Bachillerato 2 / Información adicional sobre derivación y convexidad 51 ejercicios (incluyendo 50 corregidos)

a
1. Derivadas de funciones compuestas E.3506 Determinar la expresión de la función derivada de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = 3 · x + 5 5 b g ( x ) = 1 3 · x 4 + 1 c h ( x ) = x 2 + x + 1 d j ( x ) = 1 x E.5103 Determina la expresión de las derivadas de las siguientes funciones : a f ( x ) = 6 x 2 − 3 x + 1 b g ( x ) = 4 · x − 1 4 E.95 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ − 2 x 2 − x + 6 1 Determine el conjunto de definición de la función f . 2 Exprese la función derivada de la función f . E.5217 Consideremos la función f definida en el intervalo −∞ ; − 1 2 por la relación por la siguiente relación: f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 2 Determina la ecuación reducida de la tangente a la curva C f en − 1 . E.5751 Determina la expresión de las derivadas de las siguientes funciones : a f ( x ) = 3 x + 2 5 b g ( x ) = 1 − 2 x c h ( x ) = 1 x 2 + x + 1 d j ( x ) = x x + 1 E.2394 1 Determina la función derivada de la función f definida por: f : x ↦−→ 5 · x 2 + x + 1 4 2 Determina la función derivada de la función g definida por: g : x ↦−→ 2 5 x 2 · 3 − 2 x Escribe esta función derivada de la función g como un cociente cuyo denominador es 3 − 2 x . E.6137 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = a · x 2 + b · x 4 · c · x + 1 donde a , b y c son tres enteros relativos. Se sabe que la función f admite como derivada la función f cuya expresión es : f ( x ) = − 18 x 2 + 21 x − 4 · a · x 2 + b · x 3 Determina la expresión de la función f . E.8399 Determinar la expresión, en forma sim-plificada, de la función f derivada de la función f definida por: f ( x ) = x + 1 3 E.8400 Para cada una de las funciones sigu-ientes, da la expresión simplificada de su función derivada : a f ( x ) = 3 x 2 − 2 x +1 x b g ( x ) = (2 x +1) · 3 − x 2. Derivadas de funciones compuestas de la función exponencial E.8410 Para cada función, determina la expre-sión de la función f derivada de la función f : a f ( x ) = e 2 − x 2 b f ( x ) = e x 2 +1 c f ( x ) = e x 2 + x +1 E.8420 Para cada función, determina la expre-sión de la función f derivada de la función f : a f ( x ) = 2 · x + 1 e x +1 b f ( x ) = x · e 3 · x 2 E.3613 Determina la expresión de las funciones derivadas de cada una de las siguientes funciones : 1 f ( x ) = e √ x 2 g ( x ) = x · e x 2 +1 3 h ( x ) = x · e − 1 x 4 j ( x ) = e − 2 x +1 2 x + 1 5 k ( x ) = e x 2 + x 6 ‘ ( x ) = e x 2 +1 E.5140 La siguiente tabla muestra algunas fun-ciones y la expresión de sus derivadas. Comprueba que la tabla es correcta: f ( x ) f ( x ) a 3 x · e 5 x 2 +3 30 x 2 + 3 · e 5 x 2 +3 b e 3 − x 2 · e x 2 +1 0 c e 2 − x 2 2 x − 2 x 2 + 1 e 2 − x 2 2 x 2 d e x √ x 3 2 · √ x · e x √ x e e 2 x 2 − x 4 ( x − 2) 2 · e 2 x 2 − x 3. Derivadas de familias de funciones https://chingmath.fr chapExoCorrec/3506 sacados/3506 chapExoCorrec/5103 sacados/5103 chapExoCorrec/95 sacados/95 chapExoCorrec/5217 sacados/5217 chapExoCorrec/5751 sacados/5751 chapExoCorrec/2394 sacados/2394 chapExoCorrec/6137 sacados/6137 chapExoCorrec/8399 sacados/8399 chapExoCorrec/8400 sacados/8400 chapExoCorrec/8410 sacados/8410 chapExoCorrec/8420 sacados/8420 chapExoCorrec/3613 sacados/3613 chapExoCorrec/5140 sacados/5140
-2-12IJOC1C3C8 IJOC1C3C2 -3-2-123I-12JOCfCg E.6134 Consideremos, para todo número nat-ural n distinto de cero, la función f n definida en R por la relación: f n ( x ) = 1 ( x 2 + 1) n En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se de-nota por C n la curva representativa de la función f n . 1 Determinar la expresión de la derivada f n de la función f n . 2 a Determinar la ecuación reducida de la tangente ( d ) a la curva C 3 en el punto de abscisa 1 . b Consideramos la recta (Δ) de ecuación reducida : y = 5 32 · x + 3 16 Entre la familia de curvas C n , ¾cuál es la que admite la recta (Δ) como tangente en el punto de abscisa − 1 ? Justifique su respuesta. E.6810 Consideremos, para cualquier número natural distinto de cero n , la función f n definida en R por la relación f n ( x ) = 2 · x + n 1 + x 2 En un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, observa C n la curva representativa de la función f n . 1 Determina la expresión de la función derivada f n . 2 Determinar la ecuación reducida de la tangente ( d n ) a la curva C n en el punto de abscisa 1 . 3 a Establece la siguiente igualdad : n · x 3 − 2 · n +1 · x 2 + n +2 · x − 1 = x − 1 2 · n · x − 1 b Investiga la posición relativa de la recta d n y la curva C n para cualquier número natural n mayor o igual que 2 . 4. Tangente de funciones compuestas E.7740 Consideremos la función g definida por la relación: g ( x ) = x 2 − 2 x + 3 Denotamos C g a la curva representativa de la función g . 1 Determina el conjunto de definición de la función g . 2 Determinar la ecuación de la tangente a la curva C g en el punto de abscisa 3 2 . E.6919 Consideremos la función f definida para cualquier real x por: f ( x ) = x · e 1 − x 2 y la función g definida para cualquier real x por: g ( x ) = e 1 − x En el gráfico siguiente, las curvas representativas C f y C g de las funciones f y g se han trazado en un marco de referencia. Justifica que en el punto de abscisa 1 , las curvas C f y C g admiten la misma tangente. 5. Tabla de variaciones de una función compuesta E.5752 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 6 x 2 + 13 x − 5 1 Justifique que la función f admite como conjunto de definición la parte I de R definida por: I = −∞ ; − 5 2 ∪ 1 3 ; + ∞ . 2 Determinar la dirección de variación de la función f sobre su conjunto definidor I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6134 sacados/6134 -2-12IJOC1C3C8 chapExoCorrec/6810 sacados/6810 IJOC1C3C2 chapExoCorrec/7740 sacados/7740 chapExoCorrec/6919 sacados/6919 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 -3-2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/5752 sacados/5752
-3-2-123I-2-1JOCf -4-3-2-1234I23JOCf E.6135 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 2 + 2 x + 5 x 2 + 1 1 Establece que la derivada f de la función f tiene la ex-presión : f ( x ) = ( x − 1)( x 2 + x − 2 x 2 + 1 · x 2 + 1 2 Elabora la tabla de variaciones de la función f . Admitiremos los dos límites: lim x ↦→−∞ f ( x ) = + ∞ ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ 6. Estudio de la función derivada de funciones compuestas E.5753 Consideremos la función f cuya imagen de un número x ∈ R se define mediante la relación: f ( x ) = 1 8 · x 2 − x − 2 3 A continuación se muestra la curva representativa C f de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . 1 Elabora la tabla de variaciones de la función f en R . 2 Determinar la ecuación de la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 1 . (Se utilizará el valor aproximado f ( 1 2 ≈− 1 ; 4 ) E.5062 Consideremos la función f definida en R cuya imagen de un número x viene dada por la relación: f ( x ) = (5 x 2 + 3 x + 2) 5 1 Determina la expresión de la derivada f de la función f . 2 Estudia las variaciones de la función f en R . E.5063 Consideremos la función f cuya imagen de un número x viene dada por la relación: f ( x ) = 2 x 2 + x + 1 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 Determinar la tabla de variaciones de la función f . 3 En un sistema de referencia O ; I ; J , damos la curva C f representativa de la función f : a Determina la ecuación de la tangente ( d ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . b Dibuja la recta ( d ) en el sistema de referencia anterior. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6135 sacados/6135 chapExoCorrec/5753 sacados/5753 -3-2-123I-2-1JOCf chapExoCorrec/5062 sacados/5062 chapExoCorrec/5063 sacados/5063 -4-3-2-1234I23JOCf
DBM3km15kmB IJO4BCf 234567I234567JO E.2962 Un barco, representado por el punto B , se encuentra a tres kilómetros de la costa ; el punto B representa el punto de la costa más cercano al barco (su proyección ortogonal) ; El punto D representa el destino al que debe llegar el marinero. Para ello, el marinero decide lle-gar a un punto M de la orilla y luego dirigirse al punto D en coche. El barco navega a una velocidad de 15 km = h y el coche se de-splaza a una velocidad de 40 km = h . Se indica x la distancia B M : 1 Expresar la distancia BM y MD en función de x . 2 Se anota h ( x ) el tiempo de recorrido realizado cuando B M = x . a Justificar que : h ( x )= 1 120 · 8 x 2 +9+45 − 3 x b Determinar la expresión de la función derivada h . c Elaborar la tabla de variaciones de la función h . 3 Deduzca el valor de x para el que el tiempo de trayecto del marinero es mínimo, redondeado al metro más cer-cano. E.6163 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = ( a · x + 1) · 2 x 2 + x + 1 2 En una ortogonal O ; I ; J dada a continuación, representa-mos la curva C f representativa de la función f : La recta ( d ) pasa por los puntos J y B (1 ; 4) . 1 a Justifica que la curva C f pasa por el punto J . b Determina el coeficiente de la recta ( JB ) . c Demuestre que para cualquier x real, tenemos : f ( x ) = 10 ax 2 + (3 a + 8) · x + ( a + 2) · 2 x 2 + x + 1 . d Supongamos que la recta ( JB ) es tangente a la curva C f en el punto J . Determina el valor de a . Justifica tu respuesta. 2 Se acepta que f tiene la expresión : f ( x ) = 10 x 2 + 11 x + 3 2 x 2 + x + 1 . Determina las direcciones de variación de la función f en R . E.3643 Se denota f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 x 2 · e 1 x Se denota C la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . La unidad gráfica es 1 cm . 1 Estudio de los límites a Determinar el límite de la función f cuando x tiende a 0 . b Determinar el límite de la función f cuando x tiende a + ∞ . c ¾Qué consecuencias se pueden deducir de estos dos re-sultados para la curva C ? 2 Estudio de las variaciones de la función f . a Demostrar que la función derivada de la función f se expresa, para todo real x estrictamente positivo, por: f ( x ) = − 1 x 4 · e 1 x · (2 x + 1) b Determinar el signo de f y deducir la tabla de varia-ciones de f en el intervalo 0 ; + ∞ . c Demuestre que la ecuación f ( x )=2 tiene una única solución, denotada por ¸ , que pertenece al intervalo 0 ; + ∞ , y dé el valor de ¸ redondeado al centésimo. 3 Traza la curva C en el sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j . 7. Relación entre la derivada y el número derivado https://chingmath.fr chapExoCorrec/2962 sacados/2962 Plutot pour les terminales DBM3km15kmB chapExoCorrec/6163 sacados/6163 IJO4BCf chapExoCorrec/3643 sacados/3643 Extrait Juin 2010 234567I234567JO
23I-123JOCk 05101520253035404550556024681012141618C E.5064 Determina el valor de los siguientes límites: a lim h ↦→ 0 3 + h 4 − 81 h b lim h ↦→ 0 6 · h + 1 − 1 h c lim x ↦→ 0 x 2 + 1 8 − 1 x d lim x ↦→ 0 x 2 + x + 4 − 2 x E.5101 Determina los valores de los siguientes límites: a lim h ↦→ 0 2 h + 5 − √ 5 h b lim h ↦→ 0 (2 − 2 h ) 4 − 16 h E.5829 Sea f una función numérica deriv-able. 1 Sea a ∈D f . Establezca el siguiente límite: lim x ↦→ a x = a x · f ( a ) − a · f ( x ) x − a = f ( a ) − a · f ( a ) Se establecerá : x = a + h . 2 Deduzca el límite: lim x ↦→ a x = a x 3 · a − a 3 · x x − a 8. Convexidad: gráficamente E.7011 A continuación se representa grá-ficamente la segunda derivada k  de una función k definida en 0 ; + ∞ . Cuál de las siguientes respuestas es correcta? 1 k es cóncavo en el intervalo 1 ; 2 . 2 k es convexo en el intervalo 0 ; 2 . 3 k es convexa en 0 ; + ∞ . 4 k es cóncavo en 0 ; + ∞ . E.7059 Consideremos una función P definida y derivable en el intervalo 0 ; 60 . A continuación se muestra la curva representativa C de la función P . A partir de la lectura gráfica, responda a las siguientes pre-guntas : 1 Argumentando la respuesta, indique el signo de P (54) , donde P es la función derivada de la función P . 2 Indique un intervalo en el que la función P es convexa. 3 Indique, con una precisión de una unidad, las soluciones de la ecuación : P ( x )=10 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5064 sacados/5064 chapExoCorrec/5101 sacados/5101 chapExoCorrec/5829 sacados/5829 Bac Maroc Septembre 1969 chapExoCorrec/7011 sacados/7011 Extrait de Liban Mai 2016 23I-123JOCk chapExoCorrec/7059 sacados/7059 05101520253035404550556024681012141618C
-3-2-1234567I-6-5-4-3-2-1234JOC3C1C2 E.7054 En el sistema de referencia ortogo-nal abajo tres curvas C 1 , C 2 y C 3 definidas en − 3 ; 7 estaban representados. Una de ellas representa una función f , otra representa su derivada y una tercera representa su segunda derivada. Explique cómo se pueden utilizar estas representaciones grá-ficas para determinar la convexidad de la función f . Enuncie un intervalo sobre el cual la función f es convexa. 9. Convexidad: estudio de funciones E.7730 ¾Cuál de las siguientes afirma-ciones es cierta. La función g definida en R por g ( x )= x 3 − 9 · x es convexa en el intervalo: a −∞ ; + ∞ b 0 ; + ∞ c −∞ ; 0 d − 3 ; 3 E.7702 Para la pregunta planteada, sólo una de las cuatro respuestas es correcta. No se requiere justificación. La función f está definida para cualquier número real x perteneciente a 0 ; + ∞ por: f ( x ) = e 2 · x +ln( x ) 1 función f es cóncava. La función 2 f tiene una segunda derivada que se anula. La función 3 f tiene una función derivada segunda estrictamente pos-itiva. La función 4 f tiene una función derivada que se anula. E.7043 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = x · e x 2 − 1 C f es la curva representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales del plano. Denotemos por f la función derivada de f y por f  la función derivada segunda de f . 1 a Demuestre que para todo número real x : f ( x ) = 2 · x 2 + 1 · e x 2 − 1 b Deduzca el sentido de variación de f sobre R . 2 Se admite que para todo real x : f  ( x ) = 2 x · 2 · x 2 + 3 · e x 2 − 1 Determinar, justificándolo, el intervalo en el que la fun-ción f es convexa. E.7793 Consideremos la función f definida, para todo número real x del intervalo − 2 ; 4 por: f ( x )= x +2 · e − x +1 Denotemos por f la función derivada de f . 1 Demuestre que, para todo x del intervalo − 2 ; 4 , se tiene : f ( x ) = − x + 1 · e − x +1 2 Un software de cálculo formal da los siguientes resulta-dos : 1 factorizar derivar − ( x +1) ∗ exp( − x +1) x ∗ exp − x + 1 2 integrar x +2 ∗ exp( − x +1) − ( x + 3) ∗ exp − x + 1 Utilizando estos resultados, responda a la siguiente pre-gunta : Determine un intervalo en el que la función f sea convexa. Justifique su respuesta. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7054 sacados/7054 -3-2-1234567I-6-5-4-3-2-1234JOC3C1C2 chapExoCorrec/7730 sacados/7730 chapExoCorrec/7702 sacados/7702 chapExoCorrec/7043 sacados/7043 chapExoCorrec/7793 sacados/7793
Temps (en heure)012345678910111213141516Concentration (g/‘)0,20,40,60,811,21,41,61,822,2 E.7026 Sea f la función definida en 0 ; 8 por: f ( x )= 0 ; 4 20 · e − x +1 +0 ; 4 1 Demuestre que f ( x )= 8 · e − x 20 · e − x +1 2 donde f designa la función derivada de la función f . 2 Un software de cálculo formal da los siguientes resulta-dos : 1 f’(x):=8*e^(-x)/(20*e^(-x)+1)^2 f ( x ) := 8 · e − x 400 e − x 2 + 40 · e − x + 1 2 g(x):=Derivada f’(x) g ( x ) := 160 · e − x 2 − 8 · e − x 8000 · e − x 3 + 1200 · e − x 2 + 60 · e − x + 1 3 Factoriser g(x) 8 · e − x · 20 · e − x − 1 20 · e − x + 1 3 Basándose en estos resultados, determine el intervalo en el que la función f es convexa. 10. Convexidad y posiciones tangentes E.7794 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 por: f ( x ) = − x · ln x + 2 · x + 1 Observe C f la curva representativa de la función f en el plano con un sistema de referencia. Demostrar que la curva C se encuentra enteramente por de-bajo de cada una de sus tangentes en el intervalo 0 ; 10 . E.7695 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 3 · x − 3 · x · ln( x ) Observa C f su curva representativa en un sistema de referen-cia ortonormal y T la tangente a C f en el punto de abscisa 1 . Cuál es la posición relativa de C f con respecto a T ? 11. Punto de inflexión: gráficamente E.7050 Se inyecta un medicamento a un paciente y se mide regularmente, durante 15 horas, la con-centración, en gramos por litro, de dicho medicamento en la sangre. Se obtiene la curva que se muestra a continuación : Ayudándose de una lectura gráfica y sin justificarlo, ¾al cabo de cuántas horas se ralentiza la disminución de la concen-tración? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7026 sacados/7026 chapExoCorrec/7794 sacados/7794 chapExoCorrec/7695 sacados/7695 chapExoCorrec/7050 sacados/7050 Temps (en heure)012345678910111213141516Concentration (g/‘)0,20,40,60,811,21,41,61,822,2
00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,833,23,43,63,844,24,44,64,85-4-224(Cf(CfAB 00,511,525101520 E.7061 Consideremos una función f definida en el intervalo 0 ; 5 . La curva debajo la curva C f de la función derivada f así como la curva C f  de la función derivada segunda f  en el intervalo 0 ; 5 . El punto A de coordenadas (1 ; 0) pertenece a C f y el punto B de coordenadas (2 ; 0) pertenece a la curva C f  . 1 Determina el sentido de variación de la función f . Justi-fica. 2 Determinar en quel (s) intervalle (s) , la función f es con-vexa. Justifica. 3 ¾Admite puntos de inflexión la curva de f ? Justifícalo. En caso afirmativo, especifica leur (s) abscisse (s) . 12. Punto de inflexión: estudio de las funciones E.7020 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 15 por: f ( x )=9 · x 2 · 1 − 2 · ln x +10 . A continuación se muestra la curva representativa de f : Supongamos que f  ( x )= − 36 · ln x − 36 donde f  denota la se-gunda derivada de la función f sobre el intervalo 0 ; 1 ; 5 . Demostrar que la curva representativa de la función f admite un punto de inflexión cuya abscisa es e − 1 . E.7052 La producción mensual de ver-duras permitirá entregar, como máximo, 1 000 cestas al mes. El coste total de producción se modela mediante la función C definida en el intervalo 0 ; 10 por: C ( x ) = − 1 48 · x 4 + 5 16 · x 3 + 5 · x + 10 Cuando x se expresa en cientos de papeles, C ( x ) es igual al coste total expresado en cientos de euros. Se admite que, para cualquier número x del intervalo 0 ; 10 , el coste marginal viene dado por la función C m = C , donde C es la función derivada de C . 1 Calcular C m (6) , el coste marginal para seiscientas cestas vendidas. 2 Se denota C  la función derivada segunda de C y se tiene : C  ( x ) = − 1 4 · x 2 + 15 8 · x a Determinar el mayor intervalo de la forma 0 ; a inclu-ido en 0 ; 10 sobre el que la función C es convexa. b ¾Qué se puede decir del punto de abscisa a de la curva de la función C ? Interprete este valor de a en términos de coste. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7061 sacados/7061 00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,833,23,43,63,844,24,44,64,85-4-224(Cf(CfAB chapExoCorrec/7020 sacados/7020 00,511,525101520 chapExoCorrec/7052 sacados/7052 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2014
E.7791 Consideremos la función f definida en el intervalo − 20 ; 20 por: f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 1 a Demuestra que f ( x )= − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 para todo número real x del intervalo − 20 ; 20 . b Elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo − 20 ; 20 . Se precisará el valor exacto del máximo de f . 2 a Demostrar que, en el intervalo − 20 ; 20 , la ecuación f ( x )= − 2 admite una única solución ¸ . b Dar un encuadre de ¸ de amplitud 0 ; 2 . 3 Un software de cálculo formal da los siguientes resulta-dos : 1 Derivar − 10 · x +200 · e 0 , 2 · x +3 − 2 · x +30 · e 0 , 2 · x − 3 2 Derivar 2 · x +30 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 3 Derivar ( − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 08 · x +0 ; 4 · e 0 , 2 · x − 3 Responda a la siguiente pregunta utilizando los resulta-dos proporcionados por el software: Determine el mayor intervalo en el que la función f es convexa y especifique la abscisa del punto de inflexión. E.7729 Se admite que la función f se de-fine mediante : f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 Con ayuda de un software de cálculo formal, se obtienen los siguientes resultados, que pueden utilizarse sin necesidad de demostración : L1 f(x):=(x^2-2x+1)*e^(-2x+6) → f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 L2 f’(x):=Derivada f(x) → f ( x ) = − 2 · x 2 + 6 · x − 4 · e − 2 x +6 L3 g(x):=Derivada f’ (x) → g ( x ) = − 16 · x · e − 2 x +6 + 4 · x 2 · e − 2 x +6 + 14 · e − 2 x +6 L4 Factorizar g(x) → 2 · e − 2 x +6 · 2 · x 2 − 8 · x + 7 L5 Resolver g(x)=0 → x = − 2 + 4 2 ; x = 2 + 4 2 L6 F(x):=Primitiva f(x) → F ( x ) = 1 4 · − 2 · x 2 + 2 · x − 1 · e − 2 · x +6 1 Determinar el intervalo mayor en el que la función f es cóncava. 2 ¾Admite la curva representativa de la función f puntos de inflexión? Si es así, indicar su abscisa. E.7790 Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; 10 por: f ( x ) = 1 0 ; 5 + 100 · e − x Denotemos por f la función derivada de f en el intervalo 0 ; 10 . 1 Demuestre que, para todo número real x en el intervalo 0 ; 10 , se tiene : f ( x ) = 100 · e − x 0 ; 5 + 100 · e − x 2 Denotemos por f  la derivada segunda de f en el in-tervalo 0 ; 10 . Un software de cálculo formal pro-porciona la siguiente expresión de f  ( x ) : f  ( x ) = 100 · e − x · 100 · e − x − 0 ; 5 0 ; 5 + 100 · e − x 3 2 a Demuestra que, en el intervalo 0 ; 10 , la desigual-dad 100 · e − x − 0 ; 5 0 es equivalente a la desigualdad : x − ln 0 ; 005 . b Deduzca la tabla de signos de la función f  en el inter-valo 0 ; 10 . 3 Se denomina C f a la curva representativa de f trazada en un sistema de coordenadas. Demuestre, con ayuda de la pregunta 2 , , que la curva C f admite un punto de inflexión denominado I , cuyo valor exacto en el eje de abscisas se precisará. 4 Utilizando los resultados de la pregunta 2 , , determine el intervalo en el que la función f es cóncava. 13. Ejercicios no clasificados E.1984 Consider the function : f : x ↦→ − 2 · x 2 + 7 · x − 3 1 Demuestra la siguiente igualdad : (2 · x − 1)(3 − x ) = − 2 · x 2 + 7 · x − 3 2 a Investiga el signo de − 2 · x 2 +7 · x − 3 en función del valor de x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7791 sacados/7791 chapExoCorrec/7729 sacados/7729 chapExoCorrec/7790 sacados/7790 Extrait Liban Juin 2017 chapExoCorrec/1984 sacados/1984
120m77m8mdEntréeSortie b Deduce el conjunto de definición y derivabilidad de la función f . 3 Da la expresión de la función derivada de la función f . 4 Elabora la tabla de variaciones de la función f . E.3644 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 6 − 5 x + 1 1 Estudia la dirección de variación de la función f en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Resuelve en el intervalo 0 ; + ∞ , la ecuación f ( x )= x . Denotamos a la solución única de esta ecuación. 3 Demuestre que si x pertenece al intervalo 0 ; a , entonces f ( x ) pertenece al intervalo 0 ; a . E.8215 La ciudad ˇ Promenade ı desea urbanizar un ter-reno cuadrado atraves-ado por un río que lo recorre lateralmente. La siguiente figura repre-senta el terreno y el río es la parte sombreada : ¾A qué distancia d se debe colocar el puente para que la dis-tancia recorrida por un visitante sea mínima? E.111 Consideremos un segmento [ AB ] de longitud 10 centímetros y un punto M de este segmento, dis-tinto de A y B . Los puntos N y P son tales que AMNP es un cuadrado. El objetivo del ejercicio es determinar el punto M del seg-mento [ AB ] para el que la distancia BN es mínima. Las distancias se expresan en centímetros. 1 Planteamos : AM = x . a Hacemos una figura. b Determina el intervalo de valores posibles para x . c Determinar en función de x la distancia BM . d Determinar en función de x la distancia BN . (Recordemos el teorema de Pitágoras: en un triángulo ABC rectángulo A , tenemos BC 2 = AB 2 + AC 2 ) 2 Consideremos la función f definida en el intervalo [0 ; 10] por: f ( x ) = 2 · x 2 − 20 · x + 100 La función derivada f de f está definida en el intervalo [0 ; 10] por: f ( x ) = 2 x − 10 2 · x 2 − 20 · x + 100 . a Responder a las siguientes cuestiones : i Estudiar las variaciones de la función f en el inter-valo [0 ; 10] ii Demostrar que la función f tiene un mínimo en el intervalo [0 ; 10] que especificaremos. b Responder a las siguientes cuestiones : i Trazar la curva representativa de f en un marco de referencia ortonormal con unidades de un cen-tímetro. ii Resolver gráficamente la ecuación Sef ( x ) = 8 . Mostrar las rectas de construcción útiles y dar val-ores aproximados de las soluciones leídas. 3 A partir de los resultados anteriores, determinar el punto M del segmento [ AB ] para el que la distancia BN es mín-ima. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3644 sacados/3644 chapExoCorrec/8215 sacados/8215 120m77m8mdEntréeSortie sacados/111 Antilles - 2002 sept - obligatoire - 7 points
OABCIxy E.71 La siguiente figura es el esquema de un gato para coches. Este está formado por un rombo deformable OABC , siendo el punto O el punto de apoyo sobre el suelo y el punto B el punto por el que se eleva el coche. Al girar la manivela M , las tuercas A y C se acercan (o se alejan) , ,lo que hace que suba (o baje) el apoyo B , según el eje ( Oy ) . Se da : OA = OC = AB = BC =25 cm En el sistema de coordenadas ortonormales ( O ; x ; y ) de unidad un centímetro, x A designa la abscisa del punto A y varía de 0 a 25. La ordenada del punto B se denota y B : Para x A =0 , tenemos : y B =50 ; Para x A =25 tenemos : y B =0 . Para que el gato funcione correctamente, es necesario : x A > 6 ; y B > 10 . 1 a Utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo AIB , encuentra una relación entre x A y y B y com-prueba que : y B =2 · 625 − x 2 A . b Utilizando la relación encontrada en la pregunta a , ,calcule el valor de x A cuando y B es igual a 10, y luego el valor de y B cuando x A es igual a 6. 2 Consideremos la función f definida para x perteneciente al intervalo 0 ; 25 por: f ( x )=2 · 625 − x 2 . Se aceptará que una función del tipo u , donde u es una función definida y positiva en un intervalo, tiene la mêmisma dirección de variación que u en dicho inter-valo. a Determinar la derivada u de la función u definida en el intervalo 0 ; 25 por u ( x )=625 − x 2 . Estudiar el signo de u ( x ) cuando x varía entre 0 y 25. Deducir el sentido de variación de la función u sobre el intervalo 0 ; 25 . b Deducir la tabla de variaciones de la función f . Pre-cisar los valores de la función en los límites del inter-valo. c Dibujar la curva (Γ) representativa de la función f en un marco de referencia ortonormal con gráfica unidad 0 ; 5 cm . (En la curva deben especificarse los puntos de abscisa 18, 20, 22 y 24.) 3 a Cuando la abscisa x A pasa de 24 a 22, calcular el incremento q 1 de la altura y B redondeado a la décima más próxima. Comprueba la coherencia de este resultado en la curva (Γ) haciendo apparaître las construcciones realizadas. b Evalúa, utilizando la gráfica haciendo apparaî entre los rasgos de construcciones útiles, el aumento q 2 de y b cuando x A pasa de 22 a 20, y luego el aumento q 2 de y B cuando x A pasa de 20 a 18. c Cuando se acciona la manivela de forma regular, ¾se puede decir que el coche sube a una velocidad con-stante? Justifique su respuesta. E.2337 La tabla muestra para cada línea una función y la expresión de la derivada. Establece la precisión de cada línea. Fonction Image de x Nombre derivado en x f (3 x + 2) 6 18 · (3 x + 2) 5 g 4 · (3 − 2 x ) 4 − 32 · (3 − 2 x ) 3 h 1 − 2 x 2 + 3 x + 1 4 x − 3 2 x 2 − 3 x − 1 2 j 5 x 2 + 6 x − 2 5 x + 3 5 x 2 + 6 x − 2 k 2 x − 1 3 − x 2 x − 11 2 · ( x − 3) · 3 − x https://chingmath.fr chapExoCorrec/71 sacados/71 Antilles - 2004 - 7 points - obligatoire OABCIxy chapExoCorrec/2337 sacados/2337