m
n
designan
resp
ectiv
amen
te
la
probabilidad
de
que
el
individuo
esté
sano,
sea
p
or-
tador
sano
o
esté
enfermo
en
la
se-
mana
n
En
tonces
tenemos
P
0
=
0
;
99
0
0
;
01
y
para
to
do
n
úmero
nat-
ural
n
,
s
n
+1
=
1
3
s
n
i
n
+1
=
1
3
s
n
+
1
2
i
n
m
n
+1
=
1
3
s
n
+
1
2
i
n
+
m
n
1
Escribir
la
matriz
A
denominada
matriz
de
tr
ansición
,
tal
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
P
n
+1
=
P
n
·
A
2
Demostrar
p
or
recurrencia
que
para
to
do
n
úmero
natu-
ral
n
distin
to
de
cero
:
P
n
=
P
0
·
A
n
3
Determinar
el
estado
probabilístico
P
4
al
cab
o
de
cuatro
semanas.
Se
pueden
redondear
los
v
alores
a
10
−
2
.
¾Cuál
es
la
probabilidad
de
que
un
individuo
esté
sano
al
cab
o
de
cuatro
semanas?
P
arte
B
En
realidad,
la
enfermedad
no
ev
oluciona
según
el
mo
delo
an-
terior,
y
a
que,
tras
4
semanas
de
in
v
estigación,
los
cien
tíficos
descubren
una
v
acuna
que
p
ermite
erradicar
la
epidemia
y
tratan
inmediatamen
te
a
to
da
la
p
oblación.
La
ev
olución
semanal
de
la
enfermedad
tras
la
v
acunación
viene
dada
p
or
la
matriz
de
transición
:
B
=
5
12
1
4
1
3
5
12
1
4
1
3
1
6
1
2
1
3
Se
indica
Q
n
la
matriz
lineal
que
m
uestra
el
estado
probabilís-
tico
tras
n
semanas
desde
la
implemen
tación
de
estas
n
uev
as
medidas
de
v
acunación.
Así
:
Q
n
=
S
n
I
n
M
n
donde
S
n
,
I
n
y
M
n
designan
resp
ectiv
amen
te
la
probabili-
dad
de
que
el
individuo
esté
sano,
sea
p
ortador
sano
y
esté
enfermo
en
la
semana
n
tras
la
v
acunación.
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
tenemos
en
tonces
:
Q
n
+1
=
Q
n
·
B
Según
la
parte
A
,
Q
0
=
P
4
.
P
ara
lo
que
sigue,
tomamos
:
Q
0
=
0
;
01
0
;
10
0
;
89
donde
los
co
eficien
tes
se
han
redondeado
a
10
−
2
.
1
Expresar
S
n
+1
,
I
n
+1
y
M
n
+1
en
función
de
S
n
,
I
n
y
M
n
.
2
Determinar
la
constan
te
real
k
tal
que
B
2
=
k
·
J
donde
J
es
la
matriz
cuadrada
de
orden
3
cuy
os
co
eficien
tes
son
to
dos
iguales
a
1
.
De
ello
se
deduce
que
para
to
do
en
tero
n
ma
y
or
o
igual
que
2
:
B
n
=
B
2
3
a
Demostrar
que
para
to
do
en
tero
n
ma
y
or
o
igual
que
2
:
Q
n
=
1
3
1
3
1
3
b
In
terprete
este
resultado
en
términos
de
ev
olución
de
la
enfermedad.
¾Se
puede
esp
erar
erradicar
la
enfermedad
gracias
a
la
v
acuna?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5957
sacados/5957
Metropole Septembre 2013
I
M
S
1
2
1
3
1
3
1
2
1
1
3
3.
Matriz
de
tr
ansición
del
tip
o
:
X=AX+B
E.5953
Una
op
eradora
telefónica
A
desea
prev
er
la
ev
olución
del
n
úmero
de
sus
ab
onados
en
una
gran
ciudad
en
relación
con
su
principal
comp
etidor
B
a
partir
de
2013
.
En
2013
,
los
op
eradores
A
y
B
tienen
cada
uno
300
miles
de
ab
onados.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
indica
a
n
el
n
úmero
de
ab
ona-
dos,
en
miles,
del
op
erador
A
en
el
año
n
después
de
2013
,
y
b
n
el
n
úmero
de
ab
onados,
en
miles,
del
op
erador
B
en
el
año
n
después
de
2013
.
Así
:
a
0
=
300
et
b
0
=
300
.
Las
observ
aciones
realizadas
en
años
an
teriores
p
ermiten
mo
d-
elar
la
situación
median
te
la
siguien
te
relación
:
a
n
+1
=
0
;
7
a
n
+
0
;
2
b
n
+
60
b
n
+1
=
0
;
1
a
n
+
0
;
6
b
n
+
70
,
para
to
do
en
tero
n
∈
N
.
Consideramos
las
matrices
:
M
=
0
;
7
0
;
2
0
;
1
0
;
6
;
P
=
60
70
.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
anota
U
n
=
a
n
b
n
1
a
Determinar
U
1
.
b
V
erificar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
U
n
+1
=
M
×
U
n
+
P
.
2
Se
denota
I
la
matriz
1
0
0
1
a
Calcular
:
(
I
−
M
)
×
4
2
1
3
.
b
Deduzca
que
la
matriz
I
−
M
es
in
v
ertible
y
esp
ecifique
su
in
v
ersa.
c
Determinar
la
matriz
tal
que
:
U
=
M
×
U
+
P
3
P
ara
to
do
n
úmero
natural,
se
establece
:
V
n
=
U
n
−
U
a
Justificar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
V
n
+1
=
M
×
V
n
.
b
Deduzca
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
V
n
=
M
n
×
V
0
4
Se
admite
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
V
n
=
−
100
3
×
0
;
8
n
−
140
3
×
0
;
5
n
−
50
3
×
0
;
8
n
+
140
3
×
0
;
5
n
a
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
expresar
U
n
en
función
de
n
y
deducir
el
límite
de
la
sucesión
a
n
.
b
Estime
el
n
úmero
de
ab
onados
del
op
erador
A
a
largo
plazo.
4.
Matric
es
y
aritmétic
a
E.5956
P
arte
A
Consideremos
la
función
f
,
extraída
de
un
algoritmo,
que
toma
como
argumen
to
un
n
úmero
natural
A
y
revisa
al
final
de
la
ejecución
el
v
alor
de
la
v
ariable
X
:
Función
f(A)
X
←
A
Mientras
X
sea
mayor
o
igual
que
26
X
←
X
−
26
Fin
Mientras
Devolver
X
1
¾Cuál
es
el
v
alor
devuelto
p
or
la
llamada
a
la
función
f
cuando
el
v
alor
prop
orcionado
como
argumen
to
es
el
n
úmero
3
?
2
¾Cuál
es
el
v
alor
devuelto
p
or
la
llamada
a
la
función
f
cuando
el
v
alor
prop
orcionado
como
argumen
to
es
el
n
úmero
55
?
3
P
ara
cualquier
n
úmero
en
tero
in
tro
ducido,
¾qué
repre-
sen
ta
el
resultado
devuelto
p
or
esta
función?
P
arte
B
Queremos
co
dificar
un
blo
que
de
dos
letras
según
el
siguien
te
pro
cedimien
to
(detal
lado
en
cuatr
o
p
asos)
:
P
aso
1
:
cada
letra
del
blo
que
se
sustituy
e
p
or
un
en
tero
utilizando
la
tabla
siguien
te
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Se
obtiene
una
matriz
de
columnas
x
1
y
2
donde
x
1
corre-
sp
onde
a
la
primera
letra
de
la
palabra
y
x
2
corresp
onde
a
la
segunda
letra
de
la
palabra.
P
aso
2
:
x
1
y
1
se
transforma
en
y
1
y
2
de
tal
manera
que
:
y
1
y
2
=
3
1
5
2
·
x
1
x
2
La
matriz
C
=
3
1
5
2
se
denomina
matriz
de
co
difi-
cación.
P
aso
3
:
y
1
y
2
se
transforma
en
z
1
z
2
de
tal
manera
que
:
z
1
≡
y
1
(
mo
d.
26)
con
0
z
1
25
z
2
≡
y
2
(
mo
d.
26)
con
0
z
2
25
P
aso
4
:
z
1
z
2
se
transforma
en
un
blo
que
de
dos
letras
utilizando
la
tabla
de
corresp
ondencias
dada
en
el
paso
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5953
sacados/5953
Polynesie Juin 2013
chapExoCorrec/5956
sacados/5956
Antilles-Guyane Septembre 2013
1
Ejemplo
:
RE
↦−
→
17
4
↦−
→
55
93
↦−
→
3
15
↦−
→
DP
Justificar
el
paso
de
17
4
a
55
93
y
,
a
con
tin
uación,
a
3
15
1
Sean
x
1
,
x
2
,
x
1
,
x
2
cuatro
n
úmeros
en
teros
comprendi-
dos
en
tre
0
y
25
,
de
tal
manera
que
x
1
x
2
y
x
1
x
2
se
transforman
duran
te
el
pro
ceso
de
co
dificación
en
z
1
z
2
.
a
Dem
uestre
que
3
x
1
+
x
2
≡
3
x
1
+
x
2
(
mo
d.
26)
5
x
1
+
2
x
2
≡
5
x
1
+
2
x
2
(
mo
d.
26)
b
Deduzca
x
1
≡
x
1
(
mo
d.
26)
y
x
2
≡
x
2
(
mo
d.
26)
,
y
luego
x
1
=
x
1
y
x
2
=
x
2
.
2
Se
desea
encon
trar
un
méto
do
de
deco
dificación
para
el
blo
que
D
P
a
V
erificar
que
la
matriz
C
=
2
−
1
−
5
3
es
la
matriz
in
v
ersa
de
C
.
b
Calcular
y
1
y
2
como
:
y
1
y
2
=
2
−
1
−
5
3
3
15
c
Calculer
x
1
x
2
como
:
x
1
≡
y
1
(
mo
d.
26)
a
v
ec
0
x
1
25
x
2
≡
y
2
(
mo
d.
26)
con
0
x
2
25
d
Quel
pro
ceso
general
de
desco
dificación
¾p
o
demos
con-
jeturar?
3
En
esta
pregun
ta,
generalizaremos
este
pro
ceso
déco
dage
Consideramos
un
blo
que
de
dos
letras
y
llamamos
z
1
y
z
2
a
los
dos
en
teros
comprendidos
en
tre
0
y
25
aso
ciados
a
estas
letras
en
el
paso
3
.
Buscamos
encon
trar
dos
en-
teros
x
1
y
x
2
en
tre
0
y
25
que
den
la
matriz
de
columnas
z
1
z
2
p
or
los
pasos
2
et
3
du
pro
ceso
de
co
dificación.
Sean
y
1
y
y
2
tales
que
:
y
1
y
2
=
C
·
z
1
z
2
où
C
=
2
−
1
−
5
3
Sean
x
1
y
x
2
en
teros
tales
que
:
x
1
≡
y
1
(
mo
d.
26)
a
v
ec
0
x
1
25
x
2
≡
y
2
(
mo
d.
26)
a
v
ec
0
x
2
25
Dem
uestre
que
:
3
x
1
+
x
2
≡
z
1
(
mo
d.
26)
5
x
1
+
2
x
2
≡
z
2
(
mo
d.
26)
Concluy
a.
4
Deco
de
QC
.
5.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.6067
Cada
jo
v
en
padre
utiliza
cada
mes
una
sola
marca
de
p
otitos
para
b
eb
és.
T
res
marcas
X
,
Y
y
Z
se
reparten
el
mercado.
Sea
n
un
n
úmero
natural.
Se
anota
:
X
n
el
ev
en
to
ˇ
la
marca
X
se
utiliza
el
mes
n
ı
;
Y
n
el
ev
en
to
ˇ
la
marca
Y
se
utiliza
el
mes
n
ı
;
Z
n
el
ev
en
to
ˇ
la
marca
Z
se
utiliza
el
mes
n
ı
;
Las
probabilidades
de
los
ev
en
tos
X
n
,
Y
n
,
Z
n
se
anotan
re-
sp
ectiv
amen
te
como
x
n
,
y
n
,
z
n
.
La
campaña
publicitaria
de
cada
marca
hace
que
la
distribu-
ción
ev
olucione
:
Un
comprador
de
la
marca
X
en
el
mes
n
tiene
el
mes
siguien
te
:
50
%
de
p
osibilidades
de
seguir
siendo
fiel
a
esta
marca.
40
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
Y
.
10
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
Z
.
Un
comprador
de
la
marca
Y
del
mes
n
tiene
al
mes
siguien
te
:
30
%
de
p
osibilidades
de
seguir
siendo
fiel
a
esta
marca
;
50
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
X
;
20
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
Z
.
Un
comprador
de
la
marca
Z
el
mes
n
tiene
el
mes
sigu-
ien
te
:
70
%
de
p
osibilidades
de
seguir
siendo
fiel
a
esta
marca
10
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
X
;
20
%
de
p
osibilidades
de
comprar
la
marca
Y
.
1
a
Expresar
x
n
+1
en
función
de
x
n
,
y
n
y
z
n
.
Se
admite
que
:
y
n
+1
=
0
;
4
x
n
+0
;
3
y
n
+0
;
2
z
n
;
z
n
+1
=
0
;
1
x
n
+0
;
2
y
n
+0
;
7
z
n
b
Expresar
z
n
en
función
de
x
n
y
y
n
.
Deduzca
la
ex-
presión
de
x
n
+1
y
y
n
+1
en
función
de
x
n
y
y
n
.
2
Se
define
la
sucesión
U
n
p
or
U
n
=
x
n
y
n
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
Se
admite
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
U
n
+1
=
A
·
U
n
+
B
donde
:
A
=
0
;
4
0
;
4
0
;
2
0
;
1
;
B
=
0
;
1
0
;
2
Al
inicio
del
estudio
estadístico
(ener
o
de
2014
:
n
=
0
)
,
se
estima
que
:
U
0
=
0
;
5
0
;
3
Consideremos
la
función
f
del
siguien
te
algoritmo
:
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6067
sacados/6067
Función
f(n)
i
←
0
A
←
0;4
0;4
0;2
0;1
B
←
0;1
0;2
U
←
0;5
0;3
Mientras
i<
n
U
←
A
·
U+B
i
←
i+
1
Fin
de
Mientras
Devolver
U
a
Indique
los
v
alores
devueltos
p
or
esta
función
cuando
se
in
v
o
ca
con
los
v
alores
n
=
1
y
luego
con
n
=
3
b
¾Cuál
es
la
probabilidad
de
utilizar
la
marca
X
en
el
mes
de
abril?
En
la
con
tin
uación
del
ejercicio,
se
busca
determinar
una
ex-
presión
de
U
n
en
función
de
n
.
Denotamos
p
or
I
la
matriz
1
0
0
1
y
p
or
N
la
matriz
I
−
A
.
3
Denotamos
p
or
C
una
matriz
columna
de
dos
filas.
a
Demostrar
que
C
=
A
·
C
+
B
es
equiv
alen
te
a
N
·
C
=
B
.
b
Se
admite
que
N
es
una
matriz
in
v
ertible
y
que
:
N
−
1
=
45
23
20
23
10
23
30
23
Deduzca
que
:
C
=
17
46
7
23
4
Se
denota
p
or
V
n
la
matriz
tal
que
V
n
=
U
n
−
C
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
a
Dem
uestra
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
V
n
+1
=
A
·
V
n
b
Se
admite
que
:
U
n
=
A
n
·
U
0
−
C
+
C
.
¾Cuáles
son
las
probabilidades
de
utilizar
las
marcas
X
,
Y
y
Z
en
el
mes
de
ma
y
o?
E.6253
P
arte
A
:
preliminares
1
a
Sean
n
y
N
dos
n
úmeros
naturales
ma
y
ores
o
iguales
a
2
,
tales
que
:
n
2
≡
N
−
1
(
mo
d.
N
)
Dem
uestre
que
:
n
×
n
3
≡
1
(
mo
d.
N
)
b
Deduzca
de
la
pregun
ta
an
terior
un
n
úmero
en
tero
k
1
tal
que
:
5
·
k
1
≡
1
(
mo
d.
26)
Se
admitirá
que
el
único
n
úmero
en
tero
k
tal
que
:
0
k
25
;
5
·
k
≡
1
(
mo
d.
26)
v
ale
21
.
2
Se
dan
las
matrices
:
A
=
4
1
3
2
;
B
=
2
−
1
−
3
4
;
X
=
x
1
x
2
;
Y
=
y
1
y
2
a
Calcular
la
matriz
:
6
A
−
A
2
.
b
Deducir
que
A
es
in
v
ertible
y
que
su
matriz
in
v
ersa,
denotada
A
−
1
,
puede
escribirse
en
la
forma
:
A
−
1
=
¸
·
I
+
˛
·
A
donde
¸
y
˛
son
dos
n
úmeros
reales
que
determinare-
mos.
c
V
erificar
que
:
B
=
5
·
A
−
1
d
Dem
uestre
que
si
A
·
X
=
Y
en
tonces
5
·
X
=
B
·
Y
.
P
arte
B
:
pro
cedimien
to
de
co
dificación
Co
difique
la
palabra
ˇ
ET
ı,
utilizando
el
pro
cedimien
to
de
co
d-
ificación
descrito
a
con
tin
uación.
La
palabra
que
se
v
a
a
co
dificar
se
sustituy
e
p
or
la
matriz
X
=
x
1
x
2
,
donde
x
1
es
el
n
úmero
en
tero
que
represen
ta
la
primera
letra
de
la
palabra
y
x
2
el
n
úmero
en
tero
que
represen
ta
la
segunda,
según
la
tabla
de
corresp
ondencias
siguien
te
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
La
matriz
X
se
transforma
en
la
matriz
y
1
y
2
de
tal
manera
que
:
Y
=
A
·
X
.
La
matriz
Y
se
transforma
en
la
matriz
R
=
r
1
r
2
,
donde
r
1
es
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
y
1
p
or
26
y
r
2
es
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
y
2
p
or
26
Los
n
úmeros
en
teros
r
1
y
r
2
dan
las
letras
de
la
palabra
co
dificada,
según
la
tabla
de
corresp
ondencias
an
terior.
Ejemplo
:
ˇ
Ou
ı
(p
alabr
a
a
c
o
dific
ar)
X
14
20
Y
=
76
82
R
=
24
4
ˇ
YE
ı
(p
alabr
a
c
o
dific
ada)
P
arte
C
:
pro
cedimien
to
de
desco
dificación
(se
c
onser-
van
las
mismas
notaciones
que
p
ar
a
la
c
o
dific
ación)
Duran
te
la
co
dificación,
la
matriz
X
se
transformó
en
la
ma-
triz
Y
=
y
1
y
2
de
tal
manera
que
:
Y
=
A
·
X
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6253
sacados/6253
1
Demostrar
que
:
5
·
x
1
=
2
·
y
1
−
y
2
5
·
x
2
=
−
3
·
y
1
+
4
·
y
2
2
Utilizando
la
pregun
ta
1
b
de
la
parte
A
,
establecer
que
:
x
1
≡
16
·
y
1
+
5
·
y
2
(
mo
d.
26)
x
2
≡
15
·
y
1
+
6
·
y
2
(
mo
d.
26)
3
Descifrar
la
palabra
ˇ
QP
ı.
E.6938
P
arte
A
Consideremos
las
matrices
M
de
la
forma
M
=
a
b
5
3
,
donde
a
y
b
son
n
úmeros
en
teros.
El
en
tero
3
a
−
5
b
se
denomina
determinan
te
de
M
.
Se
denota
p
or
det
(
M
)
.
Así
:
det
(
M
)
=
3
a
−
5
b
1
En
esta
pregun
ta,
sup
onemos
que
det
(
M
)
=
0
y
estable-
cemos
:
N
=
1
det
(
M
)
·
3
−
b
−
5
a
.
Justificar
que
N
es
el
in
v
erso
de
M
.
2
Consideramos
la
ecuación
(
E
)
:
det
(
M
)
=
3
Se
desea
determinar
to
dos
los
pares
de
n
úmeros
en
teros
(
a
;
b
)
,
soluciones
de
la
ecuación
(
E
)
.
a
V
erificar
que
el
par
(
6
;
3
)
es
una
solución
de
(
E
)
.
b
Dem
uestre
que
el
par
de
n
úmeros
en
teros
(
a
;
b
)
es
solu-
ción
de
(
E
)
si,
y
solo
si,
3
·
(
a
−
6)
=
5
·
(
b
−
3)
Deduzca
el
conjun
to
de
soluciones
de
la
ecuación
(
E
)
.
P
arte
B
1
Se
establece
:
Q
=
6
3
5
3
Utilizando
la
parte
A
,
determine
la
matriz
in
v
ersa
de
Q
.
2
Co
dificación
con
la
matriz
Q
P
ara
co
dificar
una
palabra
de
dos
letras
utilizando
la
ma-
triz
Q
=
6
3
5
3
,
se
utiliza
el
siguien
te
pro
cedimien
to
:
P
aso
1
:
Se
aso
cia
a
la
palabra
la
matriz
X
=
x
1
x
2
,
donde
x
1
es
el
n
úmero
en
tero
corresp
ondien
te
a
la
primera
letra
de
la
palabra
y
x
2
el
n
úmero
en
tero
cor-
resp
ondien
te
a
la
segunda
letra
de
la
palabra,
según
la
tabla
de
corresp
ondencias
siguien
te
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
P
aso
2
:
La
matriz
X
se
transforma
en
la
matriz
Y
=
y
1
y
2
tal
que
Y
=
Q
·
X
P
aso
3
:
La
matriz
Y
se
transforma
en
la
matriz
R
=
r
1
r
2
tal
que
r
1
es
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
y
1
p
or
26
y
r
2
es
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
y
2
p
or
26
.
P
aso
4
:
A
la
matriz
R
=
r
1
r
2
se
le
aso
cia
una
pal-
abra
de
dos
letras
según
la
tabla
de
corresp
ondencias
del
paso
1.
Ejemplo
:
La
palabra
J
E
se
co
difica
como
la
palabra
O
E
.
J
E
↦→
X
=
9
4
↦→
Y
=
66
57
↦→
R
=
14
5
↦→
O
F
Co
dificar
la
palabra
D
O
.
3
Pro
cedimien
to
de
desco
dificación
Se
conserv
an
las
mismas
notaciones
que
para
la
co
difi-
cación.
Duran
te
la
co
dificación,
la
matriz
X
se
transformó
en
la
matriz
Y
tal
que
Y
=
Q
·
X
.
a
Demostrar
que
3
X
=
3
·
Q
−
1
·
Y
,
y
luego
que
:
3
·
x
1
≡
3
·
r
1
−
3
·
r
2
(
mo
d.
26)
3
·
x
2
≡
−
5
·
r
1
+
6
·
r
2
(
mo
d.
26)
b
Observ
ando
que
9
×
3
≡
1
(
mo
d.
26)
,
demostrar
que
:
x
1
≡
r
1
−
r
2
(
mo
d.
26)
x
2
≡
7
·
r
1
+
2
·
r
2
(
mo
d.
26)
c
Descifrar
la
palabra
S
G
E.6940
Se
disp
one
de
dos
urnas
U
y
V
que
con
tienen
cada
una
dos
b
olas.
Al
principio,
la
urna
U
con
tiene
dos
b
olas
blancas
y
la
urna
V
con
tiene
dos
b
olas
ne-
gras.
Se
realizan
sucesiv
as
extracciones
de
estas
urnas
de
la
sigu-
ien
te
manera
:
cada
extracción
consiste
en
tomar
al
azar,
de
forma
sim
ultánea,
una
b
ola
de
cada
urna
y
colo
carla
en
la
otra
urna.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
se
denota
X
n
la
v
ariable
aleatoria
igual
al
n
úmero
de
b
olas
blancas
que
con-
tiene
la
urna
U
al
final
de
la
n
-ésima
extracción.
1
a
T
raducir
la
probabilidad
en
una
frase
:
P
(
X
n
=1)
X
n
+1
=
1
y
determinar
las
siguien
tes
probabilidades
condi-
cionales
:
P
(
X
n
=0)
X
n
+1
=
1
menos2cm;
menos2cm
P
(
X
n
=1)
X
n
+1
=
1
menos2cm;
menos2cm
P
(
X
n
=2)
X
n
+1
=
1
b
Expresar
P
X
n
+1
=
1
en
función
de
P
X
n
=
0
,
P
X
n
=
1
y
P
X
n
=
2
.
2
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
se
denota
p
or
R
n
la
matriz
definida
p
or
:
R
n
=
P
X
n
=
0
P
X
n
=
1
P
X
n
=
2
y
consideramos
M
la
matriz
:
0
1
0
1
4
1
2
1
4
0
1
0
Denotamos
R
0
la
matriz
línea
0
0
1
.
A
con
tin
uación,
admitiremos
que,
para
to
do
n
∈
N
:
R
n
+1
=
R
n
·
M
Determinar
R
1
y
justificar
que,
para
to
do
n
∈
N
:
R
n
=
R
0
·
M
n
.
3
Se
admite
que
M
=
P
·
D
·
P
−
1
con
:
P
=
1
6
·
2
3
1
−
1
0
1
2
−
3
1
;
D
=
−
1
2
0
0
0
0
0
0
0
1
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6938
sacados/6938
chapExoCorrec/6940
sacados/6940
P
−
1
=
1
−
2
1
1
0
−
1
1
4
1
Establecer
que,
para
to
do
n
∈
N
:
M
n
=
P
·
D
n
·
P
−
1
.
Se
admitirá
que,
para
to
do
n
úmero
natural
:
D
n
=
−
1
2
n
0
0
0
0
0
0
0
1
4
a
Calcular
D
n
·
P
−
1
en
función
de
n
.
b
Sabiendo
que
R
0
·
P
=
1
3
−
1
2
1
6
,
determinar
los
co
eficien
tes
de
R
n
en
función
de
n
.
5
Determinar
:
lim
n
↦→
+
∞
P
X
n
=
0
,
lim
n
↦→
+
∞
P
X
n
=
1
y
lim
n
↦→
+
∞
P
X
n
=
2
.
In
terpretar
estos
resultados.
E.6942
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar,
a
partir
de
un
ejemplo,
un
méto
do
de
cifrado
publi-
cado
en
1929
p
or
el
matemático
y
criptólogo
Lester
Hill.
Este
cifrado
se
basa
en
una
matriz
A
,
cono
cida
únicamen
te
p
or
el
emisor
y
el
destinatario.
A
lo
largo
de
to
do
el
ejercicio,
se
denota
A
la
matriz
definida
p
or
:
A
=
5
2
7
7
P
arte
A
-
Cifrado
de
Hill
Estos
son
los
diferen
tes
pasos
del
cifrado
para
una
palabra
que
con
tiene
un
n
úmero
par
de
letras
:
P
aso
1
:
Se
divide
la
palabra
en
blo
ques
de
dos
letras
consecuti-
v
as
y
,
a
con
tin
uación,
se
realizan
los
siguien
tes
pasos
para
cada
blo
que.
P
aso
2
:
Se
aso
cian
a
las
dos
letras
del
blo
que
los
dos
n
úmeros
en
teros
x
1
y
x
2
,
am
b
os
comprendidos
en
tre
0
y
25
,
que
corresp
onden
a
las
dos
letras
en
el
mismo
orden,
en
la
siguien
te
tabla
:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
P
aso
3
:
Se
transforma
la
matriz
X
=
x
1
x
2
en
la
matriz
Y
=
y
1
y
2
v
erificando
Y
=
A
·
X
.
P
aso
4
:
T
ransformamos
la
matriz
Y
=
y
1
y
2
en
la
matriz
R
=
r
1
r
2
,
donde
r
1
es
el
resto
de
la
división
euclidiana
de
y
1
p
or
26
y
r
2
el
de
la
división
euclidiana
de
y
2
p
or
26
.
P
aso
5
:
Los
n
úmeros
en
teros
r
1
y
r
2
se
aso
cian
a
las
dos
letras
corresp
ondien
tes
de
la
tabla
del
paso
2
El
blo
que
cifrado
es
el
blo
que
obtenido
yuxtap
oniendo
estas
dos
letras.
Pregun
ta
:
utilizar
el
méto
do
de
cifrado
mostrado
para
cifrar
la
palabra
ˇ
HILL
ı.
P
artie
B
-
Algunas
herramien
tas
matemáticas
nece-
sarias
en
déc
hiffremen
t
1
Soit
a
un
n
úmero
en
tero
relativ
o
primo
con
26
.
Dem
uestre
que
existe
un
n
úmero
en
tero
relativ
o
u
tal
que
:
u
×
a
≡
1
(
mo
d.
26)
.
2
On
considere
la
función
f
de
un
algoritmo
que
toma
como
argumen
to
un
n
úmero
natural
a
primero
con
26
.
Función
f(a)
u
←
0
r
←
0
Tant
que
r
=
1
u
←
u+1
r
←
resto
de
la
división
euclidienne
de
u
×
a
por
26
Fin
de
Mientras
Send
u
La
función
f
con
el
v
alor
del
parámetro
a=21
.
a
Repro
duce
en
la
copia
y
completa
la
siguien
te
tabla,
con
los
distin
tos
v
alores
que
toman
las
v
ariables
u
et
v
al
llamar
a
la
función
f
.
u
0
1
2
·
·
·
r
0
21
·
·
·
·
·
·
b
En
deduzca
que
:
5
×
21
≡
1
(
mo
d.
26)
.
3
Recordemos
que
A
es
la
matriz
A
=
5
2
7
7
y
anotemos
I
la
matriz
:
I
=
1
0
0
1
a
Calcular
la
matriz
:
12
·
A
−
A
2
b
Deduzca
la
matriz
B
tal
que
:
B
·
A
=
21
·
I
c
Dem
uestre
que
si
A
·
X
=
Y
en
tonces
21
·
X
=
B
·
Y
.
P
arte
C
-
Descifrado
Queremos
descifrar
la
palabra
V
LU
P
.
Denotemos
p
or
X
=
x
1
x
2
la
matriz
aso
ciada,
según
la
tabla
de
corresp
ondencias,
a
un
blo
que
de
dos
letras
an
tes
del
cifrado,
y
p
or
Y
=
y
1
y
2
la
matriz
definida
p
or
la
igualdad
:
Y
=
A
·
X
=
5
2
7
7
·
X
Si
r
1
y
r
2
son
los
restos
resp
ectiv
os
de
y
1
y
y
2
en
la
división
euclidiana
p
or
26
,
el
blo
que
de
dos
letras
después
del
cifrado
se
aso
cia
a
la
matriz
R
=
r
1
r
2
.
1
Demostrar
que
:
21
·
x
1
=
7
·
y
1
−
2
·
y
2
21
·
x
2
=
−
7
·
y
1
+
5
·
y
2
2
Utilizando
la
pregun
ta
B
2
,
establecer
que
:
x
1
≡
9
·
r
1
+
16
·
r
2
(
mo
d.
26)
x
2
≡
17
·
r
1
+
25
·
r
2
(
mo
d.
26)
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6942
sacados/6942
3
Descifrar
la
palabra
VLUP
,
aso
ciada
a
las
matrices
21
11
y
20
15
.
E.6948
Un
fumador
decide
dejar
de
fumar.
Se
opta
p
or
utilizar
el
siguien
te
mo
delo
:
si
no
fuma
un
día
determinado,
no
fuma
al
día
siguien
te
con
una
probabilidad
de
0
;
9
;
si
fuma
un
día
determinado,
fuma
al
día
siguien
te
con
una
probabilidad
de
0
;
6
.
Denominamos
p
n
a
la
probabilidad
de
no
fumar
el
día
n
de-
spués
de
su
decisión
de
dejar
de
fumar
y
q
n
a
la
probabilidad
de
fumar
el
día
n
después
de
su
decisión
de
dejar
de
fumar.
Sup
ongamos
que
p
0
=
0
y
q
0
=
1
.
1
Calcular
p
1
y
q
1
.
2
Utilizamos
una
ho
ja
de
cálculo
para
automatizar
el
cál-
culo
de
los
términos
sucesiv
os
de
las
sucesiones
p
n
y
q
n
.
A
con
tin
uación
se
m
uestra
una
captura
de
pan-
talla
de
esta
ho
ja
de
cálculo
:
A
B
C
D
1
n
p
n
q
n
2
0
0
1
1
3
1
4
2
5
3
En
la
columna
A
figuran
los
v
alores
del
n
úmero
natural
n
.
¾Qué
fórm
ulas
se
pueden
escribir
en
las
celdas
B3
et
C3
para
que,
al
copiarlas
hacia
aba
jo,
se
obtengan
resp
ecti-
v
amen
te
en
las
columnas
B
et
C
los
términos
sucesiv
os
de
las
sucesiones
p
n
y
q
n
?
3
Se
definen
las
matrices
M
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
X
n
p
or
:
M
=
0
;
9
0
;
4
0
;
1
0
;
6
et
X
n
=
p
n
q
n
.
Se
admite
que
X
n
+1
=
M
·
X
n
y
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
X
n
=
M
n
·
X
0
Se
definen
las
matrices
A
y
B
median
te
:
A
=
0
;
8
0
;
8
0
;
2
0
;
2
et
B
=
0
;
2
−
0
;
8
−
0
;
2
0
;
8
a
Demostrar
que
:
M
=
A
+0
;
5
·
B
b
V
erificar
que
A
2
=
A
y
que
:
A
·
B
=
B
·
A
=
0
0
0
0
.
Se
admite
en
lo
sucesiv
o
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
estrictamen
te
p
ositiv
o
:
A
n
=
A
;
B
n
=
B
.
c
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
:
M
n
=
A
+
0
;
5
n
·
B
d
Deduzca
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
p
n
=
0
;
8
−
0
;
8
×
0
;
5
n
e
A
largo
plazo,
¾se
puede
afirmar
con
certeza
que
el
fumador
dejará
de
fumar?
E.6949
Se
dan
las
matrices
:
M
=
1
1
1
1
−
1
1
4
2
1
;
I
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
P
arte
A.
1
Determinar
la
matriz
M
2
.
Se
da
:
M
3
=
20
10
11
12
2
9
42
20
21
2
V
erificar
que
:
M
3
=
M
2
+8
·
M
+6
·
I
3
Deduzca
que
M
es
in
v
ertible
y
que
:
M
−
1
=
1
6
·
M
2
−
M
−
8
·
I
.
P
arte
B
:
Estudio
de
un
caso
particular.
Se
busca
determinar
tres
n
úmeros
en
teros
a
,
b
y
c
tales
que
la
paráb
ola
de
ecuación
y
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
pase
p
or
los
pun
tos
:
A
(
1
;
1
)
;
B
(
−
1
;
−
1
)
;
C
(
2
;
5
)
1
Demostrar
que
el
problema
consiste
en
buscar
tres
n
úmeros
en
teros
a
,
b
y
c
tales
que
:
M
·
a
b
c
=
1
−
1
5
2
Calcular
los
n
úmeros
a
,
b
y
c
y
comprobar
que
estos
n
úmeros
son
en
teros.
P
arte
C
:
V
olv
er
al
caso
general.
Los
n
úmeros
a
,
b
,
c
,
p
,
q
,
r
son
en
teros.
En
un
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
→
i
;
−
→
j
,
consideramos
los
pun
tos
A
(
1
;
p
)
,
B
(
−
1
;
q
)
y
C
(
2
;
r
)
.
Buscamos
los
v
alores
de
p
,
q
y
r
para
que
exista
una
paráb
ola
de
ecuación
:
y
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
que
pase
p
or
A
,
B
y
C
.
1
Demostrar
que
si
a
b
c
=
M
−
1
·
p
q
r
con
a
,
b
y
c
en
teros,
en
tonces
:
−
3
p
+
q
+
2
r
≡
0
(
mo
d.
6)
3
p
−
3
q
≡
0
(
mo
d.
6)
6
p
+
2
q
−
2
r
≡
0
(
mo
d.
6)
2
Deduzca
que
:
q
−
r
≡
0
(
mo
d.
3)
p
−
q
≡
0
(
mo
d.
2)
3
Recípro
camen
te,
se
admite
que
si
:
q
−
r
≡
0
(
mo
d.
3)
p
−
q
≡
0
(
mo
d.
2)
A
,
B
,
C
ne
son
t
pas
alignés
en
tonces
existen
tres
n
úmeros
en
teros
a
,
b
y
c
tales
que
la
paráb
ola
de
ecuaciones
:
y
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
pasa
p
or
los
pun
tos
A
,
B
y
C
.
a
Dem
uestra
que
los
pun
tos
A
,
B
y
C
están
alineados
si,
y
solo
si
:
2
·
r
+
q
−
3
·
p
=
0
.
b
Se
elige
p
=
7
.
Determinar
los
n
úmeros
en
teros
q
,
r
,
a
,
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6948
sacados/6948
Liban Mai 2015
chapExoCorrec/6949
sacados/6949
b
y
c
tales
que
la
paráb
ola
de
ecuación
y
=
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
pase
p
or
los
pun
tos
A
,
B
y
C
.
E.8146
Asia
Junio
de
2018
E.8150
Nuev
a
Caledonia
No
viem
bre
2018
5
pun
tos
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/8146
Asie Juin 2018 Asie
sacados/8150
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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