Bachillerato 2 - Exp. / Utilización de matrices 32 ejercicios corregidos

a
1. Sistema de ecuaciones lineales sin calculadora E.6173 Deseamos resolver el siguiente sis-tema : ( S ) : x + 2 y + z = 8 x + 2 z = 7 x + 3 y = 7 1 a Efectúa el siguiente producto matricial: 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z b ¾Qué se puede decir de las soluciones de la siguiente ecuación matricial: 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = 8 7 7 2 a Efectúa el siguiente producto matricial: − 6 3 4 2 − 1 − 1 3 − 1 − 2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 b Usando la pregunta anterior, simplifica la siguiente ecuación : - 6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = -6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 8 7 7 c Donner el triplete ( x ; y ; z ) solución del ( S ) sistema de ecuaciones. E.6183 Consideremos las dos matrices A y B definidas por: A = 1 1 − 2 0 − 3 2 − 2 0 3 ; B = 9 3 4 4 1 2 6 2 3 1 Realiza el producto matricial: A · B 2 Considera el sistema de ecuaciones lineales con tres in-cógnitas : ( S ): x + y − 2 z = 1 − 3 y + 2 z = − 1 − 2 x + 3 z = − 1 a Justifica que el sistema ( S ) admite como conjunto solu-ción el de la ecuación matricial: A · x y z = 1 − 1 − 1 b Deduce el conjunto de soluciones del sistema ( S ) . E.6184 Consideremos las dos matrices A y B : A = 2 1 − 2 1 − 1 1 3 − 1 0 ; B = 1 2 − 1 3 6 − 4 2 5 − 3 1 Realizar producto : A · B 2 Considera el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas : ( S ): x + 2 y − z = 5 3 x + 6 y − 4 z = 13 2 x + 5 y − 3 z = 11 Determina el conjunto de tripletas solución de ( S ) . E.6096 Consideremos la matriz: A = 4 1 3 2 1 a Calcula la matriz 6 · A − A 2 . b Deduce que A es invertible y que su matriz inversa, denotada A − 1 , puede escribirse como: A − 1 = ¸ · I + ˛ · A , donde ¸ y ˛ son dos números reales a determinar. c Establecer que la matriz A − 1 admite como expresión : A − 1 = 2 5 − 1 5 − 3 5 4 5 2 Proponer una resolución del sistema : 4 x + y = 4 3 x + 2 y = − 1 2. Sistema de ecuaciones lineales con calculadora E.6195 Consideremos el sistema ( S ) de ecua-ciones definido por: ( S ) : x + 2 y + 3 z = 7 − x − 2 z = − 4 x + y + 2 z = 5 1 Con ayuda de la calculadora, hallar la matriz inversa de la matriz M donde : M = 1 2 3 − 1 0 − 2 1 1 2 2 a Consideremos la matriz X definida por: X = x y z . Dé las dos matrices A y B tales que la ecuación matri-cial A · X = B tenga las mismas soluciones que el sistema ( S ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6173 sacados/6173 chapExoCorrec/6183 sacados/6183 chapExoCorrec/6184 sacados/6184 chapExoCorrec/6096 sacados/6096 chapExoCorrec/6195 sacados/6195
b Dé el conjunto de soluciones del sistema ( S ) . E.6185 1 Utilizando una calculadora, determina la inversa de la matriz A definida por: A = − 1 1 − 2 3 − 2 3 3 − 1 − 1 2 Resuelve el siguiente sistema : ( S ) : − x + y − 2 z = 1 3 x − 2 y + 3 z = − 4 3 x − y − z = − 5 E.6186 1 Utilizando la calculadora, determina la inversa de la ma-triz A definida por: A = 2 1 − 2 1 − 1 − 2 1 1 − 1 2 Resuelve el siguiente sistema : 2 x + y − 2 z = 1 x − y − 2 z = 1 x + y − z = 0 E.5113 Consideremos la matriz cuadrada A de orden 3 definida por: A = 1 − 2 − 2 − 1 1 2 0 2 − 1 1 Utilizando un software de cálculo matricial, establece que la matriz A es invertible y da la matriz inversa de la ma-triz A . 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones : ( S ) : x − 2 y − 2 z = 11 − x + y + 2 z = − 9 2 y − z = − 3 E.5114 Resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : 3 x − 3 y − 2 z = 0 3 x + y + z = − 2 − 2 x + 3 y + 2 z = − 1 E.8635 Resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : 2 x − 3 y + z = − 8 − 3 x + 2 y − 3 z = 3 x − y + z = − 1 E.8636 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente utilizando software de cálculo formal y matrices : ( S ) : − x − 3 y − 2 z = − 1 − 3 x − 2 y + 2 z = 0 3 x + 3 y − z = − 1 E.8637 Resuelve el sistema de ecuaciones que aparece a continuación utilizando software de cálculo for-mal y las matrices : ( S ) : − 2 x − 3 y − 2 z = 2 − 3 x − 3 y + 2 z = 1 x + 2 y + 3 z = − 2 E.6208 Durante una campaña de mar-keting, la empresa B distribuye un bolígrafo o un llavero; a la empresa le cuesta 0 ; 80 e por bolígrafo y 1 ; 20 e por llavero distribuido. Al final del día la empresa ha distribuido 550 objetos y le ha costado 540 e . Se busca el número s de bolígrafos y el número c de llaveros distribuidos. 1 Escribe un sistema que traduzca esta situación. 2 Demuestra que el sistema anterior es equivalente a: R · X = T donde R = 1 1 0 ; 8 1 ; 2 y X y T son matrices a especificar. 3 Resuelve el sistema con la calculadora. Interpreta el re-sultado. 3. Sistema de ecuaciones lineales y modelización E.6207 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de producción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 menos1cm donde a , b et c sont des nombres réels. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Justifique que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6185 sacados/6185 chapExoCorrec/6186 sacados/6186 chapExoCorrec/5113 sacados/5113 chapExoCorrec/5114 sacados/5114 chapExoCorrec/8635 sacados/8635 chapExoCorrec/8636 sacados/8636 chapExoCorrec/8637 sacados/8637 chapExoCorrec/6208 sacados/6208 chapExoCorrec/6207 sacados/6207
E.6215 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de producción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 menos1cm donde a , b et c sont des nombres réels. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Se admite que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 Se establece : X = a b c 1 a Escribir este sistema en la forma M · X = Y donde M y Y son matrices que se especificarán. b Se admite que la matriz M es invertible. Determinar, con ayuda de la calculadora, el trío ( a ; b ; c ) que es solución del sistema ( S ) . 2 Utilizando este modelo, ¾cuál sería el coste total anual de producción para 8 000 recargas de agua producidas? E.6110 La empresa U suministra a sus clientes recargas para fuentes de agua y dispone de los siguientes resultados anteriores : Número de recargas en miles 1 3 5 Coste total anual de produc-ción en cientos de euros 11 27 ; 4 83 El coste total de producción se modela mediante una función C definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 donde a , b , c son números reales. Cuando el número x designa el número de miles de recargas producidas, C ( x ) es el coste total de producción en cientos de euros. Se admite que el triplete ( a ; b ; c ) es la solución del sistema ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 Se establece : X = a b c . 1 a Escribir este sistema en la forma M · X = Y , donde M y Y son matrices que se especificarán. b Se admite que la matriz M es invertible. Determine, con ayuda de la calculadora, el trío ( a ; b ; c ) que es la solución del sistema ( S ) . 2 Utilizando este modelo, ¾cuál sería el coste total anual de producción para 8 000 recargas de agua producidas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6215 sacados/6215 chapExoCorrec/6110 sacados/6110
E.6233 Un parque de ocio ofrece a sus visitantes recorridos de escalada en árboles. Los distintos recorridos se modelizan mediante el grafo Γ que aparece a continuación, donde los vértices corresponden a los cinco árboles que marcan sus extremos. Cada recorrido está representado por una arista del grafo y puede completarse en cualquier dirección. 1 a Dar, sin justificar, el grado de cada uno de los vér-tices (la respuesta puede presentarse en forma de tabla donde los vértices se ordenan numérique) . b Donner la matriz M asociada al grafo (los vértices se ordenan numérique) . 2 Parmi los grafos de abajo, que representan un subgrafo del grafo inicial: a b c Justifica tu respuesta sólo si no hay subgrafo. 3 Un tobogán gigante está instalado en el árbol 4 . La forma de este tobogán está modelada por una fun-ción f cuya curva C se da a continuación en un marco de referencia ortonormal. Esta curva pasa por los puntos I , J y K con coordenadas (2 ; 8 ; 1) , (10 ; 2 ; 5) y (20 ; 0) respectivamente. La función f está definida en 0 ; 20 por: f ( x ) = ax 2 + bx + c donde a , b y c son tres números reales a Justificar que a , b y c son soluciones del sistema : 400 a + 20 b + c = 0 100 a + 10 b + c = 2 ; 5 4 a + 2 b + c = 8 ; 1 b Determinar las matrices X y V para que el sistema anterior sea equivalente a: U · X = V donde U = 400 20 1 100 10 1 4 2 1 c Determinar a , b y c . E.6216 Consideremos la función f definida por el polinomio de tercer grado : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 2 donde a , b , c ∈ R La función f admite las siguientes imágenes : f ( − 1) = − 8 ; f (1) = 8 ; f (2) = 28 1 Escribir un sistema ( S ) de tres ecuaciones y tres incógni-tas cuya solución es el triplete ( a ; b ; c ) . 2 Se denota X la matriz columna a b c . a Expresar dos matrices A y Y de tal manera que la ecuación ( E ) matriz siguiente admita el mismo triplete solución del sistema ( S ) de ecuaciones : ( E ) : A · X = Y . b Con ayuda de la calculadora, dar el triplete solución de ( S ) . 4. Grafos y caminos de longitudes p E.6156 El siguiente gráfico representa las principales ciudades de los departamentos D 1 , D 2 y D 3 y las carreteras que las conectan. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6233 sacados/6233 02468101214161820246810IJK chapExoCorrec/6216 sacados/6216 chapExoCorrec/6156 sacados/6156 D1D2D3M1M2M3N1N2P1P2
1 a ¾Cuántas rutas hay para conectar la ciudad M 1 con la ciudad P 1 ? b ¾Cuántas rutas hay para conectar la ciudad M 3 con la ciudad P 2 ? 2 a Da la matriz A = a ij donde el coeficiente a ij repre-senta ˇ el número de carreteras que conectan la ciudad M i con la ciudad N j ı para i ∈ [[1;3]] y j ∈ [[1;2]] . b Dar la matriz B = b ij donde el coeficiente b ij repre-senta ˇ el número de carreteras que conectan la ciudad N i con la ciudad P j ı para i ∈ [[1;2]] y j ∈ [[1;2]] . 3 a Dar la matriz C = c ij de dimensión 3 × 2 obtenida por el producto de la matriz A por la matriz B . b Indique los valores de los coeficientes c 11 y c 32 . 4 ¾Qué conjetura se puede formular al comparar los resul-tados de las preguntas? 1 et 3 ? E.6164 Tres amigas, Abondance, Fortune y Désirée (las consideraremos en este orden a lo largo del ejerci-cio) intercambian sus productos de maquillaje cada comienzo de semana. En el gráfico siguiente se representan las difer-entes posibilidades de intercambio entre dos semanas : 1 a ¾Cuántas posibilidades de intercambio permiten a Abundancia recuperar sus productos de maquillaje al comienzo de la semana 40 ? b ¾Cuántas posibilidades de intercambio permiten a For-tuna tener, en la semana 40 , los productos de maquil-laje de Abundancia en la semana 38 ? 2 a Anotamos M la matriz que representa los intercam-bios entre la semana 38 y la semana 39 . Más conc-retamente, el coeficiente m ij representa el número de posibilidades de intercambio durante la primera sem-ana entre la amiga i ième y la amiga j ième . b Se denota N la matriz que representa los intercambios durante la segunda semana. Más concretamente, el coeficiente n ij representa el número de intercambios durante la segunda semana entre la amiga i ième y la amiga j ième . 3 Se denota P = p ij la matriz, cuadrada de orden 3 , pro-ducto de la matriz M por la matriz N : a Da la matriz C . b Indique los valores de los coeficientes p 11 y p 22 . 4 Comparando los resultados de las preguntas 1 et 3 b , , ¾qué conjetura se puede formular? E.6341 Una guía de senderismo de montaña describe las rutas posibles alrededor de un pico ro-coso. La descripción de las rutas se muestra en el siguiente gráfico. Los vértices de este gráfico corresponden a los lugares desta-cados. Las aristas de este gráfico representan los senderos posibles entre estos lugares. 1 Indique una ruta que vaya de D a A pasando por to-dos los vértices del gráfico una sola vez, pero sin utilizar necesariamente todos los senderos. 2 ¾Existe una ruta que vaya de D a A utilizando todos los senderos una sola vez? Justifique su respuesta. 3 Se denota M la matriz de adyacencia asociada a este grafo, tomando los vértices en orden alfabético. Se da M 5 . M 5 = 56 78 75 82 59 57 54 40 26 31 78 88 95 89 96 57 50 65 48 30 75 95 68 68 77 68 46 73 52 23 82 89 68 62 98 49 29 79 67 13 59 96 77 98 50 82 80 40 24 46 57 57 68 49 82 36 25 68 49 16 54 50 46 29 80 25 10 73 60 5 40 65 73 79 40 68 73 32 14 48 26 48 52 67 24 49 60 14 6 39 31 30 23 13 46 16 5 48 39 2 a ¾Qué representa el número 89 situado en la segunda fila y la cuarta columna? b Determine el número de itinerarios que van de D a A utilizando 5 senderos. Cite un itinerario de este tipo que pase por el pico rojo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6164 sacados/6164 Lundi 12/09S. 38Lundi 19/09S. 39Lundi 26/09S. 40AFDAFDAFD chapExoCorrec/6341 sacados/6341 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2013 DA1.Départ3.Rochepercée5.Picrouge7.Colvert9.Cascadedesanglais2.Passerelle4.Coldes3vents6.Refuge8.PontNapoléon10.Arrivée
E.6340 El siguiente gráfico representa, en un aeropuerto determinado, todas las vías utilizadas por los aviones durante el rodaje. Estas vías, por las que circulan los aviones antes o después del aterrizaje, se denominan taxi-ways . Los aristas del grafo representan las pistas de rodaje (las ˇtaxi-waysı) y los vértices del grafo son las intersecciones. 1 Escribir la matriz M asociada a este grafo (ordenar los vértices alfabéticamente) . 2 Citar todas las rutas de longitud 3 que conectan A con T . E.6342 En el gráfico siguiente, los vér-tices representan diferentes zonas residenciales o de actividad de un municipio. Una arista que conecta dos de estos vértices indica la existencia de una vía de acceso principal entre dos lugares correspondientes. 1 Indique la matriz M asociada al gráfico (los vértices se ordenarán alfabéticamente) . 2 Se da la matriz: M 3 = 2 7 8 5 5 5 3 7 8 12 13 12 8 5 8 12 12 15 13 13 5 5 13 15 12 13 12 8 5 12 13 13 10 12 5 5 8 13 12 12 8 7 3 5 5 8 5 7 2 Determine, justificando su respuesta, el número de caminos de longitud 3 que conectan A y F y, a contin-uación, proporcione su lista. E.6111 El siguiente gráfico representa, en un aeropuerto determinado, todas las vías utilizadas por los aviones durante el rodaje. Estas vías, por las que circu-lan los aviones antes o después del aterrizaje, se denominan taxiways . Los bordes del gráfico representan las vías de circulación (las ˇtaxiwaysı) y los vértices del gráfico son las intersecciones. Este grafo está orientado para indicar el sentido de circulación de los aviones en las diferentes vías: 1 Escribir la matriz M asociada a este grafo (ordenar los vértices alfabéticamente) . 2 Con ayuda de la calculadora, da el valor del coeficiente (1 ; 7) de M 3 . 3 Cita todas las rutas de longitud 3 que conectan A con T . E.6241 Consideremos el siguiente grafo. 1 Da la matriz M de adyacen-cia de este grafo. (Consider-aremos los vértices del grafo siguiendo el orden alfabético) . 2 Con ayuda de la calculadora, indique la expresión de la matriz M 4 . E.6240 En el gráfico adjunto se in-dica, para esta misma ciudad, el sentido de circulación de los vehículos en las diferentes avenidas. 1 ¾Se puede encontrar un trayecto de cualquier longitud que permita ir de D a B respetando el sentido de circu-lación? Justifique la respuesta. 2 Escriba la matriz M asociada a este gráfico. (Ordene los vértices por orden alfabético.) . 3 Con ayuda de la calculadora, dé la expresión de la matriz M 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6340 sacados/6340 ABCDEFT chapExoCorrec/6342 sacados/6342 ABCDEFG chapExoCorrec/6111 sacados/6111 ABCDEFT chapExoCorrec/6241 sacados/6241 ABCD chapExoCorrec/6240 sacados/6240 ABCDEF
E.8318 Consideremos el grafo G siguiente : 1 Demos la matriz M asociada al grafo G (los vértices se ordenarán alfabéticamente) . 2 Se da : M 3 = 6 11 9 10 3 3 4 9 3 11 8 10 9 8 8 3 4 3 9 10 6 5 3 3 8 9 3 10 9 5 6 7 7 3 3 1 3 8 3 7 2 2 1 3 0 3 8 3 7 2 2 1 3 0 4 3 8 3 1 1 4 7 5 9 4 9 3 3 3 7 6 6 3 3 3 1 0 0 5 6 2 a Indique el número de caminos de longitud 3 que conectan el vértice B con el vértice D . b Indique el número de caminos de longitud 4 que conectan el vértice F con el vértice I . 5. Secuencias definidas conjuntamente E.5950 Se definen las dos sucesiones u n y v n mediante las relaciones : u 0 =0 ; v 0 =1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 para todo n ∈ N 1 Determinar los valores de los términos u 2 y v 2 . 2 Consideramos la matriz M : M = 1 2 1 2 1 3 2 3 a Verificar, para todo n ∈ N : u n +1 v n +1 = M · u n v n b Establecer, mediante un razonamiento por recurrencia, la identidad para todo n ∈ N : u n v n = M n · 0 1 c Con ayuda de la calculadora, dar los valores de los términos u 10 y v 10 . E.5357 Considere las dos secuencias reales a n y b n definidas por: a n +1 = 0 ; 7 · a n + 0 ; 6 · b n b n +1 = 0 ; 3 · a n + 0 ; 4 · b n Para cualquier entero natural n , defina la matriz-columna U n definida por: U n = a n b n 1 Determinamos la matriz T logrando para cualquier número natural n la siguiente igualdad : U n +1 = T · U n 2 On supongamos que : a 0 = 2 3 y b 0 = 1 3 . a Déterminer los valores de a 1 y b 1 utilizando la relación matricial establecida en la pregunta 1 . b Quelle se puede conjeturar sobre el comportamiento de las sucesiones a n y b n ? 3 Se supone que : a 0 =0 ; 3 y b 0 =0 ; 7 . a Demostrar, usando razonamiento por recurrencia, que para cualquier número natural n , tenemos la relación: U n = T n · U 0 b À Utilizando una calculadora o un programa infor-mático de aritmética formal, determinar la expresión de las matrices U 2 , U 3 y U 5 a la 10 − 6 más próxima. c ¾Qué podemos conjeturar sobre el comportamiento de las secuencias a n y b n ? . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8318 sacados/8318 ABCDEFGHI chapExoCorrec/5950 sacados/5950 chapExoCorrec/5357 sacados/5357
E.6093 Todos los padres jóvenes utilizan una sola marca de alimentos infantiles al mes. Tres marcas X , Y , Z se reparten el mercado. Sea n un número natural. Observamos : X n l’événement : ˇ la marque X est utilisée le mois n ı Y n l’événement : ˇ la marque Y est utilisée le mois n ı Z n l’événement : ˇ la marque Z est utilisée le mois n ı Las probabilidades de los sucesos X n , Y n , Z n se anotan re-spectivamente x n , y n , z n . La campaña publicitaria de cada marca hace que la distribu-ción cambie : Un comprador de la marca X en el mes n , tiene el mes siguiente : 50 % probabilidad de seguir siendo fiel a esa marca; 40 % probabilidad de comprar la marca Y ; 10 % probabilidad de comprar la marca Z . Un comprador de la marca Y en el mes n , tiene el mes siguiente : 30 % probabilidad de seguir siendo fiel a esa marca; 50 % probabilidad de comprar la marca X ; 20 % probabilidad de comprar la marca Z . Un comprador de la marca Z en el mes n , tiene el mes siguiente : 70 % probabilidad de seguir siendo fiel a esta marca; 10 % probabilidad de comprar la marca X ; 20 % de probabilidad de comprar la marca Y 1 Representar el gráfico de transiciones asociado a este fenómeno de evolución. 2 Anotando U n la matriz columna x n y n z n , determinando la expresión de la matriz T que realiza la relación: U n +1 = T · U n 3 Supongamos que este fenómeno de evolución se inicia con los valores: x 0 = 0 ; 3 ; y 0 = 0 ; 5 ; z 0 = 0 ; 2 Mediante un cálculo matricial y manual, determine el porcentaje de compradores dedicados a cada una de es-tas marcas en el segundo mes. 6. Matriz diagonalizable y secuencias E.5944 Se definen las dos sucesiones u n y v n mediante las relaciones : u 0 = 0 v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 para todo n ∈ N Se define la sucesión de la matriz X n mediante la relación X n = u n v n Consideramos la matriz A definida por: 1 2 1 2 1 3 2 3 1 a Demuestra que para todo número natural n , se tiene : X n +1 = A · X n b Demuestre por recurrencia la siguiente relación para todo número natural n : X n = A n · X 0 2 Definimos las matrices P y P : P = 4 5 6 5 − 6 5 6 5 ; P = 1 2 − 1 2 1 2 1 3 a Demuestre que las matrices P y P son invertibles. b Determine la matriz diagonal B que cumple la sigu-iente igualdad : P · B · P = A c Demostrar por recurrencia que para todo número nat-ural n : A n = P · B n · P 3 a Dar la expresión de la matriz B n en función de n . b Establezca que la matriz X n admite como expresión, para todo número natural n : X n = 3 5 − 3 5 · 1 6 n 3 5 + 2 5 · 1 6 n 4 Deduzca los límites de las sucesiones u n y v n . 7. Ejercicios no clasificados E.8824 Consideremos la sucesión F n de Fi-bonacci definida por: u 0 =0 ; u 1 =1 ; F n +1 = F n + F n − 1 para todo n ∈ N ∗ Denotemos por U n la matriz línea F n F n +1 . 1 Demos la matriz cuadrada A de orden 2 con coeficientes reales que verifica: U n +1 = U n · A 2 Consideremos las dos matrices : D = 1+ 5 2 0 0 1 − 5 2 P = 1 1 1+ 5 2 1 − 5 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6093 sacados/6093 chapExoCorrec/5944 sacados/5944 chapExoCorrec/8824 sacados/8824
a Demuestre que la matriz P es invertible y, a contin-uación, determine su matriz inversa. b Establezca que : A = P · D · P − 1 c Deduzca una expresión del término F n en función de n . Fórmula de Binet: (1843) Para cualquier número natural n , el término F n de rango n de la sucesión de Fibonacci tiene el valor: F n = 1 + 5 n − 1 − 5 n 2 n · 5 https://chingmath.fr