Bachillerato 2 / Anales sobre la integración 29 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Áreas y estudios funcionales E.5429 Parte 1 Nos interesa la evolución de la altura de una planta de maíz en función del tiempo. El siguiente gráfico representa esta evolución. La altura se expresa en metros y el tiempo en días. Decidimos modelar este crecimiento mediante una función logística del tipo: h ( t ) = a 1 + b · e − 0 , 04 t donde a y b son constantes reales positivas, t es la variable tiempo expresada en días y h ( t ) designa la altura de la planta, expresada en metros. Se sabe que inicialmente, para t =0 , el plano mide 0 ; 1 m y que su altura tiende hacia una altura límite de 2 m . Determine las constantes a y b para que la función h corre-sponda al crecimiento de la planta de maíz estudiada. Parte 2 Ahora se considera que el crecimiento de la planta de maíz viene dado por la función f definida en 0 ; 250 par : f ( t ) = 2 1 + 19 · e − 0 , 04 t 1 Determinar f ( t ) en función de t ( f que designa la fun-ción derivada de la función f ) . Deduzca las variaciones de la función f en el intervalo 0 ; 250 . 2 Determine el número de días necesarios para que la planta de maíz alcance una altura superior a 1 ; 5 m . 3 a Verifique que para todo número real t perteneciente al intervalo 0 ; 250 , se cumple : f ( t ) = 2e 0 , 04 t e 0 , 04 t + 19 . Demostrar que la función F definida en el intervalo 0 ; 250 par F ( t )=50 · ln e 0 , 04 t +19 es una primitiva de la función f . b Determinar el valor medio de f en el intervalo 50 ; 100 . Dar un valor aproximado a 10 − 2 cerca e interpretar este resultado. 4 Nos interesa la velocidad de crecimiento de la planta de maíz, que viene dada por la función derivada de la fun-ción f . La velocidad de crecimiento es máxima para un valor de t . Utilizando el gráfico que se proporciona en el anexo, de- termine un valor de esta, redondeado al milímetro más cercano. A continuación, calcule la altura de la planta. E.6009 Sea f la función definida y deriv-able en R . Denotemos por C su curva representativa en el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . Parte A En los gráficos siguientes se representan la curva C y otras tres curvas C 1 , C 2 , C 3 con la tangente en su punto de abscisa 0 . 1 A partir de la lectura gráfica, indique el signo de f ( x ) según los valores de x . 2 Se designa por F una primitiva de la función f en R . a Con ayuda de la curva C , determine F (0) y F ( − 2) . b Una de las curvas C 1 , C 2 , C 3 es la curva representativa de la función F . Determine cuál es, justificando la eliminación de las otras dos. Parte B En esta parte, se admite que la función f mencionada en la parte A es la función definida en R por: f ( x ) = ( x + 2) · e 1 2 x 1 La observación de la curva C permite conjeturar que la función f admite un mínimo. a Demostrar que para todo real x : f ( x ) = 1 2 · x + 4 · e 1 2 x b Deducir una validación de la conjetura anterior 2 Se establece : I = 1 0 f ( x ) d x . a Interpretar geométricamente el número real I . b Sean u y v las funciones definidas en R por: u ( x ) = x ; v ( x ) = e 1 2 · x Verificar que : f = 2 · u · v + u · v . c Deducir el valor exacto de la integral I . 3 Se da la función f del algoritmo siguiente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5429 sacados/5429 Temps (en jours)020406080100120140160180200220Hauteur (en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.822.2 chapExoCorrec/6009 sacados/6009 IJOCf ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3
Función f(n) s ← 0 Para k que va de 0 a n − 1 s ← s+ 1 n · f k n Fin del bucle Devolver s Se denota por s n el número devuelto por la función f cuando se invoca con el entero n estrictamente positivo. a Justifique que s 3 representa el área, expresada en unidades de área, del dominio sombreado en el gráfico siguiente, donde los tres rectángulos tienen la misma anchura. b ¾Qué se puede decir del valor devuelto por la función f cuando el valor pasado como argumento n , durante la llamada, se vuelve grande? E.6409 En la gráfica siguiente se ha repre-sentado en el plano la curva representativa C de una función f definida y derivable sobre el intervalo 0 ; + ∞ con un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Se dispone de la siguiente información : les puntos A , B , C tienen coordenadas (1 ; 0) , (1 ; 2) , (0 ; 2) ; la curva C pasa por el punto B y la recta ( BC ) es tan-gente a C en B ; hay dos reales positivos a y b tales que para cualquier real estrictamente positivo x : f ( x )= a + b · ln x x 1 a En utilizando la gráfica, dar los valores de f (1) y f (1) . b Verificar que para cualquier real estrictamente positivo x : f ( x ) = ( b − a ) − b · ln x x 2 c En deducir los reales a y b . 2 a Justifier que para cualquier real x perteneciente al in- tervalo 0 ; + ∞ , f ( x ) tiene el mismo signo que − ln x . b Determinar los límites de f en 0 y en + ∞ Se puede ob-servar que para cualquier número real x estrictamente positivo: f ( x ) = 2 x + 2 · ln x x c Deduzca la tabla de variaciones de la función f . 3 a Demuestre que la ecuación f ( x )=1 admite una única solución ¸ en el intervalo 0 ; 1 . b Mediante un razonamiento análogo, se demuestra que existe un único real ˛ del intervalo 1 ; + ∞ tal que : f ( ˛ )=1 . Determinar el entero n tal que : n<˛ <n +1 4 Se da el algoritmo siguiente : a ← 0 b ← 1 Siempre que b − a>0;1 m ← 1 2 · a + b Si f(m)<1 Entonces a ← m Sinon b ← m Fin de Si Fin de Mientras que a Ejecutar paso a paso este algoritmo y completar en la tabla siguiente los valores tomados sucesivamente por las variables a , b et m . Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 a 0 b 1 b − a m b ¾Qué representan los valores de las variables a et b al final de la ejecución de este algoritmo? c Modifique el algoritmo siguiente para que los valores a et b al final de la ejecución del algoritmo sean los dos límites de un intervalo de ˛ de amplitud 10 − 1 . 5 El objetivo de esta pregunta es demostrar que la curva C divide el rectángulo OABC en dos dominios de áreas iguales. a Justificar que equivale a demostrar que : 1 1 e f ( x ) d x = 1 b En Observando que la expresión para f ( x ) puede es-cribirse 2 x +2 × 1 x × ln x , completa la demostración . https://chingmath.fr IJOC chapExoCorrec/6409 sacados/6409 ijABC
2. Áreas, estudio de funciones y secuencias E.3257 Parte A - Estudio preliminar de una función f definida en R por ’ ( x )=(2 − x )e x − 1 . 1 Determinar los límites de la función ’ en −∞ y + ∞ . 2 Demostrar que la función ’ es continua y derivable en R y estudiar el signo de su derivada. Deducir las variaciones de la función ’ y precisar los val-ores de ’ ( − 2) , ’ (0) , ’ (1) y ’ (2) . 3 Demuestre que la función ’ se anula únicamente en dos valores que denominaremos ¸ y ˛ . Tomaremos ¸<˛ . Es-tudiar entonces el signo de la función ’ en el conjunto de los reales y resumir este estudio en una tabla. 4 Con ayuda de la calculadora, proporcionar un marco de amplitud 10 − 2 de los valores ¸ y ˛ . 5 Demuestre que : e α = 1 2 − ¸ Parte B - Estudio de una función f definida por f ( x )= e x − 1 e x − x y cálculo integral. 1 Demuestre que e x − x no se anula en R . Deduzca que f está definida en R . 2 Determine los límites de la función f en −∞ y + ∞ . 3 Calcular la derivada f de la función f y, a continuación, utilizando los resultados de la parte A , ,construir la tabla de variaciones de f . 4 Demostrar que f ( ¸ )= 1 ¸ − 1 , siendo el número ¸ el menor de los dos valores para los que la función ’ de la parte A se anula. 5 Determinar una primitiva de la función f en R . Dar un valor exacto y luego un valor decimal aproximado a 0 ; 01 de la integral: 1 0 e x − 1 e x − x dx Parte C - Estudio de dos sucesiones. 1 Especifique el conjunto de definición D g de la función g definida en este conjunto por g ( x )=ln 1 2 − x , donde ln designa la función logaritmo natural. Demuestre que la función g es creciente en su conjunto de definición y que la imagen por g del intervalo I =[ − 2 ; 0] está incluida en este intervalo. 2 a Sea la sucesión ( u n ) definida para todo número nat-ural n por: u 0 = − 2 u n +1 = g ( u n ) Demuestre que u 1 pertenece al intervalo I =[ − 2 ; 0] . Demuestre por recurrencia, utilizando las variaciones de la función g , que la sucesión ( u n ) tiene todos sus términos en el intervalo I y es creciente. b Consideremos la sucesión ( v n ) definida para todo número natural n por: v 0 = 0 v n +1 = g ( v n ) Calcular el término v 1 y demostrar que : − 2 u 1 v 1 v 0 0 . Establecer por recurrencia, utilizando el crecimiento de la función g en el intervalo [ − 2 ; 0] , que para todo número natural n estrictamente positivo, se tiene : − 2 u n v n v n − 1 0 Especifique el sentido de variación de la sucesión ( v n ) . 3 a Sea m la función definida en 0 ; + ∞ por: m ( x ) = x − ln(1+ x ) Demuestre que m es creciente y calcule m (0) . Deducir que, para todo x positivo, se tiene : ln(1+ x ) x b Verificar que, para todo entero n : v n +1 − u n +1 = ln 1+ v n − u n 2 − v n . Deduzca que : v n +1 − u n +1 v n − u n 2 − v n Sabiendo que, para todo entero n , los términos de la sucesión ( v n ) pertenecen al intervalo − 2 ; 0 , dar un encuadre de 1 2 − v n y establecer que : v n +1 − u n +1 1 2 v n − u n Demuestre entonces que, para todo número natural n , v n − u n 1 2 n v 0 − u 0 ¾Qué se puede deducir para la sucesión de término gen-eral v n − u n y para las sucesiones ( u n ) y ( v n ) ? 4 Con ayuda de la calculadora, dar un intervalo de ampli-tud 10 − 4 de u 10 y v 10 . 3. Área entre dos curvas E.6046 Parte A f es una función definida y derivable en R . f es la función derivada de la función f . En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortogo-nales, se denomina C 1 a la curva representativa de la función f y C 2 a la curva representativa de la función f . El punto A de coordenadas (0 ; 2) pertenece a la curva C 1 . El punto B de coordenadas (0 ; 1) pertenece a la curva C 2 . 1 En las tres situaciones siguientes, se ha dibujado la curva representativa C 1 de la función f . En una de ellas, la curva C 2 de la función derivada f está trazada correcta-mente. ¾Cuál es? Explique su elección. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3257 sacados/3257 Antilles chapExoCorrec/6046 sacados/6046
2 Determina la ecuación reducida de la recta Δ tangente a la curva C 1 en A . 3 Se sabe que para todo número real x , f ( x )=e − x + ax + b donde a y b son dos números reales. a Determine el valor de b utilizando la información pro-porcionada en el enunciado. b Demuestre que a =2 . 4 Estudiar las variaciones de la función f en R . 5 Determinar el límite de la función f en + ∞ . Parte B Sea g la función definida en R por: g ( x )= f ( x ) − ( x +2) 1 a Demuestre que la función g admite 0 como mínimo en R . b Deduzca la posición de la curva C 1 con respecto a la recta Δ La figura 2 siguiente representa el logotipo de una empresa. Para dibujar este logotipo, su creador utilizó la curva C 1 y la recta Δ , como se indica en la figura 3 siguiente. Para estimar los costes de pintura, desea determinar el área de la parte coloreada en gris. El contorno del logotipo está representado por el trapecio DEFG , donde : D es el punto de coordenadas ( − 2 ; 0) , E es el punto de coordenadas (2 ; 0) , F es el punto de abscisa 2 de la curva C 1 , G es el punto de abscisa − 2 de la curva C 2 . La parte del logotipo coloreada en gris corresponde a la super-ficie situada entre la recta Δ , la curva C 1 , la recta de ecuación x = − 2 y la recta de ecuación x =2 . 2 Calcular, en unidades de área, el área de la parte del lo-gotipo coloreada en gris (se dará el valor exacto y luego el valor redondeado a 10 − 2 del resultado) . E.6257 Sean f y g las funciones definidas en R por: f ( x ) = e x ; g ( x ) = 2 · e x 2 − 1 Denotemos por C f y C g las curvas representativas de las fun-ciones f y g en un sistema de coordenadas ortogonales. 1 Demuestre que las curvas C f y C g tienen un punto común de abscisa 0 y que, en ese punto, tienen la misma tangente Δ , cuya ecuación determinaremos. 2 Estudiar la posición relativa de la curva C g y la recta Δ . Sea h la función definida en R por: h ( x )=2 · e x 2 − x − 2 a Determinar el límite de la función h en −∞ . b Justificar que, para todo número real x distinto de cero: h ( x ) = x · e x 2 x 2 − 1 − 2 x . Deduzca el límite de la función h en + ∞ . c Se denota h la función derivada de la función h en R . Para cualquier número real x , calcule h ( x ) y estudie el signo de h ( x ) según los valores de x . d Elabore la tabla de variaciones de la función h en R . e Deduce que, para cualquier real x : 2 · e x 2 − 1 x − 1 f Que ¾podemos deducir sobre la posición relativa de la curva C g y la recta Δ ? 3 Estudia la posición relativa de las curvas C f y C g a Pour cualquier real x , desarrolla la expresión e x 2 − 1 2 . b Determine la posición relativa de las curvas C f y C g . 4 Calculer, en unidades de área, el área del dominio com-prendido entre las curvas C f y C g y las rectas de ecua-ciones x =0 y x =1 respectivamente. https://chingmath.fr xxyy-2024-2246810C1C2Situation 1 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 2 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 3 ijDEGFC1 chapExoCorrec/6257 sacados/6257
E.3268 Parte A : estudio de una fun-ción auxiliar Sea ’ la función definida en R por: ’ ( x ) = x 2 + x + 1 · e − x − 1 1 a Determinar los límites de ’ en −∞ y en + ∞ . b Estudiar el significado de las variaciones de ’ y luego elaborar su tabla de variaciones en R . 2 Demostrar que la ecuación ’ ( x )=0 admite dos soluciones en R , una de ellas en el intervalo 1 ; + ∞ , que se anotará como ¸ . Determinar un marco de amplitud 10 − 2 de ¸ . 3 Deducir el signo de ’ ( x ) sobre R y presentarlo en una tabla. Parte B: estudio de la posición relativa de dos curvas y cálculo del área En la hoja adjunta se trazan las curvas representativas de dos funciones f y g . Las funciones f y g se definen en R medi-ante : f ( x ) = (2 x + 1) · e − x ; g ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x + 1 Sus curvas representativas en un sistema de coordenadas or-togonales O ; −→ i ; −→ j se anotan C f y C g . 1 a Demostrar que las dos curvas pasan por el punto A de coordenadas (0 ; 1) y admiten en este punto la misma tangente. b Demostrar que, para cualquier número real x : f ( x ) − g ( x ) = (2 x + 1) · ’ ( x ) x 2 + x + 1 donde ’ es la función estudiada en la parte A . c Utilizando una tabla, estudie el signo de f ( x ) − g ( x ) sobre R . d Deducir la posición relativa de las curvas C f y C g . 2 a Demostrar que la función h definida en R por: h ( x ) = ( − 2 x − 3) · e − x − ln x 2 + x + 1 es una primitiva sobre R de la función x ↦→ f ( x ) − g ( x ) . b Deduzca el área A , expresada en unidades de área, de la parte del plano delimitada por las dos curvas C f y C g y las rectas de ecuaciones x = − 1 2 y x =0 . Da el valor exacto y luego el valor redondeado a 10 − 4 de esta área. E.3168 Parte A Consideremos las funciones f y g definidas en R por: f ( x ) = e − x 2 ; g ( x ) = x 2 e − x 2 Las curvas que representan C f y C g en un sistema de referen-cia ortogonal O ; −→ i ; −→ j , cuyos trazados se encuentran en la hoja adjunta, se denominan respectivamente f y g . La figura se completará y se devolverá con la copia. 1 Identifique C f y C g en la figura proporcionada. (Justifica la respuesta dada) . 2 Investiga la paridad de las funciones f y g ( fuera de programme ) . 3 Investiga el sentido de variación de f y g . Estudiar los posibles límites de f y g en + ∞ . 4 Estudiar la posición relativa de C f y C g . Parte B Considere la función G definida en R por: G ( x ) = x 0 t 2 e − t 2 d t 1 ¾Qué representa G para la función g ? 2 Dé, para x> 0 , una interpretación de G ( x ) en términos de áreas. 3 Estudie el sentido de las variaciones de G en R . Definimos la función F en R por: F ( x ) = x 0 e − t 2 d t para cualquier x 4 real Demostrar que : G ( x ) = 1 2 F ( x ) − x e − x 2 para cualquier x (real. Podemos empezar comparando las funciones derivadas de G y x ↦−→ 1 2 F ( x ) − x e − x 2 ) . Se admite que la función F admite un límite finito ‘ en + ∞ , y que este límite ‘ es igual al área, en unidades de área, del dominio A limitado por la curva C f y las semirrectas O ; −→ i y O ; −→ j . 5 a Demostrar que la función G admite un límite en + ∞ que se precisará. b Interpretar en términos de áreas el real: N = 1 0 1 − t 2 e − t 2 d t . c Suponiendo que el límite de G en + ∞ representa el área P en unidades de área del dominio D limitado por la semirrecta O ; −→ i y la curva C g , justificar grá-ficamente que : 1 0 1 − t 2 e − t 2 d t ‘ 2 (Se puede ilustrar el razonamiento en la figura propor-cionada) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3268 sacados/3268 -123456I-1-0.50.51.5JO chapExoCorrec/3168 sacados/3168
E.4017 Parte A Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x − 1 x + 1 − e − x y designamos por ( C ) su curva representativa en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j de unidad 3 cm . 1 Calcular el límite de f ( x ) cuando x tiende a + ∞ . ¾Qué se puede deducir para la curva ( C ) ? 2 Calcular f ( x ) , deducir las variaciones de f para x perteneciente a 0 ; + ∞ . 3 Determinar una ecuación de la tangente ( T ) a ( C ) en su punto de abscisa 0 . 4 Demostrar que la ecuación f ( x )=0 admite una solución única u . Demuestre que u pertenece a 1 ; 2 y determine un intervalo de amplitud 10 − 1 de u . 5 Trace ( T ) y ( C ) en la misma figura. 6 a Determinar los reales a y b tales que, para todo x =1 : x − 1 x + 1 = a + b x + 1 b Deduzca el área en cm 2 del dominio plano limitado por ( T ) , ( C ) y la recta de ecuación x =1 (se admitirá que T está por encima de ( C ) ) . Parte B n designa un número natural distinto de cero. Consideremos la función f n definida en 0 ; + ∞ por: f n ( x ) = x − n x + n − e − x 1 Calcular f n ( x ) y dar su signo en 0 ; + ∞ . Especificar f n (0) y lim n ↦→ + ∞ f n ( x ) Elaborar la tabla de variaciones de f n . 2 a Calcular f n ( n ) ; ¾cuál es su signo? b Demostrar por recurrencia que, para todo n de N : e n +1 > 2 · n + 1 Deducir el signo de f n ( n +1) . c Demostrar que la ecuación f n ( x )=0 admite una única solución en n ; n +1 ; esta solución se denota u n . 3 Calcular lim n ↦→ + ∞ u n y, a continuación, lim n ↦→ + ∞ u n n . 4 a Observando que, para todo x de 0 ; + ∞ : x − n x + n = 1 − 2 · n x + n Demostrar que el valor medio M n de f n en 0 ; u n es igual a: 1 − 1 u n + e − n u n − 2 · n u n · ln u n n +1 b Deduzca : lim n ↦→ + ∞ M n . E.5241 Sea f la función definida sobre 0 ; 1 por: f ( x ) = x · e x Denotamos por C la curva representativa de f en el plano provisto de un sistema de referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . Sea a un número real perteneciente al intervalo 0 ; 1 . Sobre la curva C , trazada anteriormente, hemos situado los puntos A y B con abscisas a y 1 respectivamente. Se han dibujado los segmentos [ OA ] y [ AB ] . Se ha sombreado la parte del plano limitada por los segmentos [ OA ] y [ AB ] y la curva C . Hemos colocado los puntos : A ( a ; 0) ; B (1 ; 0) . El objetivo del ejercicio es determinar el valor del número real a para el que el área de la parte del plano sombreada en el apéndice es mínima. Parte A : 1 a Muestre que la función f admite como primitiva la función F definida por: F ( x ) = ( x − 1) · e x b Établir que : 1 0 x · e x d x = 1 2 a Donner el área del triángulo OAA y demostrar que el área del trapecio ABB A es igual a: 1 2 · − a 2 · e a + a · e a − a · e + e b En deducir que el área de la parte sombreada del plano es igual a: 1 2 · a · e a − a · e + e − 2 Partie B: Sea g la función definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x · e x − e + e − 2 1 Soit g la función derivada de la función g Calcule g ( x ) para cualquier real x de 0 ; + ∞ . https://chingmath.fr -3-2-123IJO chapExoCorrec/4017 sacados/4017 chapExoCorrec/5241 sacados/5241 AABB00.20.40.60.80.511.522.53Cf
Comprobar que la función derivada segunda g  está definida en 0 ; + ∞ mediante : g  ( x ) = (2 + x ) · e x 2 En deducir las variaciones de la función g en 0 ; + ∞ . 3 Establecer que la ecuación g ( x )=0 admite una solución única ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ . Determine un valor aproximado de ¸ al 10 − 1 más próx-imo. 4 En deduzca las variaciones de la función g sobre 0 ; + ∞ . 5 Usando las respuestas a las preguntas de las partes A et B , demuestre que hay un valor de a para el que el área de la parte sombreada del plano es mínima. Dé este valor de a . E.3209 Parte A Se da la tabla de variaciones de una función f derivable en R : Se define la función F en R por: F ( x )= x 2 f ( t ) d t 1 Determinar las variaciones de la función F sobre R . 2 Demuestre que : 0 F (3) 4 · e − 2 Parte B La función f considerada en la parte A es la función definida en R por: f ( x )= x 2 e − x Se denomina g la función definida en R por: g ( x )=e − x Se designa por ( C ) y (Γ) las curvas que representan respec-tivamente las funciones f y g en un sistema de coordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j Las curvas se trazan en el anexo. 1 a Demostrar que las variaciones de la función f son efectivamente las indicadas en la parte A . No se pide justificar los límites. b Estudiar las posiciones relativas de las curvas ( C ) y (Γ) . 2 Sea h la función definida en R por: h ( x )= x 2 − 1 · e − x a Demuestra que la función H definida en R por: H ( x ) = − x 2 − 2 x − 1 · e − x es una primitiva de la función h sobre R . b So un real ¸ s mayor o igual que 1 . Consideremos la parte del plano limitada por las cur-vas ( C ) et (Γ) et las rectas de ecuaciones x =1 et x = ¸ . Determina el área A ( ¸ ) , expresada en unidades de su-perficie, de esta parte del plano. c Determina el límite de A ( ¸ ) lorsque ¸ tend a + ∞ . 3 Admitimos que, para cualquier real m estrictivamente mayor que 4e − 2 , la recta de ecuación y = m corta la curva ( C ) au punto P ( x P ; m ) et la curva (Γ) au punto Q ( x Q ; m ) . El objetivo de esta pregunta es demostrar que existe un único valor de x P , perteneciente al intervalo −∞ ; − 1 de forma que la distancia PQ soit sea igual a 1. a Representar aproximadamente en el gráfico (propuesto en el anexo) los puntos P y Q tales como: x P ∈ −∞ ; − 1 et PQ =1 . b Expresar la distancia PQ en función de x p y x Q . Justificar la igualdad : f ( x P )= g ( x Q ) . c Determinar el valor de x P tal que : PQ =1 . 4. Con funciones trigonométricas E.6936 Las partes A y B pueden tratarse de forma independiente Parte A Recordemos que la parte real de un número complejo z se denota Re ( z ) . 1 Determinar la escritura exponencial del número com-plejo : u =1 − i . 2 Determinar, para cualquier número real „ , la forma al- gebraica y la escritura exponencial del número complejo e i θ · 1 − i . 3 Deduzca de las preguntas anteriores que, para cualquier número real „ : cos „ + sin „ = 2 · cos „ − ı 4 Parte B En esta parte, se admite que, para cualquier número real „ : cos( „ ) + sin( „ ) = 2 · cos „ − ı 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3209 sacados/3209 −∞02∞∞04e−20xVariationdef -3-2-12345I246810121416JO(C chapExoCorrec/6936 sacados/6936
Consideramos las funciones f y g definidas en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x )=e − x · cos x et g ( x ) = e − x . Definimos la función h en 0 ; + ∞ mediante : h ( x )= g ( x ) − f ( x ) Las representaciones gráficas de C f , C g y C h de las funciones f , g y h se muestran a continuación en un sistema de coorde-nadas ortogonales. 1 Conjeturar : a los límites de las funciones f y g en + ∞ . b la posición relativa de C f con respecto a C g ; c el valor de la abscisa x para el que la diferencia entre las dos curvas C f y C g es máxima. 2 Justificar que C g se encuentra por encima de C f en el intervalo 0 ; + ∞ 3 Demostrar que la recta de ecuación y =0 es asintótica horizontal a las curvas C f y C g 4 a Denotemos por h la función derivada de la función h en el intervalo 0 ; + ∞ . Demuestre que, para todo x del intervalo 0 ; + ∞ : h ( x ) = e − x · 2 · cos x − ı 4 − 1 b Justificar que, en el intervalo 0 ; ı 2 : 2 · cos x − ı 4 − 1 0 y que, en el intervalo ı 2 ; 2 ı : 2 · cos x − ı 4 − 1 0 c Deduzca la tabla de variaciones de la función h en el intervalo 0 ; 2 ı . 5 Se admite que, en el intervalo 0 ; + ∞ , la función H definida por: H ( x ) = 1 2 · e − x · − 2 + cos( x ) − sin( x ) es una primitiva de la función h . Denotemos por D el dominio del plano delimitado por las curvas C f y C g y las rectas de ecuaciones x =0 y x =2 ı . Calcular el área A del dominio D , expresada en unidades de área. 5. Integrales de encuadre E.3232 Consideremos la función f , definida en 1 ; + ∞ por: f ( t ) = e t t 1 a Justificar la continuidad de f en 1 ; + ∞ . b Demuestre que f es creciente en 1 ; + ∞ 2 Restitución organizada de conocimientos Se puede razonar basándose en el gráfico proporcionado. Para cualquier número real x 0 de [1 ; + ∞ [ , se denota por A ( x 0 ) el área del dominio delimitado por la curva que representa f en un sistema de coordenadas ortogonales, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x =1 y x = x 0 . Se propone demostrar que la función así definida en 1 ; + ∞ es una primitiva de f . a ¾Cuál es el valor de A (1) ? b Sea x 0 un número real cualquiera de [1 ; + ∞ [ y h un número real estrictamente positivo. Justifique el siguiente encuadre : f ( x 0 ) A ( x 0 + h ) − A ( x 0 ) h f ( x 0 + h ) c Cuando x 0 > 1 , ¾qué marco se puede obtener para h< 0 tal que x 0 + h 1 ? d Deduzca la derivabilidad en x 0 de la función A , así como el número derivado en x 0 de la función A . e Concluya. https://chingmath.fr 234567I0,20,40,60,8JOCfCgCh chapExoCorrec/3232 sacados/3232 ex0x0h2I2345JO
6. Secuencias e integrales de familias de funciones E.6259 Parte A En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males, se designa con C 1 la curva representativa de la función f 1 definida en R por: f 1 ( x ) = x + e − x 1 Justifique que C 1 pasa por el punto A de coordenadas (0 ; 1) . 2 Determine la tabla de variaciones de la función f 1 . Se precisarán los límites de f 1 en + ∞ y en −∞ . Parte B El objetivo de esta parte es estudiar la sucesión I n definida en N por: I n = 1 0 x + e − n · x d x 1 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j , para todo número natural n , se denota por C n la curva representativa de la función f n definida en R por: f n ( x ) = x + e − n · x En el gráfico siguiente se ha trazado la curva C n para varios valores del entero n y la recta D de ecuación x =1 . a Interpreta geométricamente la integral I n . b Utilizando esta interpretación, formula una conjetura sobre el sentido de variación de la sucesión I n y su posible límite. Se especificarán los elementos en los que se basa la conjetura. 2 Demostrar que para todo número natural n mayor o igual que 1 . I n +1 − I n = 1 0 e − ( n +1) · x · 1 − e x d x Deduzca el signo de I n +1 − I n y demuestre que la sucesión I n es convergente 3 Determine la expresión de I n en función de n y determine el límite de la sucesión I n . E.3838 Sea n un número natural. De-notemos por f n la función definida en el conjunto R de los números reales por: f n ( x ) = e − n · x 1 + e − x Denotemos por C n la curva representativa de f n en un sis-tema de coordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j . Las curvas C 0 , C 1 , C 2 y C 3 se representan a continuación : Parte A : Algunas propiedades de las funciones f n y de las curvas C n . 1 Demuestre que, para todo número natural n , las curvas C n tienen un punto A en común. Especifique sus coorde-nadas. 2 Estudio de la función f 0 . a Estudiar el sentido de variación de f 0 . b Especificar los límites de la función f 0 en −∞ y + ∞ . Interpretar gráficamente estos límites. c Elaborar la tabla de variaciones de la función f 0 en R . 3 Estudio de la función f 1 . a Demuestre que f 0 ( x )= f 1 ( − x ) para cualquier número real x . b Deduzca los límites de la función f 1 en −∞ y + ∞ , así como su sentido de variación. c Dar una interpretación geométrica de la pregunta 3 a para las curvas C 0 y C 1 . 4 Estudio de la función f n para n 2 . a Comprueba que para todo número natural n 2 y para todo número real x , se cumple : f n ( x ) = 1 e nx + e ( n − 1) x b Estudiar los límites de la función f n en −∞ y en + ∞ c Calcular la derivada f n ( x ) y elaborar la tabla de varia-ciones de la función f n en R . Parte B: Estudio de una sucesión relacionada con las fun-ciones f n https://chingmath.fr chapExoCorrec/6259 sacados/6259 011ijDC1C2C3C4C5C15C60 chapExoCorrec/3838 sacados/3838 011ijC0C1C2C3
Se establece, para todo número natural n : u n = 1 0 f n d x 1 Calcular u 1 y demostrar que u 0 + u 1 =1 . Deducir u 0 . 2 Demostrar que, para todo entero n : 0 u n 1 0 e − nx d x 3 Calcular la integral: 1 0 e − nx d x . Deduzca que la sucesión u n es convergente y especi-fique su límite. E.6258 Sea n un número natural mayor o igual a 1 . Denotemos por f n la función definida para todo número real x del intervalo 0 ; 1 por: f n ( x ) = 1 1 + x n Para todo entero n 1 , definimos el número I n por: I n = 1 0 f n ( x ) d x = 1 0 1 1 + x n d x 1 Las representaciones gráficas de ciertas funciones f n obtenidas con ayuda de un programa informático se trazan a continuación. Explicando cuidadosamente su procedimiento, conjeture, para la continuación I n , la existencia y el valor posible del límite, cuando n tiende a + ∞ . 2 Calcule el valor exacto de I 1 . 3 a Demuestre que, para cualquier número real x del in-tervalo 0 ; 1 y para cualquier número natural n 1 , se tiene : 1 1 + x n 1 b Deduzca que, para todo número natural n 1 , se tiene I n 1 . 4 Demuestre que, para todo número real x del intervalo 0 ; 1 y para todo número natural n 1 , se tiene : 1 − x n 1 1 + x n 5 Calcular la integral: 1 0 1 − x n d x . 6 Utilizando las preguntas anteriores, demuestre que la sucesión I n es convergente y determine su límite 7 Consideremos la función f siguiente, extraída de un algo-ritmo: Función f(n,p) I ← 0 . Para k que va de 0 a p − 1 x ← k p I ← I+ 1 1+x n × 1 p Fin Para Enviar I a ¾Qué valor, redondeado al centésimo, devuelve esta función cuando se realiza una llamada con el argu-mento : n =2 ; p =5 ? Justificaremos la respuesta reproduciendo y comple-tando la siguiente tabla con los diferentes valores que toman las variables al llamar a la función f . Los val-ores de I se redondearán a milésimas. k x I 0 4 b Explique por qué la función f permite aproximarse a la integral I n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6258 sacados/6258 Asie Juin 2014 xy00,20,40,60,810,20,40,60,81f1f2f3f50f200
E.6007 En todo lo que sigue, m designa cualquier número real. Parte A Sea f la función definida y derivable en el conjunto de los números reales R tal que : f ( x ) = x + 1 · e x 1 Calcular el límite de f en + ∞ y −∞ . 2 Denotemos por f la función derivada de la función f en R . Demuestre que para todo número real x : f ( x ) = x + 2 · e x 3 Elabore la tabla de variaciones de f en R . Parte B Se define la función g m sobre R por: g m ( x ) = x + 1 − m · e − x y se denota C m la curva de la función g m en un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j del plano. 1 a Demuestre que g m ( x )=0 si, y solo si, f ( x )= m . b Deduzca de la parte A , sin justificación, el número de puntos de intersección de la curva C m con el eje de abscisas en función del real m . 2 A continuación se representan las curvas C 0 ; C e y C − e (obtenidas tomando respectivamente para m los valores de 0 , e y − e ) . Identifique cada una de estas curvas en la figura y justi-fique su respuesta. 3 Estudiar la posición de la curva C m con respecto a la recta D de ecuación y = x +1 según los valores del real m 4 a Se denomina D 2 la parte del plano comprendida en-tre las curvas C e , C − e , el eje ( Oy ) y la recta x =2 . Sombrear D 2 en la figura anterior. b En esta pregunta, a designa un número real positivo, D a la parte del plano comprendida entre C e , C − e , el eje ( Oy ) y la recta Δ a de ecuación x = a . Se designa por A ( a ) el área de esta parte del plano, expresada en unidades de área. Demostrar que para todo número real positivo a : A ( a ) = 2 e − 2 · e 1 − a Deducir el límite de A ( a ) cuando a tiende a + ∞ . E.3981 Parte A Restitución organizada del conocimiento. Se supondrán cono-cidos los siguientes resultados : e 0 = 1 ; para todos los x y y reales : e x × e y = e x + y 1 Demostrar que para cualquier real x : e − x = 1 e x 2 Demuestre que para cualquier real x y para cualquier número natural n : e x n =e n · x Parte B Consideremos la secuencia u n definida por: u n = 1 0 e − n · x 1 + e − x d x , para cualquier número natural n 1 a Demuestre que : u 0 + u 1 =1 . b Calcula u 1 . Deduce u 0 . 2 Demuestre que para cualquier número natural n : u n 0 . 3 a Demuestre que para cualquier número natural dis-tinto de cero n : u n +1 + u n = 1 − e − n n . b Deduzca que para cualquier número natural distinto de cero n : u n 1 − e − n n 4 Determina el límite de la sucesión u n . 7. Secuencias e integrales de una función E.3994 El plano está provisto de una referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . Parte A La curva ( C ) , que figura en el anexo, es la curva representa-tiva de una función f derivable en 0 ; + ∞ , cuya derivada f es continua en 0 ; + ∞ La curva ( C ) pasa por los puntos O y A 1 ; 1 2 e y, en 0 ; 1 , está por encima del segmento [ OA ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6007 sacados/6007 Antilles-Guyane Juin 2013 xxyy-2-12345I-2-12345JOCourbe2Courbe3Courbe1 chapExoCorrec/3981 sacados/3981 Liban Juin 2010 5 points chapExoCorrec/3994 sacados/3994
1 Demuestre que : 1 0 f ( x ) d x = 1 2 · e . 2 Demuestra que : 1 0 f ( x ) d x 1 4 · e Parte B Ahora sabemos que la función f considerada en la parte A se define en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x · e − x x 2 + 1 1 Determinar el límite de f en + ∞ . Interprete gráfica- mente el resultado obtenido. 2 Consideremos la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x 3 + x 2 + x − 1 Establecer que la ecuación g ( x )=0 admite una única solu-ción ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ . 3 a Demuestre que para todo x de 0 ; + ∞ , f ( x ) y g ( x ) son de signos opuestos. b Deduzca las variaciones f sobre 0 ; + ∞ . 4 Consideremos la sucesión u n definida para todo número natural n por: u n = 2 n n f ( x ) d x a Demuestre que para todo x de 0 ; + ∞ : 0 x x 2 + 1 1 2 b Demuestre que para todo número natural n : 0 u n 1 2 · e − n − e − 2 · n . c Deduzca el límite u n cuando n tiende a + ∞ . 8. Secuencias y relaciones chasles E.3263 Considere la función f definida en R por: f ( x ) = 1 e x + e − x y denote por Γ su curva representativa en un sistema de ref-erencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j Parte A 1 Estudie la paridad de f . ¾Qué se deduce de ello para la curva Γ ? 2 Demuestre que, para cualquier x real que sea positivo o cero: e − x e x . 3 a Determine el límite de f en + ∞ . b Estudie las variaciones de f sobre 0 ; + ∞ . 4 Considere las funciones g y h definidas en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = 1 e x ; h ( x ) = 1 2 · e x A continuación se trazan, en el sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j las curvas representativas de g y h , denotadas Γ 1 y Γ 2 respectivamente. a Demuestre que, para cualquier real x positivo o cero: h ( x ) f ( x ) g ( x ) b ¾Qué podemos deducir de esto para las curvas Γ , Γ 1 y Γ 2 ? Traza Γ en la gráfica anterior, especificando su tan-gente en el punto de abscisa 0. Parte B Sea ( I n ) la sucesión definida en N por: I n = n +1 n f ( x ) d x 1 Justifique la existencia de ( I n ) , y dé una interpretación geométrica de ( I n ) . 2 a Demuestre que para cualquier número natural n : https://chingmath.fr 0120,10,20,3AC chapExoCorrec/3263 sacados/3263 23456I-0.2-0.10.10.20.30.40.50.60.70.80.91.1JO
f ( n +1) I n f ( n ) b Deduzca que la sucesión ( I n ) es decreciente. c Demuestre que la sucesión ( I n ) es convergente y deter-mine su límite. Parte C Sea ( J n ) la sucesión definida en N por: J n = n 0 f ( x ) d x 1 Utilizando el encuadre obtenido en la pregunta A 4 a , demuestre que, para todo número natural n : 1 2 · 1 − e − n J n 1 − e − n 1 2 Demuestre que la sucesión ( J n ) es creciente. Deduzca que converge. 3 Denotemos por L el límite de la sucesión ( J n ) y admita-mos el siguiente teorema: ˇ Si u n , v n y w n son tres sucesiones convergentes con límites respectivos a , b y c y si, a partir de un determi-nado rango, se tiene para todo n , u n v n w n entonces a b c ı. Dar un enmarcado de L . 4 Sea u la función definida en R por: u ( x ) = 1 1 + x 2 . Se denota por v la primitiva de u en R tal que : v (1)= ı 4 . Se admite que la curva representativa de v admite en + ∞ una asíntota de ecuación y = ı 2 . a Demuestre que, para todo número real x : f ( x )= e x e x 2 +1 . b Demuestre que, para todo número real x , f es la derivada de la función x ↦→ v (e x ) . c Deduzca el valor exacto de L . E.3998 Consideremos las sucesiones u n y v n definidas, para todo número natural n distinto de cero, por: u 1 = 1 u n = u n − 1 + 1 n pour n 2 ; v n = u n − ln n pour n 1 . 1 a Calcular u 2 , u 3 et u 4 . b Demostrar que, para todo número natural n distinto de cero: u n = n k =1 1 k 2 a Demostrar que, para todo número natural k distinto de cero: 1 k + 1 k +1 k 1 x d x 1 k b De ello se deduce que, para todo entero n mayor o igual que 2 , se cumplen las siguientes desigualdades : u n − 1 ln n u n − 1 n ; 0 v n 1 3 a Demostrar que, para todo número natural n distinto de cero: v n +1 − v n = 1 n + 1 − n +1 n 1 x d x b Deduzca el sentido de las variaciones de la sucesión v n . 4 Demuestre que la sucesión v n converge. Se denota ‚ el límite de la sucesión v n (no se intentará calcular ‚ ) . ¾Cuál es el límite de la sucesión u n ? 9. Cálculo de integrales, áreas y volúmenes E.3193 Denotamos por f la función definida sobre el conjunto R de números reales por: f ( x ) = 1 1 + e − x Denotamos C la curva representativa de f en un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j , (unidad gráfica : 5 cm ) . Parte A. Estudio de la función f 1 Compruebe que para cualquier número real x : f ( x ) = e x 1 + e x . 2 a Determine los límites de f −∞ y + ∞ . Interpretar gráficamente los resultados obtenidos. b Calcular f ( x ) para cualquier número real x . Deduzca las variaciones de f en R . c Dibuje la tabla de variaciones de f . 3 Dibuje la curva C y cualquier asíntota en el sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j Parte B. Algunas propiedades gráficas. 1 Considere los puntos M y M de la curva C de abscisas x y − x respectivamente. Determine las coordenadas del punto medio A del segmento [ MM ] . ¾Qué representa el punto A para la curva C ? 2 Sea n un número natural. Denotamos por D n el dominio del plano limitado por la recta de ecuación y =1 , la curva C y las rectas de ecuaciones x =0 y x = n , A n denota el área del dominio D n expresada en unidades de área. a Calcula A n . b Investiga el posible límite de A n cuando n tiende a + ∞ . Parte C. Calcula un volumen. Sea – un real positivo. Sea V ( – ) la integral: V ( – ) = 0 − λ ı f ( x ) 2 d x Sea V ( – ) una medida, expresada en unidades de volumen, del volumen generado por la rotación alrededor del eje x, de la porción de la curva C obtenida para − – x 0 . 1 Determinar los números reales a y b tales que para cualquier número real x : e 2 x (e x + 1) 2 = a e x e x + 1 + b e x (e x + 1) 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3998 sacados/3998 chapExoCorrec/3193 sacados/3193
2 Expresar V ( – ) en función de – . 3 Determinar el límite de V ( – ) cuando – hacia + ∞ . 10. Modelado E.6901 Un helicóptero está volando en modo estacionario sobre una llanura. Un pasajero lâlanza verticalmente un paquete equipado con un paracaídas. Parte 1 Sea v 1 la función definida en 0 ; + ∞ por: v 1 ( t ) = 5 × e 0 , 3 · t − 1 e 0 , 3 · t + 1 1 Determine el sentido de variación de la función v 1 . 2 En esta pregunta se supone que el paracaídas funciona correctamente. Se admite que t segundos después de haber sido lanzado, la velocidad del paquete (expresada en m · s − 1 ) es igual, antes de alcanzar el suelo, a v 1 ( t ) . Se considera que el paquete llega en buen estado al suelo si la velocidad a la llegada no supera 6 m · s − 1 . ¾Existe riesgo de que el paquete resulte dañado cuando el paracaídas se abre correctamente? Justifique su re-spuesta. Parte 2 En esta parte, se supone que el paracaídas no se abre. Se admite que, en este caso, antes de que el paquete toque el suelo, su velocidad (expresada en m · s − 1 ) , t segundos después de haber sido lanzado por el pasajero, viene dada por: v 2 ( t ) = 32 ; 7 · 1 − e − 0 , 3 · t 1 ¾Cuál es la velocidad, expresada en m · s − 1 , que alcanza el paquete al cabo de 10 segundos? Redondear a 0 ; 1 m · s − 1 . 2 Resolver la ecuación v 2 ( t )=30 m · s − 1 . Dar una inter-pretación concreta de la solución de esta ecuación en el marco de este ejercicio 3 Se sabe que la caída del paquete dura 20 segundos. Se admite que la distancia, en metros, que separa el he-licóptero del paquete, T segundos después de haber sido lanzado por el pasajero, viene dada por: d ( T ) = T 0 v 2 ( t ) d t a Demuestre que, para cualquier número real T del in-tervalo 0 ; 20 : d ( T ) = 109 · e − 0 , 3 · T + 0 ; 3 · T − 1 b Determine un valor aproximado a 1 m de la distancia recorrida por el paquete cuando llega al suelo. 4 Determinar un rango de amplitud 0 ; 1 s del tiempo que tarda el paquete en alcanzar el suelo si se hubiera lanzado desde una altura de 700 metros. E.6266 Queremos hacer una verja como la que se muestra a continuación. Cada hoja tiene 2 metros de ancho. Partie A : modelización de la parte superior de la por-tail El borde superior de la hoja derecha de la verja se modela con una función f definida sobre el intervalo 0 ; 2] por: f ( x ) = x + 1 4 · e − 4 x + b donde b es un número real. Sea f la función derivada de la función f en el intervalo 0 ; 2 . 1 a Calculer f ( x ) , para cualquier real x perteneciente al intervalo 0 ; 2 . b Determinar la dirección de variación de la función f en el intervalo 0 ; 2 . 2 Determinar el número b para que la altura máxima de la puerta sea igual a 1 ; 5 m . A continuación se define la función f en el intervalo 0 ; 2 mediante : f ( x ) = x + 1 4 · e − 4 x + 5 4 Partie B: determinación de un área Cada compuerta se realiza con una placa metálica. Quere-mos calcular el área de cada una de las placas, sabiendo que el borde inferior de la hoja está a 0 ; 05 m altura del suelo. 1 Muestre que la función F definida en el intervalo 0 ; 2 por: F ( x ) = − x 4 − 1 8 · e − 4 x + 5 4 · x es una primitiva de la función f . 2 Deduzca el área en m 2 de cada hoja. Se dará el valor exacto y luego un valor aproximado a 10 − 2 cerca de esta área. (Aquí nos interesa el objeto ˇ hoja ı sin hacer refer-encia a su entorno) . Parte C : uso de un algoritmo Se desea realizar una puerta de la misma forma, pero a par-tir de tablas rectangulares separadas de 0 ; 12 m de ancho, es-paciadas 0 ; 05 m . Para la hoja derecha, la esquina superior izquierda de cada tabla se encuentra en el borde superior de la hoja y la parte inferior de cada tabla a 0 ; 05 m de altura. Las tablas están numeradas a partir de 0 : así, la primera tabla de la izquierda lleva el número 0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6901 sacados/6901 chapExoCorrec/6266 sacados/6266 vantaildedroitevantaildegauchepilierdroitpiliergauche
1 Calcule el área de la tabla número k . 2 Copie y complete el algoritmo que aparece a contin-uación, de modo que al final de la ejecución, el valor de la variable S corresponda a la suma de las áreas de las tablas de la hoja derecha. S ← 0 X ← 0 Mientras X+0;17<... S ← S+... X ← X+0;17 Fin Mientras E.6008 Consideremos la función g definida por: g ( x ) = 1 + e − x para todo número real x del intervalo 0 ; 1 . Se admite que : g ( x ) > 0 , para todo real x del intervalo 0 ; 1 . Se denota por C la curva repre-sentativa de la función g en un sistema de coordenadas ortonor-males, y por D el dominio plano comprendido, por un lado, en-tre el eje de abscisas y la curva C y, por otro, entre las rectas de ecuaciones x =0 y x =1 . La curva C y el dominio D se rep-resentan al lado. El objetivo de este ejercicio es dividir el dominio D en dos dominios de igual área, primero mediante una recta paralela al eje de ordenadas (parte A ) , y luego mediante una recta paralela al eje de abscisas (parte B ) . Parte A Sea a un número real tal que 0 a 1 . Denotemos por A 1 el área del dominio comprendido entre la curva C , el eje Ox , las rec-tas de ecuaciones x =0 y x = a , y luego A 2 el del dominio com-prendido entre la curva C , Ox y las rectas de ecuaciones x = a y x =1 . A 1 y A 2 se expresan en unidades de área. 1 a Demuestre que : A 1 = a − e − a + 1 . b Expresar A 2 en función de a 2 Sea f la función definida para todo número real x del intervalo 0 ; 1 por: f ( x ) = 2 x − 2 · e − x + 1 e a Elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo 0 ; 1 . Se precisarán los valores exactos de f (0) y f (1) . b Demuestre que la función f se anula una y solo una vez en el intervalo 0 ; 1 en un real ¸ . Indique el valor de ¸ redondeado al centésimo. 3 Utilizando las preguntas anteriores, determine un valor aproximado del número real a para el que las áreas A 1 y A 2 son iguales. Parte B Sea b un número real positivo. En esta parte, se propone dividir el dominio D en dos do-minios de igual área mediante la recta de ecuación y = b . Se admite que existe un único número real positivo b como solu-ción. 1 Justificar la desigualdad b< 1+ 1 e . Se puede utilizar un argumento gráfico. 2 Determinar el valor exacto del número real b . https://chingmath.fr 00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05m chapExoCorrec/6008 sacados/6008 DI2JOC A1A2aI2JOC
E.6932 Las partes A y B son indépen-dantes Un fabricante de candados con la marca ˇ K ı desea imprimir un logotipo para su empresa. Este logotipo adopta la forma de una letra mayúscula es-tilizada K , inscrita en un cuadrado ABCD , de lados de una unidad de longitud, y que cumple las siguientes C 1 y C 2 condi-ciones : Condición C1 : la letra K debe êstar formada por tres líneas : une de las rectas es el segmento [ AD ] ; une segunda recta tiene como extremos el punto A y un punto E del segmento [ DC ] ; la tercera recta tiene como extremos el punto B y el punto G situados en la segunda recta. Condition C2 : el área de cada una de las tres superficies limitadas por las tres líneas trazadas en el cuadrado debe êstar comprendida entre 0 ; 3 y 0 ; 4 , siendo la unidad de área la del cuadrado. Estas áreas se señalan r , s , t en las figuras siguientes. Un estudio de diseño ofrece dos posibles diseños, que se mues-tran a continuación : Para realizar los estudios que siguen, nos situamos en el marco de referencia ortonormal A ; −−→ AB ; −−→ AD . Propuesta A Propuesta B Parte A : estudio de la propuesta A En esta propuesta, las tres líneas son segmentos y las tres áreas son iguales : r = s = t = 1 3 Determinar las coordenadas de los puntos E y G . Parte B: estudio de la propuesta B Esta propuesta se caracteriza por las dos modalidades sigu-ientes : la línea de extremos A y E es una parte de la rep-resentación gráfica de la función f definida para todo número real x 0 por: f ( x )=ln 2 x +1 ; la línea de extremos B y G es una parte de la rep-resentación gráfica de la función g definida para todo número real x> 0 por: g ( x ) = k 1 − x x où k es un número real positivo que se determinará. 1 a Determinar la abscisa del punto E . b Determinar el valor del número real k , sabiendo que la abscisa del punto G es igual a 0 ; 5 . 2 a Demostrar que la función f admite como primitiva la función F definida para todo número real x 0 por: F ( x ) = x + 0 ; 5 · ln 2 · x +1 − x b Demostrar que : r = e 2 − 1 3 Determinar una primitiva G de la función g en el inter-valo 0 ; + ∞ 4 Se admite que los resultados anteriores permiten estable-cer que : s = ln(2) 2 + ln(2) − 1 2 ¾Cumple la propuesta B las condiciones impuestas por el fabricante? E.6935 Un ayuntamiento ha decidido in-stalar una pista de skateboard en un parque municipal. El dibujo adjunto ofrece una perspectiva caballada. Los cuadriláteros OAD D , DD C C y OAB B son rectángulos. El plano frontal ( OBD ) está provisto de un sistema de coor-denadas ortonormales O ; I ; J . La unidad es el metro. La anchura del módulo es de 10 metros, es decir, DD =10 , y su longitud OD es de 20 metros. El objetivo del problema es determinar el área de las diferentes superficies que hay que pintar. El perfil del módulo de la tabla de skate se ha modelado a partir de una foto mediante la función f definida en el inter-valo 0 ; 20 por: f ( x ) = ( x + 1) · ln x +1 − 3 x + 7 Se denota f la función derivada de la función f y C la curva representativa de la función f en el sistema de coordenadas O ; I ; J . Parte 1 1 Demuestra que para todo número real x perteneciente al intervalo 0 ; 20 , se tiene : f ( x ) = ln x +1 − 2 2 Deduzca las variaciones de f en el intervalo 0 ; 20 y https://chingmath.fr chapExoCorrec/6932 sacados/6932 rstABCDEG rstABCDEG chapExoCorrec/6935 sacados/6935 BCDABCDIJO BCDIJOCf
elabore su tabla de variaciones. 3 Calcule el coeficiente director de la tangente a la curva C en el punto de abscisa 0 . El valor absoluto de este coeficiente se denomina inclinación del módulo de skateboard en el punto B 4 Se admite que la función g definida en el intervalo 0 ; 20 por: g ( x ) = 1 2 · x + 1 2 · ln x +1 − 1 4 · x 2 − 1 2 · x tiene como derivada la función g definida en el intervalo 0 ; 20 por: g ( x )=( x +1) · ln x +1 . Determine una primitiva de la función f en el intervalo 0 ; 20 . Parte 2 Las tres preguntas de esta parte son independientes. 1 ¾Son correctas las siguientes afirmaciones? Justifica tus respuestas. P 1 : la diferencia de altura entre el punto más alto y el punto más bajo de la pista es, como mínimo, de 8 metros. P 2 : La inclinación de la pista es casi el doble en B que en C . 2 Se desea cubrir las cuatro caras laterales de este módulo con una capa de pintura roja. La pintura utilizada per-mite cubrir una superficie de 5 m 2 por litro. Determinar, con una precisión de 1 litros, el número mín-imo de litros de pintura necesarios 3 Se desea pintar de negro la pista rodante, es decir, la su-perficie superior del módulo. Para determinar un valor aproximado del área de la parte que se va a pintar, se consideran en la referencia O ; I ; J del plano frontal los puntos B k ( k ; f ( k )) para k que varían de 0 a 20 . Así : B 0 = B . Se decide aproximar el arco de la curva C que va de B k a B k +1 por el segmento B k B k +1 . Así, el área de la superficie a pintar se aproximará me-diante la suma de las áreas de los rectángulos del tipo B k B k +1 B k +1 B k (véase la figura) . a Demuestre que para todo entero k que varía de 0 a 19 : B k B k +1 = 1 + f ( k +1) − f ( k ) 2 b Completa el algoritmo para que podamos recuperar en los valores de sus variables una estimación del área de la parte rodante. Función f(x) Devolver (x + 1) ln x+1 − 3x + 7 S ← 0 Para K que varía de ... a ... S ← ... Fin Para ¾Cuál es la variable que contendrá una estimación del área de la parte rodante? E.6267 Una imagen digital en blanco y negro está compuesta por pequeños cuadrados (píxeles) cuyo color va del blanco al negro pasando por todos los tonos de gris. Cada tono está codificado por un número real x de la siguiente manera : x =0 para el blanco ; x =1 para el negro ; x =0 ; 01 ; x =0 ; 02 y así sucesivamente hasta x =0 ; 99 por pasos de 0 ; 01 para todos los tonos intermedios (de claro a oscuro) . La imagen A , a continuación, está compuesta por cuatro píx-eles y ofrece una muestra de estos tonos con sus códigos. Un software de retoque de imágenes utiliza funciones numéri-cas denominadas ˇ funciones de retoque ı. Una función f definida en el intervalo 0 ; 1 se denomina ˇ fun-ción de retoque ı si posee las cuatro propiedades siguientes : f (0)=0 ; f (1)=1 ; f es continua en el intervalo 0 ; 1 ; f es creciente en el intervalo 0 ; 1 . Un matiz codificado x se dice oscurecido por la función f si f ( x ) >x , y aclarado, si f ( x ) <x . si f ( x )= x 2 , un píxel de matiz codificado 0 ; 2 tomará el matiz codificado 0 ; 2 2 =0 ; 04 . La imagen A se transfor-mará en la imagen B ci-dessous Si f ( x )= x , la sombra codificada 0 ; 2 tomará la sombra codificada 0 ; 2 ≈ 0 ; 45 . La imagen A se transformará en la imagen C siguiente. Parte A 1 On considerar la función f 1 definida en el intervalo 0 ; 1 por: f 1 ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 3 x a Démontrer que la función f 1 es una función de retoque. b Resuelve gráficamente la inecuación f 1 ( x ) x , uti-lizando la gráfica que se da a continuación, en la que aparecen las líneas de puntos útiles. https://chingmath.fr BCDABCDB1B1B2B2BkBkBkBkIJO chapExoCorrec/6267 sacados/6267 0;600;800;400;20Image A0;360;640;160;04Image B0;770;890;630;45Image C
Interpreta este resultado en términos de aclaramiento u oscurecimiento. 2 Considere la función f 2 definida en el intervalo 0 ; 1 por: f 2 ( x ) = ln 1 + (e − 1) · x Suponga que f 2 es una función de retoque. Definimos sobre el intervalo 0 ; 1 la función g por: g ( x ) = f 2 ( x ) − x . a Établir que, para cualquier x en el intervalo 0 ; 1 : g ( x ) = (e − 2) − (e − 1) · x 1 + (e − 1) · x b Déterminer las variaciones de la función g en el inter-valo 0 ; 1 . Demostrar que la función g admite un máximo en e − 2 e − 1 , máximo cuyo valor redondeado a la centésima es 0 ; 12 . c Establecer que la ecuación g ( x )=0 ; 05 admite en el in-tervalo 0 ; 1 dos soluciones ¸ y ˛ , con ¸<˛ Se admitirá que : 0 ; 08 <¸ < 0 ; 09 ; 0 ; 85 <˛ < 0 ; 86 Parte B Se observa que un cambio de tono solo es perceptible visual-mente si el valor absoluto de la diferencia entre el código del tono inicial y el código del tono modificado es mayor o igual a 0 ; 05 . 1 En el algoritmo descrito a continuación, la función g toma como argumentos las variables x (matiz inicial) , y (matiz retocado) , E (desviación) y utiliza la función f que designa una función de retoque. En el código de la función g , , la variable c sirve de con-tador. Función g(x,y,E) c ← 0 Para k que va de 0 a 100 x ← k 100 y ← f(x) E ← | y − x | Si E 0;05 Entonces c ← c+1 Fin si Fin para Devolver c Al llamar a la función g , , este algoritmo devuelve el valor de la variable c . . ¾Cuál es la función de este algoritmo? 2 ¾Qué valor devolverá la función g si se aplica a la función f 2 definida en la segunda pregunta de la parte A ? Parte C En esta parte, nos interesan las funciones de retoque f cuyo efecto es aclarar la imagen en su con-junto, es decir, tales que, para todo real x del intervalo 0 ; 1 , f ( x ) x . Decidimos medir el aclaramiento global de la imagen calculando el área A f de la porción del plano comprendida entre el eje de ab-scisas, la curva representativa de la función f , y las rectas de ecuaciones respectivas x =0 y x =1 . Entre dos funciones, la que tenga como efecto aclarar más la imagen y la que corresponda al área más pequeña. Se desea comparar el efecto de las dos funciones siguientes, que se ad-mite que son funciones de retoque : f 3 ( x ) = x · e ( x 2 − 1) ; f 4 ( x ) = 4 x − 15 + 60 x + 4 1 a Calcular A f 3 . b Calcular A f 4 . 2 De estas dos funciones, ¾cuál tiene el efecto de aclarar más la imagen? https://chingmath.fr 00.510.51Cf1 00.510.51
E.6939 Un particular quiere fabricar un recuperador de agua. Este recuperador de agua es un depósito que debe cumplir las siguientes especificaciones : debe estar situado a dos metros de su casa ; la profundidad máxima debe ser de dos metros ; debe medir cinco metros de largo; debe adaptarse a la pendiente natural del terreno. Este depósito se muestra esquemáticamente al lado. La parte curvada se modela mediante la curva C f de la fun-ción f en el intervalo 2 ; 2 e definido por: f ( x ) = x · ln x 2 − x + 2 La curva C f se representa a continuación en un sistema de co-ordenadas ortonormales unitarias 1 m y constituye una vista de perfil del depósito. Consideremos los puntos A (2 ; 2) , I (2 ; 0) y B (2 e ; 2) . Parte A El objetivo de esta parte es evaluar el volumen del depósito. 1 Justifique que los puntos B y I pertenecen a la curva C f y que el eje de abscisas es tangente a la curva C f en el punto I . 2 Se denota T la tangente a la curva C f en el punto B , y D el punto de intersección de la recta T con el eje de abscisas. a Determinar una ecuación de la recta T y deducir las coordenadas de D b Denominamos S al área del dominio delimitado por la curva C f y las rectas de ecuaciones y =2 , x =2 y x =2 e . S puede estar enmarcada por el área del triángulo ABI y la del trapecio AIDB . ¾Qué enmarcado del volumen del depósito se puede deducir? 3 a Demuestre que, en el intervalo 2 ; 2 e , la función G definida por: G ( x ) = x 2 2 · ln x 2 − x 2 4 es una primitiva de la función g definida por: g ( x )= x · ln x 2 b Deduzca una primitiva F de la función f en el intervalo 2 ; 2 e . c Determinar el valor exacto del área S y deducir un valor aproximado del volumen V del depósito con una precisión de m 3 . Parte B Para cualquier número real x comprendido entre 2 y 2 e , se denota por v ( x ) el volumen de agua, expresado en m 3 , que hay en el depósito cuando la altura del agua en el depósito es igual a f ( x ) . Se admite que, para todo número real x del intervalo 2 ; 2 e . v ( x ) = 5 · x 2 2 · ln x 2 − 2 x · ln x 2 − x 2 4 + 2 x − 3 1 ¾Qué volumen de agua, redondeado a m 3 , hay en el de-pósito cuando la altura del agua en el depósito es de un metro? 2 Recordemos que V es el volumen total del depósito, f es la función definida al principio del ejercicio y v la función definida en la parte B . Consideremos el algoritmo adjunto y centrémonos en el valor de la variable d al final de su ejecución. Interprete el resultado que este algoritmo asigna, al final de su eje-cución, a la variable d a ← 2 b ← 2e Mientras v(b) − v(a)>10 − 3 c ← a+b 2 Si v(c)< V 2 Entonces a ← c Si no b ← c Fin Si Fin siempre que d ← f(c) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6939 sacados/6939 2cm5cm CfTerrainCuveTerrainDBAT012345612I xf(x01234561234