Bachillerato 2 / Continuidad 26 ejercicios (100% corregidos)

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-4-3-2-1234I-2-123JO -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO 1. Continuidad en un punto E.3537 A continuación se da la curva repre-sentativa C f de la función f ; esta curva admite una tangente vertical en el punto de abscisa 1 ; 5 : 1 Determinar gráficamente el conjunto de definición de la función f . 2 Determina gráficamente el conjunto de derivabilidad de la función f . 3 Determina los siguientes límites: a lim x ↦→− 2 − f ( x ) b lim x ↦→− 2 + f ( x ) c lim x ↦→ 1 − f ( x ) d lim x ↦→ 1 + f ( x ) 4 a ¾Cuántos números a existen tales que : lim x ↦→ a − f ( x ) = lim x ↦→ a + f ( x ) b ¾Qué característica gráfica tienen los puntos de abscisa a que verifica tal condición? E.3538 La parte entera de 5 ; 5 es 5; Para ex-tender este concepto al conjunto de los números reales (y, en particular, a los números negativos) , , se define la parte entera de un número x , que se denota E ( x ) , de la siguiente manera : ˇ E ( x ) es el mayor entero del conjunto de los enteros menores o iguales a x ı 1 a Supongamos que x = − 2 ; 5 , justifique que E ( x )= − 3 . b Complete la siguiente tabla : x − 4 ; 5 − 4 − 3 ; 9 − 3 ; 2 − 3 E ( x ) c Justifique el siguiente marco para cualquier número real x : E ( x ) x <E ( x ) + 1 2 a Consideremos el sistema de coordenadas ortogonales O ; I ; J que se muestra a continuación ; . Realice la representación gráfica de la función E en − 4 ; 4 b ¾Qué particularidades tiene esta curva? E.5825 Consideremos la función f definida en R ∗ por la relación: f ( x ) = | x | x 1 Justifique que la función f no es continua en 0 . 2 Determine los dos límites siguientes : lim x ↦→ 0 − x =0 f ( x ) ; lim x ↦→ 0+ x =0 f ( x ) E.3542 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 3 x − 1 6 x 2 − 11 x + 3 1 Determina el conjunto D f de definición de la función f . 2 ¾Es posible extender por continuidad la función f en 1 3 de modo que sea continua en ese valor? Es decir, ¾existe un número a tal que la siguiente función g sea continua en 1 3 : g ( x ) = 3 x − 1 6 x 2 − 11 x + 3 pour x ∈D f g 1 3 = a pour x = 1 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3537 sacados/3537 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/3538 sacados/3538 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/5825 sacados/5825 chapExoCorrec/3542 sacados/3542
−51510354-6-1-13xVariationdef −4243−92-1xVariationdef 234567I-2-123456JO E.3539 1 Consideremos la función f cuya imagen de un número x viene definida por la relación: f ( x ) = x 2 + 1 − 1 x a Determinar el conjunto de definición de la función f . b Determina el valor de los dos límites siguientes : lim x ↦→ 0 − f ( x ) ; lim x ↦→ 0 + f ( x ) c ¾Podemos decir que la función f es continua en 0 ? 2 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = f ( x ) pour x =0 g (0) = 0 Justifica que la función g es continua en 0 . 2. Tabla de signos sin el teorema del valor intermedio E.2927 1 Sea n cualquier número natural distinto de cero. Consid-eremos la función f definida en R + por la relación: f ( x ) = 1 + x n − 1 − n · x Establece la dirección de variación de la función f en R + . 2 Establezca la desigualdad siguiente para cualquier número positivo x y cualquier número natural estricta-mente positivo n : 1 + x n 1 + n · x La desigualdad establecida en la última pregunta se denom-ina : desigualdad de Bernoulli . 3. Teorema del valor intermedio E.3543 Consideremos una función f que admite la siguiente tabla de variaciones: 1 Justifique que la función f se anula dos veces en su con-junto de definición. 2 Sea m un número real. Discuta en función del valor de m el número de soluciones de la ecuación f ( x )= m . E.3569 Consideremos una función f definida en el intervalo − 4 ; 4 que admite la siguiente tabla de varia-ciones : 1 Justifica que la función f se anula una vez en su conjunto definidor. 2 Sea m un número real. Discuta en función del valor de m el número de soluciones de la ecuación f ( x )= m . E.6239 Consideremos la función f definida, con-tinua y estrictamente creciente en el intervalo 0 ; + ∞ , tal que : lim x ↦→ 0 + f ( x ) = −∞ ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ Denominamos Γ a su curva representativa en un sistema de coordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j del plano. 1 Demostrar que, para todo número natural n , la ecuación f ( x )= n admite una única solución en 0 ; + ∞ . Denominamos ¸ n a esta solución. 2 En la página anexa, hemos trazado Γ en el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . Coloca los números ¸ 0 , ¸ 1 , ¸ 2 , ¸ 3 , ¸ 4 y ¸ 5 en el eje de abscisas dejando visibles las líneas de construcción. 4. Funciones exponenciales y teorema del valor intermedio https://chingmath.fr chapExoCorrec/3539 sacados/3539 chapExoCorrec/2927 sacados/2927 chapExoCorrec/3543 sacados/3543 −51510354-6-1-13xVariationdef chapExoCorrec/3569 sacados/3569 −4243−92-1xVariationdef chapExoCorrec/6239 sacados/6239 234567I-2-123456JO
E.4302 Nótese f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 x 2 · e 1 x 1 Démontrer que, la función derivada de la función f se ex-presa, para cualquier real x estrictamente positivo, por: f ( x ) = − 1 x 4 · e 1 x · 2 · x + 1 2 Determinar el signo de f y deducir la tabla de varia-ciones de f en el intervalo 0 ; + ∞ . 3 Démontrer que la ecuación f ( x )=2 tiene una única solu-ción denotada ¸ perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ y dar el valor de ¸ redondeado a la centésima. E.5528 Sea g la función definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x e x − e + e − 2 1 Sea g la función derivada de la función g . Calcula g ( x ) para cualquier x real de 0 ; + ∞ . Comprueba que la fun-ción derivada segunda g  está definida en 0 ; + ∞ por: g  ( x ) = (2 + x )e x 2 Deduce las variaciones de la función g en 0 ; + ∞ . 3 Establece que la ecuación g ( x )=0 admite una solución única ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ . Determina el valor de ¸ , aproximado al 10 − 1 más cer-cano. 4 Deduce las variaciones de la función g en 0 ; + ∞ . 5. Estudio de funciones: exponenciales E.3666 El objetivo de esta pregunta es demostrar que existe una solución real única de la ecuación : ( E ) : e 2 x + 4 · x · e x − 4 · e x − 4 = 0 Para ello, considera la función definida en R por: f ( x ) = e 2 x + 4 · x · e x − 4 · e x − 4 . 1 Demuestre que para cualquier x perteneciente a − ∞ ; 0 : e 2 x − 4 < 0 ; 4 · e x ( x − 1) < 0 2 Deduce que la ecuación ( E ) no tiene solución en el inter-valo −∞ ; 0 . 3 Demuestre que la función f es estrictamente creciente en el intervalo 0 ; + ∞ 4 Demostrar que la ecuación ( E ) tiene solución única en el intervalo 0 ; + ∞ . Denotamos ¸ esta solución. Dar una amplitud 10 − 2 marco de a . E.107 Denotemos por R el conjunto de los números reales y consideremos la función f definida en R mediante : f ( x ) = x · e x − 1 + 1 Denotemos por C su curva representativa en un sistema de coordenadas ortonormado O ; −→ i ; −→ j . Parte A : estudio de la función 1 Determina el límite de f en −∞ . ¾Qué se puede deducir sobre la curva C ? 2 Determina el límite de f en + ∞ . 3 Supongamos que f es derivable en R , y denotemos por f su función derivada. Demostrar que, para todo número real x : f ( x )=( x + 1) · e x − 1 4 Estudiar las variaciones de f en R y elaborar su tabla de variaciones en R . Parte B: búsqueda de una tangente particular Sea a un número real estrictamente positivo. El objetivo de esta parte es determinar si existe una tangente a la curva C en el punto de abscisa a que pase por el origen del sistema de coordenadas. 1 Denotemos por T a la tangente a C en el punto de abscisa a . Hallar una ecuación de T a . 2 Demostrar que una tangente a C en un punto de abscisa a estrictamente positiva pasa por el origen del sistema de coordenadas si, y solo si, a cumple la igualdad : 1 − a 2 · e a − 1 = 0 3 Demostrar que 1 es la única solución en el intervalo 0 ; + ∞ de la ecuación 1 − x 2 · e x − 1 = 0 Indicación : en esta pregunta, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier indicio de resolución, aunque sea in-completo. 4 A continuación, da una ecuación de la tangente buscada. 6. Estudios funcionales E.3544 Consideremos la función f cuya imagen de un número x se define mediante la relación: f ( x ) = x 2 − 1 − 1 x + 1 Denotemos por C f la curva representativa de la función f . 1 a Determinar el conjunto de definición de la función f . b Determinar los límites de la función f en sus extremos. c ¾Admite la curva C f asíntotas? En caso afirmativo, especifique cuáles. 2 a Determine la expresión de la función f derivada de la función f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4302 sacados/4302 Extrait d'Asie Juin 2010 chapExoCorrec/5528 sacados/5528 chapExoCorrec/3666 sacados/3666 chapExoCorrec/107 sacados/107 Extrait de Antilles-Guyanes Juin 2012 chapExoCorrec/3544 sacados/3544
b Elabora la tabla de variaciones de la función f en el intervalo 1 ; + ∞ . 3 a Justifica que la función f solo se anula una vez en el intervalo 1 ; + ∞ . b Traza la curva representativa de la función f con ayuda de tu calculadora.; Utiliza las funciones de tu calcu-ladora para determinar el valor de este cero de la fun-ción f , redondeado al centésimo. 7. Estudios de funciones con la segunda derivada E.3562 Consideremos la función f definida en R , cuya imagen de un número x viene definida por la relación: f ( x ) = x − 1 + 2 x 2 + 1 1 Determinar la expresión de la derivada f de la función f , así como la de la derivada segunda f  . 2 a Estudiar el signo de la función f  . b Deducir la tabla de variaciones de la función f . ( Se buscará un valor redondeado de los extremos con una precisión de décimas utilizando la calculadora) 3 a Demuestre que la función f se anula para x =1 y también en un número ¸ que verifica el encuadre : 0 ; 2 <¸ < 0 ; 3 b Deduzca la tabla de signos de la función f . 4 a Determine el valor de los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) b Elabora la tabla de variaciones de la función f . ( Se buscará un valor redondeado de los extremos al décimo más cercano con ayuda de la calculadora) E.5813 Consideremos la función f definida en R cuya imagen de un número x viene dada por la relación: f ( x ) = 5 x − 1 x 2 + x + 1 1 a Demuestre que la función f tiene como segunda derivada la función f  definida por: f  ( x ) = − 6 x · ( x + 1) x 2 + x + 1 3 b Elabora la tabla de signos de la función f  . 2 a Deduce de la pregunta 1 , la tabla de variaciones de la función f . b Justifica que la función f es positiva en R . 3 Justifica que la función f admite un único cero en R . E.5812 Consideremos la función f definida en R , cuya imagen de un número real x viene definida por la expresión : f ( x ) = 3 · x 2 + 1 − 2 · x El objetivo del ejercicio es demostrar que la función f admite un máximo global y obtener un valor aproximado. 1 a Demostrar que la derivada segunda de la función f admite como expresión : f  ( x ) = 3 x 2 + 1 · x 2 + 1 b Establecer los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = − 5 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 1 c Elaborar la tabla de variaciones de la función f . 2 a Justificar que la función f se anula una única vez en R . b Se denota ¸ la única solución de la ecuación : f ( x )= 0 . Justificar brevemente que el número ¸ pertenece al in-tervalo 0 ; 8 ; 0 ; 9 . 3 a Elabore la tabla de signos de la función f . b Justifique que la función f admite un mínimo global que se alcanza para x = ¸ . E.5235 Sea g la función definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x · e x − e + e − 2 1 Sea g la función derivada de la función g . Calcula g ( x ) para cualquier x real de 0 ; + ∞ . Verifica que la función derivada segunda g  está definida en 0 + ∞ por: g  ( x ) = (2 + x )e x 2 Deduce las variaciones de la función g en 0 ; + ∞ . 3 Establece que la ecuación g ( x )=0 admite una solución única ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ . Determina un valor aproximado de ¸ al 10 − 1 más cer-cano. 4 Deduce las variaciones de la función g en 0 ; + ∞ . 8. Estudios de funciones con una subfunción: exponencial E.3904 Parte A : Sea g la función definida en [0;+ ∞ por: g ( x )=e x − x · e x +1 . 1 Determina el límite de g en + ∞ . 2 Estudia las variaciones de la función g . 3 Dar la tabla de variaciones de g . 4 a Demostrar que la ecuación g ( x )=0 admite en 0 ; + ∞ una única solución. Denotamos ¸ esta solu-ción. b Utilizando la calculadora, determina una amplitud 10 − 2 marco de ¸ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3562 sacados/3562 chapExoCorrec/5813 sacados/5813 chapExoCorrec/5812 sacados/5812 chapExoCorrec/5235 sacados/5235 chapExoCorrec/3904 sacados/3904
c Demostrar que : e α = 1 ¸ − 1 5 Determina el signo de g ( x ) en función de los valores de x . Parte B: Sea A la función definida y derivable en 0 ; + ∞ tal que : A ( x ) = 4 x e x + 1 1 Demostrar que para cualquier real x positivo o cero, A ( x ) tiene el mismo signo que g ( x ) donde g es la función definida en la parte A . 2 Deduce las variaciones de la función A en 0 ; + ∞ . E.3704 Sea la función f definida explícita-mente en una parte determinada D de R mediante la fórmula : f ( x ) = x 2 e x − x − 2 Se propone el estudio de esta función f . 1 Se establece : g ( x )=e x − x − 2 . a Estudiar el signo en R de la derivada g ( x ) . b Hallar, mediante factorización de e x , el límite de g ( x ) cuando x ↦→ + ∞ . c Deduzca que existen dos números reales, denotados por a y b , con a<b , tales que : g ( a ) = g ( b ) = 0 d Demuestre que : − 2 <a< − 1 ; 1 <b< 2 2 a Determinar en D la derivada de la función f y de-mostrar que puede expresarse de la forma : f ( x ) = x · u ( x ) g ( x ) 2 b Calcular la derivada u  de u y estudiar su signo. c Deduzca de la pregunta b las variaciones de u , así como las de u y demostrar que existe un real, anotado c tal que u ( c )=0 . Demostrar que c< − 2 . d Por último, hallar el signo de esta función u y el signo de la derivada f ( x ) . 3 Elaborar la tabla de variaciones de f . Demuestre que la función f admite un mínimo m en el intervalo −∞ ; a . Demuestre que : m = c · (2 − c ) c + 1 . 4 Determinar los límites de f en −∞ , a , b , + ∞ . (Para a y b , se distinguirán los límites a la derecha y los límites a la izquierda) . 5 Reúna todos los resultados anteriores dibujando el as-pecto del gráfico de la función f . 9. Estudios de funciones con una subfunción E.3557 1 Consideremos la función polinómica P definida para todo número real x por: P ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 a Estudiar las variaciones de P . b Demuestre que la ecuación P ( x )=0 admite una y solo una raíz real, ¸ , y que ¸ pertenece al intervalo 1 ; 6 ; 1 ; 7 2 Sea D el conjunto de los números reales estrictamente superiores a − 1 . Consideramos la función numérica f definida en D por: f ( x ) = 1 − x 1 + x 3 Denotemos por C la curva representativa de f en el plano referido a un sistema de coordenadas ortonormales ( tomaremos como unidad 4 cm ) . a Estudiar las variaciones de f ( para ello utilizaremos los resultados de 1 ) . b Escribir una ecuación de la recta (Δ) tangente a la curva ( C ) en el punto de abscisa 0 . Estudiar la posi-ción de la curva ( C ) con respecto a la recta (Δ) en el intervalo − 1 ; 1 . c Demostrar que la curva ( C ) se encuentra por encima de su tangente en el punto de abscisa 1. Traza la curva ( C ) , la recta (Δ) y la tangente a ( C ) en el punto de abscisa 1. E.6246 Consideremos la función f definida en R por la expresión : f ( x ) = x 3 + 5 · x 2 + 2 x 2 + 2 Parte A : estudio de una función anexa Sea g la función polinómica de grado 3 definida por: g ( x ) = x 3 + 6 x + 16 1 Determinar los límites de la función g en −∞ y + ∞ . 2 Elaborar la tabla de variaciones de la función g en R . 3 Justificar que la función g se anula una y solo una vez en R . Se anotará ¸ como la única solución de la ecuación : g ( x ) = 0 . Se dará un valor aproximado de ¸ con dos decimales. 4 Deduzca el signo de la función g en R . Parte B: estudio de la función f 5 Determinar los límites de la función f en + ∞ y −∞ . 6 a Determinar la expresión de la derivada f de la fun-ción f y demostrar que admite la expresión : f ( x ) = x · g ( x ) x 2 + 2 2 b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . Se utilizará el valor aproximado: f ( ¸ ) ≈ 2 ; 36 7 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se considera la curva C f representativa de la función f . a Determinar la ecuación reducida de la tangente (Δ) a la curva C f en el punto de abscisa − 1 b Estudiar el signo de la diferencia f ( x ) − − x +1 sobre https://chingmath.fr chapExoCorrec/3704 sacados/3704 Concours Efrei Avril 2002 chapExoCorrec/3557 sacados/3557 chapExoCorrec/6246 sacados/6246 fichierPlus/6246/
R . Deduzca la posición relativa de la curva C f con re-specto a la tangente (Δ) . E.3556 Consideramos las funciones numéricas de una variable real definidas por: f : x ↦−→ 1 3 · x 2 + x + 1 x ; g : x ↦−→ 2 x 3 + x 2 − 1 1 Demuestre que, para cualquier x =0 , los números f ( x ) y g ( x ) tienen el mismo signo. 2 Estudie las variaciones de la función g sobre R . Deduzca que la ecuación g ( x )=0 admite en R una solución única ¸ con 0 <¸< 1 . ( No intentaremos calcular ¸ ) 3 Elaboramos la tabla de variaciones de la función f . ( admitimos que f ( ¸ ) ≈ 0 ; 87 ) Denotamos por ( C ) la representación gráfica de la función f en una ( unidad ortonormal 3 cm ) , par I el punto de ( C ) con abscisa − 1 y por J el punto de ( C ) con abscisa +1 . 4 a Comprueba que la recta ( IJ ) es tangente en J a ( C ) . b Determina una ecuación de la tangente ( T ) en I a ( C ) . 5 Investiga la posición de ( C ) respecto a ( T ) . 6 Utiliza los resultados anteriores para construir la curva ( C ) . ( Tomaremos 2 = 3 como valor de ¸ ) E.3563 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 3 − 1 + 2 · x 2 1 Estudia los límites de f en + ∞ y en −∞ . 2 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = 3 · x · 2 x 2 + 1 − 2 a Justifica que la función g es estrictamente creciente en R . b Demuestre que existe un único real ¸ tal que g ( ¸ )=0 . Además, justifique que : 0 ; 5 <¸< 0 ; 6 . c Elabora la tabla de signos de la función g . 3 a Determina la expresión de la derivada f de la fun-ción f . b Elabora la tabla de signos de f . c Deduce la tabla de variaciones de la función f . (se utilizarán valores aproximados obtenidos con la calcu-ladora) . E.5102 1 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = − 8 x 3 + 4 x − 4 a Elabora la tabla de variaciones de la función g . (se utilizarán valores aproximados para completar la tabla) b Observando que g ( − 1)=0 , elabora la tabla de signos de la función g . 2 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 x 2 + 1 2 x 2 + 2 x + 3 2 a Determina el conjunto de definición de la función f . b Determinar los límites de f en los límites de su con-junto de definición. c Establecer que la función f admite como derivada la función f cuya expresión viene dada por la relación: f ( x ) = − 8 x 3 + 4 x − 4 (2 x 2 + 2 x + 3) 3 d Elabora la tabla de variaciones de la función f . (se utilizarán valores aproximados para completar la tabla) e Deduce la tabla de signos de la función f . 10. Dicotomía E.3534 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 3 + 3 · x 1 a Elaborar la tabla de variaciones de la función f . b Justificar que el número 5 admite un único antecedente por la función f ; se anotará ¸ este número. 2 Se establece como valor a 0 =0 y b 0 =2 . Se desea construir mediante el método de dicotomía las dos sucesiones a n y b n adyacentes y convergentes hacia ¸ . a Complete la tabla siguiente : a n c n b n f ( a n ) f ( c n ) f ( b n ) n =0 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 b ¾Con qué precisión se obtiene el valor de ¸ utilizando la tabla? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3556 sacados/3556 Nancy-Metz 1987 chapExoCorrec/3563 sacados/3563 fichierPlus/3563/diapoCorrection.pdf chapExoCorrec/5102 sacados/5102 chapExoCorrec/3534 sacados/3534