Bachillerato 2 / Ejercicios y competiciones 31 ejercicios (100% corregidos)

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1. Concurso anticipado E.5867 Concours Advance - Sesión 2013 - Calculadora prohibida - Encierra en un círculo la(s) respuesta(s) correcta(s) : El siguiente razonamiento es correcto: a Todos los alumnos se llaman Bob. Sin embargo, algunos Bob no son superdotados. Así que algunos alumnos son superdotados. b Todos los alumnos superdotados se llaman Bob. Pero Bob no es superdotado. Por tanto, Bob no es un alumno. c La mayoría de los Bob no son superdotados. Pero todos los alumnos son superdotados. Así que ningún alumno se llama Bob. d La mayoría de los alumnos se llaman Bob. Pero todos los Bob son superdotados. Así que algunos alumnos son superdotados. e Bob es superdotado. Todos los alumnos son superdota-dos. Así que Bob es un alumno. E.5873 Concours Advance - Sesión 2012 - Calculadora prohibida - Rodee con un círculo la(s) re-spuesta(s) correcta(s) : Sea P el enunciado : ˇ Para que un peón sea blanco, debe estar en bois ı Entonces P significa : a ˇ Cualquier peón blanco está en bois ı b ˇ Cualquier peón de madera es blanco ı c ˇ Si un peón es blanco entonces es de madera ı d ˇ Si un peón es de madera entonces es blanco ı e ˇ Para que un peón sea de madera, basta con que sea blanc ı E.5875 Concours Advance - Sesión 2012 -Calculadora prohibida - Rodea la(s) respuesta(s) correcta(s) : Sea f la función definida en R \{ 1 } por: f ( x ) = x 2 − x + 1 x − 1 Observa C la curva representativa de f en un sistema de ref-erencia ortonormal. a La recta x =1 es una asíntota vertical de C . b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ c f es creciente en 1 ; + ∞ . d f es decreciente en 0 ; 1 . E.5877 Concours Advance - Sesión 2012 -Calculadora prohibida - Rodea la(s) respuesta(s) correcta(s) : Sea f la función definida y derivable en R por: f ( x ) = ( x + 1) · e − 2 x Tenemos : a Para cualquier x ∈ R : f ( x )= x +2 · e − 2 x b f es creciente en −∞ ; − 1 2 c La tangente a la curva f en el punto de abscisa 0 tiene la ecuación y = x +1 d lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ e lim x ↦→−∞ f ( x ) = −∞ E.5868 Concours Advance - Sesión 2013 -Calculadora prohibida - Rodea la(s) respuesta(s) correcta(s) : Sea f la función definida y derivable en R : f ( x ) = x 3 1 + x 2 a Para cualquier x ∈ R : f ( − x ) = − f ( x ) b Para todo x ∈ R : f ( x )= f ( − x ) c Hay un único a ∈ R : f ( a )=0 d f es estrictamente creciente en R . e Para cualquier x ∈ 0 ; + ∞ : f ( x ) x . E.5876 Concours Advance - Sesión 2012 -Calculadora prohibida - Rodea la(s) respuesta(s) correcta(s) : Sea f definida en R por: f ( x ) = 1 − x 2 si x < 0 f ( x ) = x 2 + 2 si x 0 Entonces : a f no admite límite en 0 . b f es derivable en 0 . c f es creciente en R . d La ecuación f ( x )=0 admite una y sólo una solución en R . e f admite una función recíproca definida en R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5867 sacados/5867 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5873 sacados/5873 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5875 sacados/5875 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5877 sacados/5877 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5868 sacados/5868 chapExoCorrec/5876 sacados/5876 Concours Advance Session 2012
-+0-0135∞∞−3−1−2VariationdefSignedefx E.5874 Concurso Advance - Sesión 2012 - Calculadora prohibida - Marque con un círculo la respuesta o respuestas correctas : Sea f una función definida y derivable en 1 ; + ∞ cuya tabla de variaciones es : Se denota C su curva representativa en un sistema de coorde-nadas O ; −→ i ; −→ j . Entonces : a f (4) < 0 b C admite una asíntota vertical. c C admite una asíntota horizontal. d La ecuación f ( x )=0 no admite solución en 3 ; + ∞ . e La ecuación f ( x )= − 1 admite dos soluciones en 1 ; + ∞ . E.5870 Concours Advance - Sesión 2013 - Calculadora prohibida - Rodea con un círculo la(s) re-spuesta(s) correcta(s) : Sea f la función definida en R por: f ( x ) = sin x 2 + cos x . Entonces : a Para cualquier x ∈ R : f ( − x )= f ( x ) b f es periódica de período ı . c f es decreciente en ı 3 ; ı d f es creciente en 0 ; ı 3 e Para cualquier x ∈ 0 ; ı : f ( x ) 5 4 E.5879 Concours Advance - Sesión 2012 - Calculadora prohibida - Rodea con un círculo la respuesta o respuestas correctas : La sucesión real u n es convergente : a u n = n · n + 1 n 2 + 1 b u n = 1 + ( − 1) n · n n + 1 c u n = cos n n + 1 d u n = ( − 1) n · n n + 1 e u n = ln e n +1 n + 1 E.5878 Concurso Advance - Sesión 2012 - Calculadora prohibida - Marque con un círculo la respuesta o respuestas correctas : Sea u n una sucesión geométrica real cuyo primer término es u 0 =36 y cuya razón es q . Entonces a Si u 3 = 4 3 , entonces q = 1 3 b Si u 2 u 4 =4 , entonces q = 2 c Si q< 1 3 , entonces u 4 < 1 d Si existe n ∈ N tal que u n =1 , entonces q = 1 6 e Si lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + u 2 + ··· + u n =30 , entonces q = − 1 5 E.5869 Concours Advance - Sesión 2013 - Calculadora prohibida - Rodea con un círculo la(s) re-spuesta(s) correcta(s) : Para cualquier sucesión real u n : a Si u n no se incrementa entonces : lim n ↦→ + ∞ u n =+ ∞ b Si u n es creciente y se incrementa con 1 entonces : lim n ↦→ + ∞ u n = 1 c Si lim n ↦→ + ∞ u n =+ ∞ entonces u n es creciente a partir de cierto rango. d Si lim n ↦→ + ∞ u n =1 entonces u n es positivo a partir de cierto rango. e Si lim n ↦→ + ∞ u n + u n +1 2 =1 entonces lim n ↦→ + ∞ u n =1 . E.5871 Concurso Advance - Sesión 2013 -No se permite el uso de calculadoras - Marque con un círculo la respuesta o respuestas correctas : Dos laboratorios ofrecen cada uno su vacuna contra la gripe. Se sabe que una cuarta parte de la población ha utilizado la vacuna 1 y una sexta parte la vacuna 2 . No es posible que una persona se vacune dos veces. Tras la epidemia, se observa que 1 % de los enfermos utilizaron la vacuna 1 y 0 ; 6 % la vacuna 2 . Se elige al azar a una persona de la población y se anota : M : ˇ la persona está enferma ı ; I : ˇ la persona ha recibido la vacuna 1 ı ; II : ˇ el individuo ha recibido la vacuna 2 ı. Tenemos : a La probabilidad de que el individuo esté vacunado es : P ( I ) + P ( II ) . b Los datos no permiten calcular P I ( M ) . c P ( I ) = 1 100 d P M II = 0 ; 94 e P II ( M ) P II ( M ) = P M ( II ) ·P II P M ( II ) ·P II https://chingmath.fr chapExoCorrec/5874 sacados/5874 Concours Advance Session 2012 -+0-0135∞∞−3−1−2VariationdefSignedefx chapExoCorrec/5870 sacados/5870 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5879 sacados/5879 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5878 sacados/5878 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5869 sacados/5869 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5871 sacados/5871 Concours Advance Session 2013
E.5880 Concurso Advance - Sesión 2012 -No se permite el uso de calculadoras - Marque con un círculo la respuesta o respuestas correctas : Un servicio de contratación recibe 15 expedientes, de los cuales 6 tienen una opinión favorable y los 9 restantes una opinión desfavorable. Los 15 expedientes están clasificados al azar. Probabilidad del evento : a ˇ el primer expediente es favorable y el segundo desfavor-able ı es 9 35 b ˇ los dos primeros expedientes son favorables ı es 1 7 c ˇ los dos primeros expedientes son desfavorables ı es 6 7 d ˇ al menos uno de los dos primeros expedientes es desfa-vorable ı es 6 7 e ˇ el segundo expediente es favorable sabiendo que el primero es desfavorable ı es 3 7 . E.5881 Concours Advance - Sesión 2012 - Calculadora prohibida - Rodee con un círculo la(s) re-spuesta(s) correcta(s) : Se lanzan dos dados cuyas caras están numeradas de 1 a 6 . Para cada dado, las probabilidades de obtener una de las seis caras son iguales. Anotamos S la suma de los puntos de las caras superiores : Si 2 S 3 , ganamos 20 puntos ; si 3 <S 5 , ganamos 10 puntos. si 5 <S < 10 , ganamos 5 puntos. si 10 S 12 , ganamos 1 punto. Observamos X la variable aleatoria da el número de puntos por lanzamiento. a P X =20 = P X =1 b P X =5 = 5 9 c P X 5 = 13 18 d P X 10 = 5 18 e La expectativa de X es 64 9 . E.5872 Concours Advance - Sesión 2013 - Calculadora prohibida - Rodea con un círculo la(s) re-spuesta(s) correcta(s) : Sean I , J y K tres puntos del plano tales que : IJ = 3 ; IK = 2 ; JIK = ı 3 Sean L y M los puntos del plano definido por: −→ IL = 2 · −→ IJ − 3 · −→ IK ; −−→ IM = −−→ IJ + 4 · −→ IK Entonces : a −→ IL · −→ IK = 3 b −→ IL · −→ IL = 30 c −→ IL · −−→ IM = − 33 d cos LIM = − 11 14 e Una medida de LIM pertenece a ı 2 ; ı . 2. Competición Alpha E.5884 Concours Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elige la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : . Sea la ecuación : ( E ): 6 x 3 +7 x 2 =1 . a ( E ) tiene solución única negativa. b ( E ) tiene una única solución entera. c ( E ) tiene una única solución real. E.5883 Concours Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elige la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : lim x ↦→ 0 sin(5 x ) tan( x ) = a 5 b 0 c + ∞ E.5889 Concurso Alfa - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elija la respuesta de entre las afirma-ciones propuestas : tan(2 x ) = : : : a 2 · tan x tan x 2 − 1 b 2 · tan x 1 − tan x 2 c 2 · tan x 1 + tan x 2 E.5890 Concurso Alfa - Sesión 2011 - Cal-culadora prohibida - Elige la respuesta entre las afirmaciones propuestas : . Sea la ecuación : ( E ): sin x 2 +2 · sin x − 3=0 a ( E ) tiene dos soluciones reales b ( E ) tiene una única solución en el intervalo 0 ; 2 ı c ( E ) tiene cuatro soluciones en el intervalo 0 ; 2 ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5880 sacados/5880 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5881 sacados/5881 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5872 sacados/5872 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5884 sacados/5884 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5883 sacados/5883 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5889 sacados/5889 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5890 sacados/5890 Concours Alpha Session 2011
E.5882 Concurso Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elija la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : Sean u n y v n dos sucesiones numéricas. Entonces a Si la sucesión u n + v n converge, entonces u n y v n convergen. b Si la sucesión u n + v n diverge, entonces u n o v n di-vergen. c Si u n y v n divergen, entonces la sucesión u n + v n diverge. E.5887 Concours Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elija la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : Sean a , b y c tres términos consecutivos de una sucesión arit-mética tal que : a + b + c = 27 ; a + 2 c = 25 Entonces, . . . a la es creciente. b el siguiente término de la sucesión es igual a 5 ; c el siguiente término de la sucesión es igual a 2 . E.5886 Concurso Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elija la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : Sea la sucesión u n definida por u 0 =0 y para todo entero n : u n +1 = u n + 2 n + 1 Entonces :. . . a La sucesión u n es aritmética. b u 99 = 10000 c u 100 = 10000 E.5885 Concours Alpha - Sesión 2011 -Calculadora prohibida - Elija la respuesta entre las afirma-ciones propuestas : Una fábrica fabrica pantallas de plasma. Tras la fabricación, cada pantalla se somete a una prueba. Si la prueba es positiva, la pantalla se entrega al cliente ; si no, la pantalla se repara y se somete a una segunda prueba. Si la segunda prueba es positiva, la pantalla se entrega; en caso contrario, se destruye. 80 % de las pantallas dan positivo en la primera prueba ; de las pantallas que dan negativo en la primera prueba, 60 % dan positivo en la segunda. El coste de fabricación de una pantalla es de 1 000 euros más 100 euros si se requiere una segunda prueba. Para obtener beneficios, el precio de venta debe ser como mín-imo . . . a 1020 euros b 1095 euros c 1075 euros E.5888 Concurso Alfa - Sesión 2011 - Cal-culadora prohibida - Elija la respuesta entre las afirmaciones propuestas : . Hay tres urnas denotadas A , B , C . La urna A contiene una bola numerada 1 ; la urna B contiene dos bolas: una numer-ada 1 y otra numerada 2 ; la urna C contiene tres bolas: una numerada 1 , una numerada 2 y una numerada 3 . Se elige una urna al azar y se extrae una bola de la urna elegida. a La probabilidad de obtener una bola numerada 1 es igual a 1 2 . b La probabilidad de haber elegido la urna A sabiendo que se obtenía una bola numerada 1 es igual a 6 11 . 3. Concurso ECE E.5892 Concurso ECE - Sesión 2007 - Cal-culadora prohibida - Para cada pregunta, diga si la afirmación es Verdadera o Falsa Sea f la función definida en R por f ( x )= x 3 +3 x 2 − 9 x de la curva representativa C f en un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j . a La función f admite un mínimo local en el punto x = − 3 . b La función f es creciente en el intervalo − 3 ; 1 . c La curva C f admite una tangente horizontal en el punto de abscisa x =1 . d El área del dominio plano limitado por la curva represen-tativa de f y las rectas de ecuaciones y =0 , x = − 1 , x =1 es igual a 2 unidades de área. E.5894 Concurso ECE - Sesión 2007 - Cal-culadora prohibida - Para cada pregunta, diga si la afirmación es Verdadera o Falsa Sea f la función definida en R por ( f ( x )=e x · x 2 + x +1 de la curva representativa C f en un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j orthonormal. a En R : f ( x )=e x · x 2 +3 x +2 . b La función f admite un máximo local en x = − 1 . c La curva C f admite una tangente horizontal en el punto de abscisa x = − 2 . d C f admite una asíntota horizontal de ecuación y =0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5882 sacados/5882 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5887 sacados/5887 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5886 sacados/5886 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5885 sacados/5885 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5888 sacados/5888 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5892 sacados/5892 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5894 sacados/5894 Concours ECE Session 2007
E.5896 Concurso ECE - Sesión 2007 -Calculadora prohibida - Para cada pregunta, indique si la afir-mación es verdadera o falsa Sea f la función definida en R por f ( x ) = e − x · 3 x 2 + 10 x + 11 de la curva representativa C f en un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ortonormado a En R : f ( x )= − e − x · 3 x 2 +4 x +1 . b La función f admite un mínimo local en x = − 1 3 . c La ecuación f ( x )=4 e tiene una única solución real. d C f admite una asíntota horizontal de ecuación y =0 . E.5891 Concurso ECE - Sesión 2007 -Calculadora prohibida - Para cada pregunta, indique si la afir-mación es verdadera o falsa En R × R , el sistema de ecuaciones : 2 x − 3 y = 1 5 x − y = 9 tiene como solución (2 ; 1) . Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa : a En R × R , el sistema de ecuaciones : 2 x 2 − 3 y 2 = 1 5 x 2 − y 2 = 9 tiene como solución ( √ 2 ; 1 ) . b En R × R , el sistema de ecuaciones : 2 x − 3 y = 1 5 x − 1 y =9 tiene como solución 1 2 ; 1 . c En R × R , el sistema de ecuaciones : 2 ln x − 3 ln y = 1 5 ln x − ln y = 9 tiene como solución (e 2 ; 0) . d En R × R , el sistema de ecuaciones : 2 sin x − 3 cos y = 1 5 sin x − cos y = 9 tiene infinitas soluciones. E.5895 Concurso ECE - Sesión 2007 - Cal-culadora prohibida - Para cada pregunta, diga si la afirmación es Verdadera o Falsa Sea f la función definida en R por f ( x )=( x − 3)( x +4) y g la función definida en R \{− 1 } por: g ( x )= 1 x +1 . a En los puntos x donde está definida la función g ◦ f : g ◦ f ( x ) = 1 x 2 + x − 11 b En los puntos x donde la función g ◦ f es derivable : g ◦ f ( x ) = − 2 x − 1 x 2 + x − 11 2 c En los puntos x donde está definida la función g ◦ g : g ◦ g ( x ) = x + 2 x + 1 d En R \{− 1 } : g ◦ g ( x )= − 1 x +1 2 E.5893 Concurso ECE - Sesión 2007 -Calculadora prohibida - Para cada pregunta, indique si la afir-mación es verdadera o falsa a El límite de la sucesión de término general: u n = ( − 1) n n 2 + 2 n + 1 n 2 + 1 no existe. b El límite de la sucesión de término general: u n = 1 n · sin n + ln n 2 no existe. c La sucesión de término general u n = e n + n 3 e 2 n + n 2 converge ha-cia 1 . d La sucesión de término general u n = − 2 3 n + 2 3 n con-verge hacia 0 . 4. Ejercicios no clasificados E.6907 Para cada una de las siguientes afirmaciones, indique si es verdadera o falsa y justifique su respuesta Se otorga un punto por cada respuesta correcta justificada. Las respuestas no justificadas no se tendrán en cuenta y la falta de respuesta no se penalizará. Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 3 4 + 6 · e − 2 x Afirmación 1: La ecuación f ( x )=0 ; 5 admite una única solución en R . Consideremos el algoritmo: X ← 0 Y ← 3 10 Mientras Y<0;5 X ← X+0;01 Y ← 3 4+6 · e − 2X Fin Mientras Afirmación 2: Al final de la ejecución de este algo-ritmo, la variable X tiene el valor 0 ; 54 : Zoe va al trabajo a pie o en coche. En el lugar donde vive, llueve un día de cada cuatro. Cuando llueve, Zoé va en coche al trabajo en 80 % de los casos. Cuando no llueve, va andando al trabajo con una proba-bilidad igual a 0 ; 6 . Afirmación 3: Zoe utiliza el coche uno de cada dos días. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5896 sacados/5896 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5891 sacados/5891 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5895 sacados/5895 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5893 sacados/5893 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/6907 sacados/6907
En el conjunto E de resultados de un experimento aleato-rio, se consideran dos eventos A y B Afirmación 4: Si A y B son independientes, entonces A y B también son independientes. Un instituto realiza una encuesta para conocer, en una población determinada, la proporción de personas que están a favor de un proyecto de ordenación del territorio. Para ello, se entrevista a una muestra aleatoria de 700 personas de esa población y se hace una pregunta a cada una de ellas. Se admite que el hecho de que una persona acepte re-sponder o no es independiente de las demás personas en-cuestadas y que la probabilidad de que acepte responder a la pregunta es igual a 0 ; 6 . Afirmación 5: La probabilidad de que al menos 400 personas hayan respondido a la pregunta tiene un valor de 0 ; 93 redondeado al centésimo. https://chingmath.fr