Bachillerato 2 / Anales sobre probabilidad 15 ejercicios (100% corregidos)

a
1. Probabilidad y secuencias E.3188 Pierre y Claude juegan al tenis. Ambos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar el primer set. A continuación, cuando Pierre gana un set, la probabilidad de que gane el siguiente es 0 ; 7 . Y si pierde un set, la probabilidad de que pierda el siguiente es 0 ; 8 . En todo el ejercicio, n es un número natural distinto de cero. Consideramos los siguientes sucesos : G n : ˇ Pierre gana el n -ésimo juego ı. P n : ˇ Pierre pierde la partida n ı. Se establece : p n = P ( G n ) et q n = P ( P n ) . 1 Búsqueda de una relación de recurrencia. a Determinar p 1 y luego las probabilidades condicionales P G 1 ( G 2 ) y P P 1 ( G 2 ) . b Justificar la igualdad : p n + q n =1 . c Demostrar que para todo número natural n distinto de cero: p n +1 = 0 ; 5 · p n + 0 ; 2 . 2 Estudio de la sucesión ( p n ) . Se establece que, para todo número natural n distinto de cero, v n = p n − 2 5 . a Demostrar que la sucesión ( v n ) es una sucesión ge-ométrica y expresar v n en función de n . b Deduzca la expresión de p n en función de n . c Determine el límite de la sucesión ( p n ) cuando n tiende a + ∞ . E.4326 Un jugador comienza un video-juego y juega varias partidas consecutivas. Se admite que : la probabilidad de que gane la primera partida es 0 ; 1 ; si gana una partida, la probabilidad de ganar la siguiente es igual a 0 ; 8 ; si pierde una partida, la probabilidad de ganar la sigu-iente es igual a 0 ; 6 . Se observa que, para todo número natural n distinto de cero: G n el evento ˇ el jugador gana la partida n ı ; p n la probabilidad del evento G n . Por lo tanto, tenemos : p 1 =0 ; 1 1 Demostrar que p 2 =0 ; 62 . Podemos ayudarnos de un ár-bol ponderado. 2 El jugador ha ganado la segunda partida. Calcular la probabilidad de que haya perdido la primera. (daremos un valor aproximado a 10 − 2 cerca) . 3 Calcular la probabilidad de que el jugador gane al menos una de las tres primeras partidas. 4 Demostrar que para todo número natural n distinto de cero: p n +1 = 1 5 · p n + 3 5 . 5 Demostrar por recurrencia que para todo número natu-ral n distinto de cero: p n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 6 Determinar el límite de la sucesión p n cuando n tiende a + ∞ . 7 ¾Para qué valores del número natural n se tiene : 3 4 − p n < 10 − 7 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3188 sacados/3188 Asie Juin 2006 4 points chapExoCorrec/4326 sacados/4326 Polynesie Juin 2011
3epassageboucle Pour2epassageboucle Pour1erpassageboucle Pourinitialisationvariablesidabs E.3155 Estudiamos el movimiento aleato-rio de una ficha. Esta ficha se mueve sobre tres cuadrados denotados A , B y C . En el momento 0 , el chip está en A . Para cualquier número natural n : si en el momento n la ficha está en A , entonces en el momento ( n +1) , está : Soit B avec con probabilidad igual a 1 3 ; So en C con una probabilidad igual a 2 3 . Si en el momento n el chip está en B , entonces en el mo-mento ( n +1) , es : o C o A de equiprobablemente. Si en el momento n el chip está en C , entonces permanece allí. Denotamos A n (respectivamente B n , C n ) l evento ˇ à el tiempo que n la ficha está en A ı (respectivamente en B , en C ) . Denotamos a n (respectivamente b n , c n ) la probabilidad del suceso A n , (respectivamente B n , C n ) . Tenemos por tanto : a 0 =1 ; b 0 = c 0 =0 Se pueden utilizar árboles ponderados para tratar el ejercicio. 1 Calcular a k , b k et c k pour k ∈ N tel que 1 k 3 . 2 a Demostrar que, para cualquier número natural n : a n + b n + c n = 1 ; a n +1 = 1 2 · b n b n +1 = 1 3 · a n b Demuestre que, para cualquier número natural n : a n +2 = 1 6 a n c Deduce que, para cualquier número natural p : a 2 p = 1 6 p y a 2 p +1 = 0 b 2 p = 0 y b 2 p +1 = 1 3 · 1 6 p 3 Demostrar que : lim n ↦→ + ∞ a n =0 . Se admite que lim n ↦→ + ∞ b n =0 . ¾Cuál es el límite de c n cuando n tiende a + ∞ ? E.6800 Se dispone de un dado equilibrado con 6 caras numeradas del 1 al 6 y de 2 piezas A y B , cada una con una cara y otra cruz. Un juego consiste en lanzar el dado una o varias veces. Después de cada lanzamiento del dado, si se obtiene un 1 o un 2 , se da la vuelta a la moneda A ; si se obtiene un 3 o un 4 , se da la vuelta a la moneda B , y si se obtiene 5 o 6 , no se da la vuelta a ninguna de las dos monedas. Al comienzo del juego, las 2 monedas están por el lado cara. 1 En el algoritmo siguiente, 0 codifica la cara de una mon-eda y 1 codifica el reverso. Si a codifica la cara de la moneda A en un momento dado, entonces 1 − a codifica el lado de la moneda A después de darle la vuelta. i , n son números enteros mayores o iguales a 1 . Función f(n) a ← 0 b ← 0 Para i que va de 1 a n hacer d ← de un entero aleatorio comprendido entre 1 y 6 Si d 2 Entonces a ← 1 − a Si no Si d 4 Entonces b ← 1 − b Fin Si Fin Si s ← a+b Fin Para Devolver s a Se llama a la función f con el argumento n =3 y suponiendo que los valores aleatorios generados sucesi-vamente para d sean 1 6 y 4 . Copie y complete la tabla que se muestra a contin-uación con el estado de las variables durante la ejecu-ción del algoritmo: b ¾La llamada a la función f permite decidir si al final las dos monedas están del lado cara? 2 Para cualquier número natural n , se anota : X n el evento : ˇ Al final de n lanzamientos de dados, las dos monedas están del lado cara ı Y n el evento : ˇ Tras n lanzamientos de dados, una mon-eda está del lado cara y la otra del lado cruz ı Z n el evento : ˇ Tras n tiradas de dados, las dos mon-edas están del lado cruz ı. Además, se observan, x n = P X n , y n = P Y n y z n = P Z n las probabilidades respectivas de los eventos X n , Y n y Z n : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3155 sacados/3155 chapExoCorrec/6800 sacados/6800 3epassageboucle Pour2epassageboucle Pour1erpassageboucle Pourinitialisationvariablesidabs
xnXnYnZnXnynXnYnZnYnznXnYnZnZn a Dar las probabilidades x 0 , y 0 y z 0 respectivas de que al comienzo del juego haya 0 , 1 o 2 monedas del lado cara. b Justifique que : P X n X n +1 = 1 3 c Copiar el árbol siguiente y completar las probabili-dades en sus ramas, algunas de las cuales pueden ser nulas : d Para todo número natural n , expresar z n en función de x n y y n . e Deduzcamos que, para todo número natural n ,: y n +1 = − 1 3 · y n + 2 3 f Establecemos, para todo número natural n : b n = y n − 1 2 Demostrar que la sucesión b n es geométrica. Deduzca que, para todo número natural n : y n = 1 2 − 1 2 × − 1 3 n g Calcule lim n ↦→ + ∞ y n . Interprete el resultado. 2. Probabilidades condicionales E.1449 Un jugador tiene una urna que contiene 3 bolas rojas, 4 bolas blancas y n bolas verdes ( 0 n 10 ) . Las bolas son indistinguibles al tacto. 1 El jugador extrae al azar una bola de la urna. Calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos siguientes : a R : ˇ la bola extraída es rouge ı. b B : ˇ la bola extraída es blanche ı. c V : ˇ la bola extraída es verte ı. 2 El jugador decide jugar una partida. El juego se desar-rolla como se muestra a continuación. El jugador saca una bola de la urna : si es roja, gana 16 F ; si es blanca, pierde 12 F ; si es verde, vuelve a meter la bola en la urna, luego saca una bola de la urna ; si esa bola es roja, gana 8 F ; si esa bola es blanca, pierde 2 F ; si esa bola es verde, no pierde ni gana nada. Las suertes son equiprobables y dos suertes sucesivas son independientes. Al comienzo de la partida, el jugador tiene 12 F . Sea X la variable aleatoria que toma como valor la suma que el jugador posee al final de la partida (un empate o dos empates según el caso) . a Determine los valores tomados por X . b Determine la distribución de probabilidad de X . c Demuestre que la esperanza matemática de X es : E ( X ) = 12 + 16 · n ( n + 7) 2 . 3 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 por: f ( x ) = x ( x + 7) 2 Estudie las variaciones de f . 4 Deduzca el valor de n para el que la expectativa matemática X es máxima. Calcule este valor máximo (el resultado se dará como fracción irreducible) . https://chingmath.fr xnXnYnZnXnynXnYnZnYnznXnYnZnZn chapExoCorrec/1449 sacados/1449 Sportifs de haut-niveau Octobre 1998
RS0S1S2S3S4S5S6S7S8 E.3143 Un jardinero tiene dos lotes, el 1 y el 2, cada uno con numerosos bulbos que dan tulipanes de diversos colores. La probabilidad de que un bulbo del lote 1 dé un tulipán amarillo es igual a 1 4 . La probabilidad de que un bulbo del lote 2 dé un tulipán amarillo es igual a 1 2 . Este jardinero elige al azar un lote y planta 50 bulbos de tuli-panes. Sea n un número natural que cumpla 0 n 50 . Definimos los siguientes sucesos : A : ˇ el jardinero ha elegido el lote 1 ı ; B : ˇ el jardinero ha elegido el lote 2 ı ; J n : ˇ el jardinero obtiene n tulipanes amarillos ı. 1 En esta pregunta, se supone que el jardinero elige el lote 1. a ¾Qué ley de probabilidad sigue el número de tulipanes amarillos obtenidos a partir de 50 bulbos del lote 1? b ¾Cuál es la esperanza matemática de esta ley? c Exprese la probabilidad de que el jardinero obtenga n tulipanes amarillos. d Calcule la probabilidad de que el jardinero obtenga 15 tulipanes amarillos. Se redondeará el resultado al milésimo. 2 Probabilidades condicionales : a Demuestre que : P B J n = 50 n · 2 − 50 b Deduzca la probabilidad de que el jardinero obtenga n tulipanes amarillos. c Se denota p n la probabilidad condicional del evento A sabiendo que J n se ha producido. Establezca que : p n = 3 50 − n 3 50 − n + 2 50 d ¾Para qué valores de n se tiene p n 0 ; 9 ? ¾Cómo se puede interpretar este resultado? 3. Eventos independientes E.3736 Un cuadrado de lado 20 cm se divide en las 10 zonas siguientes : un disco D de radio 1 cm ; 8 secteurs S 1 , S 2 , . . . , S 8 de la misma zona delimitada por los bordes del disco D y el disco D del mismo centro y radio 9 cm ; un área R entre el disco D y el borde del cuadrado. Se coloca un punto al azar en el cuadrado. La probabilidad de colocar el punto en cualquier área del cuadrado es propor-cional al área de dicha área. 1 a Determine la probabilidad p ( D ) de que el punto se coloque en el disco D . b Déterminer la probabilidad p ( S 1 ) de que el punto se sitúe en el sector S 1 . 2 Pour esta pregunta 2 , utilizaremos los siguientes val-ores aproximados : p ( D ) = 0 ; 008 ; p ( S k ) = 0 ; 078 5 pour k ∈ 1;2;3;4;5;6;7;8 . A esta situación aleatoria se asocia el siguiente juego : a punto colocado en el disco D gana 10 euros ; un punto colocado en la zona S k gana k euros por cualquier k perteneciente a 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ; un punto colocado en la zona R pierde 4 euros. Denotamos X a la variable aleatoria igual al pago alge-braico obtenido : a Calcular la probabilidad p ( R ) de que el punto se sitúe en la zona R . Calcular la expectativa de X . b Jugamos dos veces seguidas. Por tanto, se han colo-cado dos puntos independientes en el cuadrado. Cal-cular la probabilidad de obtener una ganancia total positiva o nula. c Digamos que n es un número natural mayor o igual que dos. Jugamos n veces seguidas. Por tanto, hemos colocado n puntos independientemente en el cuadrado. Calcula la probabilidad p n de obtener al menos un punto colocado en el disco D . Determina el menor valor de n tal que p n 0 ; 9 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3143 sacados/3143 chapExoCorrec/3736 sacados/3736 France Septembre 2002 RS0S1S2S3S4S5S6S7S8
‡ E.3732 Una urna contiene 5 bolas negras y 5 bolas blancas. Se extraen sucesivamente n , con reposición, siendo n un número natural mayor o igual a 2 . Consideremos los dos siguientes sucesos : A : ˇ Se obtienen bolas de ambos colores ı ; B : ˇ Se obtiene como máximo una blanca ı. 1 a Calcular la probabilidad del evento : ˇ Todas las bo-las extraídas son del mismo color ı. b Calcular la probabilidad del evento : ˇ Se obtiene exac-tamente una bola blanca ı. c Deducir que las probabilidades p ( A ∩ B ) , p ( A ) , p ( B ) son : p ( A ∩ B ) = n 2 n ; p ( A ) = 1 − 1 2 n − 1 ; p ( B ) = n + 1 2 n 2 Demostrar que p ( A ∩ B )= p ( A ) × p ( B ) si, y solo si : 2 n − 1 = n + 1 3 Sea ( u n ) la sucesión definida por: u n = 2 n − 1 − ( n + 1) para todo n ∈ N tal que n 2 . Calcular u 2 , u 3 , u 4 . Demostrar que la sucesión ( u n ) es estrictamente cre-ciente. 4 Deducir el valor del entero n tal que los sucesos A y B sean independientes. 4. Probabilidad condicional y distribución binomial E.3145 Ha aparecido una enfermedad en el ganado bovino de un país. Afecta al 0 ; 5 de este ganado (o al 5 por mil) . 1 Se elige al azar un animal del ganado. ¾Cuál es la prob-abilidad de que esté enfermo? 2 a Se eligen sucesivamente y al azar 10 animales. Se denomina X a la variable aleatoria igual al número de animales enfermos entre ellos. Demostrar que X sigue una ley binomial cuyos parámetros se darán. Calcular su esperanza matemática. b Se designa por A el suceso : ˇ ninguno de los 10 animales está enfermo ı. Denotamos por B el suceso : ˇ al menos un animal está enfermo entre los 10 ı. Calcular las probabilidades de A y B . 3 Se sabe que la probabilidad de que un animal dé posi-tivo en la prueba de esta enfermedad sabiendo que está enfermo es 0 ; 8 . Cuando un animal no está enfermo, la probabilidad de dar negativo en la prueba es 0 ; 9 . De-notemos por T el evento ˇ dar positivo en la prueba de esta enfermedad ı y por M el evento ˇ êpadecer esta en-fermedad ı. a Representa con un árbol ponderado los datos del enun-ciado. b Calcular la probabilidad del evento T . c ¾Cuál es la probabilidad de que un animal esté enfermo sabiendo que la prueba es positiva? E.3834 En una feria, un organizador de juegos dispone de dos ruedas con veinte casillas cada una : La rueda A tiene dieciocho casillas negras y 2 casillas rojas. La rueda B tiene 16 casillas negras y 4 casillas rojas. Al lanzar una rueda, todas las casillas tienen la misma prob-abilidad de salir. La regla del juego es la siguiente : El jugador apuesta 1 e y lanza la ruleta A . Si obtiene una casilla roja, entonces lanza la ruleta B , anota el color de la casilla obtenida y el juego termina. Si obtiene una casilla negra, vuelve a girar la ruleta A , anota el color de la casilla obtenida y la partida termina. 1 Traduce la enunciado utilizando un árbol ponderado. 2 Sean E y F los eventos : E : ˇ al final de la partida, las 2 casillas obtenidas son rojas ı ; F : ˇ al final de la partida, solo una de las dos casillas es roja ı. Demostrar que : p ( E )=0 ; 02 ; p ( F ) = 0 ; 17 . 3 Si las 2 casillas obtenidas son rojas, el jugador recibe 10 e ;; si solo una de las casillas es roja, el jugador recibe 2 e ;; de lo contrario, no recibe nada. X designa la variable aleatoria igual a la ganancia al-gebraica en euros del jugador (recordatorio : el jugador apuesta 1 e ) . a Determinar la ley de probabilidad de X . b Calcular la esperanza matemática de X y dar una in-terpretación. 4 El jugador decide jugar n partidas consecutivas e inde-pendientes ( n designa un número natural mayor o igual a 2 ) a Demuestre que la probabilidad p n de que lance al menos una vez la ruleta B es tal que : p n =1 − (0 ; 9) n . b Justificar que la sucesión de término general p n es con-vergente y precisar su límite. c ¾Cuál es el valor más pequeño del entero n para el que https://chingmath.fr chapExoCorrec/3732 sacados/3732 Polynesie Juin 1999 chapExoCorrec/3145 sacados/3145 ‡ chapExoCorrec/3834 sacados/3834
AB(0ptC(10ptD(0ptE(10ptF(0ptG(10pt891989198919 p n > 0 ; 9 ? E.4142 Durante una epidemia en el ganado bovino, se descubrió que si la enfermedad se diagnos-tica a tiempo en un animal, se puede curar ; de lo contrario, la enfermedad es mortal. Se desarrolla una prueba y se prueba en una muestra de ani-males, de los cuales 1 % son portadores de la enfermedad. Se obtienen los siguientes resultados : si un animal es portador de la enfermedad, la prueba da positivo en 85 % de los casos ; si un animal está sano, la prueba da negativo en 95 % de los casos. Se decide tomar estas frecuencias observadas como probabil-idades para toda la población y utilizar la prueba para la detección preventiva de la enfermedad. Se observa: M el evento : ˇ el animal es portador de la enfermedad ı ; T el evento : ˇ la prueba es positiva ı. 1 Construir un árbol ponderado que modele la situación propuesta. 2 Se elige un animal al azar. a ¾Cuál es la probabilidad de que sea portador de la en-fermedad y que su prueba sea positiva? b Demuestre que la probabilidad de que su prueba sea positiva es 0 ; 058 . 3 Se elige al azar un animal entre aquellos cuya prueba es positiva. ¾Cuál es la probabilidad de que sea portador de la enfermedad? 4 Se eligen cinco animales al azar. El tamaño de este rebaño permite considerar las pruebas como independi-entes y asimilar los sorteos a sorteos con reposición. Se denota por X la variable aleatoria que, a los cinco an-imales seleccionados, asocia el número de animales con resultado positivo en la prueba. a ¾Cuál es la ley de probabilidad seguida por X ? b ¾Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco animales dé positivo en la prueba? 5 El coste de los cuidados que hay que proporcionar a un animal que ha dado positivo en la prueba es de 100 euros y el coste del sacrificio de un animal no detectado por la prueba y que ha desarrollado la enfermedad es de 1 000 euros. Se supone que la prueba es gratuita. Según los datos anteriores, la ley de probabilidad del coste que se debe asumir por cada animal sometido a la prueba se muestra en la siguiente tabla : Coste 0 100 1 000 Probabilidad 0 ; 9405 0 ; 0580 0 ; 0015 a Calcular la esperanza matemática de la variable aleato-ria que asocia a un animal el coste que se incurrirá. b Un ganadero tiene un rebaño de 200 animales. Si todo el rebaño se somete a la prueba, ¾qué suma debe prever incurrir? E.4167 Un jugador lanza una bola que parte de A y debe seguir obligatoriamente una de las ramas indicadas en el árbol que aparece a continuación para llegar a uno de los puntos D , E , F y G . En cada rama del árbol se ha marcado la probabilidad de que la bola la tome después de pasar por un nodo. Los números entre paréntesis indican los puntos ganados por el jugador al pasar la bola. Se denota X la variable aleatoria que corresponde al número total de puntos ganados al final de una partida ; es decir, una vez que la bola ha llegado a D , E , F o G . 1 En esta pregunta, los resultados se esperan en forma frac-cionaria. a Determinar la ley de probabilidad de X . b Calcular la esperanza de X . c Calcular la probabilidad de que la bola haya seguido la rama AC sabiendo que el jugador ha obtenido exac-tamente 10 puntos. 2 El jugador juega 8 partidas y se supone que estas ocho partidas son independientes. Se considera que una par-tida se gana si el jugador obtiene 20 puntos en ella. a Calcular la probabilidad de que gane exactamente 2 partidas. Se dará el resultado redondeado al milésimo. b Calcular la probabilidad de que gane al menos una par-tida. Se dará el resultado redondeado al milésimo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4142 sacados/4142 Antilles-Guyane Septembre 2010 4 points chapExoCorrec/4167 sacados/4167 AB(0ptC(10ptD(0ptE(10ptF(0ptG(10pt891989198919
E.3130 La escena tiene lugar en lo alto de un acantilado junto al mar. Para encontrar una playa y darse un baño, los turistas solo pueden elegir entre dos playas, una al este y otra al oeste. A- Un turista se encuentra dos días consecutivos en lo alto del acantilado. El primer día, elige al azar una de las dos direcciones. El segundo día, se admite que la probabilidad de que elija una dirección opuesta a la del día anterior es 0 ; 8 . Para i =1 o i =2 , anotamos E i el evento : ˇ El turista se dirige hacia el este el día i ı y O i el evento : ˇ El turista se dirige hacia el oeste el día i ı. 1 Elabore un árbol de probabilidades que describa la situación. 2 Determine las siguientes probabilidades : p ( E 1 ) ; p E 1 ( O 2 ) ; p ( E 1 ∩ E 2 ) 3 Calcule la probabilidad de que este turista vaya a la misma playa dos días consecutivos. B- Supongamos ahora que n turistas ( n 3 ) se encuentran un día en lo alto del acantilado. Estos n turistas quieren bañarse y cada uno de ellos elige al azar y de forma independiente una de las dos direcciones. Sea X la variable aleatoria que da el número de estos turistas que eligen la playa del este. 1 Determine la probabilidad de que k turistas ( 0 k n ) salgan en dirección este. 2 Se supone aquí que las dos playas consideradas están de-siertas al principio. Se dice que un turista es feliz si se encuentra solo en una playa. a ¾Puede haber dos turistas felices? b Demuestre que la probabilidad (denotada p ) de que haya un turista feliz entre estos n turistas es : p = n 2 n − 1 c Aplicación numérica : Cuando hay 10 personas en el grupo, expresa la prob-abilidad, redondeada a la centésima, de que haya un turista feliz entre los 10 . 5. Diagramas de Bernoulli y distribución binomial E.4152 Se plantea un cuestionario con cinco preguntas. Para cada una de las cinco preguntas planteadas se proponen tres respuestas ( A , B y C ) , de las cuales sólo una es correcta. Un candidato responde a todas las preguntas planteadas es-cribiendo una palabra de cinco letras como respuesta. Por ejemplo, la palabra ˇ BBAAC ı signifie que el candidato contestó B a la primera y segunda preguntas, A a la tercera y cuarta preguntas y C a la quinta pregunta. 1 a Combien ¾hay posibles respuestas con palabras a este cuestionario? b Se supone que el candidato responde aleatoriamente a cada una de las cinco preguntas de este cuestionario. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos : E : ˇ el candidato tiene exactamente una respuesta correcta. ı. F : ˇ el candidato no tiene una respuesta exacta ı. G : ˇ la respuesta del candidato es un palíndromo ı. (Se precisa que un palíndromo es una palabra que se puede leer indistintamente de izquierda a derecha o de derecha a izquierda : por ejemplo, ˇ BACAB ı es un palíndromo) 2 Un profesor decide someter este cuestionario a sus 28 alumnos y les pide que respondan al azar a cada una de las cinco preguntas del cuestionario. Se designa por X el número de alumnos cuya respuesta no contiene ninguna respuesta exacta. a Justifique que la variable aleatoria X sigue la ley bino-mial de parámetros n =28 y p = 32 243 . b Calcular la probabilidad, redondeada a 10 − 2 , de que como máximo un alumno haya dado solo respuestas falsas. E.4193 Una empresa de transporte desea optimizar los controles para limitar el impacto del fraude y las pérdidas ocasionadas por esta práctica. Esta empresa realiza un estudio basado en dos trayectos diar-ios durante los veinte días laborables de un mes, es decir, un total de cuarenta trayectos. Se admite que los controles son independientes entre sí y que la probabilidad de que cualquier viajero sea controlado es igual a p . El precio de cada trayecto es de diez euros y, en caso de fraude, la multa es de cien euros. Claude comete fraude sistemáticamente durante los cuarenta viajes objeto de este estudio. Sea X i la variable aleatoria que toma el valor 1 si Claude es controlado en el i -ésimo viaje y el valor 0 en caso contrario. Sea X la variable aleatoria definida por: X = X 1 + X 2 + X 3 + · · · + X 40 1 Determinar la ley de probabilidad de X . 2 En esta parte, se supone que p = 1 20 . a Calcular la esperanza matemática de X . b Calcular las probabilidades : P ( X =0) ; P ( X =1) ; P ( X =2) c Calcular, con una precisión de 10 − 4 , la probabilidad de que Claude sea controlado como máximo dos veces. 3 Sea Z la variable aleatoria que toma como valor la ganan-cia algebraica obtenida por el defraudador Justifique la igualdad : Z = 400 − 100 ·X , calcule entonces la expectativa de Z para p = 1 5 . 4 Ahora queremos determinar p para que la probabilidad de que Claude se someta al menos a tres comprobaciones sea mayor que 99 % . a Demuestre que : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3130 sacados/3130 France Septembre 2006 5 points chapExoCorrec/4152 sacados/4152 chapExoCorrec/4193 sacados/4193
P ( X 2) = (1 − p ) 38 · 741 · p 2 + 38 · p + 1 b Soit f la función definida en 0 ; 1 por: f ( x ) = (1 − x ) 38 · 741 · x 2 + 38 · x + 1 Demuestre que f es estrictamente decreciente en [0 ; 1] y que existe un único real x 0 perteneciente al intervalo 0 ; 1 tal que : f ( x 0 )=0 ; 01 Determine el número natural n tal que : n 100 <x 0 < n + 1 100 c En deducir el valor mínimo que debe asignarse a p para que la probabilidad de que Claude sufra al menos tres comprobaciones sea mayor o igual que 99 % . (Vamos a expresar p en función de x 0 ) https://chingmath.fr