a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2
/ Anales espaciales
23 ejercicios (incluyendo 21 corregidos)
a
Líneas y planos
(7 ejercicios)
Distancia y volumen en el espacio
(4 ejercicios)
Proyección ortogonal
(5 ejercicios)
Qcm, declaraciones...
(5 ejercicios)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
−
n
O
A
B
C
Vue en perspective cavalière de la réπexion
d’un rayon lumineux sur le plan
(
OAB
1.
Líne
as
y
planos
E.3260
El
espacio
se
refiere
a
un
sis-
tema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Sea
t
un
n
úmero
real.
Se
dan
los
pun
tos
A
8
;
0
;
8
,
B
10
;
3
;
10
y
la
recta
D
de
ecuaciones
paramétricas
:
x
=
−
5
+
3
·
t
y
=
1
+
2
·
t
z
=
−
2
·
t
donde
t
∈
R
1
a
Da
un
sistema
de
ecuaciones
paramétricas
de
la
recta
Δ
definida
p
or
A
y
B
.
b
Dem
uestra
que
D
y
Δ
no
son
coplanares.
2
a
El
plano
P
es
paralelo
a
D
y
con
tiene
Δ
.
Dem
uestre
que
el
v
ector
−
→
n
2
;
−
2
;
1
es
un
v
ector
normal
a
P
.
Determine
una
ecuación
cartesiana
de
P
.
b
Dem
uestra
que
la
distancia
de
cualquier
pun
to
M
de
D
a
P
es
indep
endien
te
de
M
.
(fuera
del
programa
2012)
c
Dar
un
sistema
de
ecuaciones
paramétricas
de
la
recta
definida
p
or
la
in
tersección
de
P
con
el
plano
xO
y
)
.
3
La
esfera
S
es
tangen
te
a
P
en
el
pun
to
C
10
;
1
;
6
.
El
cen
tro
Ω
de
S
se
encuen
tra
a
una
distancia
d
=
6
de
P
,
en
el
mismo
lado
que
O
.
Da
la
ecuación
cartesiana
de
S
.
E.6427
AB
C
D
E
F
GH
es
un
cub
o.
I
es
el
pun
to
medio
del
seg-
men
to
[
AB
]
,
J
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
E
H
]
,
K
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
B
C
]
y
L
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
C
G
]
.
Se
dota
al
espacio
del
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
a
Dem
uestre
que
la
recta
(
F
D
)
es
ortogonal
al
plano
(
I
J
K
)
.
b
Deduzca
una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
I
J
K
)
.
2
Determinar
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
F
D
)
.
3
Sea
M
el
pun
to
de
in
tersección
de
la
recta
(
F
D
)
y
el
plano
(
I
J
K
)
.
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
M
.
4
Determinar
la
naturaleza
del
triángulo
I
J
K
y
calcular
su
área.
5
Calcular
el
v
olumen
del
tetraedro
F
I
J
K
.
6
¾Son
secan
tes
las
rectas
(
I
J
)
y
(
K
L
)
?
E.6881
Un
catadióptrico
es
un
disp
osi-
tiv
o
óptico
formado
p
or
tres
esp
ejos
en
forma
de
ˇ
esquina
de
cub
o
ı,
con
las
caras
reflectan
tes
orien
tadas
hacia
el
in
terior.
Se
encuen
tran
en
los
reflectores
de
algunos
v
ehículos,
así
como
en
los
aparatos
de
top
ografía.
Los
pun
tos
O
,
A
,
B
y
C
son
v
értices
de
un
cub
o,
de
tal
man-
era
que
el
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
→
O
A
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
es
un
sistema
ortonormado.
Este
sistema
de
co
ordenadas
se
utilizará
en
to
do
el
ejercicio.
Los
tres
esp
ejos
del
catadióptrico
están
represen
tados
p
or
los
planos
(
O
AB
)
,
(
O
B
C
)
y
(
O
AC
)
.
Los
ra
y
os
luminosos
se
mo
delan
median
te
rectas.
Reglas
de
reflexión
de
un
ra
y
o
luminoso
admitidas
:
cuando
un
ra
y
o
luminoso
de
v
ector
director
−
→
v
a
;
b
;
c
es
reflejado
p
or
el
plano
(
O
AB
)
,
un
v
ector
director
del
ra
y
o
reflejado
es
−
→
v
a
;
b
;
−
c
;
cuando
un
ra
y
o
luminoso
con
v
ector
director
−
→
v
a
;
b
;
c
se
refleja
en
el
plano
(
O
B
C
)
,
un
v
ector
director
del
ra
y
o
reflejado
es
−
→
v
−
a
;
b
;
c
;
Cuando
un
ra
y
o
luminoso
con
v
ector
director
−
→
v
a
;
b
;
c
se
refleja
en
el
plano
(
O
AC
)
,
el
v
ector
director
del
ra
y
o
reflejado
es
−
→
v
a
;
−
b
;
c
;
1
Propiedad
de
los
catadióptricos
Utilizando
las
reglas
an
teriores,
dem
uestre
que
si
un
ra
y
o
luminoso
con
v
ector
director
−
→
v
a
;
b
;
c
se
refleja
sucesi-
v
amen
te
en
los
planos
(
O
AB
)
,
(
O
B
C
)
y
(
O
AC
)
,
el
ra
y
o
final
es
paralelo
al
ra
y
o
inicial
A
con
tin
uación,
consideramos
un
ra
y
o
luminoso
mo
delado
p
or
una
recta
d
1
con
v
ector
director
−
→
v
1
−
2
;
−
1
;
−
1
que
incide
en
el
plano
O
AB
en
el
pun
to
I
1
2
;
3
;
0
.
El
ra
y
o
reflejado
se
mo
dela
median
te
la
recta
d
2
de
v
ector
director
−
→
v
2
−
2
;
−
1
;
1
y
que
pasa
p
or
el
pun
to
I
1
.
2
Reflexión
de
d
2
sobre
el
plano
(
O
B
C
)
a
Da
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
d
2
.
b
Da,
sin
justificación,
un
v
ector
normal
al
plano
(
O
B
C
)
y
una
ecuación
cartesiana
de
este
plano.
c
Sea
I
2
el
pun
to
de
co
ordenadas
0
;
2
;
1
.
V
erifique
que
el
plano
(
O
B
C
)
y
la
recta
d
2
se
secan
en
I
2
.
Denominemos
d
3
a
la
recta
que
represen
ta
el
ra
y
o
luminoso
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3260
sacados/3260
chapExoCorrec/6427
sacados/6427
Liban Mai 2015
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
chapExoCorrec/6881
sacados/6881
Asie Juin 2016
−
n
O
A
B
C
Vue en perspective cavalière de la réπexion
d’un rayon lumineux sur le plan
(
OAB
A
B
C
D
O
I
S
A
B
C
D
E
F
G
H
tras
reflejarse
en
el
plano
(
O
B
C
)
.
P
or
lo
tan
to,
d
3
es
la
recta
de
v
ector
director
−
→
v
3
2
;
−
1
;
1
que
pasa
p
or
el
pun
to
I
2
0
;
2
;
1
.
3
Reflexión
de
d
3
sobre
el
plano
(
O
AC
)
Calcular
las
co
ordenadas
del
pun
to
de
in
tersección
I
3
de
la
recta
d
3
con
el
plano
(
O
AC
)
.
Denotamos
p
or
d
4
la
recta
que
represen
ta
el
ra
y
o
luminoso
tras
reflejarse
en
el
plano
(
O
AC
)
.
P
or
lo
tan
to,
es
paralela
a
la
recta
d
1
.
4
Estudio
de
la
tra
y
ectoria
de
la
luz
Damos
el
v
ector
−
→
u
1
;
−
2
;
0
y
anotamos
P
el
plano
definido
p
or
las
rectas
d
1
y
d
2
.
a
Demostrar
que
el
v
ector
−
→
u
es
un
v
ector
normal
al
plano
P
.
b
¾Las
rectas
d
1
,
d
2
y
d
3
están
situadas
en
un
mismo
plano?
c
¾Las
rectas
d
1
,
d
2
y
d
4
están
situadas
en
un
mismo
plano?
E.6883
Consideremos
la
pirámide
regular
S
AB
C
D
con
v
értice
S
formada
p
or
la
base
cuadrada
AB
C
D
y
los
triángulos
equiláteros
que
se
represen
tan
a
con
tin
uación.
El
pun
to
O
es
el
cen
tro
de
la
base
AB
C
D
con
O
B
=
1
.
Recordemos
que
el
segmen
to
[
S
O
]
es
la
altura
de
la
pirámide
y
que
to
das
las
aristas
tienen
la
misma
longitud.
1
Justifique
que
el
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
es
ortonormado.
En
la
con
tin
uación
del
ejercicio,
nos
situamos
en
el
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
.
2
Definimos
el
pun
to
K
median
te
la
relación
−
−
→
S
K
=
1
3
·
−
→
S
D
y
denotamos
p
or
I
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
S
O
]
.
a
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
K
.
b
Deducir
que
los
pun
tos
B
,
I
y
K
están
alineados.
c
Se
indica
con
L
el
pun
to
de
in
tersección
de
la
arista
[
S
A
]
con
el
plano
(
B
C
I
)
.
Justificar
que
las
rectas
(
AD
)
y
(
K
L
)
son
paralelas.
d
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
L
.
3
Consideramos
el
v
ector
−
→
n
1
;
1
;
2
en
el
sistema
de
co
or-
denadas
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
.
a
Demostrar
que
−
→
n
es
un
v
ector
normal
al
plano
(
B
C
I
)
.
b
Dem
uestra
que
los
v
ectores
−
→
n
,
−
→
AS
y
−
→
D
S
son
coplanares.
c
¾Cuál
es
la
p
osición
relativ
a
de
los
planos
(
B
C
I
)
y
(
S
AD
)
?
E.5452
Consideremos
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
longitud
de
arista
1
.
Nos
situamos
en
el
sistema
de
referencia
ortonormal
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Consideremos
los
pun
tos
:
I
1
;
1
3
;
0
;
J
0
;
2
3
;
1
;
K
3
4
;
0
;
1
;
L
a
;
1
;
0
con
a
un
n
úmero
real
p
ertenecien
te
al
in
terv
alo
0
;
1
.
Las
partes
A
y
B
son
indep
endien
tes.
P
artie
A
1
Déterminer
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
I
J
)
.
2
Demostrar
que
la
recta
(
K
L
)
tiene
la
represen
tación
paramétrica
:
x
=
3
4
+
t
·
a
−
3
4
y
=
t
z
=
1
−
t
où
t
∈
R
.
3
Démon
trer
que
las
rectas
(
I
J
)
y
(
K
L
)
se
in
tersecan
si,
y
sólo
si,
a
=
1
4
.
P
artie
B
A
lo
largo
del
resto
del
ejercicio,
plan
teamos
a
=
1
4
.
P
or
tan
to,
el
pun
to
L
tiene
co
ordenadas
1
4
;
1
;
0
.
1
Demostrar
que
el
cuadrilátero
I
K
J
L
es
un
paralelo-
gramo.
2
La
figura
siguien
te
m
uestra
la
in
tersección
del
plano
(
I
J
K
)
con
las
caras
del
cub
o
AB
C
D
D
E
F
GH
obtenida
median
te
un
soft
w
are
de
geometría
dinámica.
Denotamos
p
or
M
el
pun
to
de
in
tersección
del
plano
(
I
J
K
)
y
la
recta
(
B
F
)
y
p
or
N
el
pun
to
de
in
tersección
del
plano
(
I
J
K
)
y
la
recta
(
D
H
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6883
sacados/6883
A
B
C
D
O
I
S
chapExoCorrec/5452
sacados/5452
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
A
B
C
D
E
F
G
H
M
P
N
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
El
ob
jetiv
o
de
esta
pregun
ta
es
determinar
las
co
orde-
nadas
de
los
pun
tos
M
y
N
a
Demostrar
que
el
v
ector
−
→
n
de
co
ordenadas
8
;
9
;
5
es
un
v
ector
normal
al
plano
(
I
J
K
)
.
b
Deduzca
que
el
plano
(
I
J
K
)
tiene
como
ecuación
:
8
x
+
9
y
+
5
z
−
11
=
0
c
Deduzca
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
M
y
N
.
E.6268
Considera
un
AB
C
D
D
E
F
GH
cub
o
dado
a
con
tin
uación
:
Sea
M
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
E
H
]
,
N
el
de
[
F
C
]
y
P
el
pun
to
tal
que
:
−
−
→
H
P
=
1
4
·
−
−
→
H
G
.
P
arte
A
:
Sección
del
cub
o
p
or
el
plano
(
M
N
P
)
1
Justifica
que
las
rectas
(
M
P
)
y
(
F
G
)
se
cortan
en
un
pun
to
L
.
Construy
e
el
pun
to
L
.
2
Sup
ongamos
que
las
rectas
(
LN
)
y
(
C
G
)
son
secan
tes
y
anota
T
su
pun
to
de
in
tersección.
A
dmitimos
que
las
rectas
(
LN
)
y
(
B
F
)
son
secan
tes
y
anotamos
Q
su
pun
to
de
in
tersección.
a
Construy
e
los
pun
tos
T
y
Q
dejando
aparen
tes
las
líneas
de
construcción.
b
Construy
e
la
in
tersección
de
los
planos
(
M
N
P
)
y
(
AB
F
)
.
3
Deriv
a
una
construcción
de
la
sección
del
cub
o
p
or
el
plano
(
M
N
P
)
.
P
arte
B
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
Da
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
M
,
N
y
P
en
este
marco.
2
Determina
las
co
ordenadas
del
pun
to
L
.
3
Sup
ongamos
que
el
pun
to
T
tiene
co
ordenadas
1
;
1
;
5
8
.
¾Es
el
triángulo
T
P
N
rectángulo
en
T
?
E.3238
1
Sea
[
K
L
]
un
segmen
to
del
espacio
;
se
denota
I
su
pun
to
medio.
Se
denomina
plano
mediador
de
[
K
L
]
el
plano
p
erp
endicular
en
I
a
la
recta
(
K
L
)
.
Demostrar
que
el
plano
mediador
de
[
K
L
]
es
el
conjun
to
de
pun
tos
del
espacio
equidistan
tes
de
K
y
L
.
2
A
quí,
el
espacio
está
pro
visto
de
un
sistema
de
co
or-
denadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
;
se
consideran
los
pun
tos
:
A
4
;
0
;
−
3
;
B
2
;
2
;
2
;
C
3
;
−
3
;
−
1
;
D
0
;
0
;
−
3
a
Demostrar
que
el
plano
mediador
de
[
AB
]
a
tiene
la
ecuación
:
4
x
−
4
y
−
10
z
−
13
=
0
A
dmitimos
para
la
con
tin
uación
que
los
planos
mediadores
de
[
B
C
]
y
[
C
D
]
tienen
resp
ectiv
amen
te
las
ecuaciones
:
2
x
−
10
y
−
6
z
−
7
=
0
;
3
x
−
3
y
+
2
z
−
5
=
0
b
Dem
uestre,
resolviendo
un
sistema
de
ecuaciones
lin-
eales,
que
estos
tres
planos
tienen
un
único
pun
to
en
com
ún
E
cuy
as
co
ordenadas
se
darán.
c
Utilizando
la
pregun
ta
1
dem
uestre
que
los
pun
tos
A
,
B
,
C
y
D
están
en
una
esfera
con
cen
tro
E
.
¾Cuál
es
el
radio
de
esta
esfera?
2.
Distancia
y
volumen
en
el
esp
acio
E.6884
AB
C
D
E
F
GH
es
un
cub
o
con
aristas
iguales
a
1
.
El
espacio
está
pro
visto
del
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
D
;
−
−
→
D
C
;
−
−
→
D
A
;
−
−
→
D
H
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
chapExoCorrec/6268
sacados/6268
A
B
C
D
E
F
G
H
M
P
N
chapExoCorrec/3238
sacados/3238
Antilles-Guyane Juin 2005 6 points
chapExoCorrec/6884
sacados/6884
Antilles-Guyane Juin 2016
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
A
B
C
D
E
F
G
H
En
este
sistema
de
co
ordenadas,
tenemos
:
D
0
;
0
;
0
C
1
;
0
;
0
A
0
;
1
;
0
H
0
;
0
;
1
E
0
;
1
;
1
Sea
I
el
cen
tro
de
[
AB
]
.
Sea
P
el
plano
paralelo
al
plano
(
B
GE
)
y
que
pasa
p
or
el
pun
to
I
.
Se
admite
que
la
sección
del
cub
o
p
or
el
plano
P
represen-
tada
arriba
es
un
hexágono
cuy
os
v
értices
I
,
J
,
K
,
L
,
M
y
N
p
ertenecen
resp
ectiv
amen
te
a
las
aristas
[
AB
]
,
[
B
C
]
,
[
C
G
]
,
[
GH
]
,
[
H
E
]
y
[
AE
]
.
1
a
Dem
uestra
que
el
v
ector
−
−
→
D
F
es
normal
al
plano
(
B
GE
)
.
b
Deduce
una
ecuación
cartesiana
del
plano
P
.
2
Demostrar
que
el
pun
to
N
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AE
]
.
3
a
Determinar
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
H
B
)
.
b
Deduzca
que
la
recta
(
H
B
)
y
el
plano
P
se
secan
en
un
pun
to
T
cuy
as
co
ordenadas
se
esp
ecificarán.
4
Calcule,
en
unidades
de
v
olumen,
el
v
olumen
del
tetrae-
dro
F
B
GE
.
E.6265
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sis-
tema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
consider-
amos
el
tetraedro
AB
C
D
cuy
os
v
értices
tienen
las
siguien
tes
co
ordenadas
:
A
1
;
−
3
;
0
;
B
1
;
3
;
0
;
C
−
2
;
0
;
0
;
D
0
;
0
;
2
2
1
Dem
uestre
que
el
plano
(
AB
D
)
tiene
como
ecuación
cartesiana
4
x
+
z
2
=
4
2
Se
denota
p
or
D
la
recta
cuy
a
represen
tación
paramétrica
es
:
x
=
t
y
=
0
z
=
t
2
donde
t
∈
R
a
Dem
uestra
que
D
es
la
recta
paralela
a
(
C
D
)
y
que
pasa
p
or
O
.
b
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
G
,
in
tersección
de
la
recta
D
y
el
plano
(
AB
D
)
.
3
a
Se
denota
L
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AC
]
.
Dem
uestre
que
la
recta
(
B
L
)
pasa
p
or
el
pun
to
O
y
es
ortogonal
a
la
recta
(
AC
)
.
b
Dem
uestre
que
el
triángulo
AB
C
es
equilátero
y
deter-
mine
el
cen
tro
de
su
circunferencia
circunscrita.
4
Demostrar
que
el
tetraedro
AB
C
D
es
regular,
es
decir,
un
tetraedro
cuy
as
seis
aristas
tienen
la
misma
longitud.
E.6406
Sea
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
con
aristas
1
.
En
el
sistema
de
co
ordenadas
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
,
consider-
amos
los
pun
tos
M
,
N
y
P
con
co
ordenadas
resp
ectiv
as
:
M
1
;
1
;
3
4
;
N
0
;
1
2
;
1
;
P
1
;
0
;
−
5
4
.
1
Colo
ca
M
,
N
y
P
en
la
figura
siguien
te.
2
Determina
las
co
ordenadas
de
los
v
ectores
−
−
→
M
N
y
−
−
→
M
P
.
Deduzca
que
los
pun
tos
M
,
N
y
P
no
están
alineados.
3
Consideremos
la
función
f
del
algoritmo
1
siguien
te
:
Fonction
f(
x
M
,
y
M
,
z
M
,
x
N
,
y
N
,
z
N
,
x
P
,
y
P
,
z
P
)
d
←
x
N
−
x
M
e
←
y
N
−
y
M
f
←
z
N
−
z
M
g
←
x
p
−
x
M
h
←
y
p
−
y
M
i
←
z
P
−
z
M
k
←
d
×
g+e
×
h+f
×
i
Devolver
k
a
¾Cuál
es
el
v
alor
devuelto
p
or
la
función
f
cuando
la
llamada
se
realiza
con
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
M
,
N
y
P
indicados
an
teriormen
te?
b
¾A
qué
corresp
onde
este
v
alor?
¾Qué
se
deduce
para
el
triángulo
M
N
P
?
4
Consideremos
la
función
g
de
un
algoritmo
2
dado
a
con-
tin
uación.
Fonction
g(
x
M
,
y
M
,
z
M
,
x
N
,
y
N
,
z
N
,
x
P
,
y
P
,
z
P
)
d
←
x
N
−
x
M
e
←
y
N
−
y
M
f
←
z
N
−
z
M
g
←
x
p
−
x
M
h
←
y
p
−
y
M
i
←
z
P
−
z
M
k
←
d
×
g+e
×
h+f
×
i
...
Cópialo
y
complétalo
para
que
la
función
g
devuelv
a
el
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6265
sacados/6265
chapExoCorrec/6406
sacados/6406
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
O
S
v
alor
1
si
el
triángulo
M
N
P
es
rectángulo
e
isósceles
en
M
y
el
v
alor
0
en
caso
con
trario.
5
Consideramos
el
v
ector
−
→
n
5
;
−
8
;
4
normal
al
plano
(
M
N
P
)
.
a
Determinar
una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
M
N
P
)
.
b
Consideremos
la
recta
(Δ)
que
pasa
p
or
F
y
cuy
o
v
ec-
tor
director
es
−
→
n
.
Determinar
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(Δ)
.
6
Sea
K
el
pun
to
de
in
tersección
del
plano
(
M
N
P
)
y
la
recta
(Δ)
.
a
Dem
uestre
que
las
co
ordenadas
del
pun
to
K
son
4
7
;
24
35
;
23
35
.
b
Se
da
:
F
K
=
27
35
.
Calcular
el
v
olumen
del
tetraedro
M
N
P
F
.
E.6261
En
el
espacio,
consideramos
un
tetraedro
AB
C
D
cuy
as
caras
AB
C
,
AC
D
y
AB
D
son
trián-
gulos
rectángulos
e
isósceles
en
A
.
Denotamos
p
or
E
,
F
y
G
los
pun
tos
medios
resp
ectiv
os
de
los
lados
[
AB
]
,
[
B
C
]
y
[
C
A
]
.
Se
elige
AB
como
unidad
de
longitud
y
se
sitúa
en
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
A
;
−
−
→
AB
;
−
→
AC
;
−
−
→
AD
del
espacio.
1
Se
designa
con
P
el
plano
que
pasa
p
or
A
y
que
es
ortog-
onal
a
la
recta
(
D
F
)
.
Se
denota
p
or
H
el
pun
to
de
in
tersección
del
plano
P
y
la
recta
(
D
F
)
.
a
Dar
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
D
y
F
.
b
Da
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
D
F
)
.
c
Determina
una
ecuación
cartesiana
del
plano
P
.
d
Calcula
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
.
e
Demostrar
que
el
ángulo
E
H
G
es
un
ángulo
recto.
2
Se
designa
p
or
M
un
pun
to
de
la
recta
(
D
F
)
y
p
or
t
el
real
tal
que
−
−
→
D
M
=
t
·
−
−
→
D
F
.
Se
denota
p
or
¸
la
medida
en
radianes
del
ángulo
ge-
ométrico
E
M
G
.
El
ob
jetiv
o
de
esta
pregun
ta
es
determinar
la
p
osición
del
pun
to
M
para
que
¸
sea
máximo.
a
Demostrar
que
:
M
E
2
=
3
2
·
t
2
−
5
2
·
t
+
5
4
b
Demostrar
que
el
triángulo
M
E
G
es
isósceles
en
M
Deduzca
que
:
M
E
·
sin
¸
2
=
1
2
·
√
2
.
c
Justifique
que
¸
es
máximo
si,
y
solo
si,
sin
¸
2
es
máximo.
Deduzca
que
¸
es
máximo
si,
y
solo
si,
M
E
2
es
mín-
imo.
d
Concluy
a.
3.
Pr
oye
c
ción
orto
gonal
E.6943
P
arte
A
:
cálculo
de
v
olumen
sin
referencia
Consideremos
una
pirámide
equilátera
S
AB
C
D
(pir
ámide
de
b
ase
cuadr
ada
cuyas
c
ar
as
later
ales
son
triángulos
e
quiláter
os)
represen
tada
al
lado.
Las
diagonales
del
cuadrado
AB
C
D
miden
24
cm
.
Denote-
mos
p
or
O
el
cen
tro
del
cuadrado
AB
C
D
.
Se
admitirá
que
:
O
S
=
O
A
1
Sin
utilizar
co
ordenadas,
dem
uestre
que
la
recta
S
O
es
ortogonal
al
plano
AB
C
.
2
Deduzca
el
v
olumen,
en
cm
3
,
de
la
pirámide
S
AB
C
D
.
P
arte
B
:
en
un
sistema
de
co
ordenadas
Consideramos
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
O
A
;
−
−
→
O
B
;
−
→
O
S
.
1
Se
denotan
P
y
Q
los
pun
tos
medios
resp
ectiv
os
de
los
segmen
tos
[
AS
]
y
[
B
S
]
.
a
Justifique
que
−
→
n
1
;
1
;
−
3
es
un
v
ector
normal
al
plano
P
QC
.
b
Deduzca
una
ecuación
cartesiana
del
plano
P
QC
.
2
Sea
H
el
pun
to
del
plano
P
QC
tal
que
la
recta
S
H
es
ortogonal
al
plano
P
QC
.
a
Da
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
S
H
)
.
b
Calcula
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
.
c
Dem
uestre
en
tonces
que
la
longitud
S
H
,
en
unidades
de
longitud,
es
2
11
11
3
Se
admitirá
que
el
área
del
cuadrilátero
P
QC
D
,
en
unidades
de
área,
es
igual
a
3
11
8
.
Calcular
el
v
olumen
de
la
pirámide
S
P
QC
D
,
en
unidades
de
v
olumen.
P
arte
C
:
reparto
equitativ
o
P
ara
el
cumpleaños
de
sus
gemelas
Anne
y
F
ann
y
,
la
señora
No
v
a
ha
preparado
una
b
onita
tartaâcon
forma
de
pirámide
equilátera
cuy
as
diagonales
del
cuadrado
base
miden
24
cm
.
Se
disp
one
a
dividirlo
en
dos
partes
iguales
colo
cando
el
cuc
hillo
en
la
cima.
En
tonces,
Anne
detiene
su
gesto
y
le
prop
one
un
corte
más
original
:
ˇ
Colo
ca
la
ho
ja
en
el
cen
tro
de
una
arista,
paralela
a
un
lado
de
la
base,
y
luego
corta
dirigiéndote
hacia
el
lado
opuesto
ı
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6261
sacados/6261
chapExoCorrec/6943
sacados/6943
A
B
C
D
O
S
H
G
F
E
D
C
B
A
F
ann
y
tiene
dudas,
las
partes
no
le
parecen
equitativ
as.
¾Es
así?
Justifica
tu
respuesta.
E.3186
Considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
en
la
ho
ja
adjun
ta.
A
lo
largo
del
ejerci-
cio,
el
espacio
se
refiere
al
sistema
de
referencia
ortonormal
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Denotamos
I
el
pun
to
de
co
ordenadas
1
3
;
1
;
1
.
1
Sitúa
el
pun
to
I
en
la
figura.
2
El
plano
(
AC
I
)
corta
a
la
recta
(
E
H
)
en
J
.
Dem
uestra
que
las
rectas
(
I
J
)
y
(
AC
)
son
paralelas.
3
Sea
R
la
pro
y
ección
ortogonal
de
I
sobre
la
recta
(
AC
)
.
a
Justifica
que
se
cumplen
las
dos
condiciones
siguien
tes
:
i
Existe
un
real
k
tal
que
:
−
→
AR
=
k
·
−
→
AC
ii
−
→
I
R
·
−
→
AC
=
0
b
Calcula
las
co
ordenadas
del
pun
to
R
.
c
Deduce
que
la
distancia
I
R
se
expresa
como
:
I
R
=
√
11
3
.
4
Dem
uestra
que
el
v
ector
−
→
n
de
co
ordenadas
3
;
−
3
;
2
es
normal
al
plano
(
AC
I
)
.
Deduce
una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
AC
I
)
.
5
Dem
uestre
que
la
distancia
del
pun
to
F
al
plano
(
AC
I
)
es
5
√
22
.
E.3248
Se
denomina
altura
de
un
tetrae-
dro
a
cualquier
recta
que
con
tenga
uno
de
los
v
értices
de
dic
ho
tetraedro
y
sea
p
erp
endicular
al
plano
de
la
cara
opuesta
a
dic
ho
v
értice.
Un
tetraedro
es
orto
cén
trico
si
sus
cuatro
alturas
son
conci-
den
tes.
P
arte
A
Consideremos
un
tetraedro
AB
C
D
y
denotemos
p
or
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
B
C
D
)
.
Dem
uestre
que,
si
las
alturas
del
tetraedro
AB
C
D
que
parten
de
los
pun
tos
A
y
B
son
conciden
tes,
en
tonces
la
recta
(
B
H
)
es
una
altura
del
triángulo
B
C
D
.
P
arte
B
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
se
dan
los
pun
tos
:
A
3
;
2
;
−
1
;
B
−
6
;
1
;
1
;
C
4
;
−
3
;
3
;
D
−
1
;
−
5
;
−
1
1
a
Comprueba
que
una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
B
C
D
)
es
:
−
2
x
−
3
y
+
4
z
−
13
=
0
b
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
,
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
B
C
D
)
.
c
Calcular
el
pro
ducto
escalar
:
−
−
→
B
H
·
−
−
→
C
D
d
¾Es
orto
cén
trico
el
tetraedro
AB
D
?
2
Se
definen
los
pun
tos
I
1
;
0
;
0
,
J
0
;
1
;
0
,
K
0
;
0
;
1
.
¾Es
orto
cén
trico
el
tetraedro
O
I
J
K
?
E.3139
El
espacio
está
pro
visto
de
un
sis-
tema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Sea
(
P
1
)
el
plano
de
ecuación
cartesiana
−
2
x
+
y
+
z
−
6
=
0
y
(
P
2
)
el
plano
de
ecuación
cartesiana
x
−
2
y
+4
z
−
9
=
0
.
1
Dem
uestra
que
(
P
1
)
y
(
P
2
)
son
p
erp
endiculares.
Recordemos
que
dos
planos
son
p
erp
endiculares
si,
y
solo
si,
un
v
ector
normal
distin
to
de
cero
a
uno
es
ortogonal
a
un
v
ector
normal
distin
to
de
cero
al
otro.
2
Sea
(
D
)
la
recta
de
in
tersección
de
(
P
1
)
y
(
P
2
)
.
Dem
uestre
que
una
represen
tación
paramétrica
de
(
D
)
es
:
x
=
−
7
+
2
t
y
=
−
8
+
3
t
z
=
t
donde
t
∈
R
3
Sea
M
un
pun
to
cualquiera
de
(
D
)
de
parámetro
t
y
sea
A
el
pun
to
de
co
ordenadas
−
9
;
−
4
;
−
1
.
a
Comprueba
que
A
no
p
ertenece
ni
a
(
P
1
)
ni
a
(
P
2
)
.
b
Expresar
AM
2
en
función
de
t
.
c
Sea
f
la
función
definida
en
R
p
or
f
(
t
)
=
2
t
2
−
2
t
+3
.
Estudiar
las
v
ariaciones
de
f
.
¾P
ara
qué
pun
to
M
es
mínima
la
distancia
AM
?
A
con
tin
uación,
designaremos
este
pun
to
p
or
I
.
Esp
ecificar
las
co
ordenadas
del
pun
to
I
.
4
Sea
(
Q
)
el
plano
ortogonal
a
(
D
)
que
pasa
p
or
A
.
a
Determinar
una
ecuación
de
(
Q
)
.
b
Demostrar
que
I
es
la
pro
y
ección
ortogonal
de
A
sobre
(
D
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3186
sacados/3186
H
G
F
E
D
C
B
A
chapExoCorrec/3248
sacados/3248
chapExoCorrec/3139
sacados/3139
E.3172
El
espacio
está
pro
visto
de
un
marco
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
P
arte
A
(esta
p
arte
c
onstituye
una
r
estitución
or
ganizada
de
c
ono
cimientos)
Sean
a
,
b
,
c
y
d
n
úmeros
reales
tales
que
:
(
a
;
b
;
c
)
=
0
;
0
;
0
.
Sea
P
el
plano
de
ecuación
:
a
·
x
+
b
·
y
+
c
·
z
+
d
=
0
.
Consideremos
el
pun
to
I
de
co
ordenadas
(
x
I
;
y
I
;
z
I
)
y
el
v
ec-
tor
−
→
n
de
co
ordenadas
(
a
;
b
;
c
)
.
El
ob
jetiv
o
de
esta
parte
es
demostrar
que
la
distancia
de
I
al
plano
P
es
igual
a
:
⏐
⏐
a
·
x
I
+
b
·
y
I
+
c
·
z
I
+
d
⏐
⏐
a
2
+
b
2
+
c
2
1
Sea
Δ
la
recta
que
pasa
p
or
I
y
es
ortogonal
al
plano
P
.
Determinar,
en
función
de
a
,
b
,
c
,
x
I
,
y
I
y
z
I
,
un
sistema
de
ecuaciones
paramétricas
de
Δ
.
2
Sea
H
el
pun
to
de
in
tersección
de
Δ
y
P
.
a
Justifique
que
existe
un
real
k
tal
que
:
−
→
I
H
=
k
−
→
n
.
b
Determine
la
expresión
de
k
en
función
de
a
,
b
,
c
,
d
,
x
I
,
y
I
y
z
I
.
c
Deduce
que
:
I
H
=
⏐
⏐
a
·
x
I
+
b
·
y
I
+
c
·
z
I
+
d
⏐
⏐
a
2
+
b
2
+
c
2
P
arte
B
El
plano
Q
de
ecuación
x
−
y
+
z
−
11
=
0
es
tangen
te
a
una
es-
fera
S
de
cen
tro
el
pun
to
Ω
de
co
ordenadas
1
;
−
1
;
3
.
1
Determinar
el
radio
de
la
esfera
S
.
2
Determinar
un
sistema
de
ecuaciones
paramétricas
de
la
recta
Δ
que
pasa
p
or
Ω
y
es
ortogonal
al
plano
Q
.
3
Deducir
las
co
ordenadas
del
pun
to
de
in
tersección
de
la
esfera
S
y
el
plano
Q
.
.
4.
Qcm,
de
clar
aciones...
E.3195
Sea
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
del
espacio.
Consideremos
los
pun
tos
:
A
2
;
4
;
1
;
B
0
;
4
;
−
3
;
C
3
;
1
;
−
3
D
1
;
0
;
−
2
;
E
3
;
2
;
−
1
;
I
3
5
;
4
;
−
9
5
P
ara
cada
una
de
las
cinco
afirmaciones
siguien
tes,
indique,
sin
justificarlo,
si
es
v
erdadera
o
falsa.
P
or
cada
pregun
ta,
se
otorga
un
pun
to
si
la
respuesta
es
correcta
y
cero
si
no
lo
es.
1
Una
ecuación
del
plano
(
AB
C
)
es
:
2
x
+
2
y
−
z
−
11
=
0
2
El
pun
to
E
es
la
pro
y
ección
ortogonal
de
D
sobre
el
plano
(
AB
C
)
.
3
Las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
son
ortogonales.
4
La
recta
(
C
D
)
viene
dada
p
or
la
siguien
te
represen
tación
paramétrica
:
(
C
D
)
:
x
=
−
1
+
2
t
y
=
−
1
+
t
z
=
1
−
t
donde
t
∈
R
5
El
pun
to
I
está
en
la
recta
AB
.
E.5531
P
ara
cada
pregun
ta
se
ofrecen
cuatro
p
osibles
respuestas,
de
las
cuales
solo
una
es
correcta.
P
ara
cada
pregun
ta,
indique
la
respuesta
correcta
en
el
ex-
amen
sin
justificarla.
Una
respuesta
correcta
v
ale
1
pun
tos.
Una
respuesta
incorrecta
o
la
ausencia
de
respuesta
no
suman
ni
restan
pun
tos.
Lo
mismo
o
curre
en
el
caso
de
que
se
den
v
arias
respuestas
para
una
misma
pregun
ta.
El
espacio
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males.
t
y
t
designan
parámetros
reales.
El
plano
(
P
)
tiene
como
ecuación
:
x
−
2
y
+3
z
+5
=
0
El
plano
(
S
)
tiene
como
represen
tación
paramétrica
:
x
=
−
2
+
t
+
2
t
y
=
−
t
−
2
t
z
=
−
1
−
t
+
3
t
donde
t
∈
R
,
t
∈
R
La
recta
(
d
)
tiene
como
represen
tación
paramétrica
:
x
=
−
2
+
t
y
=
−
t
z
=
−
1
−
t
donde
t
∈
R
Se
dan
los
pun
tos
del
espacio
M
−
1
;
2
;
3
y
N
1
;
−
2
;
9
.
1
Una
represen
tación
paramétrica
del
plano
(
P
)
es
:
a
x
=
t
y
=
1
−
2
t
z
=
−
1
+
3
t
b
x
=
t
+
2
t
y
=
1
−
t
+
t
z
=
−
1
−
t
c
x
=
t
+
t
y
=
1
−
t
−
2
t
z
=
1
−
t
−
3
t
d
x
=
1
+
2
t
+
t
y
=
1
−
2
t
+
2
t
z
=
−
1
−
t
2
a
La
recta
(
d
)
y
el
plano
(
P
)
se
secan
en
el
pun
to
A
−
8
;
3
;
2
.
b
La
recta
(
d
)
y
el
plano
(
P
)
son
p
erp
endiculares.
c
La
recta
(
d
)
es
una
recta
del
plano
(
P
)
.
d
La
recta
(
d
)
y
el
plano
(
P
)
son
estrictamen
te
paralelos.
3
a
La
recta
(
M
N
)
y
recta
(
d
)
son
orthogonales
b
La
recta
(
M
N
)
y
recta
(
d
)
son
paralelas.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3172
sacados/3172
chapExoCorrec/3195
sacados/3195
France Juin 2006 4 points
chapExoCorrec/5531
sacados/5531
c
La
recta
(
M
N
)
y
recta
(
d
)
son
secan
tes.
d
La
recta
(
M
N
)
y
recta
(
d
)
son
coinciden
tes.
4
a
Les
planos
(
P
)
y
(
S
)
son
paralelos.
b
La
recta
(Δ)
de
represen
tación
paramétrica
:
x
=
t
y
=
−
2
−
t
z
=
−
3
−
t
t
∈
R
es
la
recta
de
in
tersección
de
los
planos
(
P
)
y
(
S
)
.
c
Le
pun
to
M
p
ertenece
a
la
in
tersección
de
los
planos
(
P
)
y
(
S
)
.
d
Les
planos
(
P
)
y
(
S
)
son
p
erp
endiculares.
E.3140
En
el
espacio
referido
a
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormado,
consideramos
los
pun
tos
:
A
de
co
ordenadas
3
;
1
;
−
5
;
B
de
co
ordenadas
0
;
4
;
−
5
;
C
de
co
ordenadas
−
1
;
2
;
−
5
;
D
de
co
ordenadas
2
;
3
;
4
.
P
ara
cada
una
de
las
seis
afirmaciones
siguien
tes,
indique
si
es
v
erdadera
o
falsa.
No
se
requiere
justificación.
El
candidato
deb
e
indicar
en
su
copia
el
n
úmero
de
la
pregun
ta
y
la
men-
ción
ˇVERD
ADER
Oı
o
ˇF
ALSOı.
Se
otorgan
0,5
pun
tos
p
or
cada
respuesta
correcta
y
se
restan
0
;
25
pun
tos
p
or
cada
re-
spuesta
incorrecta.
No
se
p
enaliza
la
falta
de
respuesta.
Si
el
total
es
negativ
o,
se
reduce
a
0.
1
Los
pun
tos
A
,
B
y
D
están
alineados.
2
La
recta
(
AB
)
está
con
tenida
en
el
plano
de
ecuación
cartesiana
:
x
+
y
=
4
.
3
Una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
B
C
D
)
es
:
18
x
−
9
y
−
5
z
+
11
=
0
4
Los
pun
tos
A
,
B
,
C
y
D
son
coplanares.
5
Una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
B
D
)
es
:
x
=
1
−
2
k
y
=
7
2
+
k
z
=
−
1
2
−
9
k
donde
k
∈
R
E.3149
Primera
parte
El
espacio
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Consideramos
:
Los
pun
tos
:
A
0
;
0
;
3
;
B
2
;
0
;
4
;
C
−
1
;
1
;
2
;
D
1
;
−
4
;
0
.
Los
planos
:
(
P
1
)
:
7
x
+4
y
−
3
z
+9
=
0
;
(
P
2
)
:
x
−
2
y
=
0
.
Las
rectas
(Δ
1
)
y
(Δ
2
)
definidas
p
or
sus
resp
ectiv
os
sis-
temas
de
ecuaciones
paramétricas
:
x
=
−
1
+
t
y
=
−
8
+
2
t
z
=
−
10
+
5
t
donde
t
∈
R
x
=
7
+
2
t
y
=
8
+
4
t
z
=
8
−
t
donde
t
∈
R
P
ara
cada
pregun
ta,
solo
una
de
las
cuatro
propuestas
es
cor-
recta.
El
candidato
indicará
en
la
copia
el
n
úmero
de
la
pre-
gun
ta
y
la
letra
corresp
ondien
te
a
la
respuesta
elegida.
No
se
requiere
justificación.
Una
respuesta
correcta
v
ale
0
;
5
pun
tos
;
una
respuesta
incor-
recta
resta
0
;
25
pun
tos
;
la
ausencia
de
respuesta
se
cuen
ta
como
0
pun
tos.
Si
el
total
es
negativ
o,
la
nota
se
reduce
a
0.
1
El
plano
(
P
1
)
es
:
a
el
plano
(
AB
C
)
b
el
plano
(
B
C
D
)
c
el
plano
(
AC
D
)
d
el
plano
(
AB
D
)
2
La
recta
(Δ
1
)
con
tiene
:
a
el
pun
to
A
b
el
pun
to
B
c
el
pun
to
C
d
el
pun
to
D
3
P
osición
relativ
a
de
(
P
1
)
y
(Δ
2
)
:
a
(Δ
2
)
es
estrictamen
te
paralela
a
(
P
1
)
b
(Δ
2
)
está
incluida
en
(
P
1
)
c
(Δ
2
)
corta
(
P
1
)
d
(Δ
2
)
es
ortogonal
a
(
P
1
)
4
P
osición
relativ
a
de
(Δ
1
)
y
(Δ
2
)
:
a
(Δ
1
)
es
estrictamen
te
paralela
a
(Δ
2
)
b
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
coinciden
tes
c
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
sécan
tes
d
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
no
coplanares.
5
La
in
tersección
de
(
P
1
)
y
(
P
2
)
es
una
recta
cuy
a
repre-
sen
tación
paramétrica
es
:
a
x
=
t
y
=
−
2
+
1
2
·
t
z
=
3
·
t
b
x
=
2
·
t
y
=
t
z
=
3
+
6
·
t
c
x
=
5
·
t
y
=
1
−
2
·
t
z
=
t
d
x
=
−
1
+
t
y
=
2
+
t
z
=
−
3
·
t
Segunda
P
arte
El
espacio
está
referido
a
un
marco
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Consideremos
la
recta
(
D
)
que
pasa
p
or
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3140
sacados/3140
chapExoCorrec/3149
sacados/3149
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
A
0
;
0
;
3
y
de
la
que
un
v
ector
director
es
−
→
u
1
;
0
;
−
1
y
la
recta
(
D
)
que
pasa
p
or
B
2
;
0
;
4
y
de
la
que
un
v
ector
director
es
−
→
v
0
;
1
;
1
.
Se
trata
de
demostrar
que
existe
una
única
recta
p
erp
endic-
ular
tan
to
a
(
D
)
como
a
(
D
)
,
determinarla
e
iden
tificar
una
propiedad
de
dic
ha
recta.
1
Consideremos
un
pun
to
M
p
ertenecien
te
a
(
D
)
y
un
pun
to
M
p
ertenecien
te
a
(
D
)
definidos
p
or
−
−
→
AM
=
a
·
−
→
u
y
−
−
−
→
B
M
=
b
·
−
→
v
,
donde
a
y
b
son
n
úmeros
reales.
Exprese
las
co
ordenadas
de
M
,
M
y
luego
el
v
ector
−
−
−
→
M
M
en
términos
de
a
y
b
.
2
Dem
uestre
que
la
recta
(
M
M
)
es
p
erp
endicular
a
(
D
)
y
a
(
D
)
si,
y
sólo
si,
el
par
(
a
;
b
)
es
solución
del
sistema
:
2
a
+
b
=
1
a
+
2
b
=
−
1
3
Resolv
er
este
sistema.
Deduzca
las
co
ordenadas
de
los
dos
únicos
pun
tos
M
y
M
,
que
aquí
denotaremos
como
H
y
H
,
de
mo
do
que
la
recta
(
H
H
)
sea
p
erp
endicular
a
(
D
)
y
a
(
D
)
.
Dem
uestre
que
H
H
=
3
unidades
de
longitud.
4
Consideremos
un
pun
to
M
cualquiera
de
la
recta
(
D
)
y
un
pun
to
M
cualquiera
de
la
recta
(
D
)
.
a
Utilizando
las
co
ordenadas
obtenidas
en
la
pregun
ta
1
,
dem
uestre
que
:
M
M
2
=
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
1)
2
+
(
b
+
1)
2
+
3
b
Deduzca
que
la
distancia
mínima
M
M
cuando
M
está
en
H
y
M
está
en
H
.
E.3167
En
este
ejercicio,
se
pide
al
can-
didato
que
resp
onda
con
ˇ
VERD
ADER
Oı
ı
o
ˇ
F
ALSOı,
sin
justificación,
se
solicita
al
candidato
fren
te
a
una
lista
de
afir-
maciones.
T
o
da
respuesta
conforme
a
la
realidad
matemática
otorga
0
;
4
pun
tos.
T
o
da
respuesta
errónea
resta
0
;
1
pun
tos.
La
ausencia
de
respuesta
no
se
con
tabiliza.
El
total
no
puede
ser
negativ
o.
Se
da
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
,
con
aristas
de
longitud
1
,
y
los
pun
tos
medios
I
y
J
de
las
aristas
[
AB
]
y
[
C
G
]
.
Los
elemen
tos
útiles
de
la
figura
se
m
ues-
tran
al
lado.
El
candidato
deb
e
ev
al-
uar
cada
una
de
las
10
afirmaciones
siguien
tes.
Afirmación
V
erdadero
F
also
1
−
→
AC
·
−
→
AI
=
1
2
2
−
→
AC
·
−
→
AI
=
−
→
AI
·
−
−
→
AB
3
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
−
−
→
AB
·
−
→
I
C
4
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
AB
×
I
C
×
cos
ı
3
Ahora
utilizamos
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
5
Una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
I
J
)
es
:
x
=
t
+
1
y
=
2
t
z
=
t
donde
t
∈
R
6
Una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
I
J
)
es
:
x
=
1
2
t
+
1
y
=
t
+
1
z
=
1
2
t
+
1
2
donde
t
∈
R
.
7
6
x
−
7
y
+8
z
−
3=0
es
una
ecuación
carte-
siana
de
la
recta
(
I
J
)
.
8
La
in
tersección
de
los
planos
(
F
I
J
)
y
(
AB
C
)
es
la
recta
que
pasa
p
or
I
y
p
or
el
cen
tro
de
la
arista
[
D
C
]
9
El
v
ector
de
co
ordenadas
-4
1
2
es
un
v
ector
normal
al
plano
(
F
I
J
)
10
El
v
olumen
del
tetraedro
E
F
I
J
es
igual
a
1
6
5.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.8137
Nos
situamos
en
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
cuy
o
origen
es
el
pun
to
A
.
Consideramos
los
pun
tos
B
10
;
−
8
;
2
,
C
−
1
;
−
8
;
5
y
D
14
;
4
;
8
.
1
a
Determinar
un
sistema
de
ecuaciones
paramétricas
de
cada
una
de
las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
.
b
Comprobar
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
no
son
coplanares.
2
Consideramos
el
pun
to
I
de
la
recta
(
AB
)
con
abscisa
5
y
el
pun
to
J
de
la
recta
(
C
D
)
con
abscisa
4
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3167
sacados/3167
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
sacados/8137
(
C
D
I
J
M
P
(
AB
M
A
B
C
D
E
F
G
H
L
S
M
I
J
K
a
Determinar
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
I
y
J
y
de-
ducir
la
distancia
I
J
.
b
Dem
uestre
que
la
recta
(
I
J
)
es
p
erp
endicular
a
las
rec-
tas
(
AB
)
y
(
C
D
)
.
La
recta
(
I
J
)
se
denomina
p
erp
endicular
com
ún
a
las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
.
3
Esta
pregun
ta
tiene
como
ob
jetiv
o
v
erificar
que
la
dis-
tancia
I
J
es
la
distancia
mínima
en
tre
las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
.
En
el
siguien
te
esquema
se
represen
tan
las
rectas
(
AB
)
y
(
C
D
)
,
los
pun
tos
I
y
J
,
y
la
recta
Δ
paralela
a
la
recta
(
C
D
)
que
pasa
p
or
I
.
Consideramos
un
pun
to
M
de
la
recta
(
AB
)
distin
to
del
pun
to
I
.
Consideremos
un
pun
to
M
de
la
recta
(
C
D
)
distin
to
del
pun
to
J
a
Justificar
que
la
paralela
a
la
recta
(
I
J
)
que
pasa
p
or
el
pun
to
M
corta
la
recta
Δ
en
un
pun
to
que
deno-
taremos
P
.
b
Demostrar
que
el
triángulo
M
P
M
es
rectángulo
en
P
.
c
Justificar
que
M
M
>
I
J
y
concluir.
E.8141
Un
artista
desea
realizar
una
escultura
compuesta
p
or
un
tetraedro
colo
cado
so-
bre
un
cub
o
de
6
metros
de
arista.
Estos
dos
sólidos
están
represen
tados
p
or
el
cub
o
AB
C
D
D
E
F
GH
y
p
or
el
tetraedro
S
E
LM
que
se
m
uestran
a
con-
tin
uación.
Se
dota
al
espacio
de
un
sis-
tema
de
co
ordenadas
ortonormales
A
;
−
→
AI
;
−
→
AJ
;
−
−
→
AK
tal
que
:
I
∈
[
AB
]
,
J
∈
[
AD
]
,
K
∈
[
AE
]
y
AI
=
AJ
=
AK
=
1
,
la
unidad
gráfica
represen
ta
1
metros.
Los
pun
tos
L
,
M
y
S
se
definen
de
la
siguien
te
manera
:
L
es
el
pun
to
tal
que
:
−
→
F
L
=
2
3
·
−
−
→
F
E
M
es
el
pun
to
de
in
tersección
del
plano
(
B
D
L
)
y
la
recta
(
E
H
)
;
S
es
el
pun
to
de
in
tersección
de
las
rectas
(
B
L
)
y
(
AK
)
.
1
Dem
uestra,
sin
calcular
co
ordenadas,
que
las
rectas
(
LM
)
y
(
B
D
)
son
paralelas.
2
Dem
uestra
que
las
co
ordenadas
del
pun
to
L
son
2
;
0
;
6
3
a
Da
una
represen
tación
paramétrica
de
la
recta
(
B
L
)
.
b
Comprueba
que
las
co
ordenadas
del
pun
to
S
son
(
0
;
0
.
4
Sea
−
→
n
el
v
ector
de
co
ordenadas
3
;
3
;
2
.
a
V
erifica
que
−
→
n
es
normal
al
plano
(
B
D
L
)
.
b
Demostrar
que
una
ecuación
cartesiana
del
plano
(
B
D
L
)
es
:
3
x
+
3
y
+
2
z
−
18
=
0
c
Se
admite
que
la
recta
(
E
H
)
tiene
como
represen
tación
paramétrica
:
x
=
0
y
=
s
(
s
∈
R
)
z
=
6
Calcular
las
co
ordenadas
del
pun
to
M
.
5
Calcular
el
v
olumen
del
tetraedro
S
E
LM
.
Recordemos
que
el
v
olumen
V
de
un
tetraedro
viene
dado
p
or
la
sigu-
ien
te
fórm
ula
:
V
=
1
3
×
Aire
de
la
base
×
Hauteur
6
El
artista
desea
que
la
medida
del
ángulo
S
LE
esté
com-
prendida
en
tre
55
o
y
60
o
.
¾Se
resp
eta
esta
restricción
del
ángulo?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
(
C
D
I
J
M
P
(
AB
M
sacados/8141
Antilles-Guyane Juin 2018 5 points
A
B
C
D
E
F
G
H
L
S
M
I
J
K
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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