Bachillerato 2 / Algoritmos 39 ejercicios (100% corregidos)

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1. Secuencias: bucles iterativos E.5804 Consideremos la sucesión numérica v n definida por: v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n 1 Queremos escribir un algoritmo que muestre, para un número natural n dado, todos los términos de la suce-sión, desde el rango 0 hasta el rango n . De los tres algoritmos siguientes, solo uno es adecuado. Especifique cuál y justifique su respuesta. Algoritmo 1 Variables : v es un número real. i y n son números nat-urales Inicio del algoritmo : Leer n v toma el valor 1 Para i que va de 1 a n hacer v toma el valor 9 6 − v Fin para Mostrar v Fin del algoritmo Algoritmo 2 Variables : v es un número real. i y n son números nat-urales Inicio del algoritmo : Leer n Para i que va de 1 a n hacer v toma el valor 1 v toma el valor 9 6 − v Fin para Mostrar v Fin del algoritmo Algoritmo 3 Variables : v es un número real. i y n son números nat-urales Inicio del algoritmo : Leer n v toma el valor 1 Para i que va de 1 a n hacer Mostrar v v toma el valor 9 6 − v Fin para Mostrar v Fin del algoritmo 2 Para n =10 , se obtiene la siguiente visualización: 1 1 ; 800 2 ; 143 2 ; 333 2 ; 455 2 ; 538 2 ; 600 2 ; 647 2 ; 684 2 ; 714 Para n =100 , obtenemos la siguiente visualización: 2,967 2 ; 968 2 ; 968 2 ; 968 2 ; 969 2 ; 969 2 ; 969 2 ; 970 2 ; 970 2 ; 970 ¾Qué conjeturas se pueden hacer sobre la secuencia v n ? E.5839 Consideremos la sucesión u n definida por u 0 =1 y, para todo número natural n : u n +1 = 2 · u n Consideremos la función f resultante de un algoritmo en el que el argumento n es un número natural distinto de cero: Función f(n) u ← 1 Para i que varía de 1 a n u ← 2 · u Fin de Para Devolver u 1 Dar un valor aproximado a 10 − 4 cercano al valor devuelto por esta función cuando se llama a ella con el valor n =3 como argumento. 2 ¾Qué interpretación se puede dar al valor devuelto por la función u ? 3 Mediante varias llamadas a la función f , se ha obtenido la siguiente tabla : n 1 5 10 15 20 Valor devuelto 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 ¾Qué conjetura se puede hacer sobre la secuencia u n ? E.6887 Consideremos la sucesión definida por: u 0 = ln 2 ; u n +1 = 1 n + 1 − u n 1 A continuación se presenta una función f parte de un algoritmo: Función f(n) u ← ... Para i que varía de 1 a ... u ← ... Fin Para Devolver u Copie y complete el código de la función f para que de-vuelva el valor del término u n cuando se le pase como argumento el valor n . 2 Utilizando el algoritmo, se ha obtenido la siguiente tabla de valores: n 0 1 2 3 4 5 10 50 100 u n 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050 ¾Qué conjeturas se pueden hacer sobre el compor-tamiento de la sucesión u n ? E.6891 Consideremos el siguiente algo-ritmo: Función f(p) u ← 5 Para k que varía de 1 a p u ← 0;5u+0;5 k − 1 − 1;5 Fin de Para Devolver u Se realiza una llamada a la función con el valor del parámetro p = 2 . Construir una tabla con los valores de las variables k , p et u durante esta llamada a la función f . ¾Qué número se obtiene como resultado de la llamada a la función g ?. E.5842 Consideremos la función f tomada de un algoritmo en el que la llamada se realiza suministrando un argumento n entero de valor mayor o igual que 1 : Función f(n) A ← 1 B ← 1 Para K que varía de 1 a n A ← A+ A 2 +B 2 3 B ← B 3 End For Enviar de vuelta A Llamamos a esta función con el valor 2 para el argumento n . Copia y completa la siguiente tabla que contiene el estado de las variables durante esta llamada a la función f (redondeare-mos los valores calculados a 10 − .4 cerca) K A B 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5804 sacados/5804 Extrait du bac Liban Mai 2013 chapExoCorrec/5839 sacados/5839 chapExoCorrec/6887 sacados/6887 Extrait Liban Mai 2017 chapExoCorrec/6891 sacados/6891 Extrait Antilles-Guyane Juin 2015 chapExoCorrec/5842 sacados/5842
2. Secuencias: bucles condicionales a estudiar E.5379 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 5 y u n +1 = u n ln u n para cualquier n ∈ N Damos el algoritmo inverso : X ← 5 Y ← 0 Siempre que X>2; 72 X ← X ln X Y ← Y+1 Fin Mientras A partir de la siguiente tabla, obtenida mediante una hoja de cálculo, determina el valor de la variable Y al final de la ejecución del algoritmo. n 0 1 2 3 4 5 u n 5 3, 1066746 2,7406525 2,7183726 2,71828183 2,7182818 E.5838 Consideramos la sucesión p n definida por: p 1 = 0 ; p n +1 = 0 ; 2 · p n + 0 ; 04 pour cualquier n ∈ N ∗ Admitimos que la sucesión p n es creciente y converge a 0 ; 05 . Consideremos la función f siguiente de un algoritmo en el que el argumento k suministrado en la llamada es un entero mayor o igual que 2 : Función f(k) P ← 0 J ← 1 Tant que P<0;05 − 10 − k P ← 0;2 × P+0;04 J ← J+1 Fin Mientras Renvoyer J 1 Comment interpretar el valor devuelto por la función f relativo al valor del argumento k facilitado al llamar a esta función? 2 ¾Por qué estamos seguros de que la llamada a la función f se detiene? E.6899 Sea f la función definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 2 x · e − x Admitimos que la función f admite el límite: lim x ↦→ + ∞ f ( x )=0 Se da el siguiente algoritmo: t ← 3;5 p ← 0;25 C ← 0; 21 Mientras C>5 × 10 − 3 t ← t+p C ← f(t) Fin Mientras Considerando una ejecución paso a paso del algoritmo, com-pleta la siguiente tabla con los valores que toman las variables p , t y C durante su ejecución. Redondea los valores al 10 − 2 más próximo. Initialisation Stage 1 Stage 2 p 0 ; 25 t 3 ; 5 C 0 ; 21 E.5836 Definimos la secuencia d n por: d 0 = 1 ; d n +1 = 1 2 · d n 2 para todo n ∈ N Consideremos la función f , derivada de un algoritmo, tomando como argumento p un número entero estrictamente positivo: Función f(p) d ← 1 n ← 0 Siempre que d>10 − p d ← 0; 5 · d 2 n ← n+1 End Mientras Return n Llamando a la función f con el valor 9 para el argumento p , devuelve el número 5 . ¾Deduce la desigualdad verificada por el número d 5 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5379 sacados/5379 Extrait du bac Antilles-Guyane Septembre 2012 chapExoCorrec/5838 sacados/5838 chapExoCorrec/6899 sacados/6899 chapExoCorrec/5836 sacados/5836
E.6049 Sea r n una sucesión geométrica de razón 3 2 y primer término 1 . Consideremos la función f de un algoritmo: Función f(p) r ← 1 n ← 0 Mientras r>p n ← n+1 R ← 3 2 · R Fin mientras que Devolver n 1 ¾Cuál es el valor devuelto por la función f llamada con el valor 0 ; 5 del argumento p ? 2 Llamada con el valor 0 ; 01 , la función f devuelve el valor 33 . ¾Qué representa el valor devuelto por esta función? E.5837 Consideremos la sucesión I n definida para n entero natural distinto de cero por: I n = 1 0 x n · e x 2 d x Admitimos que los términos de la sucesión I n que verifican la siguiente relación para todo entero n , mayor o igual que 1 : I 1 = 1 2 · e − 1 2 ; I n +2 = 1 2 · e − n + 1 2 · I n Consideremos el siguiente algo-ritmo: Al final de la ejecución del algo-ritmo, ¾a qué término de la sucesión I n corresponde el valor de la vari-able u ? n ← 1 u ← 1 2 e − 1 2 Mientras n<21 u ← 1 2 · e − n +1 2 · u n ← n+2 3. Secuencias: construir bucles condicionales E.6894 Una empresa produce bacterias para la industria. En el laboratorio se ha medido que, en un medio nutritivo adecuado, la masa de estas bacterias, medida en gramos, aumenta en 20 % en un día. La empresa monta el siguiente dispositivo industrial. En un tanque de medio nutritivo, se introducen inicialmente 1 kg bacterias. A continuación, a una hora fija cada día, se sustituye el medio nutritivo contenido en el tanque. Durante esta operación, se pierden 100 g de bacterias. La empresa se fija el objetivo de producir 30 kg de bacterias. La evolución de la población de bacterias en el tanque se mod-ela mediante la secuencia u n definida como sigue : u 0 = 1 000 ; u n +1 = 1 ; 2 · u n − 100 La empresa quiere saber al cabo de cuántos días la masa de bacterias superará 30 kg . Para responder al problema planteado se puede utilizar el siguiente algoritmo. Copia y completa este algoritmo. u ← 1 000 n ← 0 Mientras ... u ← ... n ← n+1 Fin Mientras E.5803 El objetivo de este ejercicio es es-tudiar la sucesión u n definida por su primer término u 1 = 3 2 y la relación de recurrencia : u n +1 = n · u n + 1 2( n + 1) Para calcular el término u 9 de la sucesión, un alumno propone el algoritmo que se muestra al lado, donde a la variable u se le asignará este valor al final de la ejecución de dicho algoritmo. Ha olvidado completar dos líneas : n ← 1 u ← 1;5 Mientras n<9 u ← ... n ← ... Fin Mientras que 1 Recopier y completar las dos líneas del algoritmo donde hay elipses. 2 Ejecutando este algoritmo paso a paso se obtienen los siguientes resultados, redondeados a la diezmilésima más próxima: n 1 2 3 4 5 6 · · · 99 100 u n 1 ; 5 0 ; 625 0 ; 375 0 ; 2656 0 ; 2063 0 ; 1693 · · · 0 ; 0102 0 ; 0101 A la vista de estos resultados, conjetura la dirección de variación y convergencia de la secuencia u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6049 sacados/6049 chapExoCorrec/5837 sacados/5837 chapExoCorrec/6894 sacados/6894 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/5803 sacados/5803
E.5998 Consideremos la sucesión u n definida para todo número natural n por la fórmula : u n = 2 · e − 1 2 n ln 2 Se admite que : La sucesión u n es estrictamente creciente en N La sucesión u n es convergente y converge hacia 2 . Copie el algoritmo siguiente y complételo con las instrucciones de procesamiento y salida, de modo que al final de la ejecu-ción, a la variable n se le asigne el valor más pequeño de n tal que u n > 1 ; 999 . n ← 0 u ← 1 Mientras que... ... ... Fin Mientras que E.5362 Consideramos la sucesión u n definida por: u n = ln( n ) n pour cualquier n ∈ N ∗ Admitimos que : La sucesión u n es estrictamente decreciente a partir del término de rango 2 . La secuencia v n es convergente y converge a 0 . Escriba un algoritmo que determine el menor número entero n 0 mayor o igual que 2 tal que ⏐ ⏐ u n 0 ⏐ ⏐ 10 − 2 .. 4. Secuencias y bucles E.5363 Consideremos la función f , tomada de un algoritmo, donde el valor pasado como argu-mento es un número natural. Función f(N) U ← 0 Para k de 0 a N − 1 U ← 3 · U − 2k+3 Fin para Devuelve U 1 ¾Cuál es el valor devuelto por la función f cuando el valor pasado como argumento es N =3 ? 2 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 0 ; u n +1 = 3 · u n − 2 · n + 3 para todo n ∈ N Admitir que la sucesión u n es creciente y tiene un límite: lim n ↦→ + ∞ u n = + ∞ Proponer una función f de un algoritmo que, para un valor p pasado como argumento, devuelva el valor del menor entero n 0 tal que : Para cualquier n n 0 , tenemos : u n 10 p 5. Suma de los términos de una secuencia E.5378 Sea u n la sucesión definida para cualquier número entero estrictamente positivo por: u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 On consideremos la función f que se extraída de un algo-ritmo y tomando como argumento n un número entero estrictamente positivo.: Función f(n) u ← 0 Pour i que varía de 1 a n u ← u+ 1 i Fin Pour Renvoyer u Dar el valor exacto devuelto por esta función cuando el usuario llama a la función f con el valor n =3 . 2 Recopier y completar el algoritmo anterior para que el valor devuelto sea el término u n de rango n cuando se llama a la función f con el valor n . 3 Aquí tienes los resultados proporcionados por el algo-ritmo modificado, redondeados a 10 − 3 . n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000 u n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 A partir de esta tabla, formula conjeturas sobre la di-rección de variación de la secuencia u n y su posible convergencia. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5998 sacados/5998 chapExoCorrec/5362 sacados/5362 chapExoCorrec/5363 sacados/5363 chapExoCorrec/5378 sacados/5378
E.6889 Sea v n la sucesión definida por: v 1 = ln 2 ; v n +1 = ln 2 − e − v n para todo n ∈ N Se admite que esta sucesión está definida para todo número natural n distinto de cero. A continuación, se define la suce-sión S n para todo número natural n distinto de cero medi-ante : S n = n k =1 v k = v 1 + v 2 + · · · + v n 1 Copie y complete la función f que devuelve el valor de S n para un valor de n pasado como argumento : Función f(n) v ← ... S ← ... Para k que varía de ... à ... hacer ... ← ... ... ← ... Fin Para Devolver S 2 Mediante llamadas sucesivas a esta función, se obtienen algunos valores de S n . Los valores redondeados a la décima se muestran en la tabla siguiente : n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 S n 2 ; 4 4 ; 6 6 ; 9 9 ; 2 11 ; 5 13 ; 8 Explicando su procedimiento, emita una conjetura sobre el comportamiento de la sucesión S n . E.6730 Consideremos la sucesión A n cuyos términos se obtienen mediante el estudio de los valores sucesivos que toma la variable A durante la ejecución paso a paso de este algoritmo: Función f(n) A ← 0 Para k que va de 0 a n − 1 A ← A+ 1 2 × sin 2 ı n × 1+ k n 1+ k+1 n Fin Para Se llama a la función f con el valor 10 para el argumento n . Copie y complete, redondeando al milésimo, la tabla siguiente que ilustra el funcionamiento del algoritmo: k 0 1 2 3 4 5 6 A 0 ; 323 0 ; 711 1 ; 170 1 ; 705 2 ; 322 3 ; 027 3 ; 826 k 7 8 9 A 4 ; 726 6. Secuencias definidas conjuntamente E.6000 Consideremos las dos sucesiones x n y y n definidas por: x 0 = − 1 x n = 5 4 · x + 3 4 · y ; y 0 = 5 y n = 3 4 · x + 5 4 · y Consideremos la función f de un algoritmo que se presenta a continuación. Al llamarla con un argumento n entero mayor o igual que 1 , su ejecución permite devolver el par ( x n ; y n ) cuyas coordenadas son los valores de los términos de las suce-siones x n y y n de rango n . La función no devuelve los valores esperados. Modifique el código de esta función en consecuencia : Función f(n) x ← − 1 y ← 5 Para i que va de 1 a n x ← 5 4 x+ 3 4 y y ← 3 4 x+ 5 4 y Fin Para Reenviar (x; y) E.6893 Consideremos dos sucesiones de números reales d n y a n definidas por d 0 =300 , a 0 =450 y, para todo número natural n 0 : d n +1 = 1 2 · d n + 100 a n +1 = 1 2 · d n + 1 2 · a n + 70 1 Calcular d 1 y a 1 . 2 Queremos escribir una función en un algoritmo que tomará como argumento un número entero natural n y devolverá el par de valores ( d n ; a n ) asociado al rango n . Se propone la siguiente función : Función f(n) D ← 300 A ← 450 Para k que varía de 1 a n D ← D 2 +100 A ← A 2 + D 2 +70 Fin para Devolver ( D ; A) a ¾Qué par de números devuelve la llamada a la función f con el argumento n =1 ? ¾Son estos resultados coherentes con los obtenidos en la pregunta 1 ? b Corrija esta función para que devuelva los resultados deseados. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6889 sacados/6889 chapExoCorrec/6730 sacados/6730 chapExoCorrec/6000 sacados/6000 Extrait d'Asie Juin 2012 chapExoCorrec/6893 sacados/6893
KWUV012 E.5841 Se definen las sucesiones u n y v n en el conjunto N de los números naturales mediante : u 0 = 0 ; v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 · v n 3 , para todo n ∈ N El objetivo de este ejercicio es estudiar la convergencia de las sucesiones u n y v n . 1 Calcular u 1 y v 1 . 2 Consideramos la función f extraída de un algoritmo cuya llamada se realiza pasando como argumento un entero n mayor o igual a 1 : Función f(n) u ← 0 v ← 1 Para k que varía de 1 a n w toma el valor u u ← w+v 2 v ← w+2 · v 3 Fin de Pour Devolver ( u ; v) a Se llama a la función f con el valor 2 del argumento N . Copiar y completar la tabla que se muestra a contin-uación con el estado de las variables durante la ejecu-ción de la llamada a esta función : k w u v 1 2 b Para un número n dado estrictamente positivo, ¾a qué corresponde el par de valores ( u ; v) devuelto por la llamada a la función f en relación con la situación es-tudiada en este ejercicio? E.5377 Consideremos el siguiente algo-ritmo: Entrada Introducir un número real estrictamente pos-itivo distinto de cero a . Introducir un número real estrictamente pos-itivo distinto de cero b ( b>a ) Introducir un número natural distinto de cero N Inicialización Asignar a u el valor a Asignar a v el valor b Asignar a n el valor 0 Procesamiento MIENTRAS : n<N Asignar a n el valor n +1 Asignar a u el valor a + b 2 Asignar a v el valor a 2 + b 2 2 Asignar a a el valor u Asignar a b el valor v . Salida Mostrar u , mostrar v Reproduzca y complete la siguiente tabla, aplicando este al-goritmo a a =4 , b =9 y N =2 . Los valores sucesivos de u y v se redondearán al milésimo. n a b u v 0 4 9 1 2 E.5853 Consideremos la función f extraída de un algoritmo que toma como argumento el parámetro n de valor entero estrictamente positivo. Función f(n) K ← 0 U ← 2 V ← 10 Mientras K<n K ← K+1 W ← U U ← 2 · U+V 3 V ← W + 3 · V 4 Fin mientras Devolver ( U ; V) Se llama a la función f con el valor n =2 . Copie y complete la tabla que se muestra a continuación in-dicando los valores que toman sucesivamente sus variables al llamar a la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5841 sacados/5841 Extrait du Bac Antilles-Guyane Juin 2013 chapExoCorrec/5377 sacados/5377 Extrait du Bac Asie Juin 2012 chapExoCorrec/5853 sacados/5853 KWUV012
7. Hacia las probabilidades E.5364 Consideramos el algoritmo: C ← 0 Para i que va de 1 a 9 A ← valor aleatorio entero entre 1 y 7 Si A>5 Alors C ← de C+1 Fin If End For En el experimento aleatorio simulado por el algoritmo ante-rior, llamamos X a la variable aleatoria que toma el valor de la variable C al final de la ejecución del algoritmo. ¾Qué ley sigue la variable X ? Especifica sus parámetros. 8. Predecir cómo funcionará un algoritmo E.6895 Sean m y m dos enteros relativos. Consideremos la ecuación ( E ) definida por: m · m 4 2 + m − 1 · m − 1 + m · m 4 = 0 Consideremos el siguiente algoritmo: Para m que van de − 10 a 10 Para m que van de − 10 a 10 Si m · m 2 +16 · m − 1 · m − 1 +4 · m · m =0 So ( a ; b) ← (m ; m ) End If End of For End of For Durante la ejecución paso a paso, nos interesan los valores que toman sucesivamente las variables a y b . 1 ¾Cuál es la función de este algoritmo? 2 Cuando se ejecuta este algoritmo, al par ( a ; b) se le asig-narán seis pares de enteros que incluyen : ( − 4 ; 1) ; (0 ; 1) ; (5 ; − 4) . Escribe los seis pares en el orden de su asignación suce-siva durante la ejecución del algoritmo. E.6200 Se administra a un paciente un medicamento mediante una inyección intravenosa. La canti-dad de medicamento en la sangre disminuye con el tiempo. Una máquina realiza en el instante 0 una inyección de 10 m‘ de medicamento. Se estima que 20 % del medicamento se elimina por minuto. Cuando la cantidad de medicamento cae por debajo de 5 m‘ , la máquina vuelve a inyectar 4 m‘ de producto. Al cabo de 15 minutos, se detiene la máquina. Para todo número natural n , se anota v n la cantidad de medicamento, en m‘ , que queda en la sangre en el minuto n . Se considera el siguiente algoritmo: v ← 10 Para n que va de 1 a 15 v ← 0;8 × v Si v<5 Entonces v ← v+4 Fin Si p ← v Fin Para Al ejecutar este programa paso a paso y observar los valores tomados por la variable p , , se obtiene la cantidad restante de medicamento, minuto a minuto. 1 Calcular los elementos que faltan en la tabla siguiente, redondeando a 10 − 2 y para n mayor o igual a 1 , la canti-dad restante de medicamento, minuto a minuto, obtenida con el algoritmo n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n 10 8 6 ; 4 8 ; 15 n 8 9 10 11 12 13 14 15 v n 6 ; 52 5 ; 21 8 ; 17 6 ; 54 5 ; 23 8 ; 18 6 ; 55 5 ; 24 2 Al cabo de 15 minutos, ¾qué cantidad total de medica-mento se ha inyectado en el organismo? 3 Se desea programar la máquina para que inyecte 2 m‘ de producto cuando la cantidad de medicamento en la san-gre sea inferior o igual a 6 m‘ y que se detenga al cabo de 30 minutos. Copie el algoritmo anterior modificándolo para que, me-diante una ejecución paso a paso del algoritmo, la vari- https://chingmath.fr chapExoCorrec/5364 sacados/5364 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2012 chapExoCorrec/6895 sacados/6895 chapExoCorrec/6200 sacados/6200
-112345678910-2-112O able p adquiera como valor la cantidad de medicamento, en m‘ , que permanece en la sangre con este nuevo proto-colo, minuto a minuto. E.6001 El robot Tom debe cruzar un puente sin barandilla de 10 pasos de largo y 2 pasos de ancho. Su forma de caminar es muy particular : O bien, avanza un paso en línea recta; O bien, se desplaza en diagonal hacia la izquierda (de-splazamiento equivalente a un paso hacia la izquierda y un paso recto) ; O bien, se desplaza en diagonal hacia la derecha (de-splazamiento equivalente a un paso hacia la derecha y un paso recto) . Supongamos que estos tres tipos de desplazamiento son aleatorios y equiprobables. El objetivo de este ejercicio es estimar la probabilidad p del evento S ˇ Tom cruza el puente ı ; es decir, ˇ Tom no se ha caído al agua y sigue en el puente tras 10 desplazamientos ı. Esquematizamos el puente mediante un rectángulo en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , tal y como se indica en la figura siguiente. Supong-amos que Tom se encuentra en el punto de coordenadas (0 ; 0) al comienzo de la travesía. Anotamos ( x ; y ) las coordenadas de Tom después de x desplazamientos. Hemos escrito el siguiente algoritmo que simula la posición de Tom. Al final de su ejecución, los valores de las variables x et y representan la posición de Tom al final de su recorrido: x ← 0 y ← 0 Mientras (y − 1) y (y 1) y (x 9) n ← valor elegido al azar entre − 1 , 0 y 1 y ← y+n x ← x+1 Fin mientras 1 Se dan las siguientes parejas : ( − 1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2) ¾Cuáles se han podido obtener con este algoritmo? Jus-tifica la respuesta. 2 Modifique este algoritmo para que, en lugar de ˇ la posi-ción de Tom es ( x ; y ) ı, ı, finalmente muestre ˇ Tom ha cruzado con éxito ı ı o ˇ Tom se ha caído ı. ı. E.5361 Un grupo de 50 corredores, con dorsales numerados del 1 al 50 , participa en una carrera ci-clista que consta de 10 etapas, en la que no se registra ningún abandono. Al final de cada etapa, se elige al azar a un grupo de 5 corre-dores para someterlos a un control antidopaje. Estas desig-naciones de 5 corredores al final de cada etapa son independi-entes. Por lo tanto, un mismo corredor puede ser controlado al final de varias etapas. 1 Al final de cada etapa, ¾cuántos grupos diferentes de 5 corredores se pueden formar? 2 Consideremos el siguiente algoritmo en el que : ˇ rand(1,50) ı permite obtener un número entero aleatorio perteneciente al intervalo 1 ; 50 ; la escritura ˇ x := y ı designa la asignación de un valor y a una variable x . a ← 0 b ← 0 c ← 0 d ← 0 e ← 0 Siempre que (a=b) o (a=c) o (a=d) o (a=e) o (b=c) o (b=d) o (b=e) o (c=d) o (c=e) o (d=e) a ← rand(1;50) b ← rand(1;50) c ← rand(1;50) d ← rand(1;50) e ← rand(1;50) Fin Mientras Nos interesa el conjunto compuesto por 5 números natu-rales formados por los valores de las variables a , b , c , d , e obtenidos tras la ejecución del algoritmo. a De entre los siguientes conjuntos de números, ¾cuáles se han podido obtener mediante este algoritmo? L 1 = 2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15 ; L 2 = 8 ; 17 ; 41 ; 34 ; 6 L 3 = 12 ; 17 ; 23 ; 17 ; 50 ; L 4 = 45 ; 19 ; 43 ; 21 ; 18 b ¾Qué permite realizar este algoritmo en relación con la carrera ciclista? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6001 sacados/6001 Antilles-Guyane Septembre 2013 -112345678910-2-112O chapExoCorrec/5361 sacados/5361
-∞∞-∞∞xVariationdef E.5939 He aquí un algoritmo aplicable a números enteros de tres cifras en los que la cifra de las centenas no es igual a la cifra de las unidades : Paso 1 : Inverser el orden de los dígitos (por ejemplo 275 se convierte en 572) Paso 2 : Calculer la diferencia entre el mayor y el menor de estos dos números. Paso 3 : Réitérer el paso 1 sobre el número obtenido. Paso 4 : Additionner estos dos últimos nombres 1 a Appliquer el algoritmo a los números 123 , 448 y 946 . b ¾Qué podemos conjeturar? 2 Pour para implementar este algoritmo, el paso 2 , implíc-ito al realizar cálculos ˇa manoı , necesita disociar el en-tero introducido para aislar el dígito de las unidades, el de las decenas y luego el de las centenas. Completa la siguiente función, de un algoritmo, cuya fun-ción es tomar un entero n de tres cifras como argumento y realizar esta disociación. En este algoritmo a es la cifra de las centenas, b la cifra de las decenas y c la cifra de las unidades del número n que queremos descomponer. Función f(n) a ← 0 b ← 0 c ← 0 Tant como n 100 a ← a+1 n ← n − 100 Fin Mientras Mientras n ...... b ← ...... ...... ← ...... Fin Mientras que c el valor ...... Renvoyer ( a ; b ; c) 9. Uso de la calculadora E.6897 Sea f la función definida en R por: f ( x )= x − ln x 2 +1 Se admite que la función f admite la siguiente tabla de varia-ciones : Consideremos el siguiente algoritmo: Función g(A) N ← 0 Mientras N − ln N 2 +1 <A N ← N+1 Fin Mientras Devolver N donde la función g se invoca con un argumento A que es un número real. 1 ¾Qué significado le damos al valor devuelto por la función g ? 2 Determinar el valor N devuelto por la llamada a la fun-ción g se realiza con el valor 100 de su parámetro A . E.6896 Di si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando la respuesta. Sea f la función definida en R por: f ( x )= 3 4+6 · e − 2 x Al final de la ejecución, este algoritmo asigna a la variable X el valor 0 ; 54 . X ← 0 Y ← 3 10 Mientras Y<0; 5 X ← X+0;01 Y ← 3 4+6 · e − 2X Fin Mientras E.6888 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 0 ; 02 ; u n +1 = e 2 · u n − e u n para todo n ∈ N Admitimos que la sucesión u n es creciente y tiene límite: lim n ↦→ + ∞ u n = + ∞ La función f del algoritmo siguiente tiene como objetivo de-volver el menor número entero n tal que u n >M , donde M es un real positivo pasado como parámetro al llamar a f . Este algoritmo está incompleto : Función f(M) u ← 0;02 n ← 0 Mientras ... ... ... Finaliza mientras Devuelve n 1 Copia la parte ˇ Traitement ı completándola. 2 Determina con la calculadora el valor que devuelve la función f cuando se llama con el argumento M =60 . 10. La dicotomía https://chingmath.fr chapExoCorrec/5939 sacados/5939 chapExoCorrec/6897 sacados/6897 -∞∞-∞∞xVariationdef chapExoCorrec/6896 sacados/6896 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/6888 sacados/6888
Cf01 E.6890 Considere el siguiente algoritmo: Función f(x) Devuelve .... Función g(a,b) Mientras b − a>0; 3 x ← a + b 2 Si f(x) · f(a)>0 entonces a ← x en caso contrario b ← x End If End While Return a + b 2 Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica la respuesta. On completa el algoritmo para que la función f pueda de-volver las imágenes del parámetro x de la función : f ( x )= x 3 − 3 . Se llama a la función g con los valores de los parámetros a=1 y b=2 . El valor devuelto por esta llamada a la función g es el número 1 ; 6875 . E.6898 Consideremos la función f definida en 0 ; 5 por: f ( x ) = e x − 1 La función f se supone estrictamente creciente y m se denota por e 5 − 1 . Consideremos el algoritmo siguiente : a ← 2 b ← 2e Mientras b − a>10 − 3 c ← (a+b)=2 Si f(c)<3; 5 Then a ← c Otherwise b ← c End If End As long as d ← f(c) Interpreta el valor de la variable d al final de la ejecución del algoritmo. E.5843 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 2 x + 2 · ln x x Se da el siguiente algoritmo: a ← 0 b ← 1 Mientras b − a>0; 1 m ← 1 2 (a+b) Si f(m)<1 Entonces a ← m En caso contrario b ← m End If End If Ejecuta este algoritmo rellenando la tabla con los valores que toman las variables sucesivamente durante su ejecución : stage 1 stage 2 stage 3 stage 4 etapa 5 a 0 b 1 b- a m 11. En torno a las obras completas E.5999 Consideremos una función f de-creciente en el intervalo 0 ; 1 . Observa C la curva representativa de la función f en un sis-tema de referencia ortogonal. Observa D el área entre el eje x, la curva C y las rectas con ecuaciones x =0 y x =1 . 1 A continuación se muestra una aproximación del área del dominio D utilizando los cuatro rectángulos siguientes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6890 sacados/6890 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/6898 sacados/6898 chapExoCorrec/5843 sacados/5843 chapExoCorrec/5999 sacados/5999 Cf01
0,250,50,75I0,250,5OCf vantaildedroitevantaildegauchepilierdroitpiliergauche 00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05mCf Completa el algoritmo siguiente de forma que el valor de la variable S , al final de la ejecución del algoritmo, sea el área formada por los cuatro rectángulos : S ← 0 Para k variando de 0 a ... S ← ... End For 2 En esta pregunta, N es un número entero estrictamente mayor que 1 . Cortamos el intervalo 0 ; 1 en N interva-los de igual longitud. Sobre cada uno de los intervalos, construimos un rectángulo procediendo del mismo modo que en la pregunta anterior. Modifica el algoritmo anterior para que el valor de la vari-able S al final del algoritmo sea la suma de las áreas de los N rectángulos así construidos. E.6916 Sea f una función que define el intervalo 0 ; 1 mediante : f ( x ) = x e x − x y cuya curva representativa C f se da a continuación : Sea la función f positiva en el intervalo 0 ; 1 . La función g se define en un algoritmo en el que las variables son : K y i números naturales, siendo K distintas de cero; A , x y h números reales. Función g(K) A ← 0 x ← 0 h ← 1 K Pour i que varía de 1 a K A ← A+h × f(x) x ← x+h Fin for Send A 1 Reproduire y complete la tabla siguiente, indicando los valores de las variables. a continuación con los valores de las variables A et x cuando se ejecuta paso a paso la función g . Los valores sucesivos de A deben redondearse a la milésima más próxima. i A x 1 2 3 4 2 Ilustrando esto en el gráfico anterior, dé una inter-pretación gráfica del valor devuelto por la función g cuando el argumento pasado tiene el valor K=8 . 3 Que ¾podemos decir sobre el valor devuelto por la fun-ción g cuando K se hace grande? E.6270 Se desea realizar un portal como se indica a continuación. Cada hoja mide 2 metros de ancho, el ancho de cada tabla es de 0 ; 2 m y la distancia al suelo de cada hoja es de 0 ; 05 m : Aquí hay una ampliación de la hoja derecha : La posición de las esquinas superiores izquierdas de cada una de las tablas se modela mediante la curva C f representativa de una función f definida por: f ( x ) = x + 3 8 · e − 4 x + 5 4 1 Numeramos las diez tablas de izquierda a derecha em-pezando por 0 . Consideramos la tabla k , donde k es un número entero comprendido entre 0 y 9 : a Para la tabla número k , da el valor de la abscisa de su punto superior izquierdo. b Indique el área de la tabla número k . 2 Copie y complete el siguiente algoritmo para que, al final de su ejecución, el área total de las tablas utilizadas para https://chingmath.fr chapExoCorrec/6916 sacados/6916 0,250,50,75I0,250,5OCf chapExoCorrec/6270 sacados/6270 vantaildedroitevantaildegauchepilierdroitpiliergauche 00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05mCf
la hoja derecha sea el valor de la variable S . S ← 0 Para K que va de 1 a 9 S ← S+... Fin del Para https://chingmath.fr