Bachillerato 2 / Cálculo integral 56 ejercicios (incluyendo 55 corregidos)

a
IJOfx−x2CfIJOfx−x2CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOfx↦−x2CfIJOfx↦−x2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n ijijCfS(x0x0 ijijCfx0x0h A1A3ijA2 1. Introducción E.3921 Consideremos la función cuadrada, denotada f y su curva C f representativa en el sistema de referencia O ; I ; J . Se construyen rectángulos para ˇ remplir ı l el área compren-dida entre la curva C f y el eje x. Las dos representaciones siguientes comparten el intervalo 0 ; 1 en n parties iguales formando rectángulos de la misma anchura : para la figura de la izquierda n =5 ; la figura de la derecha representa una figura cualquiera. Parte A : n =5 Denotamos A 5 el área sombreada bajo la curva. 1 Justifica la igualdad : A 5 = 4 k =0 1 5 · k 5 2 2 Establecer la igualdad : A 5 = 6 25 Parte B: en el caso general. n es un número natural mayor o igual que 2 . Denotamos A n el área sombreada bajo la curva C f lorsque igual al segmento [0 ; 1] est dividido entre n parties. Se supone que esta área tiene el valor: A n = n − 1 k =1 1 n · k n 2 1 Utilizando el razonamiento por recurrencia, establece la siguiente igualdad para cualquier número natural n tal que n 2 : n − 1 k =1 k 2 = ( n − 1) · n · (2 n − 1) 6 2 Deduce la siguiente igualdad : A n = ( n − 1) · n · (2 n − 1) 6 · n 3 3 a Determine el valor del límite: lim n ↦→ + ∞ 2 n 3 − 3 n 2 + n 6 n 3 b Deduzca la medida del área comprendida entre : verticalmente : entre las dos rectas de ecuaciones x =0 y x =1 . horizontalmente : entre la curva C f y la recta de ecuación y =0 . E.3922 Sea f una función continua, estricta-mente creciente en R + . Denotemos por C f su curva represen-tativa en un sistema de coordenadas ortonormales. Para a ∈ R + , denotamos S ( a ) el área comprendida : verticalmente : entre las rectas de ecuaciones : x =0 y x = a ; horizontalmente : entre la curva C f y la recta de ecuación y =0 . La figura de la izquierda muestra la imagen de x 0 mediante la función S : Queremos determinar la función derivada de la función S . Para ello, consideramos el número real h donde h> 0 y la figura de la derecha arriba. 1 Esta representación destaca las tres áreas siguientes : ¾Cuál de estas áreas representa el área definida por: S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) 2 a Comparar las tres áreas A 1 , A 2 et A 3 . b Indique un límite de la diferencia siguiente, utilizando la función f , de x 0 y de h : S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) 3 Deducir el siguiente límite: lim h ↦→ 0 + S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) h = f x 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3921 sacados/3921 IJOfx−x2CfIJOfx−x2CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOfx↦−x2CfIJOfx↦−x2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n chapExoCorrec/3922 sacados/3922 ijijCfS(x0x0 ijijCfx0x0h A1A3ijA2
IJOC ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3 IJOFigure1CfIJOFigure1CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOFigure2CfIJOFigure2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n 123456ABCDEFGn=6012345A= E.6010 Sea f la función definida y deriv-able en R . Observemos C su curva representativa en el plano provisto de una referencia O ; −→ i ; −→ j . En los gráficos siguientes, hemos representado la curva C y otras tres curvas C 1 , C 2 , C 3 con la tangente en su punto de abscisa 0 . 1 Dar por lectura gráfica, el signo de f ( x ) según los valores de x . 2 Denotamos por F una función que verifica la siguiente condición : F = f (i. e. ∀ x ∈D f ; F ( x )= f ( x ) ) . a Utilizando la curva C , determina F (0) y F ( − 2) . b Una de las curvas C 1 , C 2 , C 3 es la curva representativa de la función F . Determina cuál, justificando la eliminación de las otras dos. 2. Primeras manipulaciones de primitivas E.5231 Sea f una función estrictamente positiva sobre el intervalo a ; b . Consideremos la función F definida en a ; b por la relación: F ( x ) = x a f ( t ) d t 1 Elabora la tabla de variaciones de la función F en el intervalo a ; b . 2 Justifica la existencia de un único real x 0 verificando : F ( x 0 ) = 1 2 · F ( b ) E.6756 Consideremos la función cuadrática, de-notada f , y su curva representativa C f en el sistema de coor-denadas O ; I ; J . Construimos rectángulos para ˇ llenar ı el área situada entre la curva C f y el eje de abscisas. Las dos representaciones siguientes comparten el intervalo 0 ; 1 en n partes iguales que forman rectángulos de la misma anchura : para la figura de la izquierda n =5 ; la figura de la derecha representa una figura cualquiera. Parte A : n =5 En la figura 1 , se indica A 5 el área de la parte sombreada. 1 Justificar la igualdad : A 5 = 4 k =0 1 5 · k 5 2 2 Establecer la igualdad : A 5 = 6 25 Parte B: con OpenCal 1 a En una nueva hoja de cálculo, introduzca los sigu-ientes valores: b Introduzca en la celda A4 la fórmula : =1/$B$1*(A3/$B$1)^2 Extienda esta fórmula al rango A4:F4 . c Escriba una fórmula en la celda B6 que dé la suma de los valores presentes en la línea 4 . d Justifique que este valor es el valor aproximado de A 6 . 2 Modifique su hoja de cálculo para calcular A 7 . 3 Haga lo mismo para obtener un valor aproximado de A 50 . 3. Cálculo de superficies https://chingmath.fr chapExoCorrec/6010 sacados/6010 IJOC ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3 chapExoCorrec/5231 sacados/5231 chapExoCorrec/6756 sacados/6756 IJOFigure1CfIJOFigure1CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOFigure2CfIJOFigure2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n 123456ABCDEFGn=6012345A=
Cf234I234JO 00,20,40,60,811,20,20,40,60,8Cf 1x0x15 0120,10,20,3AC E.3929 Consideremos la función f , definida en 0 ; 4 , cuya repre-sentación gráfica se da a con-tinuación : Determine un marco para laıintegral: 4 0 f ( x ) d x E.6922 El plano está provisto de un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Consideremos una función f definida en R y cuya curva C f se muestra a continuación : Con ayuda de la gráfica y explicando el procedimiento, propón un marco con una amplitud de 0 ; 05 del área del dominio de-limitado por: las rectas con ecuaciones x =0 y x =1 ; la curva C f y el eje x E.5224 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 1 2 · x 2 − 3 x + 4 1 Determina el valor de la integral: 5 1 f ( x ) d x . 2 A continuación se da la curva C f representativa de la fun-ción f en un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J : Deseamos determinar el valor del área de la parte que aparece en gris. a Determina los ceros de la función f que denotaremos x 0 y x 1 tales que x 0 <x 1 . b Determine el valor de : x 0 1 f ( x ) d x + 5 x 1 f ( x ) d x c Determine el valor de : x 1 x 0 f ( x ) d x d Deduce el área, en unidades de área, de la parte som-breada. E.3975 Sean f y g dos funciones definidas y continuas en el intervalo 0 ; 1 . Di si la siguiente proposición es correcta o no. Justifica tu respuesta. Si 1 0 f ( x ) d x = 1 0 g ( x ) d x entonces f = g en el intervalo [0 ; 1] . E.3993 El plano está provisto de una referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . La curva ( C ) , que figura en el anexo, es la curva represen-tativa de una función f derivable en 0 ; + ∞ , cuya función derivada f es continua en 0 ; + ∞ La curva ( C ) pasa por los puntos O y A 1 ; 1 2 e y, en 0 ; 1 , está por encima del segmento [ OA ] . 1 Demuestre que : 1 0 f ( x ) d x = 1 2 · e . 2 Demuestra que : 1 0 f ( x ) d x 1 4 · e https://chingmath.fr chapExoCorrec/3929 sacados/3929 Cf234I234JO chapExoCorrec/6922 sacados/6922 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2016 00,20,40,60,811,20,20,40,60,8Cf chapExoCorrec/5224 sacados/5224 1x0x15 chapExoCorrec/3975 sacados/3975 chapExoCorrec/3993 sacados/3993 0120,10,20,3AC
Cf-123456789I-4-3-2-12JO E.3974 Se da al plano el sistema de refer-encia O ; −→ i ; −→ j ortonormal con unidad gráfica 3 cm . Consideremos la función f definida en 1 ; e por: f ( x ) = ln x x Observamos C la curva representativa de la función f . 1 Demuestra que : e 1 f ( x ) d x = 1 2 . 2 Deduce el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación x =1 y x = e , el eje x y la curva C . Expresaremos esta área en cm 2 . E.5238 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 2 x − 2 − 1 4 · ⏐ ⏐ x − 4 ⏐ ⏐ A continuación se da la curva C f representativa de la función f en el sistema de referencia O ; I ; J ortonormal: Queremos determinar el área de la parte sombreada. 1 Simplifica la expresión de la función f en cada uno de los intervalos 0 ; 4 y 4 ; 8 . 2 Determina el área de la superficie sombreada. 4. Cálculo de integrales E.3951 Calcula las siguientes integrales : a 2 − 3 x + 1 d x b 5 0 2 x − 5 2 d x c 1 − 3 1 − x 3 d x d 4 1 x 2 · x 2 + 1 2 d x e 6 4 2 · x x 2 − 3 d x f 3 1 1 x 2 − 1 x d x E.3952 Calcula las siguientes integrales : a 5 4 ln x x d x b 4 − 2 1 x + 3 d x c 3 − 1 1 x + 4 d x d 1 − 1 x 2 · 2 · x 3 + 2 2 d x E.3995 Consideremos la función g definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x 2 · e − x 1 Sea H la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: H ( x ) = − x 2 + 2 · x · e − x Calcula la derivada H de la función H . 2 Deduce una primitiva en el intervalo 0 ; + ∞ de la fun-ción g . 3 Deduce el valor de la integral: 1 0 g ( x ) d x E.4321 Sea h la función definida en 0 ; + ∞ por: h ( x ) = x · ln x − x 1 Demuestre que la función h es una primitiva de la función logaritmo natural en 0 ; + ∞ . 2 Calcula el valor exacto, y luego un valor aproximado al 10 − 2 , del área cuya superficie está limitada por: el eje x y la curva C representativa de la función loga-ritmo natural ; las rectas con ecuaciones : x =1 ; x =2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3974 sacados/3974 chapExoCorrec/5238 sacados/5238 Cf-123456789I-4-3-2-12JO chapExoCorrec/3951 sacados/3951 chapExoCorrec/3952 sacados/3952 chapExoCorrec/3995 sacados/3995 chapExoCorrec/4321 sacados/4321 Extrait des Antilles Juin 2011
IJOCf ijC -123I-123JOCf E.6011 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = ( x + 2) · e 1 2 x Denotemos por C su curva representativa en el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . Establezcamos : I = 1 0 f ( x ) d x . 1 Interpretar geométricamente el real I . 2 Sean u y v las funciones definidas en R por: u ( x ) = x ; v ( x ) = e 1 2 x Verificar que : f = 2 · u · v + u · v . 3 Deducir el valor exacto de la integral I . E.6012 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por la relación f ( x ) = 2 x + 3 · e x x + 4 2 Consideremos el número I definido por: I = 0 2 f ( x ) d x . La curva C representativa de la fun-ción f viene dada en el marco de referencia siguiente : 1 Trama sobre la representación anterior un dominio del plano de área I . Justifica tu planteamiento. 2 a Consideremos las dos funciones u y v definidas por: u ( x ) = 2 · e x ; v ( x ) = x + 4 Demostrar que tenemos la siguiente relación en 0 ; + ∞ : f = u · v − u · v v 2 b Deduce el valor exacto del número I . E.3979 Sea n un número natural distinto de cero, definimos la función f n por: f n ( x ) = 4 · e n · x e n · x + 7 1 Para n un número natural distinto de cero, determina una primitiva de la función f n . 2 Sea definida la sucesión u n para cualquier número nat-ural distinto de cero n por: u n = n ln 7 · ln 7 n 0 f n ( x ) d x . Demuestre que la sucesión u n es constante. E.3967 1 Sea f la función f definida en D = − 1 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = x 2 x + 1 Dada la curva representativa C f de la función f en el sistema de referencia O ; I ; J , tenemos : a Determina el valor de los números reales a , b y c verif-icando la siguiente igualdad para cualquier x ∈D : f ( x ) = a · x + b + c x + 1 b Determina la expresión de una primitiva de la función f . c Calcular, en unidades de área, el área A de la parte del plano limitada por la curva ( C f ) y las rectas de ecuaciones : x = − 3 4 ; x = 5 2 ; y = 0 d Sabiendo que esta representación está hecha a escala: 1 unidad = 1 ; 5 cm Da el área A en cm 2 redondeada a la unidad. 2 Calcula las siguientes integrales : a 3 − 1 x · e x 2 +1 d x b 2 0 x · e x 2 e x 2 + 1 2 d x E.5530 Consideremos la función f definida en R por: f ( x )= 1 1+e − x 1 Demostrar que, para cualquier número real x : f ( x )= e x 1+e x 2 Definimos el número : I = 1 0 f ( x ) d x . Demuestre que : I =ln 1+ e 2 Dé una interpretación gráfica de I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6011 sacados/6011 IJOCf chapExoCorrec/6012 sacados/6012 ijC chapExoCorrec/3979 sacados/3979 chapExoCorrec/3967 sacados/3967 -123I-123JOCf chapExoCorrec/5530 sacados/5530 Extrait du Liban Mai 2013
234I-2-1234JOeC -1234I-1234JO -2-123I2JOCfCg 5. Linealidad de la integral E.5233 Considera las dos integrales siguientes : I = 1 0 e x e x + 1 d x ; J = 1 0 1 e x + 1 d x 1 Justifica la igualdad : I + J =1 . 2 a Determina el valor de la integral I . b Deduce el valor de la integral J . E.3980 Consideremos la sucesión u n definida para cualquier número natural n por: u n = 1 0 e − n · x 1 + e − x d x 1 Demuestra que : u 0 + u 1 =1 2 Demuestre que, para cualquier número natural distinto de cero n : u n +1 + u n = 1 − e − n n E.4293 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J cuyas me- didas unitarias 2 cm . Sea f la función definida en R ∗ + por la relación: f ( x ) = x + ln x x A continuación se da la curva C representativa de la función f . 1 Demuestra que : e 1 ln x x d x = 1 2 2 Deduce el área de la región del plano limitada por: las rectas de ecuación x =1 y x = e ; el eje x y la curva C . Expresaremos esta área en cm 2 . Sombrea esta región en la gráfica. 6. Relación con los castillos E.5234 Consideremos la función parte entera E , que devuelve a cualquier número real su parte entera. 1 En el marco de referencia de abajo, traza la curva repre-sentativa de la función E en el intervalo − 1 ; 4 . 2 Determina la medida de la integral: 4 0 E ( x ) d x E.125 Consideremos las dos funciones f y g definidas por: f ( x ) = e x − 1 ; g ( x ) = e − x En el O ; I ; J ortonormal, nótese C f y C g las respectivas curvas representativas de las funciones f y g . El dominio sombreado anterior viene definido por: se encuentra entre las rectas de ecuaciones x = − 1 y x =2 . se encuentra sobre el eje x. se sitúa por debajo de las dos curvas C f y C g . Determina el área de este dominio. 7. Positividad de la integral https://chingmath.fr chapExoCorrec/5233 sacados/5233 chapExoCorrec/3980 sacados/3980 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/4293 sacados/4293 Extrait d'Antilles-guyane Septembre 2010 234I-2-1234JOeC chapExoCorrec/5234 sacados/5234 -1234I-1234JO chapExoCorrec/125 sacados/125 -2-123I2JOCfCg
−∞0e∞−∞0ln50xVariationdef E.3978 Sea f una función definida en R y que admite la siguiente tabla de variaciones: Determina, si es posible, el signo de las siguientes integrales : a 3 1 f ( x ) d x b 0 − 2 f ( x ) d x c 1 − 1 f ( x ) d x d e 3 f ( x ) d x e ln 2 ln 1 2 f ( x ) d x f e 1 2 1 f ( x ) d x E.6018 Para cualquier número natural n , con-sideremos la función f n definida en 0 ; 1 por la relación: f n ( x ) = x n 1 + x Definimos la sucesión u n de números reales por: u n = 1 0 f n ( x ) d x para todo n ∈ N 1 Establecer, para cualquier número natural n , la compara-ción : u n 1 0 x n d x 2 Deducir que la sucesión u n es convergente y converge a 0 . E.3991 Sea n un número natural. Sea f n la función definida sobre el conjunto R de números reales por: f n ( x ) = e − n · x 1 + e − x Para cualquier número natural n : u n = 1 0 f n ( x ) d x 1 Calcula u 1 y luego demuestra que u 0 + u 1 =1 . Deduce u 0 . 2 Demuestre que, para cualquier entero n : 0 u n 1 0 e − n · x d x 3 Calcula la integral: 1 0 e − n · x d x Deduce que la sucesión u n es convergente y especifica su límite. E.3977 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 1 por la relación: f ( x ) = x n · x para x ∈ 0 ; 1 . Consideremos la sucesión u n definida, para n ∈ N , por: u n = 1 0 x n · x d x . 1 Justifique que todos los términos de la sucesión son pos-itivos. 2 Estudiando el signo de la función : x ↦−→ x n +1 · x − x n · x , Demuestre que la sucesión u n es decreciente. 3 Deduzca que la sucesión u n es convergente. E.5389 Consideremos la sucesión I n definida para n entero natural distinto de cero por: I n = 1 0 x n · e x 2 d x 1 a Sea g la función definida en R por: g ( x ) = x · e x 2 . Demuestre que la función G definida en R por: G ( x ) = 1 2 · e x 2 es una primitiva en R de la función g . b Deduzca el valor de I 1 . 2 Se admite la siguiente relación para todo entero n mayor o igual que 1 : I n +2 = 1 2 e − n + 1 2 · I n Consideremos el siguiente algoritmo: n ← 1 u ← 1 2 e − 1 2 Mientras n<21 u ← 1 2 e − n+1 2 · u n ← n+2 Fin Mientras Al final de la ejecución del algoritmo, ¾qué término de la sucesión I n se asigna a la variable u ? 3 a Demuestra que, para todo número natural distinto de cero n : I n 0 . b Demuestre que ( I n ) es decreciente. c Deduzca que la sucesión I n es convergente. Se de-nota I su límite. 4 En esta pregunta, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleta, o de iniciativa, aunque sea infructuosa. Determinar I . 8. Positividad de la integral y límites variables E.3973 Consideremos la secuencia u n n ∈ N definida, para cualquier número natural n , por la relación u n = n 0 x · e − x d x Justifica que la sucesión u n es creciente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3978 sacados/3978 −∞0e∞−∞0ln50xVariationdef chapExoCorrec/6018 sacados/6018 chapExoCorrec/3991 sacados/3991 Extrait de Centres Etrangers Juin 2009 chapExoCorrec/3977 sacados/3977 chapExoCorrec/5389 sacados/5389 chapExoCorrec/3973 sacados/3973
23IJO E.3989 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x · e − x 2 La curva representativa de la función f es la siguiente : Se acepta que la función f es estrictamente decreciente en 2 2 ; + ∞ . Consideremos la sucesión u n definida para cualquier número natural n por: u n = n +1 n f ( x ) d x No se intentará explicar u n 1 Demuestre que, para cualquier número natural n distinto de 0 y 1 , tenemos : f ( n +1) u n f ( n ) 2 ¾Cuál es la dirección de variación de u n n 2 ? 3 Demuestra que la sucesión u n converge. Cuál es su límite? E.6915 Sea f la función definida y deriv-able en el intervalo 0 ; + ∞ tal que : f ( x )= x e x − x Sea I n la sucesión definida para cualquier número natural n por: I n = n 0 f ( x ) d x No se intentará calcular el valor exacto de I n en función de n . 1 Demuestre que la sucesión I n es creciente. 2 Admitimos que para cualquier x real del intervalo 0 ; + ∞ : e x − x e x 2 a Demuestre que, para cualquier número natural n : I n n 0 2 · x · e − x d x b Sea H la función definida y derivable en el intervalo 0 ; + ∞ tal que : H ( x )= − x − 1 · e − x . Determina la función derivada H de la función H . c Deduce que, para cualquier número natural n : I n 2 . 3 Demuestre que la sucesión I n es convergente. No pre-guntamos por el valor de su límite. 9. Integrales y estudio de funciones E.6920 Sea a un número real compren-dido entre 0 y 1 . Sea f a la función definida en R por: f a ( x ) = a · e a · x + a Sea I ( a ) la integral de la función f a entre 0 y 1 : I ( a ) = 1 0 f a ( x ) d x ¾Existe algún valor de a para el que I ( a ) sea igual a 2 ? En caso afirmativo, da un marco de magnitud 10 − 2 . E.3976 Se desea enmarcar el integral: I = 1 0 e x 1+ x d x Se define la función f en el intervalo 0 ; 1 mediante : f ( x ) = e x 1 + x 1 Estudiar las variaciones de f en 0 ; 1 . 2 Se establece, para todo entero n comprendido entre 0 y 5 : S n = n k =0 f k 5 . a Justificar que para todo entero k comprendido entre 0 y 4 , se tiene : 1 5 · f k 5 k +1 5 k 5 e x 1 + x d x 1 5 · f k +1 5 Interpretar gráficamente con rectángulos las desigual-dades anteriores. b Deducir que : 1 5 · S 4 1 0 e x 1 + x d x · 1 5 · S 5 − 1 c Dar valores aproximados a 10 − 4 cerca de S 4 y de S 5 respectivamente. Deduzca el rango : 1 ; 092 1 0 e x 1 + x d x 1 ; 164 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3989 sacados/3989 23IJO chapExoCorrec/6915 sacados/6915 chapExoCorrec/6920 sacados/6920 Extrait d'Asie Juin 2016 chapExoCorrec/3976 sacados/3976
x01y0.20.4C1C2C3C10C20C30 0.20.40.60.81.2I0.20.40.60.8JOCf0Cf1Cf2Cf3 E.5237 Parte A Se denomina f a la función definida en el intervalo 1 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 x + 1 + ln x x + 1 1 Determinar el límite de la función f en + ∞ . 2 Demostrar que para todo número real x del intervalo: f ( x ) = 1 x ( x + 1) 2 Elaborar la tabla de variaciones de la función f . 3 Deducir el signo de la función f en el intervalo 1 ; + ∞ . Parte B Consideremos la sucesión u n definida para n ∈ N ∗ definida por: u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 Demostrar que para todo entero estrictamente positivo n : u n +1 − u n = f ( n ) donde f es la función definida en la parte A . Deduzca el sentido de variación de la sucesión u n . 2 a Sea k un entero estrictamente positivo. Justifique la desigualdad : k +1 k 1 k − 1 x d x 0 Deduzca que : k +1 k 1 x d x 1 k Demuestre la desigualdad : ln( k +1) − ln k 1 k b Escribir la desigualdad anterior sustituyendo sucesiva-mente k por 1 , 2 , . . . , n y demostrar que para todo entero estrictamente positivo n : ln( n +1) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n c Deduzca que para todo entero estrictamente positivo n : u n 0 3 Demuestre que la sucesión u n es convergente. No se pide calcular su límite. 10. Familias de integrales y funciones E.5242 I n es la secuencia definida para cualquier entero n mayor o igual que 1 por: I n = 1 0 x n · e − x d x 1 a Consideremos las dos funciones f y g definidas por: f ( x ) = x · e − x ; g ( x ) = ( − x − 1) · e − x Demuestre que la función g es una primitiva de la fun-ción f . b Calcula I 1 . 2 En esta pregunta, cualquier rastro de investigación o ini-ciativa, por incompleta que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. En el gráfico siguiente, hemos trazado las porciones de las curvas C 1 , C 2 , C 3 , C 10 , C 20 , C 30 dentro de la banda definida por 0 x 1 . a Formule una conjetura sobre la dirección de variación de la secuencia I n describiendo su planteamiento. b Demuestra esta conjetura. c Deduce que la sucesión I n es convergente. d Determina : lim n ↦→ + ∞ I n . E.5236 Consideremos las secuencias I n y J n definidas para cualquier número natural n por: I n = 1 0 e − nx 1 + x d x ; J n = 1 0 e − nx (1 + x ) 2 d x 1 Se representan a continuación las funciones f n definidas en el intervalo 0 ; 1 por: f n ( x ) = e − nx 1 + x para distintos valores de n . a Formule una conjetura sobre la dirección de variación de la secuencia I n explicando el planteamiento. b Demuestra esta conjetura. 2 a Demuestre que para cualquier número entero n 0 y para cualquier número real x en el intervalo 0 ; 1 : 0 e − nx (1 + x ) 2 e − nx 1 + x e − nx https://chingmath.fr chapExoCorrec/5237 sacados/5237 chapExoCorrec/5242 sacados/5242 x01y0.20.4C1C2C3C10C20C30 chapExoCorrec/5236 sacados/5236 0.20.40.60.81.2I0.20.40.60.8JOCf0Cf1Cf2Cf3
00,20,40,60,810,20,40,60,8C0C1C2C3C4C10C50 ij−22C b Demuestre que las sucesiones I n y J n son conver-gentes y determine su límite. E.6921 El plano está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Para todo número natural n , se considera la función f n definida y derivable en el conjunto de los números reales R por: f n ( x ) = e − ( n − 1) x 1 + e x Se designa por C n la curva representativa de f n en el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . A continuación se representan las curvas C n para diferentes valores de n . Sea la sucesión u n definida para todo número natural n por: u n = 1 0 f n ( x ) d x 1 ¾Qué conjeturas se pueden hacer sobre las variaciones y la convergencia de la sucesión u n ? 2 Se admite que la sucesión u n es convergente y se denota ‘ su límite. a Demuestre que, para todo entero n mayor o igual que 1 , se tiene : u n + u n +1 = 1 − e − n n b Deduzca el valor de ‘ . 11. Área de un dominio entre dos curvas E.3984 Sea f la función definida en R por: f ( x )= x +2 − 4 · e x e x +3 Se designa por C su curva representativa en el plano referido a un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j de unidad gráfica 2 cm . 1 a Determinar el límite de f en −∞ . b Consideramos la recta D 1 de ecuación y = x +2 . Estu-diar la posición de C con respecto a D 1 . 2 a Determinar una primitiva de la función g definida en R por: g ( x ) = e x e x + 3 b Sea – un número real estrictamente negativo. Denotemos por A ( – ) el área, en unidades de área, del dominio limitado por D 1 , C y las rectas de ecuaciones : x = – ; x = 0 Demuestre que : A ( – )=4 · ln4 − 4 · ln e λ +3 c Calcular: lim λ ↦→−∞ A ( – ) . E.126 En un sistema de coordenadas O ; I ; J , se consideran las dos curvas C y Δ , donde : la curva C es la curva rep-resentativa de la función f definida por: f ( x )=e − x +2 x +1 la recta Δ tiene como ecuación reducida : y = x +2 Consideremos el dominio som-breado representado anterior-mente y definido por: situado entre las rectas de ecuaciones x = − 2 y x =2 ; situado entre la curva C y la recta Δ . 1 a Estudia las variaciones de la función f definida por: g ( x )= f ( x ) − ( x +2) . b Justifica que la recta Δ se encuentra por debajo de la curva C 2 Determina el área de la zona sombreada. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6921 sacados/6921 00,20,40,60,810,20,40,60,8C0C1C2C3C4C10C50 chapExoCorrec/3984 sacados/3984 Extrait d'Antilles Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/126 sacados/126 ij−22C
-3-2-123I-12JOCfCg -3-2-1012345-11234ijCf E.6918 Consideremos la función f definida para cualquier real x por: f ( x ) = x · e 1 − x 2 y la función g definida para cualquier real x por: g ( x ) = e 1 − x En el gráfico siguiente, las curvas representativas C f y C g de las funciones f y g respectivamente se han trazado en un marco de referencia. Se supone que, en R , la curva C g se encuentra por encima de la curva C f . 1 Encuentra una primitiva F de la función f sobre R . 2 Deduce el valor de : 1 0 e 1 − x − x · e 1 − x 2 d x . 3 Interpreta gráficamente este resultado. E.6913 Sea f la función definida en R por la relación: f ( x ) = 3 1 + e − 2 x En el siguiente gráfico, se ha trazado, en un sistema de co-ordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j , la curva representativa C de la función f y la recta Δ de ecuación y =3 . Sea h la función definida en R por: h ( x )=3 − f ( x ) 1 Justifique que la función h es positiva. 2 Se designa por H la función definida en R por: H ( x ) = − 3 2 · ln 1 + e − 2 x Demuestre que H es una primitiva de h en R . 3 Sea a un número real estrictamente positivo. a Dé una interpretación gráfica de la integral: a 0 h ( x ) d x b Demostrar que : a 0 h ( x ) d x = 3 2 · ln 2 1+e − 2 a . c Se denota por D el conjunto de puntos M ( x ; y ) del plano definido por: x 0 f ( x ) y 3 Determinar el área, en unidades de área, del dominio D E.6914 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 − 1 x · ln( x ) − 2 + 2 La curva representativa de la función f en un sistema de ref-erencia ortogonal se denomina C . Sea C la curva con ecuación : y =ln( x ) 1 Demuestre que, para cualquier x real en el intervalo 0 ; + ∞ : f ( x ) − ln( x ) = 2 − ln( x ) x Deduce que las curvas C y C tienen un único punto en común cuyas coordenadas determinaremos. 2 Admitimos que la función H definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: H ( x ) = 1 2 · ln( x ) 2 es una primitiva de la función h definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: h ( x ) = ln( x ) x Calcula: I = e 2 1 2 − ln( x ) x d x Interpreta gráficamente este resultado. 12. Media de una función E.4013 Sea f la función definida en R por la relación: f ( x ) = 4 · e x e x + 7 1 Determina una primitiva de la función f en R . 2 Calcular el valor medio de f en el intervalo 0 ; ln7 . E.4015 Para la pregunta siguiente, hay tres respuestas posibles, de las cuales sólo una es correcta. La elección de la respuesta debe justificarse : El valor medio de la función f definida en el intervalo 0 ; 1 por f ( x )= 1 1+ x 2 es igual a: a − ı 2 b ı 4 c ı 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6918 sacados/6918 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 -3-2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/6913 sacados/6913 -3-2-1012345-11234ijCf chapExoCorrec/6914 sacados/6914 chapExoCorrec/4013 sacados/4013 chapExoCorrec/4015 sacados/4015 Extrait d'Asie Juin 2009
E.5529 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 250 por la relación: f ( t ) = 2 1 + 19 · e − 0 , 04 t 1 Verifique que para todo número real t perteneciente al intervalo 0 ; 250 , se tiene : f ( t ) = 2 · e 0 , 04 t e 0 , 04 t + 19 2 Demuestre que la función F definida en el intervalo 0 ; 250 por: F ( t ) = 50 · ln e 0 , 04 t +19 es una primitiva de la función f . 3 Determinar el valor medio de f en el intervalo 50 ; 100 . Dar un valor aproximado con una precisión de 10 − 2 . 13. Un poco más adelante E.4019 Sea la función f definida en R por: f ( x ) = 1 e x + e − x Sea u la función definida en R por: u ( x ) = 1 1 + x 2 Sea v la primitiva de u en R tal que v (1)= ı 4 . Admitimos que la curva representativa de v admite en + ∞ una asíntota de ecuación y = ı 2 . 1 Demostrar que, para cualquier x real: f ( x )= e x e x 2 +1 2 Demuestra que, para cualquier x real, f es la derivada de la función : x ↦−→ v e x . 3 Consideremos la secuencia J n definida en N por: J n = n 0 f ( x ) d x Admitimos que la sucesión J n es convergente y tiene un límite real L . Determina el valor exacto de L . E.3987 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = ln e x +2 · e − x Denotemos por C la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales. 1 Demuestre que, para todo número real x : f ( x ) = x + ln 1+2 · e − 2 · x Se admite que, para todo real x : f ( x )= − x +ln 2+e 2 · x 2 Calcular lim x ↦→ + ∞ f ( x ) y demostrar que la recta ( d ) de ecuación y = x es asintótica a C . Estudiar la posición relativa de C y ( d ) . 3 Se establece : I = 3 2 f ( x ) − x d x a Dar una interpretación geométrica de I . b Demuestre que, para todo X ∈ 0 ; + ∞ : ln 1+ X X c Deduzca que : 0 I 3 2 2 · e − 2 · x d x y dar un marco de amplitud de I de amplitud 0 ; 02 . 14. Lecciones - Integrales E.5501 Si f es una función continua y positiva en el intervalo a ; b , la función F definida en a ; b por: F : x ↦−→ x a f ( t ) d t es derivable en a ; b y tiene como derivada la función f . E.5502 Sean a y b dos números reales tales que a<b . Admitimos que una función positiva f , definida en a ; b , admite como primitiva la función x ↦−→ x a f ( t ) d t 1 Demuestre que cualquier función, continua en el intervalo a ; b , admite primitivas en R . (Se admitirá que toda función continua sobre un intervalo a ; b cerrado admite un mínimo) . 2 Sea f una función continua sobre el intervalo a ; b que admite la función F como primitiva. Demuestre que para cualquier otra primitiva G de la función f , existe un real k tal que : G ( x ) = F ( x ) + k . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5529 sacados/5529 chapExoCorrec/4019 sacados/4019 Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2003 chapExoCorrec/3987 sacados/3987 chapExoCorrec/5501 sacados/5501 chapExoCorrec/5502 sacados/5502
x0x0h2I2345JO ABCDEFGij E.3298 Podemos razonar basándonos en el gráfico proporcionado. Para cualquier número real x 0 de [1 ; + ∞ [ , se denota por A ( x 0 ) el área del dominio delimitado por la curva que repre-senta f en un sistema de coordenadas ortogonales, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x =1 y x = x 0 . Se propone demostrar que la función así definida en 1 ; + ∞ es una primitiva de f . 1 ¾Cuál es el valor de A (1) ? 2 Sea x 0 un número real cualquiera de [1 ; + ∞ [ y h un número real estrictamente positivo. Justifique el siguiente encuadre : f ( x 0 ) A ( x 0 + h ) − A ( x 0 ) h f ( x 0 + h ) 3 Cuando x 0 > 1 , ¾qué encuadre se puede obtener para h< 0 tal que x 0 + h 1 ? 4 Deduzca la derivabilidad en x 0 de la función A , así como el número derivado en x 0 de la función A . 5 Concluya. E.3962 Requisitos previos: sean a y b dos números reales tales que a<b y f y g sean dos funciones continuas en el intervalo [ a ; b ] . Se supone que se conocen los siguientes resultados : b a f ( t ) + g ( t ) d t = b a f ( t ) d t + b a g ( t ) d t Si para todo t ∈ [ a ; b ] , f ( t ) 0 entonces b a f ( t ) d t 0 . Demostrar que : si para todo t ∈ a ; b entonces : b a f ( t ) d t b a g ( t ) d t . 15. Ejercicios no clasificados E.8143 En este ejercicio nos interesamos por el volumen de una bombilla de bajo consumo. Parte A - Modelización de la forma de la bombilla El plano está provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j . Consideramos los puntos A ( − 1 ; 1) , B (0 ; 1) , C (4 ; 3) , D (7 ; 0) , E (4 ; − 3) , F (0 ; − 1) y G ( − 1 ; − 1) . Modelamos la sección de la ampolla mediante un plano por su eje de revolución con ayuda de la figura siguiente : La parte de la curva situada por encima del eje de abscisas se descompone de la siguiente manera : la parte situada entre los puntos A y B es la repre-sentación gráfica de la función constante h definida en el intervalo − 1 ; 0 por h ( x )=1 ; la parte situada entre los puntos B y C es la repre-sentación gráfica de una función f definida en el inter-valo 0 ; 4 por: f ( x ) = a + b · sin c + ı 4 donde a , b y c son números reales distintos de cero y donde el número real c pertenece al intervalo 0 ; ı 2 ; la porción situada entre los puntos C y D es un cuarto de círculo de diámetro [ CE ] . La parte de la curva situada debajo del eje de abscisas se obtiene por simetría con respecto al eje de abscisas. 1 a Se denomina f a la función derivada de la función f . Para cualquier número real x del intervalo 0 ; 4 , determine f ( x ) . b Se impone que las tangentes en los puntos B y C de la representación gráfica de la función f sean paralelas al eje de abscisas. Determinar el valor del número real c . 2 Determinar los reales a y b . Parte B - Aproximación del volumen de la ampolla Al girar la figura anterior alrededor del eje de abscisas, se ob-tiene un modelo de la ampolla. Para calcular su volumen, se descompone en tres partes, como se ilustra a continuación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3298 sacados/3298 x0x0h2I2345JO chapExoCorrec/3962 sacados/3962 Nouvelles Caledonie Novembre 2010 sacados/8143 ABCDEFGij
ABCDEFGij ABCDEFGijVue dans le plan(BCE ABCDEFGijVue dans l’espace Recordemos que : el volumen de un cilindro viene dado por la fórmula ı · r 2 · h donde r es el radio del disco base y h es la altura; El volumen de una esfera de radio r viene dado por la fórmula · ı · r 3 . También se admite que, para cualquier número real x del in-tervalo 0 ; 4 , f ( x ) = 2 − cos ı 4 x . 1 Calcular el volumen del cilindro de sección rectangular ABFG . 2 Calcular el volumen de la semiesfera de sección semidisco de diámetro CE . 3 Para aproximarnos al volumen del sólido de la sección sombreada BCEF , dividimos el segmento OO en n segmentos de la misma longitud 4 n y luego construimos n cilindros de la misma altura 4 n a Caso particular : solo en esta pregunta, elegimos n =5 . Calcular el volumen del tercer cilindro, sombreado en las figuras siguientes, y dar su valor redondeado a 10 − 2 . b Caso general : en esta pregunta, n designa cualquier número natural distinto de cero. Nos aproximamos al volumen del sólido de sección BCEF mediante la suma de los volúmenes de los n primeros cilindros así creados, eligiendo un valor de n suficientemente grande. Copie y complete el siguiente algoritmo de modo que, al final de su ejecución, la variable V contenga la suma de los volúmenes de los n cilindros creados al introducir b . E.5567 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 1 + e − x 1 a Determina la expresión de la función f derivada de la función f . b Deduce las variaciones de f en R 2 a Demostrar que, para cualquier real x , tenemos : f ( x )= e x 1+e x b Establecer la igualdad : 1 0 f ( x ) d x =ln 1+ e 2 https://chingmath.fr ABCDEFGij ABCDEFGijVue dans le plan(BCE ABCDEFGijVue dans l’espace chapExoCorrec/5567 sacados/5567 Extrait Liban 2013