a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2
/ Anales sobre secuencias
22 ejercicios (incluyendo 21 corregidos)
a
Estudios en suite
(7 ejercicios)
Secuencias, variaciones y límites
(8 ejercicios)
Secuencias y logaritmos
(4 ejercicios)
Secuencias e integraciones
(2 ejercicios)
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
n
0
1
2
3
4
u
2
4
9
24
63
v
7
14
28
56
Fonction
f(n)
u
0
Pour
i
allant
de
1
à
n
u
·
Fin
pour
Renvoyer
u
Fonction
f(n)
u
0
Pour
i
allant
de
0
à
n
−
1
u
·
Fin
pour
Renvoyer
u
Algorithme
1
Algorithme
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
40
60
80
100
120
140
160
0
0
1
2
2
6
3
12
4
20
5
30
6
42
7
56
8
72
9
90
10
110
11
132
12
156
1.
Estudios
en
suite
E.6762
Sea
u
la
sucesión
definida
p
or
u
0
=
2
y
,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
p
or
:
u
n
+1
=
2
·
u
n
+
2
·
n
2
−
n
Considere
tam
bién
la
sucesión
v
definida,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
p
or
:
v
n
=
u
n
+
2
·
n
2
+
3
·
n
+
5
1
A
quí
tienes
un
extracto
de
una
ho
ja
de
cálculo
:
¾Qué
fórm
ulas
se
han
escrito
en
las
celdas
C2
et
B3
y
se
han
copiado
para
mostrar
los
términos
de
las
sucesiones
u
y
v
?
2
Determine,
con
justificación,
una
expresión
para
v
n
y
u
n
como
función
de
n
solamen
te.
E.6256
Consideramos
la
secuencia
u
n
definida
p
or
:
u
0
=
0
;
u
n
+1
=
u
n
+
2
·
n
+
2
p
our
cualquier
n
∈
N
1
Calculer
u
1
y
u
2
.
2
Considere
las
dos
funciones
siguien
tes,
tomadas
de
algo-
ritmos,
que
toman
como
argumen
to
un
n
úmero
en
tero
n
:
¾Cuál
de
estas
dos
funciones
devuelv
e
el
v
alor
del
término
u
n
de
rango
n
,
el
v
alor
suministrado
como
argumen
to
cuando
se
llama
a
la
función?
3
Utilizando
el
algoritmo,
obtuvimos
la
tabla
y
el
diagrama
de
disp
ersión
que
se
m
uestran
a
con
tin
uación,
donde
n
está
en
el
eje
x
y
u
n
está
en
el
eje
y
.
a
Quelle
¾P
o
demos
hacer
una
conjetura
sobre
la
direc-
ción
de
v
ariación
de
la
secuencia
u
n
?
Dem
uestre
esta
conjetura.
b
La
La
forma
parab
ólica
del
diagrama
de
disp
ersión
nos
llev
a
a
conjeturar
la
existencia
de
tres
n
úmeros
reales
a
,
b
y
c
tales
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
a
·
n
2
+
b
·
n
+
c
.
Dada
esta
conjetura,
halle
los
v
alores
de
a
,
b
y
c
uti-
lizando
la
información
prop
orcionada.
4
On
define,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
la
sucesión
v
n
median
te
:
v
n
=
u
n
+1
−
u
n
a
Exprimer
v
n
como
función
del
n
úmero
natural
n
.
¾Cuál
es
la
naturaleza
de
la
sucesión
v
n
?
b
Definimos,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
S
n
=
n
k
=0
v
k
=
v
0
+
v
1
+
·
·
·
+
v
n
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
S
n
=
(
n
+
1)(
n
+
2)
c
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6762
sacados/6762
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
n
0
1
2
3
4
u
2
4
9
24
63
v
7
14
28
56
chapExoCorrec/6256
sacados/6256
Fonction
f(n)
u
0
Pour
i
allant
de
1
à
n
u
·
Fin
pour
Renvoyer
u
Fonction
f(n)
u
0
Pour
i
allant
de
0
à
n
−
1
u
·
Fin
pour
Renvoyer
u
Algorithme
1
Algorithme
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
40
60
80
100
120
140
160
0
0
1
2
2
6
3
12
4
20
5
30
6
42
7
56
8
72
9
90
10
110
11
132
12
156
S
n
=
u
n
+1
−
u
0
,
y
expresar
u
n
en
función
de
n
.
E.5079
P
arte
A
Consideremos
la
función
f
,
extraída
de
un
algoritmo,
cuy
o
argumen
to
es
un
n
úmero
natural.
Función
f(N)
U
←
0
Para
k
que
va
de
0
a
N
−
1
U
←
3
·
U
−
2
·
k+3
Fin
Para
Devolver
U
¾Cuál
es
el
v
alor
devuelto
p
or
esta
función
cuando
se
llama
con
el
v
alor
3
para
el
argumen
to
N
?
P
arte
B
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
p
or
u
0
=
0
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
3
·
u
n
−
2
·
n
+
3
1
Calcular
u
1
y
u
2
.
2
a
Dem
uestre
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
n
b
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
3
Dem
uestre
que
la
sucesión
u
n
es
crecien
te.
4
Sea
la
sucesión
v
n
definida,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
p
or
v
n
=
u
n
−
n
+
1
.
a
Dem
uestra
que
la
sucesión
v
n
es
una
sucesión
ge-
ométrica.
b
Deduzca
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
3
n
+
n
−
1
5
Sea
p
un
n
úmero
natural
distin
to
de
cero.
a
¾P
or
qué
se
puede
afirmar
que
existe
al
menos
un
n
úmero
en
tero
n
0
tal
que,
para
to
do
n
n
0
,
u
n
10
p
?
Ahora
nos
in
teresamos
p
or
el
en
tero
más
p
equeño
n
0
b
Justificar
que
:
n
0
3
·
p
.
c
Determinar
con
a
yuda
de
la
calculadora
este
en
tero
n
0
para
el
v
alor
p
=
3
.
d
Prop
oner
una
función
que,
para
un
v
alor
p
pasado
como
argumen
to,
devuelv
a
el
v
alor
del
en
tero
más
p
e-
queño
n
0
tal
que,
para
to
do
n
n
0
,
se
tenga
u
n
10
p
.
E.5019
1
Consideremos
la
función
f
,
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
y
que
pro
viene
de
un
algoritmo,
tomando
los
argumen
tos
a
,
b
,
N
de
v
alores
en
teros
distin
tos
de
cero
:
Función
f(a,b,N)
u
←
a
v
←
b
n
←
0
Mientras
n
<
N
n
←
n+
1
u
←
a
+
b
2
v
←
a
2
+
b
2
2
a
←
u
b
←
v
.
Fin
Mientras
Devolver
(
u
;
v
)
Repro
duzca
y
complete
la
siguien
te
tabla,
indicando
los
v
alores
tomados
p
or
las
v
ariables
de
la
función
f
duran
te
una
ejecución
paso
a
paso
y
cuando
la
llamada
se
realiza
con
los
v
alores
a
=
4
,
b
=
9
y
N
=
2
.
Los
v
alores
sucesiv
os
de
u
y
v
se
redondearán
al
milésimo.
n
a
b
u
v
0
4
9
1
2
A
con
tin
uación,
a
y
b
son
dos
n
úmeros
reales
tales
que
0
<
a
<
b
.
Consideramos
las
sucesiones
u
n
y
v
n
definidas
p
or
:
u
0
=
a
,
v
0
=
b
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
u
n
+
v
n
2
;
v
n
+1
=
u
2
n
+
v
2
n
2
2
a
Dem
uestre
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
>
0
;
v
n
>
0
b
Dem
uestre
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
v
2
n
+1
−
u
2
n
+1
=
u
n
−
v
n
2
2
Deduzca
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
ten-
emos
:
u
n
v
n
.
3
a
Dem
uestre
que
la
sucesión
u
n
es
crecien
te.
b
Comparer
v
2
n
+1
y
v
2
n
.
Deduzca
la
dirección
de
v
ariación
de
la
secuencia
v
n
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5079
sacados/5079
Polynesie 2012 5 points
chapExoCorrec/5019
sacados/5019
Asie Juin 2012 5 points
-3
-2
-1
2
3
4
5
6
I
-1
2
3
4
5
6
7
J
O
C
f
E.3836
Consideremos
la
sucesión
de
n
úmeros
reales
u
n
definida
en
N
p
or
:
u
0
=
−
1
u
1
=
1
2
u
n
+2
=
u
n
+1
−
1
4
·
u
n
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
1
Calcular
u
2
y
deducir
que
la
sucesión
u
n
no
es
ni
arit-
mética
ni
geométrica.
2
Definimos
la
sucesión
v
n
estableciendo,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
v
n
=
u
n
+1
−
1
2
·
u
n
a
Calcular
v
0
.
b
Expresar
v
n
+1
en
función
de
v
n
.
c
Deduzca
que
v
n
es
geométrica
de
razón
1
2
.
d
Expresar
v
n
en
función
de
n
.
3
Se
define
la
sucesión
w
n
estableciendo,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
w
n
=
u
n
v
n
a
Calcular
w
0
.
b
Utilizando
la
igualdad
u
n
+1
=
v
n
+
1
2
·
u
n
,
expresar
w
n
+1
en
función
de
u
n
y
de
v
n
.
c
Deduzca
que
para
to
do
n
de
N
:
w
n
+1
=
w
n
+2
.
d
Exprese
w
n
en
función
de
n
.
4
Demostrar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
2
·
n
−
1
2
n
5
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
S
n
=
k
=
n
k
=0
u
k
=
u
0
+
u
1
+
·
·
·
+
u
n
Demostrar
p
or
recurrencia
que
para
to
do
n
∈
N
:
S
n
=
2
−
2
n
+
3
2
n
E.3210
La
sucesión
u
n
está
definida
p
or
:
u
0
=
1
;
u
n
+1
=
1
2
u
n
+
n
−
1
para
to
do
n
∈
N
1
a
Demostrar
que
para
to
do
n
3
:
u
n
0
.
b
Deducir
que
para
to
do
n
4
:
u
n
n
−
2
.
c
Deducir
el
límite
de
la
sucesión
(
u
n
)
.
2
La
sucesión
(
v
n
)
está
definida
p
or
:
v
n
=
4
u
n
−
8
n
+
24
a
Demostrar
que
(
v
n
)
es
una
sucesión
geométrica
decre-
cien
te
cuy
a
razón
y
primer
término
están
dados.
b
Demostrar
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
7
·
1
2
n
+
2
n
−
6
.
c
V
erifique
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
u
n
=
x
n
+
y
n
donde
(
x
n
)
es
una
sucesión
geométrica
y
(
y
n
)
es
una
sucesión
aritmética,
para
cada
una
de
las
cuales
se
deb
e
esp
ecificar
el
primer
término
y
la
razón.
d
A
partir
de
esto,
deduzca
la
expresión
para
S
n
=
n
k
=0
u
k
como
una
función
de
n
.
E.3472
Consideremos
la
sucesión
u
n
n
∈
N
definida
p
or
:
u
0
=
1
u
n
+1
=
1
3
·
u
n
+
n
−
2
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
1
Calcular
u
1
,
u
2
y
u
3
.
2
a
Dem
uestre
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
4
:
u
n
0
.
b
Deduzca
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
5
:
u
n
n
−
3
c
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
u
n
n
∈
N
3
Se
define
la
sucesión
v
n
n
∈
N
p
or
:
P
ara
to
do
n
∈
N
:
v
n
=
−
2
·
u
n
+
3
·
n
−
21
2
.
a
Dem
uestre
que
la
sucesión
v
n
n
∈
N
es
una
sucesión
geométrica
cuy
a
razón
y
primer
término
se
darán
a
cono
cer.
b
Deduzca
que
:
para
to
do
n
∈
N
:
u
n
=
25
4
·
1
3
n
+
3
2
·
n
−
21
4
.
c
Sea
la
suma
S
n
definida
para
to
do
n
úmero
natural
n
p
or
:
S
n
=
n
k
=0
u
k
Determinar
la
expresión
de
S
n
en
función
de
n
.
2.
Se
cuencias,
variaciones
y
límites
E.3415
Consideremos
la
función
f
definida
en
−∞
;
6
p
or
:
f
(
x
)
=
9
6
−
x
Definimos
la
sucesión
U
n
p
or
:
U
0
=
−
3
;
U
n
+1
=
f
U
n
para
to
do
n
∈
N
1
La
curv
a
represen
tativ
a
de
la
función
f
se
m
uestra
a
con-
tin
uación,
jun
to
con
la
de
la
recta
de
ecuación
y
=
x
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3836
sacados/3836
Antilles-Guyanne Septembre 2010 5 points
chapExoCorrec/3210
sacados/3210
Antilles-Guyane Septembre 2005 5 points
chapExoCorrec/3472
sacados/3472
chapExoCorrec/3415
sacados/3415
-3
-2
-1
2
3
4
5
6
I
-1
2
3
4
5
6
7
J
O
C
f
Construy
e,
en
el
sistema
de
co
ordenadas
an
terior,
los
pun
tos
:
M
0
(
U
0
;
0
)
;
M
1
(
U
1
;
0
)
;
M
2
(
U
2
;
0
)
;
M
3
(
U
3
;
0
)
;
M
4
(
U
4
;
0
)
¾Qué
conjeturas
se
pueden
form
ular
con
resp
ecto
al
sen-
tido
de
v
ariación
y
la
p
osible
con
v
ergencia
de
la
sucesión
U
n
?
2
a
Dem
uestra
que
si
x
<
3
en
tonces
9
6
−
x
<
3
.
Deduzca
que
U
n
<
3
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
b
Estudiar
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
U
n
.
c
¾Qué
se
puede
deducir
de
las
pregun
tas
2
a
et
2
b
?
3
Consideremos
la
sucesión
V
n
definida
p
or
V
n
=
1
U
n
−
3
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
a
Dem
uestre
que
la
sucesión
V
n
es
una
sucesión
arit-
mética
de
razón
−
1
3
.
b
Determine
V
n
y
luego
U
n
en
función
de
n
.
c
Calcular
el
límite
de
la
sucesión
U
n
.
E.5864
Consideramos
la
secuencia
u
n
definida
p
or
u
0
=
1
2
y
tal
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
3
·
u
n
1
+
2
·
u
n
1
a
Calculer
u
1
y
u
2
.
b
Démon
trer,
p
or
recurrencia,
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
0
<
u
n
.
2
A
dmitimos
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
<
1
.
a
Démon
trer
que
la
sucesión
u
n
es
crecien
te.
b
Démon
trer
que
la
sucesión
u
n
con
v
erge.
3
Soit
v
n
la
sucesión
definida,
para
cualquier
n
úmero
nat-
ural
n
p
or
:
v
n
=
u
n
1
−
u
n
a
Mon
trer
que
la
sucesión
v
n
es
una
sucesión
ge-
ométrica
de
razón
3
.
b
Exprimer
para
cualquier
n
úmero
natural
n
,
v
n
como
función
de
n
.
c
En
deducir
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
3
n
3
n
+
1
d
Déterminer
el
límite
de
la
secuencia
u
n
.
E.3474
Sea
f
la
función
definida
en
el
in
terv
alo
0
;
+
∞
p
or
:
f
(
x
)
=
6
−
5
x
+
1
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
las
sucesiones
u
n
definidas
p
or
un
primer
término
p
ositiv
o
o
n
ulo
u
0
y
que
cumplen
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
f
(
u
n
)
1
Estudio
de
las
propiedades
de
la
función
f
:
a
Estudiar
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
función
f
en
el
in
terv
alo
0
;
+
∞
.
b
Resolv
er
en
el
in
terv
alo
0
;
+
∞
la
ecuación
:
f
(
x
)
=
x
.
Se
denota
¸
la
solución.
c
Demostrar
que
si
x
p
ertenece
al
in
terv
alo
0
;
¸
,
en-
tonces
f
(
x
)
p
ertenece
al
in
terv
alo
0
;
¸
.
Del
mismo
mo
do,
dem
uestre
que
si
x
p
ertenece
al
in-
terv
alo
¸
;
+
∞
,
en
tonces
f
(
x
)
p
ertenece
al
in
terv
alo
¸
;
+
∞
.
2
Estudio
de
la
sucesión
u
n
para
u
0
=
0
:
En
esta
pregun
ta,
se
considera
la
sucesión
u
n
definida
p
or
u
0
=
0
y
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
f
u
n
=
6
−
5
u
n
+
1
a
En
el
gráfico
represen
tado
en
el
anexo
2,
se
represen
tan
las
curv
as
de
las
ecuaciones
y
=
x
y
y
=
f
(
x
)
.
Colo
car
el
pun
to
A
0
con
co
ordenadas
(
u
0
;
0
)
y
,
uti-
lizando
estas
curv
as,
construir
a
partir
de
A
0
los
pun-
tos
A
1
,
A
2
,
A
3
y
A
4
de
ordenadas
n
ulas
y
abscisas
resp
ectiv
as
u
1
,
u
2
,
u
3
y
u
4
.
¾Qué
conjeturas
se
pueden
hacer
sobre
el
sen
tido
de
v
ariación
y
la
con
v
ergencia
de
la
sucesión
u
n
?
b
Dem
uestre,
p
or
recurrencia,
que,
para
to
do
n
úmero
natural
:
0
u
n
u
n
+1
¸
.
c
Deduzca
que
la
sucesión
u
n
es
con
v
ergen
te
y
deter-
mine
su
límite.
3
Estudio
de
las
sucesiones
u
n
según
los
v
alores
del
real
p
ositiv
o
o
n
ulo
u
0
.
En
esta
pregun
ta,
se
tendrá
en
cuen
ta
en
la
ev
aluación
cualquier
rastro
de
argumen
tación,
aunque
sea
incom-
pleta,
o
de
iniciativ
a,
aunque
no
sea
fructífera.
¾Qué
se
puede
decir
del
sen
tido
de
v
ariación
y
de
la
con-
v
ergencia
de
la
sucesión
u
n
según
los
v
alores
del
real
p
ositiv
o
o
n
ulo
u
0
?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5864
sacados/5864
chapExoCorrec/3474
sacados/3474
2
3
4
5
6
7
8
9
I
2
3
4
5
6
7
8
9
J
O
C
E.6269
Consideremos
la
sucesión
n
umérica
u
n
definida
en
N
p
or
:
u
0
=
2
;
u
n
+1
=
−
1
2
·
u
2
n
+
3
·
u
n
−
3
2
para
to
do
n
∈
N
P
arte
A
:
Conjetura
1
Calcular
los
v
alores
exactos,
dados
en
fracciones
irre-
ducibles,
de
u
1
y
u
2
.
2
Dar
un
v
alor
apro
ximado
a
10
−
5
cerca
de
los
términos
u
3
y
u
4
.
3
Conjeturar
el
sen
tido
de
v
ariación
y
la
con
v
ergencia
de
la
sucesión
u
n
.
P
arte
B
:
V
alidación
de
las
conjeturas
Consideremos
la
sucesión
n
umérica
v
n
definida
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
p
or
:
v
n
=
u
n
−
3
1
Dem
uestra
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
v
n
+1
=
−
1
2
·
v
2
n
.
2
Dem
uestre
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
natu-
ral
n
:
−
1
v
n
0
.
3
a
Dem
uestre
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
v
n
+1
−
v
n
=
−
v
n
·
1
2
·
v
n
+
1
.
b
Deduzca
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
v
n
.
4
¾P
or
qué
se
puede
afirmar
en
tonces
que
la
sucesión
v
n
con
v
erge?
5
Se
denota
‘
el
límite
de
la
sucesión
v
n
.
A
dmitimos
que
‘
p
ertenece
al
in
terv
alo
−
1
;
0
y
v
erifi-
camos
la
igualdad
:
‘
=
−
1
2
·
‘
2
.
Determinar
el
v
alor
de
‘
.
6
¾Se
v
alidan
las
conjeturas
realizadas
en
la
parte
A
.
E.6763
P
arte
A
Sea
u
n
la
sucesión
definida
p
or
su
primer
término
u
0
y
,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
p
or
la
relación
:
u
n
+1
=
a
·
u
n
+
b
(
a
y
b
r
e
ales
distintos
de
c
er
o
tales
que
a
=
1
)
Se
establece,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
v
n
=
u
n
−
b
1
−
a
1
Demostrar
que
la
sucesión
v
n
es
geométrica
de
razón
a
.
2
Deduzca
que
si
a
p
ertenece
al
in
terv
alo
−
1
;
1
,
en
tonces
la
sucesión
u
n
tiene
como
límite
b
1
−
a
.
P
arte
B
En
marzo
2015
,
Max
compra
una
plan
ta
v
erde
que
mide
80
cm
.
Le
aconsejan
p
o
darla
cada
año,
en
marzo,
cortando
una
cuarta
parte
de
su
altura.
La
plan
ta
crecerá
en
tonces
30
cm
duran
te
los
do
ce
meses
siguien
tes.
En
cuan
to
llega
a
casa,
Max
p
o
da
su
plan
ta.
1
¾Cuál
será
la
altura
de
la
plan
ta
en
marzo
2016
an
tes
de
que
Max
la
p
o
de?
2
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
anotamos
h
n
la
altura
de
la
plan
ta,
an
tes
de
p
o
darla,
en
marzo
del
año
(2015+
n
)
.
a
Justificar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
h
n
+1
=
0
;
75
·
h
n
+
30
b
Conjeturar
con
a
yuda
de
la
calculadora
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
h
n
.
Demostrar
esta
conje-
tura
(se
pue
de
utilizar
un
r
azonamiento
p
or
r
e
curr
en-
cia)
.
c
¾Es
con
v
ergen
te
la
sucesión
h
n
?
Justificar
la
re-
spuesta.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
2
3
4
5
6
7
8
9
I
2
3
4
5
6
7
8
9
J
O
C
chapExoCorrec/6269
sacados/6269
chapExoCorrec/6763
sacados/6763
K
W
U
V
0
1
2
E.6962
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
las
sucesiones
de
términos
p
ositiv
os
cuy
o
primer
tér-
mino
u
0
es
estrictamen
te
sup
erior
a
1
y
que
p
oseen
la
siguien
te
propiedad
:
para
cualquier
n
úmero
natural
n
>
0
,
la
suma
de
los
n
primeros
términos
consecutiv
os
es
igual
al
pro
ducto
de
los
n
primeros
términos
consecutiv
os.
Se
admite
que
existe
tal
sucesión
y
se
denota
p
or
u
n
.
P
or
lo
tan
to,
v
erifica
tres
propiedades
:
u
0
>
1
para
to
do
n
0
,
u
n
0
para
to
do
n
>
0
:
u
0
+
u
1
+
···
+
u
n
−
1
=
u
0
×
u
1
×···
×
u
n
−
1
1
Se
elige
u
0
=
3
.
Determinar
u
1
y
u
2
.
2
P
ara
to
do
en
tero
n
>
0
,
se
anota
:
s
n
=
u
0
+
u
1
+
···
+
u
n
−
1
=
u
0
×
u
1
×···
×
u
n
−
1
.
En
particular,
tenemos
s
1
=
u
0
.
a
V
erificar
que
para
to
do
en
tero
n
>
0
:
s
n
+1
=
s
n
+
u
n
y
s
n
>
1
.
b
Deduzca
que
para
to
do
en
tero
n
>
0
:
u
n
=
s
n
s
n
−
1
c
Dem
uestre
que
para
to
do
n
0
:
u
n
>
1
.
3
Se
desea
que
la
función
f
siguien
te
devuelv
a
el
v
alor
de
uno
de
los
términos
de
la
sucesión
u
n
,
donde
los
ar-
gumen
tos
u
et
n
de
la
función
son,
resp
ectiv
amen
te,
el
primer
término
de
la
sucesión
u
n
y
el
rango
del
tér-
mino
deseado.
Función
f(u,n)
s
←
u
Para
i
que
va
de
1
a
n
u
←
...
s
←
...
Fin
para
Devolver
u
a
Copiar
y
completar
la
parte
del
algoritmo
an
terior
rel-
ativ
a
al
tratamien
to
b
La
tabla
siguien
te
m
uestra
v
alores
redondeados
a
milésimas
de
u
n
para
diferen
tes
v
alores
del
en
tero
n
:
n
0
5
10
20
30
40
u
n
3
1
;
140
1
;
079
1
;
043
1
;
030
1
;
023
¾Qué
conjetura
se
puede
hacer
sobre
la
con
v
ergencia
de
la
sucesión
u
n
?
4
a
Justifique
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
>
0
:
s
n
>
n
.
b
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
s
n
y
luego
el
de
la
sucesión
u
n
.
E.5854
Sean
dos
sucesiones
u
n
y
v
n
definidas
p
or
u
0
=
2
y
v
0
=
10
y
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
=
2
·
u
n
+
v
n
3
;
v
n
+1
=
u
n
+
3
·
v
n
4
P
arte
A
Consideremos
la
función
f
ex-
traída
de
un
algoritmo
en
el
que
su
argumen
to
n
es
un
en
tero
ma
y
or
o
igual
que
1
:
Se
llama
a
la
función
f
con
el
v
alor
n
=
2
.
como
argumen
to.
Copie
y
complete
la
tabla
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
con
el
es-
tado
de
las
v
ariables
actuales
de
esta
llamada
:
Función
f(n)
K
←
0
U
←
2
V
←
10
Mientras
K
<
n
K
←
K+1
W
←
U
U
←
2
·
U+V
3
V
←
W
+
3
·
V
4
Fin
mientras
Devolver
(
U
;
V
)
P
arte
B
1
a
Demostrar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
v
n
+1
−
u
n
+1
=
5
12
·
v
n
−
u
n
b
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
w
n
=
v
n
−
u
n
.
Demostrar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
w
n
=
8
·
5
12
n
.
2
a
Demostrar
que
la
sucesión
u
n
es
crecien
te
y
que
la
sucesión
v
n
es
decrecien
te.
b
Deduzca
de
los
resultados
de
las
pregun
tas
1
b
y
2
a
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
10
;
v
n
2
c
Deduzca
que
las
sucesiones
u
n
y
v
n
son
con
v
er-
gen
tes.
3
Demostrar
que
las
sucesiones
u
n
y
v
n
tienen
el
mismo
límite.
4
Dem
uestra
que
la
sucesión
t
n
definida
p
or
t
n
=
3
·
u
n
+
4
·
v
n
es
constan
te.
Deduzca
que
el
límite
com
ún
de
las
sucesiones
u
n
y
v
n
es
46
7
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6962
sacados/6962
chapExoCorrec/5854
sacados/5854
K
W
U
V
0
1
2
E.5077
El
ob
jetiv
o
de
este
ejercicio
es
estudiar
la
sucesión
u
n
definida
p
or
:
u
0
=
3
;
u
n
+1
=
1
2
·
u
n
+
7
u
n
para
to
do
n
∈
N
Se
puede
utilizar
sin
demostración
el
hec
ho
de
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
u
n
>
0
.
1
Se
designa
p
or
f
la
función
definida
en
el
in
terv
alo
0
;
+
∞
p
or
:
f
(
x
)
=
1
2
·
x
+
7
x
(
∗
)
Demostrar
que
la
función
f
admite
un
mínimo.
Deducir
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
u
n
√
7
2
a
Sea
n
un
n
úmero
natural
cualquiera.
Estudiar
el
signo
de
u
n
+1
−
u
n
.
b
¾P
or
qué
se
puede
deducir
que
la
sucesión
u
n
es
con-
v
ergen
te?
c
De
la
relación
(
∗
)
se
deduce
que
el
límite
‘
de
esta
sucesión
es
tal
que
:
‘
=
1
2
·
‘
+
7
‘
.
Determinar
‘
.
3
Demostrar
que
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
+1
−
7
=
1
2
·
u
n
−
7
2
u
n
4
Se
define
la
sucesión
d
n
p
or
:
d
0
=
1
;
d
n
+1
=
1
2
·
d
n
2
para
to
do
n
∈
N
a
Dem
uestre
p
or
recurrencia
que
para
to
do
n
úmero
nat-
ural
n
:
u
n
−
7
d
n
b
Esta
es
una
función
deriv
ada
de
un
algoritmo
que
toma
como
argumen
to
p
,
que
es
un
n
úmero
natural.
Función
f(p)
d
←
1
n
←
0
Mientras
d
>
10
−
p
d
←
0;5
·
d
2
n
←
n+1
Fin
Mientras
Devolver
n
Al
llamar
a
la
función
con
el
v
alor
9
,
el
v
alor
devuelto
es
el
n
úmero
5
.
¾Qué
desigualdad
se
puede
deducir
para
d
5
?
Justifica
que
u
5
es
un
v
alor
apro
ximado
de
7
con
una
precisión
de
10
−
9
.
3.
Se
cuencias
y
lo
garitmos
E.5966
P
arte
A
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
p
or
:
u
0
=
2
;
u
n
+1
=
1
+
3
u
n
3
+
u
n
para
to
do
n
úmero
natural
n
Sup
ongamos
que
to
dos
los
términos
de
esta
sucesión
están
definidos
y
son
estrictamen
te
p
ositiv
os.
1
Demostrar
p
or
recurrencia
que,
para
to
do
n
úmero
natu-
ral
n
,
se
tiene
:
u
n
>
1
2
a
Establecer
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
+1
−
u
n
=
(1
−
u
n
)(1
+
u
n
)
3
+
u
n
b
Determinar
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
u
n
.
Deduzca
que
la
sucesión
u
n
con
v
erge.
P
arte
B
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
p
or
:
u
0
=
2
;
u
n
+1
=
1
+
0
;
5
u
n
0
;
5
+
u
n
para
to
do
n
úmero
natural
n
.
Se
admite
que
to
dos
los
términos
de
esta
sucesión
están
definidos
y
son
estrictamen
te
p
ositiv
os.
1
Consideremos
el
siguien
te
algoritmo
:
u
←
2
Para
i
que
va
de
1
a
n
u
←
1+0;5u
0;5+u
Fin
Para
Repro
duzca
y
complete
la
tabla
siguien
te
indicando
los
v
alores
que
toman
las
v
ariables
i
et
u
duran
te
la
ejecu-
ción
paso
a
paso
de
este
algoritmo.
Los
v
alores
de
u
se
redondearán
al
milésimo.
i
1
2
3
u
2
P
ara
n
=
12
,
hemos
ampliado
la
tabla
an
terior
y
hemos
obtenido
:
i
4
5
6
7
8
9
10
11
12
u
1
,
0083
0
,
9973
1
,
0009
0
,
9997
1
,
0001
0
,
99997
1
,
00001
0
,
999996
1
,
000001
Conjeturar
el
comp
ortamien
to
de
la
sucesión
u
n
hasta
el
infinito.
3
Consideramos
la
sucesión
v
n
definida,
para
to
do
n
úmero
natural
n
p
or
:
v
n
=
u
n
−
1
u
n
+
1
a
Dem
uestra
que
la
sucesión
v
n
es
geométrica
de
razón
−
1
3
.
b
Calcular
v
0
y
escribir
v
n
en
función
de
n
.
4
a
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
v
n
=
1
.
b
Dem
uestra
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
tiene
:
u
n
=
1
+
v
n
1
−
v
n
c
Determina
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5077
sacados/5077
Metropole Septembre 2012 5 points
chapExoCorrec/5966
sacados/5966
E.6264
Se
administra
a
un
pacien
te
un
medicamen
to
median
te
in
y
ección
in
tra
v
enosa.
La
can
tidad
de
medicamen
to
en
la
sangre
dismin
uy
e
con
el
tiemp
o.
El
ob
jetiv
o
del
ejercicio
es
estudiar,
para
diferen
tes
hip
ótesis,
la
ev
olución
de
esta
can
tidad
min
uto
a
min
uto.
1
Se
realiza
en
este
momen
to
0
una
in
y
ección
de
10
m‘
de
medicamen
to.
Se
estima
que
20
%
del
medicamen
to
se
elimina
p
or
min
uto.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
anota
u
n
la
can
tidad
de
medicamen
to,
en
m‘
,
que
p
er-
manece
en
la
sangre
al
cab
o
de
n
min
utos.
Así,
u
0
=
10
.
a
¾Cuál
es
la
naturaleza
de
la
sucesión
u
n
?
b
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
da
la
expresión
de
u
n
en
función
de
n
.
c
¾Después
de
cuán
to
tiemp
o
la
can
tidad
de
medica-
men
to
que
queda
en
la
sangre
es
inferior
al
1
%
de
la
can
tidad
inicial?
Justifica
la
respuesta.
2
Una
máquina
realiza
en
el
instan
te
0
una
in
y
ección
de
10
m‘
de
medicamen
to.
Se
estima
que
20
%
del
medica-
men
to
se
elimina
p
or
min
uto.
Cuando
la
can
tidad
de
medicamen
to
cae
p
or
deba
jo
de
5
m‘
,
la
máquina
vuelv
e
a
in
y
ectar
4
m‘
de
pro
ducto
Al
cab
o
de
15
min
utos,
se
detiene
la
máquina.
P
ara
cualquier
n
úmero
natural
n
,
se
anota
v
n
la
can
ti-
dad
de
medicamen
to,
en
m‘
,
que
queda
en
la
sangre
en
el
min
uto
n
.
El
siguien
te
algoritmo
p
ermite,
a
tra
v
és
de
los
v
alores
tomados
p
or
la
v
ariable
v
,
,
obtener
la
can
tidad
restan
te
de
medicamen
to,
min
uto
a
min
uto.
v
←
10
Para
n
que
va
de
1
a
15
v
←
0;8
×
v
Si
v<5
Entonces
v
←
v+4
Fin
Si
Fin
Para
a
Calcular
los
elemen
tos
que
faltan
en
la
tabla
siguien
te,
redondeando
a
10
−
2
y
para
n
ma
y
or
o
igual
que
1
,
la
can
tidad
restan
te
de
medicamen
to,
min
uto
a
min
uto,
obtenida
con
el
algoritmo.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
v
n
10
8
6
;
4
8
;
15
n
8
9
10
11
12
13
14
15
v
n
6
;
52
5
;
21
8
;
17
6
;
54
5
;
23
8
;
18
6
;
55
5
;
24
b
Al
cab
o
de
15
min
utos,
¾qué
can
tidad
total
de
medica-
men
to
se
ha
in
y
ectado
en
el
organismo?
c
Se
desea
programar
la
máquina
para
que
in
y
ecte
2
m‘
de
pro
ducto
cuando
la
can
tidad
de
medicamen
to
en
la
sangre
sea
inferior
o
igual
a
6
m‘
y
que
se
detenga
al
cab
o
de
30
min
utos.
Copie
el
algoritmo
an
terior
mo
dificándolo
para
que,
al
final
de
la
ejecución,
el
v
alor
de
la
v
ariable
b
sea
la
can-
tidad
de
medicamen
to,
en
m‘
,
que
queda
en
la
sangre,
min
uto
a
min
uto,
con
este
n
uev
o
proto
colo
3
Programamos
la
máquina
de
manera
que
:
en
el
instan
te
0
,
in
y
ecte
10
m‘
de
medicamen
to,
cada
min
uto,
in
y
ecte
1
m‘
de
medicamen
to.
Se
estima
que
20
%
del
medicamen
to
presen
te
en
la
san-
gre
se
elimina
p
or
min
uto.
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
anota
w
n
la
can
tidad
de
medicamen
to,
en
m‘
,
presen
te
en
la
sangre
del
pacien
te
al
cab
o
de
n
min
utos.
a
Justificar
que
para
to
do
n
úmero
natural
n
:
w
n
+1
=
0
;
8
·
w
n
+
1
.
b
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
:
z
n
=
w
n
−
5
.
Dem
uestre
que
z
n
es
una
sucesión
geométrica
cuy
a
razón
y
primer
término
se
esp
ecificarán.
c
Deduzca
la
expresión
de
w
n
en
función
de
n
.
d
¾Cuál
es
el
límite
de
la
sucesión
w
n
?
¾Qué
in
ter-
pretación
se
le
puede
dar?
E.3234
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
,
se
establece
u
n
=
n
10
2
n
.
De
este
mo
do,
se
define
una
sucesión
u
n
n
∈
N
1
Dem
uestre,
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
la
siguien
te
equiv
alencia
:
u
n
+1
0
;
95
u
n
si,
y
solo
si,
1+
1
n
10
1
;
9
2
Consideramos
la
función
f
definida
en
1
;
+
∞
p
or
:
f
(
x
)
=
1
+
1
x
10
a
Estudiar
el
sen
tido
de
v
ariación
y
el
límite
en
+
∞
de
la
función
f
.
b
Demostrar
que
existe
en
el
in
terv
alo
1
;
+
∞
un
único
n
úmero
real
¸
tal
que
f
(
¸
)
=
1
;
9
.
c
Determinar
el
n
úmero
natural
n
0
tal
que
n
0
−
1
¸
n
0
.
d
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
ma
y
or
o
igual
que
16
,
se
tiene
:
1
+
1
n
10
1
;
9
.
3
a
Determinar
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
(
u
n
)
a
partir
del
rango
16
.
b
¾Qué
se
puede
deducir
para
la
sucesión?
4
Utilizando
un
razonamien
to
p
or
recurrencia,
demostrar,
para
to
do
n
úmero
natural
n
ma
y
or
o
igual
a
16,
el
sigu-
ien
te
enmarcado
:
0
u
n
0
;
95
n
−
16
·
u
16
Deducir
el
límite
de
la
sucesión
u
n
n
∈
N
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6264
sacados/6264
chapExoCorrec/3234
sacados/3234
E.3267
1
Sea
u
la
sucesión
definida
p
or
:
u
0
=
0
u
n
+1
=
1
2
−
u
n
para
cualquier
n
úmero
natural
n
.
a
Calcule
u
1
,
u
2
y
u
3
.
Expresa
cada
uno
de
estos
térmi-
nos
como
una
fracción
irreducible.
b
Compara
los
cuatro
primeros
términos
de
la
sucesión
u
con
los
cuatro
primeros
términos
de
la
sucesión
w
definida
en
N
p
or
:
w
n
=
n
n
+
1
.
c
Utilizando
el
razonamien
to
p
or
recurrencia,
dem
uestre
que,
para
cualquier
n
úmero
natural
n
:
u
n
=
w
n
.
2
Sea
v
la
sucesión
con
término
general
v
n
definida
p
or
:
v
n
=
ln
n
n
+
1
donde
ln
denota
la
función
logaritmo
natural
:
a
Dem
uestre
que
:
v
1
+
v
2
+
v
3
=
−
ln
4
b
Sea
S
n
la
suma
definida
para
cualquier
n
úmero
natural
distin
to
de
cero
n
p
or
:
S
n
=
v
1
+
v
2
+
·
·
·
+
v
n
Exprese
S
n
como
función
de
n
.
Determine
el
límite
de
S
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
4.
Se
cuencias
e
inte
gr
aciones
E.3161
Consideremos
las
sucesiones
u
n
y
v
n
definidas,
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
p
or
:
u
1
=
1
u
n
=
u
n
−
1
+
1
n
p
our
n
2
;
v
n
=
u
n
−
ln
n
para
n
1
1
a
Calcular
u
2
,
u
3
y
u
4
.
b
Dem
uestre
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero
:
u
n
=
n
k
=1
1
k
2
a
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
k
distin
to
de
cero
:
1
k
+
1
k
+1
k
1
x
d
x
1
k
b
De
ello
se
deduce
que,
para
to
do
en
tero
n
ma
y
or
o
igual
que
2
,
se
cumplen
las
siguien
tes
desigualdades
:
u
n
−
1
ln
n
u
n
−
1
n
;
0
v
n
1
3
a
Demostrar
que,
para
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero
:
v
n
+1
−
v
n
=
1
n
+
1
−
n
+1
n
1
x
d
x
b
Deduzca
el
sen
tido
de
las
v
ariaciones
de
la
sucesión
(
v
n
)
.
4
Dem
uestre
que
la
sucesión
(
v
n
)
con
v
erge.
Denotemos
p
or
‚
el
límite
de
la
sucesión
(
v
n
)
(no
intentar
emos
c
alcular
‚
)
.
¾Cuál
es
el
límite
de
la
sucesión
(
u
n
)
?
E.3144
1
P
ara
to
do
n
úmero
natural
n
distin
to
de
cero,
consider-
amos
la
función
f
n
definida
en
0
;
+
∞
p
or
:
f
n
(
x
)
=
ln
x
+
x
n
−
1
a
Determine
los
límites
de
f
n
en
0
y
en
+
∞
y
,
a
con
tin-
uación,
estudie
el
sen
tido
de
las
v
ariaciones
de
f
n
.
b
Dem
uestre
que
la
ecuación
f
n
(
x
)
=
0
admite
una
única
solución
en
0
;
+
∞
.
Denotemos
¸
n
esta
solución.
De-
m
uestre
que
p
ertenece
al
in
terv
alo
1
;
e
.
2
El
plano
se
refiere
a
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Denotemos
(Γ)
la
curv
a
represen-
tativ
a
de
la
función
logaritmo
natural.
a
Sea
n
un
n
úmero
natural
distin
to
de
cero.
Determinar
una
ecuación
de
la
recta
Δ
n
que
pasa
p
or
el
pun
to
A
de
co
ordenadas
(
0
;
1
)
y
el
pun
to
B
n
de
co
ordenadas
(
n
;
0
)
.
b
Haga
un
b
o
ceto
que
represen
te
la
curv
a
(Γ)
y
las
rectas
Δ
1
,
Δ
2
y
Δ
3
.
c
Dem
uestre
que
¸
n
es
la
abscisa
del
pun
to
de
in
tersec-
ción
de
(Γ)
con
Δ
n
.
d
Esp
ecifique
el
v
alor
de
¸
1
y
luego
haga
una
conjetura
sobre
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
¸
n
)
.
3
a
Expresar
ln
(
¸
n
)
en
función
de
n
y
¸
n
.
b
Expresar
f
n
+1
(
¸
n
)
en
función
de
n
y
¸
n
y
comprobar
que
:
f
n
+1
(
¸
n
)
<
0
c
Deduce
de
la
pregun
ta
an
terior
el
sen
tido
de
v
ariación
de
la
sucesión
(
¸
n
)
.
d
Dem
uestra
que
la
sucesión
(
¸
n
)
con
v
erge.
Denota
‘
su
límite.
Establece
que
ln
‘
=
1
y
deduce
el
v
alor
de
‘
.
4
Denotemos
p
or
D
n
el
dominio
delimitado
p
or
la
curv
a
(Γ)
,
el
eje
de
abscisas
y
las
rectas
de
ecuación
:
x
=
¸
n
y
x
=
e
.
a
Calcular
el
área
del
dominio
D
n
en
función
de
¸
n
y
demostrar
que
esta
área
es
igual
a
¸
2
n
n
.
b
Establecer
que
:
(e
−
¸
n
)ln
¸
n
¸
2
n
n
(e
−
¸
n
)
c
Deduzca
un
encuadre
de
n
(e
−
¸
n
)
.
d
¾Es
con
v
ergen
te
la
sucesión
de
término
general
n
(e
−
¸
n
)
?
¾P
ermite
este
resultado
apreciar
la
rapidez
de
la
con
v
ergencia
de
la
sucesión
(
¸
n
)
?
5.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3267
sacados/3267
chapExoCorrec/3161
sacados/3161
chapExoCorrec/3144
sacados/3144
E.8144
P
olinesia
junio
de
2018
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/8144
ChingMath
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©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
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Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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