Bachillerato 2 / Anales para exponenciales, logaritmos e integrales 14 ejercicios (incluyendo 13 corregidos)

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xxyy-5-4-3-2-12345I-3-2-12345JOCfCg 1. Funciones exponenciales E.5844 Sea f la función diferenciable definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = e x + 1 x . 1 Estudio de una función auxiliar : a Sea derivable la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x 2 · e x − 1 Estudio de la dirección de variación de la función g . b Demuestre que existe un único real a perteneciente a 0 ; + ∞ tal que g ( a )=0 . Demuestre que a pertenece al intervalo 0 ; 703 ; 0 ; 704 . c Determine el signo de g ( x ) en 0 ; + ∞ . 2 Estudiar la función f : a Determinar los límites de la función f en 0 y en + ∞ . b Sea f la función derivada de f en el intervalo 0 ; + ∞ . Demuestre que para cualquier real estrictamente posi-tivo: f ( x ) = g ( x ) x 2 c Deduce la dirección de variación de la función f y elab-ora su tabla de variaciones sobre el intervalo 0 ; + ∞ .. d Demuestre que la función f admite como mínimo el número real: m = 1 a 2 + 1 a . e Justifica que : 3 ; 43 <m< 3 ; 45 . E.5850 Consideremos las funciones f y g definidas para todo número real x por: f ( x ) = e x ; g ( x ) = 1 − e − x Las curvas representativas de estas funciones en un sistema de coordenadas ortogonales del plano, denominadas respecti-vamente C f y C g , se muestran en la siguiente figura : Parte A Estas curvas parecen admitir dos tangentes comunes. Traza lo mejor posible estas tangentes en la figura anterior. Parte B En esta parte, se admite la existencia de estas tangentes co-munes. Denotemos D a una de ellas. Esta recta es tangente a la curva C f en el punto A de abscisa a y tangente a la curva C g en el punto de abscisa b . 1 a Expresar en función de a el coeficiente director de la tangente a la curva C f en el punto A . b Expresar en función de b el coeficiente director de la tangente a la curva C g en el punto B . c Deduzca que : b = − a . 2 Demuestra que el número real a es solución de la ecuación : 2( x − 1)e x + 1 = 0 Parte C Consideremos la función ’ definida en R por: ’ ( x ) = 2( x − 1)e x + 1 1 a Calcular los límites de la función ’ en −∞ y + ∞ . b Calcular la derivada de la función ’ y estudiar su signo c Elaborar la tabla de variaciones de la función ’ en R . Especificar el valor de ’ (0) . 2 a Demuestre que la ecuación ’ ( x )=0 admite exacta-mente dos soluciones en R . b Se denota ¸ la solución negativa de la ecuación ’ ( x )=0 y ˛ la solución positiva de esta ecuación. Con ayuda de una calculadora, da los valores de ¸ y ˛ redondeados al centésimo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5844 sacados/5844 chapExoCorrec/5850 sacados/5850 xxyy-5-4-3-2-12345I-3-2-12345JOCfCg
2345678I2345JO MPL¸ Parte D En esta parte, se demuestra la existencia de estas tangentes comunes, que se ha admitido en la parte B . Denotemos por E el punto de la curva C f de abscisa ¸ y por F el punto de la curva C g de abscisa − ¸ ( ¸ es el número real definido en la parte C ) . 1 Demostrar que la recta ( EF ) es tangente a la curva C f en el punto E . 2 Demuestra que ( EF ) es tangente a C g en el punto F . E.6934 El director de un zoológico quiere construir un tobogán para los pandas. Realiza el siguiente esquema de este tobogán en perspectiva caballada. Este es el esquema : Parte A : Modelado El perfil de este tobogán se modela mediante la curva C que representa la función f definida en el intervalo 1 ; 8 por: f ( x ) = a · x + b · e − x donde a y b son dos números naturales. La curva C se traza a continuación en un sistema de coorde-nadas ortonormales cuya unidad es el metro. 1 Se desea que la tangente a la curva C en su punto de abscisa 1 sea horizontal. Determinar el valor del entero b . 2 Se desea que la parte superior del tobogán se encuentre entre 3 ; 5 y 4 metros de altura. Determinar el valor del entero a . Parte B: Una instalación para los visitantes A continuación, se admite que la función f introducida en la parte A se define para cualquier número real x ∈ 1 ; 8 medi-ante : f ( x ) = 10 · x · e − x El muro de contención del tobogán será pintado por un artista en una sola cara, sombreada en el esquema al comienzo del ejercicio. En el presupuesto que propone, solicita una tarifa fija de 300 euros más 50 euros por metro cuadrado pintado 1 Es decir, g la función definida en 1 ; 8 por: g ( x ) = 10 · − x − 1 · e − x Determinar la función derivada de la función g . 2 ¾Cuál es el importe del presupuesto del artista? Parte C : una restricción que hay que verificar Por razones de seguridad, es necesario limitar la pendiente máxima del tobogán. Consideremos un punto M de la curva C , con una abscisa diferente de 1 . Denominamos ¸ al ángulo agudo formado por la tangente en M a C con el eje de abscisas. La siguiente figura ilustra la situación. Las restricciones imponen que el ángulo ¸ sea inferior a 55 grados. 1 Se denota por f la función derivada de la función f en el intervalo 1 ; 8 . Se admite que, para todo x del intervalo 1 ; 8 : f ( x )=10 · 1 − x · e − x Estudiar las variaciones de la función f en el intervalo 1 ; 8 . 2 Sea x un número real del intervalo 1 ; 8 y sea M el punto de abscisa x de la curva C . Justifique que : tan ¸ = ⏐ ⏐ f ( x ) ⏐ ⏐ 3 Le ¾La diapositiva cumple las limitaciones impuestas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6934 sacados/6934 2345678I2345JO MPL¸
234I-1JO E.3121 Parte A : Estudio de una fun-ción auxiliar : La función d está definida en − 1 ; + ∞ por: d ( x ) = e x x +1 1 Calcula la función derivada de . Deduce las variaciones de d . 2 Determinar los límites de d en − 1 y en + ∞ . 3 Demuestre que, para cualquier x> − 1 : 0 <d ( x ) <e Parte B: estudio de la función f En esta parte nos interesa la función f definida en el intervalo − 1 ; + ∞ por: f ( x ) = x + 1 − e x x +1 Se denomina ( C ) a la curva representativa de f en un sistema de coordenadas ortonormales, siendo la unidad gráfica 5 cm . Se designan por f y f  las derivadas primera y segunda de f . 1 a Para x ∈ − 1 ; + ∞ , calcular f ( x ) y f  ( x ) . Verificar que : f  ( x ) = 2 x + 1 ( x + 1) 4 · e x x +1 Deduzca el sentido de las variaciones de f . b Elabore la tabla de variaciones de f . Se admitirá que lim x ↦→− 1 f ( x )= lim x ↦→ + ∞ f ( x )=1 2 a Demostrar que la ecuación f ( x )=0 admite en el in-tervalo − 1 ; + ∞ dos soluciones, una de las cuales es 0. En la continuación del problema, se anotará ¸ la solución distinta de cero. b Dar un valor aproximado de ¸ con una precisión de dos decimales. 3 a Estudiar las variaciones de f . b Calcular los límites de f en los extremos de su conjunto de definición. c Elaborar la tabla de variaciones de f . Parte C : Extensión de la función f en − 1 : Consideremos la función g definida en − 1 ; + ∞ por: g ( − 1) = 0 g ( x ) = f ( x ) para todo x> − 1 Llamamos C a la curva representativa de la función g en el sistema de referencia de parte B . 1 a Demuestre que podemos escribir : g ( x ) − g ( − 1) x − ( − 1) = 1 − 1 x · x x + 1 · e x x +1 b Para x ∈ − 1 ; + ∞ , determinar el límite cuando x tiende a − 1 de x x +1 y luego de x x +1 · e x x +1 . c Deducir que g es derivable en − 1 y precisar su número derivado g ( − 1) . 2 Construya ( D ) y ( C ) . Especificar las tangentes a C en los puntos de abscisas − 1 , ¸ , 0 . E.5855 Parte A Sea f la función definida en R por: f ( x ) = x · e 1 − x 1 Compruebe que para cualquier x real: f ( x ) = e × x e x 2 Determine el límite de la función f en −∞ . 3 Determine el límite de la función f en + ∞ . Interpreta gráficamente dicho límite. 4 Determina la derivada de la función f . 5 Estudia las variaciones de la función f en R , luego elab-ora la tabla de variaciones. Parte B Para cualquier número natural distinto de cero n , considera las funciones g n y h n definidas sobre R por: g n ( x ) = 1 + x + x 2 + · · · + x n h n ( x ) = 1 + 2 x + · · · + n · x n − 1 1 Verifica que, para cualquier real x : (1 − x ) · g n ( x ) = 1 − x n +1 Obtenemos entonces para cualquier real x =1 : g n ( x ) = 1 − x n +1 1 − x 2 Comparamos las funciones h n y g n , siendo g n la derivada de la función g n . Deducir, que para cualquier real x =1 : h n ( x ) = n · x n +1 − n + 1 · x n + 1 1 − x 2 3 Sea S n = f (1)+ f (2)+ ··· + f ( n ) , f la función definida en la parte A . Utilizando los resultados de la parte B , determine una expresión para S n , y luego su límite cuando n tiende a + ∞ . 2. Exponenciales y secuencias E.3158 El plano está referido a un sistema de referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . Sea la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = e − x cos(4 x ) y Γ su curva representativa trazada en el sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3121 sacados/3121 chapExoCorrec/5855 sacados/5855 chapExoCorrec/3158 sacados/3158 234I-1JO
Consideremos también la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = e − x y denominemos C a su curva representativa en el sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . 1 a Demuestre que, para cualquier real x perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ : − e − x f ( x ) e − x b Deduzca el límite de f en + ∞ . 2 Determine las coordenadas de los puntos comunes a las curvas Γ y C . 3 La sucesión u n en N está definida por: u n = f n · ı 2 a .Demuestre que la sucesión u n es una sucesión ge- ométrica. Especifique la razón. b Deduzca el sentido de variación de la sucesión u n y estudie su convergencia. 4 a Demostrar que, para cualquier real x perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ : f ( x ) = − e − x · cos(4 x ) + 4 · sin(4 x ) b Deducir que las curvas Γ y C tienen la misma tangente en cada uno de sus puntos comunes. 5 Dar un valor aproximado al más cercano 10 − 1 por exceso del coeficiente director de la recta T tangente a la curva Γ en el punto de abscisa ı 2 . Completar la gráfica dada en el apéndice, trazando T y C . 3. Funciones logarítmicas E.3179 1 Restitución organizada de conocimientos Requisito previo: La función logaritmo neperiano es derivable en el intervalo 0 ; + ∞ [ ; Su función derivada es la función inversa : x ↦−→ 1 x . ln(1) = 0 Demuestre que para todos los números reales estricta-mente positivos ¸ y x : ln( ¸ · x ) = ln( ¸ ) + ln( x ) 2 Utiliza el resultado anterior para demostrar que : ln 1 a = − ln( a ) ; ln a b = ln( a ) − ln( b ) . para todos los reales estrictamente positivos a y b . 3 Damos : 0 ; 69 ln2 0 ; 70 et 1 ; 09 ln3 1 ; 10 . A partir de aquí deduzca los marcos para : ln 6 ; ln 1 6 ; ln 3 8 E.3898 Parte A Sea g la función definida para cualquier número real x del intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x )= x − x · ln x 1 Determinar los límites de la función g en 0 y + ∞ . 2 Demostrar que g es derivable en el intervalo 0 ; + ∞ y que : g ( x ) = − ln x 3 Elaborar la tabla de variaciones de la función g . Parte B Sea u n la sucesión definida para todo n ∈ N ∗ por: u n = e n n n 1 Conjeturar, con ayuda de la calculadora: a el sentido de variación de la sucesión u n ; b el límite eventual de la sucesión u n . 2 Sea v n la sucesión definida para todo n ∈ N ∗ por: v n = ln u n . a Demuestre que : v n = n − n · ln n . b Utilizando la parte A , determinar el sentido de variación de la sucesión v n . c Deduzca el sentido de variación de la sucesión u n . 3 Demuestre que la sucesión u n es acotada. 4 Demostrar que la sucesión u n es convergente y deter-minar su límite. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3179 sacados/3179 Antilles-Guyane Juin 2006 3 points chapExoCorrec/3898 sacados/3898 Antilles Guyane Juin 2010 6 points
-6-5-4-3-2-12I-2-1234JO -0.4-0.20.20.40.60.81.21.41.6I-0.20.20.40.60.81.2JO E.5433 Consideremos la ecuación ( E ) con incógnita x real: e x = 3 x 2 + x 3 Parte A : conjetura gráfica El gráfico siguiente muestra la curva representativa de la función exponencial y la de la función f definida en R por f ( x )=3 · x 2 + x 3 , tal y como las muestra una calculadora en un mismo sistema de coordenadas ortogonales. Utilizando el gráfico anterior, conjetura el número de solu-ciones de la ecuación ( E ) y su encuadramiento entre dos números enteros consecutivos. Parte B: estudio de la validez de la conjetura gráfica 1 a Estudiar, según los valores de x , el signo de x 2 + x 3 . b Deduzca que la ecuación ( E ) no tiene solución en el intervalo −∞ ; − 1 . c Verificar que 0 no es solución de ( E ) . 2 Consideramos la función h , definida para todo número real de − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ por: h ( x ) = ln 3 + ln x 2 + ln(1+ x ) − x Demuestre que, en − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , la ecuación ( E ) es equivalente a h ( x )=0 . 3 a Para todo número real x perteneciente a − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , demuestre que se cumple : h ( x ) = − x 2 + 2 x + 2 x ( x + 1) b Determinar las variaciones de la función h . c Determinar el número de soluciones de la ecuación : h ( x ) = 0 y dar un valor redondeado al centésimo de cada solu-ción. d Concluir sobre la conjetura de la parte A . E.5151 Parte A - Estudio del signo de una función Denotamos por f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x 2 + 4 · ln x 1 Déterminer la tabla de variaciones de la función f , es-pecificando los límites de f en 0 y en + ∞ . 2 Démontrer que la ecuación f ( x )=0 admite una solución ¸ y sólo una en el intervalo 0 ; + ∞ . 3 En deducir el signo de f ( x ) en función de los valores del real estrictamente positivo x . Partie B - Un valor aproximado del real ¸ definido en parte A En la gráfica que se ofrece a continuación, hemos trazado parte de la curva representativa de ( C ) de la función g definida en R por: g ( x ) = e − 1 4 x 2 La secuencia u n está definida por: u 0 =0 ; 5 ; u n +1 = g ( u n ) para todos los n ∈ N . 1 Verificar que ¸ es la solución única de la ecuación : g ( x ) = x . 2 Au Utilizando la curva ( C ) y la recta de ecuación y = x , traza en el eje de abscisas los términos u 1 , u 2 y u 3 de la sucesión u n . ¾Qué conjetura puede hacerse sobre la convergencia de la sucesión u n ? 3 Admitimos que para cualquier número natural n : u 2 n a u 2 n +1 . Utilizando la calculadora, determine el número entero más pequeño n para el que los tres primeros decimales de u n y u n +1 son idénticos Deduzca que 0 ; 838 es un valor aproximado de ¸ con una precisión de 10 − 3 . Parte C - Un problema de distancia Denominamos (Γ) a la curva representativa, en un sistema de coordenadas ortonormales, de la función ’ definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: ’ ( x ) = 2 ln x El objetivo de esta parte es demostrar que, entre los puntos de la curva (Γ) , hay uno y solo uno que está más cerca del origen O que todos los demás. 1 Sea M un punto de la curva (Γ) y x su abscisa. Expresar OM en función de x . 2 a Sea h la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: h ( x )= x 2 +4 · ln x 2 Estudiar las variaciones de la función h . Se puede uti-lizar la parte A . b Deduzca que existe un único punto A de la curva Γ tal que para todo punto M de Γ , distinto de A , se tiene OM >OA . 3 Demostrar que la recta ( OA ) es perpendicular a la tan-gente T a la curva (Γ) en el punto A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5433 sacados/5433 -6-5-4-3-2-12I-2-1234JO chapExoCorrec/5151 sacados/5151 -0.4-0.20.20.40.60.81.21.41.6I-0.20.20.40.60.81.2JO
4. Exponenciales y logaritmos E.3965 1 Consideremos la función f 1 definida en 0 ; + ∞ por: f 1 ( x ) = 2 · x − 2 + ln x 2 +1 a Determinar el límite de f 1 en + ∞ . b Determinar la derivada de f 1 . c Elaborar la tabla de variaciones de f 1 . 2 Sea n un número natural distinto de cero. Consideremos la función f n , definida en 0 ; + ∞ por: f n ( x ) = 2 · x − 2 + ln x 2 +1 n a Determinar el límite de f n en + ∞ . b Demostrar que la función f n es estrictamente creciente en 0 ; + ∞ . c Demostrar que la ecuación f n ( x )=0 admite una única solución ¸ n en 0 ; + ∞ . d Justificar que, para todo número natural distinto de cero n : 0 <¸ n < 1 3 Demostrar que para todo número natural distinto de cero n : f n ¸ n +1 > 0 4 Estudio de la sucesión ¸ n : a Demostrar que la sucesión ¸ n es creciente. b Deducir que es convergente. c Utilizar la expresión ¸ n =1 − ln ¸ 2 n +1 2 · n para determi-nar el límite de esta sucesión. 5. Un poco más adelante E.3266 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 1 + e − x − 2e − 2 x y C su curva representativa en un plano relativo a un sistema de referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . (unidades gráficas: 3 cm en el eje x y 8 cm en el eje y) 1 a Sea el polinomio P definido en R por: P ( X ) = 1 + X − 2 X 2 . Estudie el signo de P ( X ) . b Deduzca el signo de f ( x ) en R . c ¾Qué se deduce para la curva C ? 2 Determine el límite de la función f en + ∞ . Qué puede deducirse para la curva C ? 3 Compruebe que f ( x )=e − 2 x · e 2 x +e x − 2 , luego deter- mine el límite de f en −∞ . 4 a Sea f la función derivada de la función f , calcule f ( x ) . b Demuestre que f ( x ) tiene el signo de (4 − e x ) , luego estudie el signo de f ( x ) . c Elabore la tabla de variaciones de f . Demostraremos que el máximo es un número racional. 5 a Demostrar que la curva C y la recta D de ecuación y =1 tienen un único punto de intersección A cuyas coordenadas determinaremos. b Estudia la posición de la curva C respecto a la recta D . 6 Determina una ecuación de la tangente T a la curva C en el punto A . 7 Dibuja las rectas D y T , y luego la curva C . 6. Ejercicios no clasificados E.3255 Parte A Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x + ln x Denominemos Γ a su curva representativa en un sistema de coordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j del plano. 1 a Determinar los límites de la función f en los ex-tremos de su intervalo de definición. b Demostrar que la función f es estrictamente creciente en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 a Demuestre que, para todo número natural n , la ecuación f ( x )= n admite una única solución en 0 ; + ∞ . Denotemos ¸ n esta solución. Por lo tanto, tenemos : para todo número natural n , ¸ n +ln ¸ n = n b A continuación, se ha trazado Γ en el sistema de coor-denadas O ; −→ i ; −→ j . Colocar los números ¸ 0 , ¸ 1 , ¸ 2 , ¸ 3 , ¸ 4 y ¸ 5 en el eje de abscisas dejando visibles las líneas de construcción. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3965 sacados/3965 Amerique du Sud Novembre 2007 6 points chapExoCorrec/3266 sacados/3266 chapExoCorrec/3255 sacados/3255
234567I-2-123456JO CfCg-2-1012345-2-1123ij c Especifique el valor de ¸ 1 . d Demuestre que la sucesión ( ¸ n ) es estrictamente cre-ciente. 3 a Determinar una ecuación de la tangente Δ a la curva Γ en el punto de abscisa 1. b Estudiar las variaciones de la función h definida en 0 ; + ∞ por: h ( x ) = ln x − x + 1 Deduzca la posición de la curva Γ con respecto a Δ . c Trace Δ en el gráfico anterior. Demuestre que, para todo número natural n distinto de cero: n + 1 2 ¸ n . 4 Determine el límite de la sucesión ( ¸ n ) . Parte B Consideremos una función g continua, estrictamente creciente en 0 ; + ∞ y tal que : lim x ↦→ 0 g ( x ) = −∞ et lim x ↦→ + ∞ g ( x ) = + ∞ . Se admite que, como se ha hecho en la parte A , ,se puede definir en N una sucesión ( ˛ n ) de números reales tales que g ( ˛ n )= n , y que esta sucesión es estrictamente creciente. 1 Demostración de la clase : Requisitos previos : definición de una sucesión que tiende a + ∞ . ˇUna sucesión tiende a + ∞ si, para todo número real A , todos los términos de la sucesión son, a partir de un cierto rango, superiores a A ı. Demostrar el siguiente teorema: una sucesión creciente no acotada tiende a + ∞ 2 Demostrar que la sucesión ( ˛ n ) tiende a + ∞ . E.8142 Un publicista desea imprimir el siguiente logotipo en una camiseta : Dibuja este logotipo utilizando las curvas de dos funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = e − x · − cos x + sin x + 1 y g ( x ) = − e − x cos x . Se admite que las funciones f y g son derivables en R . Parte A - Estudio de la función f . 1 Justificar que, para todo x ∈ R : − e − x f ( x ) 3 e − x . 2 Deducir el límite de f en + ∞ . 3 Demostrar que, para todo x ∈ R : f ( x ) = e − x 2 cos x − 1 donde f es la función derivada de f . 4 En esta pregunta, se estudia la función f en el intervalo − ı ; ı . a Determinar el signo de f ( x ) para x perteneciente al intervalo − ı ; ı . b Deducir las variaciones de f en − ı ; ı . Parte B - Área del logotipo. Se denotan C f y C g las representaciones gráficas de las fun-ciones f y g en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . La unidad gráfica es de 2 centímetros. Estas dos curvas se trazan a continuación : 1 Estudiar la posición relativa de la curva C f con respecto a la curva C g en R . 2 Sea H la función definida en R por: H ( x ) = − cos x 2 − sin x 2 − 1 · e − x Se admite que H es una primitiva de la función x ↦−→ sin x +1 · e − x en R . Se denota D el dominio delimitado por la curva C f , la curva C g son las rectas de ecuación x = − ı 2 y x = 3 ı 2 . a Sombrear el dominio D en el gráfico anterior. b Calcular, en unidades de área, el área del dominio D y, a continuación, dar un valor aproximado a 10 − 2 en cm 2 . https://chingmath.fr 234567I-2-123456JO sacados/8142 Antilles-guyanes Juin 2018 5 points CfCg-2-1012345-2-1123ij