Bachillerato 2 / Anales sobre ecuaciones diferenciales 11 ejercicios (incluyendo 9 corregidos)

a
1. Anuales antiguas (anteriores a 2012) E.3134 A lo largo del ejercicio, – denota un número real en el intervalo ]0 ; 1] . 1 Nos proponemos estudiar las funciones derivables en −∞ ; 1 2 verificando la ecuación diferencial : ( E λ ) : y = y 2 + – · y y la condición y (0)=1 . Se supone que existe una solución y 0 de ( E λ ) estricta-mente positiva en −∞ ; 1 2 . En −∞ ; 1 2 : z = 1 y 0 Escribe una ecuación diferencial simple satisfecha por la función z . 2 Pregunta del curso : PRE-REQUISITOS Las soluciones de la ecuación diferencial y = − – · y son las funciones : x ↦−→ C · e − λx donde C es una constante real. a Demostrar la existencia y unicidad de la solución z de la ecuación diferencial : ( E λ ) : z = − ( – · z + 1) tal que : z (0)=1 b Dar la expresión de esta función, que denotaremos z 0 . Ahora queremos demostrar que la función z 0 no se cancela en el intervalo −∞ ; 1 2 . 3 a Demostrar que : ln(1+ – ) > – – +1 . Se puede estudiar en ]0 ; 1] la función f definida por: f ( x ) = ln(1+ x ) − x x + 1 . b Deducir que : 1 – · ln(1+ – ) > 1 2 . 4 De ello se deduce que la función z 0 no se anula en el in-tervalo −∞ ; 1 2 . Demostrar entonces que ( E λ ) admite una solución estric-tamente positiva en −∞ ; 1 2 que se precisará. E.3180 MCQs : para cada pregunta, sólo una de las respuestas propuestas es correcta. No se requiere justificación. Cada respuesta correcta vale 0 ; 75 punto, cada error resta 0 ; 25 point, la ausencia de respuesta vale 0 punto. Si el total de puntos del ejercicio es negativo, la nota se reduce a 0. Conteste en su ejemplar, indicando el número de la pregunta y la letra correspondiente a su respuesta : 1 L ecuación e 2 x − 3e x − 4=0 admet en R : a 0 solution b 1 solution c 2 solutions d plus de 2 solutions 2 L’expression − e − x a nunca es negativo b siempre es negativo c solo es negativa si x es positiva d solo es negativa si x es negativa 3 lim x ↦→ + ∞ 2e x − 1 e x + 2 = a − 1 2 b 1 c 2 d + ∞ 4 La ecuación diferencial y =2 y − 1 a tiene como conjunto de soluciones : a x ↦→ k e 2 x − 1 con k ∈ R b x ↦→ k e 1 2 x + 1 avec k ∈ R c x ↦→ k e 1 2 x − 1 con k ∈ R d x ↦→ k e 2 x + 1 2 con k ∈ R https://chingmath.fr chapExoCorrec/3134 sacados/3134 France Septembre 2006 6 points chapExoCorrec/3180 sacados/3180 Antilles-Guyane Juin 2006 3 points
E.3259 Parte A : una ecuación difer-encial. Consideremos la ecuación diferencial : ( E ) : y − 3 y = − 3 e 1 + e − 3 x 2 Se da una función ’ derivable en R y la función f definida en R por: f ( x )=e − 3 x ’ ( x ) 1 Demostrar que f es derivable en R y para todo real x , expresar ’ ( x ) − 3 ’ ( x ) en función de f ( x ) . 2 Determinar f de modo que ’ sea solución de ( E ) sobre R y comprueba ’ (0)= e 2 . Parte B: estudio de una función. Sea f la función f definida en R por: f ( x )= e 1 − 3 x 1+e − 3 x Se designa por C su curva representativa en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales de unidad gráfica 2 cm . 1 Determinar los límites de f en −∞ y en + ∞ , y luego estudiar las variaciones de f . 2 Trazar C . 3 Para ¸ real distinto de cero, se establece : I α = α 0 f ( x ) dx a Indique el signo y una interpretación gráfica de I α en función de ¸ . b Expresar I α en función de ¸ . c Determinar el límite de I α cuando ¸ tiende a + ∞ . Parte C : estudio de una sucesión. Se define en N ∗ la sucesión ( u n ) por: u n = 1 0 f ( x ) · e x n dx donde f es la función definida en la parte B. No se intentará calcular u n . 1 a Dar, para todo n de N , el signo de u n . b Indique el sentido de variación de la sucesión ( u n ) . c ¾Es convergente la sucesión ( u n ) ? 2 a Demostrar que para todo n de N : I 1 u n e 1 n · I 1 donde I 1 es la parte B obtenida para ¸ igual a 1 . b Deduzca el límite de la sucesión ( u n ) . Indique su valor exacto. E.3150 Parte A La función f se define en el intervalo [0 ; + ∞ [ mediante : f ( x ) = 20 x + 10 e − 1 2 x Se denota por C la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j (unidad gráfica 1 cm ) . 1 Estudiar el límite de la función f en + ∞ . 2 Estudiar las variaciones de la función f y elaborar su tabla de variaciones. 3 Establecer que la ecuación f ( x )=10 admite una única solución estrictamente positiva ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ [ . Dar un valor decimal aproximado a 10 − 3 cerca de ¸ . 4 Trazar la curva C . 5 Calcular la integral: I = 3 0 f ( x ) d x . Parte B Se denota por y ( t ) el valor, en grados Celsius, de la tem-peratura de una reacción química en el instante t , siendo t expresado en horas. El valor inicial, en el instante t =0 , es y (0)=10 . Se admite que la función que, para todo número real t perteneciente al intervalo [0 ; + ∞ [ , asocia y ( t ) , es solución de la ecuación diferencial : ( E ) : y + 1 2 · y = 20 · e − 1 2 t 1 Verificar que la función f estudiada en la parte A es solución de la ecuación diferencial ( E ) en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Se propone demostrar que esta función f es la única solu-ción de la ecuación diferencial ( E ) , definida en el inter-valo 0 ; + ∞ , que toma el valor 10 en el instante 0. a Denotemos por g cualquier solución de la ecuación diferencial ( E ) , definida en [0 ; + ∞ [ que verifica g (0)= 10 . Demuestre que la función g − f es solución, en el intervalo 0 ; + ∞ , de la ecuación diferencial : ( E ) : y + 1 2 · y = 0 b Resolver la ecuación diferencial ( E ) . c Concluir. 3 ¾Cuánto tiempo tarda la temperatura de esta reacción química en volver a su valor inicial? El resultado se re-dondeará al minuto. 4 El valor „ en grados Celsius de la temperatura media de esta reacción química durante las tres primeras horas es el valor medio de la función f en el intervalo 0 ; 3 . Calcule el valor exacto de „ y, a continuación, indique el valor decimal aproximado de „ redondeado al grado. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3259 sacados/3259 France Septembre 2003 10 points chapExoCorrec/3150 sacados/3150 France Septembre 2005 7 points
E.3173 Las partes A y B son independi-entes. Un laboratorio de investigación estudia la evolución de una población animal que parece estar en vías de extinción. Parte A En el año 2000, se realiza un estudio sobre una muestra de esta población, cuya población inicial es de mil individuos. Esta muestra evoluciona y su población, expresada en miles de individuos, se aproxima mediante una función f del tiempo t (expresado en años a partir del origen 2000) . Según el modelo de evolución elegido, la función f es deriv-able, estrictamente positiva en [0 ; + ∞ [ y satisface la ecuación diferencial : ( E ) : y = − 1 20 · y · 3 − ln y 1 Demuestre la siguiente equivalencia: una función f , derivable, estrictamente positiva en [0 ; + ∞ [ , verifica f ( t )= − 1 20 f ( t ) 3 − ln f ( t ) , para todo t de [0 ; + ∞ [ si, y solo si, la función g =ln( f ) verifica, para todo t de 0 ; + ∞ , g ( t )= 1 20 g ( t ) − 3 20 2 Dar la solución general de la ecuación diferencial : ( H ) : z = 1 20 z − 3 20 . 3 Deduzca que existe un real C tal que, para todo t de [0 ; + ∞ [ : f ( t ) = exp 3 + C · exp t 20 (la notación exp designa la función exponencial natural x ↦−→ e x ) . 4 La condición inicial nos lleva a considerar la función f definida por: f ( t ) = exp 3 − 3 exp t 20 a Determinar el límite de la función f en + ∞ . b Determinar el sentido de variación de f en [0 ; + ∞ [ . c Resolver en [0 ; + ∞ [ la desigualdad f ( t ) < 0 ; 02 . Según este modelo, ¾al cabo de cuántos años el tamaño de la muestra será inferior a veinte individuos? Parte B En 2005, este laboratorio de investigación desarrolla una prueba de detección de la enfermedad responsable de esta desaparición y proporciona la siguiente información : ˇ La población analizada incluye 50 % animales enfermos. Si un animal está enfermo, la prueba da positivo en 99 % de los ca-sos ; si un animal no está enfermo, la prueba da positivo en 0 ; 1 % de los casos ı. Se anota M el evento ˇ el animal está enfermo ı, M el evento contrario y T el evento ˇ la prueba es positiva ı. 1 Determinar P ( M ) , P M ( T ) , P M ( T ) . 2 Deducir P ( T ) . 3 El laboratorio considera que una prueba es fiable si su valor predictivo, es decir, la probabilidad de que un ani-mal esté enfermo sabiendo que la prueba es positiva, es superior a 0 ; 999 . ¾Es fiable esta prueba? E.3244 Parte A Sea f la función definida en R por: f ( x )= 3e x 4 2+e x 4 1 Demuestre que : f ( x )= 3 1+2e − x 4 . 2 Estudiar los límites de la función f en + ∞ y en −∞ . 3 Estudiar las variaciones de la función f . Parte B 1 Se ha estudiado en laboratorio la evolución de una población de pequeños roedores. El tamaño de la población, en el momento t , se indica con g ( t ) . Se de-fine así una función g del intervalo 0 ; + ∞ en R . La variable real t designa el tiempo, expresado en años. La unidad elegida para g ( t ) es el centenar de individuos. El modelo utilizado para describir esta evolución consiste en tomar para g una solución, en el intervalo 0 ; + ∞ , de la ecuación diferencial : ( E 1 ) : y = y 4 a Resolver la ecuación diferencial ( E 1 ) . b Determinar la expresión de g ( t ) cuando, en la fecha t =0 , la población comprende 100 roedores, es decir, g (0)=1 . c ¾Después de cuántos años superará la población los 300 roedores por primera vez? 2 En realidad, en un sector observado de una región deter-minada, un depredador impide ese crecimiento matando una cierta cantidad de roedores. Se indica con u ( t ) el número de roedores vivos en el momento t (expresado en años) en esa región, y se admite que la función u , así definida, satisface las condiciones : ( E 2 ) : u ( t ) = u ( t ) 4 − u ( t ) 2 12 u (0) = 1 para todo número real t positivo o nulo y donde u des-igna la función derivada de la función u . a Se supone que, para todo número real positivo t , se tiene u ( t ) > 0 . Consideramos, en el intervalo 0 ; + ∞ , la función h definida por h = 1 u . Demuestra que la fun-ción u satisface las condiciones ( E 2 ) si, y solo si, la función h satisface las condiciones. ( E 3 ) : h ( t ) = − 1 4 h ( t ) + 1 12 h (0) = 1 para todo número real t positivo o nulo. b Dar las soluciones de la ecuación diferencial : y = − 1 4 y + 1 12 y deduzca la expresión de la función h , y luego la de la función u . c En este modelo, ¾cómo se comporta el tamaño de la población estudiada cuando t tiende a + ∞ ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3173 sacados/3173 chapExoCorrec/3244 sacados/3244 France Juin 2005 6 points
E.3247 Se propone demostrar que existe una única función f derivable en R que cumple la condición : ( C ) : f ( − x ) · f ( x ) = 1 para cualquier número real x f (0) = − 4 (donde f designa la función derivada de la función f ) y en-contrar esta función. 1 Supongamos que existe una función f que satisface la condición ( C ) y consideramos entonces la función g definida en R por: g ( x ) = f ( − x ) f ( x ) a Demuestre que la función f no se anula en R . b Calcular la función derivada de la función g . c Deduzca que la función g es constante y determine su valor. d Consideremos la ecuación diferencial ( E ): y = 1 16 y . Demuestre que la función f es solución de esta ecuación y que verifica f (0)= − 4 . 2 Pregunta del curso a Se sabe que la función x ↦−→ e x 16 es solución de la ecuación diferencial ( E ) . Demuestre entonces que el conjunto de soluciones de la ecuación ( E ) es el conjunto de funciones, definidas en R , de la forma x ↦−→ K e x 16 , donde K es cualquier número real. b Demostrar que existe una única solución de la ecuación diferencial ( E ) que toma el valor − 4 y 0 . 3 Deduzca de las preguntas anteriores que existe una única función derivable en R que satisface la condición ( C ) y especifique cuál es esa función. E.3674 Las dos partes de este ejercicio son independientes. Parte A : Consideremos la ecuación diferencial : ( E ): y + y =e − x 1 Demuestre que la función u definida en el conjunto de los números reales R por u ( x )= x · e − x es una solución de la ecuación diferencial ( E ) . 2 Consideremos la ecuación diferencial : ( E ) : y + y = 0 Resuelva la ecuación diferencial ( E ) . 3 Sea v una función definida y derivable en R . Demuestre que la función v es una solución de la ecuación diferencial ( E ) si y solo si la función v − u es solución de la ecuación diferencial ( E ) . 4 Determinar la única solución g de la ecuación diferencial ( E ) tal que g (0)=2 . Parte B: Consideramos la función f k definida en el conjunto R de los números reales por: f k ( x ) = ( x + k ) · e − k donde k es un número real dado. Denotemos por C k la curva representativa de la función f k en un sistema de coordenadas ortogonales. 1 Demuestre que la función f k admite un máximo en : x =1 − k . 2 Denotemos por M k el punto de la curva C k de abscisa 1 − k . Demuestre que el punto M k pertenece a la curva Γ de ecuación y =e − x . 3 En el gráfico que figura en el anexo 1 (que debe entregarse con la copia) , , el sistema de coordenadas es ortogonal, pero no aparecen las unidades del eje de abscisas y del eje de ordenadas, ni los números de las curvas. En este gráfico se han trazado dos curvas : la curva Γ de ecuación y =e − x . la curva C k de ecuación y =( x + k ) · e − x para un número real k dado. a Identifica las curvas y nómbralas en el anexo 1 (que debes entregar junto con la copia) . b Explicando el procedimiento utilizado, determina el valor del número real k correspondiente, así como la unidad gráfica en cada uno de los ejes. 4 Mediante integración por partes, calcular: 2 0 ( x + 2) · e − x dx . Dar una interpretación gráfica de esta integral. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3247 sacados/3247 sacados/3674
E.3675 1 En esta pregunta se pide al candidato que exponga sus conocimientos. Se supone que se conoce el siguiente resultado : La función x ↦−→ e x es la única función ’ derivable en R tal que ’ = ’ y ’ (0)=1 . Sea a un número real dado. a Demuestre que la función f definida en R por f ( x )= e ax es solución de la ecuación y = a · y . b Sea g una solución de la ecuación y = a · y . Sea h la fun-ción definida en R por h ( x )= g ( x ) · e − a · x . Demuestre que h es una función constante. c Deduzca el conjunto de soluciones de la ecuación : y = a · y . 2 Consideremos la ecuación diferencial : ( E ) : y = 2 y + cos x . a Determinar dos números reales a y b tales que la fun-ción f 0 definida en R por: f 0 ( x ) = a · cos x + b · sin x sea una solución f 0 de ( E ) . b Resolver la ecuación diferencial : ( E 0 ) : y = 2 y . c Demostrar que f es solución de ( E ) si y solo si f − f 0 es solución de ( E 0 ) . d Deduzca las soluciones de ( E ) . e Determine la solución k de ( E ) que verifica k ı 2 =0 . E.3839 1 Resolver la ecuación diferencial : 2 · y + y = 0 ( E ) cuya incógnita es una función definida y derivable en R . 2 Consideremos la ecuación diferencial : 2 · y + y = e − x 2 · ( x + 1) ( E ) a Determinar dos números reales m y p tales que la fun-ción f definida en R por: f ( x ) = e − x 2 · m · x 2 + p · x sea solución de ( E ) . b Sea g una función definida y derivable en R . Demuestre que g es solución de la ecuación ( E ) si, y solo si, g − f es solución de la ecuación ( E ) . Resolver la ecuación ( E ) . 3 Estudia las variaciones de la función h definida en R me-diante : h ( x ) = 1 4 · e − x 2 · x 2 + 2 x . 4 Determina los límites en −∞ y en + ∞ de la función h . 5 En el plano referido a un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j , observa C la curva representativa de h et Γ celle de la función : x ↦−→ e − x 2 a Estudia las posiciones relativas de C et Γ . b Traza estas dos curvas en el mismo gráfico. E.4080 Parte A : Restitución organizada de conocimientos Se utilizará el siguiente resultado : las soluciones de la ecuación diferencial y = a · y donde a ∈ R son las funciones g definidas en R por: g ( x ) = K · e a · x donde K ∈ R . El objetivo de esta parte es determinar las soluciones de la ecuación diferencial : ( E ) : y = a · y + b donde a ∈ R ∗ y b ∈ R . 1 Demostrar que la función u definida en R por: u ( x ) = − b a es una solución de ( E ) . 2 Sea f una función definida y derivable en R . Demuestre la siguiente equivalencia: f es solución de ( E ) ⇐⇒ f − u es solución de la ecuación diferencial y = a · y . 3 Deduzca todas las soluciones de la ecuación diferencial ( E ) . Parte B Un ciclista circula por una carretera recta y muy larga en de-scenso. Se anota v ( t ) su velocidad en el instante t , donde t se expresa en segundos y v ( t ) en metros por segundo. Se supone además que la función v así definida es derivable en el intervalo 0 ; + ∞ . Un modelo simple permite considerar que la función v es solución de la ecuación diferencial : 10 · v ( t ) + v ( t ) = 30 Por último, suponemos que, cuando el ciclista arranca, su velocidad inicial es nula, es decir, que v (0)=0 . 1 Demostrar que : v ( t ) = 30 · 1 − e − t 10 2 a Determinar el sentido de variación de la función v en el intervalo 0 ; + ∞ . b Determinar el límite de la función v en + ∞ . 3 En esta situación, se considera que la velocidad del ci-clista se estabiliza cuando su aceleración v ( t ) es inferior a 0 ; 1 m · s − 2 . Determine, con una precisión de un segundo, el valor más pequeño de t a partir del cual se estabiliza la velocidad del ciclista. 4 La distancia d recorrida por este ciclista entre los in-stantes t 1 y t 2 viene dada por: d = t 2 t 1 v ( t ) d t Calcula la distancia recorrida por este ciclista durante los 35 primeros segundos, redondeada al decímetro más cercano. https://chingmath.fr sacados/3675 chapExoCorrec/3839 sacados/3839 chapExoCorrec/4080 sacados/4080 Nouvelle-Caledonie Mars 2011 6 points