Bachillerato 2 - Exp. / Utilización de matrices 32 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Sistema de ecuaciones lineales sin calculadora E.6173 Deseamos resolver el siguiente sis-tema : ( S ) : x + 2 y + z = 8 x + 2 z = 7 x + 3 y = 7 1 a Efectúa el siguiente producto matricial: 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z b ¾Qué se puede decir de las soluciones de la siguiente ecuación matricial: 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = 8 7 7 2 a Efectúa el siguiente producto matricial: − 6 3 4 2 − 1 − 1 3 − 1 − 2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 b Usando la pregunta anterior, simplifica la siguiente ecuación : - 6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = -6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 8 7 7 c Donner el triplete ( x ; y ; z ) solución del ( S ) sistema de ecuaciones. E.6183 Consideremos las dos matrices A y B definidas por: A = 1 1 − 2 0 − 3 2 − 2 0 3 ; B = 9 3 4 4 1 2 6 2 3 1 Realiza el producto matricial: A · B 2 Considera el sistema de ecuaciones lineales con tres in-cógnitas : ( S ): x + y − 2 z = 1 − 3 y + 2 z = − 1 − 2 x + 3 z = − 1 a Justifica que el sistema ( S ) admite como conjunto solu-ción el de la ecuación matricial: A · x y z = 1 − 1 − 1 b Deduce el conjunto de soluciones del sistema ( S ) . E.6184 Consideremos las dos matrices A y B : A = 2 1 − 2 1 − 1 1 3 − 1 0 ; B = 1 2 − 1 3 6 − 4 2 5 − 3 1 Realizar producto : A · B 2 Considera el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas : ( S ): x + 2 y − z = 5 3 x + 6 y − 4 z = 13 2 x + 5 y − 3 z = 11 Determina el conjunto de tripletas solución de ( S ) . E.6096 Consideremos la matriz: A = 4 1 3 2 1 a Calcula la matriz 6 · A − A 2 . b Deduce que A es invertible y que su matriz inversa, denotada A − 1 , puede escribirse como: A − 1 = ¸ · I + ˛ · A , donde ¸ y ˛ son dos números reales a determinar. c Establecer que la matriz A − 1 admite como expresión : A − 1 = 2 5 − 1 5 − 3 5 4 5 2 Proponer una resolución del sistema : 4 x + y = 4 3 x + 2 y = − 1 2. Sistema de ecuaciones lineales con calculadora E.6195 Consideremos el sistema ( S ) de ecua-ciones definido por: ( S ) : x + 2 y + 3 z = 7 − x − 2 z = − 4 x + y + 2 z = 5 1 Con ayuda de la calculadora, hallar la matriz inversa de la matriz M donde : M = 1 2 3 − 1 0 − 2 1 1 2 2 a Consideremos la matriz X definida por: X = x y z . Dé las dos matrices A y B tales que la ecuación matri-cial A · X = B tenga las mismas soluciones que el sistema ( S ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6173 sacados/6173 chapExoCorrec/6183 sacados/6183 chapExoCorrec/6184 sacados/6184 chapExoCorrec/6096 sacados/6096 chapExoCorrec/6195 sacados/6195
b Dé el conjunto de soluciones del sistema ( S ) . E.6185 1 Utilizando una calculadora, determina la inversa de la matriz A definida por: A = − 1 1 − 2 3 − 2 3 3 − 1 − 1 2 Resuelve el siguiente sistema : ( S ) : − x + y − 2 z = 1 3 x − 2 y + 3 z = − 4 3 x − y − z = − 5 E.6186 1 Utilizando la calculadora, determina la inversa de la ma-triz A definida por: A = 2 1 − 2 1 − 1 − 2 1 1 − 1 2 Resuelve el siguiente sistema : 2 x + y − 2 z = 1 x − y − 2 z = 1 x + y − z = 0 E.5113 Consideremos la matriz cuadrada A de orden 3 definida por: A = 1 − 2 − 2 − 1 1 2 0 2 − 1 1 Utilizando un software de cálculo matricial, establece que la matriz A es invertible y da la matriz inversa de la ma-triz A . 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones : ( S ) : x − 2 y − 2 z = 11 − x + y + 2 z = − 9 2 y − z = − 3 E.5114 Resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : 3 x − 3 y − 2 z = 0 3 x + y + z = − 2 − 2 x + 3 y + 2 z = − 1 E.8635 Resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : 2 x − 3 y + z = − 8 − 3 x + 2 y − 3 z = 3 x − y + z = − 1 E.8636 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : − x − 3 y − 2 z = − 1 − 3 x − 2 y + 2 z = 0 3 x + 3 y − z = − 1 E.8637 Resuelve el sistema de ecuaciones que aparece a continuación utilizando software de cálculo for-mal y las matrices : ( S ) : − 2 x − 3 y − 2 z = 2 − 3 x − 3 y + 2 z = 1 x + 2 y + 3 z = − 2 E.6208 Durante una campaña de mar-keting, la empresa B distribuye un bolígrafo o un llavero; a la empresa le cuesta 0 ; 80 e por bolígrafo y 1 ; 20 e por llavero distribuido. Al final del día la empresa ha distribuido 550 objetos y le ha costado 540 e . Se busca el número s de bolígrafos y el número c de llaveros distribuidos. 1 Escribe un sistema que traduzca esta situación. 2 Demuestra que el sistema anterior es equivalente a: R · X = T donde R = 1 1 0 ; 8 1 ; 2 y X y T son matrices a especificar. 3 Resuelve el sistema con la calculadora. Interpreta el re-sultado. 3. Sistema de ecuaciones lineales y modelización E.6207 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de producción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 menos1cm donde a , b et c sont des nombres réels. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Justifique que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6185 sacados/6185 chapExoCorrec/6186 sacados/6186 chapExoCorrec/5113 sacados/5113 chapExoCorrec/5114 sacados/5114 chapExoCorrec/8635 sacados/8635 chapExoCorrec/8636 sacados/8636 chapExoCorrec/8637 sacados/8637 chapExoCorrec/6208 sacados/6208 chapExoCorrec/6207 sacados/6207
E.6215 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de producción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 menos1cm donde a , b et c sont des nombres réels. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Se admite que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 Se establece : X = a b c 1 a Escribir este sistema en la forma M · X = Y donde M y Y son matrices que se especificarán. b Se admite que la matriz M es invertible. Determinar, con ayuda de la calculadora, el trío ( a ; b ; c ) que es solución del sistema ( S ) . 2 Utilizando este modelo, ¾cuál sería el coste total anual de producción para 8 000 recargas de agua producidas? E.6110 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de produc-ción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 donde a , b , c son números reales. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Se admite que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 Se establece : X = a b c . 1 a Escribir este sistema en la forma M · X = Y , donde M y Y son matrices que se especificarán. b Se admite que la matriz M es invertible. Determine, con ayuda de la calculadora, el trío ( a ; b ; c ) que es la solución del sistema ( S ) . 2 Utilizando este modelo, ¾cuál sería el coste total anual de producción para 8 000 recargas de agua producidas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6215 sacados/6215 chapExoCorrec/6110 sacados/6110
02468101214161820246810IJK D1D2D3M1M2M3N1N2P1P2 E.6233 Un parque de ocio ofrece a sus visitantes recorridos de escalada en árboles. Los distintos recorridos se modelizan mediante el grafo Γ que aparece a continuación, donde los vértices corresponden a los cinco árboles que marcan sus extremos. Cada recorrido está representado por una arista del grafo y puede completarse en cualquier dirección. 1 a Dar, sin justificar, el grado de cada uno de los vér-tices (la respuesta puede presentarse en forma de tabla donde los vértices se ordenan numérique) . b Donner la matriz M asociada al grafo (los vértices se ordenan numérique) . 2 Parmi los grafos de abajo, que representan un subgrafo del grafo inicial: a b c Justifica tu respuesta sólo si no hay subgrafo. 3 Un tobogán gigante está instalado en el árbol 4 . La forma de este tobogán está modelada por una fun-ción f cuya curva C se da a continuación en un marco de referencia ortonormal. Esta curva pasa por los puntos I , J y K con coordenadas (2 ; 8 ; 1) , (10 ; 2 ; 5) y (20 ; 0) respectivamente. La función f está definida en 0 ; 20 por: f ( x ) = ax 2 + bx + c donde a , b y c son tres números reales a Justificar que a , b y c son soluciones del sistema : 400 a + 20 b + c = 0 100 a + 10 b + c = 2 ; 5 4 a + 2 b + c = 8 ; 1 b Determinar las matrices X y V para que el sistema anterior sea equivalente a: U · X = V donde U = 400 20 1 100 10 1 4 2 1 c Determinar a , b y c . E.6216 Consideremos la función f definida por el polinomio de tercer grado : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 2 donde a , b , c ∈ R La función f admite las siguientes imágenes : f ( − 1) = − 8 ; f (1) = 8 ; f (2) = 28 1 Escribir un sistema ( S ) de tres ecuaciones y tres incógni-tas cuya solución es el triplete ( a ; b ; c ) . 2 Se denota X la matriz columna a b c . a Expresar dos matrices A y Y de tal manera que la ecuación ( E ) matriz siguiente admita el mismo triplete solución del sistema ( S ) de ecuaciones : ( E ) : A · X = Y . b Con ayuda de la calculadora, dar el triplete solución de ( S ) . 4. Grafos y caminos de longitudes p E.6156 El siguiente gráfico representa las principales ciudades de los departamentos D 1 , D 2 y D 3 y las carreteras que las conectan. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6233 sacados/6233 02468101214161820246810IJK chapExoCorrec/6216 sacados/6216 chapExoCorrec/6156 sacados/6156 D1D2D3M1M2M3N1N2P1P2
Lundi 12/09S. 38Lundi 19/09S. 39Lundi 26/09S. 40AFDAFDAFD DA1.Départ3.Rochepercée5.Picrouge7.Colvert9.Cascadedesanglais2.Passerelle4.Coldes3vents6.Refuge8.PontNapoléon10.Arrivée 1 a ¾Cuántas rutas hay para conectar la ciudad M 1 con la ciudad P 1 ? b ¾Cuántas rutas hay para conectar la ciudad M 3 con la ciudad P 2 ? 2 a Da la matriz A = a ij donde el coeficiente a ij repre-senta ˇ el número de carreteras que conectan la ciudad M i con la ciudad N j ı para i ∈ [[1;3]] y j ∈ [[1;2]] . b Dar la matriz B = b ij donde el coeficiente b ij repre-senta ˇ el número de carreteras que conectan la ciudad N i con la ciudad P j ı para i ∈ [[1;2]] y j ∈ [[1;2]] . 3 a Dar la matriz C = c ij de dimensión 3 × 2 obtenida por el producto de la matriz A por la matriz B . b Indique los valores de los coeficientes c 11 y c 32 . 4 ¾Qué conjetura se puede formular al comparar los resul-tados de las preguntas? 1 et 3 ? E.6164 Tres amigas, Abondance, Fortune y Désirée (las consideraremos en este orden a lo largo del ejerci-cio) intercambian sus productos de maquillaje cada comienzo de semana. En el gráfico siguiente se representan las difer-entes posibilidades de intercambio entre dos semanas : 1 a ¾Cuántas posibilidades de intercambio permiten a Abundancia recuperar sus productos de maquillaje al comienzo de la semana 40 ? b ¾Cuántas posibilidades de intercambio permiten a For-tuna tener, en la semana 40 , los productos de maquil-laje de Abundancia en la semana 38 ? 2 a Anotamos M la matriz que representa los intercam-bios entre la semana 38 y la semana 39 . Más conc-retamente, el coeficiente m ij representa el número de posibilidades de intercambio durante la primera sem-ana entre la amiga i ième y la amiga j ième . b Se denota N la matriz que representa los intercambios durante la segunda semana. Más concretamente, el coeficiente n ij representa el número de intercambios durante la segunda semana entre la amiga i ième y la amiga j ième . 3 Se denota P = p ij la matriz, cuadrada de orden 3 , pro-ducto de la matriz M por la matriz N : a Da la matriz C . b Indique los valores de los coeficientes p 11 y p 22 . 4 Comparando los resultados de las preguntas 1 et 3 b , , ¾qué conjetura se puede formular? E.6341 Una guía de senderismo de montaña describe las rutas posibles alrededor de un pico ro-coso. La descripción de las rutas se muestra en el siguiente gráfico. Los vértices de este gráfico corresponden a los lugares desta-cados. Las aristas de este gráfico representan los senderos posibles entre estos lugares. 1 Indique una ruta que vaya de D a A pasando por to-dos los vértices del gráfico una sola vez, pero sin utilizar necesariamente todos los senderos. 2 ¾Existe una ruta que vaya de D a A utilizando todos los senderos una sola vez? Justifique su respuesta. 3 Se denota M la matriz de adyacencia asociada a este grafo, tomando los vértices en orden alfabético. Se da M 5 . M 5 = 56 78 75 82 59 57 54 40 26 31 78 88 95 89 96 57 50 65 48 30 75 95 68 68 77 68 46 73 52 23 82 89 68 62 98 49 29 79 67 13 59 96 77 98 50 82 80 40 24 46 57 57 68 49 82 36 25 68 49 16 54 50 46 29 80 25 10 73 60 5 40 65 73 79 40 68 73 32 14 48 26 48 52 67 24 49 60 14 6 39 31 30 23 13 46 16 5 48 39 2 a ¾Qué representa el número 89 situado en la segunda fila y la cuarta columna? b Determine el número de itinerarios que van de D a A utilizando 5 senderos. Cite un itinerario de este tipo que pase por el pico rojo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6164 sacados/6164 Lundi 12/09S. 38Lundi 19/09S. 39Lundi 26/09S. 40AFDAFDAFD chapExoCorrec/6341 sacados/6341 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2013 DA1.Départ3.Rochepercée5.Picrouge7.Colvert9.Cascadedesanglais2.Passerelle4.Coldes3vents6.Refuge8.PontNapoléon10.Arrivée
ABCDEFT ABCDEFG ABCDEFT ABCD ABCDEF E.6340 El siguiente gráfico representa, en un aeropuerto determinado, todas las vías utilizadas por los aviones durante el rodaje. Estas vías, por las que circulan los aviones antes o después del aterrizaje, se denominan taxi-ways . Los aristas del grafo representan las pistas de rodaje (las ˇtaxi-waysı) y los vértices del grafo son las intersecciones. 1 Escribir la matriz M asociada a este grafo (ordenar los vértices alfabéticamente) . 2 Citar todas las rutas de longitud 3 que conectan A con T . E.6342 En el gráfico siguiente, los vér-tices representan diferentes zonas residenciales o de actividad de un municipio. Una arista que conecta dos de estos vértices indica la existencia de una vía de acceso principal entre dos lugares correspondientes. 1 Indique la matriz M asociada al gráfico (los vértices se ordenarán alfabéticamente) . 2 Se da la matriz: M 3 = 2 7 8 5 5 5 3 7 8 12 13 12 8 5 8 12 12 15 13 13 5 5 13 15 12 13 12 8 5 12 13 13 10 12 5 5 8 13 12 12 8 7 3 5 5 8 5 7 2 Determine, justificando su respuesta, el número de caminos de longitud 3 que conectan A y F y, a contin-uación, proporcione su lista. E.6111 El siguiente gráfico representa, en un aeropuerto determinado, todas las vías utilizadas por los aviones durante el rodaje. Estas vías, por las que circu-lan los aviones antes o después del aterrizaje, se denominan taxiways . Los bordes del gráfico representan las vías de circulación (las ˇtaxiwaysı) y los vértices del gráfico son las intersecciones. Este grafo está orientado para indicar el sentido de circulación de los aviones en las diferentes vías: 1 Escribir la matriz M asociada a este grafo (ordenar los vértices alfabéticamente) . 2 Con ayuda de la calculadora, da el valor del coeficiente (1 ; 7) de M 3 . 3 Cita todas las rutas de longitud 3 que conectan A con T . E.6241 Consideremos el siguiente grafo. 1 Da la matriz M de adyacen-cia de este grafo. (Consider-aremos los vértices del grafo siguiendo el orden alfabético) . 2 Con ayuda de la calculadora, indique la expresión de la matriz M 4 . E.6240 En el gráfico adjunto se in-dica, para esta misma ciudad, el sentido de circulación de los vehículos en las diferentes avenidas. 1 ¾Se puede encontrar un trayecto de cualquier longitud que permita ir de D a B respetando el sentido de circu-lación? Justifique la respuesta. 2 Escriba la matriz M asociada a este gráfico. (Ordene los vértices por orden alfabético.) . 3 Con ayuda de la calculadora, dé la expresión de la matriz M 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6340 sacados/6340 ABCDEFT chapExoCorrec/6342 sacados/6342 ABCDEFG chapExoCorrec/6111 sacados/6111 ABCDEFT chapExoCorrec/6241 sacados/6241 ABCD chapExoCorrec/6240 sacados/6240 ABCDEF
ABCDEFGHI E.8318 Consideremos el grafo G siguiente : 1 Demos la matriz M asociada al grafo G (los vértices se ordenarán alfabéticamente) . 2 Se da : M 3 = 6 11 9 10 3 3 4 9 3 11 8 10 9 8 8 3 4 3 9 10 6 5 3 3 8 9 3 10 9 5 6 7 7 3 3 1 3 8 3 7 2 2 1 3 0 3 8 3 7 2 2 1 3 0 4 3 8 3 1 1 4 7 5 9 4 9 3 3 3 7 6 6 3 3 3 1 0 0 5 6 2 a Indique el número de caminos de longitud 3 que conectan el vértice B con el vértice D . b Indique el número de caminos de longitud 4 que conectan el vértice F con el vértice I . 5. Secuencias definidas conjuntamente E.5950 Se definen las dos sucesiones u n y v n mediante las relaciones : u 0 =0 ; v 0 =1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 para todo n ∈ N 1 Determinar los valores de los términos u 2 y v 2 . 2 Consideramos la matriz M : M = 1 2 1 2 1 3 2 3 a Verificar, para todo n ∈ N : u n +1 v n +1 = M · u n v n b Establecer, mediante un razonamiento por recurrencia, la identidad para todo n ∈ N : u n v n = M n · 0 1 c Con ayuda de la calculadora, dar los valores de los términos u 10 y v 10 . E.5357 Considere las dos secuencias reales a n y b n definidas por: a n +1 = 0 ; 7 · a n + 0 ; 6 · b n b n +1 = 0 ; 3 · a n + 0 ; 4 · b n Para cualquier entero natural n , defina la matriz-columna U n definida por: U n = a n b n 1 Determinamos la matriz T logrando para cualquier número natural n la siguiente igualdad : U n +1 = T · U n 2 On supongamos que : a 0 = 2 3 y b 0 = 1 3 . a Déterminer los valores de a 1 y b 1 utilizando la relación matricial establecida en la pregunta 1 . b Quelle se puede conjeturar sobre el comportamiento de las sucesiones a n y b n ? 3 Se supone que : a 0 =0 ; 3 y b 0 =0 ; 7 . a Demostrar, usando razonamiento por recurrencia, que para cualquier número natural n , tenemos la relación: U n = T n · U 0 b À Utilizando una calculadora o un programa infor-mático de aritmética formal, determinar la expresión de las matrices U 2 , U 3 y U 5 a la 10 − 6 más próxima. c ¾Qué podemos conjeturar sobre el comportamiento de las secuencias a n y b n ? . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8318 sacados/8318 ABCDEFGHI chapExoCorrec/5950 sacados/5950 chapExoCorrec/5357 sacados/5357
E.6093 Todos los padres jóvenes utilizan una sola marca de alimentos infantiles al mes. Tres marcas X , Y , Z se reparten el mercado. Sea n un número natural. Observamos : X n l’événement : ˇ la marque X est utilisée le mois n ı Y n l’événement : ˇ la marque Y est utilisée le mois n ı Z n l’événement : ˇ la marque Z est utilisée le mois n ı Las probabilidades de los sucesos X n , Y n , Z n se anotan re-spectivamente x n , y n , z n . La campaña publicitaria de cada marca hace que la distribu-ción cambie : Un comprador de la marca X en el mes n , tiene el mes siguiente : 50 % probabilidad de seguir siendo fiel a esa marca; 40 % probabilidad de comprar la marca Y ; 10 % probabilidad de comprar la marca Z . Un comprador de la marca Y en el mes n , tiene el mes siguiente : 30 % probabilidad de seguir siendo fiel a esa marca; 50 % probabilidad de comprar la marca X ; 20 % probabilidad de comprar la marca Z . Un comprador de la marca Z en el mes n , tiene el mes siguiente : 70 % probabilidad de seguir siendo fiel a esta marca; 10 % probabilidad de comprar la marca X ; 20 % de probabilidad de comprar la marca Y 1 Representar el gráfico de transiciones asociado a este fenómeno de evolución. 2 Anotando U n la matriz columna x n y n z n , determinando la expresión de la matriz T que realiza la relación: U n +1 = T · U n 3 Supongamos que este fenómeno de evolución se inicia con los valores: x 0 = 0 ; 3 ; y 0 = 0 ; 5 ; z 0 = 0 ; 2 Mediante un cálculo matricial y manual, determine el porcentaje de compradores dedicados a cada una de es-tas marcas en el segundo mes. 6. Matriz diagonalizable y secuencias E.5944 Se definen las dos sucesiones u n y v n mediante las relaciones : u 0 = 0 v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 para todo n ∈ N Se define la sucesión de la matriz X n mediante la relación X n = u n v n Consideramos la matriz A definida por: 1 2 1 2 1 3 2 3 1 a Demuestra que para todo número natural n , se tiene : X n +1 = A · X n b Demuestre por recurrencia la siguiente relación para todo número natural n : X n = A n · X 0 2 Definimos las matrices P y P : P = 4 5 6 5 − 6 5 6 5 ; P = 1 2 − 1 2 1 2 1 3 a Demuestre que las matrices P y P son invertibles. b Determine la matriz diagonal B que cumple la sigu-iente igualdad : P · B · P = A c Demostrar por recurrencia que para todo número nat-ural n : A n = P · B n · P 3 a Dar la expresión de la matriz B n en función de n . b Establezca que la matriz X n admite como expresión, para todo número natural n : X n = 3 5 − 3 5 · 1 6 n 3 5 + 2 5 · 1 6 n 4 Deduzca los límites de las sucesiones u n y v n . 7. Ejercicios no clasificados E.8824 Consideremos la sucesión F n de Fi-bonacci definida por: u 0 =0 ; u 1 =1 ; F n +1 = F n + F n − 1 para todo n ∈ N ∗ Denotemos por U n la matriz línea F n F n +1 . 1 Demos la matriz cuadrada A de orden 2 con coeficientes reales que verifica: U n +1 = U n · A 2 Consideremos las dos matrices : D = 1+ 5 2 0 0 1 − 5 2 P = 1 1 1+ 5 2 1 − 5 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6093 sacados/6093 chapExoCorrec/5944 sacados/5944 chapExoCorrec/8824 sacados/8824
a Demuestre que la matriz P es invertible y, a contin-uación, determine su matriz inversa. b Establezca que : A = P · D · P − 1 c Deduzca una expresión del término F n en función de n . Fórmula de Binet: (1843) Para cualquier número natural n , el término F n de rango n de la sucesión de Fibonacci tiene el valor: F n = 1 + 5 n − 1 − 5 n 2 n · 5 https://chingmath.fr