Bachillerato 2 / Diagrama de Bernoulli y distribución binomial 45 ejercicios (incluyendo 44 corregidos)

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ESESESESESESES ESESESESESESESESESESESESESESES SESESESESESESE SESESESESESESESESESESESESESESE 1. Repeticiones independientes de las pruebas Bernoulli E.5382 Consideremos una prueba que ad-mite dos resultados : uno denomi-nado ˇ éxito ı ı y con una probabil-idad S de 0 ; 4 ; el otro denominado ˇ fracaso ı ı y con una probabilidad E . Se decide repetir tres veces esta misma prueba. Se obtiene el árbol de probabilidad que se muestra al lado. Se supone que estas repeticiones son independientes entre sí. 1 ¾Completar este árbol de probabilidad? 2 a ¾Cuántos caminos tienen 3 éxitos? b ¾Cuál es la probabilidad de obtener tres éxitos al final de este experimento aleatorio? 3 a ¾Cuántas rutas tienen 0 éxitos? b ¾Cuál es la probabilidad de no obtener ningún éxito al final de este experimento aleatorio? 4 a ¾Cuántas rutas tienen 2 éxitos? b ¾Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos éxitos al final de este experimento aleatorio? E.5383 Consideramos un ensayo con sólo dos resultados : un resultado con probabilidad 0 ; 3 denotado S ; el otro resultado se denota E . Consideramos el experimento aleatorio consistente en cua-tro repeticiones del ensayo anterior. Este nuevo experimento aleatorio está representado por el árbol de elección siguiente : 1 ¾Cuántos sucesos elementales componen este experi-mento aleatorio? 2 Note X la variable aleatoria que, para cada suceso ele-mental, cuenta el número de sucesos S realizados. Determine las siguientes probabilidades redondeadas a la milésima: a P X =0 b P X =1 c P X =2 2. Coeficientes binomiales E.5384 Estos son los árboles de elección asoci-ados a la repetición de una prueba de Bernoulli respectiva-mente 3 y 4 veces : 1 Para la repetición tres veces de la prueba de Bernoulli, complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 Número de resultados 2 Para la repetición cuatro veces de la prueba de Bernoulli, complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 4 Número de resultados 3 ¾Existe algún método para obtener la segunda tabla a partir de la primera? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5382 sacados/5382 ESESESESESESES chapExoCorrec/5383 sacados/5383 ESESESESESESESESESESESESESESES chapExoCorrec/5384 sacados/5384 SESESESESESESE SESESESESESESESESESESESESESESE
E0E0S1E0S1E1E0S1E1S2E0S1E1S2E1E0S1E1S2E1S2E0S1E1S2E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5ESESESESESESESESESESESESESESES E.5203 La siguiente figura representa la repetición de cinco pruebas de Bernoulli où los dos resultados son S (éxito) y E (fracaso) . El número en índice en la quinta opción representa el número de éxitos logrados en la ruta elegida. 1 Complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 4 5 Número de chemins asociados 2 Consideremos la misma prueba de Bernoulli, pero repetida seis veces : a Indique el número de caminos que logran 4 éxitos cuando se repite seis veces una prueba de Bernoulli (Podemos completar el árbol de opciones o razonar) . b Complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 4 5 6 Número de chemins asociados 3. Ley binomial E.6064 Sea X siguiendo una ley binomial con parámetros 15 y 0 ; 35 . Es decir : X∼B (15 ; 0 ; 35) Determine el valor exacto y, a continuación, el valor re-dondeado a milésimas de las siguientes probabilidades : a P X =5 b P X =7 c P X =9 E.4323 Un jugador dispone de un dado cúbico equilibrado cuyas caras están numeradas del 1 al 6 . En cada lanzamiento, gana si obtiene 2 , 3 , 4 , 5 o 6 ; pierde si obtiene 1 . Una partida consta de 5 tiradas sucesivas e independientes del dado. Determina la probabilidad exacta de que el jugador pierda 3 veces durante una partida y, a continuación, redondea el valor al centésimo. E.4157 Una urna contiene una bola blanca y dos negras. Hacemos 10 extracciones sucesivas de una bola con un descuento (extraemos una bola al azar, anotamos su color, la volvemos a meter en la urna y empezamos de nuevo) . Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa, y jus-tifique la respuesta elegida. Proposición: La probabilidad de sacar exactamente 3 bo-las blancas es : 3 × 1 3 3 × 2 3 7 E.4151 Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p donde n es igual a 4 y p pertenece a 0 ; 1 . Sin justificar, diga si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Proposición 1: si P ( X =1)=8 ·P ( X =0) alors p = 2 3 . Proposición 2: si p = 1 5 alors P ( X =1)= P ( X =0) . 4. Ley binomial y sucesos complementarios E.5387 Consideremos una variable aleatoria X que sigue la distribución binomial con parámetro n =15 y p =0 ; 63 . 1 Utilizando una calculadora, determina los siguientes coe-ficientes binomiales : a 15 13 b 15 14 c 15 15 2 Determina el valor exacto de las siguientes probabili-dades, luego redondeadas al 10 − 4 más próximo: a P X =13 b P X =14 c P X =15 3 Deduce el valor, redondeado a la unidad 10 − 4 , de la prob-abilidad del suceso X 12 . E.5408 Consideremos una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con parámetros 6 y 0 ; 3 . 1 Determinar el valor exacto de las siguientes probabili-dades, redondeadas al centésimo : a P X =0 b P X =1 2 Deducir el valor, redondeado al milésimo, de : P X 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5203 sacados/5203 E0E0S1E0S1E1E0S1E1S2E0S1E1S2E1E0S1E1S2E1S2E0S1E1S2E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5ESESESESESESESESESESESESESESES chapExoCorrec/6064 sacados/6064 chapExoCorrec/4323 sacados/4323 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/4157 sacados/4157 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/4151 sacados/4151 chapExoCorrec/5387 sacados/5387 chapExoCorrec/5408 sacados/5408
E.4213 Durante una epidemia en el ganado bovino, se realiza una prueba para detectar esta en-fermedad. Se lleva a cabo un estudio sobre este rebaño y la probabilidad de que la prueba dé positivo en un animal de este rebaño es de 0 ; 058 . Se eligen cinco animales al azar. El tamaño de este rebaño per-mite considerar las pruebas como independientes y asimilar los sorteos a sorteos con reposición. Se denota X la variable aleatoria que, a los cinco animales elegidos, asocia el número de animales que dan positivo en la prueba. 1 ¾Cuál es la ley de probabilidad que sigue X ? 2 ¾Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco animales dé positivo en la prueba? Se dará el valor ex-acto y el valor aproximado al milésimo. E.4214 Cada año se organiza una com-petición deportiva para unir dos pueblos lo más rápidamente posible. Son posibles varios medios de desplazamiento : en bicicleta ; en patines ; a pie. Se supone que los resultados de los distintos años son indepen-dientes entre sí. Sobre la base de la experiencia de los años anteriores, podemos considerar que la probabilidad de que el ganador haya realizado el recorrido en bicicleta es 2 3 . Calcule la probabilidad de que en los próximos seis años la prueba sea ganada al menos una vez por un competidor que no seacyclistı. , y dé el valor de esta probabilidad a la milésima más cercana. E.4176 Todos los resultados se re-dondearán a 10 − 2 . Una empresa produce bolígrafos en grandes cantidades. La probabilidad de que un bolígrafo presente un defecto es igual a 0 ; 1 . Se toman sucesivamente ocho bolígrafos de esta producción, con reposición. Se denota por X la variable aleatoria que cuenta el número de bolígrafos defectuosos entre los ocho bolí-grafos seleccionados. 1 Se admite que X sigue una ley binomial. Dé los parámet-ros de esta ley. 2 Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos : a A : ˇ no hay ningún bolígrafo con defectos ı ; b B : ˇ hay al menos un bolígrafo con un defecto ı ; c C : ˇ hay exactamente dos bolígrafos con un defecto ı. 5. Ley binomial y funciones de distribución E.8210 Consideremos una variable aleatoria X que sigue la ley binomial con parámetros 14 y 0 ; 44 ( X∼B 14 ; 0 ; 44 ) . k 0 1 2 3 4 5 6 7 P X k 0,0002 0 ; 003 0 ; 02 0 ; 073 0 ; 186 0 ; 365 0 ; 576 0 ; 765 k 8 9 10 11 12 13 14 P X k 0 ; 895 0 ; 963 0 ; 99 0 ; 998 0 ; 999 0 ; 999 1 1 a Determinar la probabilidad del evento X =5 . b Dar el valor de : P X =8 + P X =9 2 Determinar el valor de la probabilidad : P X > 5 3 Responder a las siguientes preguntas : a Indique la probabilidad de que la variable X tenga un valor mínimo de 7 . b Indique la probabilidad de que la variable X tenga un valor máximo de 7 . 4 Determine las siguientes probabilidades : a P 3 X 6 b P 5 X 10 6. Distribución binomial con calculadora: valores en puntos E.6065 Sea X una variable aleatoria que sigue una ley binomial con parámetros 7 y 0 ; 6 . Es decir : X ∼ B (7 ; 0 ; 6) Con ayuda de la calculadora, complete la tabla siguiente con valores redondeados al milésimo para obtener la ley de prob-abilidad de la variable aleatoria X : x 0 1 2 3 4 5 6 7 P X = x 7. Distribución binomial con calculadora: valores acumulativos E.5407 Considere una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con parámetros 20 y 0 ; 2 . Las preguntas se responderán utilizando la calculadora. Los resultados se redondearán a la 10 − 3 : 1 Determina el valor de las siguientes probabilidades : a P X =5 b P X =9 2 Determina el valor de las siguientes probabilidades : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4213 sacados/4213 Antilles-guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/4214 sacados/4214 chapExoCorrec/4176 sacados/4176 sacados/8210 chapExoCorrec/6065 sacados/6065 chapExoCorrec/5407 sacados/5407
a P X 5 b P X 9 E.5426 Se supone que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n =22 y p =0 ; 37 . Utilizando la calculadora y sin justificar, dé la probabilidad de P 3 X 7 redondeada a la 10 − 4 más próxima. E.5816 El gerente de una tetería compra 10 cajas de té verde a un mayorista. Se supone que el stock de este último es lo suficientemente grande como para modelar esta situación mediante un muestreo aleatorio de 10 cajas con devolución. Un estudio realizado sobre las cajas de té verde del mayorista muestra que 12 % de las cajas presentan trazas de pesticidas en su té. Consideramos la variable aleatoria X que asocia a esta mues- tra de 10 cajas el número de cajas sin rastros de pesticidas. 1 Justifique que la variable aleatoria X sigue una ley bino-mial cuyos parámetros se especificarán. 2 Calcule la probabilidad de que las 10 cajas no contengan trazas de pesticidas. Se da el valor exacto y el valor redondeado a 10 − 4 . 3 Dé, con una precisión de milésimas, la probabilidad de que al menos 8 cajas no presenten trazas de pesticidas. E.5386 Consideremos una variable aleatoria X que sigue una ley binomial con parámetros n =5 y p =0 ; 6 . Redondearemos las probabilidades al milésimo. 1 Expresar la distribución de la variable X en forma de tabla. 2 Determinar las siguientes probabilidades : a P X 1 b P X > 1 8. Ley binomial - problemas E.4153 Consideremos un cuestionario con cinco preguntas. Para cada una de las cinco preguntas planteadas se proponen tres respuestas ( A , B y C ) , de las cuales sólo una es correcta. Un candidato responde a todas las preguntas planteadas es-cribiendo una palabra de respuesta de cinco letras. Por ejemplo, la palabra ˇ BBAAC ı significa que el candidato ha respondido B a la primera y segunda preguntas, A a la tercera y cuarta preguntas y C a la quinta pregunta. 1 ¾Cuántas palabras de respuesta posibles hay para este cuestionario? 2 Se supone que el candidato responde al azar a cada una de las cinco preguntas de este cuestionario. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos : a E : ˇ el candidato tiene exactamente una respuesta cor-recta. ı. b F : ˇ el candidato no tiene ninguna respuesta exacte ı. c G : ˇ la palabra de respuesta del candidato es una palin-drome ı. (Tenga en cuenta que un palíndromo es una palabra que puede leerse tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda : por ejemplo, ˇ BACAB ı es un palíndromo) E.3748 Una fábrica de relojería fabrica una serie de relojes. Durante la fabricación pueden aparecer dos tipos de defectos, designados por a y b . 2 % de los relojes fabricados presentan el defecto a y 10 % el defecto b . Se selecciona al azar un reloj de la producción. Se definen los siguientes eventos : A : ˇ el reloj seleccionado presenta el defecto a ı ; B : ˇ el reloj seleccionado presenta el defecto b ı ; C : ˇ el reloj seleccionado no presenta ninguno de los dos defectos ı ; D : ˇ el reloj seleccionado presenta uno y solo uno de los dos defectos ı. La probabilidad del evento C es igual a 0 ; 882 . 1 Calcular la probabilidad del evento D . 2 Durante la fabricación, se extraen al azar cinco relojes sucesivamente. Se considera que el número de relojes fabricados es lo su-ficientemente grande como para suponer que las extrac-ciones se realizan con reposición y son independientes. Sea X la variable aleatoria que, en cada selección de cinco relojes, asocia el número de relojes que no presen-tan ninguno de los dos defectos a y b . Se define el evento : E : ˇ al menos cuatro relojes no tienen ningún defecto ı. Calcular la probabilidad del evento E . Se dará un valor aproximado con una precisión de 10 − 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5426 sacados/5426 chapExoCorrec/5816 sacados/5816 Extrait du Bac Asie Juin 2013 chapExoCorrec/5386 sacados/5386 chapExoCorrec/4153 sacados/4153 chapExoCorrec/3748 sacados/3748
0;85T0;15T0;01M0;05T0;95T0;99M E.5448 En un colegio, dos asociaciones ofrecen actividades extraescolares a los alumnos : la asociación de-portiva y la asociación artística. Un estudio analizó cuántos alumnos se inscribían en cada una de estas dos asociaciones. Estos son algunos de los resultados : 42 % de los alumnos se han inscrito en la asociación de-portiva; 35 % de los alumnos se han inscrito en la asociación artís-tica; 32 % de los alumnos se han inscrito en ambas asocia-ciones. 1 Se elige al azar un alumno del colegio. Considere los siguientes sucesos : S : ˇ el alumno está inscrito en la asociación sportive ı ; A : ˇ el alumno está inscrito en la asociación artística ı ; a Dados los datos del enunciado, dé el valor de las sigu-ientes probabilidades : P ( S ) ; P ( A ) ; P ( S ∩ A ) b Determine la probabilidad del suceso : U : ˇ El alumno está matriculado en al menos una de las dos asociaciones ı c Considere el suceso : E : ˇ El alumno está matriculado en una y sólo una de estas dos asociaciones ı. Demuestre que la probabilidad de este suceso verifica: P ( E ) = 0 ; 13 2 Se forman grupos de 32 alumnos de este colegio. Se supone que la elección de los alumnos se hace indepen-dientemente de los alumnos elegidos previamente y no cambia la probabilidad del grupo. Nos interesa la variable aleatoria X que cuenta el número de alumnos de dicho grupo que son miembros de una y sólo una de estas asociaciones. a ¾Qué ley de probabilidad sigue la variable aleatoria X ? b Determine la probabilidad de que haya al menos dos alumnos en este grupo que tengan una y sólo una in-scripción en una de estas dos asociaciones. On Redondee los resultados a la 10 − 4 más cercana. E.5489 Durante una epidemia entre el ganado bovino, se descubrió que si la enfermedad se diagnos-tica a tiempo en un animal, se puede curar ; de lo contrario, la enfermedad es mortal. Se desarrolla una prueba y se prueba en una muestra de animales. Se anotan los siguientes eventos : M : ˇ el animal es portador de la enfermedad ı ; T : ˇ la prueba es positiva ı. Este es el árbol de probabilidad obtenido tras el estudio del ganado : 1 Se elige un animal al azar. a ¾Cuál es la probabilidad de que sea portador de la en-fermedad y que su prueba sea positiva? b Demuestre que la probabilidad de que su prueba sea positiva es 0 ; 058 . 2 Se eligen cinco animales al azar. El tamaño de este rebaño permite considerar las pruebas como independi-entes y asimilar los sorteos a sorteos con reposición. Se denota X la variable aleatoria que, a los cinco animales elegidos, asocia el número de animales con prueba posi-tiva. a ¾Cuál es la ley de probabilidad que sigue X ? Justifica tu respuesta. b ¾Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco animales dé positivo en la prueba? Indica el valor exacto y luego el valor redondeado al milésimo. 3 El coste de los cuidados que hay que proporcionar a un animal que ha dado positivo en la prueba es de 100 euros y el coste del sacrificio de un animal no detectado por la prueba y que ha desarrollado la enfermedad es de 1 000 euros. Se supone que la prueba es gratuita. Según los datos anteriores, la ley de probabilidad del coste que se debe asumir por cada animal sometido a la prueba se muestra en la siguiente tabla : Coste 0 100 1 000 Probabilidad 0 ; 940 5 0 ; 058 0 0 ; 001 5 a Calcule la esperanza matemática de la variable aleato-ria Z que asocia a un animal el coste que se incurrirá. b Un ganadero tiene un rebaño de 200 animales. Si todo el rebaño se somete a la prueba, ¾qué suma debe prever incurrir? 9. Expectativa de una distribución binomial E.4168 Se dispone de un dado cúbico bien equilibrado cuyas caras están numeradas del 1 al 6 . Se lanza el dado bien equilibrado tres veces seguidas y se designa con X la variable aleatoria que da el número de 6 obtenidos. 1 ¾Qué ley de probabilidad sigue la variable aleatoria X ? 2 Da el valor exacto y luego el valor redondeado a milési- mas de la probabilidad P ( X =2) . 3 Da la esperanza matemática de la variable aleatoria X . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5448 sacados/5448 chapExoCorrec/5489 sacados/5489 0;85T0;15T0;01M0;05T0;95T0;99M chapExoCorrec/4168 sacados/4168
PXkPYk0,10,20,30,40 E.4194 Una empresa de transporte desea optimizar los controles para limitar el impacto del fraude y las pérdidas ocasionadas por esta práctica. Esta empresa realiza un estudio basado en dos trayectos diar-ios durante los veinte días laborables de un mes, es decir, un total de cuarenta trayectos. Se admite que los controles son independientes entre sí y que la probabilidad de que cualquier viajero sea controlado es igual a p . El precio de cada trayecto es de diez euros y, en caso de fraude, la multa es de cien euros. Claude comete fraude sistemáticamente durante los cuarenta viajes objeto de este estudio. Sea X i la variable aleatoria que toma el valor 1 si Claude es controlado en el viaje i y el valor 0 en caso contrario. Sea X la variable aleatoria definida por: X = X 1 + X 2 + X 3 + · · · + X 40 1 Determinar la ley de probabilidad de X . 2 En esta parte, se supone que : p = 1 20 . a Calcular la esperanza matemática de X . b Calcular las probabilidades : P ( X =0) ; P ( X =1) ; P ( X =2) c Calcular, con una precisión de 10 − 4 , la probabilidad de que Claude sea controlado como máximo dos veces. E.4215 Una fábrica produce bolsas. Se supone que la probabilidad (redondeada al centésimo) de que una bolsa sea defectuosa es igual a 0 ; 03 . Se toma al azar una muestra de 100 bolsas de la producción de un día. La producción es lo suficientemente grande como para que esta muestra se pueda asimilar a un sorteo con de-volución de 100 bolsas. Consideramos la variable aleatoria X que, para cada muestra de 100 bolsas, asocia el número de bolsas defectuosas. 1 Justificar que la variable aleatoria X sigue una ley bino-mial cuyos parámetros se especificarán. 2 ¾Cuál es la probabilidad del evento ˇ al menos una bolsa es defectuosa ı? . Se redondeará esta probabilidad al cen-tésimo. Interpretar este resultado. 3 Calcular la esperanza matemática de la variable aleato- ria X . Interpretar este resultado en el contexto del enunciado. E.4197 Una asociación organiza excur-siones por la montaña. Doce guías llevan cada uno, durante todo el día, a un grupo de personas desde el amanecer. En verano, hay más solicitudes que guías y cada grupo debe in-scribirse el día antes de la excursión. Pero la experiencia de los últimos años demuestra que la prob-abilidad de que alguno de los grupos inscritos no se presente a la salida de la excursión es igual a 1 8 . Se admite que los grupos inscritos se presentan de forma independiente unos de otros. Se solicita a cada grupo una suma de 1 crédito (en moneda local) por día. Esta suma se abona al inicio de la excursión. En caso de que un grupo no se presente al inicio, la asociación no obtendrá, evidentemente, el crédito que dicho grupo habría abonado por la jornada. Molesto por el número de guías sin trabajo, el director de la asociación decide aceptar una reserva adicional cada día. Evidentemente, si los 13 grupos inscritos se presentan, el 13 e grupo será dirigido a una actividad sustitutiva. Sin embargo, esta actividad sustitutiva supone un gasto de 2 créditos para la asociación. Las probabilidades solicitadas se redondearán al 100 e más cer-cano 1 ¾Cuál es la probabilidad P 13 de que un día determinado no haya ninguna baja, es decir, que los 13 grupos inscritos el día anterior se presenten a la salida de la excursión? 2 Sea R la variable aleatoria igual al coste de la actividad sustitutiva. Especifique la ley de la variable aleatoria R y calcule su esperanza matemática. 3 Demuestre que la ganancia media obtenida cada día es : 13 k =0 k · 13 k · 7 8 k · 1 8 13 − k − 2 · P 13 Calcule esta ganancia. 4 ¾Es rentable para la asociación la decisión del director? 10. Desglose de la distribución E.5427 1 Considera la variable aleatoria X que sigue una distribu-ción binomial con parámetros n =5 y p =0 ; 5 . Elabora una tabla que muestre la distribución de proba-bilidad de la variable aleatoria X . 2 Considera la variable aleatoria Y que sigue una distribu-ción binomial con parámetros n =5 y p =0 ; 3 . Elabora una tabla que muestre la distribución de proba-bilidad de la variable aleatoria Y . 3 En el gráfico siguiente, completa los diagramas de bar-ras que representan la ley de cada una de estas variables aleatorias: https://chingmath.fr chapExoCorrec/4194 sacados/4194 chapExoCorrec/4215 sacados/4215 chapExoCorrec/4197 sacados/4197 Extrait d'Antilles-guyane Septembre 2003 chapExoCorrec/5427 sacados/5427 PXkPYk0,10,20,30,40
02468100.050.10.150.20.250.3 02468100.050.10.150.20.250.3 E0E0S1E0S1E1E0S1E1S2E0S1E1S2E1E0S1E1S2E1S2E0S1E1S2E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5ESESESESESESESESESESESESESESES EESESEESESESESEESESESESESESEESESESESESESESESEESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESES E.5428 De las dos representaciones siguientes, cuál representa una distribución binomial con parámetro n =10 y p =0 ; 3 : 11. Recordatorios: distribución binomial E.5200 La siguiente figura representa la repetición de cinco pruebas de Bernoulli où los dos resultados son S (éxito) y E (fracaso) . El número en índice en la quinta opción representa el número de éxitos logrados en la ruta elegida. 1 Complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 4 5 Número de chemins asociados 2 Consideremos la misma prueba de Bernoulli, pero repetida seis veces : a Indique el número de caminos que logran 4 éxitos cuando se repite seis veces una prueba de Bernoulli (Podemos completar el árbol de opciones o razonar) . b Complete la tabla siguiente : Número de éxitos 0 1 2 3 4 5 6 Número de chemins asociados E.5201 La figura adjunta representa la repetición de cuatro pruebas de Bernoulli où los dos resultados son S (éxito) y E (fracaso) . Se supone que se conocen las sigu-ientes probabilidades : P ( S )= 1 3 ; P ( E )= 2 3 Consideremos la variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos obtenidos tras la repetición de estas cuatro pruebas de Bernoulli. 1 a ¾Cuántos sucesos elementales comprende el suceso X =3 } ? b Sea ! ∈ X =3 } , demuestre que : P ( ! ) = 2 81 c Justifique que : P ( X =3)= 8 81 2 a Dé los valores que toma la variable aleatoria X . b Complete la tabla siguiente para dar la ley de proba-bilidad de la variable aleatoria X : x P ( X = x ) E.5202 Responderemos a las siguientes pregun-tas utilizando la calculadora y redondearemos los resultados al centésimo más cercano : 1 Indique el valor de los siguientes coeficientes binomiales : a 15 3 b 24 3 c 54 12 d 51 51 2 Sea X una variable aleatoria tal que X∼B (15 ; 0 ; 3) . Da los valores aproximados al centésimo de las siguientes probabilidades : a P ( X =5) b P ( X =8) c P ( X =12) 3 Sea X una variable aleatoria tal que X∼B (52 ; 0 ; 3) . Da los valores aproximados al centésimo de las siguientes probabilidades : a P ( X 9) b P ( X 15) c P ( X 23) https://chingmath.fr chapExoCorrec/5428 sacados/5428 02468100.050.10.150.20.250.3 02468100.050.10.150.20.250.3 chapExoCorrec/5200 sacados/5200 E0E0S1E0S1E1E0S1E1S2E0S1E1S2E1E0S1E1S2E1S2E0S1E1S2E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5E0S1E1S2E1S2E2S3E1S2E2S3E2S3E3S4E1S2E2S3E2S3E3S4E2S3E3S4E3S4E4S5ESESESESESESESESESESESESESESES chapExoCorrec/5201 sacados/5201 EESESEESESESESEESESESESESESEESESESESESESESESEESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESESESEESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESESES chapExoCorrec/5202 sacados/5202
E.5194 Se repite 10 veces y de forma indepen-diente una prueba de Bernoulli con parámetro p =0 ; 3 . A este experimento se le asocia la variable X , que relaciona cada resultado del experimento con el número de éxitos. 1 Determinar las siguientes probabilidades : P ( X =0) ; P ( X =1) ; P ( X =2) 2 Determinar la probabilidad del evento X 3 . Indicación : Se redondearán los resultados al milésimo. E.5195 Un examen se basa en un cuestionario tipo MCQ compuesto por 5 preguntas en las que cada pre-gunta ofrece cuatro opciones de respuesta de las que sólo una es correcta. Un estudiante decide completar de forma aleatoria e indepen-diente cada una de las preguntas del cuestionario. 1 ¾Cuál es la probabilidad de responder correctamente a una pregunta? Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de respuestas correctas contenidas en el formulario completado. 2 Determine las siguientes probabilidades, redondeadas a la milésima más próxima: a P ( X =5) b P ( X 3) 3 Utilizando una calculadora, determine la probabilidad, redondeada a la milésima más próxima, de que el alumno tenga como máximo 2 respuestas correctas. E.5199 En un juego, se acuerda que se gana una partida cuando se obtiene una bola negra y la prob-abilidad de obtener una bola negra es 3 8 . Una persona juega diez partidas independientes y, después de cada partida, vuelve a colocar la bola obtenida en la urna de donde proviene. Se denota X la variable aleatoria igual al número de partidas ganadas. 1 Calcular la probabilidad de ganar exactamente tres par-tidas. Se dará el resultado redondeado al milésimo. 2 Calcular la probabilidad de ganar al menos una partida. Se dará el resultado redondeado al milésimo. 3 Se da la siguiente tabla : k 1 2 3 4 5 P ( X <k ) 0 ; 0091 0 ; 0637 0 ; 2110 0 ; 4467 0 ; 6943 k 6 7 8 9 10 P ( X <k ) 0 ; 8725 0 ; 9616 0 ; 9922 0 ; 9990 0 ; 9999 Sea N un número entero comprendido entre 1 y 10 . Con-sideremos el evento : ˇ la persona gana al menos N par-tidas ı. A partir de qué valor de N la probabilidad de que se produzca este evento es inferior a 1 10 ? 12. Probabilidad condicional y distribución binomial E.3713 Un reparador de bicicletas compra 30 % de sus existencias de neumáticos a un primer proveedor, 40 % a un segundo y el resto a un tercero. El primer proveedor produce 80 % neumáticos sin defectos, el segundo 95 % y el tercero 85 % . 1 El reparador toma al azar un neumático de su stock. a Construye un árbol de probabilidad que refleje la situación, y demuestra que la probabilidad de que este neumático no tenga fallos es igual a 0 ; 875 . b Sabiendo que el neumático elegido es impecable, ¾cuál es la probabilidad de que proceda del segundo provee-dor? El resultado se dará redondeado a 10 − 3 . 2 El reparador elige diez neumáticos al azar de sus existen-cias. Se supone que el stock de neumáticos es lo suficien-temente grande como para tratar esta elección de diez neumáticos como un lanzamiento de diez neumáticos. ¾Cuál es la probabilidad de que como máximo uno de los neumáticos elegidos tenga un defecto? Daremos el valor redondeado a 10 − 3 . E.6951 Para cada pregunta se propone una afir-mación. Indique si es verdadera o falsa y justifique su re-spuesta. Cualquier respuesta no justificada no será tenida en cuenta. Pregunta 1 A y B son dos sucesos relacionados con el mismo suceso aleatorio que se verifica: P A = 1 2 ; P A B = 3 10 ; P A B = 1 10 Afirmación: La probabilidad del suceso A sabiendo que el suceso B se realiza e igual a 1 4 . Pregunta 2 Una urna A contiene dos bolas azules y tres rojas y una urna B contiene una bola azul y tres rojas. Las bolas se consideran indistinguibles al tacto. Un juego consiste en sacar al azar una bola de la urna A , si la bola es azul se gana el juego. En el caso contrario, el jugador extrae una bola de la urna B y gana si la bola es azul. Las bolas extraídas se devuelven a sus respectivas urnas al final de la partida. Nos interesa que una persona juegue a este juego diez veces seguidas y de forma independiente. Afirmación: La probabilidad de que el jugador gane al menos 2 veces es menor que 0 ; 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5194 sacados/5194 chapExoCorrec/5195 sacados/5195 chapExoCorrec/5199 sacados/5199 chapExoCorrec/3713 sacados/3713 chapExoCorrec/6951 sacados/6951
V1V2V3 F1F1F2F3 13. Árboles no simétricos E.3725 Los resultados se darán con una precisión de 10 − 3 . Una empresa encarga a una empresa de sondeos telefónicos una encuesta sobre la calidad de sus productos. Cada encues-tador tiene una lista de personas a las que contactar. En la primera llamada telefónica, la probabilidad de que la persona esté ausente es 0 ; 4 . Sabiendo que la persona está pre-sente, la probabilidad de que acepte responder al cuestionario es 0 ; 2 . 1 Se anota : A 1 el evento ˇ la persona está ausente durante la primera llamada ı ; R 1 el evento ˇ la persona acepta responder al cues-tionario durante la primera llamada ı. ¾Cuál es la probabilidad de R 1 ? 2 Cuando una persona está ausente durante la primera lla-mada, se le llama por segunda vez, a una hora difer-ente, y entonces la probabilidad de que esté ausente es 0 ; 3 . Y, sabiendo que está presente en la segunda llamada, la probabilidad de que acepte responder al cuestionario sigue siendo 0 ; 2 . Si una persona no está presente en la segunda llamada, no se vuelve a intentar contactar con ella. Se observa: A 2 el evento ˇ la persona está ausente durante la se-gunda llamada ı ; R 2 el evento ˇ la persona acepta responder al cues-tionario en la segunda llamada ı ; R el evento ˇ la persona acepta responder al cues-tionario ı. Demostrar que la probabilidad de R es 0 ; 176 (Se puede utilizar un árbol) . 3 Sabiendo que una persona ha aceptado responder al cues- tionario, ¾cuál es la probabilidad de que la respuesta se haya producido durante la primera llamada? E.5833 Con tres válvulas idénticas V 1 , V 2 y V 3 , se fabrica el circuito hidráulico que se muestra al lado. El circuito funciona si V 1 funciona o si V 2 y V 3 funcionan simultáneamente. Se asimila a un experimento aleatorio el hecho de que cada válvula funcione o no después de 6 000 horas. Se anota : F 1 el evento : ˇ la válvula V 1 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. F 2 el evento : ˇ la válvula V 2 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. F 3 el evento : ˇ la válvula V 3 está en funcionamiento de-spués de 6 000 horas ı. E del evento : ˇ el circuito está en funcionamiento después de 6 000 horas ı. Se admite que los eventos F 1 , F 2 y F 3 son independientes entre sí y tienen cada uno una probabilidad igual a 0 ; 3 . 1 El árbol probabilístico adjunto representa una parte de la situación. Reproduzca este árbol y coloque las probabilidades en las ramas. 2 Demuestre que : P ( E )=0 ; 363 . 3 Sabiendo que el circuito está en funcionamiento después de 6 000 horas, calcule la probabilidad de que la válvula V 1 esté en funcionamiento en ese momento. Redondee a milésimas. 14. Probabilidad: binomial E.4258 Si X es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial de parámetros 100 y 1 3 en-tonces : P ( X 1) = 1 − 2 3 100 E.4266 Una tienda de animales tiene alevines de peces raros. La probabilidad de comprar un alevín y que el pez siga vivo un mes después es de 0 ; 92 . Una persona elige al azar y de forma independiente 5 alevines de dos meses. ¾Cuál es la probabilidad de que un mes después solo tres sigan vivos? Se dará un valor aproximado con una precisión de 10 − 2 . E.4262 Una urna contiene bolas que no se pueden distinguir al tacto. 20 % bolas llevan el número 1 y son rojas. Las demás llevan el número 2 y, de entre ellas, 10 % son rojas y las demás son verdes. Sea n un número natural mayor o igual a 2 . Se realizan n extracciones sucesivas de una bola con reposición (después de cada extracción, la bola se vuelve a colocar en la urna) : 1 Expresar en función de n la probabilidad de obtener al menos una bola roja con el número 1 durante las n ex-tracciones. 2 Determine el número entero n a partir del cual la proba-bilidad de obtener al menos una bola roja con el número 1 en los n sorteos es superior o igual a 0 ; 99 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3725 sacados/3725 Extrait France Septembre 2000 chapExoCorrec/5833 sacados/5833 V1V2V3 F1F1F2F3 chapExoCorrec/4258 sacados/4258 Extrait d'Antilles-guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/4266 sacados/4266 Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2008 chapExoCorrec/4262 sacados/4262
E.5526 Una urna contiene 10 bolas blan-cas y n bolas rojas, siendo n un número natural mayor o igual que 2 . Se pide a un jugador que saque bolas de la urna. En cada extracción, todas las bolas tienen la misma probabilidad de salir. El jugador extrae 20 veces sucesivamente y con entrega una bola de la urna. Los sorteos son independientes. Determi-nar el valor mínimo del entero n para que la probabilidad de obtener al menos una bola roja durante estas 20 extracciones sea estrictamente mayor que 0 ; 999 . E.4268 Un jardinero tiene dos lotes 1 y 2 , cada uno con numerosos bulbos que dan tulipanes de diversos colores. La probabilidad de que un bulbo del lote 1 dé un tulipán amarillo es igual a 1 4 . La probabilidad de que un bulbo del lote 2 dé un tulipán amarillo es igual a 1 2 . Este jardinero elige al azar un lote y planta 50 bulbos de tulipanes. Sea n un número natural que cumple 0 n 50 , se definen los siguientes sucesos : A : ˇ el jardinero ha elegido el lote 1 ı ; B : ˇ el jardinero ha elegido el lote 2 ı ; J n : ˇ el jardinero obtiene n tulipanes amarillos ı. 1 Demostrar que : P B ( J n ) = 50 n · 2 − 50 2 Deduzca la probabilidad de que el jardinero obtenga n tulipanes amarillos. 3 Se denota p n la probabilidad condicional del evento A sabiendo que J n se ha realizado. Establecer que : p n = 3 50 − n 3 50 − n + 2 50 4 ¾Para qué valores de n tenemos p n 0 ; 9 ? ¾Cómo se puede interpretar este resultado? 15. Ejercicios no clasificados E.3737 Una empresa A especializada en la producción en serie de un artículo; un control de calidad mostró que cada artículo producido por la empresa A podía tener dos tipos de defectos : un defecto de soldadura con una probabilidad igual a 0 ; 03 y un defecto en un componente elec-trónico con una probabilidad igual a 0 ; 02 . El control mostró también que los dos defectos eran indepen-dientes. Se dice que un artículo es defectuoso si tiene al menos uno de los dos defectos. 1 Montrer que la probabilidad de que un artículo fabricado por la empresa A sea defectuoso es igual a 0 ; 049 4 . 2 Une supermercado recibe 800 artículos de la empresa A . Sea X la variable aleatoria que asocia el número de artícu-los defectuosos a este conjunto de 800 artículos. a Defina la distribución de X . b Calculer la expectativa matemática de X . Para la em-presa, ¾qué interpretación puede hacerse de esta expec-tativa? . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5526 sacados/5526 chapExoCorrec/4268 sacados/4268 chapExoCorrec/3737 sacados/3737 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2003